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Winkelminute

Winkelminute

Die Minute (oder Bogenminute oder Winkelminute) stellt eine Unterteilung der Einheit Grad (auch Gradmaß oder veraltet Altgrad genannt) für die Größe ebener Winkel dar. Das Einheitenzeichen für die Minute ist das Minutenzeichen und besteht aus einem geraden, geneigten, hochgestellten Strich: 1′ = 1 Minute. Das typographisch korrekte Zeichen im Unicode ist "PRIME", Code U+2032. Ersatzweise wird auch ein vertikaler Strich ( ' ) verwendet. Das Einheitenzeichen wird ohne Lücke unmittelbar hinter der letzten Ziffer des Zahlenwertes geschrieben wie auch bei den Einheitenzeichen der Winkel-Einheiten Grad und Sekunde. Ein Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Minuten: 1° = 60′. Eine Minute wiederum besteht aus 60 Sekunden: 1′ = 60″ und somit gilt 1° = 3600″. Üblich sind Winkelangaben auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet; der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von 3 Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geografischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. Bei dieser Schreibweise lässt man die an sich systematisch notwendigen Pluszeichen weg, obwohl normalerweise das Nebeneinanderschreiben von Zahlen eine Multiplikation bedeutet: 51° 14′ 4,2″ ist also die Kurzsschreibweise für 51° + 14′ + 4,2″ . Umrechnung (Beispiel):
51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen: Zum Vergleich: Als optischer Anhalt kann der Mond herangezogen werden. Er hat von der Erde aus betrachtet eine Größe von ungefähr 30 Minuten. Am Äquator der Erde entspricht eine Bogenminute etwa 1,852 Kilometer. Das ist eine Seemeile. Nicht zu verwechseln sind die Winkel-Einheiten Minute und Sekunde mit der Angabe der Rektaszension in Stunden, Minuten und Sekunden in der Astronomie.

Siehe auch


- Bogenmaß
- Bogensekunde
- SI-Einheiten
- Winkel (Geometrie) Kategorie:Maßeinheit ja:分 (角度)

Maßeinheit

Eigenschaften

Bedingung dafür, dass eine Größe skalierbar ist und als Maßeinheit definiert werden kann, ist:
- Es gibt einen Referenzwert (eine Referenzbeobachtung), auf den sich der Ausgangspunkt der Skala (gewöhnlicherweise der Nullpunkt oder auch ein anderer definierter Punkt wie beispielsweise der Siedepunkt) beziehen kann.
- Es existiert eine eindeutige Vorgabe der Abstufung bzw. Unterteilung der Skala, mit der die beobachteten Werte definiert werden können. Maßeinheiten werden immer dann definiert, wenn sich Größen skalieren lassen. Neben Maßeinheiten für physikalische Größen gibt es auch Maßeinheiten für nicht-physikalische Größen, z. B. wahrnehmungsbezogene Größen wie die Tonheit, Lautheit etc. Eine Übersicht über physikalische Maßeinheiten findet sich unter Physikalische Größe.

Einheitensysteme

Oft fasst man heute Einheiten zu Einheitensystemen zusammen, in denen nur noch einige Grundeinheiten definiert werden müssen, und alle anderen Einheiten sich aus diesen ergeben.

Einheitenzeichen

Einheitenzeichen sind Buchstaben oder Buchstabengruppen, die stellvertretend für die Einheitennamen verwendet werden. In Gleichungen können sie in eckige Klammern oder auch ohne dargestellt werden.

Geschichte

Einheitenzeichen] In früheren Zeiten wurden Maßeinheiten meistens über Referenzkörper (sog. "Maßverkörperungen") definiert, die die entsprechende Eigenschaft hatten. Gut geeignet sind dazu Längenmaße, Volumen, Massen, die über Metallstäbe, Kugeln oder Hohlgefäße darstellbar sind. An repräsentativer Stelle befestigt, häufig in der Fassade des Rathauses eingemauert, ermöglichte es ein solches Maß jedem, seine eigenen Messgeräte zu eichen. Im Einheitensystem SI ist das Kilogramm derzeit die einzige Maßeinheit, die auf diese Weise definiert ist. Maßeinheiten wurden früher sehr willkürlich und oft ohne Beziehung zueinander, aber nach praktischen Gesichtspunkten, wie Längenabmessungen am menschlichen Körper festgelegt. Abstrakterere Maßeinheiten hatten zu der Zeit im Alltag nur eine untergeordnete Bedeutung. Derartige Einheiten muss man über Meßvorschriften definieren, die vergleichsweise einfach mit hoher Genauigkeit zu reproduzieren sind.- Im fachlichen Bereich unterscheidet man jedoch zwischen "Definition" und "Realisierungsvorschrift"; die geeigneten Realisierungsverfahren unterscheiden sich oft von dem in der Definition festgelegten Verfahren. Welches Verfahren geeignet ist, hängt von den Genauigkeits-Anforderungen ab. Beispielsweise kann für die "Darstellung" einer Maßeinheit als nationales Normal viel höherer Aufwand betrieben werden als beim Eichen von Handelswaagen. Je nach Genauigkeitsanforderung können auch heute noch verkörperte Maße aktuell sein. Siehe auch: Geschichte von Maßen und Gewichten

Beispiele

Im SI-Einheitensystem ist das Kilogramm definiert durch die Masse des Urkilogramms in Paris. Alle Massen werden als Vielfache dieser Masse angegeben, z. B. bedeutet die Angabe "5 kg" soviel wie "5 mal so große Masse wie die Masse des Urkilogramms in Paris". Die Geschwindigkeitseinheit Meter/Sekunde ist im SI eine von den Basiseinheiten Meter und Sekunde abgeleitete Einheit. Hingegen ist die Geschwindigkeitseinheit Mach nicht von anderen Einheiten abgeleitet und nicht in ein Einheitensystem eingebunden. Weitere Beispiele mit teilweise veralteten Einheiten: Beispiele von alten Einheiten:
- Pferdestärke (PS): Leistung, die benötigt wird, um 75 kg in einer Sekunde einen Meter zu heben.
- Torr (bzw. mm Hg): Druck, der einer Quecksilbersäule von 1 mm entspricht
- Kilopond (kp): Kraft, die der Gravitationskraft von 1 kg entspricht

Siehe auch


- Geschichte von Maßen und Gewichten
- Physikalische Größe
- Liste der physikalischen Formelzeichen

Weblinks


- [http://calc.skyrocket.de/de Online Einheiten Umrechner: Umrechnung sehr vieler Maßeinheiten]
- [http://jumk.de/calc/index.shtml Online Einheiten Umrechner: Umrechnung sehr vieler Maßeinheiten]
- [http://www.h-bauer.de/index.html?unitconv,ger Kompakter Einheitenumrechner für den PC (Freeware)]
- [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_3.html Einführung in die Maßeinheiten verschiedener Fachgebiete]
- [http://www.magazinusa.com/lv2/info/i_info_measures.asp Einige Maße & Gewichte] ! ja:物理単位

Winkel (Geometrie)

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen) Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen. Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden. Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.
- Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
- Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt. In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden. Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder \angle ABC

Arten von Winkeln

; spitzer Winkel : kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0g, 100g) = (0, ½·π); ; rechter Winkel : gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100g = ½·π; ; stumpfer Winkel : größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100g, 200g) = (½·π, π); ; gestreckter Winkel : gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200g = π; ; überstumpfer Winkel : größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200g, 400g) = (π, 2·π); ; Vollwinkel : 360° = 400g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größe ebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden. : Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2 \pi rad Historisches Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben. Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.

Gebräuchliche Winkelmaße


- Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
  - Rechter Winkel = 90°
  - Vollwinkel = 360°
- Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß
  - Rechter Winkel = \frac rad
  - Vollwinkel = 2π rad
- Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
  - Rechter Winkel = 100 gon
  - Vollwinkel = 400 gon
- Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
  - 90° = 0,25 Vollwinkel Winkelgrad = 180:π·Bogenmaß z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechen Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel. : Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel. : Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei weitere parallele Geraden h und h', so bezeichnet man die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g aber auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, als Nachbar- oder E-Winkel. : Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°. Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden h und h' parallel. Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei parallele Geraden h und h', so heißen die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf der selben Seite von g und beide entweder ober- oder unterhalb von h bzw. h' liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel. : Stufenwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von g und jeweils ober- oder unterhalb von h und h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei parallele Geraden h und h', so heißen die Winkel \angle(g,h) und \angle(g,h'), die auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. : Wechselwinkel sind gleich groß. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen. Die Aussage, jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden, gilt im Allgemeinen nicht!

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels)

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke. Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke. Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade. Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben, steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt. Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke. Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein. Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Schenkel des Winkels schneidet. Der Radius des Bogens muss im Zirkel behalten werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Schenkel ebendieses Winkels schneidet. Daraufhin sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Schenkel des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird wieder beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Schenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel. Ebenso verhält es sich mit der Subtraktion eines Winkels, nur dass hierbei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, sondern so, dass der neue Schenkel zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man subtrahieren möchte, liegt.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen.

Winkelmessung


- mit dem Geodreieck
- mit dem Theodolit
- mit dem Goniometer
- mit dem Sextanten
- historisch
  - mit dem Jakobsstab

Weblinks


- [http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm Erklärung der Winkelmessung mit dem Theodolit] Kategorie: Geometrie ja:角度 ko:각도 simple:Angle

Unicode

Unicode ist ein internationaler Standard, in dem langfristig für jedes sinntragende Zeichen bzw. Textelement aller bekannten Schriftkulturen und Zeichensysteme ein digitaler Code festgelegt wird. Er will das Problem der verschiedenen inkompatiblen Kodierungen in den unterschiedlichen Ländern beseitigen. Herkömmliche Computer-Zeichensysteme umfassen einen Zeichenvorrat von entweder 128 (7 Bit) Zeichen wie der sehr bekannte ASCII-Standard oder 256 (8 Bit) Zeichen, wie z.B. ISO Latin-1, wovon nach Abzug der Steuerzeichen 96 Elemente bei ASCII und 192–224 Elemente bei den 8-bit ISO-Zeichensätzen als Schrift- und Sonderzeichen darstellbar sind. Diese Zeichenkodierungen erlauben die gleichzeitige Darstellung von nur wenigen Sprachen im selben Text, wenn man sich nicht damit behilft, in einem Text verschiedene Schriften mit unterschiedlichen Zeichensätzen zu verwenden. Dies behinderte den internationalen Datenaustausch erheblich. In Unicode finden Zeichen der wichtigsten Industriestandard-Zeichensätze wie die ISO-Normen eine 1:1-Entsprechung (das bedeutet, dass bei einer Konversion vom Industriestandard zu Unicode und zurück das gleiche Ergebnis herauskommt). Heute erledigen die meisten Webbrowser die Darstellung dieser Zeichensätze mit einer Unicode-kodierten Schrift in der Regel perfekt und vom Benutzer unbemerkt. ISO 10646 ist die von ISO verwendete praktisch bedeutungsgleiche Bezeichnung des Unicode-Zeichensatzes; er wird dort als Universal Character Set (UCS) bezeichnet.

