:: wikimiki.org ::

Skala

Skala

Eine Skala (von ital. scala = Leiter, Treppe) ist eine regelmäßig (z. B. gleichmäßig oder logarithmisch) eingeteilte Anzeigefläche, die dazu dient, einen Wert anzuzeigen. Auf technischen Instrumenten ist sie in der Regel mit Ziffern versehen und ermöglicht so das genaue Ablesen zum Beispiel von Messergebnissen. Je nach der Art eines Merkmals bzw. je nachdem, welche Vorschriften bei seiner Messung eingehalten werden können, lassen sich vier verschiedene Stufen der Skalierbarkeit unterscheiden.
- Nominalskala: Niedrigstes Skalenniveau. Für verschiedene Objekte oder Erscheinungen wird lediglich eine Entscheidung über Gleichheit oder Ungleichheit der Merkmalsausprägung getroffen (z.B. x <> y <> z). Es handelt sich also nur um qualitative Merkmale (z.B. Blutgruppen oder Geschlecht).Es gilt die Gleichheitsrelation, also ich kann entscheiden, ob zwei Ausprägungen gleich oder ungleich sind. Die Werte können abe nicht der Größe nach sortiert werden.
- Ordinalskala: Für ein ordinalskalierbares Merkmal bestehen Beziehungen der Art "größer", "kleiner", "mehr", "weniger", "stärker", "schwächer" zwischen je zwei unterschiedlichen Merkmalswerten (z.B. x > y > z). Über die Abstände zwischen diesen benachbarten Urteilsklassen ist jedoch nichts ausgesagt. Meist handelt es sich um qualitative Merkmale, wie z.B. der in der Frage gesuchte "höchste erreichbare Bildungsabschluß". Ein weiteres Beispiel sind die Schulnoten: Note 1 ist besser als Note 2, ich habe aber keine Auskunft darüber, ob der Unterschied zwischen Note 1 und 2 gleichgroß ist wie der zwischen Note 3 und Note 4.
- Intervallskala: Die Reihenfolge der Merkmalswerte ist festgelegt, und die Größe des Abstandes zwischen zwei Werten läßt sich sachlich begründen. Als metrische Skala macht sie Aussagen über den Betrag der Unterschiede zwischen zwei Klassen. Die Ungleichheit der Merkmalswerte läßt sich quantifizieren (z.B. Temperatur in °C, Intelligenzquotient), und es ist erlaubt, Differenzen zu bilden (z.B. x = y - z). Der Nullpunkt und der Abstand der Klassen (Größe der Einheit) sind jedoch willkürlich festgelegt.
- Verhältnisskala (auch Rationalskala): Besitzt das höchste Skalenniveau. Bei ihr handelt es sich ebenfalls um eine metrische Skala, im Unterschied zur Intervallskala existiert jedoch ein absoluter Nullpunkt (z.B. Blutdruck, Temperatur in Kelvin, Lebensalter). Einzig bei diesem Skalenniveau sind Multiplikation und Division sinnvoll und erlaubt. Verhältnisse von Merkmalswerten dürfen also gebildet werden (z.B. x = y · z). Ein auf einem bestimmten Niveau skalierbares Merkmal kann selbstverständlich auch auf allen darunter liegenden Skalenniveaus dargestellt werden, jedoch nicht umgekehrt. Außerdem gibt es noch die Unterscheidung zwischen diskreter, kontinuierlicher und künstlich diskreter Skala:
- Auf einer diskreten Skala besteht zwischen den einzelnen Werten kein kontinuierlicher Übergang, zum Beispiel bei der Angabe der Kinderzahl: Jemand kann ein Kind oder zwei Kinder haben, aber nicht anderthalb.
- Auf einer kontinuierlichen Skala besteht hingegen ein solcher fließender Übergang, beispielsweise bei der Körpergröße. Jemand kann 1,76 m oder 1,77 m groß sein, die Größe kann aber auch irgendwo dazwischen liegen und im Prinzip unendlich viele Stellen hinter dem Komma aufweisen.
- Hier kommt die künstlich diskrete Skala ins Spiel: Ein solches kontinuierliches Merkmal wird dann auf einer künstlich diskreten Skala angeben. Zum Beispiel wird jemand mit der Körpergröße 1,7636353746 m als 1,76 m groß angegeben, und jemand der Größe 1,769987 m als 1,77 m groß. ja:天秤 Kategorie:Statistik

