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Rückwärtsschnitt

Rückwärtsschnitt

Der ebene Rückwärtsschnitt ist eine Methode zur Landvermessung (siehe Geodäsie). Der räumliche Rückwärtsschnitt ist ein in der Photogrammetrie gebräuchliches Verfahren der Standortberechnung einer Messkamera. Beim ebenen Rückwärtsschnitt werden die Koordinaten eines Neupunktes N durch drei Punkte A, B und C mit bekannten Koordinaten bestimmt, wenn die Horizontalwinkel ANB = φ und BNC = ψ (gesehen von N aus) bekannt sind. Diese Winkel können aus einer Richtungsmessungen im Neupunkt N zu den Punkten A, B, C berechnet werden. Durch Schneiden der beiden Peripheriewinkelkreise (siehe Kreiswinkel) mit den Winkeln φ (über der Sehne AB) und ψ (über der Sehne BC) ergibt sich die Lösung. Damit versagt das Verfahren aber, wenn die Punkte A, B, C, N auf einem Kreis liegen, da so die beiden Peripheriewinkelkreise aufeinanderliegen und sich keine unterscheidbaren Schnittpunkte ergeben. Die Aufgabe des ebenen Rückwärtsschnitts heißt auch "Pothenotsche Aufgabe" nach Laurent Pothenot; jedoch veröffentlichte vor diesem bereits Snellius eine Lösung. Deswegen sprechen manche Autoren auch von der "Snellius-Pothenotschen Aufgabe". Numerische Lösungsverfahren für diese Aufgabe wurden unter anderem auch von Cassini, Kästner, Collins, Gauß und Ansermet vorgeschlagen. Kategorie:Geodäsie

Geodäsie

Geodäsie (griechisch γη = Erde, δαιζω = ich teile). Nach der klassischen Definition von F.R. Helmert ist die Geodäsie die "Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche". Dies umfasst die Bestimmung der geometrischen Figur der Erde, ihres Schwerefeldes und der Orientierung der Erde im Weltraum (Erdrotation). Die Geodäsie zerfällt in die höhere Geodäsie (Erdmessung und Landesvermessung) und die niedere Geodäsie (Katastervermessung) (s.u.). In der wissenschaftlichen Systematik stellt die Geodäsie einerseits das Bindeglied zwischen Astronomie und Geophysik dar, andrerseits sind viele ihrer Verfahren den Ingenieurwissenschaften zuzuordnen. Im englischen Sprachraum wird dem durch eine Unterscheidung zwischen Geodesy und Surveying Rechnung getragen. In der Mathematik verwendet man den Begriff "geodätisch" für lokal kürzeste Verbindungen zwischen Punkten auf gekrümmten Flächen, siehe Geodäte.

Kurze Geschichte der Geodäsie

Ihren Ursprung hat die Geodäsie in der Notwendigkeit, Land aufzuteilen, Eigentumsgrenzen zu definieren und Landesgrenzen zu dokumentieren. Die Geschichte der Geodäsie reicht bis in das alte Ägypten zurück. Bemerkenswert war die Gradmessung des Eratosthenes zwischen Alexandria und Syene (heutiges Assuan) um 240 v. Chr.. Sie ergab den Erdumfang zu 252.000 Stadien, was dem wahren Wert trotz der unsicheren Entfernung auf etwa 10 Prozent nahekam. Er schätzte den Erdumfang um 240 v. Chr. aus dem um 7,2° unterschiedlichen Sonnenstand. Wichtige Marksteine der frühen Geodäsie waren die Entwicklung von Messinstrumenten im Arabien des 11. Jahrhunderts und in Nürnberg, sowie die Erfindung der Winkelfunktionen (Indien, Peuerbach), des Messtisches und der Triangulation (Snellius um 1615). Ab etwa 1700 verbesserten sich die Landkarten durch exakte Rechenmethoden und die beginnende großräumige Erdmessung, die 1740 mit der Bestimmung der ellipsoidischen Erdradien durch die Franzosen Bouguer und Maupertuis einen ersten Höhepunkt erlebte. Um die Ergebnisse verschiedener Projekte und Landesvermessungen besser kombinieren zu können, entwickelten Roger Joseph Boscovich, Carl Friedrich Gauß et al. schrittweise die Ausgleichsrechnung, die auch präzisen Bezugssystemen und der Vermessung des Weltraums zugute kam. Für die Geodäsie des 19. und 20. Jahrhunderts waren die wichtigsten Stationen:
- die Einführung des Meters, des Greenwicher Nullmeridians und ab 1950 eines globalen Zeitsystems mit Funktechnik und Quarzuhren
- die Geoid- und Schweremessung und Querverbindungen zur Geophysik
- Erhöhung der Messgenauigkeit auf etwa das Hundertfache (dm => mm pro km), wozu Weiterentwicklungen von Theodolit und Winkelmessung, die beginnende Distanzmessung und zuletzt die EDV beitrugen
- Ab 1960 der zunehmende Einsatz von Erdsatelliten mit der Möglichkeit interkontinentaler Messungen: die GPS-Systeme
- Radioastronomie (VLBI) als Basis hochpräziser Referenzsysteme ITRF, ETRS für globale Geodäsie und für die Geodynamik der Erdkruste.

Grundlagen und Teilgebiete

Die Geodäsie liefert mit ihren Vermessungsergebnissen (z.B. aus Kataster- und Landesvermessung, Ingenieurgeodäsie, Photogrammetrie und Fernerkundung) die Grundlagen für zahlreiche andere Fachgebiete und Tätigkeiten:
- im Bereich der Geo- und Naturwissenschaften z.B. für die Astronomie, Physik und Ozeanografie, für Geoinformatik und Kataster, für Landkarten (neben topografischenn auch thematische Karten) der Geologie, Geophysik und Kartografie, sowie für verschiedenste Dokumentationen, etwa der Archäologie.
- in der Technik vor allem für Bauwesen und Architektur, für verschiedene Ziviltechniker, den Ingenieurbau, die Funk- und Geotechnik und diesbezügliche Datenbanken oder Informationssysteme. Die so genannte Höhere Geodäsie (Mathematische Geodäsie, Erdmessung und Physikalische Geodäsie) beschäftigt sich unter anderem mit der mathematischen Erdfigur, präzisen Referenzssystemen und der Bestimmung von Geoid und Erdschwerefeld. Zur Geoidbestimmung werden verschiedene Messverfahren verwendet: Gravimetrie, geometrische und dynamische Methoden der Satellitengeodäsie und die Astrogeodäsie. Die Kenntnis der Schwere ist nötig, um ein genaues Höhensystem zu etablieren - z.B. bezüglich Normalnull der Nordsee (NN, Amsterdamer Pegel) oder der Adria. Das wichtigste Höhensystem in Deutschland ist das Haupthöhennetz DHHN.
Das Geoid (bzw. sein Gradient, die Lotabweichung) dient auch zur Definition und Reduktion lokaler Messungen und Koordinaten auf der Erdoberfläche. Zur Triangulierung und für längere Verbindungslinien nähert man den Meeresspiegel durch ein Referenzellipsoid an und berechnet sie mittels "geodätischer Linien, die auch in der Mathematik (Differentialgeometrie), der Navigation und beim Aufspannen leichter Gewölbe Anwendung finden. Das Geoid und Schwerefeld sind ferner für die Angewandte Geophysik und zur Berechnung von Satellitenbahnen wichtig. Ebenfalls der Höheren Geodäsie ist jener Bereich der Landesvermessung zuzuordnen, bei dem es um regionale Vermessungen und ihre Bezugssysteme geht. Diese Aufgaben wurden früher terrestrisch gelöst, nun aber zunehmend mit dem GPS und anderen Satellitenmethoden.
Eine interessante Anwendung von Geodäsie ist auch die Geodätische Kuppel, bei der man die Kugeloberfläche in Dreiecke unterteilt, um dadurch effiziente und stabile architekturale Kuppeln zu bauen. Die so genannte Niedere oder Allgemeine Geodäsie widmet sich vor allem der Aufnahme von Lageplänen und digitaler Modelle für technische Projekte. Dazu gehören auch Bauplanung und Dokumentation, die Aufnahme des Geländes, die Katastervermessung und Bereiche des Facility Management. Wenn sich im Laufe der Zeit die Eigentumsverhältnisse der Grundstücke verkompliziert haben (durch Teilung beim Kauf und Verkauf oder Vererbung), dann wird eine sog. Bodenordnung notwendig. Ihr wichtigstes Instrument ist die Flurbereinigung, in Österreich Melioration genannt. Mit Ingenieurvermessung bezeichnet man die technische, nicht amtliche Vermessung (z.B. Gebäudeabsteckungen, Ingenieurnivellements, Einrichtung von Großmaschinen etc.) Bei der Erfüllung geodätischer Aufgaben im Untertage- und auch Übertage-Bergbau spricht man von Markscheidewesen oder Bergvermessung. Zu den Spezialgebieten der Geodäsie zählen auch die Seevermessung und hydrografische Profile von Flüssen, die ozeanografische Altimetrie mit Satelliten sowie Kooperationen im Bereich der Navigation.

