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Gewöhnliche Differentialgleichung

Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit ODE für engl. ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, die nur Ableitungen nach einer reellen Variablen enthält. Ihre Lösung ist somit eine Funktion, die von einer Variablen abhängt.

Motivation

Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird. Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung, welche von Galileo Galilei noch mit geometrischen Methoden bearbeitet werden konnten. Als Isaac Newton jedoch auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, den Differentialkalkül und die heute geläufige Form einer Differentialgleichung einzuführen. Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome: :

\fracN(t) = c\; N(t).

Durch Berechnen der Funktion

N(t)\!

aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden. Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der Differentialgleichung :

m\;a = m\; \fracx(t) = -k \; x(t).

Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion

x(t)\!

, deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.

Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben. Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln: Sei :

y^(t)=f(t,\,y(t),\,y'(t),\,y

(t),\dots,\,y^(t)) eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt: : $u_k(t)=y^(t) \quad k \in$ Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung: : $u'_0(t)=u_1(t)\!$ : $u'_1(t)=u$ _0(t)=u_2(t)\! :

\dots

u'_=u

_= \dots = u^_0=y^=f(t,y,u_0,u_1,\dots\,u_). Umgekehrt kann man auch aus manchen (aber nicht allen) Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.
Lineare Differentialgleichungen
Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen lassen sich oft mit Standardmethoden lösen. Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung für die Funktion y(t) ist : $\sum_^n c_i(t) y^(t) = s(t)$ . Hierbei sind $c_i(t)\!$ und $s(t)\!$ bekannte Funktionen, $y(t)\!$ wird gesucht, $y^(t)\!$ ist die i-te Ableitung von y nach t. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von t unabhängigen) Koeffizienten $c_i(t)\!$ und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit $s = 0\!$ ) und inhomogene (mit $s \not= 0\!$ ) Problemstellungen.
Das Lösen von Differentialgleichungen
Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar, es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im Allgemeinen n freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von n Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n-1 Variablen, die selbst Funktionen der n Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt). Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben. Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden. Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.
Lineare Differentialgleichungen
Für Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip: Eine Linearkombination mehrerer Lösungen ist wieder eine Lösung. n unabhängige Lösungen einer Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Es gibt verschiedene (unendlich viele) Fundamentalsysteme für eine gegebene Gleichung, die Anzahl der Funktionen des Fundamentalsystems ist aber immer gleich. Bei inhomogenen Differentialgleichungen löst man meist zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist dann $y(t) = y_h(t) + y_p(t)\!$ wobei $y_h(t)\!$ die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und $y_p(t)\!$ eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung ist: Addiert man zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung eine Lösung der homogenen Gleichung dazu, ist das Ergebnis wieder eine Lösung der inhomogenen Gleichung.
Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Hier führt der Ansatz $y(t) = e^$ mit zunächst unbekanntem $\lambda$ zum Ziel. Dadurch erhält man ein Polynom, dessen Grad gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist: : $\sum_^n c_i \cdot \lambda^i = 0$ Dieses Polynom hat im Allgemeinen n komplexe Lösungen, daraus erhält man n Funktionen der Form $e^$ , die ein Fundamentalsystem bilden. Bei Mehrfachlösungen sind auch die zusätzlichen Funktionen $t^k \cdot e^$ mit natürlichen Zahlen k zwischen (ausschließlich) 0 und der Vielfachheit der Lösung des Polynoms Lösungen der Differentialgleichung. Sind alle Koeffizienten $c_i$ reell, so erhält man ein rein reelles Fundamentalsystem, indem man bei den Funktionenpaaren mit nichtreellen, komplex-konjugierten $\lambda$ -Werten $e^$ einmal durch $e^ \cdot \cos(\operatorname(\lambda_j) \cdot t)$ und einmal durch $e^ \cdot \sin(\operatorname(\lambda_j) \cdot t)$ ersetzt.
Spezielle Lösungsmethoden
Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind, durch direkte Integration lösen. Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.
Trennung der Veränderlichen (Separationsmethode)
Hat man eine DGL in der Form $\dot y(x) = g( y(x) ) f( x )$ kann man sie lösen. Da man im Gegensatz zum allgemeineren Fall $\dot y(x) = h( y(x), x )$ die Funktion $h$ in je zwei nur noch von einer Variablen abhängige Funktionen getrennt hat, spricht man von einer Trennung der Variablen. Um sie zu Lösen teilt man durch $g(y)$ und integriert beide Seiten über $x$ : $\int \frac \, dx = \int f(x) \, dx + konst$ . Auf der linken Seite hat man nun aber gerade die Ableitung von $\int \frac \, dy$ stehen: $\frac (\int \frac \, dy) = \frac (\int \frac \, dy) - \frac = \frac - \dot y = \frac$ . Es bleibt: $\int \frac \, dy = \int f(x) \, dx + konst$ . Man hat nun noch die beiden Integrale zu lösen und bei Möglichkeit danach die Gleichung nach y aufzulösen. Die Integrationskonstante kann man mit einer Anfangsbedingung beseitigen.
Beispiel
gesucht ist y mit $\dot y(t) = 2t y(t) - t$ und y(0) = 5,5
- Trennen der Veränderlichen $\dot y(t) = 2t y(t) - t = t (2y(t) - 1) \Rightarrow \frac = t$
- Integrieren $\int \frac dy = \int t \ dt$ $\Rightarrow \frac \ln(2y-1) + c_1 = \frac t^2 + c_2$
- Auflösen nach y: (mit jeweils neuen konstanten) $\ln(2y-1) = t^2 + c_3$ $2y-1 = e^ = e^ \cdot c_4$ mit $c_4 > 0$ $y = \frac \cdot (e^ \cdot c_4 + 1) = e^ \cdot c_5 + \frac$ mit $c_5 > 0$
- Anfangsbedingung: $5,5 = e^ \cdot c_5 + \frac \Rightarrow c_5 = 5$
- Lösung: $y = e^ \cdot 5 + \frac$
Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGL Systeme zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.
Spezielle Differentialgleichungen
: d'Alembert-Differentialgleichung : Bernoulli-Gleichung : Clairaut-Gleichung : Exponentialfunktion $y'=\alpha y \Rightarrow y=ce^$ : Eulersche Differentialgleichung : Riccati-Gleichung
Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen
Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung immer auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen, geht man bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im Normalfall von einem System erster Ordnung aus: : $\dot(t)=f(t,x(t))$ mit $x:\R^n \to \R^n$ und $f:\R^ \to \R^n$ . Es gibt zwei wichtige Klassen von numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, die Einschrittverfahren (insbesondere die Runge-Kutta-Verfahren) und die linearen Mehrschrittverfahren. Eine Verallgemeinerung von beiden Klassen stellen die allgemeinen linearen Verfahren (General linear Methods (GLM)) dar.
Siehe auch
#partielle Differentialgleichung #Anfangswertproblem #Randwertproblem
Literatur

- M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
- B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
- Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422 Kategorie:Differentialgleichungen Kategorie:Theoretische Physik ja:常微分方程式

Differentialgleichung
Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die Ableitungen einer Funktion enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:
- in der Physik verschiedenste Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
- in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
- in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
- in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen.
Lösungsmethodik von Differentialgleichungen
Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren, bei der Lösung auch von Integral), muss eine Funktion $y$ gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiele unten) und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab - z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert. Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung : $y$ + y = 0 \, \! dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung : $y = A \cos + B \sin \, \!$ , worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen. Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet. Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen. Nicht jede Differentialgleichung hat eine analytische Lösung, gerade unter den nichtlinearen Differentialgleichungen findet man viele, die nicht integrabel sind. Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind # gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ordinary differential equations, ODEs): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf # partielle Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf. # Seltener kommen die differentiell-algebraischen Gleichungen (engl. differential algebraic equations, DAEs) vor, bei denen zusätzlich zur Differentialgleichung noch rein algebraische Nebenbedingungen eingebracht werden. Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen benutzt. Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.
Beispiele von Differentialgleichungen
Beispiele von gewöhnlichen Differentialgleichungen Beispiele von partiellen Differentialgleichungen
Siehe auch

- Integralgleichung, dynamisches System, Chaostheorie, Harmonische Schwingung, Stochastische Differentialgleichung
- Anfangswertproblem, Randwertproblem
Literatur

- L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2, Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden, 2001, ISBN 3-528-94237-1
Weblinks

- [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 MathePlanet: Differentialgleichungen Anleitungen zum Lösen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen]
- [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/ Mathematik-Online Kurs zum Thema Differentialgleichung der Uni Stuttgart] Kategorie:Theoretische Physik ja:微分方程式 ko:미분방정식 th:สมการเชิงอนุพันธ์

Isaac Newton
, 1702)]] Sir Isaac Newton [] (
- 4. Januar 1643 in Woolsthorpe-by-Colsterworth in Lincolnshire, † 31. März 1727 in London nach dem Gregorianischen Kalender; jedoch
- 25. Dezember 1642, † 20. März 1727 nach dem damals in England noch geltenden Julianischen Kalender) war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist und Philosoph. Außerdem beschäftigte er sich lange auf den Gebieten der Alchemie und Theologie. In der Sprache seiner Zeit, die zwischen Physik und Philosophie noch nicht scharf trennte, war Newton Philosoph.
Sir Isaac Newton ist der Verfasser der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (veröffentlicht am 5. Juli 1687), in der er die universelle Gravitation und die Bewegungsgesetze beschrieb und damit den Grundstein für die klassische Mechanik legte. Newton ist ebenso einer der Begründer der Differenzialrechnung (einem Teilgebiet der Infinitesimalrechnung), die er fast zeitgleich mit Gottfried Wilhelm Leibniz, aber unabhängig von diesem und ohne Zusammenarbeit mit Leibniz entwickelte. Während Newton vom physikalischen Prinzip der Momentangeschwindigkeit ausging, versuchte Leibniz eine mathematische Beschreibung des geometrischen Tangentenproblems zu finden.
Aufgrund seiner Leistungen, vor allem auf den Gebieten der Physik und Mathematik, gilt Sir Isaac Newton als einer der größten Wissenschaftler aller Zeiten. Auch die Principia Mathematica wird als eines der wichtigsten wissenschaftlichen Werke eingestuft.