Logarithmus

Unter dem Logarithmus (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) versteht man in der Mathematik das Ergebnis der Auflösung der Gleichung :

y = a^x

nach der Unbekannten x, geschrieben als :

x = \log_a(y)

. Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie kann zum Auffinden der Werte zur Auflösung obiger Gleichung herangezogen werden. Für jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl)

a>0,\,a\neq 1

ergibt sich dabei eine andere Logarithmusfunktion

\log_a

. Den Funktionswert

\log_a(y)

nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus. Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Charakterisierung des Logarithmus als Umkehrfunktion der Potenzierung

Die Funktionen a^x und log_a(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt: :

a^ = x \mbox  _a(a^x) = x

Charakterisierung des Logarithmus als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen stetigen Lösungen der Funktionalgleichung :

F(x y) = F(x) + F(y)

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung wäre die Nullfunktion F(x) = 0.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung :

^k \leq x < ^

ist gleichwertig mit :

k \leq \log_(x) < k+1

. Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl

k

, so besitzt die reelle Zahl

x

in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade

k+1

Stellen vor dem Komma (für

k\geq 0

) bzw. beginnt bei der

|k|

-ten Stelle nach dem Komma (für

k<0

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung: :

\log _a (x\cdot y) = \log _a (x) + \log _a (y)

Oder allgemeiner: :

\log _a \left( x_1 \cdot x_2 \cdot\ldots\cdot x_n \right) =
\log _a \left(x_1 \right) +\log _a \left(x_2 \right) + \cdots + \log _a \left( x_n \right)

Für Potenzen mit reellem Exponent

r

gilt die Regel: :

\log _a \left( x^r \right) = r \cdot \log _a (x)

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe weiter unten)

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben: :

\log _a \bigg(\frac \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y)

Logarithmen von Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel: :

\log_a \left( \sqrt[n] \right) = \log_a \left( x^\frac \right) = \frac

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log₁₀(3
- 10) = log₁₀(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt: : Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y). Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion

e^x

sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel: :

\frac e^x  = e^x

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren. Der natürliche Logarithmus f(x)=ln(x) ist die Stammfunktion der Potenzfunktion f'(x)=x^(-1) bzw. 1/x. Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „lg“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs. Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus. Abkürzungen
- log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
- ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
- lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
- lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung :

\ln(1+x) = \sum_^\infty (-1)^ \frac 
= x-\frac + \frac -\frac \pm \cdots ,
\qquad -1 < x \le 1

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell. Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht: :

\ln(x) = 2 \cdot \sum_^ 
\frac \cdot \left( \frac\right)^
+ \; R_(x) , \qquad x > 0

mit der Restgliedabschätzung :

|R_(x)| \le \frac \left( \frac\right)^.

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man :

\ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^ x).\quad

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt

1 / \sqrt \le 2^x \le \sqrt

und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für

\left( 2^ \right) \cdot x

berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2. Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem: :

\ln(x) = \lim_ n \, \left(\!\sqrt[n] -1 \right)

sowie :

\ln(x) = \lim_ \frac.

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert. Begründungen:
- x = log_a(0) müsste dann 0 = a^x bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
- (als Beispiel die negative Zahl -1) x = log_a(-1) müsste dann -1 = a^x bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist. In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Kurvendiskussion des Logarithmus

- Definitionsmenge: s. oben (

D = ]0,\infty[

)
- Wertemenge: alle reellen Zahlen
- Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: bzw. (1|0)
- Gebräuchliche Limites / Verhalten im Unendlichen:
-

\lim_ \log_b(x) = -\infty

(wenn b > 1) bzw. (+)

\infty

(wenn b < 1)
-

\lim_ \log_b(x) = \infty

(wenn b > 1) bzw.

-\infty

(wenn b < 1)
- Erste Ableitung:

\log_b(x)' = \frac

- Extrempunkte: keine
- Wendepunkte: keine

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen: :

\log_b(r) = \frac

oder in der suggestiven „Kürzungsform“: :

\log_a(b)\cdot \log_b(r) = \log_a(r).