Bedeutende Geodäten

- George Biddell Airy, London
- al-Ma'mun, Bagdad
- Johann Jacob Baeyer, Berlin
- Karl Maximilian von Bauernfeind, München
- Friedrich Wilhelm Bessel, Königsberg
- Roger Joseph Boscovich, Rom/Berlin/Paris
- Pierre Bouguer, Frankreich/Peru
- Heinrich Bruns, Berlin
- Alexander Ross Clarke, London
- Lorand Eötvos, Ungarn
- Eratosthenes, Alexandria
- George Everest, Großbritannien, Indien
- Carl Friedrich Gauß, Braunschweig/Göttingen
- Friedrich Robert Helmert, Potsdam
- Hipparchos, Nikaia
- Idrisi, Arabien/Sizilien
- Pierre-Simon Laplace, Paris
- Adrien Marie Legendre, Paris
- Henri Poincaré, Paris
- J. H. Pratt, London
- Ptolemäus u. Posidonius, Alexandria
- Heinrich Christian Schumacher
- Johann Georg von Soldner, München
- George Gabriel Stokes, England

Bedeutende Geodäten nach etwa 1900

- Kurt Arnold, Potsdam
- C. F. Baeschlin, Zürich
- W. Bowie, USA
- Kurt Bretterbauer, Wien
- Junyong Chen, Wuhan China
- Yongling Chen, Wuhan China
- Eduard Dolezal, Wien
- Wilhelm Embacher, Innsbruck
- Richard Finsterwalder, München/Hannover
- Irene Fischer, USA
- Erik Grafarend, Stuttgart
- Erwin Groten, Dtl.
- John Fillmore Hayford, USA
- Weikko A. Heiskanen, Finnland
- Siegfried Heitz, Bonn
- Friedrich Hopfner, Wien
- L. Hradilek, Tschechosl.
- W. K. Hristow, Bulgarien
- Sir Harold Jeffreys, London
- W. Jordan, Dtl.
- Karl Jung, Dtl.
- Heribert Kahmen, Hannover/Wien
- William Kaula, USA
- Max Kneissl, München
- Karl-Rudolf Koch, Bonn
- Yoshihide Kozai, Boston
- Th. N. Krassowski, Russland
- Karl Ledersteger, Wien
- A. Marussi, Florenz
- M. S. Molodenski, Russland
- Helmut Moritz, Graz
- Theodor Niethammer, Schweiz
- Wolfgang Pillewizer, Dresden/Wien
- Karl Ramsayer, Stuttgart
- Christoph Reigber, Potsdam
- Karl Rinner, Dtl. und Graz
- Reiner Rummel, München
- Hellmut Schmid, Schweiz
- Rudolf Sigl, München
- L. Tanni, Helsinki
- Wolfgang Torge, Hannover
- F. A. Vening Meinesz, NL
- Helmut Wolf, Bonn
- Patrick Schönstedt, Pinneberg
- David Holler, Scheifling

Geodäten in der Literatur

- K. (Das Schloß (Romanfragment) von Franz Kafka)
- Hauke Haien (Der Schimmelreiter von Theodor Storm)
- Der Landvermesser (Bunte Steine - Kalkstein von Adalbert Stifter
- Old Shatterhand (Winnetou 1. Teil von Karl May)
- Vermessungsrat a.D. Stürenburg (in Stürenburg-Geschichten von Arno Schmidt)

Geodätische Referenzsysteme

- DHDN (Deutsches Hauptdreiecksnetz)
- DHHN (Deutsches Haupthöhennetz)
- DHSN (Deutsches Hauptschwerenetz)
- MGI Österr.Netz Erster Ordnung (siehe auch Hermannskogel)
- Schweregrundnetz von Österreich, Schweiz u. a.
- WGS84 (World Geodetic System) Ellipsoid (1984 definiert)
- ETRS'89 (European Terrestial Reference System 1989)
- ITRS (International Terrestrial Reference System)

Mess- und Rechenmethoden der Geodäsie

- Richtungs- und Winkelmessung
- Distanzmessung (EDM), Doppler- und Inertialnavigation
- Höhenmessung (trigonometrisch, barometr., Altimetrie)
- Photogrammetrie (terrestrisch, Aero-F.) und Satelliten-Fernerkundung
- Gravimetrie (Schweremessung) und Gradiometrie
- satellitengeodätische Messungen und Modelle.

Messverfahren im Detail (alphabetisch)

- Absteckung
- Astronomische Ortsbestimmung
- GNSS (Global Navigation Satellite System): Differential GPS (DGPS)
- Fernerkundung
- Freie Standpunktwahl oder Freie Stationierung
- relative und absolute Gravimetrie
- Gradiometrie
- Laserscanning
- Netzmessung
- Nivellement
- Polarpunktaufnahme
- Polygonierung (Polygonzug)
- Profilaufnahme
- Pseudoranging zu Satelliten
- Rückwärtsschnitt, Vorwärtsschnitt, Bogenschnitt
- SLR (Satellite Laser Ranging)
- SST (Satellite to Satellite Tracking)
- Spiegeln, Staffeln
- Triangulation, Trilateration
- VLBI (Very Long Baseline Interferometrie)

Rechenverfahren und Rechenhilfsmittel der Geodäsie

- Geodätisches Rechnen an PC und programmierbaren Taschenrechnern
- geodätische Software, Vermessungs-Software
- Helmert-Transformation und räumliche Methoden der Koordinaten-Transformation (z.B. 7-Parameter-Transformation bei GPS-Netzen)
- Rechenmodelle für Messgeräte-Kalibrierung, Eichung und Metrologie
- Ausgleichungsrechnung und statistische Prüfmethoden
- Mathematische Geodäsie und kartografische Projektionen
- Koordinaten-Datenbanken, digitale Terrainmodelle (DTM), digitale Verschneidungs-Programme
- digitaler Kataster und Grundbuch, Facility Management
- Geoinformationssysteme (GIS) und LIS und andere raumbezogene Datenbanken wie z.B. der Leitungskataster
- IGS, International GPS Service) für genaue Satellitenbahnen und DGPS
- SAPOS und andere Regionaldienste für Satellitenpositionierung.

Wichtige Messinstrumente

- Theodolit
- Tachymeter
- Nivellier
- Gravimeter
- GNSS-Empfänger (GPS und GLONASS, Galileo-Empfänger)
- Laserscanner
- Messkammer (Photogrammetrie)

Spezial- und Hilfsgeräte der Geodäsie

- Basislatte
- Bussolentachymeter
- Distanzer, EDM-Aufsatz
- Doppelpentagonprisma oder Doppelwinkelprisma
- Fluchtstab oder Fluchtstange
- Kombinationsempfänger für GPS und ähnliche Verfahren (GLONASS, Galileo)
- Kreiselkompass
- LaserDisto
- Lasertracker
- Lattenrichter
- optisches Lot
- Meridianrichtungskreisel
- Messband oder Maßband
- Messlatte
- Nivelliergerät
- Prisma bzw. Reflektor
- Schlagschnur
- Schlauchwaage
- Senkblei (Senkel, Schnurlot, mechanisches Lot)
- Sextant
- Stativ (Holz, Metall)
- Tachymeter (analog und digital)
- Vermarkungsmaterial
- historische Geräte der Antike:
- Groma
- Chorobates
- Dioptra
- historische Geräte der Neuzeit:
- Messtisch
- Kippregel

Ergebnisse Geodätischer Arbeiten

- Festpunktfelder für Lage, Höhe und Schwere
- Lage- und Höhenkoordinaten von Objektpunkten und Vermessungspunkten
- Dimensionen und Ausrichtung von Objekten
- Deformationen von Objekten (siehe Geodynamik und Geotechnik)
- Karten und Pläne
- unmaßstäbliche Darstellungen, z.B. Perspektive Ansichten
- Orthofotos
- Daten für Geo-Informationssysteme
- Digitale Geländemodelle
- Visualisierung technischer Objekte.