Leben und Werk

Tangentenproblems Newtons Vater, ein Landwirt, starb vor der Geburt Newtons. 1646 heiratete seine Mutter zum zweiten Mal und Isaac kam zu seiner Großmutter. Bald darauf starb auch sein Stiefvater, so dass Isaac nach Woolsthorpe zurückkehrte. Er besuchte die Grundschule in Grantham und mit 18 Jahren das Trinity College in Cambridge, das kurz nach dem Abschluss seines Studiums 1665 wegen einer Pestepidemie geschlossen werden musste. Also kehrte er abermals zurück in sein Elternhaus. 1666 stellte er seine Gravitationstheorie auf. Er schliff Linsen und baute ein später nach ihm benanntes Spiegelteleskop, das er dem König vorführte. Der König war beeindruckt und erkannte Newton an. Das war der erste Schritt zu seinem Ruhm. In einem Brief an die Royal Society erwähnte Newton im Zusammenhang mit dem Bau des neuartigen Teleskops gegenüber dem damaligen Sekretär Henry Oldenburg eine neue Theorie des Lichtes. 1672 veröffentlichte er seine Niederschrift "New Theory about Light and Colours" in den Philosphical Transactions der Royal Society auf Anfrage Oldenburgs, worin er unter anderem die Brechung des Lichts erläuterte. Diese Niederschrift rief große Diskussionen hervor. Besonders zwischen ihm und Robert Hooke herrschte ein angespanntes Verhältnis, da beide angesehene Wissenschaftler waren, doch grundverschiedene Meinungen hatten und jeder auf sein Recht pochte. In den "New Theory about Light and Colours" vertrat Newton die Korpuskeltheorie des Lichts, bei der er von einem Teilchenmodell ausging. Im Gegensatz zu René Descartes ging Newton jedoch davon aus, dass die Farben ursprüngliche Eigenschaften des Lichtes sind. Außerdem führte dies zu einem wiederum erbittert ausgetragenen Disput mit Christiaan Huygens und dessen Wellentheorie des Lichtes, welchen er 1715 durch Desaguliers vor der Royal Society für sich entscheiden ließ. Im Jahre 1800 (also lange nach beider Tod) führte Thomas Young jedoch weitere Experimente zu Gunsten der Wellentheorie durch. Heute sind beide Theorien in der Quantenmechanik mathematisch vereint.
Von 1675 bis 1682 befand sich Newton in einer Phase der Inaktivität und der Selbstzweifel. Danach stellte er das Gravitationsgesetz auf. Er schrieb eine weitere Niederschrift über seine physikalischen Entdeckungen, in der er auch das Problem löste, warum die Planeten elliptische Bahnen ziehen. 1687 schrieb er sein Hauptwerk, die "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie). In diesem Werk vereinte er die Forschungen Galileo Galileis zur Beschleunigung und Johannes Keplers zu den Planetenbewegungen zu einer einheitlichen Theorie der Gravitation und legte die Grundsteine der klassischen Mechanik, indem er die drei Grundgesetze der Bewegung formulierte. Wieder folgte ein Streit mit Hooke über das Gravitationsgesetz. Grundgesetze der Bewegung Zwei Jahre später starb seine Mutter und Newton fing an, einen theologischen Briefwechsel mit dem englischen Philosophen John Locke zu führen. 1696 oder 1699 wurde er zum Direktor der Königlichen Münze in London ernannt. Sein hartes Vorgehen gegen Falschmünzer war berüchtigt. Drei Jahre später (1699) wurde er an der Pariser Akademie zu einem von acht auswärtigen Mitgliedern berufen. Im Jahr 1700 erfand er mit der Newton-Skala eine eigene Temperaturskala. 1703 folgte der Titel "Präsident der Royal Society", den er bis zum Ende seines Lebens innehatte. Ein Jahr danach starb sein Erzfeind Hooke und er konnte endlich seine "Opticks or a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light" (Optik oder eine Abhandlung über die Reflexion, Brechung, Krümmung und die Farben des Lichtes) veröffentlichen. Am 16. April 1705 wurde er von Königin Anne wegen seiner Verdienste um die Wissenschaft zum Ritter geschlagen. Im selben Jahr begannen auch die Prioritätsschwierigkeiten mit Gottfried Wilhelm Leibniz über die Erfindung der Infinitesimalrechnung. In Newtons 1712 erschienenem Buch "Historia coelestis Britannica" verwendete dieser unautorisiert die von John Flamsteed stammenden sogenannten Flamsteed-Bezeichnungen, was ebenfalls einen Streit um das Urheberrecht nach sich zog. Er bezog dann ein herrschaftliches Haus, das ein kleines Observatorium beherbergte und studierte alte Geschichte, Theologie und Mystik. Ab 1707 wurde Newtons Haus von seiner Halbnichte Catherine Barton geführt. Nach seinem Tod im Jahr 1727 wurde er unter großen Feierlichkeiten in der Westminster Abbey beigesetzt. Sein Bild prangte von 1978 bis 1984 auf der englischen 1-Pfund-Note. Newton galt als recht zerstreut und bescheiden, reagierte jedoch häufig sehr scharf auf Kritik. Er lebte fast durchgängig in häuslicher Gemeinschaft mit anderen Männern. Es wird auch die Geschichte erzählt, dass Newton, der grübelnd unter einem Apfelbaum saß, ein Apfel auf den Kopf fiel, was ihn auf die Idee brachte, die Himmelsmechanik beruhe auf derselben Gravitation wie der Fall von Äpfeln auf die Erde. Dies geht jedoch nicht auf Newton selbst zurück, sondern auf Voltaire. Ob es sich wirklich so zugetragen hat, ist fraglich.

Forschung in Naturwissenschaft und Philosophie

Physik und Mathematik

Voltaire Newtons Forschungen auf dem Gebiet der Lichtbrechung (Optik) zeigten, dass ein Prisma weißes Licht in ein Farbenspektrum aufspalten kann. Aus seiner Arbeit schloss er, dass jedes Linsenteleskop unter der Dispersion des Lichtes leiden würde und schlug ein Spiegelteleskop vor, um die Probleme zu umgehen. Später wurden achromatische Linsenkombinationen aus Gläsern verschiedener Brechungseigenschaften entwickelt. Er leitete in der "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" das Gesetz der Gravitation ab und bewies dessen Bedeutung für die Keplerschen Gesetze, wodurch er in der Lage war die Planetenbewegungen nicht nur wie Johannes Kepler zu beschreiben, sondern erstmals auch zu begründen. Auch die Grundsteine der klassischen Mechanik, die drei Grundgesetze der Bewegung und die Konzepte von absoluter Zeit, absolutem Raum, der Fernwirkung und so auch indirekt das Konzept des Determinismus wurden von ihm gelegt. Zusammen waren dies die wesentlichen Grundprinzipien der Physik und als solche bildeten sie für über 200 Jahre die Basis des naturwissenschaftlichen Weltbildes vieler Generationen, bis hin zur Relativitätstheorie Albert Einsteins. Zusätzlich zu seinen fundamentalen Leistungen zur Physik ist er neben Gottfried Wilhelm Leibniz auch einer der Begründer der Infinitesimalrechnung und hat auch wichtige Beiträge zur Algebra erbracht. Nach Newton sind das newtonsche Näherungsverfahren und die SI-Einheit der Kraft (Newton), die newtonsche Axiome sowie die Newton-Cotes-Formeln benannt, außerdem der am 30. März 1908 von J. H. Metcalf in Taunton entdeckte Asteroid (662) Newtonia. Von Newton stammt auch die erste Skizze eines Gerätes zur Winkelmessung mit Hilfe von Spiegeln und somit die Grundidee für die ein halbes Jahrhundert später erfundenen Sextanten

Der Newtonsche Zeitbegriff

Newtonaller Dinge. Des Weiteren sei sie eine feststehende Größe, die für jeden und überall gleich sei und sich nie ändere.
Außerdem sei die Zeit so feststehend, dass sie von Anbeginn an geplant gewesen sein müsse, also auf einen Schöpfer hinweise. Die Zukunft, die Gegenwart und die Vergangenheit stünden also schon im vornherein fest, was im deterministischen Weltbild Newtons mündete. Dieses ist jedoch auch nicht konfliktfrei mit dem christlichen Konzept des freien Willens und zudem ein Teilaspekt des Theodizeeproblems.
Newtons Zeitverständis dominierte über 200 Jahre lang die Wissenschaft bis zu Albert Einsteins Relativitätstheorie und der Heisenbergschen Unschärferelation.

