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Hyperkomplexe Zahlen

Hyperkomplexe Zahlen

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

Definition

Hyperkomplexe Zahlen bilden algebraische Strukturen über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Man fordert die folgenden Eigenschaften:
- Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
- Die Addition ist invertierbar.
- Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.
- Die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen ist bilinear über den reellen Zahlen, also gilt (ax)(by) = ab (xy) für alle a,b \in \mathbb und x,y hyperkomplexe Zahlen. Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:
- Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen braucht weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz zu gelten.
- Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.
- Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht invertierbar.

Konjugation

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:
- a = a_01 + a_1\mathbf i_1 + \cdots + a_n\mathbf i_n. Die Größen \mathbf i_k heißen imaginäre Einheiten. Die zu a konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr negatives ersetzt werden (\mathbf i_k \mapsto -\mathbf i_k). Die zu a konjugiert komplexe Zahl wird durch \bar a oder a^
- dargestellt. Ihre Summendarstellung ist
- \bar a = a_01 - a_1\mathbf i_1 - \cdots - a_n\mathbf i_n. Die Konjugation ist ein Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass
- \bar = a .

Beispiele

Die Komplexen Zahlen

Die Komplexen Zahlen \mathbb sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das durch
- z = a + b\mathrm mit \mathrm^2 = -1 definiert ist.

Die binären Zahlen

Die binären Zahlen sind definiert durch
- z = a + bE mit E^2 = 1.

Die dualen Zahlen

Die dualen Zahlen sind definiert durch
- z = a + b\Omega mit \Omega^2 = 0 . Beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen zu tun haben.

Die Quaternionen

Die Quaternionen (Symbol oft \mathbb nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) sind vierdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

Die Oktonionen

Die Oktonionen (Symbol \mathbb, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternierender Multiplikation.

Die Sedenionen

Die Sedenionen (Symbol \mathbb) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ oder alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

Bemerkungen

Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, die doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangszahlensystem haben. Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

Verwandte Themen


- Zahlenbereich
- Ganze Zahl
- Rationale Zahl
- Reelle Zahl
- Komplexe Zahl
- Quaternion
- Sedenion

Literatur


- I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1978. Kategorie:Zahlen Kategorie:Algebra

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können. Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl i als Lösung der Gleichung x^2 = -1\,. Diese Zahl i wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf den italienischen Mathematiker Raffaele Bombelli und somit ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit i als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Komplexe Zahlen werden meist in der Form a+b\cdot \mathrm\, dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei \mathrm i^2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurswissenschaften als äußerst nützlich erwiesen hat. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol \mathbb verwendet.

Definition

Als komplexe Zahlen bezeichnet man die Zahlen der Form a+b\cdot\mathrm (bzw. in verkürzter Notation a+b\,\mathrm), für die die Addition durch :(a+b\,\mathrm)+(c+d\,\mathrm)=(a+c)+(b+d)\,\mathrm und die Multiplikation durch :(a+b\,\mathrm)\cdot(c+d\,\mathrm)=(ac-bd) + (ad+bc)\cdot\mathrm festgelegt wird. Die imaginäre Einheit \mathrm ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft \mathrm^2=-1. Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil von a + b\,\mathrm.

Zur Notation


- Die a+b\,\mathrm-Notation wird auch als kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene (s. weiter unten).
- In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechselungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher wird in diesem Bereich der Buchstabe j verwendet [z.B. Taschenbuch der Hochfrequenztechnik Bd.1..3; Meinke, Grundlach, 1992 ].
- In der Physik wird zwischen i für Wechselstrom und i für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechselungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewendet. Siehe auch: komplexe Wechselstromrechnung
- Komplexe Zahlen werden häufig auch unterstrichen dargestellt, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Konstruktion der komplexen Zahlen und Begründung der "a+bi"-Schreibweise

So einfach die obige Definition der komplexen Zahlen anmutet, ist es doch folgender axiomatischer Zugang zu den komplexen Zahlen, der erst die Legitimation der "a+bi"-Schreibweise begründet.

Axiomatische Definition

Die axiomatische Definition nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit i: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum \R^2 der geordneten reellen Zahlenpaare z=(a,b) wird neben der Addition :(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) (das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch :(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c - b \cdot d,\, a \cdot d + b \cdot c) definiert. Nach dieser Festlegung schreibt man \Bbb C=\R^2, und (\mathbb, +, \cdot) wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste Eigenschaften


- Die Abbildung \R\to\Bbb C,\,a\mapsto (a,0) ist eine Körpereinbettung von \R in \Bbb C, vermöge derer wir die reelle Zahl a mit der komplexen Zahl (a,0) identifizieren.
- Die Zahl 0=(0,0) ist das Nullelement von \Bbb C.
- Die Zahl 1=(1,0) ist das Einselement von \Bbb C.
- Das multiplikative Inverse (Reziproke) zu z=(a,b)\neq 0 ist z^ = \left(\frac,\,\frac\right).

Begründung der "a+bi"-Notation (algebraischen Form)

Durch \mathrm=(0,1) wird die imaginäre Einheit i festgelegt; für diese gilt \mathrm^2=-1. Jede komplexe Zahl z=(a,b)\in\Bbb C besitzt die eindeutige Darstellung der Form :z = (a,b) = (a,0)+(b,0)\cdot (0,1) = a + b\,\mathrm mit a,b\in\R; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Rechenregeln in der algebraischen Form

Addition, Subtraktion

Analog zur Addition :(a + b \, \mathrm) + (c + d \, \mathrm) = (a + c) + (b + d) \, \mathrm funktioniert auch die Subtraktion :(a + b \, \mathrm) - (c + d \, \mathrm) = (a - c) + (b - d) \, \mathrm.

