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Große Halbachse

Große Halbachse

Die große Halbachse ist der längere der beiden Scheitelabstände vom Mittelpunkt einer Ellipse (eine Hälfte der sog. "Hauptachse", also des größten Ellipsendurchmessers). Entsprechend wird der kürzere - der genau im Winkel von 90° dazu steht - "kleine Halbachse" genannt (eine Hälfte der sog. "Nebenachse", also des kleinsten Ellipsendurchmessers). Die Haupt- und die Nebenachse (welche manchmal auch gemeinsam als die "Hauptachsen" der Ellipse bezeichnet werden) haben u.a. die Eigenschaft, konjugierte Durchmesser zu sein. Diese Eigenschaft bleibt auch bei "schräger" Betrachtungsweise der Ellipse erhalten, was zur geometrischen Konstruktion von anderen konjugierten Durchmessern genutzt werden kann. Für den Spezialfall, dass kleine und große Halbachse gleich lang sind, wird die Ellipse zum Kreis. Ferner erscheint jede Ellipse als Kreis, wenn man sie unter einem bestimmten schrägen Winkel aus der Richtung ihrer großen Achse betrachtet. In der Astronomie ist die große Halbachse eines der 6 sogenannten Bahnelemente und wird meistens mit a bezeichnet. Sie charakterisiert - zusammen mit der Exzentrizität - die Form von elliptischen Umlaufbahnen verschiedener Himmelskörper. Solche Körper sind in erster Linie die Planeten und ihre Monde, künstliche Erdsatelliten, die Kleinplaneten (Asteroiden) und tausende Doppelsterne. Nach dem dritten Gesetz von Kepler ist die Umlaufzeit U einer Ellipsenbahn mit a gekoppelt (a³ / U² = const). Die Konstante hängt mit der Masse des Zentralkörpers zusammen - im Planetensystem also mit der Sonnenmasse. In der Geodäsie sind die Achsen der sog. Fehlerellipsen ein wichtiges Darstellungsmittel der mittleren bzw. maximalen/minimalen Punktfehler. Bei der Ausgleichung von geodätischen Netzen lässt sich die Genauigkeit, mit der die einzelnen Vermessungspunkte des Netzes bestimmt sind, als Fehlerellipse darstellen.

Literatur

[1] Groten, Erwin: Zur Definition des mittleren Punktfehlers; in: Zeitschrift für Vermessungswesen (ZfV); 11/1969; S. 455-457. Siehe auch: Mathematik, Himmelsmechanik, Keplersche Gesetze Kategorie:Geometrie Kategorie:Himmelsmechanik

Ellipse

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

Kegelschnitten

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte P der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte F_1 und F_2 heißen Brennpunkte. : E = \

Scheitel und Achsen

Die Punkte S_1 und S_2 mit größtem Abstand zum Mittelpunkt M heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie \overline heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen \overline und \overline. Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln S_3 und S_4, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen \overline und \overline definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit b bezeichnet: : \left|\overline\right| = \left|\overline\right| = b Haupt- und Nebenachse sind zueinander orthogonal.

Exzentrizität

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit e bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck \triangle MF_1S_3 mit dem Satz des Pythagoras: : e = \sqrt. Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität \varepsilon \in [0,1), verwendet: :\varepsilon = \frac = \frac Ist \varepsilon gleich 0, so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei 1, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel S_3 und S_4 von den Brennpunkten F_1 und F_2 gerade gleich der Größe a aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet): : \left|F_1 S_3\right| = \left|F_2 S_3\right| = \left|F_1 S_4\right| = \left|F_2 S_4\right| = a Die großen Halbachsen \overline und \overline haben ebenfalls gerade die Länge a. Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel: : \left|F_1 S_1\right| + \left|F_2 S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| - e + \left|F_2 S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| - e + e + \left|M S_1\right| = 2a : \left|M S_1\right| = a

Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse: :p = \frac Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität (vgl. dazu den Artikel Affinität (Mathematik)). Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt folgende Gleichung für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse: : \frac + \frac = 1

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

x-Achse Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet gleich dem Ausfallswinkel der Tangente mit dem anderen Brennstrahl. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt. Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Anekdote

Archimedes soll die Brennpunkteigenschaft von Ellipsen ausgenutzt haben, um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen, die seine Heimatstadt Syrakus belagerten. Er ordnete viele Schilde zu einem großen Ellipsenbogen an und entzündete ein Feuer in einem Brennpunkt, so dass die Segel eines feindlichen Schiffes im anderen Brennpunkt in Flammen aufgingen.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Direktrix

Stoßwelle Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand \frac bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix d auf der entspechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität: :\mathrm Ein gegebener Brennpunkt F, eine Gerade d (die Direktrix) und eine Zahl 0 \le \varepsilon < 1 definieren umgekehrt eine Ellipse e als Menge aller Punkte P für die das Verhältnis ihres Abstabstandes \left|FP\right| vom Brennpunkt zum ihrem Abstand \left|Fd\right| von der Geraden d gleich \varepsilon ist.

Konjugierte Duchmesser

Stoßwelle Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) \overline alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser \overline. Man nennt \overline den zu \overline konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu \overline konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser \overline überein.

Konstruktion

Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel

Gärtnerkonstruktion Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Papierstreifenkonstruktion

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

Rytzsche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Die Ellipse als Kegelschnitt

Rytzschen Achsenkonstruktion Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Beispiele


- Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.
- In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.
- Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.
- Ellipsen werden oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF-Logo bekannt.

Formelsammlung

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\frac + \frac = 1 Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse parallel zur x-Achse: :\frac + \frac = 1

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse: :\left\

Konjugierte Durchmesser

Konjugierte Durchmesser sind eine Besonderheit der Geometrie von Kegelschnitten - also von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Es sind immer zwei konjugierte Durchmesser einander "zugeordnet" (lat. coniugare = verbinden, vereinigen). Sie halbieren alle Sehnen des Kegelschnitts, die zum jeweils anderen Durchmesser parallel sind. Aus dieser Eigenschaft lässt sich auch ableiten, dass die zwei Hauptachsen einer Ellipse¹ als konjugierte Durchmesser erscheinen, wenn man sie aus "schrägem Blickwinkel" betrachtet oder die Koordinaten in einer Richtung verkürzt. Koordinaten ¹) "Große Halbachse und kleine Halbachse". Sie stellen einen Sonderfall der (unendlich vielen) konjugierten Durchmesser dar, weil sie genau aufeinander normal (senkrecht) stehen. Kategorie:Geometrie

Kreis (Geometrie)

Kreis mit Radius und Durchmesser
M = Mittelpunkt; r = Radius; d = Durchmesser
Der Begriff Kreis gehört zu den wichtigsten Begriffen der ebenen Geometrie. Ein Kreis ist definiert als Menge (geometrischer Ort) aller Punkte der euklidischen Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M gleich einer festen positiven reellen Zahl r ist. Der Kreis ist also die Ortslinie aller Punkte mit dieser Eigenschaft.

Definitionen

Formal ausgedrückt lautet die Definition für einen Kreis k in der Ebene E folgendermaßen: : k = \left\ Der konstante Abstand r wird als Radius des Kreises bezeichnet, der Punkt M als Mittelpunkt. Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird meist durch die Variable d ausgedrückt. Nach der gegebenen Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort "Kreis" aber oft ungenau für die eingeschlossene Fläche verwendet wird, sagt man zur Verdeutlichung häufig Kreislinie oder Kreisrand statt Kreis - im Gegensatz zur Kreisfläche oder (geschlossenen) Kreisscheibe. Diese ist definiert als die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand vom Mittelpunkt M höchstens gleich dem Radius r ist. Das Innere dieser Fläche bezeichnet man als offene Kreisscheibe. Man meint damit die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand vom Mittelpunkt M kleiner dem Radius r ist. Zum Zeichnen eines Kreises verwendet man einen Zirkel. Bei fast allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal werden Kreise benötigt.

Grundlegende Eigenschaften


- Alle Kreise sind zueinander ähnlich, das heißt, durch die Angabe einer einzigen Größe (zum Beispiel des Durchmessers) ist ein Kreis - bis auf Kongruenz - eindeutig bestimmt. In diesem Sinne ist es also gerechtfertigt, von dem Kreis zu sprechen.
- Der Kreis ist eine Figur von maximaler Symmetrie. Jeder Durchmesser ist Symmetrieachse. Jede Drehung um dem Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. Er ist damit - neben der Geraden - die einzige ebene Figur mit unendlich vielen Kongruenzabbildungen auf sich selbst.
- Der Kreis ist - wiederum neben der Geraden - die einzige ebene Kurve mit konstanter Krümmung. Seine Krümmung ist überall k = 1/r.
- Der Kreis ist unter allen geschlossenen Kurven gleicher Länge diejenige mit dem größten Flächeninhalt. (Isoperimetrische Eigenschaft des Kreises). Die Menge aller Punkte im gleichen Abstand zu M nennt man Kreisline um M.

