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G-Faktor

G-Faktor

Der Landé-Faktor (nach Alfred Landé) beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls und dem magnetischem Moment eines Elementarteilchens, Atomkerns oder Atoms. Der Drehimpuls wird dabei in Einheiten von

\hbar

und das magnetische Moment in Einheiten des Bohrschen Magnetons

\mu_B

gemessen.

Veranschaulichung

Wir stellen uns ein klassisches Elektron vor, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Nach den Gesetzen der Elektrodynamik erzeugt dieser Kreisstrom ein magnetisches Dipolfeld. Dieses Dipolfeld wird durch das magnetische Moment beschrieben. Über das Dipolfeld (bzw. das magn. Moment) wechselwirkt das kreisende Elektron mit einem äußeren magnetischen Feld. Zum anderen besitzt das Elektron auch einen Drehimpuls. Man kann nun innerhalb der klassischen Physik zeigen, daß der Zusammenhang zwischen dem magnetischen Moment und dem Drehimpuls des kreisenden Elektrons durch :

/\mu_B = - /\hbar

gegeben ist, d.h. der Landé-Faktor der Bahnbewegung des Elektrons ist exakt 1.

Landé-Faktor des Elektrons

In der Quantenmechanik wird gezeigt, daß Elektronen eine klassisch nicht erklärbare Eigenschaft, den Spin, besitzen. Dieser verhält sich wie ein Drehimpuls und hängt mit dem magnetischen Moment zusammen. Der Zusammenhang ist ähnlich, er lautet :

/\mu_B = - g

wobei

der Spin und

g

der Landé-Faktor, auch gyromagnetischer Faktor genannt, des Elektrons ist.

Bestimmung des Landé-Faktors des Elektrons

Die Bestimmung des Landé-Faktors des Elektrons hat eine interessante Geschichte. Das Experiment gibt einen Wert von etwa 2. Die theoretische Beschreibung des Elektrons durch die (nichtrelativistische) Schrödinger-Gleichung kennt zunächst keinen Elektronspin. Man muss ihn künstlich einbauen. Genauso steht es mit dem magnetischen Moment des Elektrons aufgrund seines Spins. Das Ergebnis ist die (nichtrelativistische) Pauli-Gleichung. Die relativistisch quantenmechanische Beschreibung des Elektrons durch die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen bringt dann eine überraschende Erkenntnis: Sowohl der Spin als auch ein Landé-Faktor von exakt 2 wird von der Dirac-Gleichung sozusagen automatisch vorausgesagt. Genauere Experimente zeigten dann Abweichungen des Landé-Faktors von 2. Die Theorie mußte also noch weiter verfeinert werden. Die Dirac-Gleichung benutzt das elektromagnetische Feld nicht in seiner quantisierten Form. Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes führt zur Quantenelektrodynamik. Die Aussage dieser Theorie zum Wert des Landé-Faktors ist etwas diffiziler als in den vorausgegangenen Fällen: Die Antwort läßt sich mathematisch nicht exakt berechnen. Vielmehr muß eine Störungstheorie angewandt werden. Man rechnet zunächst eine Näherung aus. Dann eine Korrektur zur Näherung. Dann eine weitere Korrektur und so fort. Der exakte Wert kann so immer besser angenähert werden. (Die Näherungen sind im vorliegenden Fall die Vertexkorrekturen eines Elektron-Photon-Vertex; sie können durch Feynman-Diagramme dargestellt werden.) Die Näherungen liefern für den Landé-Faktor des Elektrons einen theoretischen Wert von :

g = 2\cdot(1+0,0011596524(\pm4))

wohingegen das genaueste Experiment einen Wert von :

g = 2\cdot(1+0,00115965241(\pm20))

für den Landé-Faktor des Elektrons ergibt. Dies ist wohl die genaueste Übereinstimmung von Experiment und Theorie, die eine Naturwissenschaft je erbracht hat. Kategorie:Atomphysik Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Dimensionslose Größe

Alfred Landé

Alfred Landé (
- 13. Dezember 1888 in Elberfeld (Heute Wuppertal); † 30. Oktober 1976 in Columbus/Ohio) war ein deutscher Physiker. Landé arbeitete auf dem Gebiet der Quantentheorie und Spektroskopie und entdeckte 1921 die Landéschen g-Formel. Er emigrierte 1931 in die USA.

Weblinks

- [http://www.physik.uni-frankfurt.de/paf/paf38.html Würdigung an der Universität Frankfurt] Lande, Alfred

Magnetisches Moment

Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) gibt in gewisser Weise die gesamte von einem magnetischen Dipol erzeugte "Feldmenge" an. Es wird berechnet durch Integration der magnetischen Flussdichte

\vec

über das gesamte Volumen

V

\vec=\int

. Für den Spezialfall eines schmalen Spaltes zwischen den Polschuhen eines Magneten ergibt sich das magnetische Moment im Spalt als Produkt aus magnetischem Fluss

\Phi

und Spaltbreite

d

. :

m=\Phi\;d

Die Einheit des magnetischen Moments lautet im SI-System V s m.

Beispiele

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Permeabilität

\mu_0\;\mu_r

, Windungszahl

n

, Stromstärke

I

und Fläche

A

m=\mu_0\;\mu_r\;n\;I\;A

. Die Kenntnis des magnetischen Moments eines magnetischen Dipols erlaubt die Berechnung des auf ihn in einem externen Magnetfeld wirkenden Moments

\vec

als Kreuzprodukt mit der magnetischen Feldstärke

\vec

\vec=\vec \times \vec

. Dadurch kann zum Beispiel das Drehmoment eines Elektromotors berechnet werden.

Teilchen

Für ein Teilchen mit dem Spin

\vec

kann ebenfalls ein magnetisches Moment berechnet werden, das oft mit

\vec

bezeichnet wird

\vec = \frac \vec

. Dabei ist

\mu_B

das Bohrsche Magneton und

g

der Landé-Faktor. In der letzten Formel wurde nicht das SI-Einheitensystem verwendet, sondern das in diesem Gebiet der Physik gebräuchlichere Gaußsche Einheitensystem (siehe auch elektromagnetische Einheiten).

Literatur

- John David Jackson: Classical Electrodynamics. Appendix on Units and Dimensions (auch auf deutsch erschienen unter dem Titel Klassische Elektrodynamik.)

Weblinks

Skizzen: [http://www.ieap.uni-kiel.de/plasma/ag-stroth/lehre/physik/HTML/e30_04.html] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Magnetismus ja:磁気モーメント

Atomkern

Der Atomkern bildet, wie der Name schon sagt, den Kern des Atoms. Kenntnisse über die Eigenschaften von Atomkernen sind zum Verständnis der Radioaktivität sowie der Kernspaltung (Kernkraftwerk, Atombombe) und der Kernfusion (Wasserstoffbombe) notwendig. Von dem lateinischen Wort für Kern (nucleus) leitet sich der Begriff nuklear ab, der die Eigenschaften bezeichnet, die
- einen Kern betreffen, insbesondere einen Atomkern
- eine Wirkung radioaktiver Erscheinungen oder Gegenstände betrifft, beispielsweise nukleare Strahlung, nuklearer Reaktor, nuklearer Abfall, nukleare Bombe, nukleare Granate.

Aufbau des Atomkerns

Er besteht aus Protonen und Neutronen die zusammen auch Nukleonen genannt werden. Er befindet sich, anschaulich gesprochen, im Zentrum des Atoms und konzentriert in sich mehr als 99,9% der Masse des gesamten Atoms. der Atomkern ist jedoch 100.000mal kleiner als die Elektronenhülle des Atoms. Neutronen besitzen keine elektrische Ladung. Protonen sind jedoch positiv geladen. Infolgedessen ist der Atomkern elektrisch positiv geladen und kann über die Coulombkraft negativ geladene Elektronen an sich binden. Da die elektrische Ladung des Elektrons bis auf das Vorzeichen gleich der Ladung des Protons ist, muss ein nach außen hin elektrisch neutrales Atom ebenso viele Elektronen in der so genannten Elektronenhülle besitzen, wie Protonen im Kern. Atome mit einer unterschiedlichen Anzahl von Protonen und Elektronen sind nach außen hin elektrisch geladen und werden Ionen genannt. Die positiv geladenen Protonen im Kern stoßen sich gegenseitig aufgrund der Coulombkraft ab. Da der Atomkern jedoch trotzdem nicht auseinander fliegt, muss im Kern eine weitere Kraft existieren, durch die sich die Nukleonen gegenseitig anziehen und die stärker ist als die Coulombkraft. Diese Kraft wird auch als Starke Wechselwirkung-Kernkraft bezeichnet. Die elementaren Kräfte, die zur Anziehung zwischen den Nukleonen führen, sind sehr kompliziert und bis heute nur näherungsweise beschrieben. Ihre Aufklärung ist unter anderem Gegenstand der Kernphysik.

Kernmodelle

Im Vergleich zur Atomphysik mit dem quantenmechanischen Atommodell, wo lediglich die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle spielt, existiert in der Kernphysik kein Modell zur umfassenden Beschreibung aller Vorgänge im Atomkern. So gibt es verschiedene Modelle für unterschiedliche Fragestellungen. Ähnlich dem Schalenmodell in der Atomphysik gibt es auch in der Kernphysik ein Schalenmodell, das es erlaubt, die Energiezustände eines einzelnen Nukleons trotz fehlendem Zentralpotenzial in einem mittleren Potenzial zu berechnen. Die meisten angeregten Zustände eines Atomkerns können jedoch nur durch die kollektive Anregung mehrerer Nukleonen erklärt werden. Für die Beschreibung solcher Zustände kann man das kollektive Modell heranziehen. Die Eigenschaften von großen Atomkernen werden durch ein vibrierendes Tröpfchenmodell beschrieben.
- Das Tröpfchenmodell (Niels Bohr 1936) beschreibt den Atomkern als Tröpfchen einer geladenen Flüssigkeit. Mit diesem klassischen Modell kann etwa die Kernspaltung gut erklärt werden (Bohr und John Archibald Wheeler 1939).
- Das Schalenmodell (Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer, J. Hans D. Jensen 1949) führt den Aufbau der Atomkerne auf quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten (Pauli-Prinzip) zurück. Die Wechselwirkung zwischen den Kernbausteinen, den Nukleonen (Protonen, Neutronen) wird dabei mit berücksichtigt. Das Schalenmodell kann die Stabilität mancher Kerne erklären. Neben diesen beiden gängigen Modellen gibt es weitere (das folgende orientiert sich stark an Flügge 1957):
- das Fermi Gas Modell (auch uniformes Modell). In diesem Modell werden die Nukleonen trotz der starken Wechselwirkungen als frei beweglich postuliert. Der Nukleus hat in diesem Modell unendliche Ausdehnung, womit die Wellenfunktionen der einzelnen Nukleonen flache Wellen sind;
- das optische Modell (auch complex potenzial well model oder cloudy crystal ball model) erlaubt die quantenmechanische Betrachtung von Kernreaktionen, indem der Nukleus als lichtbrechendes Medium vorgestellt wird;
- das alpha-Teilchen-Modell. Alpha Teilchen sind stabile Untereinheiten innerhalb des Kerns;
- das vereinte Modell (mit dem kollektiven Modell als Spielart).
- das potenzial well model;
- das compound nucleus model; Modelle des Atomkerns fallen in zwei Kategorien:
- starke Wechselwirkungsmodelle: der Atomkern wird als Ansammlung von eng gepaarten Nukleonen verstanden (Tröpfchenmodell, alpha-Teilchen Modell und partiell auch das optische Modell, compound well model);
- unabhängige Teilchenmodelle: die Nukelonen bewegen sich relativ frei im Kern (Fermi Gas Modell, optisches Modell, Schalenmodell, potenzial well model). Zwischen den einzelnen Modellen lassen sich folgende Beziehungen aufstellen: # Das Schalenmodell ist eine Verfeinerung des Fermi Gas Modells; # Das Fermi Gas Modell und das Tröpfchenmodell basieren auf diametral entgegengesetzten Annahmen, erklären jedoch beide nukleare Eigenschaften wie die Bindungsenergien; # Das optische Modell ist ein Hybrid zwischen potenzial well und compound nucleus model; # Schalenmodell und vereintes Modell sind äquivalent. Jedes der genannten Modelle ist nur für einen bestimmten nuklearen Phänomenbereich anwendbar. Es gibt keine konsistente Theorie, die alle nuklearen Phänomene umfasst.