Weitere Arbeiten

Weniger bekannt als seine wissenschaftlichen Errungenschaften aus heutiger Sicht sind Newtons Arbeiten in der christlichen Theologie und in der Alchemie, einem der Vorgänger des modernen Naturwissenschaftsverständnisses. In der Theologie vertrat Newton eine antitrinitarische Ansicht. Neben seinen physikalischen Arbeiten verbrachte er auch viel Zeit mit der Suche nach dem Stein der Weisen.

Literatur

- Neal Stephenson: Quicksilver Goldmann, 2004, ISBN 3-442-54568-4 (Historischer Roman)

Weblinks

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- [http://www.newtonproject.ic.ac.uk/ Newton-Projekt am Imperial College London (englisch)]
- [http://www.indiana.edu/~college/WilliamNewmanProject.shtml Projekt der Indiana University Newtons alchemistische Notizen zu dechiffrieren (englisch)]
- [http://www.isaac-newton-oberschule.de Isaac-Newton-Oberschule] Primärtexte:
- [http://burndy.mit.edu/Collections/Babson/ Babson Collection MIT (Originale Bücher und Manuskripte als pdf-Datei)] Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac Newton, Isaac ja:アイザック・ニュートン ko:아이작 뉴턴 ms:Isaac Newton simple:Isaac Newton th:ไอแซก นิวตัน

Physik

Die Physik (griechisch φυσική, physike „die Natürliche“) ist die Naturwissenschaft, welche die grundlegenden Gesetze der Natur, ihre elementaren Bausteine und deren Wechselwirkungen untersucht. Sie befasst sich sowohl mit den Eigenschaften und dem Verhalten von Materie und Feldern in Raum und Zeit als auch mit der Struktur von Raum und Zeit selbst. Die Physik beschreibt die Natur quantitativ mittels naturwissenschaftlicher Modelle, sogenannter Theorien, und ermöglicht damit insbesondere Vorhersagen über das Verhalten der betrachteten Systeme. Dazu verwendet die Physik die Sprache der Mathematik. Im Zusammenhang mit der Physik wurde auch erstmals die Frage nach der Ethik naturwissenschaftlicher Forschung aufgeworfen, ein Thema, das auch in der Literatur, etwa in dem Theaterstück Die Physiker von Friedrich Dürrenmatt, aufgegriffen worden ist.

Das Theoriengebäude der modernen Physik

Das Theoriengebäude der Physik ruht auf zwei Säulen, der Relativitätstheorie und der Quantenphysik. Beide Theorien enthalten ihren Vorgänger, die Newtonsche Physik, über das so genannte Korrespondenzprinzip als Grenzfall und haben daher einen größeren Gültigkeitsbereich als diese.

Die Relativitätstheorie

Die Relativitätstheorie führt ein völlig neues Verständnis der Phänomene Raum und Zeit ein. Danach handelt es sich nicht um universell gültige Ordnungsstrukturen, sondern räumliche und zeitliche Abstände werden von verschiedenen Beobachtern unterschiedlich beurteilt. Raum und Zeit verschmelzen dabei zu einer vierdimensionalen Raumzeit. Die Gravitation wird auf eine Krümmung dieser Raumzeit zurückgeführt, die durch die Anwesenheit von Masse bzw. Energie hervorgerufen wird. In der Relativitätstheorie wird auch erstmals die Kosmologie zu einem naturwissenschaftlichen Thema. Die Formulierung der Relativitätstheorie gilt als der Beginn der modernen Physik, auch wenn sie häufig als Vollendung der klassischen Physik bezeichnet wird.

Die Quantenphysik

Die Quantenphysik beschreibt die Naturgesetze im atomaren und subatomaren Bereich und bricht noch radikaler mit klassischen Vorstellungen als die Relativitätstheorie. Viele physikalische Größen erweisen sich in bestimmten Situationen als quantisiert, das heißt sie nehmen stets nur bestimmte diskrete Werte an und ändern sich in Form von Quantensprüngen. Materie erweist sich als Phänomen, das nur in Portionen, den sogenannten Elementarteilchen oder Quanten, in Erscheinung tritt. Ihr Aufenthaltsort lässt sich nicht mehr durch eine Bahn im Raum beschreiben sondern durch Wellen, über die eine Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden kann, das Teilchen bei einer Messung in einem bestimmten Raumgebiet zu finden. Man spricht von einem Welle-Teilchen-Dualismus. Der Aufenthaltsort eines Teilchens zwischen zwei solcher Messungen ist nicht nur unbekannt, sondern sogar nicht definiert. Die meisten Physiker folgern daraus, dass letztlich die Vorstellung von der Existenz einer vom Beobachter unabhängigen Realität aufgegeben werden muss. Hinsichtlich der Eigenschaften dieser Teilchen spielen Symmetrieeigenschaften eine zentrale Rolle. Die Gesetze der Quantenphysik entziehen sich weitgehend der menschlichen Anschauung, und über ihre Interpretation herrscht auch heute noch kein Konsens (Deutungen der Quantenphysik). Dennoch zählt sie hinsichtlich ihres empirischen Erfolges zu dem am besten gesicherten Wissen der Menschheit überhaupt.

Die vier Grundkräfte

Die moderne Physik kennt die folgenden vier Grundkräfte:
- Die Gravitation oder Schwerkraft,
- die elektromagnetische Wechselwirkung,
- die schwache Wechselwirkung, die beispielsweise für bestimmte radioaktive Zerfallsprozesse verantwortlich ist und
- die starke Wechselwirkung, die die Atomkerne zusammenhält. Eines der Ziele der Physik ist es, alle Grundkräfte in einem vereinheitlichten Gesamtkonzept zu beschreiben. Bisher ist es jedoch lediglich gelungen, die elektromagnetische Wechselwirkung als Vereinigung der elektrischen und der magnetischen Wechselwirkung darzustellen und ebenso die elektromagnetische Wechselwirkung und die schwache Wechselwirkung zu einer sogenannten elektroschwachen Wechselwirkung zu vereinigen. Zur Vereinigung der elektroschwachen- und starken Wechselwirkung wurde die Theorie der Supersymmetrie erdacht, deren Gültigkeit allerdings umstritten ist. Die größten Schwierigkeiten treten im Bereich der Gravitationskraft auf, da über sie - auch wenn schon lange bekannt - doch nur wenig gesichertes Wissen vorliegt. Maßgebliches Problem hierbei ist ihr kaum messbarer Einfluss auf alle Systeme, im Labormaßstab. Zu diesen fundamentalen Wechselwirkungen kommt noch ein fundamentales Prinzip der Quantenphysik, das Pauli-Prinzip. Aus diesem Prinzip leitet sich mittelbar eine weitere Wechselwirkung ab, die Austauschwechselwirkung.

Derzeitige Grenzen der physikalischen Erkenntnis

Das Ziel der heutigen Physik ist es, sämtliche Vorgänge der Natur durch eine möglichst geringe Anzahl von möglichst einfachen Naturgesetzen zu beschreiben und auf die Wechselwirkung weniger Elementarteilchen zurückzuführen. Inwieweit dieses Ziel prinzipiell oder praktisch erreichbar ist, ist völlig offen. Immerhin ist der Gültigkeitsbereich der bekannten physikalischen Gesetze äußerst weitreichend. Ungeklärte Phänomene der Physik lassen sich zwei grundsätzlich verschiedenen Gruppen zuordnen:
- Phänomene, deren zugrundeliegende Gesetze noch unbekannt sind. Dazu zählen insbesondere Phänomene der Teilchenphysik und solche, zu deren Beschreibung die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenphysik zugleich erforderlich sind, wie beispielsweise der Urknall. Der Grund hierfür ist, dass es bisher nicht gelungen ist, eine in sich geschlossene Quantenfeldtheorie zu formulieren, welche die Quantenphysik und die Relativitätstheorie vollständig vereinigt.
- Phänomene, die zwar bekannten Gesetzen gehorchen, deren Beschreibung jedoch an der mathematischen Komplexität scheitert. Für solche Situationen versucht man berechenbare Näherungsmodelle zu entwickeln, deren Qualität und Gültigkeitsbereich sich oft nur experimentell ermitteln lassen. Eins der bedeutendsten ungelösten Probleme in diesem Zusammenhang ist das des menschlichen Bewusstseins. Insbesondere die Frage, zu welcher der beiden Problemgruppen es zu zählen ist, wird kontrovers diskutiert. Die Physik ist prinzipiell nicht in der Lage, Aussagen über das Wesen der Dinge an sich zu treffen. Sie beschränkt sich darauf, die Gesetzmäßigkeiten zu ergründen, denen die Dinge unterworfen sind. Warum die Natur überhaupt gewissen Gesetzen gehorcht, ist letztlich unbekannt. Eine partielle Antwort gibt lediglich das anthropische Prinzip, indem es feststellt, dass es in einem Kosmos ohne Naturgesetze niemanden geben würde, der sich über deren Abwesenheit wundern könnte.