Gleichungen

Koordinatengleichung

In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte meist mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems beschrieben. Der Kreis mit dem Mittelpunkt M(xM|yM) und dem Radius r lässt sich (in der Ebene) wie folgt durch eine Koordinatengleichung ausdrücken: : \left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 \, = \, r^2 Diese allgemeine Kreisgleichung ergibt sich unmittelbar aus der Kreisdefinition (siehe oben) und dem Satz des Pythagoras. x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis. Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises: : x^2 + y^2 \, = \, 1

Funktionsgleichung

Da der Kreis kein Funktionsgraph ist, lässt er sich auch nicht durch eine Funktionsgleichung darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen verwendet werden: : y \, = \, y_M \, \pm \sqrt Für den Einheitskreis vereinfacht sich dies zu : y \, = \, \pm \sqrt

Parameterdarstellung

Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch Polarkoordinaten): :x \, = \, x_M + r \cos \varphi :y \, = \, y_M + r \sin \varphi Hier werden die Koordinaten x und y durch den Parameter \varphi ausgedrückt, der alle Werte mit 0 \le \varphi < 2 \pi annehmen kann. Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man: :x \, = \, \cos \varphi :y \, = \, \sin \varphi

Kreisberechnung

Da alle Kreise ähnlich sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses definiert die Ludolfsche Zahl oder die Kreiszahl pi (π ≈ 3,1415926535897932). Es handelt sich um eine transzendente Zahl, von der sich gezeigt hat, dass sie in vielen Bereichen der höheren Mathematik eine herausragende Bedeutung besitzt.

Umfang

Im Rahmen der Elementargeometrie ist π das Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser, und zwar für beliebige Kreise. Somit ist: :u \, = d \cdot \pi \, = \, 2r \cdot \pi

Kreisfläche

Die Kreisfläche A (lat. area: Fläche) ist proportional zum Quadrat des Radius r bzw. des Durchmessers d des Kreises. Um die Formel für die Kreisfläche zu erhalten, sind Grenzwert-Betrachtungen unerlässlich. Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der folgenden Zeichnung: 800px Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur. Diese nähert sich - bei feiner werdender Segment-Einteilung - offensichtlich einem Rechteck an mit der Länge πr und der Breite r. Die Flächenformel ist somit : A = r^2 \cdot \pi = \frac

Durchmesser

Der Durchmesser ist: : d=2\cdot\sqrt Die Flächenformel kann auch zum Beispiel durch Integrieren der Kreisgleichung oder mit Hilfe der unten beschriebenen Annäherung durch regelmäßige Vielecke bewiesen werden.

Kreisteile

center Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne). Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt gehen, also die Durchmesser. Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von einem Kreisbogen und zwei Radien begrenzt wird. Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Näherungsrechnungen

liefern zugleich eine Näherung für den Zahlenwert von π:

Auszählen in einem Raster

Die Fläche eines Kreises lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihm kleine Quadrate unterlegt. Zählt man alle Quadrate, die vom Kreis vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die der Kreis lediglich schneidet, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse nähert die wahre Fläche - je nach der Feinheit des Quadrat-Rasters - recht gut an.

Annäherung durch Vielecke

Flächenverdoppelung

Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt und das zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen hat. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt.

Lagebeziehungen zwischen Kreis und Gerade

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten: center
- Falls der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante.
- Stimmt der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente. Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
- Ist der Abstand Mittelpunkt - Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte, und man spricht man von einer Sekante. Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft als Zentrale.

Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis

Der Kreis ist achsensymmetrisch bezüglich jeder Geraden durch seinen Mittelpunkt und punktsymmetrisch bezüglich des Kreismittelpunkts. Die Symmetrieeigenschaften dürften der Grund dafür sein, dass der Kreis seit jeher als besonders vollkommen empfunden wurde. Wegen dieser Vollkommenheit gingen die Astronomen lange Zeit fälschlicherweise davon aus, dass Planeten auf Kreisbahnen die Sonne umrunden, bis schließlich Johannes Kepler erkannte, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind. Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang.
- Thaleskreis
- Winkel am Kreis: Peripheriewinkel (Umfangswinkel), Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel), Sehnentangentenwinkel
- Kreis des Apollonios
- Potenz (Geometrie), Sehnensatz, Sekantensatz, Sekanten-Tangenten-Satz Das Winkelmaß Bogenmaß (Arcus) ist als Verhältnis zwischen der Länge des Kreisbogens, den zwei Radien, die im angegebenen Winkel aufeinander stehen, einschließen, und dem Radius definiert. Die trigonometrischen Winkelfunktionen können im Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1) definiert werden.

Verallgemeinerungen

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse und damit als Kegelschnitt aufgefasst werden: Die beiden Brennpunkte fallen mit dem Kreismittelpunkt zusammen. Beide Halbachsen sind gleich dem Kreisradius. Werden höhere Dimensionen in Betracht gezogen, so ist der Kreis ein Spezialfall einer Sphäre, nämlich eine 1-Sphäre.

Siehe auch


- Einheitskreis
- Polarkoordinaten
- Kreisteilung, Quadratur des Kreises
- Arbelos, Zwillingskreise des Archimedes
- Kurve
- Umkreis, Inkreis, Sehnenviereck, Tangentenviereck
- Großkreis, Kleinkreis, Erdkugel, Meridian, Längenkreis, Breitenkreis
- Kegelschnitt, Johannes Kepler, Kreisbahn
- Kugel, Rundheit
- Analytische Geometrie, Berührbedingung, Schnitt, Spaltform

Weblinks


- [http://www.mathematik-wissen.de/alles_rund_um_den_kreis.htm Kreisberechnung] Kategorie:Ebene Geometrie ja:円 (数学) simple:Circle

Astronomie

] Die Astronomie (griechisch αστρονομία - wörtlich die Gesetzmäßigkeit der Sterne, aus άστρο, ástro - der Stern und νόμος, nómos - das Gesetz) ist die Wissenschaft von den Gestirnen. Sie untersucht mit naturwissenschaftlichen Mitteln die Eigenschaften der Objekte im Weltall, also neben Planeten und Sternen einschließlich der Sonne, Sternhaufen, der interstellaren Materie, Galaxien, Galaxienhaufen und der im Weltall auftretende Strahlung. Darüber hinaus strebt sie nach einem Verständnis des Universums als Ganzes; seiner Entstehung und seinem Aufbau.

Geschichte der Astronomie

Entstehung] Siehe auch den Hauptartikel Geschichte der Astronomie. Die Astronomie gilt als eine der ältesten Wissenschaften. Die Anfänge der Geschichte der Astronomie liegen wahrscheinlich in der kultischen Verehrung der Himmelskörper. In einem jahrtausendelangen Prozess trennten sich zunächst Astronomie und Naturreligion, später Astronomie und Astrologie. Wesentliche Meilensteine für unser Wissen über das Weltall waren die Erfindung des Fernrohrs vor etwa 400 Jahren, das die kopernikanische Wende vollendete, sowie später im 19. Jahrhundert die Einführung der Fotografie und Spektroskopie. Seit der Mitte des 20. Jahrhunderts hat die Astronomie mit der unbemannten und bemannten Raumfahrt die Möglichkeit die Erdatmosphäre zu überwinden und ohne ihre Einschränkungen zu beobachten, also in allen Bereichen des elektromagnetischen Spektrums. Dazu kommt erstmals die Möglichkeit, die untersuchten Objekte direkt zu besuchen und dort andere als nur rein beobachtende Messungen durchführen. Parallel dazu werden immer größere Teleskope für bodengebundene Beobachtungen gebaut.

Fachgebiete der Astronomie

Teleskop] Die astronomische Wissenschaft unterteilt sich im Allgemeinen nach den untersuchten Objekten, sowie danach, ob die Forschung theoretischer oder beobachterischer Natur ist. Wichtige Fachgebiete sind die Physik der Sterne und der Sonne, das Sonnensystem und andere Planetensysteme, das interstellare Medium, die Milchstraße und ihr Zentrum, der Aufbau anderer Galaxien und ihrer aktiven Kerne, das Verständnis der Gammablitze als die energiereichsten Vorgänge im Universum, relativistische Astrophysik (z.B. Schwarze Löcher) und die Kosmologie. Zunehmend weniger wird die Astronomie nach benutzten Wellenlängenbereichen eingeteilt, also Radioastronomie, Infrarotastronomie, Visuelle Astronomie, Ultraviolettastronomie, Röntgenastronomie, und Gammaastronomie, da im Idealfall Informationen aus allen diesen Quellen auch vom einzelnen Forscher herangezogen werden. Mit der Astronomie sehr eng verbunden ist die Physik, beide Fachgebiete haben sich vielfach befruchtet. Das Universum erweist sich in vielen Fällen als Laboratorium der Physik, viele Theorien der Physik können nur am Himmel getestet werden. In den letzten Jahrzehnten ist auch die Zusammenarbeit der Astronomie mit der modernen Geologie und der Geophysik immer wichtiger geworden, da sich diese Wissenschaften in gewissen Bereichen, etwa der Planetologie, mit denselben Objekten befassen. Insbesondere gilt dies für unser eigenes Sonnensystem, für dessen Erforschung Geologie und Geophysik heute einen unverzichtbaren Beitrag leisten. Die Astrobiologie untersucht die Entstehung und Existenz von Leben außerhalb der Erde.