Codes, Speicherung und Übertragung

Die Codes von Unicode-Zeichen werden hexadezimal mit vorangestelltem „U+“ dargestellt. Hierbei kann „x“ als Platzhalter verwendet werden, wenn zusammenhängende Bereiche gemeint sind, wie „U+01Fx“ für den Codebereich U+01F0–U+01FF. Der Coderaum von Unicode umfasste ursprünglich 65.536 Zeichen (UCS-2, 16 Bit). Bald aber stellte sich dies als unzureichend heraus. In Version 2.0 wurde der Codebereich um weitere 16 gleich große Bereiche, sogenannte Planes (Ebenen) erweitert. Somit sind nun maximal 1.114.112 (220+216) Zeichen bzw. Codepoints im Codebereich von U+00000 bis U+10FFFF vorgesehen (UCS-4, 32 Bit). Bislang, in Unicode 4.0, sind 96.382 Codes individuellen Zeichen zugeordnet. Das entspricht in etwa erst 9% des Coderaumes. Die Codebereiche (Blöcke), in welche die Unicode-Ebenen untergliedert werden, sind in der Liste der Unicode-Blöcke vollständig aufgeführt. Neben den gültig kodierten Zeichen ist auch sehr langfristig, z. T. noch recht vage Geplantes aufgeführt. Die Speicherung und Übertragung von Unicode erfolgt in unterschiedlichen Formaten:
- Unicode Transformation Format (UTF), wobei UTF-8 das gebräuchlichste ist, z.B. im Internet und in fast allen Betriebssystemen. Neben UTF-8 hat UTF-16 eine große Bedeutung, so z.B. als Zeichencodierung in Java, der dem Unicode UCS-4 für alle UCS-2 Codepoints entspricht, und alle anderen Codepoints als Zweiersequenzen, die sogenannten Surrogate Pairs, abbildet.
- SCSU (Standard Compression Scheme for Unicode, früher auch als RCSU – Reuters' Compression Scheme for Unicode – bezeichnet) ist eine Methode zur platzsparenden Speicherung, welche die Anordnung der verschiedenen Alphabete in Blöcken ausnutzt (siehe Weblinks).
- UTF-EBCDIC ist eine Unicode-Erweiterung, die auf dem proprietären EBCDIC-Format von IBM-Großrechnern aufbaut.
- Punycode dient dazu, Domainnamen mit nicht-ASCII-Zeichen zu kodieren. Siehe auch: IDNA.
- Außerdem gibt es die Formate CESU-8 und GB18030.

Normierungsinstitutionen

Das gemeinnützige Unicode Consortium ist für den Industriestandard Unicode verantwortlich. Von der ISO (International Organization for Standardization) wird die internationale Norm ISO 10646 herausgegeben. Beide Institutionen arbeiten eng zusammen. Seit 1993 sind Unicode und ISO 10646 bezüglich der Zeichenkodierung identisch. Während ISO 10646 lediglich die eigentliche Zeichenkodierung festlegt, gehört zum Unicode ein umfassendes Regelwerk, das u. A. für alle Zeichen weitere zur konkreten Anwendung wichtige Eigenschaften eindeutig festlegt wie Sortierreihenfolge, Schreibrichtung und Regeln für das Kombinieren von Zeichen. Im Moment ist Unicode strenggenommen noch eine Untermenge von ISO 10646: Während ISO 10646 Zeichencodes mit bis zu 31 Bit zulässt, sind bei Unicode maximal 21 Bit erlaubt. In nächster Zeit aber dürfte der ISO-Codebereich auf den von Unicode reduziert werden.

Kodierungskriterien

Gegenüber anderen Normen gibt es bei Unicode die Besonderheit, dass einmal kodierte Zeichen niemals wieder entfernt werden, um die Langlebigkeit digitaler Daten zu gewährleisten. Sollte sich die Normierung eines Zeichens nachträglich als Fehler erweisen, wird allenfalls von seiner Verwendung abgeraten. Daher bedarf die Aufnahme eines Zeichens in den Standard einer äußerst sorgfältigen Prüfung, die sich über Jahre hinziehen kann. Im Unicode werden „abstrakte Zeichen“ (engl.: characters) kodiert, nicht Glyphen. Letzteres ist die grafische Darstellung abstrakter Zeichen, die extrem unterschiedlich ausfallen kann, beim lateinischen Alphabet beispielsweise in Fraktur, Antiqua, im Irischen und in Handschriften, siehe auch Glyphe. Für Glyphenvarianten, deren Normierung als sinnvoll und notwendig nachgewiesen wird, sind vorsorglich 256 „Variation Selectors“ vorgesehen, die ggf. dem eigentlichen Code nachgestellt werden können. Andererseits haben Schriften, die sowohl das lateinische als auch das griechische Alphabet enthalten, doppelt kodierte identische Glyphen für die folgenden mehrdeutigen Buchstaben: Α Β Ε Ζ Η Ι Κ Μ Ν Ο Ρ Τ Υ Χ. Von vielen Zeichen gibt es nicht nur durch die Schriftart bedingte Varianten sondern auch innerhalb einer Schriftart mehr oder minder notwendige sprach-, schrift- oder kontextabhängige Glyphenvarianten und Ligaturen, zu deren Darstellung es sogenannter Smartfonttechniken wie OpenType, nicht aber einer Unicode-Kodierung bedarf. Allerdings wird in Grenzfällen hart um die Entscheidung gerungen, ob es sich um Glyphenvarianten oder kodierungswürdige Zeichen, d. h. unterschiedliche (Grapheme) handelt. Beispielsweise sind nicht wenige Fachleute der Meinung, das phönizische Alphabet könne man als Glyphenvarianten des hebräischen betrachten, da der gesamte Zeichenvorrat des Phönizischen dort eindeutige Entsprechungen hat, und auch die beiden Sprachen sehr eng verwandt sind. Die Auffassung, es handele sich um ein separates Zeichensystem, in der Unicode-Terminologie „script“, hat sich letztlich durchgesetzt. Anders verhält es sich bei CJK: Chinesisch, Japanisch und Koreanisch). Hier haben sich im 20. Jahrhundert die Formen vieler gleichbedeutender Schriftzeichen auseinanderentwickelt. Dennoch teilen sich die sprachspezifischen Glyphen die selben Codes im Unicode. In der Praxis werden hier wohl überwiegend sprachspezifische Schriftarten verwendet, und die zeichnen sich schon durch außergewöhnliche Dateigrößen aus. Die einheitliche Kodierung der CJK-Schriftzeichen (Han Unification) war eine der wichtigsten und umfangreichsten Vorarbeiten für die Entwicklung von Unicode. Besonders in Japan ist sie durchaus umstritten. Zu Einzelheiten (engl.) siehe Weblinks. Als der Grundstein für Unicode gelegt wurde, musste berücksichtigt werden, dass bereits eine Vielzahl unterschiedlicher Kodierungen in verbreitetem Einsatz waren. Unicode-basierte Systeme sollten herkömmlich kodierte Daten mit geringem Aufwand handhaben können. Hierzu wurde für die unteren 256 Zeichen die weit verbreitete ISO 8859-1-Kodierung (Latin1) beibehalten ebenso wie die Kodierungsarten verschiedener nationaler Normen, z. B. TIS 620 für Thailändisch (fast identisch mit ISO 8859-11) oder ISCII für indische Schriften, die in der ursprünglichen Reihenfolge lediglich in höhere Codebereiche verschoben wurden. Jedes Zeichen maßgeblicher überkommender Kodierungen wurde in den Standard übernommen, auch wenn es den normalerweise angelegten Maßstäben nicht gerecht wird. Hierbei handelt es sich zu einem großen Teil um Zeichen, die aus zwei oder mehr Zeichen zusammengesetzt sind, wie Buchstaben mit diakritischen Zeichen. Im übrigen verfügt auch heute noch ein großer Teil der Software nicht über die Möglichkeit, Zeichen mit Diakritika ordentlich zusammenzusetzen. Die exakte Festlegung von äquivalenten Kodierungen ist Teil des zum Unicode gehörenden umfangreichen Regelwerks. Obgleich die hexadekadischen Ziffern A bis F formal die Kriterien für eine gesonderte Kodierung erfüllen, musste dies unterbleiben, weil in der Praxis deren Funktion stets von den Buchstaben A bis F übernommen wird. Vielen Unicode-Zeichen ist keine Glyphe zugeordnet. Auch sie gelten als „characters“. Neben den Steuerzeichen wie Zeilenvorschub (U+000A), Tabulator (U+0009) usw. sind allein 19 Zeichen explizit als Leerzeichen definiert, sogar solche ohne Breite, die u. a. als Worttrenner gebraucht werden für Sprachen wie Thai oder Tibetisch, die ohne Wortzwischenraum geschrieben werden. Für bidirektionalen Text, z. B. Arabisch und Lateinisch sind sieben Formatierungszeichen notwendig.

