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Steifigkeit

Steifigkeit

Die Steifigkeit ist eine elastizitätsgröße, die den Zusammenhang zwischen der Kraft, die auf einen Festkörper einwirkt und dessen Verformung beschreibt. Sie ist vom E-Modul, sowie der Bauteilgeometrie abhängig. Bei Federn kann die Steifigkeit beispielsweise durch das Verhältnis der notwendigen Kraft zu einer bestimmten Auslenkung beschrieben werden (Federkonstante). In der Werkstoffkunde wird die Steifigkeit durch den E-Modul ausgedrückt. Dabei entspricht er E-Modul der Spannung, bei der sich die Ausgangslänge eines Zugstab verdoppelt. Man kann die Steifigkeit im Sinne der Werkstoffkunde als ein Maß für den Widerstand eines Materials gegen elastische Verformung verstehen. Im Sprachgebrauch der Technischen Mechanik finden sich häufig die Begriffe Biegesteifigkeit (das Produkt E
- I, E-Modul und FTM zweiter Ordnung) und Dehnsteifigkeit (das Produkt E
- A, E-Modul und Querschnittsfläche) wieder. Ferner existiert noch der Begriff Torsionssteifigkeit (das Produkt G
- I, Schubmodul und polares FTM). Hierbei spielt also nicht nur der Werkstoffkennwert E-Modul eine Rolle, sondern auch ganz entscheidend die Geometrie eines Bauteils oder einer Baugruppe. Es gilt folgender Zusammenhang:

E = \frac

dabei ist

E

(in

\frac)

der Elastizitätsmodul,

\sigma

die Spannung (in

\frac

) und

\epsilon

die Dehnung. Steifigkeit ist nicht mit Festigkeit zu verwechseln, welche ein Maß für die ertragbaren Belastungen ist und vom Spannungszustand in der höchstbeanspruchten Zone ist. Siehe auch: Elastizitätsmodul Kategorie:Werkstoffeigenschaft Kategorie:Mechanik

Kraft

Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Fachbegriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit, Körper zu beschleunigen oder zu verformen. Als physikalische Größe wird Kraft durch das Formelzeichen F (von frz./engl. force) bezeichnet. Ihre Einheit ist das Newton (N), zu Ehren von Sir Isaac Newton, der mit seinen Bewegungsgesetzen den modernen physikalischen Kraftbegriff schuf.

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Kraft ist altgermanischen Ursprungs; im Englischen hat craft infolge der Konkurrenz durch Altfrz. force eine eingeengte Bedeutungsentwicklung genommen. In der physikalischen Fachsprache ist Kraft spätestens im 17ten Jahrhundert mit Lat. vis, Frz. force gleichgesetzt worden (Kant: Von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte, 1747). Jenseits der Physik hat force im Engl. und Frz. breitere Bedeutungen als im Dt. und kann auch als Macht oder Stärke übersetzt werden (la force militaire d'un pays; la force du vent). Das griechische Wort für Kraft, δύναμις, lag der CGS-Einheit dyn zugrunde und lebt fort in Dynamik, was als physikalischer Fachbegriff die Lehre von der Bewegung unter dem Einfluss von Kräften bezeichnet. Im Deutschen bezeichnet Kraft eine körperliche oder geistige Voraussetzung zu bestimmten Handlungen (Muskelkraft; Krafttraining). In der zweiten Bedeutung – der Ausführung der Tätigkeit selbst (eine Kraft ausüben; unter der Kraft zusammenbrechen) kommt die Alltagsvorstellung von Kraft dem physikalischen Fachbegriff nahe. Der umgangssprachliche Kraftbegriff umfasst jedoch auch die Arbeitskraft oder die Schreibkraft. Der Begriff wurde früh auch auf Nichtlebendiges übertragen, so in Heilkraft (getrockneter Kräuter oder eines bestimmten Wassers). In der Rechtssprache bedeutet Kraft seit dem Mhd. Gültigkeit, heute nur noch in bestimmten Formeln: in/außer Kraft bleiben/treten/setzen, vgl. rechtskräftig. Aus in/durch Kraft entstand die Präposition kraft (kraft Amtes). Als physikalischer Fachbegriff wurde Kraft von Archimedes eingeführt und von Galilei aufgegriffen. Isaac Newton gelang es in seinen Bewegungsgesetzen (veröffentlicht 1687) den Begriff Kraft in bis heute gültiger Weise zu präzisieren. Bis weit ins 19te Jahrhundert benutzten Physiker das Wort Kraft jedoch auch in Bedeutungen, die nicht durch die newtonschen Gesetze gedeckt waren, und zwar insbesondere auch in der Bedeutung von Energie, denn der moderne Energiebegriff wurde erst mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (Julius Robert von Mayer, 1842) geschaffen. Während die Kraft wie auch die Energie in der Physik von Newton über ihre Ursachen und Wirkungen differenziert betrachtet wird (Reibungskraft, Fliehkraft, Schwerkraft, kinetische Energie, potentielle Energie, Wärmeenergie usw.), unterscheidet die moderne Physik noch vier Grundkräfte und nennt sie auch Wechselwirkungen:
- Elektromagnetische Wechselwirkung
- Schwache Wechselwirkung
- Starke Wechselwirkung
- Gravitation Die Erscheinungen, die durch den Magnetismus und "magnetische Kräfte" beschrieben werden, sind lediglich ein relativistischer Nebeneffekt elektrischer Ströme. Alle newtonschen Kräfte lassen sich auf diese vier zurückführen. Eine wahrscheinliche Hypothese geht davon aus, dass auch sie in Wirklichkeit nur verschiedene Ausprägungen der selben Sache sind. Allerdings ist es bisher erst gelungen, die Elektromagnetische und die Schwache Wechselwirkung einheitlich zu erklären ("Elektroschwache Wechselwirkung").