Denn: :

a^ = (a^)^ = b^ = r = a^.

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Beispiel: :

\log_(8) = \frac \approx \frac \approx 090

Alternative mit Hilfe des ln: :

\log_(8) = \frac \approx 090

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort). Es ergibt sich :

\ln'(x) = \frac

Für allgemeine Logarithmen gilt: :

(\log_b)' = \frac

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration: :

\int = \int = x\cdot\ln-\int = x\ln-x

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden (Beispiel): :

\int_0^1 = [x\ln-x]_^ = -1

, da :

\lim_ x\ln = \lim_ \frac = \lim_ \frac = \lim_ (-x) = 0.

Komplexer Logarithmus

Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Regel von L'Hospital Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl

w

, die die Gleichung :

e^ = z

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von

z

. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt: :

e^ = 1, \  k \in \mathbb

Hat man also einen Logarithmus

w_

von

z

gefunden, so ist auch :

w = w_ + 2k\pi i

ein Logarithmus von

z

, da gilt: :

e^ = e^ = e^ \cdot e^ = e^ \cdot 1 = e^ = z

Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man

w

auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen :

\left\

verwenden. Ein

w

aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt

w = \ln

. Stellt man

z

in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion: :

w = \ln + i\left(\arg + 2k\pi\right), \ k \in \mathbb

Für

k = 0

hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: :

\ln = \ln + i\arg

ln(z) ist nicht stetig auf

\mathbb \setminus \

. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet :

\mathbb \setminus \

stetig und sogar holomorph. Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen: :

\ln = \ln + i\arg = \ln + i\pi, \ x \in \mathbb^

Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:
-

\ln + \ln \neq \ln

::Beispiel:

\ln + \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln

y \cdot \ln \neq \ln

::Beispiel:

2\pi i \cdot \ln = 2\pi i \neq 0 = \ln = \ln

Anwendungen des Logarithmus

holomorph Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie
- Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
- bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt das wan etwas die Wahrscheinlichkeit von Auftreten p hat, das Wissen über das tatsäglichen Auftreten davon eine Informationsmenge

\log_2

gibt
- pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
- dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
- In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
- Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
- Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
- Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
- Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden.

Literatur

Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1

Weblinks

: [http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm Logarithmusrechner mit Quelltext] : [http://www.madeasy.de/2/log.htm Logarithmen] Kategorie:Analytische Funktion ja:対数

Wert

Unter dem Wert einer Sache, einer Dienstleistung oder einer Information versteht man die Bedeutung oder Wichtigkeit oder den Nutzen, welche(r) der Sache, Dienstleistung oder der Information für einen Betrachter oder Besitzer anhaftet. Meistens wird der Begriff im Sinne einer menschlichen Bewertung gebraucht, und ist nicht so allgemein gehalten, wie der Begriff Bedeutung.

Objektiv - Subjektiv

Zu unterscheiden ist vor allem zwischen einem subjektivem und objektivem Wert. Subjektive Werte sind nicht messbar, sie unterliegen dem menschlichen Gefühl, Geschmack, der menschlichen Psychologie. Welchen Wert man etwas zumisst, kann sich so sehr unterscheiden, ein fremdes Familienfoto mag einem Aussenstehenden nahezu wertlos erscheinen, für Angehörige hat es aber einen hohen Wert.

Wert und Wissenschaft

Wert und Messwert in der Naturwissenschaft

Objektive Messwerte müssen messbar sein (Naturwissenschaft): Physikalische Phänomene wie Höhe eines Berges, die Länge einer Strecke, die Helligkeit einer Lampe, die Temperatur (siehe Zahlenwert und Maßstab im Artikel Physikalische Größe). Komplexe Phänomene wie etwa Kreativität, Intelligenz oder Schönheit sind schwer messbar. Auch die Kunst entzieht sich der Messbarkeit. Zur einheitlichen Messung dienen wohldefinierte und durch Konsens anerkannte Maßeinheiten: Gleichbleibende Vergleichswerte einer bestimmten Größe. Wie diese selber festgelegt sind, ist allerdings rein willkührlich, so bezog man sich etwa meist wie beim Längenmass Elle auf menschliche Proportionen oder dem Menschen anschauliche Grössen. Mit den so gemessenen Werten kann in Mathematik, Physik oder Chemie gerechnet werden. Es können so auch vereinfachte Modelle erstellt werden (Kybernetik), die reale Phänomene simulieren können.