Multiplikation

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil": : (a+b\cdot \mathrm) \cdot (c+d\cdot \mathrm) = (a\cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot \mathrm

Division

Der Quotient zweier komplexer Zahlen a+b\,\mathrm und c+d\,\mathrm mit c+d\mathrm\neq 0 lässt sich berechnen, indem man den Bruch mit dem komplex konjugierten c-d \,\mathrm des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell: : \frac = \frac = \frac+\frac\cdot\mathrm

Rechenbeispiele

Addition: : (3+2\mathrm) + (5+5\mathrm) = (3+5) + (2+5)\mathrm = 8 + 7\mathrm Subtraktion: : (5+5\mathrm) - (3+2\mathrm) = (5-3) + (5-2)\mathrm = 2 + 3\mathrm Multiplikation: : (2+5\mathrm) \cdot (3+7\mathrm) = (2\cdot 3 - 5\cdot 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)\mathrm = -29 + 29\mathrm Division: : = \cdot = = =

Weitere Eigenschaften


- Der Körper \Bbb C der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von \R, andererseits ein zweidimensionaler \R-Vektorraum.
- Die Körpererweiterung \Bbb C:\R ist vom Grad [\Bbb C:\R]=2; genauer ist \Bbb C isomorph zum Quotientenkörper \R[X]/(X^2+1), wobei X^2+1 das Minimalpolynom von \mathrm über \R ist. Ferner bildet \Bbb C bereits den algebraischen Abschluss von \R.
- Als \R-Vektorraum besitzt \Bbb C die Basis \. Daneben ist \Bbb C wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler \Bbb C-Vektorraum mit Basis \.
- \mathrm und -\mathrm sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 + 1 = 0. In diesem Sinne kann \mathrm als "Wurzel aus -1" aufgefasst werden.
- \Bbb C ist im Gegensatz zu \R kein geordneter Körper, d.h. es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche Ordnungsrelation "<" auf \Bbb C.

Komplexe Zahlenebene

geordneter Körper Während sich die Menge \mathbb der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge \mathbb der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) veranschaulichen. Dies entspricht der "doppelten Natur" von \Bbb C als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl z = (a,b) = a+b\,\mathrm besitzt dann die horizontale Koordinate a und die vertikale Koordinate b. Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polardarstellung weiter unten klarer werden wird. Besonders in der Physik wird die geometrisch anschauliche Ebene häufig als die komplexe Zahlenebene aufgefasst und der Notation der komplexen Zahlen der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben.

Polarform und Exponentialform

Jede komplexe Zahl z=a+b\,\mathrm kann in der Form :z = r \cdot e^ = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi) dargestellt werden.
- Die Darstellung r \cdot (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi) heißt Polarform oder trigonometrische Form.
- Die Darstellung r \cdot e^ mit Hilfe der komplexen e-Funktion heißt auch Exponentialform. Vermöge der Eulerschen Identität sind Polarform und Exponentialform bedeutungsgleich. Für die Polarform gibt es auch die alternative Schreibweise :r \cdot\operatorname\,\varphi=r\, (\cos \varphi + \mathrm \cdot \sin \varphi). In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei r der euklidischen Vektorlänge (d.h. dem Abstand zum Ursprung 0) und \varphi dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl z. Üblicherweise wird r der Betrag oder Modul von z (Schreibweise |z|) genannt, \varphi wird ein Argument (oder auch Winkel oder Phase) von z genannt. Da \varphi und \varphi+2\pi demselben Winkel entsprechen, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man \varphi meist auf das Intervall (-\pi;\pi] ein und spricht dann von dem Argument von z\neq 0; der Zahl 0 ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen. Alle Werte e^ bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen vom Betrag 1.

Komplexe Konjugation

Intervall] Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteil b einer komplexen Zahl z = a+b\,\mathrm um, erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl \bar z=a-b\,\mathrm (manchmal auch z^
- geschrieben). Die Konjugation \Bbb C\to\Bbb C,\,z\mapsto \bar z ist ein Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.h. für alle y,z\in\Bbb C gilt :\overline=\bar y+\bar z,\quad \overline=\bar y\cdot \bar z. In der Polardarstellung hat die komplex konjugierte Zahl \bar z bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet. Das Produkt einer komplexen Zahl z=a+\mathrmb mit ihrer komplex Konjugierten \bar z ergibt das Quadrat des Betrages: : z\cdot\bar z = (a+\mathrmb) (a-\mathrmb) = a^2 + b^2.

Umrechnungsformeln

Von der algebraischen Form zur Polarform

Für z=a+\mathrmb in algebraischer Form ist : r = |z| = \sqrt   ; für z\neq 0 wird das Argument wie folgt bestimmt: : \varphi = \begin\arctan\frac&\mathrm\ a>0\\ \arctan\frac ba+\pi&\mathrm\ a<0,b\geq0\\ \arctan\frac ba-\pi&\mathrm\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm\ a=0,b<0 \end ::=\begin\arccos\frac ar&\mathrm\ b\geq0\\ \arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm\ b<0 \end Die Berechnungsvariante über den Arcustangens benötigt ihre Fallunterscheidungen, da der Sonderfall a=0 extra behandelt werden muss und da der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0, 2\pi] annimmt. Die Verwendung der arccos-Version kommt mit weniger Fallunterscheidungen aus, da nur das Problem der doppelten Winkel zu behandeln ist. Die neueren Programmiersprachen stellen aber meist eine ArcTan-Funktion zur Verfügung, die den Wert je nach Vorzeichen von a und b dem passenden Quadranten zuordnet (häufig mit Namen atan2).

Von der Polarform zur algebraischen Form

: a = r \cdot \cos\varphi : b = r \cdot \sin\varphi

Multiplikation und Division in der Polarform

Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert: : r\cdot (\cos \varphi + \mathrm\cdot\sin \varphi ) \;\cdot\; s \cdot (\cos \psi + \mathrm \cdot \sin \psi) = r \cdot s \cdot \left[ \cos (\varphi+\psi) + \mathrm \cdot \sin (\varphi+\psi) \right] Bei der Division wird der Betrag des Divisors durch den Betrag des Dividenden geteilt, und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert: : \frac = \frac \cdot \left[ \cos (\phi-\psi) + \mathrm \cdot \sin (\phi-\psi) \right]

Multiplikation in der Exponentialform

Hier werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert: : (r\cdot e^) \cdot (s \cdot e^) = (r \cdot s) \cdot e^

Wurzeln

Beim Rechnen mit Wurzeln ist größte Vorsicht angebracht, da die bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen hier nicht gelten. Egal, welchen der beiden möglichen Werte \mathrm i oder -\mathrm i man für \sqrt festlegt, erhält man z.B. : 1 = \sqrt = \sqrt \neq \sqrt \cdot \sqrt = -1.

