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Exponentieller Vorgang

Exponentieller Vorgang

Das Wachstum oder die Abnahme (auch Zerfall oder negatives Wachstum) eines Bestandes wird als exponentiell bezeichnet, wenn sich der Wachstumsvorgang durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich der Bestand pro Zeiteinheit nicht um einen festen Wert ändert (lineares Wachstum), sondern um einen festen Prozentsatz. Der Zuwachs pro Zeiteinheit (Änderungs- oder Wachstumsrate) ist also proportional zum Bestand. Beispiele für exponentielle Vorgänge sind das Anwachsen von Kapital oder Schulden durch Zins und Zinseszins sowie der radioaktive Zerfall mit einer Halbwertszeit. Exponentielle Vorgänge lassen sich mathematisch durch folgende Formeln beschreiben: :

N_t = N_0 \cdot e^

(Exponentielles Wachstum) :

N_t = N_0 \cdot e^

(Exponentielle Abnahme) Dabei ist

N_0

der Wert zum Ausgangszeitpunkt (

t=0

N_t

der Wert zum Zeitpunkt

t

und

e

die die Eulersche Zahl. Charakteristisch für einen exponentiellen Vorgang ist der Exponent λ, der die Wachstumskonstante (Wachstum) beziehungsweise Zerfallskonstante (Abnahme) angibt. Wenn für exponentielle Vorgänge einheitlich die Formel für exponentielles Wachstum verwendet wird, so ist λ bei einer Abnahme negativ; ansonsten sind nur positive Werte möglich. Die Verdoppelungszeit T (Wachstum) beziehungsweise Halbwertszeit (Abnahme) hängt dann folgendermaßen direkt mit der Größe λ zusammen: :

\lambda \cdot T = \ln (2)

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Schrittweises exponentielles Wachstum

Genau genommen lassen sich kontinuierliche und schrittweise exponentielle Vorgänge unterscheiden. Die Berechnung des Zinseszins ist beispielsweise ein schrittweiser exponentieller Vorgang. Deshalb muss eine andere Formel verwendet werden: :

N_t = N_0  \cdot (1+p)^t

(Wachstum) Allerdings lässt sich diese Form in einen kontinuierlichen exponentiellen Vorgang überführen, bei dem

\lambda=\ln(1+p)

. Ein Prozentsatz von 5% jährlichen Zinsen entspricht also beispielsweise einer kontinuierlichen Wachstumsrate von etwa 0,0488 (siehe dazu auch Zinssatz).

Weitere Eigenschaften

Funktionswerte, die im Abstand fester Zeitschritte Δt aufeinander folgen, bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor

q = e^

. Geometrische Folgen stellen eine Möglichkeit dar, exponentielle Vorgänge in elementarer Weise zu beschreiben. Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die einfachste gewöhnliche Differentialgeichung :

y'(t) = \lambda y(t)

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.

Grenzen des exponentiellen Wachstums

Im Allgemeinen kann sich exponentielles Wachstum eines Bestandes nicht unendlich fortsetzen, weil ihm durch verschiedenartige Einflüsse natürliche Grenzen gesetzt sind. Bei biologischen Wachstumsvorgängen können dies zum Beispiel ein beschränkter Lebensraum oder begrenzte Nahrungsvorräte sein. Das Wachstum verläuft dann nur vorübergehend exponentiell.

Logistisches Wachstum

Bei solchen Prozessen verlangsamt sich das Wachstum, bis eine Sättigung eingetreten ist. Man spricht dann von natürlichem oder logistischem Wachstum.

Beispiele für exponentielle Vorgänge

- Radioaktiver Zerfall
- Zinseszins
- Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
- Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5% pro Jahr.
- Auch die Menge der Artikel in Wikipedia wächst exponentiell.
- Moore's Law
- Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen, um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.

Siehe auch

- Zerfallsgesetz, Halbwertszeit,
- NP und Polynomialzeit,
- Exponentialfunktion, logistische Funktion, Logistische Gleichung,
- Bibliometrie, Informetrie. Kategorie:Analysis

Exponentialfunktion

In der Mathematik wird als Exponentialfunktion zur Basis

a > 0

eine Funktion der Form

x \mapsto a^x

bezeichnet (in der gebräuchlichsten Form sind dabei für

x

die reellen Zahlen zugelassen). Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne wird die Exponentialfunktion

x \mapsto e^x

mit der Eulerschen Zahl

e

als Basis bezeichnet; hierfür ist auch die Notation

x \mapsto \exp(x)

gebräuchlich. Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität

a^x =  e^

jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis

e

zurückführen, weshalb dieser Artikel im folgenden auf die Exponentialfunktion zur Basis

e

fokussiert. Logarithmus

Definition

Die Exponentialfunktion (zur Basis

e

)

\exp:\R\to\R

kann auf den reellen Zahlen auf zwei Arten definiert werden: :

\exp(x) = \sum_^

(Definition als Potenzreihe) :

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

(Definition als Grenzwert einer Folge mit

n \in \N

). Das

n!

steht für "Fakultät von

n

". Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion

\exp:\Bbb C\to\Bbb C

auf den komplexen Zahlen geeignet, s. weiter unten. Die Exponentialfunktion

\exp:\R\to \R

auf der reellen Zahlengeraden ist positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus

\ln(x)

, der für alle positiven reellen Zahlen

x

definiert ist. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Rechenregeln

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung

\exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y)

erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert :

a^x := \exp(x\cdot\ln a)

bzw.

a^x:=e^

(weil

a^x=(e^)^x

ist) für alle

a > 0

und alle reellen oder komplexen

x

. Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und "verwandeln" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:: :

a^0=1

und

a^1=a

a^=a^x \cdot a^y

a^=(a^)^

a^ = \frac=\left(\frac\right)^x

a^x \cdot b^x=(a \cdot b)^x

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen

a

und

b

und alle reellen oder komplexen

x

. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden: :

\frac=a^

\sqrt=a^\frac

\sqrt[n]=a^\frac

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt: :

\frac \exp(x) = \exp(x)

Allgemeiner folgt für

a>0

aus :

a^x = \exp(x\cdot\ln a)

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen: :

\frac a^  =  b\ln a \cdot a^

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf "natürliche" Weise ins Spiel.

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtige Eigenschaften: :

\exp(z+w) =\exp(z) \cdot \exp(w)

\exp(0)  =  1\!

\exp(z) \neq 0

\exp^\prime(z)  =  \exp(z)

für alle

z,\,w \isin \mathbb

. Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode

2 \pi \mathrm

. Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion

\ln(z)

. Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren: :

z^w = \exp(\ln(z) \cdot w)

mit

z,\,w \isin \mathbb

, was ebenso eine vielwertige Funktion ist (die oben angeführten Potenzgesetze gelten auch für vielwertige Funktionen). Über die Eulersche Formel :

e^ = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm \sin\left( \varphi\right)

erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen: :

\sin(z) := \frac

, :

\cos(z) := \frac

, ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden: :

(z) := \frac

, :

(z) := \frac

, :

e^z = \cosh\left(z\right) + \sinh\left(z\right)

. Die Eulersche Formel ermöglicht auch die Interpretation der Polarkoordinatendarstellung eine komplexen Zahl

z

als deren natürlichen Logarithmus

\ln(z)

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe :

\exp(x) = \sum_^

definiert, die für alle möglichen Werte absolut konvergiert. Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion :

\exp(x+y) =\exp(x) \cdot \exp(y)

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte

x

und

y

, die kommutieren, also für Werte mit

x\cdot y = y\cdot x

(dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln. Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungen der Form

\dot=A\cdot y

mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der

n\times n

-Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der Jordanschen Normalform läßt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix

C

, so dass

C^AC=D+N

, wobei

D

eine Diagonalmatrix und

N

eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit :

\exp(tA)=C\exp(t(D+N))C^=Ce^\sum_^\fracN^k\,C^

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension

n

der Matrix

A

ist.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen. Der Rest der

N

-ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf :

e^x = 1 + \sum_^N \frac + \frac \, r_n(x)

bei

\vert r_N(x) \vert < 2

für alle

x

mit

\vert x \vert < 05 N+1

führt. Die einfachste Reduktion benutzt die Identität

\exp(2z) = \exp(z)^2

, d.h. zu gegebenem

x

wird

z := 2^ \cdot x

bestimmt, wobei

K

nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit,

y_K \approx e^z

berechnet und

K

-fach quadriert:

y_ := y_n^2

y_0

wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als

\exp(x)

zurückgegeben. Effizientere Verfahren setzen voraus, dass

\ln(2)

, besser zusätzlich

\ln(3)

und

\ln(5)

(Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten :

e^x = 2^k \cdot e^

oder

e^x = 2^k \cdot 3^l \cdot 5^m e^

benutzt werden, um

x

auf ein

y

aus dem Intervall

[-04 \, ;\, 04]

oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwendigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

Motivation

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel

a^=a^x a^y

aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung

f(x+y)=f(x)f(y)

mit

f(1)=a

. Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck :

\fraca^x=\lim_\frac=a^x\lim_\frac

. Was bedeutet nun

\lim_\frac

? Nennt man diesen Grenzwert

\ln a

, so gilt für die durch :

e:=a^

definierte Zahl

e

(bzw.

a=e^

\ln a

muss dann also der Logarithmus zur Basis

e

sein) nach der Kettenregel formal :

\frace^x=\fraca^=a^\frac\lim_\frac=a^=e^x

e

erfüllt dann vermutlich :

\lim_\frac=1

. Wie kann man diese Zahl

e

berechnen? Setzt man rein formal

h=1/n

und löst die Gleichung :

\frac=1

, dann erhält man

e=\left(1+\frac\right)^n

. Für die Zahl :

e:=\lim_\left(1+\frac\right)^n

ist also zu vermuten, dass :

\lim_\frac=1

bzw. :

\frace^x=e^x

gilt. Für

e^x

erhält man mit

m=nx

auch rein formal die Darstellung :

e^x=\lim_\left(1+\frac\right)^=\lim_\left(1+\frac\right)^m

, also die eine Definition der Exponentialfunktion. Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion :

\frace^x=e^x

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch :

\frace^x=e^x

gelten muss, also

f^(0) = 1

, erhält man für die Taylorreihe an der Stelle x = 0 :

e^x=\sum_^

, also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. In weitere Folge ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat.