Werte in der Informatik

Computer verfügen über einen Speicher, in dem Daten gespeichert werden. Der Speicher ist in einzelne Teile unterteilt, die Daten in einem dieser Segmente heißen Wert dieses Speicherabschnittes. Zum Beispiel kann ein Speicherabschnitt von 1 Byte Größe etwa einen Wert zwischen 0 und 255 in ganzen Zahlen speichern.
In der Programmierung werden zur Vereinfachung der Programmerstellung bestimmte Speicherabschnitte mit Namen belegt, denen wie den Speicherwerten bestimmte Daten zugewiesen werden können. Diese Daten heißen Wert der Variable, z.B. kann eine Variable vom Typ "Integer" (engl. für Ganzzahl) mit einem ganzzahligen Wert zwischen 0 und 65536 belegt werden.

Der Wert in der Ökonomie

Wert als Äquivalenz

Verschiedene Wertbegriffe gibt es in der Ökonomie (Siehe Liste unten). Auf diesen Wertbegriff bezieht sich, anders als etwa beim naturwissenschaftlichen Längenmass, das Adjektiv wertvoll. Den Wert seines Anlagevermögens und Umlaufvermögens ermittelt ein Unternehmen mittels Inventur: Durch Messen, Zählen und Wiegen. Gold oder Platin sind Beispiele von eher raren Materialien, denen ein hoher Wert zuerkannt wird. In der Ökonomie drückt sich der Wert durch Beträge von Geld aus. Der Wert von Dingen oder Arbeit kann dabei aber immer nur relativ zu anderen festgelegt werden (Tausch, z. B. eine Jeans = ca. 100 Tafeln Schokolade = ca. 4 Stunden Arbeit o.ä.), welchen absoluten, tatsächlichen Wert ein Ding oder sonst ein Phänomen aus sich selbst heraus, unabhängig von anderen hat, ist somit unmöglich auszudrücken oder zu bemessen (Zirkelschluss).

Wert und Preis

Im alltäglichen Sprachgebrauch wird unter dem Wert auch der Geldbetrag verstanden, den man beim Verkauf einer Sache erzielen kann. (Wert eines Autos, einer Briefmarke, eines PC usw.). Nicht zu verwechseln ist der Wert mit dem Preis. Wert und Preis können sehr verschieden sein. siehe:Markt, Angebot und Nachfrage, klassisches Wertparadox

Wert und Werte

In der neueren, wirtschaftsphilosophisch fundierten Managementdiskussion wird zunehmend der Zusammenhang zwischen materieller Wert-Schöpfung und immaterieller Werte-Entwicklung in einer wissensbasierten Ökonomie (Wissensgesellschaft) thematisiert: Wie können Wert und Werte in einer „Wertebalancierten Unternehmensführung“ (Bernhard von Mutius) in eine neue, ausgewogene Beziehung gebracht werden? Wie lässt sich das Verhältnis von Sach- und Finanzkapital auf der einen Seite sowie dem intellektuellen und Sozial-Kapital auf der anderen Seite angemessen bestimmen und bewerten?

Marxismus

Bei Karl Marx (Das Kapital) spielt der Wertbegriff und das Zustandekommen von ökonomischem Wert eine zentrale Rolle. Marx unterscheidet zwischen Tauschwert und Gebrauchswert (siehe auch Wertkritik). Der Tauschwert der Waren (Ware X tauscht sich in soundsoviel Ware Y) wird dabei durch ihren Wert im Sinne der Arbeitswertlehre bestimmt, der Wert erscheint als Tauschwert. Der Tauschwert einer Ware in Geld ausgedrückt (Ware X tauscht sich in soundsoviel Geldmünzen) ist der Preis. Im Produktionsprozess entsteht ein Neuwert m+v (Wertschöpfung). Zieht man davon das variable Kapital v, der Teil des Kapitals, der aus Sicht der Kapitalisten für den Kauf von Arbeitskraft investiert wird, der also bei den Lohnarbeitern als Lohn als Einkommen erscheint, verbleibt der Mehrwert m, das Ziel der kapitalistischen Produktion. Die Behauptung, dass der Wert einer Ware durch die an ihr verrichtete menschliche Arbeit entsteht, wird oft Marx zugeschrieben. Dieser hatte diese Definition der Wert-Entstehung jedoch von David Ricardo übernommen.