Pragmatische Rechenregeln

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:
- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
- Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
- Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.
- Beim Radizieren (Wurzel ziehen) komplexer Zahlen werden ihre Beträge radiziert und ihre Argumente (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von 2\pi/n um den Ursprung der Gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik)

Geschichtliches

Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z.B. schon in der um 820 n.Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sind, blieb man nicht stehen. In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501-1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung: : x(10-x)=40 oder x^2-10x+40=0 keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung : x_ = - \frac\pm\sqrt für p und q die Werte (-10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre dem sich ergebenden Ausdruck : \sqrt oder \sqrt einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach den selben Regeln rechnen dürfte, wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke : 5 + \sqrt oder 5 - \sqrt in der Tat eine Lösung darstellen. Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl \alpha und einer beliebigen reellen Zahl \beta zusammengesetzten Zahl : \alpha + \sqrt oder \alpha - \sqrt hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert. Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahl die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen Geómetrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf. Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum erstem mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat. Da das Rechnen mit diesen als "sinnlos" angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man um so überraschter, dass dieses "Spiel" sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten. So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la répresentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessels (1785-1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, so dass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten. Als erster definierte Augustin Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch Cours d'analyse eine Funktion komplexer Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie. Allgemeine Beachtungen fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern. Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der "imaginären" Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.

Anwendung

Die komplexen Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht wegzudenken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen. In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x4, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit : M = x12 + x22 + x32 + x42, die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern verwendet, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet, z.B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x4 = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckende Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde. Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen. Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund. In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung - das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im allgemeinen nicht aus. Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.

Komplexe Zahlen in der reinen Mathematik

Ein wichtiges Anwendungsgebiet in der reinen Mathematik ist die analytische Zahlentheorie. Man nutzt aus, dass die ganzen und die rationalen Zahlen, die eines der Hauptstudienobjekte der Zahlentheorie sind, in den komplexen Zahlen liegen. Die so gewonnene Freiheit erlaubt die Anwendung analytischer Methoden, die ggf. Rückschlüsse auf die ganzen und rationalen Zahlen zulassen. Ferner liefern die komplexen Zahlen die Ausgangsbasis für die sog. komplexe Geometrie, d.h. das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. Dieses Gebiet ist schon für sich genommen sehr wichtig. Außerdem liefern Aussagen der komplexen Geometrie oft Hinweise auf Zusammenhänge in der algebraischen Geometrie, welche sehr ähnliche Gebilde studiert.

Verwandte Themen


- Gaußsche Zahlen
- Eisenstein-Zahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- [http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen Wikibooks: Komplexe Zahlen]
- [http://www.komplexe-zahlen.de Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt]
- [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html Rechnen mit komplexen Zahlen]
- [http://www.walter-fendt.de/m11d/komplz.htm Java-Applet zur geometrischen Deutung]
- [http://schmidiaut.sc.funpic.de/Komplex_0.9/ Calc und Excel Tabellen zum rechnen von komplexen Zahlen] Kategorie:Zahlen ja:複素数 ko:허수 th:จำนวนเชิงซ้อน

Algebraische Struktur

Der Begriff Algebraische Struktur beschreibt einen mathematischen Gegenstand. Als ein Synonym wird auch Allgemeine Algebra verwendet. Jedoch bezeichnet man mit dem Wort Allgemeine Algebra auch das Teilgebiet der Mathematik, welches die Algebraischen Strukturen zum Untersuchungsgegenstand hat (eng. universal algebra). Deshalb ist es besser, das mathematische Objekt mit Algebraischer Struktur zu benennen als mit Allgemeiner Algebra. Dieser Artikel handelt von dem mathematischen Gegenstand. Eine Beschreibung des Teilgebietes mit geschichtlichem Hintergrund findet man in dem Artikel abstrakte Algebra.

Definition der algebraischen Struktur

Variante 1

Eine algebraische Struktur ist eine Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A. Operationen die mehrere Mengen einbeziehen -> Lit.: Ehrig. Eine n-stellige Verknüpfung auf A ist eine Funktion f: An -> A, die n Elemente von A nimmt und ein Element von A liefert. Eine 0-stellige Verknüpfung ist einfach ein Element von A, eine Konstante, oft durch einen Buchstaben oder eine Zahl bezeichnet (e, 0, 1). Eine einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von A nach A, oft durch ein Symbol vor oder hinter dem Argument bezeichnet (-n, n-1, n!). Eine zweistellige Verknüpfung wird oft durch ein Symbol zwischen den beiden Argumenten bezeichnet (a+b, a
- b, f o g). Verknüpfungen höherer Stelligkeit schreibt man meist als Funktion (f(x, y, z)). Nachdem die Verknüpfungen angegeben sind, spezifiziert man die Natur der Algebra durch Axiome, die in der universellen Algebra sämtlich in Form von Gleichungen geschrieben werden müssen. Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine zweistellige Verknüpfung, x
- (y
- z) = (x
- y)
- z. Das Axiom soll dann für alle Elemente x, y, z von A gelten.

Variante 2

Seien m, n aus N0 (natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen \circ_1, \dots, \circ_m und äußere Verknüpfungen \bullet_1, \dots, \bullet_n mit einem Operatorenbereich \Omega gegeben sind, so nennt man das n+m+2-Tupel :A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m, \bullet_1, \dots, \bullet_n, \Omega \right) eine algebraische Struktur oder kurz Algebra. Ist n = 0 so schreibt man kürzer :A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m \right) Das Tripel \tau = (m, n, \Omega) heißt der Typ von A. Für n = 0 schreibt man kürzer \tau = (m). Zusätzlich fordert man für eine algebraische Struktur noch, dass die Verknüpfungen bestimmte, Axiome genannte Bedingungen erfüllen (z.B. spricht man von "Gruppenaxiomen").

Homomorphismen

Nachdem wir die Verknüpfungen und Axiome unserer Algebra definiert haben, definieren wir nun Homomorphismen zwischen zwei Algebren A und B vom selben Typ (sie haben also Verknüpfungen, die dieselben Axiome erfüllen). Ein Homomorphismus h: A -> B ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung f (mit der Stelligkeit n) diese Bedingung erfüllt: :h(fA(x1, ..., xn)) = fB(h(x1), ..., h(xn)) (Hier stehen Indices an der Verknüpfung f, um zu unterscheiden, welche der beiden Versionen gemeint ist. In der Praxis ergibt sich das aus dem Kontext, so dass diese Unterscheidung weggelassen wird.) Ist zum Beispiel e eine Konstante (0-stellige Verknüpfung), dann ist h(eA) = eB. Ist ~ eine einstellige Verknüpfung, dann ist h(~x) = ~h(x). Ist
- eine binäre Verknüpfung, dann ist h(x
- y) = h(x)
- h(y). Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Siehe auch: Homomorphiesatz.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist A die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man auf einer Teilmenge B \subseteq A von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge B so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge B herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von B anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in B sind. In der konkreten Anwendung sind z.B. Untergruppen Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen verschieden aussehen. So lassen sich z.B. Gruppen so definieren, dass Unterstrukturen Normalteiler sein können.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur gut verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d.h. es wird aus der ursprünglichen Algebra eine Algebra gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In der konkreten Anwendung entsprechen z.B. Normalteiler (bei Gruppen) oder Ideale (bei Ringen) den Kongruenzrelationen, d.h. durch Faktorisierung nach diesen Unterstrukturen entstehen die gleichen Algebren wie bei Faktorisierung nach einer Kongruenzrelation.