Wirkung und vektorieller Charakter von Kraft

Kräfte erkennt man an ihren Wirkungen:
- Eine Kraft kann die Geschwindigkeit oder Bewegungsrichtung eines Körpers ändern.
- Eine Kraft kann einen Körper verformen (Deformation).
Davon gibt es zwei Arten: #Elastizität: Fähigkeit von Stoffen, eine Formänderung rückgängig zu machen, sobald die einwirkende Kraft wegfällt. #Plastizität (Duktilität): Vermögen eines Werkstoffes, seine Gestallt beizubehalten, die durch eine Krafteinwirkung entstanden ist. Um eine Kraft zu beschreiben, genügt es nicht, Zahlenwert und Einheit anzugeben; wichtig ist auch die Richtung, in die die Kraft wirkt:
- Wenn die Kraft in die gleiche Richtung zeigt wie die Geschwindigkeit des Körpers, auf den sie wirkt, beschleunigt sie ihn (Beschleunigung). Wenn die Kraft der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist, bremst sie ihn ab. Bei jedem anderen Winkel zwischen Kraft und Geschwindigkeit bewirkt die Kraft auch eine Richtungsänderung (Querbeschleunigung).
- Die Verformung eines Körpers kommt genau genommen nicht durch eine einzelne Kraft zustande, sondern dadurch, dass an verschiedenen Angriffspunkten verschiedene Kräfte wirken (Spannung). Je nachdem, wie diese Kräfte gerichtet sind, wird der Körper gedehnt, komprimiert oder verzerrt. Eine physikalische Größe, die wie die Kraft erst durch die Angabe von Zahlenwert, Einheit und Richtung festgelegt ist, nennt man eine vektorielle Größe. Solche Größen kann man als Pfeile darstellen. In einem kartesischen Koordinatensystem hat ein Kraftvektor drei Komponenten: :F = (F_x; F_y; F_z) Hier und im Folgenden kennzeichnen wir Vektoren durch Fettdruck. Um beispielsweise die Gewichtskraft F_G zu beschreiben, mit der ein Körper der Masse m von der Erde angezogen wird, wählt man ein Koordinatensystem mit vertikaler z-Achse und erhält (mit der Erdbeschleunigung g) :F_G=(0; 0; m · g). Um mechanische Spannungen zu beschreiben, muss man Kraft sogar als ein vektorielles Feld auffassen: in jedem Angriffspunkt, bezeichnet durch den Ortsvektor r, kann prinziell eine andere Kraft F(r) herrschen.