Themenbereiche der Physik

Im Folgenden werden die verschiedene Themenbereiche der Physik mit Kurzkommentar dargestellt und zwar nach übergeordnetem, theoretischen Rahmen eingeordnet und gleichzeitig weitgehend chronologisch sortiert. Viele der aufgeführten Themen lassen sich nicht eindeutig einer Theorie zuordnen. So sind beispielsweise viele Phänomene der Thermodynamik nur auf Basis der Quanten- und Relativitätstheorie erklärbar. In diesen Fällen ist das Thema unter der ältesten Theorie eingeordnet und bestehende maßgebliche Bezüge zu jüngeren Theorien sind mit (RT) für die Relativitäts- und (QT) für die Quantentheorie angedeutet. Die Liste enthält sowohl phänomenorientierte Sachgebiete als auch Querschnittstheorien (QST) mit gebietsübergreifendem Anwendungsbereich. Siehe auch das Physik-Portal mit unkommentierten, aber nach verschieden Kriterien sortierten Themenlisten sowie die alphabetische Liste physikalischer Themen.

Die newtonsche Physik einschließlich der Elektrodynamik

... ist der Bereich der Physik, der bis zur Entdeckung der Relativitätstheorie bekannt war.
- Die klassische Mechanik von Isaac Newton war die erste geschlossene physikalische Theorie überhaupt. Sie beschreibt die Bewegung von Körpern unter der Einwirkung von Kräften, einschließlich solcher Kräfte, die zwischen den Körpern wirken (Wechselwirkungskräfte).
- Die Akustik behandelt die Eigenschaften von Schallwellen.
- Die Optik behandelt die Eigenschaften des Lichtes und dessen Beeinflussung durch Materie.
- Die Wellenlehre als theoretische Disziplin bildet die mathematische Grundlage für Beschreibungen von Schwingungsvorgängen in Akustik, Optik und Atomphysik (QST/QT).
- Die Elektrodynamik beschreibt elektrische und magnetische Phänomene. Obwohl bereits früher bekannt, erhielt sie erst durch die Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie ihr theoretisches Fundament (RT).
- Die Thermodynamik, auch statistische Mechanik oder Wärmelehre behandelt alle Vorgänge, bei denen Wärme und Temperatur eine Rolle spielen. Ihr Anwendungsbereich reicht jedoch weit darüberhinaus (QST/RT/QT).
- Die Kontinuumsmechanik ist die Verallgemeinerung der klassischen Mechanik auf kontinuierliche Medien.
- Die Strömungslehre behandelt die Dynamik von Fluiden, das heißt nicht fester Substanzen. Untergebiete sind die Hydrodynamik (Dynamik der Flüssigkeiten) und die Aerodynamik (Dynamik von Gasen).
- Die nichtlineare Dynamik und die Physik der komplexen Systeme befassen sich unter anderem mit Chaostheorie, Strukturbildung und Selbstorganisation (QST).

Die Relativitätstheorie

... befasst sich mit der Struktur von Raum und Zeit sowie mit dem Wesen der Gravitation. Die Einheit von newtonscher Physik, Elektrodynamik und Relativitätstheorie wird als Klassische Physik bezeichnet.
- Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt das Verhalten von Raum, Zeit und Massen aus der Sicht von Beobachtern, die sich relativ zueinander bewegen. Dabei werden primär konstante Geschwindigkeiten betrachtet (QST).
- Die allgemeine Relativitätstheorie baut auf der speziellen auf und führt das Phänomen der Gravitation auf eine Krümmung von Raum und Zeit zurück.

Die Quantenphysik

... ist zur Beschreibung von Phänomenen im Mikrokosmos erforderlich, wo die Gesetze der klassischen Mechanik an ihre Grenze gelangen. Während sie experimentell immer wieder hervorragend bestätigt wird und die gesamte moderne Technologie auf ihr basiert, wird bis heute über ihre korrekte Interpretation gestritten. Im folgenden sind insbesondere Themen der nichtrelativistischen Quantenmechanik aufgeführt, bei denen sich die Zahl der beteiligten Teilchen nicht ändert.
- Aufgabe der Atomphysik ist es, den Aufbau und die Eigenschaften der Atome und ihre Spektren zu erklären. Sie beschränkt sich dabei in der Regel auf einen Energiebereich, in dem der Atomkern als strukturlos angesehen werden kann (RT).
- Die Molekularphysik beschreibt das Zusammenwirken verschiedener Atome und stellt die Verbindung zur Chemie und physikalischen Chemie her.
- Die Kernphysik studiert alle mit dem Atomkern zusammenhängenden Phänomene, die Kernstruktur und Kernreaktionen (RT).
- Die Laserphysik ist ein Teilgebiet der Optik. Ihre Aufgabe ist die Entwicklung und wissenschaftliche Untersuchung der verschiedenen Laser-Typen (RT).
- Die Plasmaphysik untersucht die Eigenschaften von Plasmen, d. h. hochgradig ionisierten Materiezuständen (RT).
- Gegenstand der Tieftemperaturphysik ist Untersuchung von Ordnungsphänomenen in Materie, die bei höheren Temperaturen aufgebrochen werden.
- Die Physik kondensierter Materie beschreibt Phänomene (korrelierter) Vielteilchensysteme. Die Physik der Kondensierten Materie unterscheidet sich grundlegend von der freier Teilchen.
- Die Festkörperphysik und Halbleiterphysik befasst sich mit der Physik von Materie im festen Aggregatzustand, insbesondere (aber nicht ausschließlich) von fester Materie mit periodischem Aufbau.
- Die Physik der Flüssigkeiten ist ein Teilgebiet der Fluidmechanik und befasst sich mit Materie im flüssigen Aggregatzustand. Die Bausteine der Flüssigkeit weisen eine gegenseitige Beweglichkeit auf (Translation und Rotation). Dennoch sind (im Unterschied zum idealen Gas) bei Flüssigkeiten im Nahbereich Korrelationen beobachtbar.
- Die Physik der Flüssigkristalle beschreibt die Physik von Materie, die sowohl Elemente einer kristallinen Ordnung aufweisen als auch die einer ungeordneten Flüssigkeit: Die Bausteine von Flüssigkristallen weisen die Beweglichkeit einer Flüssigkeit auf (genauer Translation), besitzen jedoch eine wohldefinierte gegenseitige Orientierung.
- Die Physik der weichen Materie beschreibt die Eigenschaften von Polymeren, Kolloiden und Membranen.
- Die Grenzflächenphysik beschreibt die besonderen physikalischen Phänomene an der Oberfläche kondensierter Materie. Ein Spezialfall der Grenzflächenphysik ist die Oberflächenphysik.