Produkte

Bildet man das direkte Produkt der Grundmengen mehrerer Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra, da z.B. das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein muss.

Zoo der algebraischen Strukturen

Gruppen

Um zu sehen, wie das funktioniert, betrachten wir die Definition einer Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung
- , wobei die folgenden drei Axiome erfüllt sind:
- x
- (y
- z) = (x
- y)
- z (Assoziativität)
- es gibt ein e so dass e
- x = x = x
- e (neutrales Element)
- für jedes x gibt es ein i so dass x
- i = e = i
- x (inverses Element) (Manchmal findet man noch die Forderung der "Abgeschlossenheit", dass x
- y wieder in A liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der "zweistelligen Verknüpfung" diese Eigenschaft bereits.) In der universellen Algebra ist diese Definition nicht gültig, denn die Axiome werden nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt, sondern enthalten den Quantor "es gibt ... so dass", und das ist in der universellen Algebra nicht erlaubt. Die Lösung ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine 0-stellige Verknüpfung e und eine einstellige Verknüpfung "-1" hinzu und definieren eine Gruppe als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung
- , einem Element e und einer einstelligen Verknüpfung "-1", die den folgenden Axiomen genügt:
- x
- (y
- z) = (x
- y)
- z
- e
- x = x = x
- e
- x
- (x-1) = e = (x-1)
- x Es ist nun wichtig zu prüfen, ob wir damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht haben. Es könnte ja sein, dass wir noch mehr Informationen brauchen, um aus einer dieser "Universal-Algebra-Gruppen" eine "gewöhnliche" Gruppe zu machen oder umgekehrt. Nichts in der Definition der Gruppe besagt zum Beispiel, dass das neutrale Element eindeutig ist, und wenn es ein zweites neutrales Element e' gäbe, welches der beiden sollte dann der Wert der 0-stelligen Verknüpfung e sein? Dies ist jedoch hier kein Problem, da das neutrale Element stets eindeutig bestimmt ist, und dasselbe gilt auch für das inverse Element jedes x. Also stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Arten von Algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (2-stelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben. Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen. Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:
- Magma (G,
- ): eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung
-
- Quasigruppe (G,
- ): ein Gruppoid in dem die Division stets (eindeutig) möglich ist
- Loop (G,
- ,1): eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
- Halbgruppe (G,
- ): ein assoziatives Gruppoid
- Monoid (G,
- ,1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1
- Gruppe (G,
- ,1,-1): ein Monoid mit einem inversen Element a-1 für jedes a, oder äquivalent dazu, eine assoziative Loop
- Abelsche Gruppe (G,+,0,-): eine kommutative Gruppe (wird meist additiv geschrieben, das "Inverse" von a ist das Negative -a)
- Ring (R,+,0,-,·): eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), so dass (R,+,0,-) eine abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
- Unitärer Ring (R,+,0,-,·,1): ein Ring mit neutralem Element 1 für die Multiplikation
- Körper (R,+,0,-,·,1,-1): ein Ring, so dass (R\,·,1,-1) eine abelsche Gruppe ist
- Modul (M,+,0,-,·,R) über einem Ring R: Eine Menge M mit einer inneren Verknüpfung + und einer äußeren Verknüpfung ·: R×M -> M (Skalarmultiplikation), so dass (M,+,0,-) eine abelsche Gruppe ist, die Skalarmultiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
- Vektorraum (V,+,0,-,·,K): ein Modul über einem Körper K
- Algebra (V,+,0,-,·,
- ,K): Ein Vektorraum (oder Modul) mit einer bilinearen Verknüpfung
- ("Vektormultiplikation"), die die Distributivgesetze erfüllt und assoziativ mit der Skalarmultiplikation ist (sie muss nicht selbst assoziativ sein!)
- Assoziative Algebra: eine K-Algebra, deren Multiplikation assoziativ ist
- Kommutative Algebra: eine assoziative K-Algebra, deren Multiplikation kommutativ ist
- (algebraischer) Verband (V, \cap, \cup): eine Menge mit zwei kommutativen, assoziativen, idempotenten Verknüpfungen (Durchschnitt und Vereinigung), die Absorptionsgesetze erfüllen
- Boolescher Verband (V, \cap, \cup,0,1,¬): ein Verband mit neutralen Elementen 0 und 1 für \cap und \cup, der zwei Distributivgesetze erfüllt und Komplemente ¬a hat
- Menge: eine algebraische Struktur ohne Verknüpfungen Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Bildliche Hierarchie algebraischer Strukturen.

Beispiele algebraischer Strukturen

Für eine ausführlichere Übersicht siehe Hierarchie_mathematischer_Strukturen.

Mit einer zweistelligen Verknüpfung


- Halbgruppe
- Monoid
- Gruppe

Mit mehreren Verknüpfungen


- Ring, Körper
- Modul, Vektorraum
- assoziative Algebra, Lie-Algebra
- Verband, boolesche Algebra

Eigenschaften

Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische Strukturen sein, wie z.B. topologische Räume. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Jede algebraische Struktur hat ihren eigenen Homomorphismus-Begriff. Ein Homomorphismus ist dabei stets eine Funktion zwischen gleichartigen Strukturen, die mit allen Verknüpfungen vertauschbar ist. In diesem Sinne definiert jede algebraische Struktur eine Kategorie.

Ausblick

Dieser Artikel reicht nicht aus, die Vielfalt der Ergebnisse der universellen Algebra zu zeigen. Die Motivation der universellen Algebra ist die große Anzahl verschiedener Algebren (im Sinne der universellen Algebra), wie z.B. Gruppen, Monoide, Verbände, die aber alle ähnliche Theoreme zulassen. Vor der Entwicklung der universellen Algebra wurden viele Theoreme (vor allen die Isomorphiesätze) für jede Struktur einzeln bewiesen, aber nun kann man sie ein einziges mal für alle Arten algebraischer Strukturen beweisen. Eine noch allgemeinere Idee liegt der Kategorientheorie zugrunde. Sie ist auf viele Situationen anwendbar, die in universeller Algebra nicht darstellbar sind, und liefert so weiter reichende Aussagen. Umgekehrt lassen sich manche Aussagen der universellen Algebra nicht auf alle Kategorien übertragen. So sind also beide Teilgebiete nützlich. Die Verbindung zwischen ihnen ist diese: Für vorgebenene Verknüpfungen und Axiome bilden die zugehörigen Algebren und Homomorphismen eine Kategorie.