Kraft in den newtonschen Gesetzen

Zum vektoriellen Charakter der Kraft gehört, dass sich entgegengerichtete Kräfte nach den Regeln der Vektoraddition aufheben können. Ist das der Fall, herrscht ein Kräftegleichgewicht. Ein Körper bewegt sich geradlinig, solange die auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sind. Insbesondere bleibt ein ruhender Körper in Ruhe. Auf diesem ersten newtonschen Axiom beruht die gesamte Statik. Nach dem zweiten newtonschen Axiom bewirkt eine Kraft F, die auf einen freien Körper ausgeübt wird, eine Änderung von dessen Impuls p: in jedem infinitesimal kurzen Zeitraum dt ändert sich der Impuls des Körpers um dp gemäß :F = d p / d t. Der Impuls eines Körpers hängt über p = m v mit Masse m und Geschwindigkeit v zusammen; da die Masse des Körpers in den meisten Anwendungen konstant bleibt (bekannte Ausnahme: die Herleitung der Raketengleichung), schreibt man das zweite newtonsche Axiom meistens in der Form :F = m d v / d t = m · a wobei a für die auf den Körper wirkende Beschleunigung steht. Diese Gleichung ist der Prototyp einer Bewegungsgleichung: wenn die Kraft F(r; t), sowie die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers gegeben sind, dann legt die Gleichung F = m · a den gesamten weiteren Bewegungsverlauf des Körpers fest. Die Hauptaufgabe der theoretischen Mechanik besteht darin, mit Hilfe der Vektoranalysis oder unter Nutzung des Lagrange- oder Hamilton-Formalismus diese Berechnung tatsächlich auszuführen. Die grundsätzliche, wenn auch nicht praktische Möglichkeit, aus gegebenen Anfangsbedingungen und Kräften die Bewegung beliebig komplizierter Systeme vorauszuberechnen, trug im 18. Jahrhundert zur Verbreitung eines mechanistischen Weltbildes bei. Das mechanistische Weltbild erklärt gut konservative Systeme, aus denen keine Energie entweicht. In der Praxis kommen jedoch nicht nur konservative Kräfte vor, sondern auch Reibungskräfte, die zur Erzeugung von Wärme führen, was nichts anderes ist, als ungeordnete Bewegung auf mikroskopischem Niveau. Die Entropie jedes Systems erhöht sich somit unumkehrbar, man spricht auch vom Wärmetod. Die Thermodynamik ergänzt die Mechanik entsprechend. Die Paradoxa der statistischen Mechanik, die Quantenmechanik und die Chaostheorie zeigten seit ungefähr 1900 grundsätzliche Grenzen der Berechenbarkeit in Modellen der klassischen Physik auf.

Messung von Kräften

Die Definition der SI-Einheit Newton als abgeleitete Einheit, 1 N = 1 kg · m / s², beruht auf der Möglichkeit, gemäß F = m · a eine Kraft über die von ihr verursachte Beschleunigung zu messen. Im Schulunterricht und in einigen anspruchslosen Anwendungen der Mechanik misst man Kräfte hingegen über die Verformung von Federn (die letztlich gegen F = m · a kalibriert sind). Dabei nutzt man das Hooke'sche Gesetz, demzufolge eine nicht zu starke Ausdehnung (Überdehnung) einer Spiralfeder der ausgeübten Kraft proportional ist. Die Kraft für das Zusammendrücken oder Auseinanderziehen ist jeweils: F = k · s, wobei s die Verlängerung oder Verkürzung in beispielsweise Zentimetern [cm] ist. Der Ausdruck k steht für die Federeigenschaft (weich oder hart), der sogenannten Federkonstante mit der Einheit [kp/cm]. Ist der Federweg z. B. 10 cm bei einer Feder mit k = 5 kp/cm, dann ist das Produkt F = 5 kp/cm · 10 cm = 50 kp

Verschiedene Kräfte

Gewichtskraft, träge und schwere Masse, ultra schwere Masse

Die Gravitation macht sich als Schwerkraft oder, gleichbedeutend, Gewicht oder Gewichtskraft bemerkbar. Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird. Diese Kraft ist proportional zur Masse m des Körpers, :F_G = m · g. Der Proportionalitätsfaktor g ist schwach ortsabhängig; im Schulunterricht wird er daher Ortsfaktor genannt. Er hat in Mitteleuropa den ungefähren Zahlenwert g = 9,81 N / kg; für viele Anwendungen genügt es, mit der Näherung 10 N/kg zu rechnen. Wenn man F_G in die linke Seite der newtonschen Bewegungsgleichung F = m · a einsetzt, erhält man m · g = m · a, wobei g für einen senkrecht nach unten gerichteten Vektor mit Betrag g steht. Aus dieser Beziehung kürzt sich die Masse m heraus, so dass man den Ortsfaktor g als eine Beschleunigung, die Erdbeschleunigung, identifizieren kann; folglich gibt man g auch in der Einheit m/s² an. Dass die Masse eines Körpers sowohl in die Bewegungsgleichung F = m · a als auch in die Gewichtskraft F_G = m · g eingeht, ist vielleicht der erstaunlichste Befund der newtonschen Mechanik. Man hat zwischen träger Masse (in der Bewegungsgleichung) und schwerer Masse (in der Bestimmung der Gewichtskraft) unterschieden und experimentell Abweichungen gesucht, aber nicht gefunden. Erst mit der allgemeinen Relativitätstheorie wurde erklärt, warum träge und schwere Masse tatsächlich exakt übereinstimmen.