Beispiel: Combining Grapheme Joiner (CGJ)

Der CGJ ist ein unsichtbares Sonderzeichen, das normalerweise von den Anwendungsprogrammen völlig ignoriert wird (engl.: default ignorable). Er soll audrücklich nicht zur Kennzeichnung von Glyphenvarianten o. Ä. verwendet werden. Sein Gebrauch ist wie folgt definiert: In manchen Sprachen gibt es Digraphen und Trigraphen, die grundsätzlich als eigenständige Buchstaben behandelt, d. h. insbesondere sortiert werden. Im Ungarischen beispielsweise betrifft das: cs, dz, dzs, gy, ly, ny, sz, ty und zs. Um Ausnahmen hiervon bei Bedarf zu kennzeichnen, wurde der „Combining Grapheme Joiner“ CGJ (U+034F) eingeführt. Der Name bedeutet eigentlich das Gegenteil, aber, auch das gehört zum Standard, auch die Namen kodierter Zeichen werden niemals geändert. Trägt ein Buchstabe mehrere Diakritika drüber oder drunter, werden diese normalerweise vertikal gestapelt. Für Ausnahmefälle, in denen zwei Diakritika nebeneinander stehen müssen, sieht Unicode vor, dass ein CGJ dazwischengestellt wird. Es obliegt dem Schriftentwickler, die Erscheinungform der Zeichenfolgen „Diakritikon1 CGJ Diakritikon2“ festzulegen, auf die dann mittels einer Schrifttechnik wie OpenType zugegriffen werden kann. Die im Standard festgelegte Eigenschaft „default ignorable“ qualifiziert den CGJ, in Sonderfällen auch andere sonst unnötige feine Unterschiede zu markieren. So kann die Datenverarbeitung deutscher Bibliotheken die Unterscheidung von Umlaut und Trema (meist für fremdsprachige Namen) erfordern. Hier empfiehlt Unicode, dem Trema (U+0308) den CGJ voranzustellen, um es als Umlaut zu kennzeichnen. Die ursprünglich von DIN vorgeschlagene nachträgliche gesonderte Kodierung der Umlaut-Punkte hätte zu einer kaum vertretbaren Inkonsistenz großer Datenmengen geführt.

Eingabemethoden

Will man ein Unicode-Zeichen (zum Beispiel „⊕“) in HTML oder XML verwenden, sucht man es zunächst aus der entsprechenden Tabelle (hier: Mathematische Symbole). Dort ist seine Zeichennummer hexadezimal angegeben. Mit dieser Zeichennummer erstellt man dann eine Zeichenentität durch Voranstellen von „&#x“ und Anfügen eines Semikolons, eben „⊕“. Die Zeichennummer kann in der Zeichenentität auch dezimal, dann ohne führendes „x“, angegeben werden, zum Beispiel „⊕“ für das gleiche Zeichen. Die Text Encoding Initiative TEI hat Empfehlungen erarbeitet, Unicode in XML-Dateien in leichter verständlicher Form einzugeben. Hier handelt es sich um einen Satz benannter Zeichen (engl.: named entites), der in das Stylesheet integriert wird. Allgemein übliche benannte Zeichen sind z. B. die Umlaute wie „Ä“ statt „Ä" für Ä. Im Vi Improved kann man Unicode-Zeichen (Voraussetzung: Unicode-basierte Locale oder als Unicode, zum Beispiel UTF-8, erkannte Datei) eingeben, indem man Strg+V,U und dann die hexadezimale Zeichennummer drückt, also zum Beispiel Strg+V,U,2,0,A,C für das Euro-Zeichen. Eine alternative Eingabemöglichkeit ist die Benutzung der Digraph-Methode des Vim. In Emacs ab Version 21.4 kann man Unicode-Zeichen eingeben, indem man ALT-x ucs-insert und dann die hexadezimale Zeichennummer eingibt. Unter Windows (ab Windows 2000) kann in vielen Programmen der Code hexadezimal eingegeben werden. Mit nachfolgendem Alt-x, innerhalb von MS Word 2003 aber Alt-c, wird das Zeichen erzeugt. Diese Tastenkombination kann unter Windows XP auch benutzt werden, den Code des vor dem Cursor stehenden Zeichens anzuzeigen. Ob das entsprechende Unicode-Zeichen auch tatsächlich am Bildschirm erscheint, hängt davon ab, ob die verwendete Schriftart eine Glyphe für das gewünschte Zeichen (also eine Grafik für die gewünschte Zeichennummer) enthält. Oftmals, z.B unter Windows wird, falls die verwendete Schrift ein Zeichen nicht enthält, nach Möglichkeit ein Zeichen aus einer anderen Schrift eingefügt. In der Typografie gilt so etwas als Fehler namens Zwiebelfisch. In Webbrowsern hingegen ist dies überaus nützlich, in Verbindung mit Umlaut-Domains und Phishing aber auch sicherheitsrelevant.

Schriftarten

Mittlerweile hat der Zeichensatz von Unicode/ISO einen Umfang angenommen, der sich praktisch nicht mehr vollständig in einer Schriftart unterbringen lässt. In Postscript-CFF-, TrueType- und OpenType-Schriften kann man maximal 65.536 Zeichen unterbringen. So versteht es sich von selbst, dass Unicode/ISO-Konformität einer Schrift nicht bedeutet, dass der komplette Zeichensatz enthalten sein muss, sondern lediglich, dass die enthaltene Zeichenauswahl normgerecht kodiert ist. Normalerweise wird eine dem Verwendungszweck oder Verbreitungsgebiet angemessene Auswahl getroffen. Die derzeit umfangreichste Schrift – in zwei Dateien aufgeteilt – ist [http://home.att.net/~jameskass/ Code 2000/Code 2001] von James Kass. Eine Übersicht über viele kostenlose und kommerzielle, umfangreiche und spezialisierte Unicode-Schriften bietet [http://www.alanwood.net/unicode/fonts.html Allan Wood].

Altgriechisch mit Unicode

Die meisten Unicode-Schriften stellen nur diejenigen Buchstaben und Zeichen dar, die im Neugriechischen Verwendung finden (Unicode-Tabelle [http://www.unicode.org/charts/PDF/U0370.pdf "Greek and Coptic"] PDF). Es handelt sich um folgende Zeichen: Α α Ά ά Β β Γ γ Δ δ Ε ε Έ έ Ζ ζ Η η Ή ή Θ θ Ι ι Ί ί Ϊ ϊ ΐ Κ κ Λ λ Μ μ Ν ν Ξ ξ Ο ο Ό ό Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Ϋ ϋ Ύ ύ ΰ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω Ώ ώ ; · Die Eingabe dieser Zeichen kann z.B. so erfolgen, dass eine passende Unicode-Schriftart gewählt wird und dann das Tastenlayout auf Griechisch umgestellt wird. Für das Schreiben und Darstellen altgriechischer Texte werden aber Sonderzeichen benötigt (Unicode-Tabelle [http://www.unicode.org/charts/PDF/U1F00.pdf "Greek Extended"] PDF), die in vielen Unicode-Schriftarten nicht vorhanden sind. In der folgenden Testtabelle finden sich Beispiele – nur das oberste Zeichen gehört zum "normalen" Zeichensatz "Greek". Benötigt werden aber auch die anderen Zeichen, insgesamt mindestens die folgenden: ἀ ἁ ὰ ᾶ ἂ ἃ ἄ ἅ ἆ ἇ ᾳ ᾀ ᾁ ᾴ ᾲ ᾷ ᾄ ᾅ ᾂ ᾃ ᾆ ᾇ ἐ ἑ ὲ ἔ ἕ ἒ ἓ ἠ ἡ ὴ ῆ ἤ ἢ ἣ ἥ ἦ ἧ ῃ ῄ ῂ ῇ ᾐ ᾑ ᾔ ᾒ ᾕ ᾓ ᾖ ᾗ ἰ ἱ ὶ ῖ ἴ ἲ ἵ ἶ ἷ ὀ ὁ ὄ ὅ ὂ ὃ ὐ ὑ ὺ ῦ ὔ ὕ ὒ ὓ ὖ ὗ ὠ ὡ ὼ ῶ ὤ ὢ ὥ ὣ ὦ ὧ ῴ ῲ ῷ ᾠ ᾡ ᾤ ᾢ ᾥ ᾣ ᾦ ᾧ ` ᾿ ῾ ῍ ῎ ῏ ῟ ῞ ῝ ῍ ῎ Zur Darstellung dieser Zeichen ist möglicherweise eine besondere Einstellung des Internet-Browsers nötig.
- Windows-Explorer: Unter "Extras" die "Internetoptionen" wählen, dann auf der Registerkarte "Allgemein" unter "Schriftarten" folgende Wahl treffen: "Sprachskript": Lateinischer Stamm; "Schriftart für Webseiten": Palatino-Linotype. Dann unter "Eingabehilfen" ein Häkchen setzen bei: "Schriftartangaben auf Webseiten ignorieren".

Versionen von Unicode

Derzeit erscheinen neue Versionen ungefähr im Abstand von anderthalb Jahren, wobei in der letzten Zeit jährlich etwa 1000 Zeichen neu aufgenommen werden.
- DP 10646 1989 (Vorschlag für den Entwurf von ISO 10646, unabhängig von Unicode)
- DIS-1 10646 1990 (Erster Entwurf für ISO 10646, unabhängig von Unicode)
- Unicode 1.0.0 Oktober 1991
- Unicode 1.0.1 Juni 1992 (Modifikationen um eine Zusammenführung mit ISO 10646 zu ermöglichen)
- Unicode 1.1.0 Juni 1993 (Unicode und ISO-Norm erstmals vereinigt: Codes identisch zu ISO 10646-1: 1993)
- Unicode 1.1.5 Juli 1995
- Unicode 2.0.0 Juli 1996 (Abgleich mit ISO 10646 Erweiterungen)
- Unicode 2.1.2 Mai 1998 (unter anderem Einführung des Eurozeichens)
- Unicode 2.1.5 August 1998
- Unicode 2.1.8 Dezember 1998
- Unicode 2.1.9 April 1999
- Unicode 3.0.0 September 1999 (Abgleich mit ISO 10646-1: 2000)
- Unicode 3.0.1 August 2000
- Unicode 3.1.0 März 2001 (Abgleich mit ISO 10646-2: 2001)
- Unicode 3.1.1 August 2001
- Unicode 3.2.0 März 2002
- Unicode 4.0.0 April 2003 (Abgleich mit ISO 10646: 2003)
- Unicode 4.0.1 März 2004
- Unicode 4.1.0 März 2005

Software

Das freie Programm gucharmap (für Linux/UNIX) stellt den Unicode-Zeichensatz auf dem Bildschirm dar und bietet zusätzliche Informationen zu den einzelnen Zeichen.