Organisationen für die Amtliche Vermessung

- Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (Deutschland)
- Landesvermessungsämter (Deutschland)
- Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen BEV Wien (für Österreich)
- Bundesamt für Landestopografie (swisstopo)
- Öffentlich bestellte Vermessungsingenieure (Deutschland außer Bayern)

Literatur

- Astronomische und Physikalische Geodäsie. Band 5 "Handbuch der Vermessungskunde", Karl Ledersteger, Verlag J.B.Metzler, Stuttgart 1969
- Geodäsie / Geodesy, Wolfgang Torge, DeGruyter, Berlin 1975 u.~1990
- Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen, Bertold Witte u. Hubert Schmidt, ISBN 3-87907-418-6, Wichmann 5.Aufl., Heidelberg 1989/2004
- Lehrbuch Vermessung-Grundwissen, Bettina Schütze, Andreas Engler, Harald Weber, ISBN 3-936203-00-8
- Auswertung geodätischer Überwachungsmessungen, Walther Welsch, Otto Heunecke u. Heiner Kuhlmann. In Handbuch Ingenieurgeodäsie (Hsg. M.Möser, G.Müller, H.Schlemmer & H.Werner, ISBN 3-87907-295-7, Wichmann Heidelberg 2000
- Das Porträt der Erde, Geschichte der Kartografie. Vitalis Pantenburg, Stuttgart 1970.

Weblinks

- [http://www.geoinf.de Das Studium der Geodäsie in Deutschland]
- [http://www.dgfi.badw.de/ Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut (DGFI) in München]
- [http://www.katasteramt.de www.katasteramt.de]
- [http://www.tu-dresden.de/fghgipg/Forschung/Forschung-frame.html Planetare Geodäsie an der TU Dresden]
- [http://www.pimath.de/geo/verzeichnis.html Die Gestalt der Erde (Geschichte, Ellipsoid-Formeln, Geoid) usw.]
- [http://www.lverma-forum.nrw.de/viewforum.php?f=9 WBVK e.V. - Forum des Vereins zur Förderung der Weiterbildung im Vermessungswesen und der Kartographie]
- [http://www.adv-online.de/ Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV)]
- [http://www.ipi.uni-hannover.de/html/lehre/lehrveranstaltungen/vermbau/ Übersicht der Messverfahren, Uni Hannover]
- [http://www.vermessungsseiten.de Messverfahren und -Instrumente, Jobelmann-Schule]
- http://www.gih.uni-hannover.de/gihwww/geschichte/professoren/daten/

> Forschungsbiografien der Hannv.Geodäsie-Professoren] Hochschule Neubrandenburg (Studiengänge Vermessungswesen und Geoinformatik): http://www.hs-nb.de/vermessung/home.html[http://www.beispiel.de Link-Text]

Geodätische Institute im deutschsprachigen Raum:

- Aachen: [http://www.gia.rwth-aachen.de/ Das Geodätische Institut der] RWTH Aachen
- Berlin: [http://www.igg.tu-berlin.de/ Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik der] TU Berlin
- Bonn: [http://www.gib.uni-bonn.de/ Geodätisches Institut der] Universität Bonn
- Braunschweig: [http://www.tu-bs.de/institute/geodae Institut für Geodäsie und Photogrammetrie der] TU Braunschweig
- Darmstadt: [http://www.tu-darmstadt.de/fb/bi/geod/index.htm Geodätisches Institut der] TU Darmstadt
- Dresden: [http://wwwgi.geo.tu-dresden.de/ Geodätischen Institut der] TU Dresden
- Graz: [http://www.cis.tugraz.at/ivm/index.htm Institut für Ingenieurgeodäsie und Messsysteme der] Technische Universität Graz
- Hannover: [http://www.gih.uni-hannover.de/ Geodätisches Institut der] Universität Hannover
- Karlsruhe: [http://www.gik.uni-karlsruhe.de/ Geodätisches Institut der] Universität Karlsruhe (TH)
- München: [http://www.geo.bv.tum.de/ Lehrstuhl Geodäsie der] TU München
- München: [http://www.bauv.unibw-muenchen.de/institute/inst9/ Geodätisches Institut der UniBw]
- Stuttgart: [http://www.uni-stuttgart.de/gi/index.de.html Geodätisches Institut der] Universität Stuttgart
- Stuttgart: [http://www.uni-stuttgart.de/iagb Institut für Anwendungen der Geodäsie im Bauwesen der] Universität Stuttgart
- Wien: [http://info.tuwien.ac.at/geodaesie/ Institut für Geodäsie und Geophysik der] TU Wien
- Zürich: [http://www.igp.ethz.ch/ Geodetic Metrology and Engineering Geodesy] an der ETH Zürich Labor für Instrumentenkunde und Kalibrierung der Hochschule Neubrandenburg: http://www.hs-nb.de/vermessung/slabore/IK/index.html[http://www.beispiel.de Link-Text]

Institute für Markscheidewesen (Geodäsie im Bergbau) im deutschsprachigen Raum:

- Freiberg: [http://www1.tu-freiberg.de/~wwwmage/index.html Institut für Markscheidewesen und Geodäsie] an der Technische Universität Bergakademie Freiberg
- Clausthal-Zellerfeld: [http://www.igmc.tu-clausthal.de/ Institut für Geotechnik und Markscheidewesen] an der Technischen Universität Clausthal
- Aachen: [http://www.ifm.rwth-aachen.de/cms/front_content.php Institut für Markscheidewesen,Bergschadenkunde und Geophysik im Bergbau] an der RWTH Aachen
- Leoben: [http://www.unileoben.ac.at/institute/markkd.htm Institut für Markscheide- und Bergschadenkunde] an der Montanuniversität Leoben ! Kategorie:Geowissenschaft ja:測地学

Photogrammetrie

Photogrammetrie bedeutet übersetzt „Bildmessung“ und ist eine Sammlung von Methoden, um aus Fotografien eines Objektes seine räumliche Lage bzw. dreidimensionale Form zu rekonstruieren. Darum wird die Photogrammetrie auch als passives Fernerkundungs- und Vermessungsverfahren bezeichnet, da sie die berührungslose Rekonstruktion von räumlichen Objekten aus ihrer fotografisch festgehaltenen reflektierten oder emittierten Strahlung ermöglicht.

Methoden

Überblick

emittierten Die nebenstehende Abbildung gibt einen Überblick über die Methoden der Photogrammetrie. Sie zeigt sie aus der Sicht der Eingangs- und Ausgangsgrößen. Die 3D-Koordinaten sind die Ortskoordinaten von Objektpunkten im dreidimensionalen Raum. Die Bildkoordinaten geben den Ort der Abbildung der Objektpunkte auf den Film oder einen elektronischen Bildwandler an. Die äußere Orientierung einer Kamera bezeichnet ihren Standort im Raum sowie ihre Blickrichtung. Die innere Orientierung definiert die abbildungsrelevanten Parameter der Kamera. Das ist in erster Linie die Brennweite des Objektivs, es gehört aber auch die Beschreibung der Linsenverzerrungen dazu. Des Weiteren spielen die zusätzlichen Beobachtungen eine wichtige Rolle. Durch Maßstäbe, also den bekannten räumlichen Abstand zweier Punkte, oder Passpunkte, also die bekannten 3D-Koordinaten von Punkten in der Örtlichkeit (Objektpunkten), erfolgt die Anbindung an definierte Längeneinheiten und Koordinatensysteme. Jede der vier Hauptgrößen kann als Voraussetzung oder als Ergebnis einer photogrammetrischen Methode betrachtet werden. Die einzelnen Methoden werden in den folgenden Abschnitten erläutert.

