Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Stetigkeit

Stetigkeit

Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig, wenn in ihren Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Das Gegenteil von stetig ist unstetig.

Definitionen

Funktion Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion f: I\to\mathbb auf einem reellen Intervall I\subseteq\mathbb ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Diese Aussage ist keine Definition, weil unklar ist, was unter in einem Zug zeichnen genau zu verstehen ist, beispielsweise bei einer Kurve, die auf einem endlichen Intervall eine unendliche Länge hat. Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich. Die nachfolgenden Definitionen für die Stetigkeit sind mathematisch exakt.

Stetigkeit reeller Funktionen

Reelle Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihr Definitionsbereich D und ihr Zielbereich Teilmengen der reellen Zahlen sind. Für solche Funktionen ist die Stetigkeit von f in einem Punkt x_0 des Definitionsbereichs folgendermaßen definiert: : f\colon D\to \R \mbox x_0\in D :\iff \forall\varepsilon > 0\colon\ \exists\delta > 0\colon\ \forall x \in D\ mit\ |x - x_0| < \delta \colon\ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon Äquivalent dazu ist die folgende Definition: : f\colon D\to \R \mbox x_0 \Longleftrightarrow \lim_f(x)=f(x_0) Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist. Z. B. ist die Signum-Funktion :\operatorname(x)=\begin1 & x>0\\ 0 & x=0\\ -1 & x<0\end an jeder Stelle x\in\R\setminus 0 stetig, aber nicht insgesamt stetig, da sie an der Stelle 0 unstetig ist: Der linksseitige Grenzwert ist -1, der rechtsseitigen Grenzwert ist +1 und somit existiert der Grenzwert \lim_\,\operatorname(x) nicht.

Eigenschaften


- Sind f und g stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich, so sind auch f + g , f - g und f \cdot g stetig. Ist g(x)\ne 0 für alle x im Definitionsbereich, dann ist auch \frac stetig.
- Die Komposition f \circ g zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Beispiele


- Die Sinusfunktion \R\to\R,\; x \mapsto \sin(x) ist stetig (d. h. insbesondere in jedem Punkt x\in\R stetig).
- Die Kosinusfunktion \R\to\R,\; x\mapsto \cos(x) ist stetig.
- f:\R\to\R,\; x \mapsto e^ ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) stetig.
- Die Funktion f(x) = \frac ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig, nach der exakten Definition ist der Begriff der Stetigkeit auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar – f ist also weder stetig noch unstetig in der 0. f ist in seinem Definitionsbereich ( \mathbb \setminus \ ) stetig.
- Die Tangensfunktion \tan(x) = \frac ist stetig in ihrem Definitionsbereich, d. h. in allen x aus \R mit \cos(x) \neq 0.
- Die komplexe Exponentialfunktion \Bbb C \to \Bbb C,\; z\mapsto \exp(z) ist stetig.

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen

Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, mögliche exakte Definitionen sind folgende:

Epsilon-Delta-Kriterium

Seien (X,d_X) , (Y,d_Y) metrische Räume. Eine Funktion f:X\rightarrow Y heißt stetig in x_0, wenn gilt : \forall\epsilon > 0\; \exists\delta > 0 \; \forall x \in U_\delta(x_0) : d_Y(f(x), f(x_0)) < \epsilon Dabei bezeichnet U_(x_0) = \ die offene \delta-Umgebung um x_0 .

Folgenkriterium

Seien (X,d_X) , (Y,d_Y) metrische Räume, dann gilt: f: X \to Y ist stetig in x_0 \Leftrightarrow Für jede Folge (x_n) aus der Definitionsmenge von f , die gegen x_0 konvergiert, konvergiert f(x_n) gegen f(x_0) .

Umgebungskriterium

Seien (X,d_X) , (Y,d_Y) metrische Räume, dann gilt: f: X \to Y ist stetig in x_0 \Leftrightarrow Zu jeder Umgebung V von f(x_0) gibt es eine Umgebung U von x_0 , sodass für alle x \isin U \cap X gilt: f(x) \isin V .

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Hauptartikel: Stetigkeit (Topologie) Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort ist eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.

Spezialfälle von Stetigkeit

Spezialfälle der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit und (lokale) Lipschitz-Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme. Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Zusammenhang

Es gelten folgende Zusammenhänge: f Lipschitz-stetig \Rightarrow f lokal Lipschitz-stetig \Rightarrow f stetig und f Lipschitz-stetig \Rightarrow f gleichmäßig stetig \Rightarrow f stetig.