Elektromagnetische Kräfte

Elektromagnetische Kräfte können als Anziehung oder Abstoßung zwischen elektrisch geladenen Körpern oder zwischen Magneten beobachtet werden. Viel bedeutsamer ist aber, dass solche Kräfte auch im Inneren von Materie wirken. Unsere Stoffwelt ist zusammengesetzt aus elektrisch positiv geladenen Atomkernen und negativ geladenen Elektronen. Positive und negative Ladungen kompensieren sich gegenseitig, so dass Alltagsgegenstände als ganze in der Regel elektrisch ungeladen sind. Selbst in elektrostatisch aufgeladenen Gegenständen herrscht, relativ gesehen, nur ein ganz geringer Elektronenüber- oder unterschuss. Deshalb sind die im Inneren von Materie wirkenden Kräfte um viele Größenordnungen stärker als elektrostatische Kräfte zwischen Alltagsgegenständen. Im wesentlichen bestehen die elektromagnetischen Kräfte im Inneren von Materie aus der elektrostatischen Anziehung und Abstoßung zwischen Elektronen und Atomkerne sowie aus der Lorentzkraft, die auf in Magnetfeldern bewegte Elektronen wirkt. Diese fundamentalen Kräfte machen sich in vielfältiger Weise bemerkbar:
- als Widerstand, den ein Körper einer Verformung entgegensetzt (Federkraft, Kompressibilität, Schubmodul);
- als Reibung zwischen den Oberflächen verschiedener Körper;
- als elektromotorische Kraft, die Elektronen durch einen Leiter treibt;
- in Fluiden als Kompressibilität und Viskosität.

Scheinkräfte

Im einfachsten Anwendungsfall beschreibt die newtonsche Bewegungsgleichung F = m · a die Bewegung eines einzelnen Körpers in einem gegeben Kraftfeld. In dieser Gleichung steht a für die zweite Zeitableitung des Ortsvektors r(t) des Körpers; die Kraft F ist in der Regel orts-, wenn nicht auch noch zeitabhängig. Das volle mathematische Problem der newtonschen Mechanik lautet also, unter gegebenen Anfangsbedingungen r(0) und v(0) aus der vektoriellen Differentialgleichung :F(r(t)) = m · d² r(t) / d t² den zeitlichen Verlauf von r(t) zu bestimmen. Die mathematische Struktur dieser Gleichung ist so anspruchsvoll, dass selbst eine so einfach formulierte Aufgabe wie die Berechnung einer Planetenbahn im Feld einer mit 1 / r² abnehmenden Zentralkraft im gymnasialen Schulunterricht in aller Regel unzugänglich bleibt. Nichtsdestoweniger sind Ergebnisse der newtonschen Mechanik längst in unser Alltagsdenken eingedrungen. Das wurde möglich, indem man an diese Ergebnisse eine eigene Begrifflichkeit geknüpft hat. Diese Begrifflichkeit besteht insbesondere aus einer ganzen Reihe von Scheinkräften, hinter denen sich partielle Lösungen oder Umformungen der newtonschen Gleichung verbergen. Beispiele für solche Scheinkräfte sind
- die Zentrifugalkraft, (Fliehkraft; siehe auch Zentripetalkraft);
- die Coriolis-Kraft;
- diverse Zwangskräfte in der technischen Mechanik. Ein Beispiel für einen anderen Begriff, der eine ganze Klasse von Kraftwirkungen zusammenfasst, ist das Drehmoment.

Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte, Auflagerkräfte

Um in der Technischen Mechanik technische Systeme (z. B. Tragwerke) einer Berechnung zugänglich zu machen, werden Bindungen zwischen den Körpern des Systems bzw. zwischen dem System und seiner Umwelt, die nur geringe Formänderungen zulassen, als starre Bindungen idealisiert. Solche starren Bindungen sind in der Regel Gelenke zwischen den Körpern oder Auflager. Damit geht der physikalische Charakter dieser Bindungen verloren, und die durch diese Bindungen bedingte mechanische Wechselwirkung der Körper wird durch die Zwangskräfte repräsentiert. Im Gegensatz dazu stehen die eingeprägten Kräfte, die – wie oben erläutert – ihre Ursache in physikalischen Gesetzen haben. Eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte erfüllen zusammen die Gleichgewichtsbedingungen.

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m06_hooke.htm Krafteinführung und Gesetz von Hooke]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph08/m07_zus_zerl.htm Kraftaddition und Zerlegung] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Mechanik ja:力 simple:Force (physics)

Verformung

Als Verformung oder Deformation eines Körpers bezeichnet man in der Kontinuumsmechanik die Änderung seiner Form infolge der Einwirkung einer äußeren Kraft, dies kann als Längenänderung oder als Winkeländerung erfolgen. Eine irreversible, also dauerhafte, Verformung nennt man plastische Verformung. Die dazu gehörige Eigenschaft eines Werkstoffes nennt man Plastizität bzw. Duktilität. Voraussetzung ist hierbei, dass ein Werkstoff umformbar ist, also eine geringe Sprödigkeit besitzt. Eine reversible, also eine umkehrbare oder nicht dauerhafte, Verformung nennt man dagegen elastische Verformung. Die dazu gehörige Werkstoffeigenschaft wird Elastizität genannt. Siehe auch: Stoffgesetz, Verformbarkeit, Umformverfahren Kategorie:Physik Kategorie:Werkstoffkunde