Die relativistische Quantenphysik

... befasst sich mit Phänomenen, zu deren Beschreibung die Quantenphysik und die Relativitätstheorie zugleich erforderlich sind.
- Die Elementarteilchenphysik, auch Teilchenphysik oder Hochenergiephysik, ist die Lehre von den elementarsten Grundbausteinen der Materie und ihrem Verhalten.
- Die Quantenfeldtheorie ist die quantenmechanische Beschreibung von Feldern und ist für die Teilchenphysik relevant. Das Standardmodell ist eine Quantenfeldtheorie, die alle bekannten Teilchen und Kräfte bis auf die Gravitation einheitlich beschreibt:
- die Dirac-Theorie ist eine relativistische Beschreibung von Fermionen und begründet die Basis für die Konzepte Spin und Antimaterie
- die Quantenelektrodynamik stellt die Verbindung zwischen Photonen und elektromagnetischen Feldern her und beschreibt die Wechselwirkung mit Ladungen als Austausch von virtuellen Photonen
- die Quantenchromodynamik beschreibt die starke Wechselwirkung zwischen Quarks als Austausch von Gluonen
- Quantengravitation ist ein Überbegriff für Ansätze, die vier Grundkräfte der Physik mit einer gemeinsamen Theorie zu beschreiben und dadurch insbesondere die allgemeine Relativitätstheorie mit der Quantenphysik zu vereinen (QST):
- die Stringtheorie beschreibt Elementarteilchen als Strings und geht von verborgenen Dimensionen der Raumzeit aus
- die Loop-Quantengravitation beschreibt die Raum-Zeit als Spin-Netzwerk bzw. Spin-Schaum
- die Quantengeometrie
- die Supersymmetrie

Interdisziplinäre und technisch orientierte Themenbereiche

- Die Astrophysik wendet physikalische Methoden auf das Studium astronomischer Phänomene an.
- Bei der physikalischen Chemie handelt es sich um den Grenzbereich zwischen Physik und Chemie. Physikalische Chemiker wenden die Methodik der Physik auf die Anschauungsobjekte der Chemie an.
- Die Technische Physik ist jenes Teilgebiet der Physik, das sich mit den technischen Anwendungen physikalischen Wissens befasst.
- In der Biophysik werden die physikalischen Gesetzmäßigkeiten, denen Lebewesen und ihre Wechselwirkung mit der Natur unterliegen, untersucht.
- Die Geophysik nutzt physikalische Modelle zur Erklärung geologischer Strukturen und Vorgänge.
- Quantenelektronik ist ein relativ junges Forschungsgebiet und wendet die Ergebnisse der Quantentheorie auf die Entwicklung elektronischer Schaltkreise an.
- In der Theorie der Quantencomputer tritt die Physik in interdisziplinäre Zusammenarbeit mit der Informatik. Hier werden unter anderem Algorithmen mit geringerer Komplexität als bei klassischen Computern möglich.
- Die Beschleunigerphysik beschaftigt sich mit der Entwicklung von Teilchenbeschleunigern. Diese werden benötigt, um die Energiedichten der Elementarteilchenphysik zu erreichen, aber auch als Strahlenquelle für Untersuchungen in einem weiteren naturwissenschaftlichen Bereich.
- Die Reaktorphysik beschäftigt sich mit der technischen Beherrschung von Kernreaktionen in Kernreaktoren.
- Die Umweltphysik beschäftigt sich in ihrer Forschung vor allem mit den Bereichen Energie und Klima.
- Soziophysik und Wirtschaftsphysik wenden physikalische und statistische Methoden auf gesellschaftliche, wirtschaftliche, kulturelle und politische Phänomene an.

Methodik der Physik

Der Prozess der Erkenntnisgewinnung in der Physik verläuft in enger Verzahnung von Experiment und Theorie, besteht also aus empirischer Datengewinnung und -auswertung und gleichzeitig dem Erstellen theoretischer Modelle zu ihrer Erklärung. Dennoch haben sich im Verlauf des 20. Jahrhunderts Spezialisierungen herausgebildet, die insbesondere die professionell betriebene Physik heute prägen. Demnach lassen sich grob Experimentalphysik und theoretische Physik voneinander unterscheiden.

Experimentalphysik

Während manche Naturwissenschaften wie etwa die Astronomie und die Meteorologie sich methodisch weitgehend auf die Beobachtungen ihres Untersuchungsgegenstandes beschränken müssen, steht in der Physik das Experiment im Vordergrund. Dabei versucht die Experimentalphysik, durch Entwurf, Aufbau, Durchführung und Auswertung von Experimenten Gesetzmäßigkeiten in der Natur aufzuspüren und mittels empirischer Modelle zu beschreiben. Sie versucht einerseits physikalisches Neuland zu betreten, andererseits überprüft sie von der theoretischen Physik gemachte Vorhersagen. Grundlage eines physikalischen Experimentes ist es, die Eigenschaften eines zuvor präparierten physikalischen Systems, zum Beispiel eines Teilchenbeschleunigers, einer Vakuumkammer mit Detektoren oder eines geworfenen Steins durch Messung in Zahlenform auszudrücken, etwa als Länge einer Teilchenspur, Impulshöhe eines elektrischen Spannungspulses oder als Aufprallgeschwindigkeit. Konkreterweise werden entweder nur die zeitunabhängigen (statischen) Eigenschaften eines Objektes gemessen oder man untersucht die zeitliche Entwicklung (Dynamik) des Systems, etwa in dem man Anfangswerte und Endwerte einer Messgröße vor und nach dem Ablauf eines Vorgangs bestimmt oder alternativ kontinuierliche Zwischenwerte feststellt.

Theoretische Physik

Die Aufgabe der Theoretischen Physik wiederum besteht darin, die empirischen Modelle der Experimentalphysik mathematisch auf bekannte Grundlagentheorien zurückzuführen oder, falls dies nicht möglich ist, durch eine möglichst kleine Anzahl von Grundannahmen (Hypothesen) zu beschreiben. Sie leitet weiterhin aus bereits bekannten Modellen empirisch überprüfbare Voraussagen ab. Bei der Entwicklung eines Modells wird grundsätzlich die Wirklichkeit idealisiert; man konzentriert sich zunächst nur auf ein vereinfachtes Bild, um dessen Aspekte zu überblicken und zu erforschen; nachdem das Modell für diese Bedingungen ausgereift ist, wird es weiter verallgemeinert. Zur theoretischen Beschreibung eines physikalischen Systems benutzt man die Sprache der Mathematik. Seine Bestandteile werden dazu durch mathematische Objekte wie zum Beispiel Skalare oder Vektoren repräsentiert, die in durch Gleichungen festgelegten Beziehungen zueinander stehen. Der Zweck des Modelles ist es, aus bekannten Größen unbekannte zu errechnen und damit zum Beispiel das Ergebnis einer experimentellen Messung vorherzusagen. Phänomene der Welt, die sich nicht mathematisch beschreiben lassen, wie beispielsweise das menschliche Bewusstsein, werden gemeinhin nicht als Gegenstand der Physik angesehen. Das fundamentale Maß für die Qualität einer Theorie ist, wie in vielen Naturwissenschaften auch, die Übereinstimmung mit reproduzierbaren Experimenten. Durch den Vergleich mit dem Experiment lässt sich der Gültigkeitsbereich und die Genauigkeit einer Theorie ermitteln, allerdings lässt sie sich niemals „beweisen“. Um eine Theorie zu widerlegen, bzw. um die Grenzen ihres Gültigkeitsbereiches zu demonstrieren, genügt im Prinzip ein einziges Experiment, sofern es reproduzierbar ist. Experimentalphysik und theoretische Physik stehen also in steter Wechselbeziehung zueinander. Es kann allerdings vorkommen, dass Ergebnisse der einen Disziplin der anderen vorauseilen: So sind derzeit viele Voraussagen der Stringtheorie nicht experimentell überprüfbar; andererseits sind viele teilweise extrem genau gemessene Werte aus dem Gebiet der Teilchenphysik zum heutigen Zeitpunkt am Anfang des 21. Jahrhunderts durch die zugehörige Theorie, die Quantenchromodynamik, nicht berechenbar.

Mathematische Physik und Angewandte Physik

Zusätzlich zu dieser grundlegenden Teilung der Physik unterscheidet man manchmal noch zwei weitere Unterdisziplinen, die mathematische Physik und die angewandte Physik. Erstere wird gelegentlich als Teilgebiet der theoretischen Physik betrachtet, unterscheidet sich von dieser jedoch darin, dass ihr Studienobjekt nicht konkrete physikalische Phänomene sind, sondern die Ergebnisse der theoretischen Physik selbst. Sie abstrahiert damit von jedweder Anwendung und interessiert sich stattdessen für die mathematischen Eigenschaften eines Modells, insbesondere seine tiefer liegenden Symmetrien und Invarianzen. Auf diese Weise entwickelt sie Verallgemeinerungen und Varianten bereits bekannter Theorien, die dann wiederum als Arbeitsmaterial der theoretischen Physiker in der Modellierung empirischer Vorgänge Einsatz finden können. Die angewandte Physik steht dagegen in (unscharfer) Abgrenzung zur Experimentalphysik, teilweise auch zur theoretischen Physik. Ihr wesentliches Kennzeichen ist, dass sie ein gegebenes physikalisches Phänomen nicht um seiner selbst willen erforscht, sondern um die aus der Untersuchung hervorgegangenen Erkenntnisse zur Lösung eines (in der Regel) nicht-physikalischen Problems einzusetzen. Ihre Anwendungen liegen z. B. auf dem Gebiet der Technik oder Elektronik, in Medizin, Chemie oder Astronomie, aber auch in den Wirtschaftswissenschaften, wo z. B. im Risikomanagement Methoden der theoretischen Festkörperphysik zum Einsatz kommen.