Beispiele

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass die Rückrichtungen in aller Regel nicht gelten:
- f:\R\rightarrow\R, x\mapsto x^2 ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.
- f:[-1,1]\rightarrow\R, x\mapsto \sqrt[3] ist stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Verkettung stetiger Funktionen

Jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion ist wieder stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion

Sind I ein Intervall in \mathbb und f\colon I\rightarrow\mathbb R eine stetige, streng monoton wachsende Funktion, dann ist das Bild von f ein Intervall J, f\colon I\to J ist bijektiv, und die Umkehrfunktion f^\colon J\to I ist stetig. Somit ist f ein Homöomorphismus von I nach J. Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist f eine umkehrbare und an der Stelle x_0 stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion f^ an der Stelle f^ (x_0) im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei f definiert durch:
- auf (2k,2k+1) sei f(x)=x-k (k durchläuft die positiven ganzen Zahlen)
- auf (2k-1,2k) sei f(x)=\frac
- auf \left(\frac1,\frac1k\right) sei f(x)=\frac1
- f(0)=0, f(k)=k , f\left(\frac\right)=\frac
- f(x)=-f(-x) für x<0. Dann ist f bijektiv und in 0 stetig, aber f^ ist in 0 unstetig.

Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen

Sei f eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist, D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen, x_0 sei aus dem Definitionsbereich von f , dann gilt für jede Folge reeller Zahlen x_n aus D(f) die gegen x_0 konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte f(x_n) gegen f(x_0) konvergiert. Anmerkung: Dieser Satz gilt auch für stetige Abbildungen zwischen beliebigen metrischen Räumen.

Satz von Bolzano

Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f(x) an zwei Stellen a und b dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen a und b mindestens eine Stelle c , an der die Funktion f(x) verschwindet (d. h. f(c)=0 also eine Nullstelle der Funktion).

Der Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall [a,b] (mit a) stetige Funktion jeden Funktionswert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt. Formal: :Ist f:[a,b]\to\mathbb eine stetige Funktion mit a und f(a), dann existiert für alle d\in[f(a),f(b)] ein x\in[a,b], so dass f(x)=d. :Analog für f(a)>f(b) und d\in[f(b),f(a)]. Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Satz von Weierstraß

Eine reellwertige Funktion, die auf einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge von \mathbb R^n stetig ist, nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist f\colon[a,b]\to\mathbb stetig, so gibt es Stellen t,h\in[a,b], so dass : f(t)\leq f(x)\leq f(h) für alle x\in[a,b] gilt. (Der Satz von Weierstraß benötigt weniger Voraussetzungen für die Suche nach Hoch- und Tiefpunkten (siehe Extremwert) einer Funktion als die differenzielle Suche.)

Siehe


- Gleichmäßige Stetigkeit
- gleichgradige Stetigkeit
- Lipschitz-Stetigkeit Kategorie:Analysis ja:連続 (数学) ko:연속함수 th:ฟังก์ชันต่อเนื่อง

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Topologie

Als Topologie (von griech.: topos = Ort, Platz und logos = Lehre, Wissen, Wort) bezeichnet man:
- Die Lehre oder Wissenschaft von Ortsfunktionen oder Ortslagen in Geographie und Architektur, die nicht durch die Topographie beschrieben werden können, siehe auch Geoglyphe
- ein Teilgebiet der Mathematik, siehe Topologie (Mathematik)
  - Topologie ist auch die Bezeichnung gewisser mathematischer Strukturen, siehe topologischer Raum
- die Struktur der Verbindungen in einem Rechnernetz, siehe Topologie (Netzwerk)
- (selten) die Beschäftigung mit Topoi (in irgendeiner näheren Bedeutung). Vergleiche auch Topographie. ja:位相幾何学 simple:Topology zh-cn:拓扑学

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x2. Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen


- f\colon A \to B
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f \subseteq A \times B,
- : "Funktion f von A nach B"
- f\colon x \mapsto f(x)
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) \in f.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2 Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe


- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften


- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind


- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
  - homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  - allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
  - Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x2 + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  - Potenzfunktion
  - Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a1·x + a0 oder
f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i
  - Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  - Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
  - Exponentialfunktion
  - Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  - Logarithmus
  - Kreis- und Hyperbelfunktionen
    - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
    - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
    - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
  - Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  - Elliptische Funktion
  - Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  - Bessel-Funktion
  - Legendre-Polynome
  - Kugelflächenfunktionen
  - Harmonische Funktion
  - Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
  - Logistische Funktion
  - Gaußsche Glockenkurve
  - Lorentzkurve
  - Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind


- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen


- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch


- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Intervall (Mathematik)

Ein Intervall ist eine Teilmenge einer Menge von Objekten, die definierte Nachbarn haben, so dass folgendes gilt:
- das Intervall ist die leere Menge oder
- das Intervall enthält genau ein Element oder
- das Intervall enthält mehr als ein Element und alle Elemente des Intervalls sind miteinander benachbart. Beispielsweise existiert das Intervall als Teilmenge der natürlichen Zahlen. Für Mengen, die man anordnen kann, reicht es aus, wenn man das größte und kleinste Element des Intervalls angibt. Hierdurch ist das Intervall eindeutig bestimmt. Man muss (zumindest in der Anschauung) Intervalle von Mengen, deren Elemente kontinuierlich angeordnet sind (z.B. die reellen Zahlen), von diskreten Mengen (z.B. ganze Zahlen) unterscheiden. Bei kontinuierlichen Zahlen gibt es keine Nachbarn, so dass der Begriff der Umgebung wichtig wird. Hier werden auch offene und geschlossene Intervalle (s.u.) unterschieden.

Schreibweisen

Es existieren zwei verschiedene häufig verwendete Schreibweisen. Bei einer der beiden verwendet man für ein offenes Ende runde und für ein geschlossenes Ende eckige Klammern, bei der anderen Schreibweise werden geschlossene Enden ebenfalls durch eckige Klammern gekennzeichnet, offene Enden dagegen durch gespiegelte eckige Klammern. Im folgenden werden beide Schreibweisen verwendet:
- [a,b] = [a,b] = \
- : Abgeschlossenes Intervall (auch Kompaktes Intervall) . Das Intervall enthält sowohl a als auch b.
- (a,b) = = \
- : Offenes Intervall. Das Intervall enthält weder a noch b.
- [a,b) = = \
- : Halboffenes, genauer Rechtsoffenes Intervall. Das Intervall enthält a, aber nicht b.
- (a,b] = = \
- : Halboffenes, genauer Linksoffenes Intervall. Das Intervall enthält nicht a, wohl aber b.
- (, b] = = \
- : Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall. Enthält alle Zahlen die kleinergleich b sind (und ist wirklich abgeschlossen, trotz der einseitigen Offen-Schreibweise). Analog dazu gibt es rechtsseitig unendliche offene oder abgeschlossene Intervalle. Bei obiger Definition besteht übrigens nicht die Anforderungen a\leq b, sodass im Falle von a>b jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle a>b einfach die Grenzen vertauschen.

Verallgemeinerung

In der Topologie sind reelle Intervalle Beispiele für zusammenhängende Mengen. Alle hier für die reellen Zahlen \mathbb gemachten Schreibweisen lassen sich direkt auf beliebige total geordnete Mengen übertragen. Siehe auch: Intervallschachtelung, Intervallarithmetik Kategorie:Mengenlehre ja:区間 (数学) ko:구간

Funktionsgraph

Als Funktionsgraph, Graph oder Kurve einer Funktion f bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)). Im allgemeinen Sprachgebrauch nennt man die grafische Darstellung dieser Menge, z.B. als Kurve in einem Koordinatensystem, ebenfalls Funktionsgraph. Koordinatensystem Beispiele: 1. Der Graph der Funktion :f(x)=\left\

Intervall

Der Begriff Intervall (aus dem lat., ursprüngl. von inter vallos, „zwischen den Pfählen“ eines Schutzzaunes) wird verwendet: #in der Mathematik, siehe Intervall (Mathematik) #in der Statistik und bei wissenschaftlichen Messreihen, ein regelmäßiger Zeitabstand, siehe Intervall (Zeitabstand) #in der Musik, siehe Intervall (Musik) #in der speziellen Relativitätstheorie als Bezeichnung für den raumzeitlichen „Abstand“ zwischen zwei Ereignissen

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x2. Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen


- f\colon A \to B
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f \subseteq A \times B,
- : "Funktion f von A nach B"
- f\colon x \mapsto f(x)
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) \in f.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2 Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe


- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften


- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind


- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
  - homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  - allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
  - Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x2 + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  - Potenzfunktion
  - Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a1·x + a0 oder
f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i
  - Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  - Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
  - Exponentialfunktion
  - Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  - Logarithmus
  - Kreis- und Hyperbelfunktionen
    - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
    - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
    - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
  - Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  - Elliptische Funktion
  - Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  - Bessel-Funktion
  - Legendre-Polynome
  - Kugelflächenfunktionen
  - Harmonische Funktion
  - Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
  - Logistische Funktion
  - Gaußsche Glockenkurve
  - Lorentzkurve
  - Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind


- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen


- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch


- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.