Literatur

- T. Mayer-Kuckuck, Kernphysik, Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 1994, 6. durchgesehene Auflage, ISBN 3-519-03223-6
- B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche, Teilchen und Kerne, Springer-Verlag Heidelberg, 1994, 2. neu bearbeitete und erweiterete Auflage, ISBN 3-540-58172-3
- S. Flügge (Hersg.), Handbuch der Physik, Band XXXIX: Bau der Atomkerne, Göttingen: Springer-Verlag, 1957.

Siehe auch

- Atommodell
- Atom
- Atomphysik

Videos

- Real Video: [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010318.rm&g2=1 Was ist ein Atomkern?] (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri)

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/grundwissen/11kernmodelle/kernmodelle.htm animierte Seite der LMU München zu Kernmodellen (Potenzialtopf~, Tröpfchen~) ]
- [http://atom.kaeri.re.kr/ton/index.html umfangreiche Nuklidkarte] Kategorie:Kernphysik Kategorie:Atomphysik ja:原子核 ko:원자핵

Atom

en umkreisen einen Kern aus zwei Protonen und zwei Neutronen.]] Das Atom (von griechisch άτομος, átomos - unteilbar, [unteilbare] Person) ist der kleinste chemisch nicht weiter teilbare Baustein der Materie. Im Laufe der Wissenschaftsgeschichte wurden unterschiedliche Atommodelle vorgeschlagen. Atome sind elektrisch neutral, jedoch werden oft auch Ionen unter dem Begriff Atom gefasst. Atome bestehen aus einem Atomkern mit positiv geladenen Protonen und elektrisch neutralen Neutronen und einer Atomhülle aus negativ geladenen Elektronen. Atome gleicher Anzahl der Protonen, der Kernladungszahl, gehören zu demselben Element. Bei neutralen Atomen ist die Anzahl von Protonen und Elektronen gleich. Die physikalischen Eigenschaften der Atomhülle bestimmen das chemische Verhalten eines Atoms. Atome gleicher Kernladungszahl besitzen dieselbe Atomhülle und sind damit chemisch nicht unterscheidbar. Nahezu die gesamte von uns wahrnehmbare, unbelebte und belebte Materie in unserer irdischen Umgebung besteht aus Atomen oder Ionen. Kosmologisch betrachtet stellt diese Materieform jedoch nur einen gewissen Anteil neben Plasma, aus dem die Sterne bestehen, der Neutronenmaterie von Neutronensternen und evtl. einer noch hypothetischen Dunklen Materie bislang unbekannter Natur.

Aufbau

Dunklen Materie Ein Atom besteht aus einer Hülle und einem im Vergleich zu seinem Gesamtvolumen winzigen Kern. Die Atomhülle (Elektronenhülle) hat mit einem Radius von etwa 10^-10 m einen ungefähr zehntausendfach größeren Radius als der Atomkern (r = 10^-14 m). Zur Veranschaulichung: würde man ein Atom auf die Größe einer Kathedrale aufblähen, so entspräche der Kern der Größe einer Fliege (allerdings wäre eine solche Fliege vieltausendfach schwerer als die Kathedrale selbst). Der Atomkern nimmt nur etwa ein Billiardstel des Gesamtvolumens eines Atoms ein. Der Atomkern besteht aus den sogenannten Nukleonen, Protonen und – außer beim Wasserstoff-Isotop ₁¹H – aus Neutronen. Die Atomhülle besteht aus Elektronen. Im Atomkern konzentriert sich fast die gesamte Masse des Atoms. Die Elektronen tragen eine negative elektrische Ladung und die Protonen eine positive, wodurch sie sich gegenseitig anziehen. Die Neutronen sind elektrisch neutral und haben eine geringfügig größere Masse als die Protonen.

Kenndaten

Atome sind in erster Näherung kugelförmig und haben eine Größe von 0,1 bis 0,5 nm, also 0,0000000001 m bis 0,0000000005 m. Innerhalb des Periodensystems nehmen die Atomradien von links nach rechts ab und von oben nach unten zu. Allerdings besteht kein linearer Zusammenhang zwischen der Protonenzahl (und damit der Ordnungszahl) und dem Atomradius. Ihre Masse beträgt abhängig von der Massenzahl zwischen 10^-24 und 10^-22 g. Siehe auch: Mol, Periodensystem Siehe auch: Atommodell

Kategorisierung und Ordnung

Die Anzahl der Protonen in einem Atom ist die Kernladungszahl oder auch Ordnungszahl (Stellung des Elements im Periodensystem der chemischen Elemente), die Summe der Protonen und Neutronen die Massenzahl. Atome mit der gleichen Anzahl an Protonen werden dem gleichen chemischen Element zugeordnet. Atome mit der gleichen Protonenzahl aber unterschiedlichen Neutronenzahlen nennt man Isotope, sie gehören dem gleichen chemischen Element an. Bei den meisten chemischen Reaktionen spielt die Anzahl der Neutronen keine Rolle. Wichtig ist die Anzahl der Neutronen im Bereich der Strahlungslehre. In der Kernphysik unterscheidet man Atomsorten nach der Zahl der Protonen und Neutronen, da diese eine unterschiedliche Radioaktivität aufweisen. Meist sind nur ein oder zwei Isotope eines Elements stabil, die anderen zerfallen radioaktiv. Von einigen Elementen gibt es auch überhaupt kein stabiles Isotop. Atom(kern)e mit untereinander gleicher Zahl an Protonen bzw. Neutronen bezeichnet man als Nuklide. Das kleinste Atom ist das Wasserstoffatom mit nur einem Proton im Atomkern. Eines der schwersten Atome ist das Uran-Atom mit 92 Protonen im Atomkern (siehe Periodensystem). Das schwerste Atom, dessen Herstellung in entsprechenden Experimenten bisher gelungen ist, ist das Ununoctium-Atom mit 118 Protonen im Atomkern (Stand Aug.2004). Es ist jedoch extrem kurzlebig.

Allgemeines

Die Chemie beschäftigt sich mit den Atomen und ihren Verbindungen, den Molekülen. Dies setzt auch genaue Kenntnisse über die Struktur der Atomhülle voraus. Die Physik beschäftigt sich unter anderem mit dem Aufbau der Atomhülle (Atomphysik), dem Aufbau der Atomkerne aus Elementarteilchen (Kernphysik) und weiter mit den Eigenschaften der Elementarteilchen (Elementarteilchenphysik).