Literatur


- Joan Aliprand u.a. (Hrsg.): The Unicode Standard Version 4.0, Addison Wesley, Boston, Mass. 2003, ISBN 0-321-18578-1

Siehe auch


- Liste der Unicodeblöcke

Weblinks


- [http://www.unicode.org Unicode Consortium] (englisch)
- [http://www.decodeunicode.org/ Decode Unicode Projekt - Erklärungen zu 1200 Unicodezeichen in einem Wiki, dazu 50.000 Glyphen; Deutsch/Englisch]
- [http://www.cl.cam.ac.uk/~mgk25/unicode.html UTF-8- und Unicode-FAQ für Unix/Linux] (Markus Kuhn, englisch)
- [http://de.selfhtml.org/inter/unicode.htm Das Unicode-System - Beschreibung im HTML-Kompendium SELFHTML]
- [http://mypage.bluewin.ch/reprobst/WordFAQ/Unicode.htm Microsoft Word und Unicode-Unterstützung], (bezieht sich auf alte Versionen, in aktuellen keine Probleme vorhanden)
- [http://www.jostjahn.de/unicodes.html Liste und Anzeige der Codes] Standards:
- RFC 3629 (UTF-8, a transformation format of ISO 10646)
- RFC 3492 (Punycode, für Sonderzeichen in Domainname) ---- Für Hinweise zur Darstellung ausländischer Schriften in Wikipedia-Artikeln im Browser siehe Wikipedia:Unicode. Kategorie:Zeichenkodierung Kategorie:Datenformat ja:Unicode ko:유니코드 th:ยูนิโคด zh-min-nan:Thong-iōng-bé

Bogensekunde

Eine Bogensekunde ist eine Winkel-Maßeinheit, die 1/3600 Grad entspricht. Sechzig Bogensekunden entsprechen einer Bogenminute und 60 Bogenminuten entsprechen schließlich ein Grad. Das Symbol für Bogensekunden ist das Sekundenzeichen und besteht aus zwei geraden, geneigten Strichen: 1″ = 1 Bogensekunde. Es entspricht dem Zollzeichen. Ersatzweise werden auch zwei vertikale Striche (") verwendet. Zum Vergleich: Das menschliche Auge hat eine Auflösung von etwa 60″ und kann damit theoretisch zwei senkrechte kantige Objekte, die 1 Meter auseinander stehen, noch in 3-4 km Entfernung auseinander halten. De facto mindert die Form der Objekte oder schwacher Kontrast diesen Wert. Der engste Doppelstern (ε im Sternbild Leier), den nur sehr scharfe Augen noch getrennt wahrnehmen, hat 208″ Distanz. Andererseits haben unsere Augen die Fähigkeit, auch viel feinere Details noch zu erkennen, wenn sie linienförmig sind und mehrere Sehzellen anregen. So kann man etwa einen Mast noch am Horizont ausmachen, wenn er unter 20-30″ erscheint.

Siehe auch


- Bogenmaß
- Bogenminute Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem Kategorie:Maßeinheit ja:秒 (角度) ko:각초

Geografische Koordinaten

Die geografischen Koordinaten im eigentlichen Sinne sind geografische Länge (früher Längengrad), geografische Breite (früher Breitengrad) und Höhe über Normalnull. Um die geografische Lage eines Ortes auf der Erde anzugeben, können verschiedene Koordinatensysteme verwendet werden. Die geographischen Koordinaten sind aber die am häufigsten verwendete Möglichkeit, die Lage auf der Erdoberfläche zu beschreiben. Die Erde wird dabei in 360 Längengrade und 180 Breitengrade aufgeteilt. Normalnull bezeichnet die Höhe des Wasserspiegels der Weltmeere, z. B. gemessen am mittleren Wasserpegel von Amsterdam (für Deutschland), Triest (Österreich) oder Marseille (Schweiz).

Koordinatensystem

Marseille Das Gradnetz der Erde ist ein gedachtes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche mit sich rechtwinklig schneidenden Längen- und Breitenkreisen; es dient zur geografischen Ortsbestimmung. Die Breitengrade werden dabei vom Äquator aus gezählt, die Pole liegen bei 90° Nord bzw. Süd, die Längengrade werden von einem willkürlichen Nullmeridian nach Osten und Westen gezählt bis 180°. Die Festlegung der Winkel stimmt nicht mit dem in Mathematik und Physik üblichen Kugelkoordinatensystem überein. Bis Anfang des 20. Jahrhunderts waren in verschiedenen Ländern verschiedene Nullmeridiane gebräuchlich (beispielsweise Ferro und Paris), heutzutage wird der Meridian von Greenwich (Sternwarte in London) international verwendet. Bei der genauen Ortsbestimmung muss beachtet werden, das sich Geographischen Koordinaten auf unterschiedliche Bezugsysteme beziehen können. Das am häufigsten genutzte Bezugsystem ist das WGS84. Je nach Zweck werden auch andere Referenzellipsoide, eine Kugel oder das Geoid verwendet.

Karten

Da Kartographen in früheren Jahrhunderten die vielen regionalen Abweichungen der Erdoberfläche vom idealen Ellipsoid dadurch ausglichen, dass sie im betreffenden Gebiet das Koordinatensystem „verschoben“, entstanden Dutzende geodätische Systeme (Bezugssysteme für Karten). Mit der Entwicklung der Satellitennavigation musste ein weltweit einheitliches System geschaffen werden (siehe WGS84). In Land- oder Seekarten, die fast immer auf früheren Systemen beruhen, könnte eine Angabe in einem falschen Bezugssystem (etwa das Eintragen einer GPS-Position) einen Fehler von etlichen Hundert Metern verursachen, wenn das Referenzellipsoid (auch Kartendatum, Bezugssystem) der Angabe nicht dasselbe ist wie das der Karte. Werte können natürlich von einem System zu einem anderen umgerechnet werden.

Luftfahrt und Nautik

Genauere Positionsangaben sind in der Luftfahrt und Nautik erforderlich. Hier wird die geografische Breite und Länge auf Bogenminuten genau angegeben, z. B. Zugspitze Lat = 47° 25' N, Lon = 10° 59' E oder Ost.
- Bogenminuten werden dezimal weiter unterteilt.
- Gemäß DIN 13.312, gültig für Luft- und Seefahrt, wird die geografische Breite mit Lat oder älter auch φ abgekürzt, die geografische Länge mit Lon oder λ. B und L sind nicht normgemäß.
- Eine Breitenminute entspricht auf der Erdoberfläche einer Strecke von ca. 1.852 m und definiert die Länge einer Seemeile.
- Die Strecke, die einer Längenminute entspricht, beträgt zwar am Äquator ebenfalls 1.852 m, nimmt aber zum Pol hin bis auf Null ab. Sie ist also breitenabhängig. Innerhalb Europas liegt die Strecke zwischen 1 km und 1,5 km.

Vermessungswesen

Im Vermessungswesen sind cm-Genauigkeiten gefragt - daher genügt die Angabe von Bogensekunden nicht, da eine Bogensekunde (1") etwa 31 m (Breitenangabe) bzw. 20 m (Längenangaben in Europa) entspricht. In Deutschland wurde bisher die Lage der Festpunkte auf Millimeter genau als Gauß-Krüger-Koordinate, bezogen auf das Bessel-Ellipsoid, beziehungsweise im Gebiet der früheren DDR ab den 1950-er Jahren, bezogen auf das Krassowski-Ellipsoid, angegeben. Seit den 1990-er Jahren erfolgt in Deutschland eine Umstellung auf UTM-Koordinaten im ETRS89-System, bezogen auf das GRS80-Ellipsoid.

Eselsbrücke

Damit Breite und Länge nicht verwechselt werden, ist folgendes Bild nützlich: Man stelle sich die Erde als einen dicken (= breiten) Mann vor. Der Äquator ist seine breiteste Stelle, ein Breitengrad.

Beispiele


- Koordinaten von
  - München: (Stadtmitte)
  - San Francisco: (Stadtmitte)

natürliche, astronomische, ellipsoidische, geodätische Koordinaten

Die natürlichen Koordinaten (astronomische Breite φ und astronomische Länge λ) können durch astronomische Ortsbestimmung ermittelt werden. Sie beziehen sich auf die tatsächliche Lotrichtung am Messpunkt. Die Ellipsoidischen Koordinaten (B, L - auch geodätische Koordinaten genannt) beziehen sich hingegen auf die Normalenrichtung des verwendeten Referenzellipsoids. Die Differenz von Lotrichtung und Ellipsoidnormale ist üblicherweise kleiner als 10" und wird als Lotabweichung bezeichnet. In der Regel verlaufen weder Lotrichtung noch Ellipsoidnormale durch den Erdmittelpunkt. Bei geringen Genauigkeitsansprüchen z.B. bei Kartendarstellungen in sehr kleinen Maßstäben wird der Erdkörper zur Vereinfachung durch eine Kugel angenähert. In diesem Fall entsprechen geographische Breite und Länge sphärischen Koordinaten. Nur dann ist die Breite der Winkel im Erdmittelpunkt zwischen dem Äquator und dem gesuchten Punkt.