Geschichte

Naive Mengenlehre

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition von 1877 ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die Mengenlehre auf der Grundlage dieser Definition wurde später als naive Mengenlehre bezeichnet. Sie führt zu Widersprüchen, insbesondere dann, wenn Mengen eingeführt werden, die sich selbst als Element enthalten. Am bekanntesten ist die Russellsche Antinomie.

Typentheorie

Zur Vermeidung dieser Widersprüche hat Russell selbst einen stufenweisen Aufbau der Mengenlehre vorgeschlagen und hierfür 1903, zusammen mit Whitehead die Typentheorie entwickelt. Danach hat eine Menge stets einen höheren Typ als ihre Elemente. Aussagen wie "diese Menge enthält sich selbst als Element" lassen sich in dieser Theorie gar nicht formulieren. Die Typentheorie wurde später zu einer axiomatischen Theorie ausgebaut. Sie lässt sich als widerspruchsfrei nachweisen. Ihre sprachlichen Mittel sind jedoch nicht stark genug, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen.

Typenfreie axiomatische Mengenlehre

Andere Versuche, die Mengenlehre axiomatisch aufzubauen, greifen auf eine typenfreie Prädikatenlogik zurück. Grundbegriffe sind hier nur noch
- eine einzige Art von Objekten und
- die Elementbeziehung zwischen diesen. Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel. Dieses System wird oft als "ZF" zitiert. Noch von Zermelo wurde das - nicht ganz unumstrittene - Auswahlaxiom hinzugefügt. In dieser Form wird es als "ZFC" (C für choice - englisch: Auswahl) bezeichnet. Die überwiegende Mehrheit der Mathematiker betrachtet heute ZFC als eine geeignete Grundlage für die moderne Mathematik. Die einzige Grundrelation in ZF oder ZFC ist \in (gesprochen: Element von), z.B. x\inM, wenn x als Element in M enthalten ist. Die Existenz von "Urelementen", die keine Mengen sind, wird in dieser Theorie nicht postuliert. Die Axiome sind so formuliert, dass die bekannten Widersprüche der Cantorschen Mengenlehre vermieden werden. Wichtig sind hier vor allem das Fundierungsaxiom und das Aussonderungsaxiom, die es unmöglich machen, die Russellsche Antinomie zu formulieren. Einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es jedoch nicht. Im Rahmen einer Mathematik, die auf der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre basiert, lässt sich ein solcher Beweis auch grundsätzlich nicht führen (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).