Konvergenzbeweise

Konvergenz der Reihendarstellung

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe :

\exp(x) = \sum_^

lässt sich einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz.

Konvergenz der Folgendarstellung

Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge :

\left( 1 +  \right)^n

ist für reelle

x

konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.

Beweis der Monotonie

Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für

n>\left|x\right|

\sqrt[n+1]\leq\frac\left(n\left(1+\frac\right)+1\right)=1+\frac

, die Folge ist daher für fast alle

n

monoton steigend.

Beweis der Beschränktheit

Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt für

n>\left|x\right|

\sqrt[n+1]=\sqrt[n+1]\geq \frac=1+\frac

. Für

x\geq 0

und

n_0>x

ist die Folge daher für alle

n\geq n_0

beschränkt: :

\left(1+\frac\right)^n \leq \left(1+\frac\right)^n\leq \left(1+\frac\right)^

. Für

x\leq 0

und

n>\left|x\right|

gilt offensichtlich die Schranke :

\left(1+\frac\right)^n \leq 1.

Funktionalgleichung

\left(1+\frac\right)^n

und

\left(1+\frac\right)^n

konvergieren, konvergiert auch deren Produkt :

\left(1+\frac\right)^n \left(1+\frac\right)^n= \left(1+\frac+\frac\right)^n=\left(1+\frac\right)^n\left(1+\frac\right)^n

. Ist nun

xy<0

, so liefert die Bernoullische Ungleichung für hinreichend große

n

1\ge\left(1+\frac\right)^n\ge 1+\frac\to 1

; für

xy>0

erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung

1+u\le \frac

für

u<1

und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große

n

1\le \left(1+\frac\right)^n

\le\frac\le \frac\to 1

, die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung

\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle

x

lässt sich die Exponentialfunktion mit :

\exp(x)> 0

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition :

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

und der Tatsache, dass

1 + > 0

für hinreichend große

n

. Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null. Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung :

\exp(x)\geq 1+x

verschärfen. Für

x\leq-1

folgt sie aus

\exp(x)\geq 0

, für

x\geq -1

ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition :

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge

\left( 1 +  \right)^n

sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung

1+u\le \frac

für

u<1

und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle

x < 1

und

n

hinreichend groß eine Abschätzung nach oben: :

\left( 1 +  \right)^n \le \frac\le \frac

, also :

\exp(x)\le\frac

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0: :

1=\lim_\frac\le\lim_\frac\le\lim_\frac=\lim_\frac=1

. Gemeinsam mit der Funktionalgleichung

\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)

folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen: :

\exp'(x)=\lim_\frac=\exp(x)\lim_\frac=\exp(x).

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

Will man die einfache Differentialgleichung:

y'=y

lösen und setzt noch

f(0)=1

voraus, so erhält man daraus eine Definition von

e^x

Umkehrfunktion

Setzt man

f(0) = 1

nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion f(x) von

\int\limits_^\frac \,\mathrm t = \ln x = g

. Denn

x = \log\,y

, und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist

\frac = \frac

, und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält

\frac = e^x

. Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist

g(1) = 0

und bei der Umkehrfunktion

f(0) = 1

nach Eigenschaft der Umkehrfunktion:

g(x) = f(y)

Differentialgleichung

Erweitert man die Differentialgleichung auf

y^\prime = \alpha y

für

y = f(x)

und löst sie, so erhält man für y die Form

y = f(x) = ce^

. Speziell für

\alpha = 1

ist

y = f(x) = ce^x

. Ist dann u eine Lösung und

u = ye^

, dann ist

u^\prime = y^\prime e^ - ye^ = e^(y^\prime - y)

und nach Voraussetzung

u^\prime = 0

und

u = const. = c

und

y = f(x) = ce^x

. Für beliebiges

\alpha

führen wir

u = ye^

ein . Es ergibt sich

u^\prime = y^\prime e^ - \alpha ye^

und nach Voraussetzung wieder

u^\prime = 0

und

u = const. = c

und

y = f(x) = ce^

Beispiele

Man besitzt nun ein mächtiges Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in der Physik und Chemie, wo man mittels eines Ansatzes vom Typ

y'=cy

ein die Exponentialfunktion enthaltendes Ergebnis der Form

y=f(x)=ce^

erhält.

Physik

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der theoretischen Physik seien genannt:
- Radioaktiver Zerfall
- Stetige Verzinsung
- Barometrische Höhenformel
- Verlauf chemischer Reaktionen
- Ein- und Ausschalten des elektrischen Stromes; Entstehung eines Wechselstromes.
- Abkühlung und Erwärmung eines Körpers Siehe auch: Exponentieller Vorgang

Chemie

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier die chemische Reaktion im Fall der unimolekularen Reaktionen skizziert: Es wird angenommen, daß ein Stoff in sehr viel reichlicherem Lösungsmittel gelöst ist (z.B. Rohrzucker in Wasser). Wir nehmen eine katalytische Umwandlung des Rohrzuckers in Invertzucker an. Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Massenwirkungsgesetz so formulieren: :Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz. Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit x noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit u(x), so ist die Reaktionsgeschwindigkeit

-\frac

und nach dem Massenwirkungsgesetz gilt die Gleichung :

\frac=-ku

mit einer Materialkonstante k. Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge u des übriggeliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert: :

u(x)=ae^

. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand u = 0, der völligen Umwandlung, an. Die Konstante a ist dabei offensichtlich die zur Zeit x = 0 vorhandene Menge.

Weblinks

- http://planetmath.org/encyclopedia/ExponentialFunction.html auf Englisch Kategorie:Analytische Funktion ja:指数関数 ko:지수함수

Prozent

Nach der deutschen Norm DIN 5477 vom Februar 1983 kann bei "der Angabe von Quotienten von Zahlen oder Größen gleicher Dimension einschließlich des Geldes" der Zahlenwert durch Abspalten des Faktors 10^-2 umgeformt werden; hierbei wird der Faktor 10^-2 mit dem Zeichen % bezeichnet. Dieses Zeichen soll Prozent (von lat. pro = für; centum = hundert) oder Hundertstel gesprochen werden. In Gesetzestexten verwendet man üblicherweise die Ausdrücke "vom Hundert" (abgekürzt: vH) und "Prozentpunkt". Die DIN-Norm empfiehlt jedoch, diese Ausdrücke (siehe Verständnis) zu vermeiden.

Definition

Ein Prozent ist der hundertste Teil eines Ganzen also: 1 % = 0,01

Verständnis

Um Prozentangaben in Texten verstehen zu können, muss man wissen worauf sich die Angabe bezieht und anhand des grammatikalischen Ausdrucks die verwendeten Rechenregeln ableiten können.

Bezug von Prozentangaben

Oft sind Angaben in Prozent missverständlich, wenn eine klare Angabe über die Bezugsgröße (was bedeutet 100 % ?) fehlt („eine Regenwahrscheinlichkeit von 30 %“, „eine relative Risikoreduktion von 25 %“). Ein weiteres Missverständnis kann entstehen, wenn bereits die Bezugsgröße in Prozent angegeben ist und man die hierauf bezogene Änderung in Prozentpunkten ausdrückt. Ein weiteres Beispiel wo dies meist falsch angewendet wird ist die Mehrwertsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Netto) multipliziert mit dem sog. Mehrwertsteuersatz. Die Summe aus des Nettobetrages und der Mehrwertsteuer ergibt den Bruttobetrag: Bruttobetrag = Nettobetrag + Mehrwertsteuer = Nettobetrag + (Nettobetrag ∙ Mehrwertsteuersatz) In der Praxis findet man oft Formulierungen wie
- "Im Rechnungsbetrag sind 20% Mehrwertsteuer enthalten"
- :Diese Prozentangabe würde sich somit auf die Mehrwertsteuer (im Beispiel 20 €) selbst beziehen (dh. 80% der Mehrwertseuer fehlen).
- "Die Mehrwertsteuer beträgt 20%"
- :Ist (zumeist) ebenfalls falsch, da eigentlich der Mehrwertsteuersatz gemeint ist.
- "20% sind Mehrwertsteuer"
- :Im Bezug auf den Rechnungsbetrag ebenfalls falsch, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Bruttowert handelt. Tatsächlich macht die Mehrwertsteuer im Beispiel rund 16,667% des Rechnungsbetrages aus.

Grammatikalische Ausdrücke

Im Sprachlichen muss man zwischen den Ausdrücken mal so (Positiv) und mal (Komparativ) sowie den Ausdrücken um und auf unterscheiden. Noch komplizierter wird der Sachverhalt beim Ausdruck mal weniger, wie die folgenden Beispiele belegen: Solche Ausdrücke sollte man daher, aufgrund der Gefahr etwas durcheinander zu bringen, möglichst vermeiden.

Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten

Der Prozentwert 3,5 % beinhaltet dieselbe Information wie der Zahlenwert 0,035. Oft ist deswegen zu lesen, dass man den Zahlenwert mit 100 multiplizieren müsse, um auf den Prozentwert zu kommen. Das ist jedoch nur die halbe Wahrheit: Vielmehr ist eine Erweiterung von Zähler und Nenner um jeweils 100 durchzuführen. Das Prozentzeichen ersetzt dann die Erweiterung des Nenners um 100:

=  = \frac=(\rm Zahlenwert \cdot 100) %

Beispiele

- Die Steigung (bzw. mit negativen Vorzeichen das Gefälle) kann in Prozent angegeben werden. Hierbei wird die Steigung S für eine Höhendifferenz h bei einer zurückgelegten Strecke L aus der Formel S = h l^-1 berechnet, wobei l die horizontale geradlinige Komponente der zurückgelegten Strecke L unter Venachlässigung der Erdkrümmung darstellt. Das Ergebnis besitzt die Einheit 1 und wird oft in Prozent angegeben. S = 1 = 100 % entspricht hierbei einem Steigungswinkel von 45°; dabei ist h = l und L ungefähr 1,414 mal l.
- 20 % = 20 Prozent = 0,2. Wenn zum Beispiel 20 % der Wähler die Partei A gewählt haben, dann bedeutet dies, dass durchschnittlich von 100 Wählern 20 die Partei A gewählt haben. Zugleich haben ²⁰/₁₀₀ = ¹/₅ aller Wähler diese Partei gewählt. Wenn zum Beispiel 25.000 gewählt haben sind 20 % = 5.000. :In dieser Rechnung nennt man 25.000 den Grundwert oder die Prozentbasis G, 20 den Prozentsatz p und 5.000 den Prozentwert W. Es gilt also allgemein: :

W_ = G \cdot p_.