Grundlagen

Das Ziel einer photogrammetrischen Auswertung ist die Wiederherstellung der räumlichen Lage von Bildern untereinander, in der sie sich zum Zeitpunkt der Aufnahme befunden haben. Diese Wiederherstellung erfolgt nach den Gesetzen der Zentralprojektion unter Einhaltung der Komplanaritätsbedingung. Grundsätzlich kann man diese Berechnung in einem Guss im Zuge einer gemeinsamen Ausgleichung durchführen, verfahrenstechnisch zerfällt dieser Rechenvorgang jedoch in mehrere getrennte Schritte, die je nach der gegebenen Messungssituation untereinander kombiniert werden:
- Innere Orientierung: Um innerhalb eines Bildes messen zu können muss bekannt sein, wo sich der Bildmittelpunkt, der sog. Bildhauptpunkt, befindet. Dieser Punkt wird durch den Strahl gebildet, der senkrecht auf der Objektivebene stehend durch den Brennpunkt in das Bild verläuft. Dieser Punkt, und hinzukommend auch noch die Kammerkonstante (vulgo Brennweite) und die Objektivverzeichnung, wird messtechnisch ermittelt und erlaubt die Transformation eines gemessenen Punktes

(x',y')

in das Bildkoordinatensystem

(x,y,c)

.
- Relative Orientierung: Wiederherstellung der relativen Lage zweier Bilder im Raum zueinander und Berechnung eines sogenannten Modells. Aus den Koordinaten der beiden Bilder

P_1(x,y,c)

und

P_2(x,y,c)

werden die Modellkoordinaten

P_(u,v,w)

berechnet. In der Praxis lassen sich so zahlreiche Bilder, zum Beispiel aus einer Befliegung, zu einem Modellverbund zusammenrechnen.
- Äussere Orientierung: Im Gegensatz zur relativen Orientierung, bei der nur eine gegenseitige Wiederherstellung der Raumlage zweier Bilder erfolgt, erlaubt die äussere Orientierung die räumlich eindeutige Rekonstruktion der Bildlage bei der Aufnahme. Voraussetzung dazu ist allerdings, dass man über im Bild sichtbare Passpunkte in der Örtlichkeit verfügt, auf die man die Bildkoordinaten im Zuge eines räumlichen Rückwärtsschnittes iterativ einrechnet.
- Absolute Orientierung: Der Modellverbund aus der relativen Orientierung entspricht bereits der Geometrie der Punkte in der Örtlichkeit, allerdings stimmt die räumliche Orientierung des Modellverbundes noch nicht mit der Örtlichkeit überein und der Maßstab ist noch unbekannt. Im Zuge einer dreidimensionalen Helmert-Transformation werden die Modellkoordinaten des Modellverbundes auf die bekannten Passpunkte in der Örtlichkeit transformiert. Die Helmerttransformation passt die Punkte so in das bestehende Punktfeld ein, dass die Restklaffungen in den Koordinaten minimal werden. Bei Verwendung einer Restfehlerinterpolation lassen sich auch diese Klaffungen beseitigen. Früher erfolgte die Auswertung zweier Luftbilder in Luftbildauswertegeräten, die die relative und absolute Orientierung durch physische Wiederherstellung der Strahlenbündel erreichte. Heute erfolgt die Auswertung in der Regel in Komparatoren, in denen Bildkoordinaten direkt gemessen werden. Die weiteren Arbeitsschritte sind dann Verfahrensgänge der numerischen Photogrammetrie, wobei Modellblock- und Bündelblockausgleichungsverfahren zum Einsatz kommen.

Zentralprojektion

Bei bekannter innerer und äußerer Orientierung und bekannten 3D-Koordinaten der Objektpunkte lassen sich daraus deren Bildkoordinaten berechnen. Das entspricht der fotografischen Abbildung der Objektpunkte bei bekannter Kameraposition. Der Berechnung liegt das Modell einer Lochkamera zugrunde die im Idealfall die technische Umsetzung der Zentralprojektion darstellt. Die mathematische Formulierung der Zentralprojektion sind die sogenannten Kolinearitätsgleichungen (s. a. Kollineare Abbildung), die gleichzeitig die zentralen Gleichungen der Photogrammetrie darstellen:

x_c^ = s_x \cdot c \cdot \frac
+ h_x + \Delta x \left( x_c^,y_c^ \right)

y_c^ = s_y \cdot c \cdot \frac
+ h_y + \Delta y \left( x_c^,y_c^ \right)

Die Bedeutungen der Symbole sind im Folgenden erklärt:
- i - Index zur Nummerierung der verschiedenen Kameras
- j - Index zur Nummerierung der verschiedenen Objekt- bzw. Bildpunkte
- c - Kammerkonstante, entspricht in etwa der Brennweite des Objektives
- r - 3×3 Rotationsmatrix zur Definition der Blickrichtung der Kamera
-

(s_x,s_y)^T

- Vektor zur Beschreibung der Asymmetrie der Bildpunkte von Matrixsensoren
-

(x_0,y_0,z_0)^

- Vektor zur Definition des Projektionszentrums
-

(x,y,z)^

- Vektor zur Definition der 3D-Koordinaten der Objektpunkte
-

(h_x,h_y)^

- Vektor zur Definition der Lage des Bildhauptpunkts auf dem Film oder Sensor
-

\Delta x

und

\Delta y

- Funktionen zur Spezifizierung der Verzeichnungskorrekturen

Kamerakalibrierung

Bei der Kamerakalibrierung werden die Abbildungseigenschaften, also die innere Orientierung, der Kamera aus der bekannten äußeren Orientierung sowie den Bild- und 3D-Koordinaten der Objektpunkte berechnet.

Bildmessung

Die Bildmessung bestimmt die exakten Bildkoordinaten der Abbildung eines Objektpunktes in einem Bild. Im einfachsten Fall erfolgt die Bildmessung manuell. Auf einem Negativ oder Positiv wird die Position des interessierenden Objektpunktes von einem Menschen mit einer Messvorrichtung bestimmt. Da diese Methode sehr fehleranfällig und langsam ist, verwendet man Heute fast ausnahmslos computergestützte Verfahren zum Suchen und Vermessen von Objekten in Bildern. Dabei kommen Methoden der digitalen Bildverarbeitung und der Mustererkennung zum Einsatz. Wenn die Voraussetzungen gegeben sind, kann man diese Aufgaben wesentlich durch die Verwendung von künstlichen Signalmarken vereinfachen. Diese können mit automatischen Methoden identifiziert und sehr präzise auf 1/50 bis 1/100 Pixel im Bild lokalisiert werden können.

Rückwärtsschnitt

Der Rückwärtsschnitt berechnet die Kameraposition, also die äußere Orientierung aus der bekannten inneren Orientierung, den 3D-Koordinaten der Objektpunkte und ihren Bildkoordinaten.

Vorwärtsschnitt

Mit einem Vorwärtsschnitt kann man bei mindestens zwei bekannten äußeren Orientierungen und den dazugehörigen Bildkoordinaten die 3D-Koordinaten der Objektpunkte berechnen. Voraussetzung ist, dass mindestens zwei Fotografien eines Objektes aus unterschiedlichen Richtungen aufgenommen wurden, ob gleichzeitig mit mehreren Kameras oder sequentiell mit einer Kamera spielt dabei für das Prinzip keine Rolle.

Modellblockausgleichung

Zwei Bilder in einem analogen oder analytischen Auswertegerät sind relativ zu orientieren. Die entstehenden räumlichen Modellkoordinaten werden mit Hilfe verketteter dreidimensionaler Helmerttransformationen in einer gemeinsamen Ausgleichung auf die Erdoberfläche transformiert (absolute Orientierung). Die Numerik der zu lösenden Gleichungen besteht lediglich aus Rotationen, Translationen und einem Maßstab. Durch Bezug der Koordinaten auf ihren Schwerpunkt zerfallen die Normalgleichungen des Ausgleichungssystems und die zur Ausgleichung eines Modells notwendigen 7 Unbekannten reduzieren sich auf zwei Normalgleichungen mit 4 und 3 Unbekannten. Da die Numerik nicht allzu anspruchsvoll ist, fand dieses Berechnungsverfahren weite Verbreitung. Ein Ende der 70er Jahre an der Universität Stuttgart entwickeltes Programmsystem führte die Bezeichnung PAT-M43 (Programmsystem Aerotriangulation - Modellblockausgleichung mit 4 bzw. 3 Unbekannten). Die erreichbaren Genauigkeiten bei Modellblockausgleichungen ergeben mittlere Fehler (Standardabweichung) für die Lage von +- 7µm und für die Höhe von +- 10 µm.

Bündelblockausgleichung

Die Bündelblockausgleichung ist das wichtigste Verfahren der Photogrammetrie. Mit ihr kann man aus groben Näherungswerten für äußere und innere Orientierung gleichzeitig alle unbekannten Größen der Kolinearitätsgleichungen berechnen. Als bekannte Größe benötigt man lediglich die Bildkoordinaten der Objektpunkte, sowie zusätzliche Beobachtungen in Form eines Längenmaßstabes oder die räumlichen Koordinaten von Passpunkten. Diese Methode ist das am häufigsten eingesetzte Verfahren der Photogrammetrie bei statischen Messobjekten. Der Hauptvorteil liegt vor allem in der Möglichkeit einer Simultankalibrierung. Das heißt, dass die Messkamera während der eigentlichen Messung kalibriert wird. Mess- und Kalibrieraufnahmen sind also identisch, was den Aufwand für die Messung reduziert und gleichzeitig garantiert, dass die Messkamera stets kalibriert ist. Allerdings eignen sich nicht alle Konfigurationen von Objektpunkten für eine Simultankalibrierung. Dann müssen entweder zusätzliche Objektpunkte in die Messung miteinbezogen werden oder separate Kalibrieraufnahmen gemacht werden. Die Bündelblockausgleichung basiert, wie der Name sagt, auf der gemeinsamen Berechnung von Bündelblöcken. Von der theoretischen Seite her ist es im Vergleich mit der Modellblockausgleichung das strengere Verfahren. Die Beschaffung der Ausgangsdaten ist allerdings einfacher. Die weitere Berechnung über die Modellbildung bis zur absoluten Orientierung erfolgt in einer einzigen Ausgleichungsrechnung. Die Anforderungen an die Numerik sind allerdings wesentlich höher als bei der Modellblockausgleichung: die Normalgleichungen zerfallen nicht und die Anzahl der Unbekannten ist mit bis zu mehreren Tausend deutlich höher.