Literatur


- P. M. Cohn, Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965
- Ehrig, Hartmut ..., Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer 2001
- Nathan Jacobson, Basic Algebra I & II. W.H.Freeman and Company, San Francisco 1980
- K. Meyberg, Algebra Teil 1 & 2. Carl Hanser Verlag, München 1975/76 Kategorie:Algebra Kategorie:Algebra Kategorie:Struktur ja:代数的構造

Algebraische Struktur

Der Begriff Algebraische Struktur beschreibt einen mathematischen Gegenstand. Als ein Synonym wird auch Allgemeine Algebra verwendet. Jedoch bezeichnet man mit dem Wort Allgemeine Algebra auch das Teilgebiet der Mathematik, welches die Algebraischen Strukturen zum Untersuchungsgegenstand hat (eng. universal algebra). Deshalb ist es besser, das mathematische Objekt mit Algebraischer Struktur zu benennen als mit Allgemeiner Algebra. Dieser Artikel handelt von dem mathematischen Gegenstand. Eine Beschreibung des Teilgebietes mit geschichtlichem Hintergrund findet man in dem Artikel abstrakte Algebra.

Definition der algebraischen Struktur

Variante 1

Eine algebraische Struktur ist eine Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A. Operationen die mehrere Mengen einbeziehen -> Lit.: Ehrig. Eine n-stellige Verknüpfung auf A ist eine Funktion f: An -> A, die n Elemente von A nimmt und ein Element von A liefert. Eine 0-stellige Verknüpfung ist einfach ein Element von A, eine Konstante, oft durch einen Buchstaben oder eine Zahl bezeichnet (e, 0, 1). Eine einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von A nach A, oft durch ein Symbol vor oder hinter dem Argument bezeichnet (-n, n-1, n!). Eine zweistellige Verknüpfung wird oft durch ein Symbol zwischen den beiden Argumenten bezeichnet (a+b, a
- b, f o g). Verknüpfungen höherer Stelligkeit schreibt man meist als Funktion (f(x, y, z)). Nachdem die Verknüpfungen angegeben sind, spezifiziert man die Natur der Algebra durch Axiome, die in der universellen Algebra sämtlich in Form von Gleichungen geschrieben werden müssen. Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine zweistellige Verknüpfung, x
- (y
- z) = (x
- y)
- z. Das Axiom soll dann für alle Elemente x, y, z von A gelten.

Variante 2

Seien m, n aus N0 (natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen \circ_1, \dots, \circ_m und äußere Verknüpfungen \bullet_1, \dots, \bullet_n mit einem Operatorenbereich \Omega gegeben sind, so nennt man das n+m+2-Tupel :A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m, \bullet_1, \dots, \bullet_n, \Omega \right) eine algebraische Struktur oder kurz Algebra. Ist n = 0 so schreibt man kürzer :A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m \right) Das Tripel \tau = (m, n, \Omega) heißt der Typ von A. Für n = 0 schreibt man kürzer \tau = (m). Zusätzlich fordert man für eine algebraische Struktur noch, dass die Verknüpfungen bestimmte, Axiome genannte Bedingungen erfüllen (z.B. spricht man von "Gruppenaxiomen").

Homomorphismen

Nachdem wir die Verknüpfungen und Axiome unserer Algebra definiert haben, definieren wir nun Homomorphismen zwischen zwei Algebren A und B vom selben Typ (sie haben also Verknüpfungen, die dieselben Axiome erfüllen). Ein Homomorphismus h: A -> B ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung f (mit der Stelligkeit n) diese Bedingung erfüllt: :h(fA(x1, ..., xn)) = fB(h(x1), ..., h(xn)) (Hier stehen Indices an der Verknüpfung f, um zu unterscheiden, welche der beiden Versionen gemeint ist. In der Praxis ergibt sich das aus dem Kontext, so dass diese Unterscheidung weggelassen wird.) Ist zum Beispiel e eine Konstante (0-stellige Verknüpfung), dann ist h(eA) = eB. Ist ~ eine einstellige Verknüpfung, dann ist h(~x) = ~h(x). Ist
- eine binäre Verknüpfung, dann ist h(x
- y) = h(x)
- h(y). Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Siehe auch: Homomorphiesatz.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist A die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man auf einer Teilmenge B \subseteq A von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge B so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge B herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von B anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in B sind. In der konkreten Anwendung sind z.B. Untergruppen Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen verschieden aussehen. So lassen sich z.B. Gruppen so definieren, dass Unterstrukturen Normalteiler sein können.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur gut verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d.h. es wird aus der ursprünglichen Algebra eine Algebra gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In der konkreten Anwendung entsprechen z.B. Normalteiler (bei Gruppen) oder Ideale (bei Ringen) den Kongruenzrelationen, d.h. durch Faktorisierung nach diesen Unterstrukturen entstehen die gleichen Algebren wie bei Faktorisierung nach einer Kongruenzrelation.

Produkte

Bildet man das direkte Produkt der Grundmengen mehrerer Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra, da z.B. das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein muss.