Werte und Ethik

siehe hierzu auch: Werturteilsstreit, Wertvorstellung Die Mehrzahl des Wortes Wert, nämlich die Werte, hat im allgemeinen Sprachgebrauch ebenfalls eine spezielle Bedeutung: Man versteht darunter die Grundsätze, nach denen eine Gesellschaft oder eine Gruppe von Menschen ihr Zusammenleben richtet oder richten will (Ethik). Der Begriff drückt auch hier aus, dass die entsprechenden Vorstellungen und Ideen vom Zusammenleben als richtig, und daher wertvoll angesehen werden. In der Philosophie gibt es besondere Wert-Fragen, die gleichzeitig von Bedeutung sind in der Psychologie und Soziologie

Naturwissenschaftliche Wertbegriffe

- K-Wert = Wärmedämmwert
- CW-Wert = Strömungswiderstand
- pH-Wert = Säuregrad
- p-Wert = Überschreitungswahrscheinlichkeit bzw. statistische Signifikanz]
- Heizwert
- Grenzwert
- Funktionswert
- Mittelwert
- Zahlenwert (zu ergänzen)

Soziologische Wertbegriffe

- Brauch
- Sitte
- ethische Imperative (zu ergänzen)

Ökonomische Wertbegriffe

- Geldwert
- Tauschwert
- Gebrauchswert
- Produktionswert
- Mehrwert
- Wertverlust
- Kaufwert
- Einheitswert
- Verkehrswert
- Arbeitswert
- Barwert
- Zeitwert
- Informationswert
- Nutzwert (zu ergänzen) google.de

Philosophische Wertbegriffe

- Werte
- Axiologie
- Ethik
- Ethos
- Moral
- Tradition
- Menschenrechte
- Verfassung
- Schönheit
- Idyll
- Muße (zu ergänzen)

Weblinks

- http://www.kulturkritik.net/Oekonomie/Politoekon/index.html
- aus Kulturkritik: Zur Kritik der politischen Ökonomie: Was ist Wert, Wertsubstanz, Wertgröße und Wertmasse?
- http://www.phillex.de/wert.htm
- Der Wert aus philosophischer Sicht
- http://www.iaf.ac.at - Institut für Axiologische Forschungen
- http://www.evaluieren.de/evaluat.ion/definiti.htm
- http://www.saw-leipzig.de/sawakade/10internet/sprachwi/kreiser1.html
- http://www.wertekommission.de
- Gemeinnütziger Verein 25-45jähriger Fach- und Führungskräfte, der zum Thema Werte arbeitet
- http://www.sign-lang.uni-hamburg.de/Projekte/plex/PLex/Lemmata/W-Lemma/Wert.htm
- Was sind Werte in einer Gesellschaft ?
- http://studie.respectresearchgroup.org
- Studie zu Werten in Organisationen !Wert Kategorie:Motivation Kategorie:Marxismus simple:Value