Geschichte

Siehe auch: Atomismus und Atommodell Die Geschichte der Idee des Atoms beginnt im antiken Griechenland um 400 vor Christus.
- um 400 vor Christus - Demokrit und das Teilchenmodell ::Demokrit, ein altgriechischer Gelehrter, äußerte als erster die Vermutung, dass die Welt aus unteilbaren Teilchen - (griechisch a-tomos = unteilbar) Atomen - bestände. Daneben gäbe es nur leeren Raum. Alle Eigenschaften der Stoffe ließen sich, nach Meinung Demokrits, auf die Abstoßung und Anziehung dieser kleinen Teilchen erklären. Diese Idee wurde von den Zeitgenossen Demokrits abgelehnt, da man damals die Welt als etwas Göttliches ansah. Demokrits philosophischer Kontrahent war vor allem Empedokles, der die Lehre von den vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser begründete. Demokrits Vorschlag blieb fast 2 Jahrtausende unbeachtet.
- um 1400 - Die Alchemisten - Gold kann nicht hergestellt werden ::Auch wenn die Alchemisten in ihren Versuchen, aus niederen Stoffen (wie etwa Blei) Gold herzustellen, scheiterten, leisteten sie Vorarbeit für die spätere experimentelle Physik und Chemie.
- 1803 - John Dalton - Atomtheorie der Elemente ::Der englische Chemiker John Dalton griff als erster wieder die Idee von Demokrit auf. Aus konstanten Mengenverhältnissen bei chemischen Reaktionen schließt Dalton darauf, dass immer eine bestimmte Anzahl von Atomen miteinander reagiert.
- 1896 entdeckt Henri Becquerel die Radioaktivität, und stellt fest, dass sich Atome umwandeln können.
- 1897 - Joseph John Thomson - Entdeckung des Elektrons ::Bei einem Versuch mit Strom stellte der britische Physiker Thomson fest, dass Strahlen in Vakuumröhren aus kleinen Teilchen bestehen. Damit war ein erster Bestandteil der Atome gefunden, obwohl man von der Existenz der Atome immer noch nicht überzeugt war. Eine Besonderheit war die Entdeckung vor allem deshalb, weil man dachte, Strom wäre eine Flüssigkeit.
- 1898 - Marie und Pierre Curie - Radioaktivität ::Immer mehr Forscher beschäftigten sich mit den kleinsten Teilchen. Die Curies untersuchten unter anderem Uran, das sie aus Pechblende gewannen. Die Uran-Atome zerfallen unter Abgabe von Wärme und Strahlen, die man als Radioaktivität (von radius = Strahl) bezeichnet. Marie Curie erkannte, dass sich Elemente bei diesem Zerfall verwandeln. (Die Radioaktivität wurde 1896 von Henri Becquerel entdeckt.)
- 1900 - Ludwig Boltzmann - Atomtheorie ::Boltzmann war ein theoretischer Physiker, der die Ideen von Demokrit umsetzte. Er berechnete aus der Idee der Atom-Existenz einige Eigenschaften von Gasen und Kristallen. Da er allerdings keinen experimentelle Beweis lieferte, waren damals seine Ideen umstritten.
- 1900 - Max Planck - Quanten ::Der Berliner Physiker Planck untersuchte die Schwarzkörperstrahlung. Bei der theoretischen, thermodynamischen Begründung seiner Formel führte er die sog. Quanten ein und wurde somit zum Begründer der Quantenphysik.
- 1905 - Albert Einstein - Erklärung der Brownschen Bewegung ::In der dritten Arbeit des „annus mirabilis“ erklärte der Physiker Albert Einstein die Brownsche Bewegung mit Hilfe der Atomhypothese. Damit wurde zum ersten Mal ein beobachtbares physikalisches Phänomen direkt aus Boltzmanns Theorie hergeleitet.
- 1906 - Ernest Rutherford - Experimente ::Der Physiker Ernest Rutherford ging im Gegensatz zu Boltzmann und Planck experimentell auf die Suche nach den Atomen. 1906 entdeckte er mit dem rutherfordschen Experiment, dass Atome nicht massiv sind, ja sogar im Grunde fast gar keine Substanz besitzen. (Damit ist das Wort "Atom" für das, was es bezeichnet, im Grunde falsch. Es wurde aber beibehalten.) Aus dem Experiment leitete Rutherford bis 1911 die genaue Größe eines Atoms, also der Atomhülle und der Größe des Atomkerns ab. Ferner konnte er ermitteln, dass der Atomkern die positive Ladung, die Atomhülle eine entsprechende negative Ladung trägt. So entdeckte er das Proton.
- 1913 - Niels Bohr - Schalenmodell ::Aus dem rutherfordschem Atommodell entwickelte der dänische Physiker Niels Bohr ein planetenartiges Atommodell. Danach bewegen sich die Elektronen auf bestimmten Bahnen um den Kern, wie Planeten die Sonne umkreisen. Die Bahnen werden auch als Schalen bezeichnet. Das besondere daran war, dass die Abstände der Elektronen-Bahnen streng-mathematischen Gesetzmäßigkeiten folgen. Die Bahnen besitzen verschiedene Radien, und jede Bahn besitzt eine maximale Kapazität für Elektronen. Atome streben Bohr zufolge an, dass alle Bahnen komplett besetzt sind. Damit haben sich sowohl viele chemische Reaktionen erklären lassen als auch die Spektrallinien des Wasserstoffs. Da sich das Modell für komplexere Atome als unzureichend erwies, wurde es 1916 von Bohr und dem deutschen Physiker Arnold Sommerfeld insofern verbessert, als man nun für bestimmte Elektronen exzentrische, elliptische Bahnen annahm. Das bohr-sommerfeldsche Atommodell erklärt viele chemische und physikalische Eigenschaften von Atomen.
- 1929 - Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg und andere - Das Orbitalmodell ::Aufbauend auf Schrödingers Wellenmechanik und Heisenbergs Matrizenmechanik wurde ein weiteres, bis heute modernes Atommodell entwickelt, das weitere Unklarheiten beseitigen konnte.
- 1929 - Ernest O. Lawrence - Der erste Teilchenbeschleuniger, das Zyklotron ::Um Informationen über den Aufbau der Atomkerne zu bekommen, wurden die Kerne mit Strahlen beschossen. Um nicht auf die schwache natürliche Strahlung angewiesen zu sein, entwickelte Lawrence das Zyklotron. Geladene Teilchen wurden auf kreisförmigen Bahnen beschleunigt.
- 1932 - Paul Dirac und David Anderson - Antimaterie ::Der theoretische Physiker Paul Dirac fand eine Formel, mit der sich die Beobachtungen der Atomphysik beschreiben lassen. Allerdings setzte diese Formel die Existenz von Anti-Teilchen voraus. Diese Idee stieß auf heftige Kritik, bis der amerikanische Physiker Anderson in der kosmischen Strahlung das Positron nachweisen konnte. Dieses Anti-Teilchen zum Elektron hat eine positiver Ladung aber die gleiche Masse wie ein Elektron. Treffen ein Teilchen und sein Anti-Teilchen zusammen, zerstrahlen sie sofort als Energie gemäß der Formel E = m
- c². 1932 wurde dann noch das Neutron von dem englischen Physiker James Chadwick entdeckt.
- 1933 - Irène und Frédéric Joliot-Curie - Materie aus dem Nichts ::Eher zufällig beobachten die Eheleute Curie, dass sich nicht nur Masse in Energie umwandeln lässt. In einem Experiment verwandelte sich ein Lichtstrahl in ein Elektron und ein Positron (vgl. Paarbildung).
- 1938 - Otto Hahn und Lise Meitner - Die erste Kernspaltung ::Der deutsche Chemiker Hahn, ein Schüler Rutherfords, untersuchte weiter die Atomkerne. Dazu beschoß er Uran-Atome mit Neutronen und erhielt Cäsium und Rubidium oder Strontium und Xenon. Was eigentlich passierte, konnte er nicht erklären. Dies gelang jedoch seiner Mitarbeiterin Lise Meitner, die aufgrund ihrer jüdischen Religion vor den Nazis nach Schweden geflohen war. Sie stellte fest, dass die Summe der Kernteilchen (Protonen und Neutronen) bei den Produkten der des Urans entspricht. Hahn erhielt dafür den Nobelpreis, erwähnte seine Mitarbeiterin aber mit keinem Wort.
- 1938 - Hans Bethe - Kernfusion in der Sonne ::Neben zahlreichen Beiträgen zum Aufbau der Atome erforschte der in Straßburg geborene Bethe die Energieproduktion in Sternen. Er stellte fest, dass in unserer Sonne zwei Wasserstoff-Atomkerne miteinander verschmelzen, während in größeren und helleren Sternen Kohlenstoff-Kerne in die schwereren Stickstoff-Kerne verwandelt werden. Bethe arbeitete auch in Los Alamos mit, wurde aber nach dem Krieg ein engagierter Gegner von Massenvernichtungswaffen.
- 1942 - Enrico Fermi - Der erste Kernreaktor ::Der italienische Physiker Fermi erkannte die Möglichkeit, die Kernspaltung für eine Kettenreaktion zu nutzen. Die bei der Spaltung von Uran freiwerdenden Neutronen, konnten für die Spaltung weiterer Kerne verwendet werden. Damit legte Fermi die Grundlagen sowohl für die kriegerische Nutzung der Kernenergie in Atombomben, als auch friedliche Nutzung in Kernreaktoren. Fermi baute den ersten funktionierenden Kernreaktor.
- 1942 - Werner Heisenberg - Atomforschung für die Nazis ::Die Nazis beauftragten den Physiker Heisenberg, eine Atombombe zu entwickeln. Durch einen Rechenfehler misslang ihm dies aber. Bei der Berechnung der kritischen Masse verrechnete er sich um den Faktor 1000.
- 1942 - Albert Einstein und Leo Szilard - Roosevelt soll die Atombombe bauen ::Eigentlich hat Einstein selber nicht zum Bau der Atombombe beigetragen. Er unterstützte aber einen Brief an den amerikanischen Präsidenten Roosevelt, dass die Atombombe unbedingt vor den Nazis entwickelt werden solle. Auch der ungarische Universalgelehrte Szilard erkannte die Gefahr, die von einer deutschen Atombombe ausging. Er lieferte zwar wichtige Ideen für den Bau der Atombombe, war aber an deren Entwicklung in Los Alamos nicht beteiligt. Auch später warnte Szilard noch vor dem Gebrauch der Atombombe.
- 1945 - J. Robert Oppenheimer - Die erste Atombombe ::Oppenheimer war der Organisator, der in Los Alamos die besten Physiker und Ingenieure versammelte. So gelang es innerhalb kürzester Zeit der Bau einer Atombombe, das Manhattan-Projekt. Nach dem Einsatz der Atombombe in Hiroshima wurde Oppenheimer zum Gegner von Atombomben.
- 1951 - Erwin Müler – das Feldionenmikroskop ::Müller gelingt mit der Konstruktion eines Feldionenmikroskopes erstmals die direkte Abbildung von Atomen auf einer Wolfram-Spitze.
- 1952 - Edward Teller - Die Wasserstoffbombe ::Der ungarische Physiker Teller war Mitarbeiter von Oppenheimer. Allerdings hatte er eine weitergehende Idee. Er wollte eine Bombe auf der Basis der Kernfusion bauen, die Bethe in der Sonne nachgewiesen hat. Aus Angst vor dem Kommunismus wurde Teller zu einem Rüstungsfanatiker und entwickelte die Wasserstoffbombe.
- 1960 - Donald A. Glaser - Die Blasenkammer ::Nach dem Ende des zweiten Weltkrieges konzentrierte sich die Forschung auf den Aufbau der Elementarteilchen. Mit der Entwicklung der Blasenkammer hatte man nun eine Möglichkeit, die kleinsten Teilchen, die in Teilchenbeschleunigern entstanden, zu "sehen".
- 1964 - Murray Gell-Mann - Die Quarks ::Mit Hilfe der Blasenkammer konnte auf einmal eine riesige Anzahl an bisher unsichtbaren Teilchen sichtbar gemacht werden, die Widersprüche zu der bisherigen Physik darstellte. Um dies zu erklären, postulierte der Physiker Gell-Mann Grundbausteine, aus denen die Kernbausteine aufgebaut sein sollen. Mittlerweile gibt es sehr viele Indizien für die Existenz der Quarks, auch wenn sie einzeln nicht zu beobachten sind.
- 1978 - Der Fusionreaktor ::Um die riesigen Mengen an Energie zu nutzen, die bei einer Kernverschmelzung (Kernfusion) frei werden, versuchte man, die Fusionsenergie gezielt zu nutzen. Die Kernverschmelzung (Kernfusion) gelang erstmals mit Teilchenbeschleunigern. Derzeit laufen Versuche, Kernfusionsreaktoren herzustellen, bislang konnte aber nur für sehr kurze Zeit mehr Energie gewonnen werden, als in den Prozess hineingesteckt wurde
- 1995 - Eric Cornell, Wolfgang Ketterle und Carl Wiemann - Das Bose-Einstein-Kondensat ::In einem ultrakalten Gas aus Rubidium-Atomen wird erstmals ein Bose-Einstein-Kondensat hergestellt, ein bereits von Einstein vorhergesagter Zustand der Materie.
- 2000 - CERN - Das Higgs-Boson ::Das Kernforschunngszentrum CERN in Genf forscht in ihrem Beschleuniger nach dem Higgs-Boson, das als Erlöser-Teilchen bezeichnet wird und dessen Existenz die bestehenden Theorien zur Elementarteilchenphysik bestätigen soll. Bisher gibt es keine eindeutigen experimentellen Belege für die Existenz des Higgs-Bosons.
- 2002 - Brookhaven - seltsame Materie ::Im Schwerionenbeschleunigerring RHIC im amerikanischen Brookhaven prallen Goldionen hoher Energie aufeinander. Dabei sollen sie für extrem kurze Zeit und in einem sehr kleinen Raumbereich ein Quark-Gluonen-Plasma erzeugen. Dies ist ein Zustand der Materie, der heute in der Natur nicht mehr vorkommt, aber vermutlich unmittelbar nach dem Urknall existierte.

Zitate

- Nur scheinbar hat ein Ding eine Farbe, nur scheinbar ist es süß oder bitter; in Wirklichkeit gibt es nur Atome und den leeren Raum. – Demokrit (5. Jh. v. Chr.)
- Richard Feynman hat einmal gesagt, müsste er das wichtigste Ergebnis der modernen Naturwissenschaft in einem Satz zum Ausdruck bringen, entschiede er sich für: "Die Welt besteht aus Atomen." – Brian Greene (Der Stoff, aus dem der Kosmos ist, ISBN 388680738X, S. 255)

Literatur

- Bernhard Bröcker u.a.: dtv Atlas Atomphysik: Tafeln und Texte. 6. Aufl. 1997. ISBN 3-423-03009-7.

Siehe auch

- Atomabsorption
- Atombombe
- Atomkraft
- Atomwaffe
- Atomgewicht
- Elementarteilchen
- Heisenbergsche Unschärferelation
- Kernmodell
- Kernreaktionen
- Liste von Mineralen
- Molekül
- Nebelkammer
- Quantenmechanik
- Quantenphysik
- Strahlenschutz
- Superatome
- Teilchenbeschleuniger
- Teilchendetektor
- Teilchenquelle
- Wechselwirkung

Weblinks

Animationen

- Animationen der Atome aller Elemente: http://www.physik.rwth-aachen.de/~harm/aixphysik/atom/Periodic/index.html
- Animation eines Heliumatoms: http://www.purchon.com/chemistry/helium.htm

Sonstiges

- [http://www.pm-magazin.de/de/wissensnews/wn_id878.htm "Kraftmikroskopie zeigt einzelne Atome"] von Peter Rösch (P.M.)
- [http://www.chemieseite.de/allgemein/node4.php Übersicht über die verschiedenen Atommodelle] Kategorie:Atomphysik ja:原子 ko:원자 ms:Atom simple:Atom th:อะตอม

Bohrsches Magneton

In der Atomphysik wird das magnetische Moment in Einheiten des Bohrschen Magnetons

\mu_B

angegeben. Als das Bohrsche Magneton ist dasjenige Moment definiert, das einem Elektron mit einem Drehimpuls

|\vec l| = \hbar

entspricht. Dies ist der Bahndrehimpuls eines Elektrons auf der ersten Bohrschen Bahn des Wasserstoffatoms (s.a. Bohrsches Atommodell). Das Bohrsche Magneton hat den Wert

\mu_B = \frac\hbar = 9.274078\cdot 10^ Am^2

Kategorie:Atomphysik

Elektrodynamik

Die klassische Elektrodynamik oder Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit den elektromagnetischen Wellen, den elektrischen und magnetischen Feldern und Potenzialen und der Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Objekte beschäftigt.