:In der Finanzmathematik wird das Symbol p in dieser Formel durch 100 geteilt. Damit will man die Umrechnung direkt in die Formel einbauen. Mathematisch betrachtet ist dies jedoch ein Rechenfehler bei der Umwandlung innerhalb eines Einheitensystems und ist nicht SI-Komform (siehe Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten). :Die Summe aller Prozentsätze p_x muss hierbei immer 1 (100 %) ergeben; Die Summe aller Prozentwerte W_x ergibt den Grundwert: :

\,

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart behandeln gleiche Angaben unterschiedlich. Die großen Hersteller Canon, Casio, Sharp und Texas Instruments haben in Taschenrechnern für das Finanzwesen eigene Implementierungen zum Rechnen mit Prozentsätzen implementiert. Dies führt jedoch zu einer Inkonsistenz bei den Rechnungen, so dass viele Personen dazu geneigt sind die %-Taste zu vermeiden oder sich an die Eigenheiten des verwendeten Taschenrechners anzupassen. Letzteres führt jedoch oft dazu, dass diese Personen mit anderen Taschenrechnern nicht umgehen können.

Siehe auch

- Volumenprozent
- Promille
- Prozentrang
- Parts per million (ppm) Kategorie:Arithmetik Kategorie:Schriftzeichen Kategorie:Maßeinheit ja:パーセント simple:Percent

Zinseszins

Der Zinseszins ist ein Begriff aus dem Geldwesen. Er drückt aus, dass Zinsen, die aufgrund einer verzinslichen Kapitalanlage bei einem Kreditinstitut am Ende eines bestimmten Zeitraums gutgeschrieben werden, ab Beginn des darauffolgenden Zeitraums die Einlage erhöhen und somit dann selbst verzinst werden. Das Verlangen nach Zinseszins wird als Anatozismus bezeichnet. Mit der Berechnung des Zinseszinses in Abhängigkeit vom Zinssatz sowie der Höhe und Dauer einer Kapitalanlage beschäftigt sich die Zinseszinsrechnung, ein Teilgebiet der Finanzmathematik.

Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsrechnung beantwortet die Frage, auf welches Endkapital

K_n

ein anfängliches Kapital

K_0

nach insgesamt

n

gleich langen Zeiträumen angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz von

p

Prozent verzinseszinst wird. Die Zinseszinsformel stellt sich wie folgt dar:

K_n\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^n

mit

K_n

= Endkapital;

K_0

= Anfangskapital;

p

= Zinssatz;

n

= Anzahl der Jahre Die Formel leitet sich aus folgendem Zusammenhang her: Ein Sparer tätigt eine einmalige Kapitalanlage auf einem Konto eines Kreditinstituts in Höhe eines anfänglichen Kapitals. Dieses Kapital wird während einer bestimmten Anlagedauer mit Zinseszins verzinst. Die Anlagedauer bestehe aus mehreren gleich langen Zeiträumen, die mit Hilfe der Natürlichen Zahlen fortlaufend durchgezählt werden. Man sagt auch, die Zeiträume werden mit dem Index

i

fortlaufend von

i = 1

bis

i = n

durchnummeriert. Damit kann man die Anlagedauer als Summe aller

n

Zeiträume formulieren :

Anlagedauer\ =\ Zeitraum_1\;+\;Zeitraum_2\;+\ .\;.\;.\ +\;Zeitraum_i\;+\ .\;.\;.\ +\;Zeitraum_\;+\;Zeitraum_n

Zu Beginn des ersten Zeitraums (

i = 1

) liegt auf dem Konto des Sparers das anfängliche Kapital, das durch den Buchstaben

K

mit angehängtem Indexwert

i = 0

dargestellt wird :

Anfangskapital\ zu\;Beginn\;von\ Zeitraum_1\ :\ \ K_0

Wichtig sind die beiden verwendeten Indexwerte. Der erste Zeitraum erhält den Indexwert

i = 1

, während das Anfangskapital mit

i = 0

nummeriert wird. Der Sparer hat sich entschieden, für die Anlagedauer nicht auf sein Kapital zuzugreifen. Dafür "belohnt" ihn das Kreditinstitut mit einer Gutschrift von Zinsen. Übliche Praxis ist nun, dass wiederholt jeweils am Ende von jedem der

n

Zeiträume innerhalb der Anlagedauer jeweils Zinsen gutgeschrieben werden. Es wird also z. B. für den ersten Zeitraum der Zinswert

Z_1

vergütet :

Zinswert\ f\ddot ur\;den\ Zeitraum_1\ :\ \ Z_1

Die konkrete Höhe des Zinswertes

Z_1

im ersten Zeitraum bestimmt sich wie folgt: Das Kreditinstitut drückt die "Belohnung" des Sparers für die Überlassung des Kapitals in prozentualer Form aus, also z.B. "sechs Prozent" (6% = 6/100). Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird Zinssatz

p

genannt. Der am Ende des ersten Zeitraums gutgeschriebene Zinswert

Z_1

verhält sich zum anfänglichen Kapitalwert

K_0

genau so, wie sich der Zinssatz

p

zum Wert 100 verhält. Dieser Zusammenhang stellt eine Verhältnisgleichung dar.

\frac\ =\ \frac\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \frac\ =\ \frac

. Diese Verhältnisgleichung erscheint viel theoretischer als das, was sie im praktischen Einsatz tatsächlich leistet. Sie besagt ganz einfach, dass ein z. B. mit sechs Prozent verzinstes Anfangskapital von 1.000 Euro im ersten Zeitraum einen Zinswert von genau 60 Euro "erwirtschaften" muss, damit die geforderten Verhältnisse stimmen:

\frac\ =\ \frac\ =\ \frac

. Diese Festlegung für das Verhältnis zwischen Zinswert und Kapitalwert im ersten Zeitraum lässt sich so verallgemeinern, dass für jedes Verhältnis von Zinswert

Z_

zu Kapitalwert

K_

in jedem

i

-ten Zeitraum die Verhältnisgleichung gilt:

\frac\ =\ \frac

. Nach Umstellung erhält man für den Zinswert

Z_i

die Formel

Z_i\ =\ K_\;\cdot\;\frac

. Für positive Zinssätze

p\;>\;0

gilt stets

1+\frac\ >\ 1

, weshalb dieser Term Aufzinsungsfaktor genannt wird. Bis hierhin wird deutlich, was mit "Verzinsung für einen Zeitraum" gemeint ist. Zur Betrachtung des Zinseszinses muss erneut berücksichtigt werden, dass der Sparer für das "zur Verfügung stellen" des anfänglichen Kapitals

K_0

nach Maßgabe der obigen Zinswert-Formel "belohnt" wird. Seinem Konto wird am Ende des ersten Zeitraums also folgender Zinswert

Z_1

gutgeschrieben :

Z_1\ =\ K_0\;\cdot\;\frac

. Somit wächst das anfängliche Kapital

K_0

bis zum Ende des ersten Zeitraums genau um diesen Zinswert

Z_1

. Beide zusammen bilden also den neuen Kontostand. Diese Summe nennt man auch das (vorläufige) Endkapital

K_1

, das folgerichtig mit dem Indexwert

i = 1

versehen wird:

K_1\ =\ K_0\;+\;Z_1\ =\ K_0\;+\;K_0\,\cdot\,\frac\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)

. Dieses (vorläufige) Endkapital

K_1

ist nun zugleich das Anfangskapital für den zweiten Zeitraum (

i = 2

). Es "erwirtschaftet" darin den Zinswert

Z_2

, der erneut hinzuaddiert wird:

K_2\ =\ K_1\;+\;Z_2\ =\ K_1\;+\;K_1\,\cdot\,\frac\ =\ K_1\,\left(1+\frac\right)\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)\,\left(1+\frac\right)\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^2

. Damit wirkt bereits während des zweiten Zeitraums der Zinseszins-Effekt: Das Anfangskapital

K_0

im ersten Zeitraum wächst mit dem Aufzinsungsfaktor 1 + p/100 auf das (vorläufige) Endkapital

K_1

. Auf die gleiche Weise steigt das Kapital

K_1

im zweiten Zeitraum mit demselben Aufzinsungsfaktor auf das (vorläufige) Endkapital

K_2

. Über beide Zeiträume hinweg betrachtet ist das anfängliche Kapital

K_0

jedoch überproportional, nämlich mit dem Quadrat des Aufzinsungsfaktors, auf das (vorläufige) Endkapital

K_2

angewachsen. Verallgemeinert bedeutet dies, dass sich am Ende der Anlagedauer, also nach insgesamt

n

Zinszeiträumen, schließlich das Endkapital

K_n

durch

n

-maliges Multiplizieren des Anfangskapitals

K_0

mit dem Aufzinsungsfaktor

K_n\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^n

ergibt.

Beispiel

Ein Betrag von 1.000 Euro wird zehn Jahre lang zu einem jährlichen Zinssatz von fünf Prozent fest angelegt. Am Ende des ersten Jahres beträgt der Zins 1.000€
- 0,05 = 50€. Für das zweite Jahr beträgt der Zins (1.000€ + 50€)
- 0,05 = 50€ + 2,50€. Der Zinseszins-Effekt erwirtschaftet also einen Mehrertrag von 2,50 Euro im Vergleich zu einer Verzinsung ohne Zinseszins. Nach 10 Jahren ist das Anfangskapital durch Zinseszins angewachsen auf das Endkapital

K_\ =\ 1000\,Euro\;\cdot\;(1\,+\,0,05)^\ =\ 1628,89\,Euro

Recht

Im deutschen Zivilrecht ordnet § 248 Abs. 1 BGB an, dass eine im Voraus getroffene Vereinbarung, wonach Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, nichtig ist. Die Vorschrift bezweckt einen Schutz des Schuldners vor der Kumulation von Zinsen. Gemäß Absatz 2 dieser Vorschrift gilt eine Ausnahme für Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften. Diese können wirksam die Zahlung von Zinseszinsen versprechen. Auch beim handelsrechtlichen Kontokorrent können gem. § 355 HGB Zinseszinsen vereinbart werden. In § 289 BGB ist für den gesetzlichen Anspruch auf Zinsen als Ersatz des Verzugsschadens geregelt, dass von Zinsen keine Verzugszinsen zu entrichten sind.