Zoo der algebraischen Strukturen

Gruppen

Um zu sehen, wie das funktioniert, betrachten wir die Definition einer Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung
- , wobei die folgenden drei Axiome erfüllt sind:
- x
- (y
- z) = (x
- y)
- z (Assoziativität)
- es gibt ein e so dass e
- x = x = x
- e (neutrales Element)
- für jedes x gibt es ein i so dass x
- i = e = i
- x (inverses Element) (Manchmal findet man noch die Forderung der "Abgeschlossenheit", dass x
- y wieder in A liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der "zweistelligen Verknüpfung" diese Eigenschaft bereits.) In der universellen Algebra ist diese Definition nicht gültig, denn die Axiome werden nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt, sondern enthalten den Quantor "es gibt ... so dass", und das ist in der universellen Algebra nicht erlaubt. Die Lösung ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine 0-stellige Verknüpfung e und eine einstellige Verknüpfung "-1" hinzu und definieren eine Gruppe als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung
- , einem Element e und einer einstelligen Verknüpfung "-1", die den folgenden Axiomen genügt:
- x
- (y
- z) = (x
- y)
- z
- e
- x = x = x
- e
- x
- (x-1) = e = (x-1)
- x Es ist nun wichtig zu prüfen, ob wir damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht haben. Es könnte ja sein, dass wir noch mehr Informationen brauchen, um aus einer dieser "Universal-Algebra-Gruppen" eine "gewöhnliche" Gruppe zu machen oder umgekehrt. Nichts in der Definition der Gruppe besagt zum Beispiel, dass das neutrale Element eindeutig ist, und wenn es ein zweites neutrales Element e' gäbe, welches der beiden sollte dann der Wert der 0-stelligen Verknüpfung e sein? Dies ist jedoch hier kein Problem, da das neutrale Element stets eindeutig bestimmt ist, und dasselbe gilt auch für das inverse Element jedes x. Also stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Arten von Algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (2-stelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben. Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen. Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:
- Magma (G,
- ): eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung
-
- Quasigruppe (G,
- ): ein Gruppoid in dem die Division stets (eindeutig) möglich ist
- Loop (G,
- ,1): eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
- Halbgruppe (G,
- ): ein assoziatives Gruppoid
- Monoid (G,
- ,1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1
- Gruppe (G,
- ,1,-1): ein Monoid mit einem inversen Element a-1 für jedes a, oder äquivalent dazu, eine assoziative Loop
- Abelsche Gruppe (G,+,0,-): eine kommutative Gruppe (wird meist additiv geschrieben, das "Inverse" von a ist das Negative -a)
- Ring (R,+,0,-,·): eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), so dass (R,+,0,-) eine abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
- Unitärer Ring (R,+,0,-,·,1): ein Ring mit neutralem Element 1 für die Multiplikation
- Körper (R,+,0,-,·,1,-1): ein Ring, so dass (R\,·,1,-1) eine abelsche Gruppe ist
- Modul (M,+,0,-,·,R) über einem Ring R: Eine Menge M mit einer inneren Verknüpfung + und einer äußeren Verknüpfung ·: R×M -> M (Skalarmultiplikation), so dass (M,+,0,-) eine abelsche Gruppe ist, die Skalarmultiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
- Vektorraum (V,+,0,-,·,K): ein Modul über einem Körper K
- Algebra (V,+,0,-,·,
- ,K): Ein Vektorraum (oder Modul) mit einer bilinearen Verknüpfung
- ("Vektormultiplikation"), die die Distributivgesetze erfüllt und assoziativ mit der Skalarmultiplikation ist (sie muss nicht selbst assoziativ sein!)
- Assoziative Algebra: eine K-Algebra, deren Multiplikation assoziativ ist
- Kommutative Algebra: eine assoziative K-Algebra, deren Multiplikation kommutativ ist
- (algebraischer) Verband (V, \cap, \cup): eine Menge mit zwei kommutativen, assoziativen, idempotenten Verknüpfungen (Durchschnitt und Vereinigung), die Absorptionsgesetze erfüllen
- Boolescher Verband (V, \cap, \cup,0,1,¬): ein Verband mit neutralen Elementen 0 und 1 für \cap und \cup, der zwei Distributivgesetze erfüllt und Komplemente ¬a hat
- Menge: eine algebraische Struktur ohne Verknüpfungen Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Bildliche Hierarchie algebraischer Strukturen.

Beispiele algebraischer Strukturen

Für eine ausführlichere Übersicht siehe Hierarchie_mathematischer_Strukturen.

Mit einer zweistelligen Verknüpfung


- Halbgruppe
- Monoid
- Gruppe

Mit mehreren Verknüpfungen


- Ring, Körper
- Modul, Vektorraum
- assoziative Algebra, Lie-Algebra
- Verband, boolesche Algebra

Eigenschaften

Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische Strukturen sein, wie z.B. topologische Räume. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Jede algebraische Struktur hat ihren eigenen Homomorphismus-Begriff. Ein Homomorphismus ist dabei stets eine Funktion zwischen gleichartigen Strukturen, die mit allen Verknüpfungen vertauschbar ist. In diesem Sinne definiert jede algebraische Struktur eine Kategorie.

Ausblick

Dieser Artikel reicht nicht aus, die Vielfalt der Ergebnisse der universellen Algebra zu zeigen. Die Motivation der universellen Algebra ist die große Anzahl verschiedener Algebren (im Sinne der universellen Algebra), wie z.B. Gruppen, Monoide, Verbände, die aber alle ähnliche Theoreme zulassen. Vor der Entwicklung der universellen Algebra wurden viele Theoreme (vor allen die Isomorphiesätze) für jede Struktur einzeln bewiesen, aber nun kann man sie ein einziges mal für alle Arten algebraischer Strukturen beweisen. Eine noch allgemeinere Idee liegt der Kategorientheorie zugrunde. Sie ist auf viele Situationen anwendbar, die in universeller Algebra nicht darstellbar sind, und liefert so weiter reichende Aussagen. Umgekehrt lassen sich manche Aussagen der universellen Algebra nicht auf alle Kategorien übertragen. So sind also beide Teilgebiete nützlich. Die Verbindung zwischen ihnen ist diese: Für vorgebenene Verknüpfungen und Axiome bilden die zugehörigen Algebren und Homomorphismen eine Kategorie.

Literatur


- P. M. Cohn, Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965
- Ehrig, Hartmut ..., Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer 2001
- Nathan Jacobson, Basic Algebra I & II. W.H.Freeman and Company, San Francisco 1980
- K. Meyberg, Algebra Teil 1 & 2. Carl Hanser Verlag, München 1975/76 Kategorie:Algebra Kategorie:Algebra Kategorie:Struktur ja:代数的構造

Reelle Zahlen

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge \sqrt. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol \mathbb (auch \mathbf) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von \mathbb nach \mathbb sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste x_1,x_2,x_3,\ldots reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (Trichotomie) ## aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität) ## aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition) ## aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation) # Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von \mathbb besitzt ein Supremum Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:
- die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
- das Archimedische Axiom:
- :Sind a und b positive reelle Zahlen, dann gibt es ein n \in \mathbb, so dass na > b ist.
- das Vollständigkeitsaxiom:
- :Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:
- das Intervallschachtelungsaxiom:
- :Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer. Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Verwandte Themen