Siehe auch


- Geodätisches Datum
- Koordinatensystem
- Polarkoordinate
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- Schweizer Landeskoordinaten
- Orthodrome
- Wikipedia:WikiProjekt Georeferenzierung (Einsatz in der Wikipedia)

Weblinks


- [http://www2.demis.nl/mapserver/mapper.asp www2.demis.nl - erzeugt Karten aus Koordinaten]
- [http://www.fallingrain.com/world/ Geografische Koordinaten für Orte auf der ganzen Welt]
- [http://www.heavens-above.com/countries.asp Geografischen Koordinaten für alle Städte der Welt]
- [http://www.opengeodb.de/ Geokoordinaten suchen (derzeit nur für Deutschland)]
- [http://www.getty.edu/research/conducting_research/vocabularies/tgn/index.html Geokoordinaten und administrative Informationen]
- http://www.koordinaten.de/
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/laengenbreitengrad.htm Längen und Breitengrade einfach erklärt]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/Projektionen.htm Kartenprojektionen]
- [http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm Kartenbezugssysteme] Kategorie:Geodäsie Kategorie:Nautik ja:測地系 ko:지리 좌표계

Breitengrad

Die geografische Breite φ (englisch latitude, auch deutsch abgekürzt mit Lat., lat. oder LAT) ist die im Winkelmaß angegebene nördliche oder südliche Entfernung eines Ortes (Punktes) der Erdoberfläche vom Äquator. Die Breite kann Werte von 0° (am Äquator) bis 90° (am Pol) annehmen. Nord und Süd sind dabei als Vorzeichen anzusehen.

Beispiele

Koordinaten von München: ca. 48° 9' Nord (geografische Breite), 11° 35' Ost (geografische Länge) San Francisco: ca. 37 Grad Nord, 122 Grad West Orte mit derselben Breite liegen auf einem Breitenkreis, auch Breitenparallel oder Parallelkreis genannt. Zur Identifikation eines Punktes, zur Bestimmung seiner geografischen Lage, wird zusätzlich zur Breite die Angabe seiner Länge benötigt.

Unterteilung

Die geografische Breite wird in Bogengrad, -minuten und -sekunden angegeben, wobei eine Minute 60 Sekunden und ein Grad 60 Minuten entsprechen (wie in der Zeitangabe). Bei Dezimalgrad/-minuten/-sekunden kommt das Dezimalsystem zur Anwendung. Es gibt verschiedene Methoden der Darstellung, z. B.: # Grad, Dezimalminuten: 66° 43,2'. # Dezimalgrad: 66,72° # Grad, Minuten, Sekunden: 66° 43' 12"
# Grad, Minuten, Dezimalsekunden: 66° 43' 12,96"
Nur die erste Form ist in der Flugnavigation und seit Langem auch in der Nautik gebräuchlich. Der Abstand einer Bogenminute beträgt am Äquator und auf einem Meridian eine Seemeile bzw. 1852 Meter, während der Abstand (einer Bogenminute) auf einem Breitenkreis (nördlich oder südlich des Äquators) kleiner ist. Bei der Angabe von Ortskoordinaten ist die Breite stets zuerst anzugeben, dann erst die Länge: „B vor L, wie im Alphabet“. Ihren Grund hat diese Konvention in der Geschichte: die Breite konnte bereits Jahrhunderte vor der Länge ziemlich exakt bestimmt werden.

Ermittlung der Breite

Die Breite lässt sich sehr einfach aus dem Sonnenhöchststand bestimmen (Mittagsbreite), oder aus der Höhe kulminierender Sterne. Auf der Nordhalbkugel der Erde gibt die Höhe des relativ hellen Polarsterns über dem Horizont ziemlich genau den Breitengrad an: Am Äquator erscheint der Polarstern am Horizont, am Nordpol steht er nahezu senkrecht am Himmel. Der Fehler, der aus dem ca. zwei-Grad-Abstand des Polarsterns vom Pol entsteht, beträgt wegen der Erddrehung zweimal täglich 0°, zweimal 2° und kann mit einfachsten Mitteln verringert werden. Bereits die Seefahrer des 15. Jahrhunderts verstanden die Breite zur Navigation zu nutzen. Wer hingegen auf umständliche astronomische Messungen zur Bestimmung der Länge verzichten will oder (auf See) muss, braucht eine genaue Uhrzeit.

geodätische, ellipsoidische, astronomische, geozentrische Breite

Wird als Erdmodell ein Rotationsellipsoid verwendet, so enspricht die ellipsoidische Breite dem Winkel zwischen der Äquatorebene und der Ellipsoidnormalen. Diese Breite wird auch geodätische Breite genannt. Mit astronomischer Breite bezeichnen Geodäten den Winkel zwischen der tatsächlichen Lotrichtung und der Äquatorebene. Lotrichtung und Ellipsoidnormale verlaufen in der Regel nicht durch den Erdmittelpunkt. Die Richtung zum Erdmittelpunkt wird durch die Geozentrische Breite ausgedrückt.

Siehe auch

Navigation, Konfluenzpunkt

Weblinks


- http://www.explorermagazin.de/gps/gpsbas1.jpg Kategorie:Geodäsie Kategorie:Nautik ja:緯度

Schreibweise von Zahlen

Die Schreibweise von Zahlen oder Gliederung von Zahlen beschreibt, wie Zahlen im Dezimalsystem notiert werden. Beispielsweise wird geregelt, welche Zeichen als Dezimaltrennzeichen verwendet werden, also um den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil zu trennen, und wie Folgen von mehr als vier Ziffern gegliedert werden (Tausendertrennung).

Deutschland und Österreich

In Deutschland beschäftigen sich die Normen DIN 1333 (Zahlenangaben) und die DIN 5008 (Schreib- und Gestaltungsregeln für die Textverarbeitung) mit der Schreibweise von Zahlen. Als Dezimaltrennzeichen wird das Komma "," verwendet. Zur Gliederung von längeren Ziffernfolgen in Dreierblöcke "können" (DIN 1333) bzw. "sollten" (DIN 5008) Leerzeichen verwendet werden. Bei Zahlen mit Nachkommaanteil (gebrochener Teil) gilt dies sowohl links als auch rechts des Kommas. Die DIN 1333 verbietet ausdrücklich die Verwendung des Punktes "." zur Tausendertrennung. Eine Ausnahme bilden Geldbeträge, die "aus Sicherheitsgründen" mit dem Punkt getrennt werden können. Der Duden übernimmt die Schreibweise von Zahlen aus den DIN-Normen, gibt also ebenfalls das Leerzeichen zur Tausendertrennung vor. Dabei sollten aber feste Leerzeichen (  (normales Leerzeichen) oder   (schmales Leerzeichen)) verwendet werden, um einen Zeilenumbruch innerhalb einer Zahl zu verhindern. Da jedoch noch über 80 % (Stand: 2005) aller verwendeten Internetbrowser   nicht richtig interpretieren können, ist auf Internetseiten eher zur Verwendung von   zu raten.

Beispiele

Komma als Dezimaltrennzeichen:
- 0,5
- 9,76 m
- 12,55 EUR Zahlen mit mehr als drei Stellen werden durch schmale Leerzeichen (HTML-Code  ) in dreistellige Gruppen gegliedert (links und rechts des Kommas):
- 7 654 321,123 456
- 126 512 Einwohner
- Erddurchmesser am Äquator: 12 756,2 km Eine Ausnahme bilden Geldbeträge, bei denen sowohl ein Leerzeichen als auch der Punkt als Tausendertrennzeichen genutzt werden können:
- 7 654 321,12 € oder
- 7.654.321,12 € Ausnahmen bilden auch spezielle Ziffernfolgen wie zum Beispiel Postleitzahlen, Bankleitzahlen und Telefonnummern, für die besondere Gliederungsregeln existieren.

Schweiz

Als Dezimaltrennzeichen wird das Komma "," verwendet. Ausnahme: Bei Geldbeträgen werden Franken und Rappen durch den Punkt "." getrennt. Zur Gliederung von längeren Ziffernfolgen in Dreierblöcke dient das Leerzeichen oder (veraltend) der Apostroph "’".

Beispiele

Komma als Dezimaltrennzeichen:
- 0,5
- 9,76 m Punkt als Dezimaltrennzeichen
- 12.95 Fr. / Fr. 12.95 / CHF 12.95 Zahlen mit mehr als drei Stellen werden durch Leerzeichen oder Apostrophe in dreistellige Gruppen gegliedert (nur links des Punkts):
- 7 654 321.123456 oder 7’654’321.123456
- 126 512 Einwohner oder 126’512 Einwohner
- Erddurchmesser am Äquator: 12 756,2 km oder 12'756,2 km

Internationale Standards

Die internationale Normierungsorganisation ISO (International Organization for Standardization) definiert die Schreibweise von Zahlen im Standard ISO 31 (Größen und Einheiten). Laut dieser Norm können Zahlen zur besseren Lesbarkeit in Dreiergruppen gegliedert werden, und zwar sowohl links als auch rechts des Dezimaltrennzeichens. Dieses Tausendertrennzeichen soll ein schmales Leerzeichen sein; niemals ein Komma, Punkt oder irgendein anderes Zeichen. Als Dezimaltrennzeichen sieht ISO 31 das Komma vor.
- Beispiel für die ISO-Norm mit schmalen Leerzeichen: 12 345 678,901 23 Bemerkung: Mindestens zwei Webbrowser stellen diese schmalen Leerzeichen als extrabreite Leerzeichen dar (Mozilla 1.4, IE 5.0) Das Internationale Büro für Maße und Gewichte (Le Bureau international des poids et mesures, BIPM) definiert die Schreibweise von Zahlen in seinen Richtlinien zum Internationalen Einheitensystem (Le Système international d'unités, SI). Im Jahr 1948 beschloss die neunte Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM) in Resolution 7, dass das Tausendertrennzeichen ein Leerzeichen sein soll, Punkte und Kommata werden auch hier explizit von der Verwendung für diesen Zweck ausgeschlossen. Als Dezimaltrennzeichen sah die CGPM das Komma für französischsprachige und den Punkt für englischsprachige Dokumente vor. Seit den Beschlüssen der 22. Generalkonferenz im Jahr 2003 sind Punkt und Komma als Dezimaltrennzeichen allerdings gleichberechtigt.
- Beispiel für den SI-Standard: 12 345 678,901 23 oder
- Beispiel für den SI-Standard: 12 345 678.901 23 (Beispiele gemäß ISO-Norm mit schmalen Leerzeichen) Bemerkung:   steht für non-breakable space. Das hat nichts mit der Breite des Zeichens zu tun, sondern dass dieses Zeichen nicht umgebrochen werden darf.