Literatur

- Andreas Eschbach: Eine Billion Dollar (2001)
- Erich Kästner: [http://www.kreuzschule-mussum.bocholt.de/05-Schulchronik/kaestnerrede.htm Ansprache zum Schulbeginn] (1950)

Siehe auch

- Josephspfennig
- Zinsrechnung (in diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung)

Weblinks

- [http://bundesrecht.juris.de/bundesrecht/bgb/__248.html § 248 BGB]
- [http://bundesrecht.juris.de/bundesrecht/bgb/__289.html § 289 BGB]
- [http://bundesrecht.juris.de/bundesrecht/hgb/__355.html § 355 HGB]
- [http://www.bennoehr.com/zinseszins_mit_raten.htm Javascript zur Lösung von Standardaufgaben zur Zinseszinsrechnung: Berechnung von Anfangskapital, Endkapital, Zeit, Rate, Zinssatz]
- [http://www.matheraum.de/read?t=29895&v=t Antwort in mathematischem Forum, welche das Thema Zinseszins vertieft darstellt und auf Barwerte, Zeitrenten, Leibrenten, etc. eingeht]
- [http://www.humanwirtschaft.org/archiv_z/43_moewes.htm Zinseszins und Umverteilung] von Günther Moewes Kategorie:Bank und Kreditwesen Kategorie:Arithmetik

Radioaktiver Zerfall

Unter Radioaktivität oder radioaktivem Zerfall versteht man die spontane Umwandlung instabiler Atomkerne unter Energieabgabe. Die freiwerdende Energie wird in Form energiereicher Teilchen und/oder ionisierender Strahlung abgegeben. Bei der Kernumwandlung kann sich die Kernladungszahl (Ordnungszahl) ändern (Umwandlung in ein anderes chemisches Element), oder nur die Massenzahl (Umwandlung in ein anderes Isotop desselben Elements). Daneben gibt es Übergänge, bei denen sich nur der Anregungszustand des Kerns ändert (Übergang zwischen verschiedenen Isomeren des selben Isotops). Die Stärke der Radioaktivität wird durch den physikalischen Begriff der „Aktivität” beschrieben und in der Einheit Becquerel angegeben. Radioaktiver Zerfall ist kein deterministischer Prozess. Der Zerfallszeitpunkt ist absolut zufällig. Allerdings ist für jedes Nuklid die Zerfallswahrscheinlichkeit ein fester Wert, der durch die Halbwertszeit angegeben wird. Die Halbwertszeit ist der Zeitraum, nach dem durchschnittlich die Hälfte der instabilen Atomkerne einer Menge zerfallen sind. Sie kann nur Sekundenbruchteile, aber auch einige Milliarden Jahre betragen. Derartige Nuklide sind beispielsweise Uran-238 und Uran-235, Thorium oder Kalium-40. Je kürzer die Halbwertszeit, desto größer die Radioaktivität. Mathematisch wird der Zerfall durch das Zerfallsgesetz beschrieben. Nicht nur der Zeitpunkt des Zerfalls ist zufällig, sondern unter Umständen auch die Art des Zerfalls. ²¹²Bismut kann beispielsweise mit jeweils unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit auf drei verschiedene Arten zerfallen. Eine Liste aller Nuklide mit Art und Anteil der möglichen Zerfälle und Halbwertszeit jedes bekannten Nuklids findet sich in einer Nuklidkarte. Ein Atomkern ist dann stabil und kann nicht weiter von sich aus zerfallen, wenn es keinen radioaktiven Zerfall gibt, der zu einem energetisch niedrigeren Zustand führt. Beim Wasserstoff ist dieser Zustand das einzelne Proton als Atomkern, beim Helium enthält das stabile Isotop Helium-3 zwei Protonen und ein Neutron. Beim Lithium und allen schwereren Elementen müssen mindestens gleich viele Neutronen wie Protonen den Kern bilden, und bei schwereren Kernen überwiegen immer mehr die Neutronen. Ab einer gewissen Zahl von Nukleonen werden alle Atomkerne instabil. Unter Einwirkung von Korpuskularstrahlung (insbesondere Neutronen; Neutronenaktivierung) können stabile Atomkerne in andere Atomkerne umgewandelt werden, die instabil sind.

Zerfallsmodi

Nukleonen Im Atomkern wirken im Wesentlichen zwei Wechselwirkungen.
- Die starke Wechselwirkung, auch „Kernkraft” genannt, bewirkt die Bindung der Protonen und Neutronen aneinander.
- Die elektromagnetische Wechselwirkung, welche eine gegenseitige Abstoßung der Protonen bewirkt. Bei allen Zerfallsarten kann zusätzlich Gammastrahlung emittiert werden.

Alphazerfall

Ist der Atomkern sehr schwer, enthält also viele Protonen und Neutronen, kommt es zum Alphazerfall. Die starke Wechselwirkung kann den Mutterkern dann nicht mehr zusammen halten. Die freiwerdende Energie wird in Form von Heliumkernen mit einer Geschwindigkeit von unter 0,1 c emittiert. Dieses Verhalten ist trotz der hohen Potentialbarriere aufgrund des Tunneleffekts möglich. Der Restkern, auch Rückstoßkern oder Tochterkern genannt, verringert bei diesem Vorgang seine Nukleonenzahl um vier und die Kernladungszahl um zwei. Die Strahlung hat in Luft eine Reichweite von wenigen Zentimetern, besitzt aber eine extrem schädliche biologische Wirkung, wenn Sie innerhalb eines Organismus auftritt. Alphastrahlung kann durch ein einfaches Blatt Papier gestoppt werden. Beispiel:

^\mathrm U \to ^\mathrm + \alpha + \Delta E

Betazerfall

Wenn ein ungünstiges Verhältnis von Neutronen zu Protonen besteht, tritt normalerweise Betazerfall ein. Dabei wird beim

\beta^-

-Zerfall im Kern ein Neutron in ein Proton umgewandelt und ein hochenergetisches Elektron sowie ein Elektron-Antineutrino emittiert. Die Nukleonenzahl des Kerns ändert sich dabei nicht, seine Ordnungszahl erhöht sich um eins. Beispiel:

^_6 \mathrm C \to ^_7 \mathrm N + e^- + \overline

Beim

\beta^+

-Zerfall wird im Kern ein Proton in ein Neutron und ein hochenergetisches Positron umgewandelt und ein Elektron-Neutrino emittiert. Die Nukleonenzahl des Kerns ändert sich dabei nicht, seine Ordnungszahl verringert sich um eins. Beispiel:

^_7 \mathrm N \to ^_6 \mathrm C + e^+ + \nu_e

Durch einige Meter Luft oder eine dünne Metallschicht (z.B. Alu) lässt sich die Beta-Strahlung abschirmen. Die Neutrinostrahlung ist sehr schwer nachzuweisen, da Neutrinos nur der schwachen Wechselwirkung unterliegen.

Elektroneneinfang, ε-Zerfall

Eine andere Möglichkeit zur Umwandlung eines Protons in ein Neutron besteht darin, ein Elektron aus der Atomhülle in den Kern zu „ziehen”, dem so genannten Elektroneneinfang (englisch: electron capture, kurz EC). Nach der Bezeichnung der typisch betroffenen Elektronenschale, der K-Schale, wird der Elektroneneinfang auch als K-Einfang bezeichnet. Das Proton des Kerns wird in ein Neutron umgewandelt, und ein Elektronneutrino emittiert. Bei diesem Umwandlungsmechanismus ist der Kern denselben Änderungen unterworfen wie beim

\beta^

-Zerfall, die Nukleonenzahl bleibt unverändert, die Ordnungszahl verringert sich um eins. Der Elektroneneinfang konkurriert daher mit dem

\beta^

-Zerfall und wird auch als eine Variante des Betazerfalls angesehen. Da das eingefangene Elektron meist aus der innersten Elektronenschale stammt, wird in dieser ein Platz frei und Elektronen aus den äußeren Schalen rücken nach, wobei charakteristische Röntgenstrahlung emittiert wird. Beispiel:

^_ \mathrm  + e^-  \to ^_ \mathrm  + \nu_e

Doppelter Elektroneneinfang: Bei einigen Kernen ist ein einfacher Elektroneneinfang energetisch nicht möglich, sie können sich aber durch gleichzeitigem Einfang zweier Elektronen umwandeln. Die Halbwertszeiten derartiger Umwandlungen sind typischerweise sehr lange und konnten erst in jüngster Zeit nachgewiesen werden. Beispiel:

^_ \mathrm  + 2e^-  \to ^_ \mathrm  + 2\nu_e

Doppelter Betazerfall

Bei einigen Kernen ist ein einfacher Betazerfall energetisch nicht möglich, sie können aber unter Abstrahlung zweier Elektronen zerfallen. Derartige Zerfälle haben typischerweise sehr lange Halbwertszeiten und sind erst in jüngster Zeit nachgewiesen worden. Noch offen ist die Frage, ob beim doppelten Betazerfall stets zwei Neutrinos emittiert werden, oder ob auch ein neutrinoloser doppelter Betazerfall vorkommt. Beispiel:

^_ \mathrm  \to ^_ \mathrm  + 2 e^- + 2 \overline

Gammazerfall

Ein γ-Zerfall (

\gamma

ist der griechische Buchstabe gamma) ist möglich, wenn der Atomkern nach einem Zerfall in einem energetisch angeregten Zustand vorliegt. Beim Übergang in einen energetisch niedrigeren Zustand gibt der Atomkern durch Emission hochfrequenter elektromagnetischer Strahlung, sogenannter γ-Strahlung Energie ab. Zur Abschirmung von γ-Strahlung sind meterdicke Stahlbeton- oder Bleiplatten nötig.