Federkonstante

Die Federkonstante, auch Federrichtgröße oder Federhärte korreliert als Proportionalitätsfaktor die Auslenkung einer linearen Feder mit der daraus resultierenden Zug- oder Druckkraft. Nach dem Hookeschen Gesetz ist die rücktreibende Kraft einer Feder proportional zur Auslenkung, es gilt also die Beziehung

F=D\cdot s

Die Kraft F, die auf eine Feder wirkt, ist gleich dem Produkt aus Federkonstante D und dem Weg s, um den sie gedehnt wird. Eine Feder mit vergleichsweise kleiner Federkonstante ist also relativ weich, da man nur eine geringe Kraft aufwenden muss, um sie zu dehnen. Die Federkonstante D wird üblicherweise in der Einheit Newton/Meter oder Kilogramm/Quadratsekunde angegeben.

D

\frac

oder

\frac

Die Beschreibung einer Feder durch ihre lineare Federkonstante ist eine (in der Praxis nützliche) Näherung. Die wirkliche Kraft-Abstands-Kurve benachbarter Atome, auf der das elastische Verhalten der festen Stoffe basiert, ist nichtlinear. Die Federkonstante ist immer größer oder gleich Null. Kategorie:Feder (Technik) Kategorie:Mechanik

Technische Mechanik

Definition

Die Technische Mechanik ist eine Ingenieurwissenschaft, deren naturwissenschaftliche Grundlage die klassische Mechanik ist. Gegenstand der Technischen Mechanik sind
- die Gesetze der klassischen Mechanik, speziell die Mechanik fester Körper,
- spezifische und rationelle Methoden der Analyse technischer Systeme,
- mathematische Modelle physikalischer Körper und ihr Zusammenhang mit den Verhaltensweisen realer Systeme,
- Kriterien zur Beurteilung der Funktionsweise realer Systeme, ihrer Sicherheit gegen Bruch und Verlust der Stabilität.

Teilgebiete

Die Einteilung der Technischen Mechanik ist nicht überall einheitlich. I. allg. können als Teilgebiete der Technischen Mechanik gelten:
- Statik starrer Körper,
- Elastizitätstheorie (Statik elastischer Körper),
- Festigkeitslehre,
- Dynamik (Mechanik bewegter Körper),
- Kinematik
- Kinetik
- Schwingungslehre,
- Stabilitätstheorie. Im wesentlichen kann man den Bereich der Technischen Mechanik auf die Untersuchung der Bewegung von Festkörpern eingrenzen, wobei dem Grenzfall der Ruhe ähnlich wie in der Mathematik der Natürlichen Zahl Null eine ganz spezielle Bedeutung zugemessen wird. Die Thermodynamik und die Fluidmechanik bzw. Strömungslehre gelten trotz ihres eindeutig technischen Bezuges gewöhnlich nicht als Bestandteile der Technischen Mechanik. Das Aufgabengebiet der Technischen Mechanik ist die Bereitsstellung der theoretischen Berechnungsverfahren beispielsweise für den Maschinenbau und der Baustatik, wo der konstruierende Ingenieur immer wieder mit zwei Grenzfällen konfrontiert wird:
- Widerstand der Konstruktion hinsichtlich der Auftretenden Belastungen
- Wirtschaftlichkeit der Konstruktion hinsichtlich des Materialeinsatzes der eingesetzten Mittel Ein weiteres spezielles Aufgabengebiet der Technischen Mechanik ist die Ballistik.