Einteilung

Nach der verwendeten Methode der Bildmessung und der anschließenden Auswertung teilt man die Photogrammetrie auch in analoge Photogrammetrie mit optisch-mechanischer Fotografie und Auswertung, analytische Photogrammetrie mit optisch-mechanischer Fotografie und rechnergestützter Auswertung, digitale Photogrammetrie mit digitaler Fotografie und rechnergestützter Offline-Auswertung, sowie digitale Onlinephotogrammetrie mit digitaler Fotografie und Online-Bildmessung ein.

Anwendungen

Die Photogrammetrie lässt sich in die zwei Hauptanwendungsgebieten Luftbildphotogrammetrie und terrestrische bzw. Nahbereichsphotogrammetrie einteilen.

Luftbildphotogrammetrie

Bei der Luftbildphotogrammetrie werden die Fotografien mit flugzeuggetragenen, digitalen oder analogen Messbildkameras aufgenommen. Es entstehen meist regelmäßige, streifenweise angeordnete Bildverbände, in denen sich benachbarte Bilder deutlich überlappen. Die Bildverbände werden orientiert, also in ein gemeinsames Koordinatensystem transformiert. Die Orientierung der Bildverbände erfolgt anhand von Pass- und Verknüpfungspunkten im Rahmen einer Bündelblockausgleichung. Aus den orientierten Bildern können Folgeprodukte wie 3D-Punkte, digitale Geländemodelle (DGM), Orthophotos, etc., abgeleitet werden. Die Ergebnisse der Luftbildphotogrammetrie dienen der Erstellung und Fortführung topographischer Karten und Orthophotos, der großmaßstäbigen Punktbestimmung in Liegenschaftskatastern und zur Flurbereinigung. Es können auch digitalen Geländemodellen (DGM) aus den Daten abgeleitet werden. Die Landnutzungserhebung sowie Umwelt- und Leitungskataster profitieren ebenfalls von den Resultaten der Luftbildphotogrammetrie.

Nahbereichsphotogrammetrie

Die Nahbereichsphotogrammetrie befasst sich mit Objekten in einem Größenbereich von wenigen Zentimetern bis zu rund 100 Metern. In der Nahbereichsphotogrammetrie gibt es, anders als in der Luftbildphotogrammetrie, keine Einschränkungen bei der Aufnahmeanordnung. Es können beliebige Aufnahmepositionen verwendet werden wie sie entstehen, wenn man eine Objekt mit einer Handkamera von mehreren Richtungen fotografiert. In der Regel benutzt man dazu heute hochauflösende Digitalkameras. Die häufigesten Anwendungsfelder der Nahbereichsphotogrammetrie sind die industrielle Messtechnik (s. Streifenprojektion), Medizin und Biomechanik, sowie die Unfallaufnahme. In der Architektur und Archäologie nutzt man die Nahbereichsphotogrammetrie zur Bauaufnahme, also zur Dokumentation als Grundlage von Umbauten und denkmalpflegerischen Maßnahmen. Ein wichtiges Nebenprodukt der Nahbereichsphotogrammetrie sind entzerrte Fotografien. Das sind Fotografien von nahezu ebenen Objekten wie Gebäudefassaden die so auf eine Fläche projiziert werden, dass die Abstände im Bild über einen einfachen Maßstab in metrische Längen und Abstände umgerechnet werden können. In jüngster Zeit hat auch die moderne Kinematographie Techniken aus der Photogrammetrie übernommen. Beispiele dafür sind die „Bullet Time“ und „Burly Brawl“-Effekte aus den Filmen Matrix und Matrix Reloaded. Im Film Fight Club wurden mit dieser Technik interessante Kamerafahrten ermöglicht.

Historische Entwicklung

Die Theorie der Photogrammetrie wurde Mitte des 19. Jahrhunderts in Frankreich und Preußen parallel zur aufkommenden Photographie entwickelt. Édouard Gaston Deville war einer der Pioniere dieser Methode. Praktisch wurde sie seit Beginn des 20. Jahrhunderts als analoges Verfahren eingesetzt und weiterentwickelt. In den 1930er Jahren wurde die Ausgleichsrechnung entwickelt, die seit den 1960er Jahren in großem Stil auf Computern eingesetzt wird. Als ab Ende 1980er großformatige Photoscanner für Luftbilder bzw. Videokameras und Digitalkameras für Nahbereichs-Aufnahmen verfügbar waren, wurden die analogen Methoden der Photogrammetrie in den meisten Anwendungen durch digitale Auswerteverfahren ersetzt. Derzeit (2005) vollzieht sich der letzte Schritt zur Volldigitalisierung, indem auch in der Luftbildphotogrammetrie die herkömmlichen film-basierten Kameras zunehmend von digitalen Sensoren abgelöst werden.

Literatur

- Karl Kraus: Photogrammetrie. de Gruyter, 2004, ISBN 3-11-017708-0
- Thomas Luhmann: Nahbereichsphotogrammetrie. Wichmann, Heidelberg, 2003, ISBN 3-87907-398-8
- McGlone, Mikhail, Bethel (Hrsg.): Manual of Photogrammetry, 5th edition. ASPRS, 2004, ISBN 1-57083-071-1

Siehe auch

- Deutsche Gesellschaft für Photogrammetrie, Fernerkundung und Geoinformation (DGPF) e.V.
- Stereoskopie

Weblinks

- [http://www.unfallaufnahme.info/Fotogrammetrie2.htm Photogrammetrie bei der Verkehrsunfallaufnahme (Phidias)]

Lehr- und Lernmaterial

- [http://www.ipi.uni-hannover.de/html/lehre/lehrveranstaltungen/ph-ii-v/html/inhalt.htm Photogrammetrie I - III (Lehrveranstaltung Universität Hannover)]

Fachverbände

- [http://www.dgpf.de Deutsche Gesellschaft für Photogrammetrie, Fernerkundung und Geoinformation]
- [http://www.isprs.org International Society for Photogrammetry and Remote Sensing]
- [http://www.sgpbf.ch/ Schweizerische Gesellschaft für Photogrammetrie, Bildanalyse und Fernerkundung]

Lehr- und Forschungseinrichtungen

- [http://www.i3mainz.fh-mainz.de/ i3mainz - Institut für Raumbezogene Informations- und Messtechnik]
- [http://www.ifp.uni-stuttgart.de Institut für Photogrammetrie - Universität Stuttgart]
- [http://www.fh-oow.de/institute/iapg Institut für Angewandte Photogrammetrie und Geoinformatik Oldenburg]
- [http://www.tu-dresden.de/ipf/photo/ Professur für Photogrammetrie, TU Dresden]
- [http://www.ipb.uni-bonn.de/ Institut für Photogrammetrie Bonn]
- [http://www.fpk.tu-berlin.de/ Fachgebiet für Photogrammetrie und Kartographie an der TU Berlin]
- [http://www.ipf.uni-karlsruhe.de/ Institut für Photogrammetrie und Fernerkundung Karlsruhe]
- [http://www.ipf.tuwien.ac.at/ Institut für Photogrammetrie und Fernerkundung TU Wien]
- [http://www.photo.verm.tu-muenchen.de/ Institut für Photogrammetrie und Kartographie TU München]
- [http://www.fh-bochum.de/fb5/photo/ Labor für Photogrammetrie FH-Bochum]
- [http://www.photogrammetry.ethz.ch/ Chair of Photogrammetry and Remote Sensing ETH-Zurich]

Hersteller

- [http://www.aicon.de AICON 3D Systems GmbH]
- [http://www.CorrelatedSolutions.com CorrelatedSolutions Inc. / USA]
- [http://www.geodetic.com/ Geodetic Services Inc. (GSI)]
- [http://www.gom.com GOM mbH]
- [http://www.imetric.com Imetric GmbH]
- [http://www.rollei.de Rollei Fototechnic GmbH]
- [http://www.leica-geosystems.com Leica Geosystems AG] ! Kategorie:Fototechnik Kategorie:Optische Messtechnik

Horizontalwinkel

Horizontalwinkel sind in einer waagerechten Ebene gemessene Winkel. Seine Schenkel werden Horizontalrichtungen genannt. In der Geodäsie werden Horizontalwinkel aus Satzmessungen mit einem Theodolit oder Tachymeter (Geodäsie) sehr genau bestimmt und berechnet. Kategorie:Geodäsie Kategorie:Geometrie

Kreiswinkel

Für viele Fragestellungen der Elementargeometrie, bei denen es um Winkel an Kreisen geht, lassen sich die im Folgenden erklärten Begriffe und Aussagen verwenden.