\gamma

-Strahlung ist wie Licht elektromagnetische Strahlung, sie ist aber sehr viel energiereicher und liegt damit weit außerhalb des für das menschliche Auge sichtbaren Spektrums. Die Bezeichnung "Zerfall" dient zwar der Nomenklatur, ist aber hier leicht irreführend, da es sich um keinen Zerfall handelt, sondern um eine Zustandsänderung im Atomkern. Beispiel:

^_ \mathrm  \to ^_ \mathrm  +

Innere Konversion

Die freiwerdende Energie beim Übergang eines Atomkerns in ein energetisch niedrigeres Isomer kann auch an ein Elektron der Atomhülle abgegeben werden. Diesen Vorgang nennt man Innere Konversion. Konversionselektronen sind im Gegensatz zu

\beta

-Teilchen monoenergetisch.

Spontane Spaltung

Die spontane Kernspaltung ist ein weiterer radioaktiver Umwandlungsprozess, der bei besonders schweren Kernen auftritt. Der Atomkern zerfällt in zwei oder mehrere Bruchstücke. Dabei entstehen in der Regel zwei etwa gleichgroße Tochterkerne und zwei oder drei Neutronen. Beispiele: Auch die natürlich vorkommenden Uranisotope zerfallen zu einem kleinen Teil durch spontane Spaltung.

Spontane Nukleonenemission

Bei Kernen mit besonders hoher oder besonders geringer Neutronenzahl kann es zu spontaner Nukleonenemission also Protonenemission oder Neutronenemission kommen. Atomkerne mit sehr hohem Protonenüberschuss können ein Proton abgeben, Atomkerne mit hohem Neutronenüberschuss können Neutronen abgeben. Isotope, die durch spontane Nukleonenemission zerfallen, haben sehr kurze Halbwertszeiten und müssen künstlich hergestellt werden. ⁵He → ⁴He + ¹n ⁹B → ⁸Be + ¹p

Weitere Zerfallsarten

Clusterzerfall: Statt einzelner Nukleonen oder Heliumkerne werden in sehr seltenen Fällen auch ganze Atomkerne anderer Nukleonenzahl emittiert. Beispiele: Zwei-Protonen-Zerfall: Bei extremem Protonenüberschuss (wie zum Beispiel bei ⁴⁵Eisen) kann der Zwei-Protonen-Zerfall auftreten, bei dem sogar zwei Protonen gleichzeitig abgestrahlt werden. ⁴⁵Fe → ⁴³Cr + 2 ¹p

Einheiten

;Becquerel Bq :Einheit radioaktiver Aktivität (Zerfallsereignisse je Sekunde). Das Becquerel löst die alte Einheit Curie ab; Umrechnung: 1 Ci = 3,7 · 10¹⁰ Zerfallsereignisse pro Sekunde = 37 Milliarden Bq; 1 Bq = 2,7 · 10^-11 Ci ;Curie Ci :Alte Einheit radioaktiver Aktivität, abgelöst durch Becquerel (s.d.). 1 Ci = 37 GBq = 3,7 · 10¹⁰ Bq ;Gray Gy :(SI-Einheit der Energiedosis). Das Gray löst die alte Bezeichnung "Rad" ("radiation-absorbed dose") ab. Es gibt an, wie viel Energie von einem Kilogramm Körpermasse aufgenommen wird. 1 Rad = 0,01 Gray; 1 Gray = 100 Rad ;Rad : radiation absorbed dose; alte Einheit der Energiedosis, abgelöst durch Gray (Gy) ;Rem :roentgen-equivalent men; alte Einheit der Personendosis, abgelöst durch Sievert (Sv) ;Röntgen : alte Einheit der Ionendosis ;Sievert Sv : Einheit der Äquivalentdosis; löst die alte Bezeichnung Rem (roentgen-equivalent-men) ab. Die Äquivalentdosis ergibt sich durch Multiplikation der Energiedosis (Gray) mit einem biologischen Qualitätsfaktor. Für $\beta$ - und $\gamma$ -Strahlung ist dieser Faktor 1, das heißt Sv = Gy. Für $\alpha$ -Strahlung ist er 20, was die erhöhte Wechselwirkung beim Durchdringen von Gewebe berücksichtigt.

Geschichte

1896 entdeckte Antoine Henri Becquerel, dass Uran enthaltende Stoffe eine Strahlung aussenden. Diese vermag es, undurchsichtige Stoffe zu durchdringen. Dies stellte er fest, als er in Papier gehüllte fotografische Platten geschwärzt vorfand. Er stellte zudem fest, dass diese Radioaktivität nicht einheitlich ist, sondern verschiedene Komponenten enthalten kann: # eine Komponente mit hohem Durchdringungsvermögen, die im elektrischen Feld nicht abgelenkt wird (Gammastrahlung) # eine Komponente, die im elektrischen Feld zum Pluspol abgelenkt wird und ein mittleres Durchdringungsvermögen hat (Betastrahlung) # eine Komponente, die im elektrischen Feld zum Minuspol abgelenkt wird und ein geringes Durchdringungsvermögen hat (Alphastrahlung). Die wesentlich beteiligten Personen, die auf dem Gebiet der weiteren Aufklärung der natürlichen Radioaktivität forschten, waren Marie Curie, Pierre Curie und Ernest Rutherford.

Anwendung

Technische Anwendung

Isotopenbatterien finden häufig in der Raumfahrt Anwendung. Früher benutzte man sie auch zum Betrieb von Herzschrittmachern. In Isotopenbatterien wird Wärme, die bei der Absorption der Strahlung eines Radionuklids entsteht, technisch genutzt. Der Temperaturunterschied zur Umgebung wird hier durch ein Thermoelement in elektrische Energie umgewandelt (Wirkungsgrad ≈5%). Hierbei werden am häufigsten

\alpha

-Strahler, besonders Plutonium-238, eingesetzt. Eine andere technische Anwendung ist die Dickenmessung und Materialprüfung mittels Durchstrahlung. Hierbei wird ein Stoff radioaktiv (mit Gamma-Strahlen) bestrahlt und ein Zähler ermittelt aufgrund der durchdringenden Strahlen und des Absorptionsgesetzes die Dichte. Diese Technik findet auch bei der Prüfung von Schweißnähten und Werkstoffen Anwendung (zum Beispiel zur qualitativen Überprüfung einer Schweißnaht). Bei Uhren und anderen radioaktiven Lichtquellen wird die leuchtende Eigenschaft „Lumineszenz“, die durch Beigabe von radioaktiven Substanzen (Tritium, früher Radium oder Promethium) zu Zinksulfidkristallen erreicht wird, genutzt. Es wurden auch Blitzableiter mit radioaktiven Material hergestellt, deren Wirksamkeit aber nie bewiesen werden konnte ( Radioaktiver Blitzableiter).

Biologische und Chemische Anwendungen

In der Biologie wird hauptsächlich die Mutationen fördernde und sterilisierende Wirkung genutzt. In der Pflanzenzüchtung werden zum Beispiel durch „strahlungsinduzierte Mutationen“ Mutanten erzeugt, durch die neue und verbesserte Arten hervorgebracht werden können. Ein sehr erfolgreiches Einsatzfeld ist die „Sterile-Insekten-Technik“, kurz SIT. Dabei werden männliche Schadinsekten sterilisiert und dann im Zielgebiet freigelassen. Das Ausbleiben von Nachkommen führt zur Verringerung der Population. Vorteil hierbei ist auch, dass keine schädlichen Chemikalien eingesetzt werden müssen und andere Insekten unbetroffen bleiben. Weiterhin eignet sich Radioaktivität auch zur Sterilisation von Geräten, Implantaten oder Lebensmitteln. Hierbei werden Mikroorganismen, ähnlich wie bei der Hitzesterilisation, neutralisiert. Hierfür gelten jedoch strenge Auflagen. Weiterhin kann das Wachstum eines Keimlings durch schwache Strahlung verbessert werden, wohingegen zu starke Strahlung wachstumshemmend wirkt. Die Vernetzung von Polymeren ohne Wärmeentwicklung ist ebenfalls möglich, wobei auch große Komponenten vernetzt werden können. Interessant ist auch die Farbänderung von Edelsteinen, Gläsern und pigmentierten Kunststoffen durch Radioaktivität.

Medizinische Anwendung

In der Nuklearmedizin findet man primär die Szintigraphie. Hierbei wird eine geringe Menge eines radioaktiven Stoffes in den Körper injiziert (meist

\gamma

-Strahler). Dieser strahlt dann aus dem Körper heraus, was eine Untersuchung ermöglicht. Die Strahlen werden von einem Detektor aufgefangen und mittels eines Computertomographen bildlich dargestellt. Dabei kann aus mehreren abgetasteten zweidimensionalen Bildern auch ein dreidimensionales Bild errechnet werden. Für jedes Organ gibt es spezielle radioaktive Verbindungen. So injiziert man zum Beispiel radioaktives Iod, das sich in der Schilddrüse anlagert, um sie untersuchen zu können. (Aufgrund der Strahlenbelastung wird diese Methode nur noch zur Tumorbekämpfung angewandt). Weitere bildgebende Verfahren, die Radioaktivität nutzten, sind die Positronen-Emissions-Tomographie (PET) und die Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT). Ein weiteres Einsatzfeld ist die Radionuklidbehandlung zur Schmerzlinderung bei Knochenmetastasen. Hier wird in krankhaften Knochenbereichen der Metastase ein Radionuklid angereichert, was eine schmerzlindernde Wirkung hat. Jedoch haben diese Methoden auch ein gewisses Risiko, da teilweise auch gesundes Gewebe zerstört wird, was zu einer Immunschwächung oder Funktionsstörung des Knochenmarkes führen kann.