Ziffer

Eine Ziffer (von altfranzösisch cifre; mlat. cifra; arab. sifr; aind. safira =leer sein) ist ein Zahlzeichen. Der Begriff bezeichnet ursprünglich die Null. Eine Ziffer ist ein schriftliches Zeichen, das für die Darstellung von Zahlen verwendet wird. Eine Zahl wird heute durch Kombination einer oder mehrerer Ziffern im Rahmen eines Stellenwertsystems dargestellt. In verschiedenen Kulturen gab und gibt es verschiedene Zahlschriften, heute sind die arabischen Ziffern (in regional verschiedenen Abwandlungen) vorherrschend. Die Anzahl verschiedener Ziffern wird durch das verwendete Zahlensystem festgelegt:
- Im gebräuchlichsten Dezimalsystem gibt es zehn Ziffern, nämlich die Ziffern 0 bis 9, aus denen jede Zahl zusammengesetzt ist.
- In der elektronischen Datenverarbeitung benutzt man, vorwiegend intern, das Dualsystem mit den beiden Ziffern 0 und 1. Es wird ein binärer (=zweiwertiger) Zustand verwendet, jede einzelne Stelle einer Zahl stellt ein so genanntes Bit dar.
- Das Hexadezimalsystem nutzt zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 auch noch die Buchstaben A bis F (oft auch klein geschrieben). Dieses alphanumerische Mischsystem mit seinen sechzehn Ziffern ist, seit Mitte der 1950er Jahre, die Standardrepräsentation für hexadezimale Zahlen. Da dieses Ziffernsystem aber in Programmcodes nicht unzweideutig ist („af123“ kann die Zahl af123 oder eine Variable mit Namen af123 beschreiben), benötigt es immer klärende Prä- oder Suffixe (z.B. Präfix 0x). Seit einigen Jahren existiert ein Vorschlag, hexadezimale Zahlen allgemein mit neuen, unzweideutigen, sogenannten omni-litteralen (d.h. nur Buchstaben-) Ziffern darzustellen. (c.f. Hexadezimalzeit). Das Hexadezimalsystem wird in der Informatik gerne verwendet, weil es je Ziffer exakt 4 Bits abbildet und somit mit dem Dualsystem verwandt ist.
- Mit BCD-Zahlen hat man ein System der Computertechnik, das bei 16-wertigen Gruppen nur 10 Werte tatsächlich nutzt. Es handelt sich somit um ein Dezimalsystem, das aber an das Binärsystem durch Nutzung der vom hexadezimalen her bekannten Stellen-Gliederung angepasst wurde.
- In der Computertechnik findet sich als Exot noch das Oktalsystem, welches auf der Basis der Ziffern 0 bis 7 gebildet wird.
- Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbeziehen wollten. Die Begriffe Ziffer und Zahl werden in der deutschen Sprache fälschlicherweise häufig synonym verwendet. Beispielsweise im Begriff Dunkelziffer, die eigentlich eine Zahl ist, also mathematisch korrekt eigentlich Dunkelzahl heißen müsste. Die richtige Verwendung: Die Zahl 23 besteht aus den Ziffern 2 und 3 und nicht aus den Zahlen 2 und 3. Dies ist vergleichbar zur Bildungsregel der Schrift: Wörter bestehen aus Buchstaben, die auch Lettern genannt werden. In Zahlensystemen, die keine Stellenwertsysteme sind – etwa bei den Römischen Zahlen – spricht man im allgemeinen nicht von "Ziffern". ---- Daneben meint man mit Ziffer einen mit einer Zahl gekennzeichneten Unterabschnitt in einem Gesetzes- und Vertragstext. Kategorie:Zahlen ja:数字 ko:숫자

Nominalskala

Die Nominalskala ist eine der vier wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik

Beschreibung

Bei nominalskalierten Merkmalen wird der Untersuchungseinheit für das entsprechende Merkmal (genau) ein Name bzw. (genau) eine Kategorie zugeordnet. Für die Namen oder Kategorien werden dabei oft auch Zahlen verwendet.

Beispiele

Beispiele für nominalskalierte Merkmale sind: Eine Farbe könnte beispielsweise auch durch eine exakte Angabe der Rot-, Grün- und Blauanteile beschrieben werden. Dann würde sie durch (drei) verhältnisskalierte Variablen dargestellt. Gibt man sie aber nur, wie in obiger Tabelle, in einer sehr vereinfachten Form an (rot, gelb, grün), so handelt es sich um ein nominalskaliertes Merkmal.

Mögliche Operationen

Auch wenn einzelne Kategorien durch Zahlen kodiert werden, sind mathematische Operationen mit diesen Zahlen nicht sinnvoll, da sich keinen numerischen Wert sondern eine Kategorie (z.B. Frühjahr) darstellen. So ist beispielsweise eine Division "Frühjahr / Winter" wenig sinnvoll. Ebenso sind Größenvergleiche mittels nominalskalierter Merkmale nicht sinnvoll. Möglich ist das Bestimmen von Auftrittshäufigkeiten der Kategorien in einer Menge von Untersuchungsobjekten.