Zahlnamen bei kleinen Zahlen

Die Zahlen null bis zwölf schreibt man im Fließtext allgemein üblich nicht in Ziffernform, sondern mit ihren Namen aus, sofern es sich nicht um Gleichungen wie z. B. 4+5=9 handelt. Das Numerale (Zahlwort) bildet eine eigene Wortart, die im Satz prinzipiell kleingeschrieben wird. So schreibt man „Ich rechne zwei plus drei ergibt fünf“ oder „Hier steht die Zahl sieben“. Eine Ausnahme ist der substantivische Gebrauch der Zahlen durch das Voranstellen eines Artikels wie etwa in „die Fünf“ oder „eine Null“ – hier schreibt man sie groß.

Literatur


- Für weitergehende Informationen siehe die folgenden Artikel des Lexikons der deutschen Sprachlehre: Groß- und Kleinschreibung (S. 67 ff.); Kardinalzahl, Grundzahl (S. 75); Numerale, Zahlwort (S. 108); Wortart (S. 138 f.) sowie Zahlen und Ziffern (S. 140)
- Ludewig, W.; Wahrig, G.; Kürten, P.: Lexikon der deutschen Sprachlehre. In: Wahrig, G.: Deutsches Wörterbuch, Gütersloh (Bertelsmann) 6. Aufl. 1997 [Erstausgabe 1966] (S. 37-144), ISBN 3-577-10677-8 Kategorie:Typografie Kategorie:Schreiben Kategorie:Schriftzeichen Kategorie:Deutsche Sprache Kategorie:Zahlen Kategorie:Normung Kategorie:Standard

Kilometer

Das Meter (v. griech.: μέτρον/métron = Maß, -messer) – auch der Meter, in der Schweiz und Österreich immer der Meter – ist die SI-Basiseinheit der Länge. Das Einheitenzeichen des Meters lautet m und das Formelzeichen der Länge l.

Aktuelle Definition

Das Meter ist definiert als die Strecke, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt. Zur Umstellung von der Länge eines standardisierten Messstabes auf die zeitbasierte kam es, weil die Messung von Zeiten zwischenzeitlich wesentlich genauer erfolgt, als die Messung von Längen.

Alte Definitionen

Der Definition des Meters gingen einige Vorschläge voraus, eine universelle Längeneinheit zu definieren, die nicht – wie damals üblich – von den Abmessungen der Gliedmaßen des jeweiligen Herrschers abgeleitet war. So schlug der Abt Jean Picard zum Beispiel 1668 vor, als Längeneinheit die Länge eines Pendels zu verwenden, das eine halbe Periodendauer von einer Sekunde hatte (Sekundenpendel). Ein solches Pendel hat die Länge von 0,994 m und käme damit der heutigen Definition eines Meters ziemlich nahe. Der Begriff Meter für diese Längeneinheit wurde allerdings zum ersten Mal von Tito Livio Burattini im Jahr 1675 verwendet. Er bezeichnete die Länge des Sekundenpendels als Metro Cattolico (katholischer Meter). 1675 Im Jahr 1793 wurde der Meter dann als der 40-millionste Teil der Länge des Erdmeridians, auf dem Paris liegt, also auf den zehnmillionsten Teil der Entfernung vom Pol zum Äquator, festgelegt. Im Jahr 1795 wurde ein Prototyp dieses Meters in Messing, im Jahr 1799 schließlich als Urmeter in Platin gegossen. Zur Bestimmung der Länge des Urmeters dienten die Ergebnisse der von Jean-Baptiste Joseph Delambre und Pierre Méchain zwischen 1792 und 1799 vorgenommenen Vermessung des Meridianbogens zwischen Dünkirchen und Barcelona. Genauere Vermessungen der Erde kamen später allerdings zu dem Ergebnis, dass das Urmeter ein wenig zu kurz geraten war. 1889 wurde vom zwischenzeitlich gegründeten BIPM ein neuer Standard eingeführt. Dazu wurde der internationale Meterprototyp angefertigt, ein Stab mit kreuzförmigem Querschnitt aus einer Platin-Iridium-Legierung im Verhältnis 90:10 und ein Meter wurde festgelegt als der Abstand der Mittelstriche zweier Strichgruppen bei einer Temperatur von 0 °C. Damit richtete sich das Meter nicht mehr nach der Vermessung der Erde. Kopien dieses Meterprototyps wurden an die Eichinstitute in vielen Ländern vergeben. Von 1960 bis 1983 war das Meter das 1.650.763,73-fache der Wellenlänge der sich im Vakuum ausbreitenden Strahlung, die von Atomen des Nuklids Krypton-86 beim Übergang vom Zustand 5d5 zum Zustand 2p10 ausgesandt wird. Seit 1983 wird das Meter als die Strecke definiert, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt. Der Grund für diese Neudefinition ist, dass mittlerweile die Zeit (mit Atomuhren) viel genauer messbar ist als Strecken. Dies hat auch zur Folge, dass die Lichtgeschwindigkeit nun nicht mehr gemessen werden kann, sondern als Konstante festgelegt ist mit 299.792.458 m/s.

Abgeleitete Maßeinheiten

Im folgenden werden einige Beispiele für verschiedene Längen beschrieben. Zu den Vorsilben siehe auch die Liste der Vorsilben für Maßeinheiten.

Bekannte

Kilometer

Ein Kilometer, abgekürzt km, entspricht 1.000 Metern: 1 km = 103 m.

Zentimeter

Ein Zentimeter (veraltet auch Centimeter), abgekürzt cm, entspricht dem Hundertstel eines Meters: 1 cm = 10-2 m oder 0,01 m. Der Zentimeter ist die cgs-Einheit der Länge. Siehe auch: inch

Millimeter

Ein Millimeter, abgekürzt mm, entspricht dem Tausendstel eines Meters: 1 mm = 10-3 m oder 0,001 m.

Mikrometer

Ein Mikrometer (veraltet auch Mikron nach seiner alten Bezeichnung, oder My nach dem griechischen Buchstaben µ), abgekürzt µm, entspricht dem Millionstel eines Meters: 1 µm = 10-6 m = 0,000 001 m. Oder 1 µm = 10-3 mm, also ein eintausendstel Millimeter. My bezeichnet darüber hinaus im umgangssprachlichen Gebrauch oft kleinste Längen, die gerade noch erkennbar sind, obwohl ein Mikrometer eigentlich nicht mit freiem Auge wahrgenommen werden kann. Die Messschraube, ein Längenmessgerät, wird wegen ihrer Genauigkeit oft Mikrometerschraube oder kurz Mikrometer genannt.

Nanometer

Ein Nanometer, abgekürzt nm, entspricht dem Milliardstel eines Meters: 1 nm = 10-9 m. Oder 1 nm = 10-6 mm, also ein millionstel Millimeter. Ein Nanometer entspricht in einen Stück Metall ungefähr einer Strecke von vier benachbarten Atomen. Die kleinsten mit einem Lichtmikroskop erkennbaren Strukturen sind etwa 500 nm groß. Zur Untersuchung von Strukturen unterhalb von 500 nm verwendet man Rasterelektronenmikroskope, Rastertunnelmikroskope oder Rasterkraftmikroskope. siehe auch: Nanotechnologie

Pikometer

Ein Pikometer (veraltet auch Picometer), abgekürzt pm, entspricht dem Billionstel eines Meters: 1  pm = 10-12 m. Der Pikometer ist geeignet für Messungen innerhalb der Atomhüllen. Ein Atom hat einen Durchmesser zwischen 50 und 600 pm. Der Durchmesser eines Atomkerns liegt um 0,01 pm. 100 pm = 1 Ångström.

Femtometer

Ångström Ein Femtometer (Einheitenzeichen: fm), ist das Billiardstel eines Meter:und ein Billionstel von einen Millimeter 1 fm = 10-15 m. Der Femtometer wurde früher in der Atom- und Kernphysik auch als Fermi bezeichnet; seine Verwendung führt zu übersichtlichen Zahlenwerten bei der Angabe von Atomkern-Durchmessern. Denn der Durchmesser eines Atomkerns beträgt etwa 10 fm. Protonen und Neutronen haben einen Durchmesser von etwa 1,6 fm . Die kleinsten Atomradien messen 51000 fm = 51 pm.

Weniger bekannte


- Ein Megameter, abgekürzt Mm, entspricht 1.000 Kilometern = 106 m.
- Ein Myriameter entspricht 10.000 m = 10 km = 104 m. Der Gebrauch der Vorsilbe myria ist jedoch seit 1960 nicht mehr zulässig.
- Ein Hektometer abgekürzt hm, entspricht 100 m = 102 m.
- Ein Dekameter abgekürzt dam, entspricht 10 m = 101 m.
- Ein Dezimeter, abgekürzt dm, entspricht dem Zehntel eines Meters: 1 dm = 10-1 m.
- Ein Attometer, abgekürzt am, entspricht dem Trillionstel eines Meters: 1 am = 10-18 m.
- Ein Zeptometer, abgekürzt zm, entspricht dem Trilliardstel eines Meters: 1 zm = 10-21 m.
- Ein Yoktometer, abgekürzt ym, entspricht dem Quadrillionstel eines Meters: 1 ym = 10-24 m.

Siehe auch


- SI-Einheiten
- -metrie
- -meter
- Metrik
- Meterstab
- Maßeinheiten
- Längenmaß

Weblinks


- [http://www.ptb.de/de/wegweiser/einheiten/_index.html Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt PTB als "Hüterin der Einheiten"] Kategorie:SI-Einheit ja:メートル ko:미터 ms:Meter simple:Metre th:เมตร

Seemeile

Die Seemeile oder nautische Meile ist ein in der Schiff- und Luftfahrt gebräuchliches Längenmaß.