Astronomie und andere Wissenschaften

Astrobiologie] Neben den engeren Methoden der klassischen Astronomie, die sich mit den Mitteln der Astrometrie und der Himmelsmechanik mit dem Aufbau des Weltalls beschäftigt, und der Astrophysik, die die Physik des Weltalls und der Objekte darin erforscht, gibt es zunehmend fächerübergreifende Forschung. Die Astronomie überschneidet sich mit den Wissenschaften der Chemie, Geologie, Geophysik, Mineralogie, Geodäsie, Biologie, und Mathematik. Zahlreiche Bauten und Funde aus vor- und frühgeschichtlicher Zeit werden in astronomischen Zusammenhang interpretiert. Da sich die Astronomie außerdem mit den Fragen nach der Entstehung, der Entwicklung und dem Ende des Universums beschäftigt, gibt es darüberhinaus Schnittpunkte zu Religionswissenschaft und Philosophie.

Referenzen

Siehe auch

Amateurastronomie - Liste bekannter Astronomen - Sternwarte Einen thematischen Zugang zu den Artikeln bietet das Portal:Astronomie und die Astronomiekategorien, außerdem gibt es einen alphabetischen Index der Astronomieartikel.

Literatur


- Joachim Herrmann: dtv-Atlas Astronomie. Dtv, März 2005, ISBN 3423032677
- Astronomie. Basiswissen Schule (Duden), m. CD-ROM, 2001. 271 S. ISBN 3-411-71491-3
- Der neue Kosmos, Albrecht Unsöld, Bodo Baschek, ISBN 3-540-42177-7, Standardlehrbuch für das Studium
- Meyers Handbuch Weltall, Wegweiser durch die Welt der Astronomie, 7. überarb. Aufl., 1994, ISBN 3-411-07757-3

Periodika


- Sterne und Weltraum [http://www.suw-online.de/], Monatszeitschrift für Astronomie
- Interstellarum [http://www.interstellarum.de/], 2-Monatszeitschrift für praktische Astronomie
- Astronomie Heute [http://www.astronomieheute.de/], Populäres Magazin für Astronomie und Raumfahrt (10 Ausgaben/Jahr, deutsche Ausgabe von Sky & Telescope)
- Astronomische Nachrichten [http://www.aip.de/AN/], englischsprachiges Fachjournal

Videos


- Real Video Streams aus der Fernsehsendung Alpha Centauri, siehe auch das [http://www.br-online.de/alpha/centauri/archiv.shtml Archiv der Sendung]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=980927.rm Warum betreiben wir Astronomie?]
  - [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=020106.rm Quo vadis Astronomie?]

Weblinks


- http://www.mpia-hd.mpg.de/suw/suw/SuW/BR-alpha/Elsaesser/Warum_Astronomie-1.html: Warum betreiben wir Astronomie?
- http://www.dsa-faq.de/: Häufig gestellte Fragen in der Deutschen Astronomie-Newsgroup
- http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ NASA: Astronomy Picture of the Day / täglich ein neues astronomisches Bild mit fundierter Erläuterung Für aktuelle Himmelsinformationen, Hinweise zur eigenen Beobachtung und Seiten astronomischer Amateurvereinigungen siehe auch die Links unter Amateurastronomie. ! ja:天文学 ko:천문학 ms:Astronomi simple:Astronomy th:ดาราศาสตร์

Exzentrizität (Mathematik)

Die numerische Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform. Die Exzentrizität eines Kreises ist 0, einer Ellipse zwischen 0 und 1, einer Parabel 1 und einer Hyperbel größer als 1. Die Formel zur Berechnung der numerischen Exzentrizität ist: : \varepsilon = \frac Am Beispiel der Ellipse ergibt sich: : \varepsilon = \frac Im Zähler steht e, die lineare Exzentrizität der Ellipse: : e = \sqrt wobei a und b für die große und kleine Halbachse einer Ellipse stehen. Ellipse mit Beschriftung und Brennlinien Die numerische Exzentrizität dient in der Astronomie der Beschreibung eines Orbits in Form einer Keplerbahn. Im geozentrischen Weltbild wurde der Begriff benutzt, um Kreisbahnen zu beschreiben, in deren Mittelpunkt nicht die Erde steht. Unter den Planeten unseres Sonnensystems hat die Venus mit 0,0067 die geringste Exzentrität und der Pluto mit 0,2444 die größte. Die Werte für die anderen Planeten, unter anderem auch für deren mittlere Entfernung zur Sonne, können in der Tabelle der Planetendaten nachgelesen werden. Ihre Exzentrizität wird durch folgende Gleichung berechnet: Exzentrizit\ddot at = \frac Die Werte für Aphel und Perihel können dem Artikel Apsis (Astronomie) entnommen werden. Siehe auch: Ellipse, Keplersche Gesetze, Bahnelemente Kategorie:Geometrie als:Exzentrizität (Mathematik)

Umlaufbahn

Als Umlaufbahn oder Orbit wird die Bahnkurve bezeichnet, auf der sich ein Objekt periodisch um ein anderes (massereicheres, zentrales) Objekt bewegt. Die Bahn, die ein künstlicher Satellit oder ein natürlicher Himmelskörper bei Umrundung eines anderen Himmelskörpers beschreibt, hat genähert die Form einer Ellipse. Paare solcher Körper sind vor allem:
- Satellit, Raumtransporter oder Mond um die Erde
- Mond (Trabant) um einen der anderen Planeten
- Planeten, Kometen oder Asteroiden (Planetoiden) um die Sonne
- Doppelsterne umeinander.
- Jedoch sind nicht alle Bahnen geschlossen oder zeitlich stabil. Kometenbahnen können langgestreckt wie Hyperbeln sein, Mehrfachsterne oder Asteroiden auf instabile Bahnen gelangen. Der Umlauf aller Sterne um das galaktische Zentrum gleicht einer spiraligen Rotation mit 100 bis 300 Millionen Jahren. Jede Bahnellipse hat eine charakteristische Umlaufzeit, die sich aus der Masse der Objekte (vor allem des Zentralkörpers) und dem mittleren Bahnradius ergibt. Der Umlauf erfolgt genähert in einer "Bahnebene", die den Schwerpunkt der zwei Körper enthält. Der Vektor, der vom Zentralobjekt zum umlaufenden Objekt weist, wird Radiusvektor genannt.

Planeten, Bahnelemente, Doppelsterne

Am genauesten kennt man die Umlaufbahnen der Planeten unseres Sonnensystems. Anfang des 17.Jahrhunderts erkannte Johannes Kepler bei der Analyse der Marsbahn, dass diese Umlaufbahnen Ellipsen sind (siehe Keplersche Gesetze). Ähnliches gilt für alle Himmelskörper, die sich um die Sonne bewegen und keinen anderen Kräften (wie etwa der Sonnenwind) ausgesetzt sind. Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz kann man ableiten, dass in jedem Zweikörpersystem die Bahnen Kegelschnitte sind - das heißt Kreise, Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln. Hyperbelnen. Die Richtung des Bahnknotens (Ω) wird vom Frühlingspunkt gezählt (Näheres siehe Keplerellipse).]] Sie lassen sich - bei bewegten Punktmassen im Vakuum - exakt durch 6 Bahnelemente beschreiben:
- die Ellipsenform durch große Halbachse und Exzentrizität (a, e)
- die Bahnebene durch die zwei Winkel i, Ω
- und die Ellipsenlage und Perigäumszeit durch ω und T. Die wahren Umlaufbahnen weichen allerdings von diesen idealen "Keplerellipsen" ab, weil sie prinzipiell auch der Gravitationswirkung aller anderen Körper des Systems unterliegen. Solange die Körper weit genug voneinander entfernt sind, bleiben die Differenzen zu den idealisierten Kegelschnitten minimal. Die sog. Bahnstörungen lassen sich durch die "Störungsrechnung" der Himmelsmechanik ermitteln, die auf Carl Friedrich Gauß und einige seiner Zeitgenossen zurückgeht. Sie modelliert die einzelnen Kräfte und berechnet, wie die momentane Keplerellipse "oskulierend" in die nächste Ellipse übergeht. Zusätzlich bewirkt jede ungleiche Massenverteilung - wie die Abplattung von rotierenden Planeten - ein etwas inhomogenes Gravitationsfeld; es ist insbesondere an Änderungen der Bahnen ihrer Monde zu bemerken. Auch die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt Effekte, welche die Umlaufbahnen geringfügig verändern. Beispielsweise zeigt der Planet Merkur eine zwar kleine, aber durchaus messbare Abweichung von einer Ellipsenbahn. Er kommt nach einem Umlauf nicht mehr genau auf den Ausgangspunkt zurück, sondern folgt durch einer rechtläufigen Drehung der Apsidenlinie einer Rosettenbahn. Diese Periheldrehung kann die Newtonsche Gravitationstheorie zwar erklären, aber nicht vollständig. Dazu müsste die Sonne eine etwas abgeflachte Form haben. Eine hinreichende Erklärung für die Gesamtgröße der Periheldrehung aller betroffenen Planeten liefert die Allgemeine Relativitätstheorie. Auch Doppelsterne folgen genähert den Keplerschen Gesetzen, wenn man ihre Bewegung als zwei Ellipsen um den gemeinsamen Schwerpunkt versteht. Nur bei Mehrfachsystemen oder sehr engen Sternpaaren sind spezielle Methoden der Störungsrechnung erforderlich. Noch größere Instabilitäten weisen die Orbite zweier eng einander umkreisender Neutronensterne auf. Durch die Effekte der Raum-Zeit-Relativität entsteht Gravitationsstrahlung, und die Neutronensterne stürzen (nach langer Zeit) ineinander. Zahlreiche Röntgenquellen am Himmel sind auf diese Weise zu erklären. Als die Physiker um die Jahrhundertwende begannen, die Bahnen der Elektronen im Atom zu berechnen, dachten sie an ein Planetensystem im Kleinen. Die ersten Modelle waren Keplerbahnen der Elektronen um den Atomkern. Allerdings erkannte man bald, dass Elektronen, die um den Kern kreisen, gemäß den Maxwellgleichungen Elektromagnetische Wellen aussenden und wegen der so abgestrahlten Energie in Bruchteilen von Sekunden in den Atomkern stürzen müssten. Dies war eines der Probleme, die schließlich zur Entwicklung der Quantenmechanik führten.

