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Simplex

Simplex

Ein Simplex bezeichnet
- (mit Mehrzahl Simplizes) in der Geometrie ein n-dimensionales Polytop mit n+1 Ecken, siehe Simplex (Mathematik).
- (immer Singular) einen Begriff in der Kommunikationstechnik, siehe Duplex

Siehe auch

Simplex-Verfahren: Algorithmus zur Lösung mathematischer Optimierungsprobleme

Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
- Geordnete Geometrie
- Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von sogennanten Fernpunkten macht eine affine Geoemetrie zu einer projektiven.
- Euklidische Geometrie:
- Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
- Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
- Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
- Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Quantengeometrie
- Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Geometrische Topologie
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Kombinatorische Geometrie
- Planimetrie, Trigonometrie, ...
- Mathematische Kartografie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie. Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:
- [http://www.geogebra.at GeoGebra] (kostenlos)
- GEONExT (kostenlos)
- [http://www.dynageo.de EUKLID DynaGeo] (shareware)
- Cabri-Geometre
- Geometer's Sketchpad
- [http://cinderella.de/de/download Cinderella] (kostenlos)
- [http://www.z-u-l.de Z.u.L.] (kostenlos) uvm. Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619) Dynamische Geometrie In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur

- Euklid: Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
- Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch

- Geometrie/Geometrische Figuren
- Mathematik für die Schule

Weblinks

- http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
- http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
- http://www.geogebra.at/
- http://cinderella.de
- http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Simplex (Mathematik)

Simplex oder n-Simplex (Mehrzahl: Simplizes) ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt einen n-dimensionalen Körper (eigentlich ein Polytop). Dabei ist ein Simplex das einfachste Polytop – jeder seiner Punkte erweitert es in eine andere Dimension, so dass ein

n

-dimensionales Simplex

n + 1

Ecken besitzt. Man erzeugt ein

n

-Simplex aus einem

(n-1)

-Simplex, indem man einen Punkt in einer weiteren Dimension hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt verbindet. Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder; ein

n

-Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf

n

Dimensionen.

Beispiele

- Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
- Ein 4-Simplex ist ein vierdimensionaler Polyeder mit fünf Ecken, zehn Seiten, zehn Dreiecksflächen und fünf begrenzenden Tetraedern.

Mathematische Beschreibung

Konkret ist ein Simplex die konvexe Hülle einer Menge von n+1 Punkten im n-dimensionalen euklidischen Raum

\R^n

in allgemeiner Lage, d. h. es gibt keine d-dimensionale Ebene, die mehr als d+1 dieser Punkte enthält. Das n-Simplex ist das einfachste n-dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung benannt. Die konvexen Hüllen von je d der n Punkte sind auch jeweils Simplizes, genannt d-Facetten. 0-Facetten heißen Punkte oder Ecken des Simplex und die 1-Facetten heißen Kanten. (n-1)-Facetten werden Seitenflächen genannt, und die n-Facette ist das gesamte n-Simplex selbst. Die Anzahl der d-Facetten des n-Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten

. Ein Modell eines

n

-Simplex im

\R^n

ist durch :

\

gegeben, ein Modell eines regulären

n

-Simplex im

\R^n

durch :

\.

Kategorie:Geometrie

Duplex

Mit Duplex, Halbduplex oder Simplex bezeichnet man in der Kommunikationstechnik die Richtungsabhängigkeit von Kommunikationskanälen.
- Simplex (unidirektional) bedeutet einen Informationstransfer in eine definierte Richtung (also so etwas wie eine Einbahnstraße), z.B. Radio-, SMS- oder Mailingempfang.
- Halbduplex bedeutet, dass Informationen in beide Richtungen fließen können, allerdings nicht gleichzeitig, z.B. Amateurfunk
- Vollduplex lässt die Übertragung der Informationen in beide Richtungen zu gleicher Zeit zu, z.B. Telefonie Beim BOS-Funk findet die Bezeichnung Gegensprechen für Duplex- bzw. Wechselsprechen für Simplex-Betrieb Verwendung. Werden Informationstransfers in beide Richtungen auf dem selben Kommunikationskanal vorgenommen, müssen die Informationen durch Duplex-Methoden zusammengeführt und getrennt werden. Davon gibt es viele, Beispiele:
- In der analogen Telefonie ist die Gabelschaltung dafür zuständig
- In der digitalen Telefonie wird gewöhnlich das Echokompensationsverfahren verwendet
- Time division duplex (TDD) wird z.B. im Mobilfunk angewendet. Hierbei nutzen Sende- und Empfangskanal die gleiche Frequenz sind aber zeitlich voneinander getrennt. Die Informationen werden mit Hilfe eines festgelegten Zeitgebers in kurzen Sequenzen zeitversetzt übertragen. Das Umschalten zwischen Sende- und Empfangsmodus geschieht so schnell, dass dem Nutzer die kurzzeitige Unterbrechung des Kanals nicht auffällt. Der DECT-Standard nutzt z.B. TDD. Ein weiteres Beispiel für TDD ist das in der Nebenstellentechnik verwendete Ping-Pong-Verfahren, das auch als U_p0 bezeichnet wird.
- Frequency division duplex (FDD) bedeutet, die Informationen für jede Richtung mit Hilfe einer anderen Trägerfrequenz zu übertragen. Es ermöglicht, dass ein Gerät gleichzeitig senden und empfangen kann. Es wird unter anderem im Mobilfunk (z.B. bei GSM und FDD-UMTS) eingesetzt. Ein Nachteil des FDD-Verfahrens liegt darin, dass Endgeräte (z.B. Mobiltelefone) nur mit einer Basisstation kommunizieren können, deren Empfangsfrequenz der Sendefrequenz des Endgeräts entspricht (und vice versa), sie aber nicht direkt miteinander kommunizieren können. Kategorie:Nachrichtentechnik

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