Simulation/Computerphysik

Mit der fortschreitenden Entwicklung der Rechensysteme hat sich in den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts und beschleunigt seit etwa 1990 die Computersimulation als neue Methodik innerhalb der Physik entwickelt. Computerphysiker sind keine reinen Theoretiker, da sie durch ihre Simulationen Theorien zu testen versuchen, aber auch keine reinen Experimentatoren, da ihre Experimente ausschließlich in der Welt des Rechners stattfinden. Die Bandbreite möglicher Simulationen deckt die komplette Spanne von der mathematischen Physik über Simulationen kosmologischer Modelle bis hin zur angewandten Physik ab. Naturgemäß hat dieser Bereich der Physik zahlreiche Anknüpfungspunkte an die Informatik.

Verhältnis zu anderen Wissenschaften

Abgrenzung zu anderen Wissenschaften

Zur Abgrenzung gegenüber der Biologie wird die Physik oftmals als die Wissenschaft von der unbelebten Natur bezeichnet. Eine Abgrenzung gegenüber der Chemie ist nicht so eindeutig; der Übergang von der Physik der Elektronenhülle, also der Atom- und Molekülphysik, zur Quantenchemie ist fließend. Die Mathematik beschreibt im Gegensatz zur Physik keine realen Objekte, sondern abstrakte Begriffe und deren Eigenschaften.

Wechselwirkung mit anderen Wissenschaften

Die Physik gilt als die grundlegende Naturwissenschaft, auf der alle anderen wie beispielsweise die Astronomie, die Chemie, die Geologie und letztlich auch die Biologie aufbauen. Physikalische Prinzipien und Modelle finden ihre Anwendung auch in Disziplinen jenseits der Naturwissenschaften, besonders im technischen Bereich, wie in den Ingenieurwissenschaften, aber auch in den quantitativen Wirtschaftswissenschaften. Umgekehrt haben auch oft Erkenntnisse aus anderen Fachgebieten wie der Mathematik oder der Astronomie die physikalische Forschung bereichert und stimuliert. Auch in der Philosophie finden die Erkenntnisse der Physik Beachtung: So versucht der philosophische Zweig der Metaphysik Erklärungen für das Wesen der Natur zu finden, während sich die Physik auf ihre Beschreibung beschränkt.

Physik als Studium

Das Physikstudium gliedert sich im deutschsprachigen Sprachraum in ein zweijähriges Grundstudium, an dass sich nach einer Vordiplom genannten Zwischenprüfung das Hauptstudium anschließt. Den Kern der Ausbildung bilden Experimentalphysik nebst Physikalischen Praktika und Theoretische Physik, dazu kommen Vorlesungen in Mathematik und Nebenfächern wie Chemie, Astronomie oder Informatik. In der Experimentalphysik folgt auf einen Grundkurs bestehend aus den Gebieten Mechanik, Schwingungs- und Wellenlehre, Akustik, Strömungslehre, Spezieller Relativitätstheorie, Elektrizitätslehre, Magnetismus, elektromagnetische Wellen, Optik und Wärmelehre eine Vorlesung über semiklassische Quantentheorie, Molekül- und Atomphysik. Danach schließen sich spezialisierte Vorlesungen über die modernen Forschungsgebiete der experimentellen Physik wie Plasmaphysik, Kernphysik, Teilchenphysik, Festkörper- und Halbleiterphysik an. Die Theoretische Physik wird im Rahmen des Studiums meist in einen Zyklus aus vier Gebieten eingeteilt: # Mechanik (Newton'sche Mechanik, Analytische Mechanik, Spezielle Relativitätstheorie, Hamilton'sche Mechanik) # Elektrodynamik (Elektro- und Magnetostatik, Maxwell'sche Elektrodynamik, Elektromagnetische Wellen, Spezielle Relativitätstheorie) # Quantenmechanik (Schrödinger'sche Wellenmechanik, Heisenbergsche Matrizenmechanik, Dirac-Notation, Grundzüge der Theoretischen Atomphysik, Einführung in die Relativistische Quantenmechanik) # Thermodynamik und Statistische Physik (Wärmelehre, Statistische Physik, Quantenstatistik, Vielteilchentheorie) Die Allgemeine Relativitätstheorie, Quantenfeldtheorien, Theoretische Festkörperphysik und weitere Gebiete sind an den meisten Universitäten als Spezialvorlesungen vertreten, gehören aber nicht zum Grundkanon.

Geschichte

Die neuzeitliche Geschichte der Physik wurzelt in antiken Vorarbeiten vor allem griechischer Gelehrter (insbesondere von Aristoteles) und beginnt etwa ab dem Jahr 1500. Seit dieser Zeit kann man von der Physik als eigenständiger Wissenschaft sprechen, obwohl es schon vorher physikalische Entdeckungen und Lehren gab, zum Beispiel über das Feuer, das Rad, das von Archimedes formulierte Hebelgesetz und seine Anwendung in einfachen Maschinen, erste Erkenntnisse in der Optik, der Flüssigkeitslehre und Vorstellungen vom Aufbau der Körper (Demokritsches Teilchenmodell).
- 1543 Veröffentlichung des heliozentrischen Weltbildes in „De Revolutionibus Orbium Coelestium“ („Von den Umdrehungen der Himmelskörper“) durch Nikolaus Kopernikus
- 1589 Fallgesetze (Galileo Galilei)
- 1609 Planetengesetze (Johannes Kepler)
- 1638 und 1650 Luftdruck und Vakuum entdeckt und angewendet (Evangelista Torricelli, Otto von Guericke)
- 1687 Grundgesetz der Mechanik (newtonsche Gesetze durch Isaac Newton)
- 1786 Elektrisches Grundgesetz (coulombsches Gesetz: zur Bestimmung der Kraft zwischen Ladungen)
- 1865 Theorie der elektromagnetischen Wellen (Maxwellgleichungen durch James Clerk Maxwell)
- 1895 Entdeckung der Röntgenstrahlung (X-Strahlung) durch Wilhelm Conrad Röntgen
- 1898 Entdeckung der natürlichen Radioaktivität einiger chemischer Elemente durch Marie und Pierre Curie
- 1900 Begründung der Quantenphysik durch Max Planck
- 1905 Formulierung der speziellen Relativitätstheorie durch Albert Einstein
- 1916 Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein
- 1938 Atomkernspaltung künstlich herbeigeführt durch Otto Hahn
- 1947 Entwicklung des Transistors durch William B. Shockley
- 1960 Entwicklung des ersten Lasers durch Theodore Maiman
- 1970 Erste kontrollierte Kernfusion im Fusionsreaktor Tokamak 3
- 1995 Erfolgreiche Bose-Einstein-Kondensation von Atomen Siehe auch: Portal:Physik, Physiker, Computerphysik, Einheitensystem, Naturkonstante, Physik für die Schule, Physikalisches System, Auf den Schultern von Giganten, Liste der Kurzschreibweisen (Physik), Liste physikalischer Sätze

Literatur

- Tipler, Paul A.; Mosca, Gene: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Spektrum Akademischer Verlag 2. Auflage 2004 ISBN 3-827-41164-5
- Feynman, Leighton, Sands: Vorlesungen über Physik. Oldenbourg 1999 ISBN 3-486-25857-5
- Gerthsen; Meschede: Gerthsen Physik. Springer-Verlag 22. Auflage 2004 ISBN 3-540-02622-3
- Demtröder: Experimentalphysik 3. Auflage Springer 2004 ISBN 3-540-26034-X
- Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Thomas Dorfmüller, Wilhelm T. Hering, Klaus Stierstadt:Lehrbuch der Experimentalphysik.de Gruyter 10. Auflage 1998 ISBN 3-110-12870-5

Weblinks

- Physik allgemein
- [http://www.dpg-physik.de/ Deutsche Physikalische Gesellschaft e.V.]
- [http://www.ptb.de/ Physikalisch-Technische Bundesanstalt]
- Physik-Portale
- [http://www.weltderphysik.de/ Welt der Physik]
- [http://www.pro-physik.de/Phy/External/PhyH/ Findemaschine pro-physik.de]
- [http://www.ptb.de/de/blickpunkt/interviews/_index.html Was ist Physik? Antworten prominenter Physiker]
- [http://www.gym-hartberg.ac.at/gym/physik/them.htm Zusammenstellung wichtiger Themen der Physik]
- [http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/cover.html Physik einfach erklärt] ! als:Physik ja:物理学 ko:물리학 ms:Fizik simple:Physics th:ฟิสิกส์ zh-min-nan:Bu̍t-lí-ha̍k

Oszillator

Eine Oszillation (lateinisch oszillare – schaukeln) ist allgemein eine Beschreibung für sich periodisch wiederholende Vorgänge. Oszillationen gibt es auf verschiedenen Gebieten:
- Physikalische Vorgänge:
- In der Physik ist Oszillation ein Synonym für Schwingung.
- In der Geologie sind Oszillationen kleinere und häufig relativ regelmäßige Schwankungen des Meeresspiegels, der Eisrandlagen, der Erdkrustenstücke, des Erdmagnetfeldes oder des Klimas.
- In der Elektronik werden Oszillationen mit Hilfe von Oszillatorschaltungen erzeugt.
- In Synthesizern stehen üblicherweise Oszillatoren am Beginn des Syntheseprozesses.
- Chemische Vorgänge:
- Oszillierende Reaktionen
- Wirtschaftswissenschaften:
- Bei den Wirtschaftswissenschaften wird im Schweinezyklus ebenfalls eine Oszillation beschrieben.
- In der Chartanalyse wird der Begriff für Schwingungen in Aktienkursen benutzt.