Geschichte

Die Technische Mechanik ist eine sehr alte Wissenschaft und wurde bereits von Archimedes betrieben, jedoch sind analytisch verwertbare Erkenntnisse erst aus der Zeit der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts überliefert. Die damaligen Mathematiker wurden von den anschaulichen Gesetzen der Mechanik zu ihren neuen Erkenntnissen inspieriert, gleichzeitig entdeckten sie eine Reihe neuer Erkenntnisse und mathematischer Gesetzmäßigkeiten der Technischen Mechanik. In den folgenden Jahrhunderten wurden ihre Theorien in die Technik eingeführt und praktisch umsetzbar gemacht, während weitere theoretische Erkenntnisse folgten:
- Archimedes (ca. 287 bis 212 v. Chr.): Hebelgesetze
- Galileo Galilei (1564 bis 1642): Fallgesetze ("Discorsi" 1638)
- Christiaan Huygens (1629 bis 1695) Stoßtheorie, Pendelbewegung
- Robert Hooke (1629 bis 1703): Hookesches Gesetz
- Isaac Newton (1643 bis 1727): Bewegungsgesetze, Gegenwirkungsprinzip, Gravitationsgesetz ("Principia": 1686), Stoßtheorie
- Leonhard Euler (1707 bis 1783): Impulssatz und Momentensatz (Drehimpulssatz), Balkenbiegung und Knicken
- Jean Baptiste le Rond d'Alembert (1717 bis 1783) D'Alembertsches Prinzip
- Joseph-Louis Lagrange (1736 bis 1813) Lagrangefunktion und Lagrangesche Bewegungsgleichungen
- Claude Louis Marie Henri Navier (1785 bis 1836) Elastizitätstheorie, Theorie der Balkenbiegung in der heutigen Form
- Augustin Louis Cauchy (1789 bis 1857) Elastizitätstheorie, Spannungsbegriff
- Luigi Federico Menabrea (1809 bis 1896) Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
- Karl Culmann (1821 bis 1881) Arbeiten zur Graphostatik (u.a. "Culmannsche Gerade")
- Gustav Robert Kirchhoff (1824 bis 1887) Plattentheorie
- August Ritter (1826 bis 1908) grafische Berechnungsmethoden (Rittersches Schnittverfahren)
- Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona (1830 bis 1903) Arbeiten zur Graphostatik (Cremonaplan)
- Christian Otto Mohr (1835 bis 1918) Arbeiten zur Graphostatik, Mohrscher Spannungskreis, Mohrscher Trägheitskreis
- Carlo Alberto Castigliano (1847 bis 1884) Sätze von Castigliano
- Carl von Bach (1847 bis 1931) Begründer der Festigkeitslehre ("Lastfälle nach Bach")
- August Föppl (1854 bis 1924) Kreiseltheorie, Schwingungslehre
- Heinrich Rudolf Hertz (1857 bis 1894) Theorie der Härte (Hertzsche Pressung)
- Arnold Sommerfeld (1868 bis 1951) Maschinendynamik, Schwingungslehre
- Georg Hamel (1877 bis 1954) Axiomatischer Aufbau der klassischen Mechanik
- Richard Grammel (1889 bis 1964) Maschinendynamik, Schwingungslehre,Kreiseltheorie
- Kurt Magnus (1912 bis 2003) Kreiseltheorie
- John Argyris (1913 bis 2004) Mitbegründer der Finite-Elemente-Methode Viele der genannten Personen haben auch auf anderen Gebieten große Verdienste erworben (z.B. in der Hydromechanik, Optik, Elektrotechnik, Relativitätstheorie und Quantenmechanik). Auf diese Leistungen wurde hier nicht eingegangen.

Weblinks

- b:Die Mechanik starrer Körper Wikibook
- b:Die Mechanik realer Körper Wikibook
- b:Dynamik Wikibook
- http://en.wikibooks.org/wiki/Solid_Mechanics engl. Wikibook zum Thema Festkörpermechanik
- http://www.htwm.de/pwill Anleitungen und Hinweise zur techn. Mechanik !

Spannung (Mechanik)

Die mechanische Spannung (Symbol

\sigma

) ist die Kraft pro Flächeneinheit, die in einer gedachten Schnittfläche durch einen Körper, eine Flüssigkeit oder ein Gas wirkt. Als Vektor hat sie drei Komponenten, und sie hängt von der Orientierung der Schnittfläche ab. Der Richtungssinn ist erst dann definiert, wenn man definiert, welche Seite der Schnittfläche man betrachtet, denn die Spannung ist die Kraft pro Flächeneinheit, die das in Gedanken weggeschnittene Material auf das verbliebene Material ausübt. Sie ist also in beiden gegenüberliegenden Schnittufern entgegengesetzt gerichtet. Folgende Skizze verdeutlicht dies an einem Kragträger: :::: 400px Die an einer bestimmten Stelle wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen in drei Schnittflächen beschrieben, die sich an der Stelle kreuzen, also durch drei Vektoren mit je drei Komponenten; diese bilden zusammengenommen den Spannungstensor. Die einfachste Darstellung hat der Spannungstensor, wenn man die drei Schnittflächen jeweils senkrecht zu einer Richtung eines kartesischen Koordinatensystems wählt. Die drei Kräfte in den drei Schnittflächen entsprechen den Zeilen der folgenden Matrix: :

S = 
  \begin 
    \sigma_ & \tau_ & \tau_ \\ 
    \tau_ & \sigma_ & \tau_\\
    \tau_ & \tau_ & \sigma_
  \end

Die Bedeutung zeigt folgende Skizze eines herausgeschnittenen sehr kleinen Volumenelements: ::::bild:Spannung.png Die Diagonalelemente

\sigma

stellen dabei die Normalspannungen dar, also die Kräfte die senkrecht zur Fläche wirken. Die nichtdiagonalen Elemente