Erdumlaufbahnen

Die meisten Raumflüge finden in niedrigen Bahnen (einige 100 km) um die Erde statt (z.B. Space-Shuttle-Missionen). Von besonderer Bedeutung ist auch die geostationäre Bahn in 35.800 km Höhe ohne Bahnneigung. Satelliten in diesem Orbit stehen relativ zur Erdoberfläche still, was insbesondere für Kommunikationssatelliten von Vorteil ist. Entgegengesetzte Forderungen werden an Beobachtungssatelliten wie Wettersatelliten oder Spionagesatelliten gestellt. Diese sollen nach Möglichkeit die gesamte Erdoberfläche beobachten können. Deshalb wird hier ein niedriger polarer Orbit gewählt, d.h. der Satellit fliegt ungefähr über die Pole der Erde. Durch diese Bahn können alle Breitengrade erfasst werden, und da sich die Erde unter der Bahnebene durch dreht, kann so nach und nach die gesamte Erdoberfläche untersucht werden.

Arten von Erdorbits

Low Earth Orbit (LEO)


- Höhe: 200 - 1200km
  - Höhen zwischen 1200 und 3000 km Höhe sind zwar theoretisch denkbar, werden aber auf Grund der hohen Strahlungsbelastung durch den Van-Allen-Gürtel nach Möglichkeit vermieden.
- Besonderheiten: Energieärmste Bahnen und damit am leichtesten zu erreichen. Raumfahrzeuge bewegen sich mit etwa 7 km/s mindestens 10x schneller um die Erde, als diese sich dreht.
- Wird genutzt für:
  - Low-Earth-Orbit-Satellit
  - Bemannte Raumfahrt (außer den Apollo-Missionen zum Mond) und Raumstationen.
  - Spionagesatelliten (aufgrund ihrer Erdnähe) (z.B. amerikanische Keyhole-Satelliten)
  - astronomische Satelliten (z.B. Hubble Teleskop)
  - Erderkundungssatelliten (z.B. ERS)
  - Globale Kommunikationssatellitensysteme (z.B. Iridium)

Sonnensynchroner Orbit (SSO)


- Höhe: 700-1000 km
- Besonderheiten: Durch die Abweichung der Erde von der Kugelform wirkt auf jede Satellitenbahn, die nicht genau im Äquator oder senkrecht dazu liegt, ein Drehmoment, das eine Präzessionsbewegung der Bahnebene um die Erdachse zur Folge hat. Bei Satellitenbahnen, die in die gleiche Richtung wie die Erdrotation verlaufen, wirkt die Präzessionsbewegung entgegengesetzt zur Erdrotation. Bei Bahnen entgegen der Erdrotation wirkt die Präzession in die gleiche Richtung wie die Erdrotation.
Bei einer bestimmten Inklination zwischen ca. 96° und 99° (u.a. abhängig von der Höhe des Orbits) beträgt die Präzession für Satelliten im LEO genau eine Umdrehung pro Jahr, so dass die Orientierung der Bahn gegenüber der Sonne immer gleich bleibt. Der Satellit passiert einen Punkt auf der Oberfläche immer zur selben Ortszeit, wodurch sich die gewonnenen Daten verschiedener Tage leichter vergleichen lassen, da sich das Reflexionsverhalten von Oberflächen mit dem Einfallswinkel der Sonnenstrahlen ändert. Eine genaue wissenschaftliche Klassifikation und ein Vergleich der Daten ist also nur dann möglich, wenn der Winkel Sonne-Erde-Satellit im Beobachtungszeitraum immer gleich ist, was durch den SSO erreicht wird. Bewegt sich der Satellit entlang der Dämmerungszone (Morgen- bzw. Abendstunde), läßt sich auf optischen Aufnahmen die Höhe von Objekten aus der Länge des Schattenwurfs ableiten. Wenn der Satellit zusätzlich die Erde so umkreist, dass er den Erdschatten nicht passiert, kann er ständig von Solarzellen mit Energie versorgt werden und benötigt keine Batterien.
- Wird genutzt für:
  - Erderkundungssatelliten wie Landsat, ERS usw.
  - Meteorologische Satelliten
  - Spionagesatelliten
  - Sonnenbeobachtungssatelliten wie ACRIMSat, TRACE

Medium Earth Orbit (MEO)


- Höhe: 1000-36000 km
- Besonderheiten: Bahnhöhe zwischen LEO und GEO
- Wird genutzt für:
  - Medium-Earth-Orbit-Satellit
  - Globale Kommunikationssatellitensysteme wie Globalstar
  - Navigationssatelliten wie GPS, Galileo oder Glonass

Geotransfer Orbit (GTO)

: siehe auch: GTO-Transferbahn
- Höhe: 200-800 km Perigäum, 36000 km Apogäum
- Besonderheiten: Übergangsorbit, um einen GEO zu erreichen (siehe auch Hohmann-Transfer). Das Perigäum wird in den meisten Fällen vom Satelliten selbst angehoben, indem im Apogäum ein Raketenmotor gezündet wird. Einige Raketen wie die russischen Proton und die amerikanischen Titan IIIC, Titan IV Centaur, Atlas V und Delta IV sind in der Lage, Satelliten direkt im geostationären Orbit auszusetzten.

Geostationärer Orbit (GEO bzw. GSO)

:siehe auch: Geosynchrone Umlaufbahn
- Höhe: 35786 km auf einer Kreisbahn über dem Äquator
- Besonderheiten: Ein Satellit im GEO umrundet die Erde genauso schnell wie diese sich dreht - befindet sich also bezüglich eines Punktes auf der Erdoberfläche immer an derselben Position.
- Wird genutzt für:
  - Geostationärer Satellit
  - Kommunikationssatelliten
  - Satelliten für TV-Übertragung wie Astra oder Eutelsat

Highly Elliptical Orbit (HEO)

Geostationäre Orbits sind für die Versorgung von Polargebieten ungeeignet, weil die Satelliten in Polargebieten nur eine geringe Elevation haben, ab dem 82. Breitengrad sogar ganz unter den Horizont rutschen. HEO-Orbits sind hier eine Alternative, auch wenn der Aufwand für das Senden (mindestens 2 Satelliten für 24-Stunden-Versorgung notwendig) und Empfangen (Antennennachführung notwendig) deutlich höher als bei GEO sind. Siehe auch: Highly-Elliptical-Orbit-Satellit

Überblick der Umlaufbahnen

Eigenschaften

Highly-Elliptical-Orbit-Satellit Da die Form eines Orbits weitgehend einer Ellipse entspricht, wird die Flugbahn eines Satelliten über die Lage dieser Ellipse bezüglich des Zentralkörpers beschrieben.

Position der Ellipse bezüglich des Zentralkörpers


- i Inklination (Bahnneigung)
- \Omega Länge des aufsteigenden Knotens
- \omega Winkelabstand des Perigäums

Position auf der Ellipse und Form


- \phi wahre Anomalie
- a Große Halbachse
- e Exzentrizität

Umlaufzeit

Die Umlaufzeit eines Orbits berechnet sich zu :U = \sqrt mit
- U die Umlaufzeit,
- a die Große Halbachse,
- M1 und M2 die Massen des Zentralkörpers und des Satelliten,
- G die Gravitationskonstante. Zu beachten ist, dass die Umlaufzeit unabhängig von der Exzentrizität und damit von der kleinen Halbachse der Bahn ist. Alle ellipsenförmigen Umlaufbahnen mit der gleichen großen Halbachse benötigen die gleiche Umlaufzeit.