Beschleunigung

Ein frei beweglicher Körper, der eine Krafteinwirkung erfährt und dadurch seine Geschwindigkeit ändert, vollführt eine Beschleunigung. Wenn er sich verlangsamt, spricht man von einer Verzögerung oder negativen Beschleunigung. Beschleunigungsvorgänge spielen in allen bewegten Systemen, wie z.B. Fahrzeugen, Flugzeugen, Fahrstühlen, eine wichtige Rolle und sind aufgrund der in diesem Zusammenhang auftretenden Trägheitskräfte für die darin beförderten Menschen und Sachen meist deutlich spürbar.

Physikalische Definition

Die Beschleunigung ergibt sich in Abhängigkeit von der Masse m:

\vec a=\frac

(gilt nur in Inertialsystemen) Aufgeteilt wird die Beschleunigung in eine zur Bewegungsrichtung

\vec v

parallelen Beschleunigung (Tangentialbeschleunigung) und einer senkrecht dazustehenden Normalbeschleunigung. Ist die Tangentialkraftkomponente gleichgerichtet mit der Bewegungsrichtung so ergibt sich eine beschleunigte Bewegung im Sinne einer Geschwindigkeitserhöhung, im anderen Fall spricht man vom Abbremsen oder Verzögern. Die Normalbeschleunigung bewirkt die Krümmung der Bahnkurve eines Körpers. Wirkt auf den Körper ein Moment M, so vollführt der Körper eine Drehbeschleunigung, welche sich im einfachen Fall, daß das Moment parallel zu einer der Hauptträgheitsachse des Körpers liegt, wie folgt ermitteln läßt:

a= \ddot \phi= \frac

dabei beschreibt J das Trägheitsmoment um diese Achse. Die Beschleunigung

\vec a

ist eine physikalische Größe aus der Kinematik, die definiert ist als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitintervall. Eine mittlere Beschleunigung kann aus der Differenz der Geschwindigkeiten

\Delta v=v(t_2) - v(t_1)

zu zwei verschiedenen Zeitpunkten

t_1

und

t_2

dividiert durch das zwischen den beiden Zeitpunkten verstrichene Zeitintervall

\Delta t=t_2-t_1

berechnet werden: :

= \frac\, .

Im Grenzfall beliebig kleiner Zeitintervalle (Zeitdifferenzen) ergibt sich die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt

t

als Differentialquotient: :

\vec(t) = \frac\equiv\dot(t)\, .

Die Beschleunigung ist wie die Geschwindigkeit eine gerichtete Größe (Vektor). Sie ist eine der wesentlichen Größen der klassischen Mechanik, deren Zusammenhang mit der Kraft und der Masse erstmals von Isaac Newton beschrieben wurde (siehe auch Newton-Axiome). Die Geschwindigkeit

v

ist die zeitliche Änderung des Ortes

s

einer Bewegung, also :

v = \frac = \dot s\, .

Die Beschleunigung

a

ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit

v

und lässt sich somit formal als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit

t

beschreiben: :

a = \frac = \frac = \dot v = \ddot s\, .

Möchte man eine gleichförmig beschleunigte und geradlinige Bewegung beschreiben wie z.B. beim freien Fall, so ist

a

konstant und man erhält aus der Integration der Differentialgleichung :

v -v_0 = \int_0^t a\cdot dt' = a\cdot t \, ,

mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀. Für den zurückgelegten Weg ergibt sich :

s - s_0 = \int_0^t (a\cdot t' + v_0)\cdot \mathrmt' =  \int_0^t a\cdot t'\cdot \mathrmt' + \int_0^t v_0\cdot \mathrmt' = \frac\cdot t^2 + v_0\cdot t \, ,

mit dem Anfangsort s₀. Beim freien Fall mit v₀ = 0, s₀ = 0 und a = Fallbeschleunigung g = 9,80665 m/s² (DIN 1305) ergibt sich, dass der Körper nach einer Sekunde Fallzeit eine Geschwindigkeit von 9,80665 m/s erreicht und eine Strecke von 4,903 m zurückgelegt hat. Dieser Wert der Beschleunigung wird auch als 1g bezeichnet.

Spezialfälle der Beschleunigung

- Keine Beschleunigung führt zu geradlinig gleichförmiger Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
- Konstante Beschleunigung in (entgegen der) Richtung der Geschwindigkeit (sowohl Richtung als auch Betrag sind konstant) führt zu geradliniger Bewegung mit linear wachsender (abnehmender) Geschwindigkeit.
- Fallbeschleunigung
- Kreisbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung (konstanter Betrag, aber die Richtung ist auf den Kreismittelpunkt gerichtet) führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung, bei der der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist.
- Stoß: Während des kurzen Zeitraums der Berührung ist die Beschleunigung extrem hoch. Die zeitliche Änderung der Beschleunigung heißt Ruck (engl. Jerk). Dieser Ruck hat z.B. eine Bedeutung bei der dynamischen Anregung von Maschinen und anderen Systemen (Schwingungen). So vollführt bei einer Autofahrt der Beifahrer einen Kopfnicker wenn der Fahrer zu schnell einkuppelt.

Messung der Beschleunigung

Hochgenaue Beschleunigungssensoren erreichen heute bei ihren Messungen Genauigkeit von 0.005g, dieses ermöglicht durch zweifache Integration über die Zeit bei bekannten Anfangsbedingungen eine Ortsbestimmung von Flugzeugen über einen mittellangen Zeitraum (z.B. für den Fall, dass das GPS-System ausfällt.)

Beispiele für die Größe von Beschleunigungen

- Der menschliche Körper erträgt ca. 10g ohne in Ohnmacht zu fallen, bei Autounfällen wirken kurzzeitig wesentlich höhere Belastungen.
- Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6000g.
- Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300g auf den Trommelinhalt.
- Beim Fahrradfahren treten Beschleunigungen von etwa 1 m/s² auf (Freizeitfahrer) und bei Sportprofis etwa 2 m/s².
- Ein Mittelklassewagen kann Beschleunigungen bis zu 3 m/s² und Autos höherer Klasse sogar mehr als 4 m/s² hervorbringen.
- Ein vollbeladener Jumbo-Jet erfährt eine Beschleunigung von etwa 1,6 m/s².
- Auf einen ICE wirkt eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s².
- Beim Bremsen eines Autos treten Beschleunigungen von mehr als 10 m/s² auf.
- Während der ersten Schritte eines Sprints wirken Beschleunigungen von etwa 2 m/s² auf den Sportler.
- Die Kugel beim Kugelstoßen wird bei der Abstoßphase auf etwa 10 m/s² beschleunigt.
- Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10 000 m/s² erfahren.

Umgangsprachliche Verwendung

Das Wort ist in der Umgangssprache fälschlich auch im Sinne einer "überhöhten Geschwindigkeit" im Gebrauch.
- Die zunehmende subjektiv empfundene Geschwindigkeit im täglichen Leben ist ein relativ unerforschtes psychologisches Phänomen, das mit der Alterung in Verbindung gebracht wird. siehe hierzu auch: Entschleunigung, Gerontologie
- Die "Kosmologische Beschleunigung" ist ein für Expansion des Universums verwendeter Ausdruck.

Weblinks

- [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Physik/Versuch12-5.pdf Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine] Kategorie:Physikalische Größe Kategorie:Kinematik ja:加速度 ko:가속도 simple:Acceleration th:ความเร่ง

Koeffizient

In der Mathematik ist ein Koeffizient (v. lat.: coefficere = mit bewirken) ein multiplikativer Faktor, der zu einem bestimmten Objekt, wie einer Variable oder einem Basisvektor gehört. Normalerweise werden Objekte und Koeffizienten in der gleichen Reihenfolge indiziert, sodass sich Ausdrücke wie :a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃+... ergeben. Beispiele für wichtige mathematische Koeffizenten:
- Binomialkoeffizient,
- Taylor-Koeffizienten (siehe Taylor-Reihe),
- Fourier-Koeffizienten (siehe Fourier-Reihe),
- Clebsch-Gordan-Koeffizient (nach Alfred Clebsch (1833-1872) und Paul Gordan (1837-1912)). In der Physik ist ein Koeffizient meist eine dimensionslose Verhältniszahl, die eine Eigenschaft bestimmter Materialien, bestimmter Körper beschreibt. In älterer technischer Literatur werden Koeffizienten auch "Beiwerte" genannt. Beispiele:
- Haftreibungskoeffizient, Gleitreibungskoeffizient
- Strömungswiderstandskoeffizient ("cw-Wert") Jedoch wird bei weitem nicht jede dimensionslose physikalische Konstante als Koeffizient bezeichnet. Gegenbeispiele:
- Fundamentale Naturkonstanten wie die Feinstrukturkonstante
- Verhältniszahlen aus Ähnlichkeitsgesetzen wie die Reynolds-Zahl Kategorie:Mathematik

Partielle Differentialgleichung

Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL oder PDE für eng. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.