Präzisierung der Cantorschen Mengenlehre

Auch Mathematiker, die nicht auf eine Axiomatisierung der Mengenlehre aufbauen wollten, mussten dafür sorgen, dass die bekannten Widersprüche ausgeschlossen werden. Als Beispiel sollen hier die Definitionen von Erich Kamke dargestellt werden, dessen "Mengenlehre" seit 1928 in zahlreichen Auflagen erschienen ist und als eine Standard-Einführung angesehen werden kann: Kamke zitiert die Cantorsche Definition und erläutert dann: :(a) "Es sei \mathfrak eine wohldefinierte Eigenschaft(…), die mindestens einem 'Ding' zukommt oder eine Aussage, die für mindestens ein Ding wahr ist…"; :: An späterer Stelle führt Kamke dazu aus: "Damit ist der Mengenbegriff auf einen Begriff ähnlicher Allgemeinheit zurückgeführt, dessen genaue Festlegung keineswegs einfacher ist(…) Jedenfalls gibt es Eigenschaften, die nach übereinstimmender Meinung eine Menge einwandfrei festlegen, z.B. die Menge der natürlichen Zahlen(…). Wir wollen immer annehmen, dass von solchen einwandfreien Mengen ausgegangen wird." - Das Kamke-Zitat geht dann weiter: :"(…)ferner sei die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft \mathfrak eine wohlbestimmte Gesamtheit(…)" :: Dazu gibt er die Anmerkung: "Ob das zutrifft, ist mit der auch sonst in der Mathematik üblichen Sorgfalt zu untersuchen", und fährt dann fort: :(b) "Durch den Akt der Definition wird die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft \mathfrak als ein neues 'Ding' eingeführt und 'Menge' M oder M(m) genannt;(…) Als Konsequenz hieraus ergibt sich laut Kamke: :"Da durch die Bildung einer Menge ein neues Ding, ein neuer Begriff geschaffen werden soll(…), ist die Menge als verschieden vom jedem ihrer Elemente anzusehen(…) Hiernach sind folgende 'Mengen' sinnlos, da in sich selbst widerspruchsvoll: :(α) jede Menge, die sich selbst als Element enthält; :(β) die Menge aller Mengen, da sie sich selbst als Element enthalten müsste; :(γ) Die Menge aller Mengen, die sich nicht als Element enthalten (Russell), da sie nach dem Vorangehenden nichts als die in (β) genannte Menge ist." Hier wird also ansatzweise ein hierarchischer Mengenbegriff verwendet (ähnlich wie in der Typentheorie). Die Rechtfertigung seiner Vorgehensweise sieht Kamke darin, dass für "ernste unlösbare Widersprüche (…) irgendwelche Anzeichen" nicht vorliegen. Allerdings hat eine solche Einschränkung des Mengenbegriffs zur Folge, dass es nun durchaus "bestimmte wohlunterschiedene Objekte (…) unseres Denkens" gibt, die sich auch begrifflich "zu einem Ganzen" zusammenfassen lassen, ohne dass wir dieses Ganze als "Menge" bezeichnen dürften. (Die Gesamtheit aller Mengen ist ein Beispiel, die Gesamtheit der Kardinalzahlen ein anderes). Das ist ganz gegen Cantors Intention. Wenn solche "Un-Mengen" mit einbezogen werden sollen, wird zuweilen der Begriff Klasse verwendet.

Rückwirkungen auf die Mathematik als Wissenschaft. Bourbaki

Cantors Konzept wurde von den Mathematikern des späten 19. Jahrhunderts keineswegs als revolutionär angesehen. Der Ruf der Logik als mathematischer Disziplin war schlecht. Verallgemeinerungen auf diesem Niveau galten als überflüssig und, als dabei gar noch Antinomien auftraten, als lästig. Poincaré spottete: "Die Logik ist gar nicht mehr steril - sie zeugt jetzt Widersprüche." Im Verlauf des ersten Drittels des 20. Jahrhunderts setzte sich dann, zunächst hauptsächlich bei jungen Mathematikern, die Ansicht durch, dass Mengenlehre eine entscheidend wichtige Grundlage für die Strukturierung der Mathematik sei. Paradoxerweise erfolgte diese Aufwertung parallel zu der Erkenntnis, dass die aufgetretenen Probleme grundsätzlicher Natur und prinzipiell unlösbar sind (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Was von den Spezialisten als Grundlagenkrise der Mathematik begriffen wurde, wurde von der Mehrheit der Mathematik Schaffenden kaum beachtet. Kennzeichnend für diese Auffassung ist das Unternehmen einer Gruppe von Mathematikern, die unter dem Pseudonym Bourbaki die gesamte Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre einheitlich neu darstellen wollte. Die Entscheidung zwischen den möglichen Grundlegungen fiel pragmatisch aus: Zermelos typenfreies Axiomensystem schien damals leichter zu handhaben als Russells Typentheorie. Jenes wird heute ganz überwiegend als Grundlage der Mathematik betrachtet.

Rückwirkungen auf die Schulmathematik. "Neue Mathematik"

Gegen Ende der 1960er Jahre wurden Grundbegriffe der Mengenlehre in den Schulunterricht eingeführt. Insbesondere in den Eingangsklassen der Grundschulen fand eine grundlegende Veränderung des Rechenunterrichts statt, der von nun an als Mathematikunterricht aufgefasst wurde. Die zum Teil sicher überzogene Betonung des Mengenbegriffs wurde bald wieder zurückgenommen.