Siehe auch


- Bahnbestimmung, Bahnneigung, Bahnebene
- Baryzentrum, Gravitationskonstante, Himmelsmechanik
- Bahnstörungen eines Satelliten, Entdeckung des Neptun
- Atommodell, Niels Bohr
- Astrojax

Weblinks


- [http://www.schulphysik.de/strutz/keplergl.pdf wahre/ exzentrische Anomalie in Keplerbahnen (pdf-Dokument)] Kategorie:Himmelsmechanik simple:Orbit th:วงโคจร

Mond (Trabant)

Ein natürlicher Satellit (meistens allerdings Mond genannt oder auch Trabant) ist ein Himmelskörper, der einen Planeten oder einen Planetoiden in einem Sonnensystem umkreist. Der Planet oder Planetoid umkreist gemeinsam mit seinem Mond, bzw. seinen Monden, das Zentralgestirn des Sonnensystems. Es ist kein Fall bekannt, wo ein Mond seinerseits wieder einen natürlichen Satelliten hätte. In unserem Sonnensystem haben sieben Planeten einen oder mehrere Monde:
- Erde - Erdmond
- Mars - Phobos und Deimos
- Jupiter - Ganymed (größter des Sonnensystems), Io, Europa, Kallisto und weitere 59 bekannte Monde
- Saturn - Titan (einziger Mond des Sonnensytems mit einer dichten Atmosphäre), Rhea, Enceladus, Dione, Tethys, Hyperion, Iapetus und weitere 24 bekannte Monde.
- Uranus - Titania, Oberon, Ariel, Miranda und weitere 21 bekannte Monde
- Neptun - Triton und weitere 12 bekannte Monde
- Pluto - Charon, S/2005 P1, S/2005 P2 Auch Planetoiden (Asteroiden) haben Monde. Die Sonde Galileo fotografierte erstmals 1993 Dactyl als Mond des Asteroiden Ida (243). 1999 konnte erstmals für Asteroid Eugenia (45) mit einem erdgestützten Teleskop ein Mond nachgewiesen werden. Der Artikel Liste der natürlichen Satelliten enthält eine Liste aller derzeit bekannten natürlichen Satelliten.

Weblinks


- [http://www.astro.univie.ac.at/~wuchterl/Kuffner/im_brennp/archiv2003/was_ist_ein_mond.html Was ist ein Mond?] Kategorie:Planetologie als:Satellit (Astronomie) th:ดาวบริวาร

Asteroid

Als Asteroiden bezeichnet man kleine planetenähnliche Objekte, die sich in Keplerschen Umlaufbahnen um die Sonne bewegen. In der Terminologie der Astronomen wird ein Asteroid (sternähnliches Objekt) häufig als Kleinplanet oder Planetoid (planetenähnliches Objekt) bezeichnet. Bislang sind etwa 220 000 Asteroiden bekannt, wobei die tatsächliche Anzahl wohl in die Millionen gehen dürfte. Nur die wenigsten haben allerdings mehr als 100 km Durchmesser. Bis vor einigen Jahren war Ceres der größte bekannte Planetoid. Diesen Rang musste er inzwischen abgeben. Im Kuipergürtel wurden Objekte wie Quaoar (vorherige vorläufige Bezeichnung 2002 LM60) mit 1250 km Durchmesser, Orcus (2004 DW) mit einem Durchmesser von 1600–1800 km und 2003 UB313 mit 2500–3200 km Durchmesser gefunden. Jenseits des Kuipergürtels wurde Ende 2003 der etwa 1700 km große Asteroid Sedna (2003 VB12) entdeckt. Weitere große Asteroiden sind Pallas, Vesta, Juno, Hebe, Iris, Hygeia, Parthenope, Eunomia, Arethusa und Astraea.

Die Geschichte der Asteroidenforschung

Bereits im Jahre 1760 entwickelte der deutsche Gelehrte Johann Daniel Titius eine einfache mathematische Formel (Titius-Bode-Reihe), nach der die Abstände der Planeten zueinander ins Verhältnis gesetzt werden. Die Reihe enthält jedoch eine Lücke, da zwischen Mars und Jupiter, im Abstand von 2,8 AE, ein Planet fehlt. Ende des 18. Jahrhunderts setzte eine regelrechte Jagd auf den unentdeckten Planeten ein. Das erste internationale Forschungsvorhaben wurde ins Leben gerufen, organisiert von Baron Franz Xaver von Zach, der seinerzeit an der Sternwarte Gotha tätig war. Der Himmel wurde in 24 Sektoren eingeteilt, die von Astronomen in ganz Europa systematisch abgesucht wurden. Für den Planeten hatte man bereits den Namen „Phaeton“ reservieren lassen. Fündig wurde man allerdings nicht. In der Neujahrsnacht des Jahres 1801 entdeckte der Astronom und Theologe Giuseppe Piazzi im Teleskop der Sternwarte von Palermo (Sizilien) bei der Durchmusterung des Sternbildes Stier einen schwachen Stern, der in keiner Sternkarte verzeichnet war. Piazzi hatte von dem Forschungsvorhaben gehört und beobachtete den Stern in den folgenden Nächten, da er vermutete, den gesuchten Planeten gefunden zu haben. Er sandte seine Beobachtungsergebnisse an Zach, wobei er das Objekt zunächst als neuen Kometen bezeichnete. Piazzi erkrankte und konnte seine Beobachtungen nicht fortsetzen. Bis zur Veröffentlichung von Piazzis Beobachtungen war viel Zeit vergangen. Der Himmelskörper war weiter in Richtung Sonne gewandert und konnte zunächst nicht wieder gefunden werden. Der Mathematiker Gauß hatte allerdings ein numerisches Verfahren entwickelt (unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate), die es erlaubte, die Bahnen von Planeten oder Kometen anhand nur weniger Positionen zu bestimmen. Nachdem Gauss die Veröffentlichungen Piazzis gelesen hatte, berechnete er die Bahn des Himmelskörpers und sandte das Ergebnis nach Gotha. Heinrich Wilhelm Olbers entdeckte das Objekt daraufhin am 31. Dezember 1801 wieder, dass schließlich den Namen Ceres erhielt. Im Jahre 1802 entdeckte Olbers einen weiteren Himmelskörper, den er Pallas nannte. 1803 wurde Juno, 1807 Vesta entdeckt. Bis zur Entdeckung des fünften Asteroiden, Astraea im Jahre 1847, vergingen fast 40 Jahre. Es folgten allerdings rasch weitere Entdeckungen, wie die Düsseldorfer Planetoiden, so dass im Jahre 1890 etwa 300 Asteroiden bekannt waren. Nach 1890 brachte die Einführung der Fotografie in die Astronomie wesentliche Fortschritte. Die Asteroiden, die bis dahin mühsam durch den Vergleich von Teleskopbeobachtungen mit Himmelskarten gefunden wurden, verrieten sich nun durch Lichtspuren auf den fotografischen Platten. Durch die im Vergleich zum menschlichen Auge höhere Lichtempfindlichkeit der fotografischen Emulsionen konnten äußerst lichtschwache Objekte nachgewiesen werden. Durch den Einsatz der neuen Technik stiegt die Zahl der entdeckten Asteroiden rasch an. Die Einführung der CCD-Kameratechnik um 1990 und die Möglichkeiten der computerunterstützten Auswertung der elektronischen Aufnahmen bedeutete einen weiteren wesentlichen Fortschritt. Bislang sind etwa 220.000 Asteroiden katalogisiert worden. Ist die Bahn eines Asteroiden bestimmt worden, kann die Größe des Himmelskörpers aus der Untersuchung seiner Helligkeit und des Rückstrahlvermögens, der Albedo, ermittelt werden. Dazu werden Messungen im optisch sichtbaren Licht sowie im Infrarotbereich durchgeführt. Diese Methode ist mit Unsicherheiten verbunden, da die Oberflächen der Asteroiden chemisch unterschiedlich aufgebaut sind und das Licht unterschiedlich stark reflektieren. Genauere Ergebnisse können mittels Radarbeobachtungen erzielt werden. Dazu können Radioteleskope verwendet werden, die, als Sender umfunktioniert, starke Radiowellen in Richtung der Asteroiden aussenden. Durch die Messung der Laufzeit der von den Asteroiden reflektierten Wellen kann deren exakte Entfernung bestimmt werden. Die weitere Auswertung der Radiowellen liefert Daten zu Form und Größe. Regelrechte „Radarbilder“ lieferte beispielsweise die Beobachtung der Asteroiden Castalia und Toutatis. Eine Reihe von Asteroiden konnte mittels Raumsonden näher untersucht werden:
- Die Raumsonde Galileo flog auf ihrem Weg zum Planeten Jupiter im Jahre 1991 am Asteroiden Gaspra und 1993 an Ida vorbei.
- Die Sonde NEAR-Shoemaker flog 1997 an dem Asteroiden Mathilde vorbei und landete 2001 auf Eros.
- Die Sonde Deep Space 1 passierte 1999 den Asteroiden Braille in 26 km Abstand.
- Die Sonde Stardust zog 2002 in 3.300 km Entfernung am Asteroiden Annefrank vorbei.
- Die japanische Sonde Hayabusa ereichte 2005 den Asterioden Itokawa und soll von dort Gesteinsproben zur Erde transferieren.