\tau

werden als Schubspannungen bezeichnet. Sie wirken tangential zur Fläche. Im Doppelindex beschreibt der erste Index, in welche Richtung der äußere Normaleneinheitsvektor der Schnittfläche zeigt, und der zweite Index, in welcher Richtung die Spannung wirkt. index index Die Tensorrechnung erlaubt, den Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben und erst nach einer Herleitung des jeweiligen Berechnungsverfahrens die Komponentengleichungen den geometrischen Eigenschaften des Körpers anzupassen, beispielsweise in Zylinderkoordinaten. In der Tensorrechnung definiert man als Spannungstensor denjenigen Tensor zweiter Stufe, der skalar multipliziert mit der äußeren Flächennormalen einer Schnittfläche den Kraftvektor pro Flächeneinheit ergibt. Die mechanische Spannung hat die selbe physikalische Dimension wie der Druck, nämlich Kraft/Fläche. Der Druck stellt einen Spezialfall einer mechanischen Spannung dar. Als Maßeinheiten sind N/mm² und Pa = N/m² gebräuchlich. Jeder Spannungszustand lässt sich durch Hauptachsentransformation in ein Koordinatensystem umrechnen, in dem alle Schubspannungen verschwinden. Wenn man in diesem Koordinatensystem die drei Normalspannungen zu einem Vektor zusammenfasst, kann man diesen in zwei Komponenten zerlegen:
- Die Komponente quer zur Raumdiagonalen ist ein Maß dafür, wie groß in anderen Schnittrichtungen die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Er entspricht der Vergleichsspannung nach Gestaltsänderungshypothese. Wenn er die Fließspannung der jeweiligen Stahlsorte überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch.
- Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Deformation. Die Hauptspannungen lassen sich durch das Lösen der Gleichung

det(S-\sigma E)=0

errechnen, wobei E die 3×3-Einheitsmatrix ist. Ausmultiplizieren der Determinante führt auf eine Gleichung dritten Grades, deren Lösungen

\sigma_

\sigma_

und

\sigma_

die gesuchten Hauptspannungen darstellen. Sie sind die Eigenwerte der Spannungsmatrix S. Die jeweilige Hauptspannungsrichtung ergibt sich aus der Gleichung

(S-\sigma E)\vec e = 0

, wobei für

\sigma

die errechnete Hauptspannung eingesetzt wird. Die Lösungen

\vec e_,\vec e_, \vec e_

sind Eigenvektoren der Spannungsmatrix S und geben die Richtung der Spannungen an. In normierter Form bilden sie eine Orthonormalbasis des 3-dimensionalen Raumes, sofern keine der Hauptspannungen gleich Null ist. Eine geometrische Darstellung der Spannungszustände wird durch den Mohrschen Spannungskreis gegeben. Den Zusammenhang zur Deformation stellt für elastische Verformungen das Hookesche Gesetz her. Wichtigste Materialkonstanten sind dabei Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl. Die plastische Deformation beschreiben die Fließbedingung, das Fließgesetz und das Verfestigungsgesetz. Den Zusammenhang zur Verformungsgeschwindigkeit in viskosen Flüssigkeiten stellt Newton's Zähigkeitsansatz her. Wichtigste Materialkonstante ist darin die dynamische Viskosität. Das Deformationsverhalten eines Körpers wird durch den Zusammenhang zwischen Spannungs- und Deformationstensor beschrieben. Diese Beziehung wird rheologisches Gesetz genannt und ist eine Materialeigenschaft des Körpers. Die Rheologie beschäftigt sich mit dem Fließen und der Deformation von Körpern. Die ohne außen an den Körper angreifende Kräfte auftretenden Spannungen werden auch Eigenspannungen genannt. Ein hydrostatischer Spannungszustand liegt vor, wenn die drei Hauptspannungen gleich sind. Die Spannung in Gasen wird im Boyle-Mariotte-Gesetz und im Gay-Lussac-Gesetz beschrieben.

Siehe auch

- elektrische Spannung
- Festigkeit
- Elastizität_(Mechanik)
- Plastizität
- Kontinuumsmechanik
- Spannungsoptik Kategorie:Technische Mechanik ja:ストレス (物理学) ko:변형력

Dehnung

Die Dehnung (Formelzeichen:

\epsilon

) ist eine prozentuale Angabe für die Längenänderung (Verlängerung/Verkürzung bzw. Dehnung/Stauchung) eines Körpers. Sie ist definiert als:

\epsilon = \frac \cdot 100%

\Delta l

ist die Längendifferenz,

l_0

ist die ursprüngliche Länge Siehe auch: Ausdehnung Kategorie:Physik

Festigkeit

Festigkeit ist eine Werkstoffeigenschaft, die beschreibt welchen Widerstand ein Werkstoff dem Versagen entgegensetzt. Je nach Werkstoff und Belastung kann das Versagen zum Beispiel ein Sprödbruch oder eine plastische Verformung sein. Zu unterscheiden ist die Festigkeit von der Härte. Bei der Festigkeit unterscheidet man zwischen den Begriffen der
- Zugfestigkeit
- Formelzeichen:

R_m

- Einheitenzeichen: N/mm² (= MPa)
- und der Fließgrenze (Dehngrenze bzw. Streckgrenze)
- Formelzeichen:

R_p

bzw.