Die Theorie

Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwellgleichungen, die das Zusammenspiel von elektrischen und magnetischen Feldern und mit elektrischen Ladungsträgern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt. Das elektrische und magnetische Feld lassen sich mittels Potenzialen beschreiben: Dem skalaren Potenzial

\phi

und dem Vektorpotenzial

\vec A

. Es gilt: :

\vec E = -\operatorname\,\phi -\frac\vec A

\vec B = \operatorname\,\vec A

Die Tatsache, dass das Vektorpotenzial in beiden Feldern auftritt, demonstriert, dass elektrisches und magnetisches Feld in Wirklichkeit zwei Erscheinungsformen eines einzigen Feldes, des so genannten elektromagnetischen Feldes sind. In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik wird dies auch unmittelbar deutlich, da dort elektrisches und magnetisches Feld als Komponenten einer einzigen Größe, des elektromagnetischen Feldtensors auftreten. Durch das elektrische und magnetische Feld werden die Potenziale nicht eindeutig festgelegt, das heißt, es gibt mehrere verschiedene Werte von

\phi

und

\vec A

, die zu den gleichen Feldern, und somit auch zur gleichen Physik führen. Diese Eigenschaft der Potenziale nennt man Eichinvarianz, und eichinvariante Theorien wie die Elektrodynamik nennt man Eichtheorien. Transformationen der Potenziale, die zu denselben Feldern führen, heißen Eichtransformationen. Die Eichtransformationen der Elektrodynamik lauten :

\vec A'(\vec x, t) = \vec A(\vec x, t) + \operatorname\, \chi(\vec x, t)

\phi'(\vec x, t) = \phi(\vec x, t) - \frac\chi(\vec x, t)

wobei

\chi(\vec x, t)

eine beliebige skalare Funktion ist. Nach dem Noether-Theorem gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgröße. Die Eichinvarianz ist eine kontinuierliche Symmetrie, und die zugehörige Erhaltungsgröße ist gerade die elektrische Ladung.

Spezialfälle der Elektrodynamik

Die Elektrostatik ist der Spezialfall unbewegter elektrischer Ladungen und statischer (sich nicht mit der Zeit ändernder) elektrischer Felder. Sie kann aber in Grenzen auch verwendet werden, solange die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Ladungen und die Änderungen der Felder klein sind. Die Magnetostatik beschäftigt sich mit dem Spezialfall konstanter Ströme in insgesamt ungeladenen Leitern und konstanter Magnetfelder. Sie kann aber ebenfalls für hinreichend langsam veränderliche Ströme und Magnetfelder verwendet werden. Die Kombination aus beiden, Elektromagnetismus, könnte beschrieben werden als Elektrodynamik der nicht zu stark beschleunigten Ladungen. Die meisten Vorgänge in elektrischen Schaltkreisen (z.B. Spule, Kondensator, Transformator) lassen sich bereits auf dieser Ebene beschreiben. Ein stationäres elektrisches oder magnetisches Feld bleibt nahe seiner Quelle, wie zum Beispiel das Erdmagnetfeld. Ein sich veränderndes elektromagnetisches Feld kann sich jedoch von seinem Ursprung entfernen. Das Feld bildet eine elektromagnetische Welle im Zusammenspiel zwischen magnetischem und elektrischem Feld. Diese Abstrahlung elektromagnetischer Wellen wird in der Elektrostatik vernachlässigt. Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes beschränkt sich hier also auf das Nahfeld. Elektromagnetische Wellen hingegen sind die einzige Form des elektromagnetischen Feldes, die auch unabhängig von einer Quelle existieren kann (sie werden zwar von Quellen erzeugt, können aber nach ihrer Erzeugung unabhängig von der Quelle weiterexistieren). Da Licht sich als elektromagnetische Welle beschreiben lässt, ist auch die Optik letztlich ein Spezialfall der Elektrodynamik.

Elektrodynamik und Relativitätstheorie

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist die Elektrodynamik nicht galilei-invariant. Das bedeutet, wenn man, wie in der klassischen Mechanik, einen absoluten, euklidischen Raum und eine davon unabhängige absolute Zeit annimmt, dann kann die Elektrodynamik nicht in jedem Inertialsystem gelten. Einfaches Beispiel: Ein mit konstanter Geschwindigkeit fliegendes geladenes Teilchen ist von einem elektrischen und einem magnetischen Feld umgeben. Ein mit gleicher Geschwindigkeit nebenan fliegendes, gleichgeladenes Teilchen erfährt durch das elektrische Feld eine abstoßende Kraft (gleichnamige Ladungen stoßen sich ab), aber gleichzeitig durch das Magnetfeld eine anziehende Lorentzkraft, die die Abstoßung teilweise kompensiert (bei Lichtgeschwindigkeit wäre die Kompensation vollständig). Wechseln wir nun in das Bezugssystem der beiden Ladungsträger, so stellen wir fest, dass der erste Ladungsträger ruht, so dass er gar kein magnetisches Feld hat, und auch der zweite Ladungsträger ruht, so dass er selbst von einem vorhandenen Magnetfeld nicht abgelenkt würde. Somit wirkt in diesem Bezugssystem nur die Coulombkraft, und der Ladungsträger wird stärker beschleunigt, als aus dem Bezugssystem gesehen, in dem sich beide Ladungen bewegen. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass in der newtonschen Physik die Beschleunigung nicht vom Bezugssystem abhängt. Diese Tatsache führte zunächst zur Annahme, in der Elektrodynamik gäbe es ein bevorzugtes Bezugssystem (Äthersystem). Versuche, die Geschwindigkeit der Erde gegen den Äther zu messen, schlugen jedoch fehl. Albert Einstein löste dieses Problem in seiner speziellen Relativitätstheorie, indem er Newtons absoluten Raum und absolute Zeit durch eine vierdimensionale Raumzeit ersetzte. In der Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Galilei-Invarianz die Lorentz-Invarianz, die von der Elektrodynamik erfüllt wird. In der Tat lässt sich die Verringerung der Beschleunigung und damit die magnetische Kraft im obigen Beispiel über eine Rücktransformation der Beobachtungen im bewegten System in das ruhende System als Folge der Längenkontraktion und Zeitdilatation berechnen. In gewisser Weise lässt sich daher die Existenz von magnetischen Phänomenen letztlich auf die Struktur von Raum und Zeit zurückführen, wie sie in der Relativitätstheorie beschrieben wird. Unter diesem Gesichtspunkt erscheint auch die Struktur der Grundgleichungen für statische Magnetfelder mit ihren Kreuzprodukten weniger verwunderlich.

Erweiterungen

Die Quantenelektrodynamik (QED) vereint die Elektrodynamik mit quantenmechanischen Konzepten. Die Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung vereinigt die QED mit der schwachen Wechselwirkung und ist Teil des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Die Struktur der QED ist ebenfalls Ausgangspunkt für die Quantenchromodynamik (QCD), welche die starke Wechselwirkung beschreibt. Allerdings ist die Situation dort noch komplizierter (z.B. drei Ladungsarten, siehe Farbladung). Eine Vereinheitlichung der Elektrodynamik mit der allgemeinen Relativitätstheorie (Gravitation) ist unter dem Namen Kaluza-Klein-Theorie bekannt, und stellt einen frühen Versuch zur Vereinheitlichung der fundamentalen Wechselwirkungen dar.

Literatur

- Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Bd.2 : Elektrizität und Optik Springer, Berlin 2004, ISBN 3540202102
- Jackson, John D.: Klassische Elektrodynamik Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110165023

Siehe auch

- Theoretische Elektrotechnik
- Elektrizität
- Rechte-Hand-Regel
- Rechtssystem (Mathematik)
- Portal:Physik
- Monopol (Physik)
- Ponderomotorische Kräfte
- Korkenzieherregel

Weblinks

- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph10/materialseiten/m08_elektromagnetismus.htm Versuche und Aufgaben zur Elektrodynamik] Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Elektrodynamik ja:電磁気学 ko:전자기학

Magnetischer Dipol

Ein magnetischer Dipol ist die kleinste Einheit des Magnetismus. Bisher konnten noch keine magnetischen Monopole gefunden werden, allerdings kann ihre Existenz nicht ausgeschlossen werden, und sie werden von einigen Großen vereinheitlichten Theorien vorhergesagt. Aufgrund der Eigenschaft der Dipole sowohl Quelle als auch Senke für Feldlinien zu sein, ist das magnetische Feld insgesamt immer divergenzfrei. In der klassischen Elektrodynamik hängt ein magnetischer Dipol immer mit einem Kreisstrom

I

zusammen, der die Fläche

\vec

umschließt. Er wird als magnetisches Dipolmoment

\vec

bezeichnet :

\vec=I \vec.

Auf einen magnetischen Dipol wirkt in einem äußeren magnetischen Feld

B

das Drehmoment :

\vec=\vec \times \vec.

Die Dipolmomente, die in Materie vorhanden sind (Ferro-, Antiferro- und Paramagnetismus) oder erst beim Einschalten des Feldes erzeugt werden (Diamagnetismus), bestimmen die magnetischen Eigenschaften eines Stoffes. Ein magnetisches Dipolmoment wird je nach Anwendung in der Einheit erg/G oder auch in Einheiten der Elementardipole angegeben. Zum Beispiel ist das Bohrsche Magneton das magnetische Dipolmoment, das ein Elektron aufgrund eines elementaren Bahndrehimpulses erzeugt. Elementardipole haben in der Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik eine große Bedeutung. Viele bekannte Elementarteilchen, wie z.B. Elektron, Proton und Neutron haben konstante magnetische Dipolmomente, die sich zum magnetischen Kernmoment und zum magnetischen Dipolmoment des gesamten Atoms zusammensetzten. Ein elementares Dipolmoment kann in einem äußeren Feld nur diskrete Richtungen einnehmen. Siehe dazu: Stern-Gerlach-Versuch, normaler und anormaler Zeeman-Effekt, Kern- und Elektronenspinresonanz. Kategorie:Magnetismus

Quantenmechanik

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die in den zwanziger und dreißiger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts vor allem von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger entwickelt wurde, um das Reich der atomaren und subatomaren Teilchen zu beschreiben. Weitere wichtige Beiträge zur Quantenmechanik wurden unter anderem von Wolfgang Pauli, Niels Bohr, Paul Dirac, Max Born und John von Neumann geleistet. Die Begriffe Quantenphysik, Quantentheorie und Quantenmechanik werden gelegentlich synonym verwendet. Oft wird, wie auch in diesem Artikel, Quantenphysik jedoch als Oberbegriff verwendet, welcher die Gesamtheit der Physik der klassisch-physikalisch nicht beschreibbaren Phänomene, die bei mikrophysikalischen Systemen auftreten, umfasst und unter Quantenmechanik das Teilgebiet der Quantenphysik verstanden, das die mathematische Beschreibung (mathematischer Teil der Quantenmechanik) und die physikalische Erklärung (physikalischer Teil der Quantenmechanik) der nachstehend aufgeführten Phänomene umfasst. Die Quantenmechanik stellt eine Hauptsäule des Theoriengebäudes der Physik dar. Die erhoffte Vereinigung mit der allgemeinen Relativitätstheorie, die eine zweite Säule repräsentiert, steht noch aus und zählt zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung. Einen Ansatz zur Lösung dieses Problems stellt die sogenannte Stringtheorie dar. Quanten- und Relativitätstheorie enthalten ihren Vorgänger, die newtonsche Physik, als Grenzfall und erfüllen damit das sogenannte Korrespondenzprinzip. Die wohl wichtigsten Phänomene, die die Quantenmechanik beschreibt, sind:
- Die Unschärferelation: Theorie, die besagt, dass es eine fundamentale Grenze für die Genauigkeit gibt, mit der sich so genannte komplementäre physikalische Eigenschaften (wie z. B. der Ort und der Impuls eines mikrophysikalischen Systems) gleichzeitig bestimmen lassen.
- Die Superposition: Quantenmechanische Zustände überlagern einander in Form ihrer Wellenfunktionen (= statistische Wahrscheinlichkeitswellen), ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.
- Die Quantenverschränkung: Räumlich getrennte Teile eines mikrophysikalischen Systems (z. B. die Einzelteilchen eines Zweiteilchen-Systems), können korrelierte Messwerte besitzen, unabhängig davon, wie weit die Teile von einander entfernt sind. Diese wie auch die anderen von der Quantenmechanik beschriebenen Phänomene werden oft als kontra-intuitiv (im Widerspruch zu den im Alltag beobachtbaren Phänomenen stehend) bezeichnet, was unter anderem darauf zurückzuführen ist, dass die meisten physikalischen Phänomene, die erst durch die Quantenmechanik befriedigend erklärbar wurden, im atomaren und subatomaren Bereich auftreten. Da die menschliche Intuition sich an den sinnlichen Erfahrungen in der Alltagswelt schult, ist es nachvollziehbar, dass eine derartige Theorie zunächst als kontra-intuitiv empfunden wird. Ähnlich wie die Relativitätstheorien hat die Quantenmechanik das Naturverständnis revolutioniert. Hinsichtlich ihres empirischen Erfolges gilt die Quantenmechanik als eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt. Über ihre angemessene Interpretation (was bedeutet die Quantenmechanik für das Universum, für uns Menschen, usw.) wird bis heute, nicht nur in Physikerkreisen, diskutiert. empirischen