Begriffe

Gegeben sei ein Kreisbogen mit den voneinander verschiedenen Endpunkten A und B. center
- Umfangswinkel oder Peripheriewinkel nennt man einen Winkel

\angle\rm APB

, dessen Scheitel P auf demjenigen Kreisbogen liegt, der den gegebenen Kreisbogen zum vollständigen Kreis ergänzt.
- Ist M der Mittelpunkt des gegebenen Kreisbogens, so bezeichnet man den Winkel

\angle\rm AMB

als den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).
- Ein Sehnentangentenwinkel zum gegebenen Kreisbogen wird begrenzt von der Sehne [AB] und der Kreistangente im Punkt A bzw. B. Bemerkung: Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Umfangswinkeln, Mittelpunktswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf einen gegebenen Kreisbogen, sondern auf eine gegebene Kreissehne [AB]. Legt man eine solche Definition zugrunde, so muss man zwei Arten von Umfangswinkeln unterscheiden, nämlich spitze und stumpfe Umfangswinkel. Als Mittelpunktswinkel definiert man in diesem Fall den kleineren der beiden Winkel, die von den Kreisradien [MA] und [MB] eingeschlossen werden. Die Formulierung der Sätze im nächsten Abschnitt muss bei Verwendung dieser Definition ein wenig variiert werden.

Sätze

Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Kreistangente Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel

\phi

doppelt so groß wie der Umfangswinkel

\gamma

ist: (Siehe Skizze rechts) Das Dreieck AMC ist ein gleichschenkliges Dreieck (AM=MC=r). Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß: :

\alpha _1  = \gamma _1 \,

Winkelsumme im Dreieck: :

\alpha _1  + \gamma _1  + \delta _1  = 180^0 \,

\delta _1  = 180^0  - \alpha _1  - \gamma _1  = 180^0  - 2\gamma _1 \,

Winkel der Geraden 180°: :

\delta _1  + \varphi _1  = 180^0 \,

\varphi _1  = 180^0  - \delta _1 \,

eingesetzt ergibt sich: :

\varphi _1  = 180^0  - 180^0  + 2\gamma _1 \,

\varphi _1  = 2\gamma _1 \,

Für das Dreieck BMC gilt dasselbe, so dass analog gilt: :

\varphi _2  = 2\gamma _2 \,

und damit: :

\varphi  = \varphi _1  + \varphi _2  = 2\gamma _1  + 2\gamma _2  = 2(\gamma _1  + \gamma _2 )\,

\gamma  = \gamma _1  + \gamma _2 \,

\varphi  = 2\gamma \,

Da der Punkt C beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne AB gleich sind.

Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)

Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen sind gleich groß. center Der Umfangswinkelsatz lässt sich dadurch beweisen, dass man einen weiteren Punkt Q im Inneren des gegebenen Kreisbogens annimmt. Das Viereck AQBP ist dann ein nicht überschlagenes, also konvexes Sehnenviereck. In einem solchen Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°. Durch diese Bedingung ist die Größe eines Umfangswinkels eindeutig festgelegt.

Kreiswinkelsatz

Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel). center Beim Beweis dieser Aussage nützt man die Tatsache aus, dass alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen gleich groß sind. Man kann sich daher auf den besonders einfachen, hier skizzierten Spezialfall beschränken. Die beiden Winkel bei B und P sind als Basiswinkel in dem gleichschenkligen Dreieck MBP gleich groß. Der dritte Winkel des Dreiecks MBP (mit dem Scheitel M) hat die Größe

180^\circ - \mu

. Der Satz über die Winkelsumme ergibt folglich

\phi + \phi + (180^\circ - \mu) = 180^\circ

und weiter, wie behauptet,

2 \phi \, = \, \mu

Sehnentangentenwinkelsatz

Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). gleichschenkligen Dreieck Nachweis, dass der Sehnentangentenwinkel gleich dem Umfangswinkel ist: (Siehe Skizze) Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel (siehe weiter oben):

\varphi  = 2\gamma

Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck AMB:

2\alpha _2  + 2\gamma  = 180^0 \,

\alpha _2  = \frac = 90^\circ  - \gamma

Sehnentangentenwinkel:

\delta  = 90^\circ  - \alpha _2  = 90^\circ  - (90^\circ  - \gamma )

\delta  = \gamma \,

Sonderfall

gleichschenkligen Dreieck Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich 90°, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.

Anwendung bei Konstruktionsaufgaben

Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die Menge (den geometrischen Ort) aller Punkte P, von denen aus eine gegebene Strecke (hier [AB]) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den so genannten Fasskreisbögen. center Kategorie:Ebene Geometrie

Snellius

Willebrord van Roijen Snell (
- 1580 in Leiden, Niederlande; † 30. Oktober 1626 ebd.), auch bekannt als Snell van Royen oder Snellius, war ein niederländischer Astronom und Mathematiker. Er ist bekannt für die Entwicklung des optischen Brechungsgesetzes, nach ihm bekannt als snelliussches Brechungsgesetz. Er gebrauchte den Namen Snellius für wissenschaftliche Veröffentlichungen. Er wurde 1580 in Leiden (Niederlande) geboren, wo er 1613 seinem Vater Rudolph Snell (1546–1613) als Professor für Mathematik an der dortigen Universität folgte. 1615 entwickelte er eine neue Methode den Umfang und den Radius der Erde zu ermitteln. In seinem 1617 veröffentlichtem Werk Eratosthenes Batavus beschrieb er die Methode. Ebenso entwickelte er eine neue Methode π zu berechnen. Er schrieb zudem zahlreiche Werke über Mathematik, Astronomie und Landvermessung. 1626 starb er in Leiden. Snell, Willebrord van Roijen Snell, Willebrord van Roijen Snell, Willebrord van Roijen Snell, Willebrord van Roijen Snell, Willebrord van Roijen Snell, Willebrord van Roijen

Abraham Gotthelf Kästner

Abraham Gotthelf Kästner (
- 27. September 1719 in Leipzig; † 20. Juni 1800 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er war der Sohn des Juraprofessors Abraham Kästner. 1757 heiratet er nach 12-jähriger Verlobung Anna Rosina Baumann. Am 4. März 1758 stirbt seine Ehefrau an einer Lungenkrankheit. Später hat Kästner eine Tochter Catharine mit seiner Haushälterin Koch.

Beruflicher Werdegang

Kästner studierte ab 1731 in Leipzig Jura, Philosophie, Physik, Mathematik und Metaphysik. 1733 wird er zum Notar ernannt. 1739 folgte die Habilitation an der Universität Leipzig, Kästner hielt mathematische, philosophische, logische und juristische Vorlesungen. 1746 wurde er außerordentlicher Professor an der Universität Leipzig. 1756 folgte er einem Ruf als ordentlicher Professor der Naturlehre und Geometrie nach Göttingen. Ab 1763 zugleich Leiter der Sternwarte in Göttingen. Er war Lehrer und später Kollege von Lichtenberg und Erxleben. Kästner starb 1800 als Hofrat in Göttingen.

Werke

Von seinen zahlreichen Schriften über Mathematik sind seine "Anfangsgründe der Mathematik" (Göttingen 1758-69, 4 Bände; 6. Aufl. 1800) hervorzuheben. Seine "Geschichte der Mathematik" (Göttingen 1796-1800, 4 Bände) ist im einzelnen ein scharfsinniges Werk, doch fehlt ihr der umfassende Überblick über alle Teilgebiete der Mathematik. Am bekanntesten wurde Kästner durch seine "Sinngedichte", die zuerst ohne seine Einwilligung 1781 in Gießen erschienen und ihm durch ihren beißenden Witz und ihre scharfe Ironie auf verschiedene Persönlichkeiten viel Kritik einbrachte. Sie wurden später in seine "Vermischten Schriften 1 und 2" (Altenburg 1783, 2 Bände) aufgenommen und erschienen auch in seinen "Gesammelten poetischen und prosaischen schönwissenschaftlichen Werken" (Berlin 1841, 4 Bände) sowie später in Joseph Kürschners "Deutscher Nationalliteratur", Band 73 (hrsg. von Minor; Stuttgart 1883).