Strahlenbelastung und biologische Wirkung

Die Strahlenbelastung für Lebewesen wird als effektive Dosis mit der Einheit Sievert gemessen. Dabei wird die unterschiedliche Schädlichkeit von

\alpha

\beta

- und

\gamma

-Strahlen sowie die unterschiedliche Empfindlichkeit einzelner Gewebe berücksichtigt. Radionuklide sind nicht die einzige Quelle ionisierender Strahlung. Röntgenstrahlung wird z. B. in Röntgenröhren oder Fernsehgeräten erzeugt, die Höhenstrahlung stammt aus dem All. In vielen Anlagen der Hochenergiephysik entstehen verschiedene Arten ionisierender Strahlung. Jeder Mensch ist natürlicher Strahlenbelastung ausgesetzt. Die natürliche Strahlenbelastung kann von Ort zu Ort sehr unterschiedlich sein und hängt stark von der Höhe über dem Meeresspiegel (je höher, desto mehr kosmische Höhenstrahlung) und dem geologischen Umfeld ab. Ursache ist etwa zur Hälfte Radon und seine Zerfallsprodukte, das in Gestein und Mauerwerk vorkommt. Wichtige andere natürliche Strahlenquellen sind ⁴⁰Kalium, kosmische Strahlung und terrestrische Strahlung. In Deutschland beträgt die natürliche Strahlenbelastung etwa 2,4 mSv pro Jahr. Die künstliche Strahlenbelastung von im Durchschnitt 1,5 mSv im Jahr stammt fast ausschließlich aus der Medizin. Aber auch häufige Flugreisen können zu einer signifikanten zusätzlichen Strahlenbelastung führen. Alle Formen der Radioaktivität können für Lebewesen gesundheitsschädlich sein. Die Kurzzeitfolge einer zu hohen Dosis Radioaktivität wird Strahlenkrankheit genannt. Sie äußert sich durch ein geschwächtes Immunsystem und Verbrennungen. Auf molekularer Ebene ist unter anderem die schädigende Wirkung von durch Radiolyse entstehenden Radikalen beteiligt. Die Strahlenkrankheit tritt etwa ab einer kurzfristigen Belastung von 0,25 Sv auf. 4 Sv sind in der Regel tödlich. Die Langzeitfolgen der Radioaktivität sind Mutationen am Erbgut und Krebs. Bakterien können sehr viel stärkere Radioaktivität als Menschen ertragen, Rekordhalter ist Deinococcus radiodurans, der sogar im Kühlwasser von Kernreaktoren leben kann.

Weblinks

- [http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Radioaktivit%E4t Mineralienatlas Radioaktivität]
- http://www.m-ww.de/enzyklopaedie/strahlenmedizin/
- Real Video: [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&g2=1&f=021124.rm Was ist Radioaktivität?] (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri) Kategorie:Kernenergie Kategorie:Kernphysik Kategorie:Mineralogie Kategorie:Strahlenschutz Kategorie:1896 ja:放射能

Halbwertszeit

Viele Phänomene lassen sich mit einer Halbwertszeit (Abk.: HWZ) beschreiben, wenn eine exponentielle Abnahme (prozentual konstante Abnahme) über der Zeit vorliegt. Das bekannteste Beispiel hierfür ist der Zerfall radioaktiver Isotope. Bei exponentiellem Wachstum spricht man statt der Halbwertszeit von einer Verdoppelungsrate, die der Halbwertszeit mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht. Fälschlicherweise wird gelegentlich (laienhaft) angenommen, dass nach zwei Halbwertszeiten, z.B. bei radioaktiven Isotopen, die Substanz vollständig zerfallen ist; es ist jedoch so, dass die nach einer Halbwertszeit verbliebene Hälfte im Lauf der nächsten Halbwertszeit wiederum halbiert wird, d.h. es verbleibt ¹/₄; nach 3 Halbwertszeiten ¹/₈ usw. (¹/₁₆, ¹/₃₂, ¹/₆₄, ...) bis letztlich nur noch ein einzelner Kern übrig ist. Der Zerfall dieses einen (wie auch jedes anderen einzelnen) Kerns ist allerdings nicht vorhersagbar, da lediglich eine Wahrscheinlichkeit für dessen Zerfall innerhalb einer gegebenen Zeit angegeben werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein betrachteter Kern innerhalb der ersten Halbwertszeit zerfällt, beträgt 50%, dass er innerhalb von 2 Halbwertszeiten zerfällt 50% + 25% = 75%, bei 3 Halbwertszeiten beträgt der Wert 50% + 25% + 12,5% = 87,5%, u.s.w.

Zerfallsgesetz

Es sei ein radioaktives Präparat mit N₀ Kernen; zum Zeitpunkt t=0 ist noch keiner der Kerne zerfallen. Mit der Aktivität gilt die Differentialgleichung

N\cdot\lambda =-\frac

-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac

\int -\lambda \cdot \mathrm d t=\int\frac

-\lambda t + C_1=\ln(N)+C_2

Für t=0 sind nach Voraussetzung noch N₀ Kerne vorhanden. Damit gilt für

C_1

C_1=\ln \left(N_0 \right)+C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) + C_2= \ln(N) + C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) = \ln(N)

-\lambda t = \ln(N)-\ln\left(N_0\right) = \ln\left(\frac\right)

e^ = \frac

N(t)= N_0 \cdot e^

Hierbei ist die Geschwindigkeit der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ bestimmt. Sie ist das Reziproke der Lebensdauer

\tau = 1/\lambda

. Beim radioaktiven Zerfall sind also nach der Zeit t von N₀ Ausgangskernen noch N übrig. Für die Zeit t bei N übrigen Kernen gilt hingegen

\frac= t

mit

0 \ne N < N_0

. Für

N > N_0

ist

t<0

. Hieraus ergibt sich sofort die Zeitspanne für eine Verkleinerung der Ausgangsmenge um den Faktor 1/n als

T_=\frac = \frac

Nach der Zeitspanne für

n = N_0

hat sich die Ausgangsmenge auf einen einzelnen Kern reduziert. Die Zeitspanne für

n=2

heißt Halbwertszeit und stellt diejenige Zeit dar, nach deren Ablauf die Hälfte der ursprünglichen N₀ Kerne zerfallen sind.

Radioaktive Halbwertszeit

Die physikalische Halbwertszeit ist in der Kernphysik diejenige Zeitspanne, die statistisch gesehen verstreicht, bis die Menge eines bestimmten radioaktiven Nuklids auf die Hälfte gesunken ist, das heißt sich in andere Atome umgewandelt hat. Für jedes Nuklid ist die Halbwertszeit eine Konstante. Die Anzahl der verbleibenden Kerne zu einer bestimmten Zeit ist durch das Zerfallsgesetz gegeben. Halbwertszeiten einiger radioaktive Nuklide:
- Bismut (²⁰⁹Bi): ca. 1,9×10¹⁹ Jahre
- Uran (²³⁸U): 4,5. Mrd. Jahre
- Plutonium (²³⁹Pu): 24000 Jahre
- Kohlenstoff (¹⁴C): 5730 Jahre
- Tritium (³H): 12,36 Jahre
- Caesium (¹³⁷Cs): 30 Jahre
- Radium (²³⁶Ra): 1622 Jahre
- Radon (²²²Rn): 3,8 Tage
- Francium (²²³Fr): 22 Minuten
- Thorium (²²³Th): 0,9 Sekunden
- Polonium (⁸⁴Po): 0,3 • 10^-6 Sekunden Mathematisch betrachtet verschwindet die radioaktive Strahlung also nie, physikalisch ist natürlich mit der Umwandlung des letzten Atoms eine Grenze gesetzt. Oft nutzt man als Abschätzung die Zeitdauer, nach der die Aktivität auf den Faktor 2^-10 = 1/1024 gefallen ist, was nach der 10fachen Halbwertszeit der Fall ist. Siehe auch: Lebensdauer (Physik)

Anwendung: Die Radiocarbonmethode

Das radioaktive Kohlenstoffnuklid ¹⁴C ist in einem festen Verhältnis im Kohlenstoffdioxid unserer Atmosphäre enthalten. Durch den anteiligen Einbau des Nuklids bei der Photosynthese in die Biomasse der Pflanzen und weiter über die Nahrungskette kommt es auch im Körper aller Lebewesen zu einem festen Verhältnis zwischen normalem ¹²C und radioaktivem ¹⁴C. Wenn ein Lebewesen stirbt, dann hört es auf mit der Photosynthese bzw. mit der Nahrungsaufnahme. Das hat zur Folge, dass der Anteil an ¹⁴C ab genau diesem Zeitpunkt entsprechend dem radioaktiven Zerfall exponentiell mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren abnimmt. Anhand der radioaktiven Reststrahlung, die von einem toten Lebewesen ausgeht, kann man durch diese Radiokarbonmethode bestimmen, wie viel Prozent des ursprünglichen ¹⁴C Anteils noch vorhanden sind und in der Folge den Zeitpunkt des Todes des Lebewesens und damit das Alter des Fundes bestimmen.

Beispiel

Der Balken eines historischen Gebäudes habe noch 90% des ursprünglichen Gleichgewichtsanteils an ¹⁴C in frischer Pflanzenmasse. Dann gilt für die verstrichene Zerfallszeit: :

\mathrm = \mathrm_ \cdot \mathrm_2(09) = 5730a \cdot \mathrm_2\left(09\right) = -870,98a

Das bedeutet, dass der Baum, aus dem der Balken gemacht wurde, vor etwa 871 Jahren geschlagen worden ist. Die Datierung ist nicht auf das Jahr genau. Die mögliche Genauigkeit hängt von der Menge verfügbaren Probematerials und der aufgewendeten Zähldauer ab und wird auch mit zunehmendem Alter der Probe immer geringer.

Biologische Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit bezeichnet im speziellen die Zeitspanne t_1/2, in welcher in einem biologischen Organismus (Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) der Gehalt einer inkorporierten radioaktiven, toxischen oder pharmazeutischen Substanz durch biologische oder physikalische Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung, radioaktiver Zerfall, etc.) auf die Hälfte abgesunken ist. In der Pharmakokinetik bezeichnet man als Halbwertszeit die Zeit, in der die Hälfte des aufgenommenen Arzneimittels verstoffwechselt und/oder ausgeschieden ist. Da sich die biologische Halbwertzeit aus verschiedenen Prozessen zusammensetz, die teilweise unterschiedliche Konzentrationsabhängigkeiten besitzen, ist sie nicht immer unabhängig von der Ausgangskonzentration des untersuchten Stoffes.

Bibliometrische Halbwertszeiten

In der Bibliometrie lassen sich bei der Untersuchung von Publikationen verschiedene Halbwertszeiten feststellen. Brooks untersuchte als einer der ersten Halbwertszeiten auf diesem Gebiet. Die Halbwertszeit von Literatur beträgt etwa 5 Jahre. Dies gilt sowohl für die Lektüre als auch die Anzahl der Zitationen. Das heißt, dass ein Werk durchschnittlich jedes Jahr um etwa 14% weniger oft aus einer Bibliothek entliehen oder zitiert wird als im vorangegangenen (abgesehen von Klassikern und den neuesten Werken). Die Halbwertszeit von Hyperlinks beträgt etwa 51 Monate. Das heißt, dass nach einem Jahr etwa 15% aller Hyperlinks nicht mehr gültig sind.