Beschreibung der Theorie

Zustandsfunktion

Aufgrund verschiedener Experimente, die in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts durchgeführt wurden, erwies sich die bis dahin angenommene klassische Beschreibung der physikalischen Welt als unzureichend. Die klassische Physik beschreibt etwa ein mechanisches System eindeutig und vollständig durch Angabe der Aufenthaltsorte und Impulse seiner Bestandteilchen. Die zeitliche Entwicklung des Systems ist die zeitliche Entwicklung der Orte und Impulse der Teilchen. Man spricht bei Ort und Impuls auch von den Zustandsvariablen des Systems. Auch Felder (z. B. Elektrisches Feld) sind in der klassischen Beschreibung durch ihre Angabe an jedem Ort im Raum eindeutig und vollständig bestimmt. Die Quantenmechanik ersetzt diese klassische Beschreibung mittels Zustandsvariablen durch eine Beschreibung mittels einer Zustandsfunktion. Die Zustandsfunktion enthält alle ein System charakterisierenden Informationen; für eine bekannte Zustandsfunktion lassen sich im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik Systemeigenschaften berechnen. Die zeitliche Entwicklung des Systems ist durch die zeitliche Entwicklung der Zustandsfunktion gegeben, welche durch die zeitabhängige Schrödingergleichung bestimmt ist. Eine Zustandsfunktion kann abhängig von unterschiedlichen Bezugsvariablen angegeben werden. Üblich sind ortsabhängige oder impulsabhängige Zustandsfunktionen, die sich mittels einer Fouriertransformation ineinander umwandeln lassen; man spricht von der Orts- oder Impulsdarstellung.

Wellenfunktion/Modell

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die instantane Zustandsfunktion eines Systems oft als Wellenfunktion bezeichnet. Die Wellenfunktion ist über einen ausgedehnten Raumbereich definiert; aus ihr lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung aller Beobachtungsgrößen des Systems berechnen. Bekannte Wellenfunktionen sind beispielsweise die Elektronenzustände fester Energie im Wasserstoffatom ("Elektronenwolke"). Hier ist das klassische System, in dem das Elektron sich um den Wasserstoffatomkern bewegt, durch ein quantenmechanisches System einer statistischen Wellenfunktion ersetzt. Die Wellenfunktion im Wasserstoffatom erlaubt etwa die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Elektron an einem bestimmten Ort im Atom aufhält. (Orbitalmodell). Orbitalmodell Die Wellenfunktionen eines Systems ergeben sich allgemein als Lösungen einer das System beschreibenden Schrödingergleichung. Für das Wasserstoffatom sind die genannten Wellenfunktionen spezielle zeitunabhängige Lösungen mit festen Energiewerten.

Welleneigenschaften

Ein Grund für die Entwicklung der Quantenmechanik war die Beobachtung, dass die klassische Beschreibung der Welt im Bereich der Atome nicht mehr gültig ist. Teilchen zeigten Eigenschaften wie Interferenz, die bislang nur von Wellen bekannt waren. Diese Eigenschaften lassen sich in der quantenmechanischen Darstellung durch Überlagerung zweier (oder mehrerer) Wellenfunktionen verstehen. Eine andere Eigenschaft quantenmechanischer Systeme ist, dass ein System sich in beliebiger Überlagerung seiner erlaubten Wellenfunktionen befinden kann. Bei einem solchen System sind dann viele verschiedene Messwerte, etwa des Aufenthaltsortes oder der Energie, möglich. Wenn man viele identische Systeme dieser Art herstellt, findet man eine Vielfalt von Messwerten. Die Verteilung dieser Messwerte ergibt sich aus dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik. Aus dieser Beobachtung ergibt sich die Aussage, dass in quantenmechanischen Systemen Messwerte nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten, aber nicht eindeutig bestimmt sind. Anzumerken ist hier, dass die auftretenden Messwerte immer vom Zustand des Systems abhängen. Manche Messwerte, etwa das Energieniveau eines Elektrons, das sich in einem speziellen Energiezustand im Wasserstoffatom befindet, sind genau bestimmt. Andere Systeme zum Beispiel höherer Ordnung als Wasserstoff, lassen sich nur schwer bzw. mit hohem Aufwand ermitteln.

Mathematische Formulierung

Die traditionelle mathematisch strenge Formulierung der Quantenmechanik durch John von Neumann aus dem Jahre 1932 beschreibt ein quantenmechanisches System durch Wellenfunktionen in einem komplexen separablen Hilbertraum

\mathcal

; die Wellenfunktionen

\psi

sind Elemente des Hilbertraumes. Ein wichtiges Beispiel sind die Wellenfunktionen

\psi\in L_2(\mathbb^3)

über dem Hilbertraum

\mathcal=L_2(\mathbb^3)

der komplexwertigen quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Ortsraum

\mathbb^3

. Allgemeiner werden Mischungen von Quantenzuständen, also Quantensysteme mit zufälligen Wellenfunktionen, durch Dichteoperatoren (statistische Operatoren) beschrieben. Dichteoperatoren treten auch auf bei der Projektion eines zusammengesetzten quantalen Systems auf ein Teilsystem durch Bildung der partiellen Spur. Ob die Wellenfunktionen (Vektoren vom Betrag 1 im Hilbertraum) oder Dichteoperatoren das fundamentalere Konzept sind, ist auch heute noch philosophisch umstritten. Jede Beobachtungsgröße, in der Quantenmechanik Observable genannt, wird in der von-Neumannschen Beschreibung durch einen selbstadjungierten (vergröbert ausgedrückt:hermiteschen) linearen Operator auf diesem Raum beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Observable in einem bestimmten Zustand ergibt sich aus dem Spektrum des zugehörigen Operators. Falls der Operator ein diskretes Spektrum besitzt, nimmt die Observable bei einer Messung nur diese diskreten Eigenwerte an. Nachdem eine Messung ausgeführt und ein Eigenwert gemessen wurde, befindet sich das System in dem Eigenvektor zum gemessenen Eigenwert; die Messung ist also irreversibel, indem das System von einem Zustand in einen anderen übergegangen ist. In dieser mathematischen Beschreibung wird Heisenbergs Unschärferelation zu einem Theorem über nichtkommutierende Operatoren: Wenn der Aufenthaltsort eines Teilchens gemessen wird, hat man zwar genauere Informationen über seinen Ort; Das System geht dadurch aber in einen neuen Zustand über, in dem der Impuls um so weniger bekannt ist. Ortsdarstellung und Impulsdarstellung der Wellenfunktion lassen sich durch Fouriertransformation ineinander überführen; Eine enge Ortsverteilung muss durch Überlagerung von Frequenzen (~Impulsen) aus einem breiten Band entstehen und umgekehrt. Damit ist die Impulsinformation des vorherigen Zustandes verloren. Nur wenn zwei (Mess)operatoren kommutieren, oder unabhängig voneinander sind, lassen sich zwei Messwerte unabhängig voneinander bestimmen Erst in neuerer Zeit ist eine allgemeinere mathematische Beschreibung von Observablen durch positiv-operatorwertige Wahrscheinlichkeitsmaße (positive operator valued probability measures, POVM) entstanden, die in der traditionellen Lehrbuchliteratur noch kaum behandelt wird. Operationen auf Quantensystemen werden in der modernen, aber noch wenig bekannten Version der Quantenmechanik durch "completely positive maps", vollständig positive Abbildungen, sehr umfassend und mathematisch elegant beschrieben. Diese Theorie verallgemeinert sowohl die unitäre Zeitentwicklung als auch die oben beschriebene traditionelle von-Neumannsche Beschreibung der Veränderung eines Quantensystems bei einer Messung. Konzepte, die nur schwer im traditionellen Bild beschrieben werden können, wie z.B. kontinuierlich ablaufende unscharfe Messungen, fügen sich problemlos in diese neuere Beschreibung ein.

Objektiver Zufall

Akzeptiert man das mathematische Modell der Quantenmechanik als vollständige Beschreibung der physikalischen Phänomene in ihrem Anwendungsbereich, stellt man fest, dass beim Messprozess der zufällige Ausgang eines Einzelexperiments eine andere Bedeutung erhält, als dies in klassischen statistischen Theorien der Fall ist. Selbst bei bestmöglicher Präparation eines quantenmechanischen Zustands verteilen sich die Messergebnisse bestimmter Beobachtungsgrößen zufällig über eine Anzahl möglicher Messergebnisse. Im Gegensatz z. B. zur statistischen Mechanik liegt dies allerdings nicht an der Unfähigkeit des Experimentators den Zustand exakt zu präparieren und auch nicht an der Unzulänglichkeit der Messgerätes, sondern stellt im Rahmen der Standardinterpretation der Quantenmechanik eine prinzipielle Beschränkung der Messung dieser Beobachtungsgröße in diesem Zustand dar. Die Sichtweise, dass die Quantenmechanik trotz ihrer Unfähigkeit, Messergebnisse in Einzelexperimenten definit zu beschreiben, die vollständige Naturbeschreibung liefert, drückt sich daher auch in der Meinung aus, dass es gar keine objektiv existierenden Eigenschaften des Einzelsystems gibt, die mit einem einzelnen Messergebnis korrespondieren. Eine objektive Eigenschaft eines quantenmechanischen Zustands im Kontext einer Messung ist vielmehr nur die statistische Verteilung der Messergebnisse bei Messung eines ganzen Ensembles. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch vom objektiven Zufall in der Quantenmechanik.

Schlüsselexperimente/Gedankenexperimente

- Dass Quantenphänomene nichtlokal sein können, verdeutlicht das Paradoxon von de Broglie.
- Das EPR-Experiment (ein Gedankenexperiment von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen) und damit zusammenhängend die Bellsche Ungleichung und das real durchgeführte Aspect-Experiment zeigen klar die Unverträglichkeit der Quantenmechanik mit einer Theorie ausschließlich lokaler verborgener Variablen. Nichtlokale Interpretationen der Quantentheorie mit verborgenen Variablen werden dadurch nicht ausgeschlossen.
- Das Messproblem und das Problem der Verständlichkeit werden - neben anderen grundlegenden Eigenschaften der Quantenmechanik - am Doppelspaltexperiment sichtbar. Die hier gezeigte scheinbare Doppelnatur von physikalischen Objekten als Teilchen und Welle führte Niels Bohr auf die Idee des Welle-Teilchen-Dualismus: Wellen- und Teilchenmodell als zwei komplementäre Sichtweisen, die beide für ein vollständiges Verständnis notwendig sind und sich dennoch gegenseitig ausschließen. Außerdem zeigt das Doppelspaltexperiment das unterschiedliche Verhalten des Systems mit und ohne Messung.
- Schrödingers Katze, ein Gedankenexperiment von Erwin Schrödinger wirft die Frage nach der Realität nichtbeobachteter Phänomene auf.
- Wigners Freund ist eine Variation von Schrödingers Katze, wobei die Betonung auf den Einfluss des menschlichen Bewusstseins auf den Messprozess gelegt wird.
- Wechselwirkungsfreie Messung (Bomben-Experiment)