Erlaubte Transformationen

Möglich sind sämtliche Transformationen, in der eine Kategorie ein-eindeutig einer anderen Kategorie zugeordnet ist.

mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Nominalskala

S

eine Menge, für die folgendes gilt: # Es existiert eine Äquivalenzrelation

E \subseteq S \times S

, nämlich die Identitätsrelation auf

S

E = id_S = \left\

. Jedes Element

m \in S

heißt Ausprägung von

S

. Kategorie:Statistik

Intervallskala

Die Intervallskala ist eine der vier wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik

Beschreibung

Bei intervallskalierten Merkmalen lassen sich zusätzlich zu den Eigenschaften der Ordinalskala die Abstände zwischen den verschiedenen Merkmalsausprägungen exakt bestimmen. Allerdings existiert kein natürlicher Nullpunkt für die Skala. Willkürlich definierte Nullpunkte, wie z.B. bei der Celsius-Temperaturskala zählen hier nicht als natürlicher Nullpunkt, während der Nullpunkt der Kelvin-Temperaturskala, der dem absolutem Nullpunkt entspricht, ein natürlicher Nullpunkt ist.

Beispiele

Beispiele für intervallskalierte Merkmale sind:
- Temperatur auf der Celsius-Skala,
- Jahreszahlen

Mögliche Operationen

Zusätzlich zu Größenvergleichen sind Differenzen und Summen aus intervallskalierten Merkmalen sinnvoll, da hier die Abstände zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen exakt definiert sind. Damit lassen sich hier auch Durchschnittswerte berechnen. Aufgrund des fehlenden Nullpunkts stellt die Multiplikation keine sinnvolle Operation für intervallskalierte Merkmale dar. Ein kleines Beispiel möge das verdeutlichen: War es z.B. gestern 10 Grad Celsius und Heute ist es zwanzig Grad, dann kann man zwar behaupten: "Es ist zehn Grad Celsius wärmer", aber nicht: "Es ist doppelt so warm wie gestern". Dies wird besonders deutlich wenn man Celsius in Kelvin oder Fahrenheit transformiert.

Erlaubte Transformationen

Zulässig sind lineare Tranformationen der Art

y=\alpha x + \beta

mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Intervallskala

S

eine Menge, für die folgendes gilt: # Es existiert eine Äquivalenzrelation

E \subseteq S \times S

, nämlich die Identitätsrelation auf

S

E = id_S = \left\

(Nominalskalen-Eigenschaft). # Es existiert eine lineare Ordnungsrelation

O \subseteq S \times S

(Ordinalskalen-Eigenschaft). # Intervallskalen-Eigenschaft: ## Es existiert eine Funktion

\Box -\Box :S \times S \longrightarrow D

(Man kann Differenzen bilden). ## Es existiert eine Funktion

\Box +\Box :S \times D \longrightarrow S

(Man kann die Differenzen wieder auf Ausprägungen von

S

addieren), für die außerdem gilt: ###

\forall\left(m \in S\right):\left( s+0 = s \right)

(Das Addieren von Null bringt keine Änderung) ###

\forall\left(m_0 \in S\right):\forall\left(m_1 \in S\right):\left( m_0+\left(m_1-m_0\right) = m_1 \right)

(Differenzbildung ist konsistent mit Aufaddierung) ###

\forall\left(d_0 \in D\right):\forall\left(d_1 \in D\right):\forall\left(m \in S\right):\left( \left(m+d_0\right)+d_1 = m+\left(d_0+d_1\right) \right)

(eine Art einseitiges Assoziativgesetz) ## Die Menge der Differenzen

D

ist den reellen Zahlen in folgender Hinsicht ähnlich: ###

\left( D, \Box + \Box \right)

ist ein Untermonoid von

\left(\mathbb,\Box + \Box\right)

(reelle Zahlen mit der Addition). Jedes Element

m \in S

heißt Ausprägung von

S

. Jede Intervallskala ist eine Ordinalskala. Kategorie:Statistik

Verhältnisskala

Die Verhältnisskala ist eine der vier wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik

Beschreibung

Auf einer Verhältnisskala werden den Objekten eines empirischen Relativs Zahlen derart zugeordnet, daß die Zahlen, die die Merkmalsausprägungen der Objekte repräsentieren, im selben Verhältnis zueinander stehen wie die Merkmalsausprägungen der Objekte. Verhältnisskalierte Merkmale besitzen neben der Eigenschaften von intervallskalierten Merkmalen einen natürlichen Nullpunkt.