Kategorientheorie

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Mengenlehre und Informatik

Als Grundlage der Informatik reicht die typenfreie Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel allein nicht aus, da sie hochgradig unkonstruktiv ist, also den Begriff des Algorithmus kaum erfasst. Aus diesem Grunde wurden seit den 1970er Jahren konstruktive Kalküle entwickelt, die Klassifizierungskonzepte wie Datentypen usw. beinhalten. Es wird behauptet, dass diese Theorien im Hinblick auf Universalität und Anwendungsbereich der klassischen Mengentheorie gleichkommen.
Die Überarbeitung des geschichtlichen Teils ist (von sprachlichen Korrekturen abgesehen) jetzt abgeschlossen. Der folgende Teil des Artikels wird nun gründlich überarbeitet und ist derzeit noch im Rohbau.

Definitionen

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten. Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal: :::A=B \iff \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right) Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann: ::: A = \ Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) die selbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich dieser Form formulieren: "Sind \ und \ die gleiche Menge?".

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit \varnothing oder auch \ bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede "andere" leere Menge enthält die selben Elemente (nämlich keine), ist also gleich

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. B wird dann zuweilen auch Obermenge von A genannt. Formal: :\subseteq :\Longleftrightarrow \forall x \left( \in A \rightarrow x \in B \right) .
- Echte Teilmenge: A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden. Die Relation "ist Teilmenge von" bildet eine Halbordnung. Die Relation "echte Teilmenge" ist eine strenge Halbordnung. Es gibt zwei Notationen:
- \subseteq für "Teilmenge" und \subset für "echte Teilmenge" oder
- \subset für "Teilmenge" und A \subsetneq B für "echte Teilmenge". In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.

Schnittmenge

Halbordnung Gegeben ist eine Menge U von Mengen. Die Schnittmenge von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal: :::\bigcap U := \. Ist U eine Paarmenge, also U\,=\, so schreibt man für \bigcap U gewöhnlich ::: \cap := \ und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen verallgemeinern. Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen: Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit A_\lambda bezeichnet. Es wird eine "Indexmenge" \Lambda eingeführt, sodass U = \ ist. Die Schnittmenge \bigcap U wird dann geschrieben als: :::\bigcap_ A_\lambda := \, also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen A_\lambda enthalten sind.

Vereinigungsmenge

Dies ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal: :::\bigcup U := \. Für U\,=\ schreibt man wieder ::: \cup := \ und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das "oder" ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet. Unter Verwendung der Indexmenge \Lambda schreibt man: :::\bigcup_ A_\lambda := \.

Differenz und Komplement

duale
- Komplement: \complement:=\ bezeichnet das Komplement von A in \mathbb, das ist die Menge aller Elemente von \mathbb, die nicht in A liegen.

- Differenzmenge: \setminus = \ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B
- symmetrische Differenz: \, \triangle \, := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen
- Mächtigkeit: \left| A \right| bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge A, also die Anzahl der Elemente von A. Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit. Diese werden als Kardinalzahlen bezeichnet.
- Potenzmenge: Die Potenzmenge \mathcal \left( \right) ist die Menge aller Teilmengen von .
- Produktmenge oder kartesisches Produkt
  - Die zweistellige Produktmenge A\times B := \ ist die Menge aller geordneten Paare, die sich aus den Mengen A und B bilden lassen.
  - Die Produktmenge beliebig vieler Mengen \prod_ A_\lambda := \ ist die Menge aller Abbildungen, die einem Indexelement \lambda ein Element der Menge A_\lambda zuordnen.