Die Benennung der Asteroiden

Hauptartikel: Benennung von Asteroiden und Kometen Die Namen der Asteroiden setzen sich aus einer vorangestellten Nummer und einem Namen zusammen. Die Nummer gab früher die Reihenfolge der Entdeckung des Himmelskörpers an. Heute ist sie eine rein numerische Zählform, da sie erst vergeben wird, wenn die Bahn des Asteroiden gesichert ist (das Objekt ist jederzeit wieder auffindbar). Das kann durchaus auch erst Jahre nach der Erstbeobachtung erfolgen. Der Entdecker hat innerhalb von 10 Jahren nach der Nummerierung das Vorschlagsrecht für die Vergabe eines Namens. Dieser muss aber durch eine Kommission der Internationalen Astronomischen Union bestätigt werden, da es Richtlinien für die Namen astronomischer Objekte gibt. Dementsprechend existieren zahlreiche Asteroiden zwar mit Nummer, aber ohne Namen, vor allem in den oberen Zehntausendern. Neuentdeckungen, für die noch keine Bahn mit ausreichender Genauigkeit berechnet werden konnte, werden mit dem Entdeckungsjahr und einer Buchstabenkombination, beispielsweise 2003 UB313, gekennzeichnet. Die Buchstabenkombination setzt sich aus dem ersten Buchstaben für die Monatshälfte (beginnend mit A und fortlaufend bis Y ohne I) und einem fortlaufenden Buchstaben zusammen. Wenn mehr als 24 Kleinplaneten in einer Monatshälfte entdeckt werden - was heute die Regel ist - beginnt die Buchstabenkombination von vorne, gefolgt von jeweils einer je Lauf um eins erhöhten laufenden Nummer. Der erste Asteroid wurde 1801 von Giuseppe Piazzi an der Sternwarte Palermo auf Sizilien entdeckt. Piazzi taufte den Himmelskörper auf den Namen Ceres Ferdinandea. Die römische Göttin Ceres ist Schutzpatronin der Insel Sizilien. Mit dem zweiten Namen wollte Piazzi König Ferdinand IV., den Herrscher über Italien und Sizilien ehren. Dies missfiel der internationalen Forschergemeinschaft und man ließ ihn weg. Die offizielle Bezeichnung des Asteroiden lautet demnach (1) Ceres. Bei den weiteren Entdeckungen wurde die Nomenklatur beibehalten und die Asteroiden wurden nach römischen und griechischen Göttinnen benannt; dies waren (2) Pallas, (3) Juno, (4) Vesta ... (17) Thetis (der erste von 24 Düsseldorfer Planetoiden), (288) Glauke (der letzte der Düsseldorfer Planetoiden) und so weiter. Anfänglich galt auch das ungeschriebene Gesetz, dass Asteroiden stets weibliche Namen erhielten; dieses wurde erstmals beim Asteroiden (334) Chicago gebrochen. Als immer mehr Asteroiden entdeckt wurden, gingen den Astronomen die antiken Gottheiten aus. So wurden Asteroiden unter anderem nach den Ehefrauen der Entdecker, zu Ehren historischer Persönlichkeiten oder Persönlichkeiten des öffentlichen Lebens, Städten, Märchenfiguren und Gottheiten aus anderen Religionen benannt. Beispiele hierfür sind die Asteroiden Kleopatra, Albert, Annefrank, Jodiefoster, Lutetia, Rumpelstilz, Varuna, Quaoar und Sedna. Diese Praxis trieb Blüten. So ist beispielsweise der 1935 entdeckte Planetoid Haremari zu Ehren beliebter Schauspielerinnen und der Freundinnen einiger Mitarbeiter des Astronomisches Recheninstituts in Heidelberg benannt, als Harem des ARI.

Die Entstehung der Asteroiden

Zunächst gingen die Astronomen davon aus, dass die Asteroiden das Ergebnis einer kosmischen Katastrophe seien, bei der ein Planet zwischen Mars und Jupiter auseinanderbrach und Bruchstücke auf seiner Bahn hinterließ. Es zeigte sich jedoch, dass die Gesamtmasse der im Hauptgürtel vorhandenen Asteroiden sehr viel geringer ist als die des Erdmondes. Daher nimmt man heute an, dass die Asteroiden eine Restpopulation von Planetesimalen aus der Entstehungsphase des Sonnensystems darstellen. Die Gravitation von Jupiter, dessen Masse am schnellsten zunahm, verhinderte die Bildung eines größeren Planeten aus dem Asteroidenmaterial. Die Planetesimale wurden auf ihren Bahnen gestört, kollidierten immer wieder heftig miteinander und zerbrachen. Ein Teil wurde auf Bahnen abgelenkt, die sie auf Kollisionskurs mit den Planeten brachten. Hiervon zeugen noch die Impaktkrater auf den Planetenmonden und den inneren Planeten. Die größten Asteroiden wurden nach ihrer Entstehung stark erwärmt (hauptsächlich durch den radioaktiven Zerfall des Aluminium-Isotops 26Al und möglicherweise auch des Eisenisotops 60Fe) und im Innern aufgeschmolzen. Schwere Elemente, wie Nickel und Eisen, setzten sich infolge der Schwerkraftwirkung im Inneren ab, die leichteren Verbindungen, wie die Silikate, verblieben in den Außenbereichen. Dies führte zur Bildung von differenzierten Körpern mit metallischem Kern und silikatischem Mantel. Ein Teil der differenzierten Asteroiden zerbrach bei weiteren Kollisionen, wobei Bruchstücke, die in den Anziehungsbereich der Erde geraten, als Meteoriten niedergehen.

Die Zusammensetzung der Asteroiden

Die spektroskopische Untersuchung der Asteroiden zeigte, dass deren Oberflächen chemisch unterschiedlich zusammengesetzt sind. Analog erfolgte eine Einteilung in verschiedene spektrale beziehungsweise taxonomische Klassen:
- C-Asteroiden: Dies ist mit einem Anteil von 75 % der häufigste Asteroidentyp. C-Asteroiden weisen eine kohlen- oder kohlenstoffartige (das C steht für Kohlenstoff), dunkle Oberfläche mit einer Albedo um 0,05 auf. Es wird vermutet, dass die C-Asteroiden aus dem gleichen Material bestehen, wie die kohligen Chondriten, einer Gruppe von Steinmeteoriten. Die C-Asteroiden bewegen sich im äußeren Bereich des Hauptgürtels.
- S-Asteroiden: Der mit einem Anteil von 17 % zweithäufigste Typ (das S steht für Silikat) kommt hauptsächlich im inneren Bereich des Hauptgürtels vor. S-Asteroiden besitzen eine hellere Oberfläche mit einer Albedo von 0,15 bis 0,25. Von ihrer Zusammensetzung her ähneln sie den gewöhnlichen Chondriten, einer Gruppe von Steinmeteoriten, die überwiegend aus Silikaten zusammengesetzt sind.
- M-Asteroiden: Der überwiegende Rest der Asteroiden wird diesem Typ zugerechnet. Bei den M-Meteoriten (das M steht für metallisch) dürfte es sich um die metallreichen Kerne differenzierter Asteroiden handeln, die bei der Kollision mit anderen Himmelskörpern zertrümmert wurden. Sie besitzen eine ähnliche Albedo wie die S-Asteroiden. Ihre Zusammensetzung dürfte der von Nickel-Eisenmeteoriten gleichen.
- E-Asteroiden: Die Oberflächen dieses seltenen Typs von Asteroiden bestehen aus dem Mineral Enstatit. Chemisch dürften sie den Enstatit-Chondriten, einer Gruppe von Steinmeteoriten, ähneln. E-Asteroiden besitzen eine hohe Albedo von 0,4 und mehr.
- V-Asteroiden: Dieser seltene Typ von Asteroiden (das V steht für Vesta) ist ähnlich zusammengesetzt, wie die S-Asteroiden. Der einzige Unterschied ist der erhöhte Anteil an Pyroxen-Mineralen. Es wird angenommen, dass alle V-Asteroiden aus dem silikatischen Mantel von Vesta stammen und bei der Kollision mit einem anderen großen Asteroiden abgesprengt wurden. Darauf weist ein gewaltiger Impaktkrater auf Vesta hin. Die auf der Erde gefundenen HED-Achondrite, eine seltene Gruppe von Steinmeteoriten, könnten ebenfalls von Vesta stammen, da sie eine ähnliche chemische Zusammensetzung aufweisen.
- G-Asteroiden: Können als Untergruppe der C-Klasse angesehen werden, da sie ein ähnliches Spektrum aufweisen, jedoch im UV-Bereich unterschiedliche Absorptionslinien aufweisen.
- B-Asteroiden: Ähnlich zusammengesetzt, wie die C- und G-Klasse. Abweichungen im UV-Bereich.
- F-Asteroiden: Ebenfalls eine Untergruppe der C-Klasse, jedoch mit Unterschieden im UV-Bereich. Außerdem fehlen Absorptionslinien im Wellenlängenbereich des Wassers.
- P-Asteroiden: Asteroiden dieses Typs besitzen eine sehr geringe Albedo und ein Spektrum im rötlichen Bereich. Sie sind wahrscheinlich aus Silikaten mit Kohlenstoffanteilen zusammengesetzt. P-Asteroiden halten sich im äußeren Bereich des Hauptgürtels auf.
- D-Asteroiden: Dieser Typ ist ähnlich zusammengesetzt, wie die P-Asteroiden, mit einer geringen Albedo und einem rötlichen Spektrum.
- R-Asteroiden: Dieser Typ ist ähnlich aufgebaut, wie die V-Asteroiden. Das Spektrum weist auf hohe Anteile an Olivin und Pyroxene hin.
- A-Asteroiden: Das Spektrum der A-Asteroiden zeigt deutliche Olivinbande und weist auf einen völlig differenzierten Mantelbereich hin. A-Asteroiden halten sich im inneren Bereich des Hauptgürtels auf.
- T-Asteroiden: Dieser Asteroidentyp gehört ebenfalls zum inneren Bereich des Hauptgürtels. Er weist ein dunkles rötliches Spektrum auf, unterscheidet sich jedoch von den P- und R-Asteroiden. In der Vergangenheit ging man davon aus, dass die Asteroiden monolithische Felsbrocken, also kompakte Gebilde sind. Die geringen Dichten sowie das Vorhandensein von riesigen Impaktkratern lassen jedoch den Schluss zu, dass die größeren Asteroiden locker aufgebaut sind und eher als lose „Schutthaufen“, die durch die Gravitation zusammengehalten werden, anzusehen sind. Locker aufgebaute Körper können die bei Kollisionen auftretenden Kräfte absorbieren ohne zerstört zu werden. Kompakte Körper werden dagegen bei größeren Impaktereignissen durch die Stoßwellen auseinander gerissen. Darüber hinaus weisen die großen Asteroiden nur geringe Rotationsperioden auf. Eine schnelle Rotation um die eigene Achse würde dazu führen, dass die auftretenden Fliehkräfte die Körper auseinander reißen. Man geht davon aus, dass der überwiegende Teil der über 200 Meter großen Asteroiden derartige kosmische Schutthaufen darstellen.