Beispiele

Beispiele für verhältnisskalierte Merkmale sind: Gewichts- und Längenmessung

Mögliche Operationen

Mit Merkmalen, die auf einer Verhältnisskala messen, lassen sich folgende Operationen durchführen:
- Vergleiche auf Identität
- Größenvergleiche
- Additionen, Subtraktionen
- Multiplikationen, Divisionen

Erlaubte Transformationen

Zulässig sind multiplikative Tranformationen der Art

y=\alpha x

. Kategorie:Statistik

Kategorie:Statistik

In dieser Kategorie finden sich Artikel die sich mit speziellen Begriffen aus der Statistik befassen. Allgemeinere Begriffe, die in der Statistik verwendet werden finden sich in der übergeordneten :Kategorie:Stochastik. Kategorie:Stochastik ja:Category:統計学 th:Category:สถิติศาสตร์

Ballymore

Ballymore Stadium is the name of a Rugby Union stadium which is also the home of Queensland Rugby. It is situated in Herston, a suburb of Brisbane, and was the home ground for the Queensland Reds and the Brisbane Strikers Soccer Club. The Queensland Reds have since moved to Suncorp Stadium and the Brisbane Strikers collapsed. The Strikers were replaced by the Queensland Roar FC in 2005 for the newly formed A-League. Ballymore seats 24,000.

External links

[http://www.austadiums.com/stadiums/stadiums.php?id=10 Page at austadiums.com]
- Category:Rugby union stadiums in Australia

poker dieta online spielautomaten programy anemia

:: RELATED NEWS ::

14 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1287 - Als gevolg van een zware storm treden overstromingen op rond de Zuiderzee en in East Anglia. Vijftigduizend mensen komen om het leven.
- 1856 - Het Casino in Monte Carlo wordt geopend.
- Kunst
-

13 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1795 - Een meteoriet treft Wold Newton in het Engelse Yorkshire. Later zal de sciencefiction schrijver Philip Jose Farmer deze gebeurtenis gebruiken als basis voor zijn

12 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1531 - Verschijning in Tepeyac bij Mexico-stad van Onze lieve vrouw van Guadalupe.
- 1985 - Een DC-8 van Arrow Air stort neer na het opstijgen in Gander op Newfoundland, waarbij 256 personen omkomen, onder wie 248 leden van

11 december

Gebeurtenissen

- Media
- 1796 - De kloosterlingen van Abdij van Villers werden door Franse troepen verdreven uit hun abdij omdat de abt de zijde koos van keizer Leopold II van het Heilige Roomse Rijk.
- 1934 - De stichting Algemeen Nederlands Persbureau wordt opgericht.

10 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 2003 - Mies Bouhuys ontvangt de Clara Meijer-Wichmann Penning. Deze penning wordt jaarlijks uitgereikt aan een of meerdere personen die zich al jarenlang inzetten voor de mensenrechten en daarvoor erkenning verdienen.
- Oorlog
- 1898 - In Par

9 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1961 - in Israël wordt Adolf Eichmann schuldig bevonden aan oorlogsmisdaden tegen joden in de tweede wereldoorlog.
- 1992 - Het Marine Corps van de Verenigde Staten landt in Read More...

8 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1537- In Honduras wordt de stad Santa María de la Nueva Valladolid (ofwel Comayagua) gesticht.
- 1965 - Bij wet wordt prins Claus genaturaliseerd tot Nederlander
- 2003 - Rusland draagt het archief van de joodse

7 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1982 - In de Verenigde Staten wordt bij het ten uitvoer brengen van de doodstraf voor het eerst een dodelijke injectie toegepast.
- 1988 - Spitak in Armenië wordt getroffen door een aardbeving van 6.8 op de Schaal van Richter, met als res

6 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1534 - Spanjaarden stichten de stad Quito in Ecuador.
- 1883 - Het Londense warenhuis Harrods brandt af.
- 1917 - Bij een explosie in

5 december

Gebeurtenissen

- Algemeen
- 1945 - Een squadron vliegtuigen van de Amerikaanse marine verdwijnt in de Bermuda driehoek.
- Kunst
- 1830 - De Symphonie fantastique van Hector Berlioz wordt voor het eerst uitgevoerd in het conservato