Interpretation

Die Debatte zu den obigen Fragen eröffneten Albert Einstein: „Die Quantenmechanik ist unvollständig“ und „Gott würfelt nicht“ und Niels Bohr, der die Komplementarität betonte und Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation verteidigte. Im Lauf der mehrjährigen heftigen Diskussion musste Einstein die Unbestimmtheitsrelation akzeptieren, während Bohr seine Idee der Komplementarität deutlich abschwächte, was zur heute vorherrschenden Kopenhagener Interpretation führte. Heute gehen Physiker mehrheitlich davon aus, dass die Quantentheorie alles beschreibt, was es über ein System zu wissen gibt, und dass die Messvorgänge irreduzibel sind und nicht nur unser beschränktes Wissen reflektieren. Diese Interpretation hat im Weiteren zur Folge, dass der Akt des Beobachtens die Schrödingergleichung umgeht und das System instantan in einen Eigenzustand fällt (der so genannte Zusammenbruch der Wellenfunktion). Neben der Kopenhagener Interpretation sind aber auch verschiedene andere nennenswerte Deutungen vorgeschlagen worden.
- David Bohm hat eine nichtlokale Theorie mit verborgenen Variablen entwickelt, wobei die Wellenfunktion als Führungswelle des Teilchens interpretiert wird. Diese Theorie liefert exakt die gleichen empirischen Voraussagen wie die Kopenhagener Interpretation der nichtrelativistischen Quantenmechanik, so dass experimentell nicht zwischen beiden unterschieden werden kann. Obwohl diese Theorie deterministisch ist, verhindert die Heisenbergsche Unschärferelation, dass der Zustand der verborgenen Variablen jemals genau bekannt sein kann. Zusammen mit der in der Bohmschen Theorie postulierten Quantengleichverteilungs-Hypothese hat das zur Folge, dass Messresultate wie bei der Kopenhagener Deutung entsprechend dem Quadrat der Wellenfunktion statistisch verteilt erscheinen. Bisher ist noch nicht abschliessend gesichert, dass diese Theorie auch auf die relativistische Quantenmechanik erweitert werden kann. Ähnliche Theorien mit verborgenen Variablen stammen von Louis de Broglie und anderen.
- Hugh Everetts Viele-Welten-Interpretation behauptet, dass alle von der Quantentheorie nicht ausgeschlossenen Möglichkeiten tatsächlich gleichzeitig geschehen, und zwar in einem Viel-Welt-Universum von meist unabhängigen Paralleluniversen. Diese Interpretation kommt ohne "Zusammenbruch" der globalen Wellenfunktion beim Messprozess aus; vielmehr entwickelt sich die globale "Viele-Welten-Wellenfunktion" deterministisch. Die Tatsache, dass wir Zufälligkeit und scheinbar einen Zusammenbruch der Wellenfunktion beobachten, ist dann darauf zurückzuführen, dass wir subjektiv nur ein Universum beobachten können, während andere Kopien von uns in anderen Universen anderes beobachten. In Everetts Interpretation ist die Messung ein Vorgang, welcher von einer regulären Schrödingergleichung beschrieben werden kann und keine spezielle Behandlung verlangt.
- Eine andere Richtung versucht, durch eine Abänderung der klassischen Logik in eine Quantenlogik die Interpretationsprobleme zu beseitigen.
- Eugene Paul Wigner stellte die Theorie der Bewusstseinswellen auf, mit der er insbesondere das Messproblem zu umgehen hofft.
- Die von John G. Cramer entwickelte sog. Transaktionsinterpretation basiert auf Emitter-Absorber-Wechselwirkungen, die sowohl in die Zukunft als auch in die Vergangenheit gerichtet sind. Diese Interpretation ist ebenso wie die bohmsche nichtlokal und kausal und sie vermeidet einen beobachterabhängigen Kollaps des Quantenzustands durch den Messprozess [http://mist.npl.washington.edu/npl/int_rep/tiqm/TI_toc.html].

Anwendungen

Quantenmechanische Erklärungen für das Verhalten von Transistoren und Dioden sind Grundlage der gesamten Mikroelektronik. Quantenmechanik war für die Entwicklung von Lasern, Elektronenmikroskopen, und für die Magnetresonanztomographie besonders wichtig. Rechnergestützte Chemie ist eigentlich angewandte Quantenmechanik auf einem Computer. Die moderne Mikrobiologie, Gentechnologie und die Kernphysik wären ohne detaillierte Kenntnisse der Quantenphysik nicht denkbar. Auch die Festkörperphysik greift häufig auf Erkenntnisse der Quantenphysik zurück. Eine unmittelbare Anwendung der speziellen Gesetze der Quantenmechanik wird im Bereich der Quanteninformation untersucht. Es werden große Anstrengungen unternommen, einen Quantencomputer zu bauen, welcher durch Ausnutzung der verschiedenen Eigenzustände und der Wahrscheinlichkeitsnatur eines quantenmechanischen Systems hochparallel arbeiten würde. Einsatzgebiet eines solchen Quantenrechners wäre beispielsweise das Knacken moderner Verschlüsselungsmethoden. Im Gegenzug hat man mit der Quantenkryptographie ein System zum theoretisch absolut sicheren Schlüsselaustausch gefunden, in der Praxis ist diese Methode häufig etwas abgewandelt und unsicherer, da es hier auch auf die Übertragungsgeschwindigkeit ankommt.

Erweiterungen

Wichtige Erweiterungen der Quantenmechanik sind die Quantenfeldtheorien und verschiedene Ansätze zur relativistischen Quantenmechanik wie die Diracgleichung und die Klein-Gordon-Gleichung.

Geschichte

Die Quantenmechanik als exakte physikalische Theorie nahm ihren Ursprung in der Untersuchung der Spektrallinien des Wasserstoffs. 1913 postuliert Niels Bohr diskrete Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom, um die Spektrallinien zu erklären (Bohrsches Atommodell). Mit den seit 1925 von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger unabhängig voneinander entwickelten theoretischen Grundlagen (Wellenmechanik, Matrizenmechanik, die sich später als zwei Sichtweisen einer Theorie herausstellten) stand dann erstmals eine quantitative Theorie zur Verfügung. Sie konnte in Analogie zur klassischen Mechanik (Korrespondenzprinzip) aufgebaut werden, und übernahm viele Prinzipien (Prinzip der kleinsten Wirkung), ergänzte sie aber um ein neues Prinzip (Operatoren ersetzen Variablen). Die Schrödingergleichung beschreibt in der hier entwickelten Theorie sowohl die möglichen Zustände eines Systems (zeitunabhängige oder statische Schrödingergleichung) als auch die zeitliche Entwicklung eines Systems (allgemeine Schrödingergleichung). Dabei wird der Zustand eines Systems durch ein Element eines Vektorraumes (genauer eines Hilbertraumes) gegeben; man spricht je nach Sichtweise von der Wellenfunktion (in der Wellenmechanik) oder von Zustandsvektor (in der Matrizenmechanik). In Folge dieser Entwicklung formulierte Heisenberg im Jahre 1927 seine Unschärferelation. Die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik hat etwa um die gleiche Zeit Form angenommen. Eine formal-mathematische Rechtfertigung der Quantenmechanik wurde im Jahre 1932 durch John von Neumann erbracht.

Weitere Entwicklungen

Louis de Broglie stellte als erster die später bestätigte Vermutung auf, dass Materie auch Welleneigenschaften aufweist (siehe Welle-Teilchen-Dualismus). Paul A. M. Diracs Formulierung der Dirac-Gleichung im Jahre 1928 war die erste erfolgreiche Vereinigung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie zur relativistischen Quantenmechanik. In Abgrenzung von dieser wird die bislang besprochene Quantenmechanik auch nichtrelativistische Quantenmechanik genannt. Ein weiterer Schritt war die Entwicklung der Quantenfeldtheorien. Als erste wurde die Quantenelektrodynamik (QED) von 1940 an formuliert. Sie wurde maßgeblich von Richard Feynman, F. J. Dyson, Julian Schwinger und Shinichiro Tomonaga entwickelt. In Verallgemeinerung entstanden hieraus die Quantenfeldtheorien der schwachen Wechselwirkung und der starken Wechselwirkung. Bislang ist es nicht gelungen, eine Quantentheorie der Gravitation zu formulieren. Die Viele-Welten-Interpretation wurde 1956 von Hugh Everett III formuliert (unter dem Namen Relative State Interpretation, also relativer Zustand-Interpretation). Die Quantenchromodynamik wurde 1964 von Greenberg und Nambu vorgeschlagen.

Einige Zitate

:Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben.- Erwin Schrödinger über Quantenmechanik :Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmechanik zu tun haben, haben sie nicht verstanden. - Niels Bohr :Ich kann mir nicht vorstellen, daß der Liebe Gott mit Würfeln spielt! - Albert Einstein :Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat. - Niels Bohr : Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik versteht. (I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics.) - Richard Feynman :Die Feststellung, dass die gegenwärtigen Wandlungen unseres Wertsystems viele Wissenschaftszweige beeinflussen werden, mag jene überraschen, die an eine objektive, wertfreie Wissenschaft glauben; sie ist jedoch eine der wichtigen Implikationen der Neuen Physik. Heisenbergs Beiträge zur Quantentheorie, (...) führen eindeutig zu der Erkenntnis, dass das klassische Ideal wissenschaftlicher Objektivität nicht mehr aufrechterhalten werden kann. - Fritjof Capra :I am still confused, but on a higher level. (Ich bin immer noch verwirrt, aber auf einem höheren Niveau.) - Enrico Fermi

Philosophische Fragen

Obwohl die Quantenmechanik zu extrem präzisen Vorhersagen führt, hat ihre Interpretation eine heftige philosophische Debatte ausgelöst. Im Vordergrund der Diskussion stehen fünf Fragen: # Kausalität: Gibt es in der Natur einen Zufall oder sind die Naturgesetze deterministisch? #Realität: Gibt es eine reale Außenwelt? Steht mein Haus noch da, auch wenn ich nicht zu Hause bin? #Lokalität / Separabilität: Laufen alle Wechselwirkungen lokal ab, oder gibt es Fernwirkungen? Sind weit voneinander entfernte Ereignisse unabhängig voneinander? #Verständlichkeit: Kann die Welt mit einer widerspruchfreien Theorie beschrieben werden, GUT genannt, oder braucht man zu einer vollständigen Beschreibung mehrere komplementäre (sich ausschließende) Theorien? #Messproblem: Während sich die Wahrscheinlichkeitsfunktionen des ungemessenen Systems deterministisch verhalten, sind die Observablen zufällig auf die möglichen Eigenwerte verteilt, und die weitere Entwicklung des Systems hängt vom tatsächlich gemessenen Wert ab. Woher kommt diese unterschiedliche Dynamik zwischen Messung und unbeobachteter Natur, wenn doch der Messapparat auch Teil der Natur ist? Dass diese Fragen keineswegs trivial sind, verdeutlichen verschiedene Gedankenexperimente, die z. T. konkretisiert und auch real durchgeführt wurden.

Siehe auch

- Portal:Physik
- Faktisches
- Dichtematrix
- harmonischer Oszillator
- anharmonischer Oszillator
- Spektroskopie
- Gruppentheorie
- Teilchen im Kasten

Literatur

- Cohen-Tannoudji, Claude: Quantenmechanik, ISBN 3-11-016458-2
- Dawydow, A.S: Quantenmechanik, ISBN 3527402578
- Fließbach, Torsten: Quantenmechanik, ISBN 3-8274-0996-9
- Tony Hey und Patrick Walters: Das Quantenuniversum, ISBN 3-8274-0315-4
- Baumann K. und Sexl R.U. (Hrsg.): Die Deutungen der Quantentheorie, ISBN 3-5280-8540-1
- Passon O.: Bohmsche Mechanik. ISBN 3-8171-1742-6
- Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 5/1 (Quantenmechanik - Grundlagen), ISBN 3-540-40071-0
- Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 (Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen), ISBN 3-540-40072-9

Weblinks

- [http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/ Münchener Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik] (Universität München)
- [http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html Physik des Monats April: Quantenmechanik] (Universität Bonn)
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/materialseiten/m09_quanten.htm Versuche und Aufgaben zur Quantenmechanik]
- [http://pauli.uni-muenster.de/menu/Lehre/quant-skript/skriptum-h.html Quantentheorie] (Westfälische Wilhelms-Universität Münster) Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Physik ja:量子力学 ko:양자역학

Schrödinger-Gleichung

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Quantensystems. Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger zuerst als Wellengleichung aufgestellt, danach durch Werner Heisenberg äquivalent als Operatorgleichung dargestellt. Als „Bewegungsgleichung der Quantenmechanik“ bildet sie noch heute das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Ein einfacheres Verständnis der Theorie bildet das Gedankenexperiment Schrödingers Katze.