Eulersche Zahl

Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl

e = 2718281828459...

ist eine irrationale (zum Beweis hier) und transzendente Zahl. Wie die Kreiszahl

\pi

lässt sie sich weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen. Die Eulersche Zahl ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine wichtige Rolle.

Definition von e

Die Zahl

e

kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:
-

e = \lim_ \left(1+\frac\right)^n

als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man

n\in\Bbb N

oder

n\in\Bbb R

voraussetzt)
-

e = \sum_^

als Reihe Mit

k!

wird dabei die Fakultät

1\cdot 2\cdot\ldots\cdot k

bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert

\exp(1)=e^1

der Exponentialfunktion (oder "

e

-Funktion") an der Stelle

1

; die Reihenschreibweise enstpricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt Null. Da

e

eine irrationale Zahl ist, besitzt sie eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. In der Eulerschen Identität :

e^ = -1

wird die Zahl

e

in einen verblüffend einfachen Zusammenhang mit der imaginären Einheit der komplexen Zahlen und der Kreiszahl

\pi

gebracht.

e-Funktion

Kreiszahl Die

e

-Funktion (Exponentialfunktion)

\exp(x)=e^x

(gesprochen

e

hoch

x

) hat die Eulersche Zahl als Basis. Die

e

-Funktion weist folgende Besonderheit auf: :

\frac\exp(x) = \exp(x)

(bzw. in der Newtonschen Notation:

e^\prime=e

) Das heißt, beim Differenzieren bleibt die

e

-Funktion unverändert, oder bildhaft gesprochen: in jedem Punkt der Funktion ist ihr Wert gleich dem Wert ihrer Steigung. Diese Eigenschaft ist auch für bestimmte Differenzialgleichungen von Bedeutung. So sind beispielsweise die Lösungen

f:\mathbb\rightarrow\mathbb

der Differenzialgleichung

f^\prime(x) = f(x)

genau alle Vielfachen der Exponentialfunktion, also alle Funktionen der Form

f(x)=c \cdot \exp(x)

, wobei

c\in\mathbb

eine beliebige Konstante ist. Anwendung findet die Exponentialfunktion z.B. bei der Berechnung von Wachstumsprozessen oder periodischen Vorgängen, wie Schwingungen. Für jede komplexe Zahl

z\in\Bbb C

gilt :

e^z=\sum_^\infty \fracz^n=\lim_\left(1+\frac\right)^n

Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion.

Herkunft von e

Der Buchstabe

e

für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, dass dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben

a

b

c

und

d

waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb

e

eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist. Der Buchstabe

e

könnte auch eine Abkürzung für "exponential" sein.

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl läßt sich auch durch :

e = \lim_ \frac

oder durch den Quotienten aus Fakultät und Subfakultät approximieren: :

e = \lim_ \frac

Eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung sind die Catalansche Darstellung :

e=2\cdot\sqrt\cdot\sqrt[4]\cdot\sqrt[8]\cdots

oder die Darstellung :

e = \lim_ \left(\frac - \frac\right)

, die angeblich der Schweizer Felix A. Keller 1975 fand. Die Kettenbruchentwicklung von

e

weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt: :

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]

Die ersten 200 Nachkommastellen von e

Gerundet auf 200 Nachkommastellen (abgerundet) beträgt der Wert der Eulerschen Zahl:

e - 10^

< 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 466 391 932 003 059 921 817 413 596 629 043 572 900 334 295 260 595 630 738 132 328 627 943 490 763 233 829 880 753 195 251 019 01 <

e

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres? Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach

n

Verzinsungen

K_n=K_0 \cdot (1+p)^n

, wobei

K_0

das Startkapital,

p

der Zinssatz, und

n

die Anzahl der Verzinsungen sind. In unseren Beispiel sind

K_0 = 1 \mbox

p = 100% = 1

, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder

p = 100% / n = 1/n

, wenn der Zinszuschlag

n

mal im Jahr erfolgt. Bei jährlichem Zuschlag wäre

K_1= 1 \cdot (1+1)^1 \mbox

. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man

p = 1/2

, also

K_2 = 1 \cdot(1+0,5)^2\mbox= 2,25 \mbox

, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (

p=1/365

) erhalten wir

K_= 1 \cdot(1+1/365)^ = 2,714567... \mbox

. Wenn man momentan verzinst, wird

n

unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für

e

. Interessanterweise ist

e

auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes

e

-te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken. Die Wahrscheinlichkeit

p

, dass bei

n

Brötchen alle

n

Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt im Grenzwert für

n\to\infty

: :

p = \lim_\left(\frac \right)^n = \lim_\left(1-\frac \right)^n = \frac

Siehe auch

- Euler-Mascheroni-Konstante
- Mathematische Konstanten
- Liste besonderer Zahlen

Weblinks

- [http://www.mathe-online.at/galerie/log/n_EulerscheZahl.html Intuitiv verständliche Verbildlichung von e in einem interaktiven Java-Applet]
- [http://www.gutenberg.org/etext/127 e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englische Seite)]
- [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur] (englisch) Kategorie:Zahlen Kategorie:Analysis Kategorie:Folgen und Reihen ja:ネイピア数 ko:E (수학상수)

Halbwertszeit

Zerfallsgesetz

Es sei ein radioaktives Präparat mit N₀ Kernen; zum Zeitpunkt t=0 ist noch keiner der Kerne zerfallen. Mit der Aktivität gilt die Differentialgleichung

N\cdot\lambda =-\frac

-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac

\int -\lambda \cdot \mathrm d t=\int\frac

-\lambda t + C_1=\ln(N)+C_2

Für t=0 sind nach Voraussetzung noch N₀ Kerne vorhanden. Damit gilt für

C_1

C_1=\ln \left(N_0 \right)+C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) + C_2= \ln(N) + C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) = \ln(N)

-\lambda t = \ln(N)-\ln\left(N_0\right) = \ln\left(\frac\right)

e^ = \frac

N(t)= N_0 \cdot e^

Hierbei ist die Geschwindigkeit der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ bestimmt. Sie ist das Reziproke der Lebensdauer

\tau = 1/\lambda

. Beim radioaktiven Zerfall sind also nach der Zeit t von N₀ Ausgangskernen noch N übrig. Für die Zeit t bei N übrigen Kernen gilt hingegen

\frac= t

mit

0 \ne N < N_0

. Für

N > N_0

ist

t<0

. Hieraus ergibt sich sofort die Zeitspanne für eine Verkleinerung der Ausgangsmenge um den Faktor 1/n als

T_=\frac = \frac

Nach der Zeitspanne für

n = N_0

hat sich die Ausgangsmenge auf einen einzelnen Kern reduziert. Die Zeitspanne für

n=2

heißt Halbwertszeit und stellt diejenige Zeit dar, nach deren Ablauf die Hälfte der ursprünglichen N₀ Kerne zerfallen sind.

Radioaktive Halbwertszeit

Anwendung: Die Radiocarbonmethode

Beispiel

Der Balken eines historischen Gebäudes habe noch 90% des ursprünglichen Gleichgewichtsanteils an ¹⁴C in frischer Pflanzenmasse. Dann gilt für die verstrichene Zerfallszeit: :

\mathrm = \mathrm_ \cdot \mathrm_2(09) = 5730a \cdot \mathrm_2\left(09\right) = -870,98a

Biologische Halbwertszeit

Bibliometrische Halbwertszeiten

Zinseszins

Zinseszinsrechnung

Die Zinseszinsrechnung beantwortet die Frage, auf welches Endkapital

K_n

ein anfängliches Kapital

K_0

nach insgesamt

n

gleich langen Zeiträumen angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz von

p

Prozent verzinseszinst wird. Die Zinseszinsformel stellt sich wie folgt dar:

K_n\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^n

mit

K_n

= Endkapital;

K_0

= Anfangskapital;

p

= Zinssatz;

n

i

fortlaufend von

i = 1

bis

i = n

durchnummeriert. Damit kann man die Anlagedauer als Summe aller

n

Zeiträume formulieren :

Anlagedauer\ =\ Zeitraum_1\;+\;Zeitraum_2\;+\ .\;.\;.\ +\;Zeitraum_i\;+\ .\;.\;.\ +\;Zeitraum_\;+\;Zeitraum_n

Zu Beginn des ersten Zeitraums (

i = 1

) liegt auf dem Konto des Sparers das anfängliche Kapital, das durch den Buchstaben

K

mit angehängtem Indexwert

i = 0

dargestellt wird :

Anfangskapital\ zu\;Beginn\;von\ Zeitraum_1\ :\ \ K_0

Wichtig sind die beiden verwendeten Indexwerte. Der erste Zeitraum erhält den Indexwert

i = 1

, während das Anfangskapital mit

i = 0

n

Zeiträume innerhalb der Anlagedauer jeweils Zinsen gutgeschrieben werden. Es wird also z. B. für den ersten Zeitraum der Zinswert

Z_1

vergütet :

Zinswert\ f\ddot ur\;den\ Zeitraum_1\ :\ \ Z_1

Die konkrete Höhe des Zinswertes

Z_1

p

genannt. Der am Ende des ersten Zeitraums gutgeschriebene Zinswert

Z_1

verhält sich zum anfänglichen Kapitalwert

K_0

genau so, wie sich der Zinssatz

p

zum Wert 100 verhält. Dieser Zusammenhang stellt eine Verhältnisgleichung dar.