Definition

Etwas genauer gesagt ist eine PDE eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:
- die unbekannte Funktion hängt von mindestens 2 Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung, oder kurz nur Differentialgleichung)
- in der PDE kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor
- in der Gleichung kommen nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor. Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion

u

, die von zwei Variablen

x

und

y

abhängt, lautet :

F\left(x,y,u(x,y),\frac,\frac, 
\ldots\frac,\ldots \right) = 0,

wobei F eine beliebige Funktion ist.

Beispiel

Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich beider ist nicht immer wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird nur durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Oft reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen der auf eine Wasseroberfläche fällt entstehen, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig. Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion u(x,t) möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort x und Zeit t). Die partielle Ableitung

\frac

gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt

\frac

die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung

\frac =  \frac

Eine Lösung dieser Gleichung wäre

u(x,t) = f(x+t)

mit einer beliebigen Funktion

f

Einteilung

Man kann PDGen nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf. Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen linear auf, aber die Funktion selbst nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDE. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen. Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind selbst hier formelmäßige Lösungen nur in Ausnahmefällen möglich. Man unterscheidet weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen, die einen gemischten Charakter haben. Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen, da für mehr als zwei unabhängige Variable eine solche Einteilung i.a. nicht existiert:

a(x,y) \frac + b(x,y) \frac + 
c(x,y) \frac  + d(x,y) \frac = 0

Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet: :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 > 0

ist die Gleichung in (x,y) elliptisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 = 0

ist die Gleichung in (x,y) parabolisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 < 0

ist die Gleichung in (x,y) hyperbolisch Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit (⇒elliptisch), singulär (⇒parabolisch), oder indefinit (⇒hyperbolisch) ist.

Rand und Anfangswertprobleme

Eine partielle Differentialgleichung per se hat im Allgemeinen mehrere Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen braucht es gewisse Zusatzbedingungen, nämlich Rand- und/oder Anfangsbedingungen. Diese Situation ist ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man Anfangsbedingungen in einem Punkt braucht. Bei PDGen reicht die Vorgabe eines Funktionswertes an einem Punkt nicht aus, man muss Funktionswerte (und/oder Ableitungen) auf einer Mannigfaltigkeit vorgeben. Nicht jede Zusatzbedingung führt zu einer vernünftigen Lösung, das Ganze hängt von der Art der Gleichung ab. Typische Beispiele sind
- Dirichlet-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Neumann-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Anfangs- und Randbedingungen (für parabolische Probleme)
- Cauchy-Probleme (für hyperbolische Problemen)

Elliptische partielle Differentialgleichungen

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zustand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen. Das Paradebeispiel ist die Laplace-Gleichung, bzw die Poisson-Gleichung. Diese Gleichungen beschreiben etwa die (stationäre) Temperaturverteilung in einem Körper, oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Außerdem ist das (Newtonsche) Gravitationspotential eine Lösung der Poisson-Gleichung. Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten auftretenden Randbedingungen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen. Die erstere bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion ist. Am Beispiel der Temperaturverteilung soll der Unterschied klargemacht werden: Steckt man ein Objekt in Eiswasser, dann ist die Temperatur am Rand 0 Grad. Damit ist die Temperaturverteilung im Inneren die Lösung eines Dirichlet-Randwertproblems. Ein anderer Fall tritt auf, wenn man den Körper isoliert. Hier ist zwar nicht die Temperatur bekannt, aber durch Isolation ist der Wärmefluß am Rand 0. Da der Fluß mit der Normalableitung in Verbindung gebracht werden kann, führt dies auf ein Neumann-Problem. Ähnliches gilt in der Elektrostatik: Kennt man die Spannung die am Rand angelegt wird, kommt man zu einem Dirichlet-Problem, kennt man hingegen die Stromstärke am Rand kommt man zu einem Neumann-Problem. Eine nichtlineare Gleichung, die elliptisch ist, ist die Gleichung für Minimalflächen (Minimal surface equation), diese beschreibt eine Seifenhaut, die sich bildet, wenn man ein Drahtgestell in Seifenlauge taucht.

Parabolische partielle Differentialgleichungen

Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber im instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls durch diese Gleichung beschreiben. Parabolische Gleichungen führen auf ein Anfangs-Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluß vorgegeben werden. Dies entspricht dem Fall von Dirichlet- oder Neumannbedingungen im elliptischen Fall. Zusätzlich muss noch die Temperaturverteilung am Anfang (zum Zeitpunkt 0) vorgegeben werden. Insgesamt benötigen also parabolische Gleichungen Bedingung am räumlichen Rand und zum Anfangszeitpunkt. Ein weiterer (nichtlinearer) Vertreter von parabolischen Gleichungen ist die Korteweg-de Vries-Gleichung, die Wasserwellen in Ufernähe beschreibt.

Hyperbolische partielle Differentialgleichungen

Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung. Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben. Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung immer hyperbolische. Im Unterschied zu parabolischen und elliptischen Gleichung werden Lösungen von hyperbolischen Gleichungen wenig bis gar nicht gedämpft. Das führt einerseits dazu, dass die Lösungstheorie schwieriger wird, da mit weniger Differenzierbarkeit gerechnet werden kann. Anderseits können sich Wellen erst durch diese fehlende Dämpfung über weite Strecken ausbreiten. Die zu diesem Typ gehörigen Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme: Das bedeutet, dass wie im parabolischen Fall zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Bei hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte: Den Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie in Holzblasinstrumenten kommt man dementsprechen auf Neumannbedingungen). Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung (entspricht dem Funktionswert) am Anfang, und die Geschwindigkeit mit der die Saite am Anfang angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung). Mit diesem Bedingungen kann die Auslenkung zu allen späteren Zeitpunkten eindeutig gelöst werden. Hyperbolische Gleichungen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten heißen strikt hyperbolisch. Hier ist die Lösungstheorie auch für nichtlineare Systeme wohlbekannt, ist die Gleichung nichtstrikt hyperbolisch, wie beispielsweise die mehrdimensionalen Euler-Gleichungen oder die Gleichungen der Magneto-Hydrodynamik, ist dies nicht mehr der Fall.

Theorie

Wichtige Sätze:
- Satz von Cauchy-Kovalevskaja
- Satz von Holmgren
- Lemma von Lax-Milgram
- Maximumprinzip
- Schaudertheorie

Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen

Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen und der finiten Volumen.

Beispiele

- Navier-Stokes-Gleichungen
- Maxwellsche Gleichungen
- Schrödingergleichung
- Einsteinsche Feldgleichungen
- Biharmonische Gleichung Gleichungen in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten nennt man Integro-Differentialgleichung. ja:偏微分方程式

Anfangsbedingung

Anfangsbedingungen sind konkrete Angaben zur Definition einer Differentialgleichung, wobei alle benötigten Angaben für einen einzigen Wert der unabhängigen Variablen (dem Anfangswert) gegeben sind. Anfangswertaufgaben sind im Allgemeinen mit den Methoden der numerischen Mathematik rasch und mit ausreichender Genauigkeit lösbar.

Beispiel

Sei die gegebene Differentialgleichung

y

=2. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist $y=x^2+a_1x+a_0$ . Gesucht sind nun die Werte der Konstanten $a_0$ und $a_1$ für eine gegebene Aufgabenstellung. Ein Anfangswertproblem wäre: Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ (das heißt für $x=0$ sind Funktionswert und Ableitung bekannt). Die Lösung dieses Anfangswertproblemes ist $y=x^2+x$ . Siehe auch: Randbedingung Kategorie:Differentialgleichungen Kategorie:Dynamik

Partielle Differentialgleichung

Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL oder PDE für eng. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.

Definition

u

, die von zwei Variablen

x

und

y

abhängt, lautet :

F\left(x,y,u(x,y),\frac,\frac, 
\ldots\frac,\ldots \right) = 0,

wobei F eine beliebige Funktion ist.

Beispiel

\frac

gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt

\frac

die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung

\frac =  \frac

Eine Lösung dieser Gleichung wäre

u(x,t) = f(x+t)

mit einer beliebigen Funktion

f

Einteilung

a(x,y) \frac + b(x,y) \frac + 
c(x,y) \frac  + d(x,y) \frac = 0

Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet: :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 > 0

ist die Gleichung in (x,y) elliptisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 = 0

ist die Gleichung in (x,y) parabolisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 < 0

Rand und Anfangswertprobleme

Elliptische partielle Differentialgleichungen

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zustand minimaler Ener