Die Gleichung

Die Schrödingergleichung lautet bei Abwesenheit eines Magnetfeldes für ein einzelnes Teilchen (etwa ein Elementarteilchen oder ein Atom) im Potenzial V (beispielsweise das Gravitations-Potenzial), dessen Zustand durch die (skalare, oft wie hier durch den griechischen Buchstaben Psi ausgedrückte) Wellenfunktion ψ beschrieben ist: :

\mathrm\cdot\hbar\cdot\frac\psi(\mathbf,t) \;=\; - \frac\cdot\nabla^2\psi(\mathbf,t) + V(\mathbf,t)\cdot\psi(\mathbf,t)

. Dabei ist
- m die Masse des Teilchens,
-

\mathbf\in\R^3

der Ort sowie

\nabla

die partielle Ableitung nach dem Ort (Nabla-Operator),
- t die Zeit sowie

\frac

die partielle Ableitung nach der Zeit,
-

\mathrm

die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen,
-

\hbar=

(sprich „Ha-Quer“) mit dem Planckschen Wirkungsquantum

h

(einer Naturkonstante, die in der „klassischen“ Physik nicht vorkommt). Bei einem freien Teilchen gilt V(r,t) = 0. Mittels des Hamilton-Operators H lässt sich die Schrödingergleichung genauso gut als :

\mathrm\hbar\cdot\frac \psi(\mathbf,t) = \hat H \psi(\mathbf,t)

mit :

\hat H = \frac\cdot(-\mathrm\hbar\nabla)^2 + V(\mathbf,t)

schreiben.

Herleitung

Die Schrödingergleichung entsteht nach dem Korrespondenzprinzip aus der klassischen Energiegleichung (Gesamte Energie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) :

E = \frac + V(\mathbf,t)

durch Ersetzung der klassischen Größen Energie, Impuls und Ort durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren (in der Orts-Darstellung) :

E \rightarrow \hat E = \mathrm\hbar\cdot\frac

\mathbf\rightarrow \mathbf = -\mathrm\hbar\cdot\nabla

\mathbf\rightarrow \mathbf = \mathbf

und anschließendes Anwenden auf die unbekannte Funktion ψ : :

0 = \left(\hat E - \frac - V(\mathbf,t)\right)\psi(\mathbf,t)

. Ein anderer Ansatz zur Herleitung der Schrödingergleichung geht wie folgt: Analog zu ebenen Lichtwellen können Teilchen im Extremfall als De-Broglie-Welle aufgefasst werden: :

\psi(\mathbf,t) = \operatorname\cdot \exp \left(\frac\cdot(E\cdot t - \mathbf\cdot\mathbf)\right)

; für V(r,t) = 0 genügt nun diese Welle der Schrödingergleichung. Wie man an beiden Ansätzen sieht, bleibt dabei die Natur von ψ erst einmal unbekannt; sein quadrierter Betrag

|\psi|^2

lässt sich aber physikalisch als Amplitude der Wahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens verstehen. Bemerkung: Selbstverständlich lässt sich die Schrödingergleichung eigentlich nicht aus der klassischen Physik herleiten; denn die Quantenmechanik ist eine Verallgemeinerung der klassischen Physik. Schrödinger hat vielmehr aus den zu seiner Zeit bereits bekannten quantenmechanischen Phänomenen von Teilchen (unter Berücksichtigung gewisser physikalischer Prinzipien) eine diese Phänomene beschreibende Gleichung konstruiert.

Eigenschaften

ψ ist stets eine komplexwertige Funktion (falls der linke Ausdruck nicht identisch 0 ist). Weil die Schrödingergleichung bezüglich ψ linear und homogen ist, ist für eine gegebene Lösung ψ auch jedes skalare Vielfache

k\cdot\psi

mit einer komplexen Konstante

k\in\Bbb C

eine Lösung. Aufgrund dieser Mehrdeutigkeit ist es sinnvoll und üblich, nur normierte Lösungen im Sinne der Normierungs-Bedingung :

\int_^ |\psi|^2(\mathbf,t)\;\mathrm^3r = 1

zu betrachten. Allerdings ist nicht jede Lösung einer Schrödingergleichung normierbar. Sofern existent, ist diese normierte Lösung bis auf einen Phasenfaktor der Form

\exp(\mathrm\cdot K)

für ein reelles K, der aber physikalisch bedeutungslos ist, eindeutig bestimmt. Für eine normierte Lösung wird

|\psi|^2(\mathbf,t) = \psi^ - \cdot\psi

als Wahrscheinlichkeits-Dichte dafür, dass sich das Teilchen am Ort

\mathbf

zum Zeitpunkt t befindet, gedeutet. Damit erhält auch die gewählte Normierungsbedingung ihre sinnvolle Interpretation.

Lösung der Schrödingergleichung

Im Falle eines wirklich zeitabhängigen Hamiltonoperators H = H(r,t) hat man eine Anfangswert-Aufgabe zu lösen: Kennt man die Masse m des Teilchens, das von außen angelegte Potenzial V(r,t), die Anfangs-Bedingung ψ(r,0) = gegeben sowie die Rand-Bedingungen zu ψ für t > 0, so erhält man mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung als Lösung die Wellen-Funktion ψ(r,t) für den betrachteten Raum für alle Zeiten t > 0. Im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators H = H(r) und fester Ränder (also insbesondere zeitunabhängiger Potenziale V = V(r)) stellt die Wellenfunktion ψ = ψ(r,t) dagegen einen sogenannten stationären Zustand (oder eine Überlagerung aus diesen) dar, und man hat dann eine Randwertaufgabe zu lösen: Bringt man den Ansatz der Separation der Variablen

\psi(\mathbf,t) = \psi(\mathbf)\cdot \chi(t)

in die Schrödingergleichung ein, so erhält man mit der reellen Konstanten E die Gleichung :

\psi(\mathbf,t) = \psi(\mathbf)\cdot \exp()

und weiter die zeitunabhängige Schrödingergleichung :

\hat H(\mathbf)\psi(\mathbf) = E\cdot \psi(\mathbf)

. Zusammen mit mit homogenen und linearen Rand-Bedingungen an ψ(r) bildet die zeitunabhängige Schrödingergleichung eine sogenannte Eigenwertaufgabe, bei der Energieeigenwerte E und Eigenfunktionen ψ(r) zu bestimmen sind. Ein einfaches Beispiel solch einer Eigenwertaufgabe bildet ein Elektron ohne Potenzial in einem Kasten. Aus der so gefundenen Wellenfunktion ergeben sich sämtliche physikalischen Eigenschaften des Teilchens. Beispielsweise wird der klassische Wert

\mathbf(t)

durch den mittleren Ort des Teilchens zur Zeit t, nämlich :

\mathbf(t)\rightarrow \langle\mathbf\rangle(t) = \int_^ \mathbf\cdot|\psi|^2(\mathbf,t) \mathrm^3r

ersetzt, während zum Beispiel der klassische Wert des Impulses durch folgenden Mittelwert ersetzt wird: :

\mathbf(t)\rightarrow \langle\mathbf\rangle(t) = \int_^ \psi^ - (\mathbf,t)(-\mathrm\hbar\cdot\nabla)\psi(\mathbf,t) \mathrm^3r

. Im Prinzip (!) wird eine beliebige klassische Messgröße f(r,p,t) durch eine Mittelung des zugehörigen Operators über den Raum, in dem sich das Teilchen befinden kann, ersetzt: :

f(\mathbf(t),\mathbf(t),t)\rightarrow \langle\hat f\rangle(t) = \int_^ \psi^ - (\mathbf,t)f(\mathbf,\mathbf,t)\psi(\mathbf,t) \mathrm^3r

. Man nennt den Ausdruck den Erwartungswert von f. Der Erwartungswert der Energie ist gleich .

Ausblicke und Erläuterungen

Die Schrödingergleichung ist im Gegensatz zu den klassischen Kraftgleichungen eine partielle Differentialgleichung. Während ein klassisches Teilchen durch eine exakte Bahn

\mathbf(t)

bestimmt ist, wird die Dynamik des quantenmechanischen Teilchens durch das quantenmechanische Feld ψ beschrieben. Die klassische newtonsche Bewegungsgleichung :

m\cdot\frac(t) = - \nabla V(\mathbf(t),t)

wird also in der Quantenmechanik durch die Schrödingergleichung ersetzt. In der Quantenmechanik ist darum ein exakter Aufenthaltsort (im Allgemeinen) nicht definierbar; anschaulich sagt man, das Teilchen sei über dem Raum »verschmiert«. Im Grenzfall, dass die Breite des Wellenpakets genügend klein ist, kann mit Hilfe der Schrödingergleichung die newtonsche Gleichung hergeleitet werden. Die oben angegebene Schrödingergleichung ist diejenige in der sogenannten Ortsdarstellung. In der von einer bestimmten Basis (wie dem Ort) unabhängigen Form lautet die Schrödingergleichung mit dem 'ket' |t>: :

\mathrm\hbar\cdot\frac|t\rangle = \frac|t\rangle + V(\mathbf,t)|t\rangle

, wobei hier die Operatoren

\mathbf

und

\mathbf

ebenfalls als basisunabhängig anzusehen sind. Beide Gleichungen sind gleichwertig. In der Schrödingergleichung kommen die Wellenfunktion und die Operatoren im sogenannten Schrödingerbild vor. Bei Verwendung der Wellenfunktion und der Operatoren im Heisenbergbild ergibt sich die Heisenberggleichung. Beide Gleichungen sind physikalisch gleichwertig. Die Schrödingergleichung ist einerseits deterministisch; das heißt, die Physik des Teilchens ist genau bestimmt; insbesondere ist die Schrödingergleichung nicht »irgendwie unvollständig«. Andererseits ist deren Lösung ψ jedoch eine statistische Größe; ψ macht folglich lediglich eine Aussage über die Gesamtheit aller gleichartigen Versuchsanordnungen. Im Allgemeinen hat dies zur Folge: Wenn man an zwei physikalisch identischen Systemen jeweils dieselbe Messung (etwa die des Ortes des Teilchens zur selben Zeit) durchführt, dann können beide Messwerte (im Gegensatz zur klassischen Physik) verschieden ausfallen. Die Schrödingergleichung enthält mit dem Planckschen Wirkungsquantum h eine Größe, die zuvor von Max Planck für Lichtquanten gefunden wurde. Durch die Schrödingergleichung wurde sie auch zur Beschreibung von Teilchen wie Elektronen herangezogen. Mit der Formulierung der Schrödingergleichung wurde die widersprüchliche Konstruktion des bohrschen Atommodells überwunden. Das heißt, mit der Schrödingergleichung war man zum ersten Mal in der Lage, das Wasserstoffatom in guter Näherung zu berechnen, ohne dabei die Gesetze der Elektrodynamik verletzen zu müssen. Die Schrödingergleichung hat jedoch folgende grundlegende Mängel: Sie weiß nichts vom Eigendrehimpuls (Spin) des Teilchens; außerdem ist sie nicht lorentzinvariant (sondern 'nur' galilei-invariant). Eine diesbezügliche Weiterentwicklung der Schrödingergleichung stellt beispielsweise für Elektronen die relativistische Diracgleichung dar, die allerdings auch wesentlich schwieriger zu handhaben ist.