R_e

- Einheitenzeichen: N/mm² (= MPa) Die Dehngrenze wird dabei einer bestimmten plastischen Verformung, z.B. 0,2%, zugeordnet. Man schreibt dann

R_

. Die (ausgeprägte) Streckgrenze spielt nur bei un- und niedriglegierten Stählen in bestimmten Wärmebehandlungszuständen eine Rolle, insbesondere bei Baustahl. In die mechanische Auslegung von Bauteilen fließt der Mindestwert bzw. gewährleistete Wert der Festigkeiten ein. Die Mindestzugfestigkeit liegt beispielsweise bei einem Stahl für den Stahlbau (S235JR - früher St37-2) welcher im Hausbau verwendung findet, je nach Qualität bei 370 N/mm². Seine Mindeststreckgrenze hingegen bei 235 N/mm². Würde man nun in einem Zugversuch eine Probe dieses Stahls, welche einen Querschnitt von 1 mm² hat, mit einer Kraft belasten, müsste diese bei mindestens 370 N liegen um die Probe zu zerreißen. 370 N entsprechen auf der Erde dem Gewicht einer Masse von 37,7 kg. Daraus kann geschlossen werden, dass beim Versuch, mit diesem Stahldraht eine Masse von 37,7 kg oder größer zu heben, ein Versagen des Werkstoffes nicht mehr ausgeschlossen werden kann. Aber auch bei geringeren Belastungen kann der Draht bleibend (plastisch) verformt werden. Da dies meistens nicht zugelassen wird, verwendet man bei der mechanischen Auslegung von Bauteilen häufig die Mindeststreckgrenze (R_e). Dieser Wert beschreibt die Festigkeit eines Werkstoffs bis zur Grenze der elastischen Verformung. Das heißt bei einer Zugkraft F_z von 235 N auf eine Probe mit einem Querschnitt von 1 mm² dehnt sich diese Probe zwar, sie kehrt aber, ohne sich bleibend (plastisch) zu verformen, in ihren Ursprungszustand zurück. Hier lässt sich eine Masse von 23,955 kg (mit 235 N / 9,81 m/s²) ermitteln, mit deren Gewicht dieser Werkstoff im Zugversuch belastet werden kann, sich aber elastisch verhält. Aus Sicherheitsgründen werden die genannten Kennwerte in der technischen Anwendungen grundsätzlich noch durch einen Sicherheitsfaktor dividiert, der die Unsicherheiten bei der Beurteilung der Beanspruchung und die Streuung der Widerstandsgrößen berücksichtigt, aber auch vom möglichen Schaden bei Versagen des Bauteils abhängt. Im Stahlbau liegt der Sicherheitsfaktor unter guten Bedingungen bei 1,2 bis 1,5, in manchen Fällen sind aber auch Beiwerte im Bereich 3 bis 4 notwendig. Da die Kennwerte immer nur im einachsigen Zugversuch ermittelt werden, Bauteile aber oft mehrachsig beansprucht werden, gilt es, eine einachsige Vergleichsspannung zu ermitteln, die dann mit der bekannten Festigkeit verglichen werden kann. Hier haben sich vier sog. Festigkeitshypothesen etabliert, wobei die beiden erstgenannten am häufigsten angewandt werden:
- Hypothese der maximalen Schubspannung (Tresca)
- Gestaltänderungsenergiehypothese (von Mises)
- Hypothese der maximalen Normalspannung
- Hypothese der maximalen Dehnung Bei der Hypothese der maximalen Schubspannung lautet die Formel für die Berechnung der Vergleichsspannung

\sigma_v = \sigma_I - \sigma_

für

\sigma_I > \sigma_ > \sigma_

Bei der Gestaltänderungsenergiehypothese gilt

\sigma_v = \sqrt

Darin sind

\sigma_,\sigma_,\sigma_

die Hauptspannungen. Die beiden anderen Hypothesen sind weniger bedeutend, sind aber bei nahezu hydrostatischen Spannungszuständen (d.h. in drei Achsen gleich großen Spannungen) genauer. Bei schwingungsbeanspruchten Bauteilen besteht ein Sonderfall. Man nennt ihn die Dauerschwingfestigkeit. Siehe auch: Zerreißlänge Kategorie:Festigkeitslehre Kategorie:Werkstoffeigenschaft ja:材料強度学

Kategorie:Werkstoffeigenschaft

Physikalische und Technologische Werkstoffeigenschaften: Kategorie:Werkstoffkunde Kategorie:Physik Kategorie: Eigenschaft ko:분류:재료과학

Kategori:Västerbotten

Huvudartikel: Västerbotten Kategori:Sveriges landskap Kategori:Norrland

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