Die Bahnen der Asteroiden

Asteroiden des Hauptgürtels

Hauptartikel: Asteroidengürtel Etwa 90 % der bekannten Asteroiden bewegen sich innerhalb des Hauptgürtels um die Sonne, einem breiten Gebiet zwischen den Umlaufbahnen von Mars und Jupiter. Sie füllen damit die Lücke in der Titius-Bode-Reihe. Vertreter dieser Asteroiden sind Ceres, Pallas, Juno und Vesta.

Asteroiden innerhalb der Marsbahn

Hauptartikel: Asteroiden innerhalb der Marsbahn Asteroiden, deren Bahnen teilweise innerhalb des Mars verlaufen, gliedert man in 3 Gruppen:
- Amor-Typ: Dieser Asteroidentyp kreuzt die Marsbahn in Richtung Erde. Ein Vertreter ist der 1898 entdeckte Eros (1898, der sich der Erdbahn bis 0,15 AE) nähert. Nahe Vorbeigänge von Eros an der Erde dienten in den Jahren 1900 und 1931 zur genauen Vermessung des Sonnensystems. Der Amor-Asteroid Albert, 1911 von Johann Palisa entdeckt, ging später wieder verloren und konnte erst 2000 wiederentdeckt werden. Der Namensgeber der Gruppe, der 1932 entdeckte Amor, besitzt eine typische Bahn von 1,08 bis 2,76 AE.
- Apollo-Typ: Asteroiden dieses Typs bewegen sich zwischen der Mars- und Erdbahn, wobei einige ihrer Mitglieder sehr exzentrische Umlaufbahnen besitzen, die sie im Perihel-Durchgang ins Innere der Venus-Umlaufbahn bringt (Apollo-Typ). Vertreter sind die 1918 von Max Wolf entdeckte Alinda, der 1932 von K. Reimuth entdeckte Apollo mit einer Bahn von 0,65 bis 2,29 AE und der 1937 entdeckte Hermes, der in nur 1½ facher Monddistanz an der Erde vorbeizog.
- Aten-Typ: Eine Gruppe von erdnahen Asteroiden, die sich typischerweise in einem Abstand von weniger als einer AE, und somit innerhalb der Erdbahn, um die Sonne bewegen. Benannt wurde sie nach dem 1976 entdeckten Aten. Aten-Asteroiden mit exzentrischen Bahnen können die Erdbahn von innen her kreuzen. Weitere Vertreter der Gruppe sind Ra-Shalom, Hathor und Cruithne. Diese Gruppen werden zusammenfassend auch als Erdbahnkreuzer (oder englisch Near-Earth Objects - kurz NEOs) bezeichnet, nach denen wegen einer theoretischen Kollisionsgefahr mit der Erde seit einigen Jahren systematisch gesucht wird. Das erfolgreichste Suchprogramm ist Lincoln Near Earth Asteroid Research (LINEAR). Weitere Suchprogramme sind NEAT und LONEOS.

Enge Begegnungen mit Erdbahnkreuzer


- Am 18. März 2004 passiert um 23:08 Uhr MEZ der Asteroid 2004 FH, ein Gesteinsbrocken mit etwa 30 m Durchmesser, die Erde über dem südlichen Atlantik in einem Abstand von nur 43.000 km.
- Der nur etwa sechs Meter große Asteroid 2004 FU162 näherte sich der Erde am 31. März 2004 auf 6.500 km. Kein anderer derzeit bekannter Kleinplanet ist der Erde näher gekommen.
- Am 13. April 2029 wird der Asteroid Apophis die Erde passieren: Nur etwa der dreifache Erddurchmesser werde zwischen der Erde und dem Asteroiden liegen. Solch ein Ereignis kommt laut Angaben der Universität in Michigan nur alle 1300 Jahre vor.
- Der Asteroid 1950 DA wird der Erde am 16. März 2880 sehr nahe kommen, auch die Möglichkeit einer Kollision mit der Erde besteht. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt allerdings bei nur 0,33 %.

Große und bekannte Einschlagkrater

Asteroiden, die mit anderen Himmelskörpern kollidieren, erzeugen Einschlagkrater. Eine diesbezügliche Auflistung befindet sich ebenfalls im Artikel Einschlagkrater im Absatz Große und bekannte Einschlagkrater.

Asteroiden, die sich auf Planetenbahnen bewegen

Hauptartikel: Trojaner (Astronomie) Asteroiden, die sich in den Lagrange-Punkten der Planeten befinden, nennt man Trojaner. Zuerst entdeckte man diese Begleiter bei Jupiter. Sie bewegen sich auf der Jupiterbahn vor beziehungsweise hinter dem Planeten. Jupitertrojaner sind beispielsweise Achilles und Aeneas. 1990 wurde der erste Marstrojaner entdeckt und Eureka getauft. In der Folgezeit wurden vier weitere Marstrojaner entdeckt.

Asteroiden zwischen Saturn und Uranus

Zwischen den Planeten Saturn und Uranus bewegt sich eine als Zentauren bezeichnete Gruppe von Asteroiden auf exzentrischen Bahnen. Der erste entdeckte Vertreter war Chiron. Die Zentauren stammen vermutlich aus dem Kuipergürtel und sind durch gravitative Störungen auf instabile Bahnen abgelenkt worden.

Transneptunische oder Kuipergürtel-Objekte

Im äußeren Sonnensystem, jenseits der Neptunbahn, bewegen sich die Transneptunischen beziehungsweise Kuipergürtel-Objekte (Kuiper belt objects; KBO). Hier wurden die bislang größten Asteroiden oder Planetoiden entdeckt. Vertreter sind Quaoar, Orcus, Varuna und 2003 UB313.

Asteroiden innerhalb der Merkurbahn

Die Existenz einer weiteren Gruppe von Asteroiden, den Vulkanoiden, konnte bislang nicht nachgewiesen werden. Diese Asteroiden sollen sich auf sonnennahen Bahnen innerhalb des Merkur bewegen.