Weblinks

-
- [http://www.math.uni-goettingen.de/Personen/Bedeutende_Mathematiker/kaestner.html Mathematik Univ. Göttingen:Bedeutende Mathematiker/Kästner]
- [http://www.bbaw.de/bibliothek/digital/struktur/autoren/kaestner/literatur.pdf Berlin-Brandenburger Akademie der Wissenschaften:Kästner (darin auch Werkverzeichnis)] Kästner, Abraham Gotthelf Kästner, Abraham Gotthelf Kästner, Abraham Gotthelf Kästner, Abraham Gotthelf Kästner, Abraham Gotthelf

Carl Friedrich Gauß

Johann Carl Friedrich Gauß (latinisiert Carolo Friderico Gauss;
- 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen. Er wird als einer der wichtigsten Mathematiker betrachtet und als Fürst der Mathematik oder princeps mathematicorum bezeichnet.

Leben

Physiker Gauß war Sohn einfacher Leute. Die Mutter Gauß, eine nahezu analphabetische, jedoch in hohem Grade intelligente Tochter eines armen Steinmetzes, arbeitete als Dienstmädchen, bevor sie die zweite Frau von Gauß' Vater wurde. Dieser war Gärtner, Vorarbeiter, Kaufmannsassistent und Schatzmeister einer kleinen Versicherungsgesellschaft. Den Anekdoten nach soll Carl Friedrich als dreijähriger bereits den Vater bei der Lohnabrechnung korrigiert haben. C. F. Gauß sagte später, er habe das Rechnen vor dem Reden gelernt. Sein Leben lang behielt er die Gabe, die kompliziertesten Rechnungen im Kopf auszuführen. Mit neun Jahren wurde Gauß in der Schule Martino-Katharineum die Aufgabe gestellt, die Zahlen von 1 bis 100 zu summieren. Er hatte sie nach kurzer Zeit gelöst, indem er 50 Paare der Summe 101 bildete (1 + 100, 2 + 99, ..., 50 + 51) und 5050 als Ergebnis erhielt. Die daraus entstandene Formel wird gelegentlich auch als „der kleine Gauß“ bezeichnet. Gauß misstraute bereits mit zwölf Jahren der Beweisführung in der elementaren Geometrie und ahnte mit 16 Jahren, dass es neben der euklidischen noch eine andere Geometrie geben muss (Nichteuklidische Geometrie). Schon früh erkannten seine Lehrer Büttner und dessen Assistent Martin Bartels die außergewöhnliche mathematische Begabung und machten den Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig auf das Wunderkind aufmerksam. Dieser unterstützte Gauß ab dessen 14. Lebensjahr finanziell und sorgte für seinen Lebensunterhalt. So konnte Gauß von 1792 bis 1795 am Collegium Carolinum, dem Vorgänger der heutigen Technischen Universität in Braunschweig, studieren. Mit 18 Jahren wechselte er an die Universität Göttingen. Im Alter von 19 Jahren gelang es Gauß als Erstem, das regelmäßige 17-Eck nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Eine sensationelle Entdeckung – seit der Antike gab es auf diesem Gebiet kaum noch Fortschritte. Dies war mit ein Grund, sich gegen Sprachen und Philosophie und für das Studium der Mathematik zu entscheiden, das er mit einer Doktorarbeit an der Universität Helmstedt, der Academia Julia, im Jahr 1799 abschloss. Gauß heiratete am 9. Oktober 1805 Johanna Elisabeth Rosina Osthoff (1780–1809) aus Braunschweig. Am 21. August 1806 wurde das erste Kind, Joseph, geboren. Sie hatten zwei weitere Kinder: Wilhelmine (1809–1840) und Louis (1809–1810). 1807 wurde Gauß Professor in Göttingen und Direktor der dortigen Sternwarte. Obwohl Gauß als Mathematikprofessor agierte, hatte er eine Abneigung gegen das Lehren. Trotzdem wurden mehrere seiner Studenten einflussreiche Mathematiker, darunter Richard Dedekind und Bernhard Riemann. Gauß war zutiefst religiös und konservativ. Sein Vater starb am 14. April 1808 in Braunschweig, einige Zeit später, am 11. Oktober 1809, Gauß' erste Frau Johanna. Ein Jahr darauf am 4. August 1810 erfolgte die Heirat mit Friederica Wilhelmine, geb. Waldeck (1788–1831). Die beiden hatten drei Kinder: Eugen (1811–1896), Wilhelm (1813–1883) und Therese (1816–1864). Am 12. September 1831 starb seine zweite Frau, von da an führte Tochter Therese den Haushalt. 1837 begann Gauß Russisch zu lernen. Am 18. April 1839 verstarb Gauß' Mutter, geb. Benze, im Alter von 95 Jahren in Göttingen. Gauß starb am 23. Februar 1855 morgens gegen 1 Uhr in Göttingen. Viele seiner Entdeckungen teilte er in Briefen Freunden mit oder notierte sie in seinen Tagebüchern, die erst 1898 entdeckt wurden. Sein Motto lautete: Pauca sed matura („Weniges, aber Reifes“).

Leistungen

Mit 18 Jahren entdeckte er einige Eigenschaften der Primzahlverteilung und fand die Methode der kleinsten Quadrate. Nach ihr lässt sich das wahrscheinlichste Ergebnis für eine neue Messung aus einer genügend großen Zahl vorheriger Messungen ermitteln. Auf dieser Basis untersuchte er später Theorien zur Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven, die ihn zur Gaußschen Glockenkurve gelangen ließen. Die zugehörige Funktion ist bekannt als die Standardnormalverteilung und wird bei vielen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsberechnung angewandt. Mit 19 Jahren konstruierte er das regelmäßige Siebzehneck nur mit Zirkel und Lineal und lieferte damit die erste nennenswerte Ergänzung euklidischer Konstruktionen seit 2000 Jahren. Gauß erfasste früh den Nutzen komplexer Zahlen, so auch in seinem strengeren Beweis, dass jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n reelle oder komplexe Wurzeln besitzt (Fundamentalsatz der Algebra 1799). Grundlegend für die weitere Entwicklung der Zahlentheorie, zu der einer seiner Hauptbeiträge der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes war, wurde sein erstes bedeutendes Werk, die Disquisitiones arithmeticae. Im ersten Kapitel dieses Werkes führte Gauß den Begriff der Kongruenz ein. Gauß konnte mit Hilfe seiner Ausgleichsrechnungen auf Basis der Methode der kleinsten Quadrate (kleinste Fehlerquadrate) die Berechnung der Bahnen von Himmelskörpern revolutionieren. Hierdurch erst gelang Heinrich Olbers die Wiederentdeckung des Planetoiden Ceres (1801 durch Giuseppe Piazzi gefunden, aber wieder verloren). Damit wurde Gauß weltbekannt. Gauß legte seine neuartigen Rechenverfahren in dem Werk Theorie der Bewegung der Himmelskörper 1809 nieder. Um das Osterdatum für jedes beliebige Jahr rechnerisch ermitteln zu können, entwickelte er eine geschlossene Formel. Erstmals veröffentlicht wurde diese Berechnung in der von Freiherrn von Zach herausgegebenen Monatlichen Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, Band II, August 1800. Sie wurde nachgedruckt in den Gesammelten Werken, Band VI. In dem Artikel Noch etwas über die Bestimmung des Osterfestes, veröffentlicht am 12. September 1807 im Braunschweigischen Magazin, ging Gauß noch von einem Epaktensprung alle 300 Jahre aus. In der in der Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften veröffentlichten Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes stellte er 1816 eine Ergänzung seiner Gaußschen Osterformel vor, die den Epaktensprung alle 312,5 Jahre vorsieht. Zwischen 1818 und 1826 leitete Gauß die Landesvermessung des Königreichs Hannover (»Gaußsche Landesaufnahme«). Durch die von ihm erfundene Methode der kleinsten Quadrate und die systematische Lösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme (Gaußsches Eliminationsverfahren) gelang ihm eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit. Auch für die praktische Durchführung interessierte er sich; er erfand als Messinstrument das über Sonnenspiegel beleuchtete Heliotrop. In diesen Jahren beschäftigte er sich auch mit der Theorie der Flächen und der Abbildungen und legte wichtige Grundlagen für die Differentialgeometrie. Unabhängig von Bolyai und Lobaschweski bemerkte er, dass das Euklidische Parallelenaxiom nicht denknotwendig ist. Seine Gedanken zur nichteuklidischen Geometrie veröffentlichte er jedoch nicht, vermutlich aus Furcht vor dem Unverständnis der Zeitgenossen. Der allgemeinen Relativitätstheorie zufolge ist der Raum auf astronomischen Skalen tatsächlich nichteuklidisch; die Überlegungen von Gauß stellten sich also nach fast einhundert Jahren als physikalisch relevant heraus. Vielleicht entstand erst damals die Legende, Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke (wie etwa das Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird) vom Euklidischen Wert von 180° gesucht; historisch ist dies nicht belegt. Zusammen mit Wilhelm Eduard Weber arbeitete er in den 30er Jahren des 19. Jahrhunderts auf dem Gebiet des Magnetismus. Gauß erfand das Magnetometer und verkabelte 1833 seine Sternwarte mit dem physikalischen Institut. Dabei tauschte er über elektromagnetisch beeinflusste Kompassnadeln Nachrichten mit Weber aus. Das war nicht nur die erste (elektromagnetische) Telegrafenverbindung zwischen dem physikalischen Kabinett und der Sternwarte, sondern die erste auf der Welt! Gauß arbeitete auf vielen Gebieten, veröffentlichte seine Ergebnisse jedoch erst, wenn eine Theorie seiner Meinung nach komplett war. Dies führte dazu, dass er Kollegen gelegentlich darauf hinwies, dieses oder jenes Resultat schon lange bewiesen zu haben, es wegen der Unvollständigkeit der zugrundeliegenden Theorie nur noch nicht präsentiert zu haben. Kritiker werfen ihm vor, dass dies Ausdruck einer übertriebenen Geltungssucht war. Tatsache ist, dass er ein intensiver Tagebuchschreiber war und dort auch viele seiner Resultate notierte. Nach seinem Tod wurden über zwanzig dieser Bände gefunden und so konnte belegt werden, dass er einen Großteil seiner behaupteten Leistungen tatsächlich erbracht hat. Es wird angenommen, dass nicht alle seiner Tagebücher erhalten sind. Die Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen hat die gesammelten Werke von Gauß digitalisiert und ins Internet gestellt.