Hamiltonoperator für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld

Falls das Teilchen eine elektrische Ladung besitzt (zum Beispiel ein Elektron oder Proton ist), so verallgemeinert sich bei Anwesenheit eines äußeren elektromagnetischen Feldes der Hamiltonoperator (in der Orts-Darstellung) zu :

\hat H = \frac\cdot \left(-\mathrm\hbar\nabla - \frac\cdot\mathbf(\mathbf,t)\right)^2 + q\cdot\Phi(\mathbf,t) + V(\mathbf,t)

, wobei hier q die elektrische Ladung des Teilchens (q = -e bei Elektronen), c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,

\mathbf

das sogenannte Vektorpotenzial und Φ das skalare Potenzial bezeichnen. Die sich so ergebende Schrödingergleichung tritt an die Stelle der klassischen Lorentzgleichung. Für das äußere elektrische Feld

\mathfrak

und das magnetische Feld

\mathfrak

bestehen folgende Beziehungen: :

\mathfrak(\mathbf,t) = -\nabla\Phi(\mathbf,t) - \frac\cdot\frac(\mathbf,t)

\mathfrak(\mathbf,t) = \nabla \times \mathbf(\mathbf,t)

. Somit wirkt das äußere elektromagnetische Feld (

\mathfrak, \mathfrak

) (über die Schrödingergleichung) auf das Feld ψ. Umgekehrt beeinflusst grundsätzlich die Wellenfunktion ψ das äußere elektromagnetische Feld in folgender Weise: Aus ψ und q berechnen sich die elektrische Stromdichte und die Ladungsdichte des Teilchens. Es erzeugt so ein eigenes elektromagnetisches Feld, das auf alle anderen Ladungen und Ströme, welche ja auch das äußere Feld verursachen, zurückwirkt. Die Schrödingergleichung berücksichtigt nicht die Wechselwirkung des Eigendrehimpulses (Spin) des Teilchens mit dem äußeren Magnetfeld. Beispielsweise ist für ein Elektron bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfeldes die (wesentlich kompliziertere) Pauli-Gleichung zu benutzen, falls die Wechselwirkung zwischen Spin und Magnetfeld nicht vernachlässigbar ist.

Lagrangedichte der Schrödingergleichung

Die Lagrangedichte der Schrödingergleichung lautet :

\mathcal(\psi,\vec\psi, \dot) = i\hbar\, \psi^\dot - \frac \vec\psi^\cdot\vec\psi - V(\vec)\,\psi^\psi

Anwendungen

Die Schrödingergleichung läßt sich für einige einfache Potenziale exakt lösen, z.B.:
- das Teilchen im Kasten
- das Teilchen im kugelsymmetrischen Potenzial (Wasserstoffatom)
- die Potenzialbarriere (ergibt Tunneleffekt)
- das harmonische Potenzial
- das Wasserstoffatom (Coulombpotenzial) Schon beim H₂⁺-Ion ist eine exakte Lösung nicht mehr möglich. Daher muss für mehr als zwei Teilchen, zum Beispiel bei Mehrelektronensystemen, die Schrödingergleichung vereinfacht oder approximativ gelöst werden. Eine mögliche Vereinfachung ist die Born-Oppenheimer-Approximation, aber auch die Störungstheorie kann gute Näherungen liefern. Ist trotz der Vereinfachung eine analytische Lösung immer noch unmöglich, wie z.B. bei den meisten Atomen und allen Molekülen, so müssen iterative Näherungsverfahren verwendet werden. Im Bereich der Theoretischen Chemie wird hierfür oft die Hartree-Fock-Methode verwendet.

Eine Analogie der eindimensionalen Schrödingergleichung zur Wellengleichung

Erwin Schrödinger nahm 1926, gestützt auf die Untersuchungen de Broglies an, dass alle Quantenobjekte „Wellennatur“ haben. Mathematisch müsste man sie demnach durch eine Wellenfunktion

\Psi(\vec x,t)

(Psi-Funktion) eindeutig beschreiben können. Insbesondere sollte ein freies Teilchen (also

V(x)=0

nach de Broglie durch eine ebene Welle mit Kreisfrequenz

\omega = E/\hbar

und Wellenzahl

\vec k = \vec p/\hbar

beschrieben werden. Eine solche Welle hat die Gestalt :

\Psi(x,t) = \mathrm^

. Nun gilt für die oben angegebene Welle :

\vec\nabla\Psi(\vec x, t) = \mathrm\vec k\Psi(\vec x, t)

\frac\Psi = -\mathrm\omega\Psi(\vec x, t)

Zusammen mit den de Broglie-Formeln für Energie und Impuls ergeben sich also die Operatorgleichungen :

-\mathrm\hbar\vec\nabla\Psi(\vec x, t) = \vec p\Psi(\vec x, t)

\mathrm\hbar\frac\Psi(\vec x, t) = E \Psi(x,t)

Außerdem muss die Newtonsche Energieimpuls-Beziehung für freie Teilchen gelten: :

E = \frac

Multipliziert man beide Seiten mit

\psi(\vec x, t)

, dann können die beiden Operatorgleichungen für Energie und Impuls verwendet werden, und man erhält: :

\mathrm\hbar\frac\Psi(\vec x, t) = -\frac\Psi(\vec x, t)

Das ist die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen. Nimmt man an, dass die Operatorgleichungen auch für Teilchen im Potential gelten, so erhält man aus der vollen Newtonschen Energieimpuls-Beziehung: :

E = \frac + V(x)

auf dieselbe Weise die volle Schrödingergleichung. Ist ein System zeitlich nicht veränderlich (Elektron im Kasten, Wasserstoffatom ...), so kann man die Gleichung stark vereinfachen. Dies gelingt mittels des sog. Separationsansatzes (Separation der Zeit): :

\Psi(\vec x,t)=\psi(\vec x) \cdot \phi(t)

Setzt man diese Funktion in die Schrödingergleichung ein, dann wirkt die Zeitableitung nur auf

\phi

und der zeitunabhängige Hamiltonoperator nur auf

\psi

. Teilt man die Schrödingergleichung auf beiden Seiten durch die Wellenfunktion, erhält man daher :

\frac = \frac

Da die linke Seite nicht von

\vec x

sondern nur von

t

abhängt, die rechte Seite aber nur von

\vec x

und nicht von

t

, müssen beide Seiten konstant sein, damit die Gleichung erfüllt werden kann. Diese Konstante ist die Energie E der Wellenfunktion. Somit erhält man die beiden Gleichungen :

\mathrm\hbar\frac\phi(t) = E\phi(t)

\hat H\psi(\vec x) = E\psi(\vec x)

Die erste Gleichung hat die bis auf eine Normierungskonstante eindeutige Lösung :

\phi(t) = \mathrm^

Die zweite Gleichung ist die zeitunabhängige oder stationäre Schrödingergleichung. Sie ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung und kann auf viele quantenmechanische Probleme angewendet werden.

Hamiltonoperator für Moleküle

Der Hamiltonoperator

H

für ein System (Molekül) aus N Elektronen und M Atomkernen mit Kernladungszahlen

Z_\mu

setzt sich aus fünf Termen zusammen:
- der kinetischen Energie der Elektronen

T_e

- der kinetischen Energie der Atomkerne

T_k

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen

V_

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Atomkernen

V_

- der potentiellen Energie der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen und Atomkernen

V_

Es ist üblich, den Hamiltonoperator nicht in SI-Einheiten, sondern in sogenannten atomaren Einheiten zu schreiben, da dies die folgenden Vorteile birgt:
- Da Naturkonstanten nicht mehr explizit auftauchen, sind die Ergebnisse in atomaren Einheiten einfacher hinzuschreiben und unabhängig von der Genauigkeit der involvierten Naturkonstanten. Die in atomaren Einheiten berechneten Größen lassen sich dennoch einfach in SI-Einheiten zurückrechnen.
- Numerische Lösungsverfahren der Schrödingergleichung verhalten sich angenehmer, da die zu verarbeitenden Zahlen wesentlich näher bei der Zahl 1 liegen, als dies in SI-Einheiten der Fall ist. Der Hamiltonoperator ergibt sich zu :

H = T_e + T_k + V_ + V_ + V_

mit
-

T_e = - \frac \sum_^N \Delta_i

,
-

T_k = - \frac \sum_^N \frac\Delta_\mu

,
-

V_ = \sum_^\sum_^N \frac

,
-

V_ = \sum_^\sum_^M \frac

,
-

V_ = - \sum_^N \sum_^M \frac

. Hierbei ist

\Delta

der Laplace-Operator,

i

und

j

die Indizes über die Elektronen,

\mu

bzw.

\nu

die Indizes über die Atomkerne,

r_

der Abstand zwischen dem i-ten und dem j-ten Elektron,

R_

der Abstand zwischen dem

\mu

-ten und dem

\nu

-ten Atomkern und

R_

der Abstand zwischen dem

i

-ten Elektron und dem

\mu

-ten Atomkern,

Z_

die Kernladungszahl des

\mu

-ten Atomkerns. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung ergibt sich dann zu

H \Psi = E \Psi

, wobei allerdings in der Praxis die Gesamtschrödingergleichung mit Hilfe der Born-Oppenheimer-Näherungen in eine elektronische Schrödingergleichung (mit festen Kernkoordinaten) und eine Kernschrödingergleichung aufgeteilt wird. Die Lösung der Kernschrödingergleichung setzt dabei die Lösung der elektronischen Schrödingergleichung für alle (relevanten) Kerngeometrien voraus, da die elektronische Energie als Funktion der Kerngeometrie dort eingeht. Die elektronische Schrödingergleichung ergibt sich formal durch setzen von

T_k = 0

. Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Partielle Differentialgleichungen ja:シュレーディンガー方程式 ko:슈뢰딩거 방정식

Dirac-Gleichung

Die Dirac-Theorie ist ein Teil der Quantenmechanik, der auch die spezielle Relativitätstheorie mit einbezieht. Sie wurde 1928 von Paul A. M. Dirac ausgehend von der Klein-Gordon-Gleichung entwickelt. Die Dirac-Theorie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten von Teilchen mit halbzahligem Spin, den Fermionen, die Klein-Gordon-Gleichung dagegen das von Teilchen mit ganzzahligem Spin, den Bosonen. Die wichtigsten Erfolge der Dirac-Theorie sind:
- Die Vorhersage der Existenz von Antimaterie insbesondere die des Positrons, die Dirac aus der Existenz von Zuständen mit negativer Energie ableitete. Sie gilt als ein Paradebeispiel für die Möglichkeit eines Erkenntnisvorsprungs der theoretischen Physik vor der experimentellen. Der erste experimentelle Nachweis des Positrons gelang 1932.
- Die korrekte Vorhersage für den Wert des Spindrehimpulses des Elektrons. Während der Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik nur ganzzahlige Vielfache des planckschen Wirkungsquantums

\hbar

annehmen kann, beträgt er für den intrinsischen Drehimpuls des Elektrons

\hbar/2

. Damit in Zusammenhang steht auch
- die Vorhersage für den Wert des Landé-Faktors des Elektrons.

Freie Dirac-Gleichung

Grundlage der Dirac-Theorie ist die Dirac-Gleichung. Dabei handelt es sich um eine Differentialgleichung für einen Spinor

\psi

, der im Allgemeinen als vierkomponentige Wellenfunktion geschrieben wird. Die Anzahl der Komponenten wird durch die zwei möglichen Zustände des Spins und die zwei möglichen Vorzeichen der Energieeigenwerte erklärt.

Schrödingerform

Die Dirac-Gleichung für ein kräftefreies Teilchen der Masse m lautet in der Schrödingerform

i\hbar \frac
     = \left(c \vec\alpha\vec p + \beta m c^2 \right)\psi

. Dabei ist

\vec\alpha=\left(\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z\right)

mit ein Vektor aus

4\times4

-Matritzen und

\vec p=
\left(,,\right)

der Impulsoperator. Durch Quadrieren der Gleichung ergibt sich die relativistische Energie-Impus-Beziehung

E ^2 = p ^2 c ^2 + m ^2 c ^4

, wobei der Zeitentwicklungsoperator auf der linken Seite der Energie entspricht. Dazu müssen die Dirac-Matritzen

\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z

und

\beta

paarweise antikommutieren. Dies wird üblicherweise durch die fogende Realisierung erreicht:

\beta = \begin 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end

\alpha_x = \begin 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end

\alpha_y = \begin 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end

\alpha_z = \begin 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben:

\vec\alpha =  \begin 
  0               & \vec\sigma \\
 \vec\sigma   & 0 
  \end ;\;

\beta = \begin 
1_  & 0 \\
0  & -1_
  \end

Den Hamiltomoperator der freien Dirac-Gleichung

D_0=c \vec\alpha\vec p + \bet