Geschichte

Ursprünglich wurde das Maß der Seemeile auf die Länge einer Bogenminute auf der Äquatorlinie festgelegt. Der Sinn dieser Herleitung ergab sich aus der nautischen Gestirnnavigation. Eine Position wurde somit recht einfach bestimmt, indem man den Sonnenuntergang/aufgang minutengenau bestimmte und damit die Position in Ost-West-Richtung zunächst eine Zeitangabe war. Daher war beim Sonnenaufgang die Breitenposition früh bestimmt, wenn man aber den höchsten Sonnenstand ermittelt hatte (gegen Mittag -Lokalzeit) konnte man mit Leichtigkeit auf die Längenposition berechnen und nun aus dem Sinus der Bogenminuten ein Seemeilenäquivalent bestimmen (da ja der Erdumfang gen Pol abnimmt). Bei der Einführumg des metrischen Systems wurde der nominelle Erdumfang (Meridiankreis) als 40.000 Kilometer definiert. Aus der Rechnung 40.000 km / 360 Grad des Vollkreises / 60 Bogenminuten ergibt sich als theoretisches Maß der Seemeile eine Länge von 1,8518 km. In der Praxis wurde dieser Wert jedoch im Hinblick auf die einfachere Umrechnung an national geläufigere Maße geringfügig angepasst. So wurde bis 1929 von Großbritannien für das Maß der Seemeile zur Länge der englischen Meile eine Länge von genau 800 englischen Fuß hinzugezählt (insgesamt 6080 Fuß), woraus sich das Maß von 1853,18 Metern für die englische Admiralty Mile ergab. In den USA galt bis 1954 als Maß der Seemeile die U.S. nautical mile, die mit 6080,20 feet festgelegt war, was umgerechnet einer Länge von 1853,24 Metern entspricht. International übergreifend wurde das Maß der International Nautical Mile 1929 auf der "Internationalen Hydrographischen Konferenz" in Monaco auf 1.852 m festgelegt. Nautische Meilen sind in der Seefahrt auch heute noch insofern praktisch, als dort oftmals Mercator-Karten zur Navigation verwendet werden. Über das Maß eines Breitengrades können so schnell Distanzen zweier Positionen in nautischen Meilen bestimmt werden. Da Mercator-Karten keine längentreue Abbildung darstellen, ist eine solche Vorgehensweise jedoch nur auf kleinere Gebiete mit möglichst gleichbleibendem Breitengrad anwendbar.

Luftfahrt

1 NM ist rund 1,8 km. Für grobe Überschlagsrechnungen kann man auch 2 km annehmen, da im Flug oft überschlägige Berechnungen im Kopf gefragt sind und man keine Hand für den Taschrechner frei hat. Für genauere Kopfberechnungen rechnet man 2 km minus 10%. Beispiel: 263 NM; rund 260 x 2 = 520; davon 10% sind 52 also ca. 50; 520 - 50 = 480 km. Umrechnungen zwischen NM (nautical mile) und km sind selten erforderlich, da durchgehend mit NM gerechnet wird. Gewöhnen muß sich ein Sichtflieger eher an Entfernungsschätzungen in NM - sowohl auf der Karte als auch beim Flug. Beispiel: ein kurzer Blick auf die Karte sollte genügen, damit er dann seine Position über Funk mitteilen kann: "five miles south of the airport". Größere Verwirrungen treten bei der Unterscheidung zwischen NM und statute mile auf. Besonders, wenn man außerhalb von Deutschland fliegt - vor allem in den USA und UK. Der Pilot meint immer NM, sagt aber über Sprechfunk immer "miles" (und nicht "nautical miles"). Die Entfernungsangaben auf Straßenschildern ( z.B. Daytona 6 miles) bezieht sich aber immer auf statute miles. Im Gespräch unter Piloten kann der Amerikaner auch mal statute mile statt NM meinen, wenn er "miles" sagt. Entferungsangaben auf Straßenkarten - die man sowieso nicht für die Flugvorbereitung verwenden solle - sind auch in statute miles. Natürlich steht einfach nur "miles" im Straßenatlas. Die Geschwindigkeitsanzeige im Auto zeigt auch statute miles. Bei der Definition der amerikanischen Luftraumstruktur sind auch statute miles bei der Definition der Wolkenabstände mit eingeflossen. Das kann sehr verwirrend für deutsche Piloten werden.

Seemeilen bzw. NM in der Luftfahrt

Die Luftfahrt war besonders in den Anfangsjahren amerikanisch dominiert. Die USA waren führend bei der Schaffung von nationalen Regulierungsbehörden für die Luftfahrt (FAA) und später auch bei der Schaffung von internationalen Luftfahrtorganisationen (ICAO, IATA). Flugreisen und Privatflugzeuge gehörten dort schon viel früher und stärker zum Alltag als z.B. in Deutschland. Da die USA sich für NM entschieden haben und sich durch den Einfluß der USA auch Englisch als internationale Kommunikationssprache im Flugfunk durchgesetzt hat, verwendet man heutzutage weltweit NM als Entfernungsangabe in der Luftfahrt. Eine Ausnahme bildete die ehemalige Sowjetunion. Sie hatte konsequent das Internationale Einheitensystem in der Luftfahrt angewendet - schon aus ihrer politischen Überzeugung im Klassenkampf gegen den Imperialismus heraus. Linienpiloten mussten sich bei jedem Überflug auf die "neuen" SI-Einheiten umstellen, wobei die praktischen Probleme weniger in der Umrechnung von km in NM lagen als vielmehr mit der von Höhenangaben in Meter zu Fuß (Einheit).

Schifffahrt - einfache Kartenkunde

Fuß (Einheit) 1° = 60 NM auf einem Großkreis. Alle Längengrade sowie der Äquator sind Großkreise. Daraus ergibt sich: 1 Minute (1') = 1 NM. Die Minuteneinteilung kann man direkt am Kartenrand ablesen. Aber nochmals Achtung - das gilt nur für die senkrechten Linien (Längengrad) des Koordinatengitters. Die Minuteneinteilung der Längengrade findet man am linken und rechten Kartenrand. Meist wird alle 10 Minuten eine Zahl angezeigt (z.B. 52°10' - 52°20' - 52°30' - ...). Wenn wir uns z.B. auf dem Nullten-Längengrad nach Norden bewegen, dann lesen wir zwar am oberen Kartenrand die 0° ab, aber am linken und rechten Kartenrand lesen wir ab, um wieviel Minuten wir uns nach Norden bewegt haben. Das Ablesen der NM auf den horizontalen Linien (Breitengradgrad) ist viel komplizierter. Es funktiniert nur auf einer einzigen horizontalen Linie - der Äquatorlinie. Auf den anderen Breitenkreisen funktioniert es nicht, da sie in der Nähe des Nordpols viel kleiner sind, als am Äquator. Die verschiedenen (horizontalen) Breitenkreise sind unterschiedlich lang, während die verschiedenen (vertikalen) Längenkreise alle die gleiche Länge haben. Wie kann man nun die NM auf einem (horizontalen) Breitenkreis messen, der in der Nordsee liegt und nicht am Äquator? Man nehme einen Stechzirkel greife damit die horizontale Streck ab und halte Stechzirkel an einen benachbarten senkrechten Längengrad. Dort ermittelt man mit dem Stechzirkel die Minuten und rechne sie in NM um (1 Minute auf dem senkrechten Längengrad = 1 NM = 1 Minute auf dem Äquator). Wie mißt man Entfernungen die schräg über die Karte laufen? Genauso, wie man horizontale Entfernungen mißt (siehe oben). Man greife die Strecke mit einem Stechzirkel ab und halte ihn dann an einen in der Nähe liegenden senkrechten Breitenkreis. dort ließ man die Minuten ab und wandelt sie direkt in NM um (1' = 1 NM)

NM direkt am Globus ablesen - einfache Kartenkunde

Wie weit ist es vom Nordpol bis zum Südpol? Da der Erdumfang 40.000 km beträgt, nehmen wir für die halbe Strecke die Hälfte von 40.000 km und erhalten 20.000 km. Wie weit ist es vom Äquator bis zum Nordpol? Ein Viertel vom Erdumfang (40.000 km) also 10.000 km. Und wieviel ist das in nautischen Meilen (NM)? Bevor wir sinnlos km in NM umrechnen, besinnen wir uns auf den Zusammenhang zwischen Grad und NM. 1 Minute = 1 NM; Auf dem Globus sind aber keine Minuten eingezeichnet, sondern nur alle 10 Grad eine Linie. 1° = 60 NM (denn 1° = 60 Minuten) 10° sind also 600 NM. Nie vergessen: immer an den senkrechten Längenkreisen abmessen. Auf kleinen Globen sind nur alle 30° die Längenkreise eingetragen -also 1.800 NM. Und wie weit ist es nun vom Äquator zum Nordpol (in NM)? Der Äquator liegt bei 0° Breite und der Nordpol liegt bei 90° nördlicher Breite. Das macht einen Unterschied von 90°. 10° sind 600 NM - also sind 90° = 5.400 NM Vom Südpol zum Nordpol ist es doppelt so weit - also 10.800 NM. Oder anders gerechnet: vom Südpol zum Nordpol sind es 180° - also 18 x 600 = 10.800 NM. Der Erdumfang ist 360° - also 2 x 10.800 NM = 21.600 NM. am besten lernt man auswendig, daß 1° = 111 km sind (ca.)( = 60 NM)

Umrechnung

1 sm = 1852 m = 1,852 km Da      100.000/54 = 1.851,85185185... Meter     ist, können für eine Näherungsrechnung 54 Seemeilen mit 100 Kilometern gleichgesetzt werden. Für überschlägliches Umrechnen in Kilometer kann die Zahl der Seemeilen mit 2 multipliziert und davon 10% abgezogen werden. Also z. B. für 23 sm = 42,596 km 2
- 23 = 46
46 - 4,6 = 41,4 - die Abweichung beträgt also knapp 3 %.