Namensgeber

Von Gauß entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:
- das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Diagonalisierung und Invertierung von Matrizen und damit zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
- das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz
- das Gaußsche Fehlerintegral
- der Gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz genannt, in der Vektoranalysis
- die Gaußsche Krümmung in der Differentialgeometrie
- der Satz von Gauß-Bonnet in der Differentialgeometrie
- die Gaußsche Osterformel, zur Berechnung des Osterdatums
- das Gaußsche Prinzip des kleinsten Zwanges in der Mechanik
- die Gaußsche Quadraturformeln, Numerisches Integrations-Verfahren (siehe auch Gauß-Quadratur)
- die Gaußsche Normalverteilung, auch Gaußsche Glockenkurve genannt
- die gaußschen Zahlen, eine Erweiterung der ganzen Zahlen in Komplexe
- die Gaußsche Zahlenebene als geometrische Deutung der Menge der komplexen Zahlen
- die Gaußklammer, eine Funktion die Zahlen auf die nächstkleinere ganze Zahl abrundet
- das Gauß-Geschütz, Geschütz, das ein ferromagnetisches Projektil mittels (Elektro-)Magneten beschleunigt, ähnlich Linearmotor
- der Gauß-Prozess, ein stochastischer Prozess
- das Lemma von Gauß, ein Schritt in einem seiner Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes
- Der kleine Gauß Addition einer Reihe Methoden und Ideen, die teilweise auf seinen Arbeiten beruhen sind:
- der Gauß-Jordan-Algorithmus, eine Weiterentwicklung des Gaußschen Eliminationsverfahren
- das Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- das Gauß-Markow-Theorem über die Existenz eines BLUE-Schätzers in linearen Modellen
- das Gauß-Newton-Verfahren, ein Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
- das Gauß-Seidel-Verfahren, ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Zu seinen Ehren benannt sind:
- der Gaußturm auf dem Hohen Hagen bei Dransfeld
- das Gauß (Einheit), die veraltete cgs-Einheit der magnetischen Flussdichte im Gaußschen Einheitensystem
- das Polarschiff Gauß, der ersten deutschen Polarexpedition
- der Berg Gauß in Kaiser-Wilhelm-II.-Land in der Antarktis
- ein Mondkrater, der Krater Gauß
- die Gauß-AG, eine Arbeitsgruppe für Gymnasiasten um sich im Bereich der Naturwissenschaften fortzubilden
- ca. zehn Schulen in Deutschland (hauptsächlich Gymnasien) und weitere weltweit Zu seinen Ehren verleiht
- die Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft seit 1949 jährlich die Carl-Friedrich-Gauß-Medaille an wissenschaftlich besonders verdiente Gelehrte des In- und Auslandes

Werke

- 1799: Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra
- 1801: Disquisitiones Arithmeticae
- 1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Theorie der Bewegung der Himmelskörper)
- 1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas (Allgemeine Untersuchung über gekrümmte Flächen)
- 1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 1
- 1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 2

Stand- und Denkmale

Carl-Friedrich-Gauß-Medaille
- Statue für Braunschweig, 1880, nach Entwurf von Fritz Schaper, ausgeführt von Hermann Heinrich Howaldt
- Auf der „10 DM“-Banknote der dritten Serie der Deutschen Mark ist eine Abbildung Gauß' zusammen mit einer Darstellung der Glockenkurve zu finden.
- Gaußturm auf dem Hohen Hagen bei Dransfeld, von wo aus Gauß seine Messungen betrieb.

Weblinks

-
- [http://www.math.uni-hamburg.de/math/ign/gauss/gaussbio.html Gauss-Gesellschaft e.V. Göttingen – Carl Friedrich Gauß (1777–1855)]
- [http://www.zeiss.de/de/home.nsf/78be232b5368b1b2c12566fe003b2602/32ddaa58fbc7e466c12568c700532721?OpenDocument Gauß und die Geodäsie]
- [http://www.gaussjahr.de Gaussjahr (2005)]
- [http://www.gausschildren.org/ Gauß und Nachkommen (engl.)]
- [http://www.bwg-niedersachsen.de/cgi-bin/moin.cgi/_dcber_20die_20BWG/Die_20Gauss_20Medaille Die Gauß-Medaille]
- [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235957348 Gesammelte Werke, digitalisiert von der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen]
- [http://www.braunschweig.de/veranstaltungen/blickpunkt/gauss-jahr/gauss_denkmal.html Braunschweiger Gauß-Denkmal] Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauss, Carl Friedrich Gauss, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich Gauß, Carl Friedrich ja:カール・フリードリヒ・ガウス ko:카를 프리드리히 가우스 th:คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

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Kansas City Wizards

Le Kansas City Wizards est un club franchisé de football basé à Kansas City.

Palmarès

- Vainqueur de la MLS : 2000

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Venus er planet nr. to i vores solsystem, talt fra Solen. Den omtales ofte som Jordens søsterplanet, idét Jorden og Venus har omtrent samme størrelse og masse.

Udforskning af Venus

Inden rumalderen troede man, at Venus gemte et miljø lignende det på Jorden under sin skydækkede overflade. Men det endte naturlig

Morgenstjerne (himmellegeme)
Venus er planet nr. to i vores solsystem, talt fra Solen. Den omtales ofte som Jordens søsterplanet, idét Jorden og Venus har omtrent samme størrelse og masse.

Udforskning af Venus

Inden rumalderen troede man, at Venus gemte et miljø lignende det på Jorden under sin skydækkede overflade. Men det endte naturlig

Muslimsk mand
Den muslimske mand har det religiøse ansvar for sin familie,som er et "mimiaturebillede" af det muslimske samfund og fungerer derfor som hjemmets imam. Han kan udføre forskellige religiøse ritualer og har en myndighed, som symboliserer Allahs myndighed i verden. I modsætning til den muslimske kvindes hjemlige pligter er den muslimske mands rolle mere udadvendt. Blandt andet har ha

Liste over Konger af Preussen
Liste over konger af Preussen
- Frederik I, (1657-1713), regent 1701-1713
- Frederik Vilhelm I, (1688-1740), regent 1713

Umma
:Note: Umma kan også henvise til en oldtidsby i det sydlige Irak Umma(أمة) er en betegnelse for det den muslimske menighed, som blev grundlagt af Muhammed under hans ophold i Medina i 622. Med dannelsen af umma blev det forgående stamme- og slægtsprincip brudt og afløstes istedet af et fællesskab omkring islam. Det benævnes i en hadith af Muslim hvordan alle medl