Anmerkungen


- Für die Bezeichnung des Komplements einer Menge A gibt es einige Varianten: Es wird gelegentlich auch durch \overline, A^C oder A^' symbolisiert.
- Die Potenzmenge einer Menge A wird mitunter auch mit 2^A bezeichnet. Diese Notation ist durch die Eigenschaft |\mathcal(A)| = 2^ einer endlichen Menge A motiviert, welche unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen dann auch für beliebige unendliche Mengen gilt.
- \in, \subset und \subseteq sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch \notin. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von x\in A auch A\ni x, anstelle von A\subseteq B auch B\supseteq A und anstelle von A\subset B auch B\supset A geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.
- Die leere Menge kann ­– wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen \varnothing und \ sind verschieden.
- Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.
- Für eine endliche, nicht leere Indexmenge \Lambda = \ gilt \bigcap_ A_\lambda = A_ \cap A_ \cap \cdots \cap A_ und \bigcup_ A_\lambda = A_ \cup A_ \cup \cdots \cup A_. Die Definitionen für den zweistelligen Fall und den Fall beliebig vieler Mengen sind also zueinander konsistent.
- Es gilt \bigcap_ A_\lambda = \bigcap\ und \bigcup_ A_\lambda = \bigcup\.
- Für den leeren Schnitt liefert die Definition \bigcap_ A_\lambda = \bigcap\varnothing = \mathbb, für die leere Vereinigung \bigcup_ A_\lambda = \bigcup\varnothing = \varnothing und für die leere Produktmenge \prod_ A_\lambda = \varnothing
- Die Mengen \left(A_\times A_\right) \times A_ und A_\times \left( A_ \times A_ \right) sind nicht gleich, aber durch die Bijektion ((a,b),c)\mapsto(a,(b,c)) zueinander isomorph. In der Regel wird deshalb nicht zwischen diesen beiden Mengen unterschieden. Diese Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktengen aus einer endlichen Anzahl n von Mengen A_: i\in\mathbb,1\leq i\leq n mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit A_\times A_\times \cdots \times A_ zu bezeichnen.
- Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:
  - Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts A\times A\times\cdots\times A schreibt man auch A^n.
  - Das unendliche Mengenprodukt \prod_ A ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen \Lambda\rightarrow A. In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise A^\Lambda benutzt.
- Die Mengen A_\times A_ und \prod_A_\lambda sind nicht gleich, aber durch die Bijektion (a,b)\mapsto f_ mit f_:\\to \mathbb, \lambda_1\mapsto a, \lambda_2\mapsto b zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge \Lambda = \ in der Regel auch nicht zwischen \prod_ A_\lambda und A_\times A_\times \cdots \times A_ unterschieden wird.

Beispiele

Wir betrachten die Mengen \mathbb = \, A = \ und B = \. Es gelten:
- 2\in A, 2\notin B
- A\subseteq\mathbb, B\subseteq\mathbb, \mathbb\subseteq\mathbb
- A\subset\mathbb, B\subset\mathbb
- A\cap B = \
- A\cup B = \mathbb
- \complement = \, \complement = \, \complement=\varnothing, \complement=\mathbb
- A\setminus B = \, B\setminus A = \, \mathbb\setminus A = \, A\setminus\mathbb = \varnothing
- A\triangle B = \, A\triangle\mathbb = \, B\triangle\mathbb = \
- \left| \mathbb\right| = 3, \left| A\right| = 2, \left|\varnothing\right| = 0, \left|\\right| = 1
- \mathcal \left(A\right) = \
- \mathcal \left(\mathbb\right) = \
- A\times B = \, A\times\ = \, A^2 = \, \^3 = \
- \varnothing\notin\varnothing, \varnothing\in\
- \mathcal \left(\varnothing\right) = \, \mathcal \left(\\right) = \
- A\times\varnothing = \varnothing\times A = \varnothing
- \mathbb^+\subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb \subset \mathbb

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge \mathcal\left(\mathbb\right) ist bezüglich der Relation \subseteqpartiell geordnet, denn für alle A,B,C\subseteq\mathbb gilt:
- Reflexivität: A\subseteq A
- Antisymmetrie: Aus A\subseteq B und B\subseteq A folgt A = B
- Transitivität: Aus A\subseteq B und B\subseteq C folgt A\subseteq C Die Mengen-Operationen Schnitt \cap und Vereinigung \cup sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:
- Kommutativgesetz: A \cup B = B \cup A , A \cap B = B \cap A
- Assoziativgesetz: \left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right) , \left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)
- Distributivgesetz: A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right), A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)
- De Morgansche Gesetze: \complement( A \cup B) = \complement \cap \complement, \complement = \complement \cup \complement Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Distributivgesetze: (A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C), (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C), A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C) und A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
- Assoziativgesetze: (A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C) und A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C) Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Kommutativgesetz: A \triangle B = B \triangle A
- Assoziativgesetz: (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)
- Distributivgesetz: (A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C) :A \triangle \varnothing = A \quad A \triangle A = \varnothing Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch


- Tabelle mathematischer Symbole
- Universum (Mathematik)

Weblinks


- [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/03EXX.html Mathematical Atlas Artikel]
- [http://planetmath.org/encyclopedia/SetTheory.html PlanetMath Artikel]
- [http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html Mathe Online]
- http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306 ja:集合論

Reelle Zahlen

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge \sqrt. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol \mathbb (auch \mathbf) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von \mathbb nach \mathbb sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste x_1,x_2,x_3,\ldots reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Trichotomie) ## aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität) ## aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition) ## aus a