Abkürzungen und abgeleitete Einheiten

Im Deutschen ist das Einheitenzeichen der Seemeile "sm", international wird sie als nautical mile mit "nm" oder "n.m." abgekürzt. Lt. "Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures" von 1999 ist die international gebräuchliche Abkürzung für Nautical Mile: mi Aus dem Zusammenhang ist in der Regel eine Verwechslung mit der SI-Einheit "Nanometer" (auch mit "nm" abgekürzt) ausgeschlossen. Als Formelzeichen der Länge wird meist l oder s verwendet. In Österreich und Deutschland ist diese Einheit auf Grund von internationalen Vereinbarungen zulässig, obwohl sie außerhalb des SI-Systems steht. Unterteilung der Seemeile :
- 1 Seemeile = 10 Kabellängen ("kbl")
- 1 Seemeile = 1000 Faden, der "Faden" wird benutzt für nautische Tiefenangaben
- 1 Seemeile = 1/4 Geographische oder Landmeile Die Geschwindigkeit von Luft- und Wasserfahrzeugen wird häufig in Seemeilen pro Stunde angegeben, die Maßeinheit wird Knoten genannt. Siehe auch: Statute Mile Kategorie:Maßeinheit Kategorie:Seeschifffahrt Kategorie:Luftfahrt ja:海里 nb:Nautisk mil

Rektaszension

In der Astronomie ist Rektaszension (der in alten deutschen Büchern benutzte Begriff lautet "gerade Aufsteigung") die Entsprechung der geografischen Längenkreise auf der (imaginären) Himmelskugel. Als Nullpunkt der Rektaszension dient dabei der Frühlingspunkt. Die Rektaszension, die bei der Positionsangabe von Himmelsobjekten verwendet wird, wird von Norden aus betrachtet im Gegenuhrzeigersinn gemessen. Bild:AstroDeklinationRektazension.jpg In der Astronomie hat es sich durchgesetzt, die Rektaszension nicht in Grad, sondern in Stunden anzugeben, wobei 24 h = 360° gesetzt werden. Es gilt: Als Kürzel wird RA (engl. Right Ascension) benutzt, wobei der griechische Buchstabe α den Winkel zwischen dem Längengrad des Frühlingspunkts bis zum Längengrad über dem das beobachtete Objekt steht, definiert (auf der Äquatorebene gemessen) . RA bzw. α ist die gebräuchlichste Abkürzung für Rektaszension - jene im Raum feststehende Himmelskoordinate, die der geografischen Länge auf der rotierenden Erde entspricht. Erde Sie zählt entlang des Himmelsäquators und ihr Nullmeridian ist durch den Frühlingspunkt definiert, den nordwärts gerichteten Schnittpunkt zwischen Ekliptik (Erdbahnebene) und Äquator.
Die zweite Koordinate (δ) heisst Deklination. RA und δ lassen sich mittels der Ekliptikschiefe ε in die ekliptikale Länge λ und Breite β umrechnen - siehe kleines Dreieck rechts auf der Skizze. Diese Koordinatentransformation ist für die Berechnung der Umlaufbahnen von Planeten und anderer Körper des Sonnensystems unerlässlich. Der Interessierte kann bei bekannter Rektaszension eines Sternes oder anderer astronomischer Objekte leicht abschätzen, zu welcher Zeit im Jahr das Objekt am Besten zu beobachten ist, indem er das Datum berechnet/abschätzt, an dem seine höchste Erhebung über dem Horizont in etwa auf Mitternacht fällt (Opposition). Der Trifidnebel z.B. hat eine Deklination von ca -22° und ist daher in unseren Breiten nur schwer zu beobachten (Höchststand nur rund 15°). Wenn man die Rektaszension des Nebels von ca 18h auf die 12 Monate des Jahres bezieht, erhält man 9 Monate. Vom Frühlingspunkt ausgehend ergibt sich so ein Datum um den 21. Dezember. Das ist der Zeitpunkt, wo die höchste Erhebung auf Mittag fällt, daher liegt die optimale Sichtbarkeit 6 Monate davor bzw. danach und fällt demzufolge im genannten Beispiel in etwa auf den 21. Juni. Siehe auch: Deklination Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem ja:赤経 ko:적경 th:ไรต์แอสเซนชัน

Bogenmaß

Das Bogenmaß ist eine Winkelangabe, die besondere Bedeutung in der Mathematik und Physik hat. Das Bogenmaß gibt den Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an und ist daher dimensionslos. Die Einheit für ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Für diese abgeleitete SI-Einheit darf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radíant mit dem Einheitenzeichen rad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w. Spannt z. B. ein Winkel bei einem Radius von 2 Metern eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25 (Dimension 1, bzw. Länge / Länge). Der Umfang eines vollen Kreises ist das 2 \pi -fache seines Radius; somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels 2 \pi ; dieser Winkel heißt Vollwinkel und ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, übrigens eine ohne Einheitenzeichen. (Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31.12.1977 war in Deutschland das Rad mit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und Äquivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.) Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautik üblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der Einheit Grad angegeben.

Winkel im Bogenmaß

Grad Ein Bogenmaß von 2\pi entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises und damit einem Winkel von 360°. Kleinere Winkel sind Teile von 2\pi, etwa \pi für 180° oder \pi/4 für 45°. Bei Umrechnungen tritt die Kreiszahl \pi auf: :1° entspricht dem Bogenmaß 2\pi/360 oder ungefähr 0,01745 Eine Bogenmaßangabe von 1 bedeutet, dass Radius und Bogen auf einem Kreis gleich lang sind, was bei einem Winkel von 180°/\pi der Fall ist, also ungefähr bei 57,29°. Um deutlich zu machen, dass eine Angabe im Bogenmaß erfolgt, kann man den Zahlenwert durch arc (von lat. arcus = Bogen) oder rad (von Radiant) ergänzen. Dies sind jedoch keine Einheiten im üblichen Sinne und werden bei Berechnungen nicht berücksichtigt, wie sonst etwa Meter pro Sekunde für die Geschwindigkeit.- Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist jedoch im Gegensatz zum Vorstehenden der besondere Name für die abgeleitete SI-Einheit 1 (m/m) bei Winkelangaben. Schreibweisen mit "arc" sind demnach nicht SI-konform, Schreibweisen mit "rad" also vorzuziehen.

Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß

Ohne Bogenmaß ...

Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt :U = 2\,\pi\cdot 5\ \mathrm = 31416\ \mathrm, die Geschwindigkeit also :v = \frac = \frac = 0008727\ \mathrm

.. und mit Bogenmaß

Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist 2\,\pi, die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also :\omega_ = \frac = \frac. Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren: :v = \omega \cdot l = \frac \cdot 5\ \mathrm = 0008727\ \mathrm. Die Zahlenwerte wurden mit rad als Angaben im Bogenmaß gekennzeichnet. Bei der Geschwindigkeitsberechnung wird rad nicht berücksichtigt, die Einheit der Geschwindigkeit ist daher m/s, nicht rad mal m/s. Der Vorteil der Berechnung mit dem Bogenmaß ergibt sich aus der Tatsache, dass man nur den Winkel pro Sekunde mit der Länge multiplizieren muss, um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.

Mathematische Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn (also im Gegenuhrzeigersinn) rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt. Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen: :\sin^\prime x = \cos x :\cos^\prime x = -\sin x (x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)

Spezielle Winkel im Bogenmaß

:\begin 0^\circ &=& 0 \\ 45^\circ &=& \frac \pi \\ 57^\circ\, 17'\, 44 &\approx& 1 \\ 90^\circ &=& \frac \pi \\ 180^\circ &=& \pi \\ 270^\circ &=& \frac\pi \\ 360^\circ &=& 2\pi \end

Umrechnung


- Von Grad nach Bogenmaß: ::_ = \frac
- Von Bogenmaß nach Grad: ::_ = \frac

Fläche und Bogenmaß

Wenn x das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors A=r^2x/2, also ist x=2A/r^2. Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von \frac im Bogenmaß, eine Fläche von A=\frac. Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Taschenrechner und Computer

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß. Dazu muss der Modus rad gewählt werden. In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden. -.-

Weblinks


- [http://www.madeasy.de/2/polar.htm Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten]
- [http://www.marco-burmeister.de/index_frameaufbau.html?helferlein_grad Umrechnung von Gradangaben (Altgrad / Neugrad) (Online)] Kategorie:SI-Einheit ja:ラジアン ko:라디안

Bogensekunde

Eine Bogensekunde ist eine Winkel-Maßeinheit, die 1/3600 Grad entspricht. Sechzig Bogensekunden entsprechen einer Bogenminute und 60 Bogenminuten entsprechen schließlich ein Grad. Das Symbol für Bogensekunden ist das Sekundenzeichen und besteht aus zwei geraden, geneigten Strichen: 1″ = 1 Bogensekunde. Es entspricht dem Zollzeichen. Ersatzweise werden auch zwei vertikale Striche (") verwendet. Zum Vergleich: Das menschliche Auge hat eine Auflösung von etwa 60″ und kann damit theoretisch zwei senkrechte kantige Objekte, die 1 Meter auseinander stehen, noch in 3-4 km Entfernung auseinander halten. De facto mindert die Form der Objekte oder schwacher Kontrast diesen Wert. Der engste Doppelstern (ε im Sternbild Leier), den nur sehr scharfe Augen noch getrennt wahrnehmen, hat 208″ Distanz. Andererseits haben unsere Augen die Fähigkeit, auch viel feinere Details noch zu erkennen, wenn sie linienförmig sind und mehrere Sehzellen anregen. So kann man etwa einen Mast noch am Horizont ausmachen, wenn er unter 20-30″ erscheint.

Siehe auch


- Bogenmaß
- Bogenminute Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem Kategorie:Maßeinheit ja:秒 (角度) ko:각초

Winkel (Geometrie)

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen) Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen. Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden. Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.
- Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
- Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt. In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden. Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder \angle ABC

Arten von Winkeln

; spitzer Winkel : kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0g, 100g) = (0, ½·π); ; rechter Winkel : gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100g = ½·π; ; stumpfer Winkel : größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100g, 200g) = (½·π, π); ; gestreckter Winkel : gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200g = π; ; überstumpfer Winkel : größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200g, 400g) = (π, 2·π); ; Vollwinkel : 360° = 400g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die