- Eine näherungsweise Darstellung reeller Zahlen im Computer erfolgt durch Gleitkommazahlen.
- Die Darstellung von Zahlen erfolgt in einem Zahlensystem Kategorie:Zahlen ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (lat. commutare - vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik, die besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ. Ein bekanntes Beispiel ist die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Addition oder Multiplikation reeller Zahlen: : a\,+\,b\,=\,b\,+\,a : a \cdot b = b \cdot a a und b sind in diesem Fall die Argumente der Operation "Addition" bzw. "Multiplikation". Ebenfalls kommutativ sind z.B. das Skalarprodukt, allerdings nur in einem reellen Vektorraum, die Vereinigung und der Schnitt in der Mengenlehre oder die Addition von Matrizen. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen ist dagegen nicht kommutativ. Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind Potenzieren, das Kreuzprodukt, das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum, die Multiplikation von Quaternionen und die Matrizenmultiplikation. Das Kommutativgesetz ist nicht auf algebraische Operationen beschränkt, sondern ist z.B. auch für logische Aussagen anwendbar: :a\vee b = b\vee a Allgemeiner heißt eine zweistellige Funktion f kommutativ, wenn : f \left( x,y \right) = f \left( y,x \right) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt. Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie und Quantenmechanik.

Siehe auch


- Assoziativgesetz
- Distributivgesetz
- Flexibilitätsgesetz
- Kommutator (Mathematik)
- Kommutator (Physik) Kategorie:Algebra ja:交換法則 ko:교환법칙

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Definition

Eine binäre Verknüpfung
- : A \times A\to M auf einer Menge A in eine Menge M heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A gilt : a
- \left( b
- c \right) = \left( a
- b \right)
- c (Assoziativität)

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen : \left( a
- b \right)
- c = a
- \left( b
- c \right) ist der Ausdruck : a
- b
- c eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Beispiele

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, aber nicht Subtraktion und Division, denn es ist z.B. : 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 . Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z.B. :2^ = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3 gilt.

Siehe auch


- Alternativität
- Distributivgesetz
- Flexibilitätsgesetz
- Kommutativgesetz Kategorie:Logik Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Algebra ja:結合法則 ko:결합법칙

Inverses Element

In der Mathematik treten inverse Elemente bei der Untersuchung von algebraischen Strukturen mit zweistelligen Verknüpfungen auf.

Definition

Sei A eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung \circ und einem neutralen Element e. Seien a,b\in A. Gilt a\circ b=e, so heißt a rechtsinvertierbar mit dem rechtsinversen Element b, und es heißt b linksinvertierbar mit dem linksinversen Element a. Existiert für ein Element a ein Element b mit a\circ b=b\circ a=e, so heißt a invertierbar oder beidseitig invertierbar mit dem inversen Element b. Ein beidseitig inverses Element wird bei additiver Schreibweise der Verknüpfung häufig als (-a) geschrieben, bei multiplikativer Schreibweise häufig als a^

Eigenschaften

Die Verknüpfung \circ sei als assoziativ vorausgesetzt. Ist ein Element a sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, dann stimmen alle links- und rechtsinversen Elemente von a überein. Insbesondere ist a beidseitig invertierbar, und das zu einem beidseitig invertierbaren Element inverse Element ist eindeutig bestimmt. :Begründung: Sei l ein zu a linksinverses Element und r ein rechtsinverses Element. Es gilt ::l=l\circ e=l\circ (a\circ r)=(l\circ a)\circ r = e\circ r= r :Jedes linksinverse Element von a stimmt also mit jedem rechtsinversen Element überein. Da sowohl links- als auch rechtsinverse Elemente von a existieren, folgt auch die Gleichheit der rechts- und der linksinversen Elemente untereinander.

Beispiele

Additiv Inverses

In den bekannten Zahlenmengen (natürliche Zahlen, rationale Zahlen usw.) hat man eine Addition mit neutralem Element 0. Das additiv Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die zu a addiert 0 ergibt, also ihr Negatives -a. Zum Beispiel ist -7 das additiv Inverse von 7, denn 7 + (-7) = 0 = (-7) + 7. Das Negative von -7 ist 7, aus demselben Grund, also ist -(-7) = 7. Das gilt allgemein. Das additiv Inverse erhält man durch Multiplikation mit -1, d.h. -a = -1·a. In Zahlenmengen mit additiv Inversen ist die Subtraktion stets ausführbar. Solche Mengen sind z.B.
- ganze Zahlen
- rationale Zahlen
- reelle Zahlen
- komplexe Zahlen
- p-adische Zahlen
- hyperreelle Zahlen In anderen Zahlenmengen hat nicht jedes Element ein additiv Inverses. Solche sind z.B.
- natürliche Zahlen (mit 0, sonst gäbe es nicht einmal ein neutrales Element)
- Kardinalzahlen
- Ordinalzahlen Man kann die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren, indem man formal die Negativen hinzunimmt und passende Rechenregeln definiert. So gesehen, hat jede natürliche Zahl ein Negatives. Da dieses jedoch (außer für 0) keine natürliche Zahl ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen unter der Negation.

Multiplikativ Inverses

In den oben angesprochenen Zahlenmengen hat man auch eine Multiplikation mit neutralem Element 1. Das multiplikativ Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a. Zum Beispiel ist der Kehrwert von 7 die rationale Zahl 1/7; in den ganzen Zahlen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses. Ist allgemein ein Ring R gegeben, dann heißen die Elemente, die multiplikativ Inverse haben, Einheiten des Rings. In der Theorie der Teilbarkeit unterscheidet man meist nicht zwischen Ringelementen, die sich multiplikativ um eine Einheit unterscheiden (d.h. a = eb mit einer Einheit e). In bestimmten Fällen kann man das multiplikative Inverse mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnen.

Umkehrfunktion

Betrachte die Menge AA aller Funktionen von einer Menge A nach A. Auf dieser Menge hat man die Komposition (Hintereinanderausführung) als Verknüpfung, definiert durch (f o g)(a) := f(g(a)). Die Komposition ist assoziativ und hat die identische Abbildung idA: A -> A als neutrales Element. Ist nun eine Funktion f: A -> A bijektiv, dann ist die Umkehrfunktion f-1: A -> A das inverse Element von f in AA. Man verallgemeinert diesen Begriff auf bijektive Funktionen f: A -> B und erhält eine Umkehrfunktion f-1: B -> A mit f o f-1 = idA und f-1 o f = idB. Ist A ein Körper wie z.B. die reellen Zahlen, dann darf man die Umkehrfunktion f-1 nicht mit dem Kehrwert 1/f verwechseln! Die Umkehrfunktion ist nur definiert, wenn f bijektiv ist, und der Kehrwert ist nur definiert, wenn f keine Nullstellen hat. Selbst wenn f eine Teilmenge von R\ bijektiv auf sich abbildet, stimmen Umkehrfunktion und Kehrwert im allgemeinen nicht überein. Zum Beispiel hat die Funktion f: R+ -> R+, f(x) = x² eine Umkehrfunktion f-1(x) = √x und einen Kehrwert (1/f)(x) = 1/x², die jedoch nicht übereinstimmen. (Dabei ist R+ = (0, ∞) die Menge der positiven reellen Zahlen.)