Siehe auch

Liste der Asteroiden, Liste der Monde und Erdbahnkreuzer

Literatur


- Kometen und Asteroiden. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, Heidelberg 2003 (Sterne und Weltraum Special Nr.2003/2) ISBN 3936278369
- William Bottke, Alberto Cellino, Paolo Paolicchi, Richard P. Binzel (Herausgeber): Asteroids III. Univ. of Arizona Press 2002 (Space Science Series) ISBN 0816522812 (engl.)
- Sternenbote: Jahrgang 45/12, Seite 223-234: Die Asteroiden - Dramatik und Schutt im Planetensystem: Gottfried Gerstbach: Artikel im PDF-Format erhältlich: http://www.g.gerstbach.at/papers/Asteroid1202gg.pdf

Weblinks


- [http://www.wissenschaft.ag/Asteroiden.php4 Asteroiden-Newsletter]
- [http://www.wissenschaft.ag/Asteroiden.php4?tvsearch=Asteroiden Asteroiden im TV]
- [http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html Minor Planet Center] (Englisch)
- [http://www.astro.univie.ac.at/~wuchterl/Kuffner/im_brennp/archiv2002/turiner_skala.html Turiner Skala für das Impakt-Risiko von Asteroiden und Kometen (Verein Kuffner Sternwarte)]
- [http://freenet.meome.de/app/fn/artcont_portal_news_article.jsp/73043.html Trojanerwolken]

Videos

Real Video (Aus der Fernsehsendung Alpha Centauri):
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=981108.rm Asteroiden - Bomben aus dem All?]
- [http://www.br-online.de/cgi-bin/ravi?v=alpha/centauri/v/&f=010902.rm Woher kommen die Asteroiden?] Kategorie:Asteroid ja:小惑星 ko:소행성 ms:Asteroid simple:Asteroid th:ดาวเคราะห์น้อย

Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze beschreiben die Planetenbewegungen um die Sonne. Entdeckt wurden sie von dem Astronomen Johannes Kepler, der in Tübingen studierte und in Prag, Graz und vor allem in Linz tätig war. Als früherer Assistent von Tycho Brahe hatte er Zugriff auf dessen vorzügliches Beobachtungsmaterial vom Planeten Mars. Durch dessen stark exzentrische Bahn war Kepler in der Lage, eine verbesserte Theorie über die Form der Umlaufbahnen aufzustellen. Die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) wurden 1609 in der Astronomia nova (Neue Astronomie) veröffentlicht, das dritte 1619 in den Harmonices mundi (Weltharmonik).

Erstes Keplersches Gesetz

1619 Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Dieses Gesetz ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz. Die dort postulierte Abnahme der Anziehungskraft mit dem Quadrat des Abstands hat als Bahn einen Kegelschnitt zur Folge. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Sonnensystem gebunden ist, durchläuft es auf einer hyperbolischen Bahn und verläßt es anschließend wieder. Ein Einfang findet nicht statt, es sei denn die Bahn des Körpers wird zusätzlich durch einen Planeten gestört, sodass es sich nicht mehr um ein Zweikörperproblem handelt.

Zweites Keplersches Gesetz

hyperbolischen (Konstanz der Flächengeschwindigkeit; Erhaltung des Drehimpulses) Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen. Der Radiusvektor weist vom Zentrum der Umlaufbahn zum jeweils aktuellen Ort des umlaufenden Massekörpers ähnlich wie ein längenveränderlicher Zeiger auf dem Zifferblatt einer Uhr. Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt nun, dass die vom Zeiger überstrichene Fläche des elliptischen Zifferblattes für alle gleich langen Zeitabschnitte gleich groß ist. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist. Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und dem betrachteten Planeten: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern "eiert" ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten. Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander, müssen vernachlässigbar klein sein, sonst ergeben sich merkliche Abweichungen von der Konstanz der Flächengeschwindigkeit. So gilt etwa für den Merkur das geschilderte Gesetz aufgrund verschiedener Störeinflüsse nicht streng, dort gibt es messbare Abweichungen: der Merkur beschreibt eine Rosettenbahn (siehe hierzu auch: Periheldrehung). In einer Sekunde überstreicht die Strecke Erde–Sonne eine Fläche von über 2 Milliarden km². Physikalisch ist das Zweite Keplersche Gesetz gleichbedeutend mit dem Drehimpuls- Erhaltungssatz.

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten (u) je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen (a). Oder:"Die Quadrate der Umlaufzeiten entspechen den Quben der Halbachsen." :\left( \frac \right)^2 = \left( \frac \right)^3 Kepler nannte die Bahnachsen a noch "mittlere Entfernung" von der Sonne (im Sinn des Mittels zwischen Perigäum und Apogäum). Obwohl die drei Gesetze die Planetenbewegung nur im Zweikörperproblem exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit.
Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden "Bahnstörungen" genannt. Sie kommen zustande durch die Gravitation der Planeten untereinander und durch ihre Abplattungen, durch die baryzentrische Bewegung der Sonne wegen der Anziehung der Planeten und durch relativistische Effekte. Letztere zeigen sich besonders in der Periheldrehung des Merkur. Methoden zur Berücksichtigung solcher Bahnstörungen bietet die Variation der Elemente mit dem Konzept der oskulierenden Umlaufbahnen. Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Planeten im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes: :\left( \frac \right)^2 = \left( \frac \right)^3 \frac Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Planeten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralgestirn eine Masse M hat, die von der eines der beiden Planeten nicht sehr stark abweicht. Dennoch sind die Kepler-Gesetze, und die auf ihnen beruhenden jeweils 6 Bahnelemente, die Grundlage jeder Bahnbestimmung. In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält man unmittelbar die Umlaufzeit T eines Planeten um die Sonne: : T = \sqrt mit: :G: Gravitationskonstante :a: große Halbachse :M: Sonnenmasse :m: Planetenmasse (vernachlässigbar gegenüber M) [http://www.google.de/search?hl=de&q=sqrt%281.5e11%5E3+%2A+4%2A+3.1415%5E2%2F%286.67e-11+%2A+2e30%29&btnG=Suche&meta= Beispiel Erde (Onlinerechner): T = \sqrt  s] = 31602834 s = 365 Tage

Anima motrix

Kepler kannte das Gravitationsgesetz, das die Planeten in ihrer Umlaufbahn hält nicht. Stattdessen spekulierte er, dass von der Sonne eine magnetartige Kraft, die sog. anima motrix ausgehe, die eben diese Aufgabe erfülle. Die Beziehung der Intensität der anima motrix zu der Distanz zwischen Sonne und Planeten dachte er analog zu der Abnahme der Intensität des Lichtes bei Entfernung von einer Lichtquelle. Intensität ∝ Licht propagiert jedoch in alle Richtungen, wobei die Wirkung der anima motrix auf die Umlaufbahn der Planeten beschränkt war.

Siehe auch


- Bahnelemente
- Ekliptik
- Newton
- Rudolfinische Tafeln
- Apsiden

Weblinks


- [http://www.eduvinet.de/gebhardt/astronomie/kepler.html Verständliche Darstellung]
- [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler1.htm Java-Applet: 1. Keplersches Gesetz]
- [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler2.htm Java-Applet: 2. Keplersches Gesetz]
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Versuche und Aufgaben] Kategorie:Physik Kategorie:Erkenntnis in der Geschichte der Astronomie Kategorie:Himmelsmechanik ja:ケプラーの法則 ko:케플러 법칙

Umlaufzeit

In der Astronomie ist die Umlaufzeit die Zeit, in der ein Himmelskörper eine vollständige Umrundung zu seinem Bezugspunkt vollführt. Hierbei ist zu beachten, dass es mehrere Bezugspunkte geben kann. So kann z.B. die Umlaufzeit des Mondes mit oder ohne Einrechnung der gleichzeitigen Bewegung der Erde um die Sonne angegeben werden. Normalerweise wird die Umlaufzeit gegen ein möglichst statisches Bezugssystem angegeben, wofür meist der Sternhimmel dient. Eine solche Umlaufzeit wird "siderisch" (relativ zu den Sternen) genannt. Der Bezug kann aber auch die (scheinbare) Sonnenposition sein (Synodische Periode), der Knoten einzelner Planetenbahnen ("drakonitisch"), der Schwerpunkt des gesamten Sonnensystem oder von zweien seiner Körper (baryzentrisch) oder der "Rest des Universums" (Inertialsystem) sein. Die siderischen Umlaufzeiten des Erdmondes und der Planeten unseres Sonnensystems betragen: Mond: 27,32 Tage Merkur: 87,97 Tage Venus: 224,70 Tage Erde: 365,256 Tage (tropisch 365,242 Tage) Mars: 686,98 Tage ( 1 Jahr 322 Tage) Jupiter: 11,869 Jahre (11 Jahre 317 Tage oder 4334 Tage) Saturn: 29,628 Jahre (29 Jahre 229 Tage) Uranus: 84,665 Jahre (84 Jahre 243 Tage) Neptun: 165,49 Jahre (165 Jahre und 5-6 Monate) Pluto: 247,7 Jahre (247½ bis 248 Jahre). Dengegenüber sind die synodischen Umlaufzeiten bei Mond, Merkur, Venus und Mars deutlich länger, ab Jupiter hingegen zunehmend kürzer (1,092 bis 1,004 Jahre). Siehe auch: Synodische Periode, Planet, Umlaufbahn Kategorie:Himmelsmechanik als:Umlaufzeit

Masse (Physik)

Die Masse ist eine Grundgröße der Physik. Sie beschreibt,