\frac\ =\ \frac\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \frac\ =\ \frac

\frac\ =\ \frac\ =\ \frac

. Diese Festlegung für das Verhältnis zwischen Zinswert und Kapitalwert im ersten Zeitraum lässt sich so verallgemeinern, dass für jedes Verhältnis von Zinswert

Z_

zu Kapitalwert

K_

in jedem

i

-ten Zeitraum die Verhältnisgleichung gilt:

\frac\ =\ \frac

. Nach Umstellung erhält man für den Zinswert

Z_i

die Formel

Z_i\ =\ K_\;\cdot\;\frac

. Für positive Zinssätze

p\;>\;0

gilt stets

1+\frac\ >\ 1

K_0

nach Maßgabe der obigen Zinswert-Formel "belohnt" wird. Seinem Konto wird am Ende des ersten Zeitraums also folgender Zinswert

Z_1

gutgeschrieben :

Z_1\ =\ K_0\;\cdot\;\frac

. Somit wächst das anfängliche Kapital

K_0

bis zum Ende des ersten Zeitraums genau um diesen Zinswert

Z_1

. Beide zusammen bilden also den neuen Kontostand. Diese Summe nennt man auch das (vorläufige) Endkapital

K_1

, das folgerichtig mit dem Indexwert

i = 1

versehen wird:

K_1\ =\ K_0\;+\;Z_1\ =\ K_0\;+\;K_0\,\cdot\,\frac\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)

. Dieses (vorläufige) Endkapital

K_1

ist nun zugleich das Anfangskapital für den zweiten Zeitraum (

i = 2

). Es "erwirtschaftet" darin den Zinswert

Z_2

, der erneut hinzuaddiert wird:

K_2\ =\ K_1\;+\;Z_2\ =\ K_1\;+\;K_1\,\cdot\,\frac\ =\ K_1\,\left(1+\frac\right)\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)\,\left(1+\frac\right)\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^2

. Damit wirkt bereits während des zweiten Zeitraums der Zinseszins-Effekt: Das Anfangskapital

K_0

im ersten Zeitraum wächst mit dem Aufzinsungsfaktor 1 + p/100 auf das (vorläufige) Endkapital

K_1

. Auf die gleiche Weise steigt das Kapital

K_1

im zweiten Zeitraum mit demselben Aufzinsungsfaktor auf das (vorläufige) Endkapital

K_2

. Über beide Zeiträume hinweg betrachtet ist das anfängliche Kapital

K_0

jedoch überproportional, nämlich mit dem Quadrat des Aufzinsungsfaktors, auf das (vorläufige) Endkapital

K_2

angewachsen. Verallgemeinert bedeutet dies, dass sich am Ende der Anlagedauer, also nach insgesamt

n

Zinszeiträumen, schließlich das Endkapital

K_n

durch

n

-maliges Multiplizieren des Anfangskapitals

K_0

mit dem Aufzinsungsfaktor

K_n\ =\ K_0\,\left(1+\frac\right)^n

ergibt.

Beispiel

K_\ =\ 1000\,Euro\;\cdot\;(1\,+\,0,05)^\ =\ 1628,89\,Euro

Recht

Literatur

- Andreas Eschbach: Eine Billion Dollar (2001)
- Erich Kästner: [http://www.kreuzschule-mussum.bocholt.de/05-Schulchronik/kaestnerrede.htm Ansprache zum Schulbeginn] (1950)

Siehe auch

- Josephspfennig
- Zinsrechnung (in diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung)

Weblinks

Zinssatz

Der Zinssatz oder Zinsfuß ist der in Prozent ausgedrückte Preis für geliehenes Kapital, also der Zins als Prozentangabe. Man unterscheidet je nach Bereinigung des Zinssatzes um die Wirkungen der Inflation zwischen Nominal- und Realzinssatz.

Berechnungsmethoden

Bei einem Zinssatz ist immer auch die Angabe der Berechnungsmethode wichtig. Üblicherweise ist der Zinssatz bezogen auf ein Jahr. Die Berechnungmethode gibt nun an, wie bei Laufzeiten unter einem Jahr zu verfahren ist. Es gibt u.a. folgende Methoden:
- 30/360: Das Jahr wird auf 360 Tage festgesetzt, jeder Monat immer auf 30 Tage
- act/360, act/365: Das Jahr hat 360 bzw. 365 Tage, beim Monat zählen die tatsächlichen Tage (actual)
- act/act: Beim Jahr werden auch Schaltjahre berücksichtigt. Als Beispiel diene ein Zinsatz von r=5%=0,05 und ein Kapitalbetrag von k=100.000,00 Euro. Das Geld wird für einen Monat (und zwar im Februar eines Schaltjahres) angelegt. Damit ergeben sich folgende Zinszahlungen:
- 30/360:

k \cdot r \frac = 416,67

- act/360:

k \cdot r \frac = 402,78

- act/365:

k \cdot r \frac =  397,26

- act/act:

k \cdot r \frac =  396,17

An den Geldmärkten im Euroland ist mittlerweile die Methode act/360 üblich.

Interner Zinsfuß

Der interne Zinsfuß ist derjenige Zinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Zahlungsreihe oder eines Projektes der Definition nach genau Null ist. Hieraus lässt sich mithilfe der interner Zinsfuß-Methode schließen, ob die Durchführung dieses Projektes vorteilhaft ist oder nicht. Vorteilhaft – und daher einen positiven Kapitalwert liefernd – ist das Projekt immer dann, wenn der Kalkulationszinssatz niedriger ist als der interne Zins, unvorteilhaft in dem Falle, wenn der Kalkulationszinssatz höher liegt. Auch als Effektivzins oder Internal Rate of Return (IRR) bezeichnet.

Externer Zinsfuß

s. Interner Zinsfuß

Kalkulationszinsfuß

Der Kalkulationszinsfuß wird in der Investitionsrechnung verwendet. Er bezeichnet die subjektive Mindestverzinsungsforderung (Risikoprämie) eines Investors an seine Investition und bestimmt, wie stark weiter in der Zukunft liegende Zahlungen auf ihren Barwert abgewertet werden. Je riskanter eine Investition ist, desto höher wird der Kalkulationszinsfuß gewählt. Somit werden gegenwartsnahe Zahlungen relativ stärker bewertet als spätere, was auf die Forderung nach einer kürzeren Amortisationsdauer führt. siehe auch Formelsammlung Wirtschaft Kategorie:Investitionsrechnung

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.
Es gilt also :

a_ / a_i = q

Oder eben :

a_ =a_i \cdot q

(rekursive Formel)

Aufsummieren der Glieder ergibt die geometrische Reihe. Das

i

-te Glied

a_i

einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied

a_0

und dem Quotient

q

berechnet sich aus :

a_i = a_0 \cdot q^i

(explizite Formel) beziehungsweise aus :

a_0=a_0,\ a_1=a_0\;q,\ a_2=a_0\;q^2,\ a_3=a_0\;q^3,\ \dots

Sind

a_0

und

q

positive reelle Zahlen, so ist jedes Glied

a_i

mit

i>0

das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder

a_

und

a_

. Diese Tatsache ist der Grund für die Bezeichnung "geometrische Folge". Die Summation der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Zahlenbeispiele

Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied

a_0=5

und dem Quotient

q=3

sind :

a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich :

5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots

Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied

a_0=1

und dem Quotient

q=-\frac

sind :

a_0=1,\ a_1=-\frac,\ a_2=\frac,\ a_3=-\frac,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich :

+1,\ -\frac,\ +\frac,\ -\frac,\ +\frac ,\ -\frac,\ +\frac,\ -\frac,\ +\frac,\  \dots

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt (n+1) aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt. Zum Beispiel

Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1.05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis q = 1.05. Die Zahl q heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich
- nach einem Jahr ein Kapital von :

1000\;\mathrm  - 1.05 = 1050 \;\mathrm

- nach zwei Jahren ein Kaptal von :

1000\;\mathrm -  1.05^2= 1102,50 \;\mathrm

- nach drei Jahren ein Kapital :

1000\;\mathrm -  1.05^3= 1157,63 \;\mathrm

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis eines Tons zu seinem nächsten Ton (Halbtonschritt) immer konstant. Die Folge lautet hier: :

f(i) = a_0 \cdot \left(\sqrt[12]\,\right) ^i

, wobei a₀ beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und i die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. f(i) ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand i zum "Ursprungston" a₀. Der Wachstumsfaktor ist also

q = \sqrt[12]

Siehe auch

Arithmetische Folge Wachstumsfaktor (Mathematik) exponentieller Vorgang Kategorie:Folgen und Reihen

Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit ODE für engl. ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, die nur Ableitungen nach einer reellen Variablen enthält. Ihre Lösung ist somit eine Funktion, die von einer Variablen abhängt.

Motivation

Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird. Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung, welche von Galileo Galilei noch mit geometrischen Methoden bearbeitet werden konnten. Als Isaac Newton jedoch auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, den Differentialkalkül und die heute geläufige Form einer Differentialgleichung einzuführen. Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome: :

\fracN(t) = c\; N(t).

Durch Berechnen der Funktion

N(t)\!

aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden. Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der Differentialgleichung :

m\;a = m\; \fracx(t) = -k \; x(t).

Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion

x(t)\!

, deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.

Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben.

Exponentieller Vorgang

Schrittweises exponentielles Wachstum

Weitere Eigenschaften

Grenzen des exponentiellen Wachstums

Logistisches Wachstum

Beispiele für exponentielle Vorgänge

Siehe auch

Exponentialfunktion

Definition

Rechenregeln

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Hintergründe und Beweise

Motivation

Konvergenzbeweise

Konvergenz der Reihendarstellung

Konvergenz der Folgendarstellung

Beweis der Monotonie

Beweis der Beschränktheit

Funktionalgleichung

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Abschätzung nach oben

Ableitung der Exponentialfunktion

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

Umkehrfunktion

Differentialgleichung

Beispiele

Physik

Chemie

Weblinks

Prozent

Definition

Verständnis

Bezug von Prozentangaben

Grammatikalische Ausdrücke

Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten

Beispiele

Eingabe am Taschenrechner

Siehe auch

Zinseszins

Zinseszinsrechnung

Beispiel

Recht

Literatur

Siehe auch

Weblinks

Radioaktiver Zerfall

Zerfallsmodi

Elektroneneinfang, ε-Zerfall

Spontane Nukleonenemission

Weitere Zerfallsarten

Einheiten

Geschichte

Anwendung

Technische Anwendung

Biologische und Chemische Anwendungen

Medizinische Anwendung

Strahlenbelastung und biologische Wirkung

Weblinks

Halbwertszeit

Zerfallsgesetz

Radioaktive Halbwertszeit

Anwendung: Die Radiocarbonmethode

Beispiel

Biologische Halbwertszeit

Bibliometrische Halbwertszeiten

Verwandte Begriffe

Eulersche Zahl

Definition von e

e-Funktion

Herkunft von e

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

Die ersten 200 Nachkommastellen von e

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Siehe auch

Weblinks

Halbwertszeit