Eigenschaften

Das Inverse des Inversen ist das ursprüngliche Element: (a-1)-1 = a. Für eine allgemeine algebraische Struktur (A,
- ) mit neutralem Element kann es sein, dass ein Element mehrere Linksinverse hat, oder mehrere Rechtsinverse, oder sogar mehrere Linksinverse und mehrere Rechtsinverse. Ist jedoch die Verknüpfung
- assoziativ, dann gilt: Hat x sowohl ein Linksinverses als auch ein Rechtsinverses, dann stimmen diese überein und x hat genau ein (beidseitiges) Inverses. Ein Homomorphismus zwischen Ringen oder Körpern bildet Inverse stets auf Inverse ab, d.h. :f(x-1) = (f(x))-1. Kategorie:Algebra ja:逆元 ko:역원

Bilinear

In dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation).

Definition

Eine bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, d.h. eine Abbildung :f: E×F → G so daß für jedes (fest gewählte) x aus E und y aus F die partiellen Abbildungen : f(x,·): F → G und f(·,y): E → G lineare Abbildungen sind. Dies impliziert, daß E, F und G drei k-Moduln oder Vektorräume über dem (demselben) Körper k sind. Die Linearität der partiellen Abbildungen kann auch etwas expliziter wie folgt geschrieben werden: :\forall x,x'\in E,\forall y,y'\in F: f(x+x',y)=f(x,y)+f(x',y),~ f(x,y+y')=f(x,y)+f(x,y') ~ und :\forall x\in E,\forall y\in F,\forall \lambda\in k: f(\lambda x)=\lambda f(x,y)=f(x,\lambda y)~. Bemerkung: f kann als eine Art "Multiplikation" aufgefasst werden, welche einem Paar (x,y) das "Produkt" f(x,y) zuordnet. Aus dieser Perspektive entspricht die Bilinearität dem Distributivgesetz.

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, Skalarprodukt,... Die Verkettung von linearen Abbildungen ist ebenfalls eine bilineare Abbildung. Von wichtiger Bedeutung für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie sind die Bilinearformen, welche dem Sonderfall G=k entsprechen.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie, Antisymmetrie (für F=E) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert. Eine bilineare Abbildung E×E → E macht E zu einer Algebra. Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare ("anderthalb"-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, d.h. so daß :f(x,\lambda y)=\lambda^
- \,f(x,y) (wobei
- die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist : f\colon E\times F\to G eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung : E\otimes F\to G,\quad x\otimes y\mapsto f(x,y); umgekehrt definiert jede lineare Abbildung : \lambda\colon E\otimes F\to G eine bilineare Abbildung : E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto\lambda(x\otimes y). Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen E\times F\to G und dem Raum der linearen Abbildungen E\otimes F\to G. Kategorie:lineare Algebra

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Definition

Eine binäre Verknüpfung
- : A \times A\to M auf einer Menge A in eine Menge M heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A gilt : a
- \left( b
- c \right) = \left( a
- b \right)
- c (Assoziativität)

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen : \left( a
- b \right)
- c = a
- \left( b
- c \right) ist der Ausdruck : a
- b
- c eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Beispiele

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, aber nicht Subtraktion und Division, denn es ist z.B. : 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 . Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z.B. :2^ = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3 gilt.

Siehe auch


- Alternativität
- Distributivgesetz
- Flexibilitätsgesetz
- Kommutativgesetz Kategorie:Logik Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Algebra ja:結合法則 ko:결합법칙

Nullteilerfrei

In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es ein Element b ungleich 0 gibt, so dass ab = 0. Ist R ein nichtkommutativer Ring und a \ne 0, dann unterscheidet man stattdessen zwischen:
- Linksnullteiler: es gibt ein Element b \ne 0, so dass ab = 0
- Rechtsnullteiler: es gibt ein Element b \ne 0, so dass ba = 0
- (beidseitiger) Nullteiler: es gibt Elemente b, c \ne 0, so dass ab = 0, ca = 0. Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige Nullteiler heißt nullteilerfrei. Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.

Beispiele

Der Ring \mathbb der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring \mathbb^2 (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0, 1) und (1, 0), denn (0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0). Jeder Körper ist nullteilerfrei. Der Restklassenring \mathbb/6\mathbb hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6. Allgemein ist der Restklassenring \mathbb/n\mathbb nullteilerfrei (sogar ein Körper) genau dann, wenn n eine Primzahl ist. Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler : \begin 1 & 1 \\ 2 & 2 \end denn : \begin 1 & 1 \\ 2 & 2 \end \cdot \begin 1 & 1 \\ -1 & -1 \end = \begin 2 & -1 \\ 2 & -1 \end \cdot \begin 1 & 1 \\ 2 & 2 \end = \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \end Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Eigenschaften

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a^2 = a folgt a \cdot (a - 1) = (a - 1) \cdot a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (x mit x^n = 0 für ein n \in \mathbb) sind trivialerweise Nullteiler. Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab = 0, dann wäre 0= a^ \cdot 0 = a^ab = b. In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1 \cdot a = a \cdot 1 = a für alle a) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.) Ist a ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Das Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da AB = E die Einheitsmatrix ist). Kategorie:Algebra

Involution (Mathematik)

Der Begriff Involution bezeichnet in der Mathematik eine selbstsinverse Abbildung. Die Bezeichnung leitet sich von dem lateinischen Wort involutare (flattern) ab. Dahinter steckt die Anschauung, dass fortwährendes Anwenden einer Involution immer abwechselnd den Bildwert und den Ausgangswert ergibt.

Definition

Es sei f:A\rightarrow A eine Abbildung mit identischem Definitionsbereich und Zielbereich A. Die Abbildung f heißt Involution genau dann, wenn für alle x\in A gilt: f(f(x))=x Diese Forderung lässt sich auch kompakter formulieren als f\circ f = \operatorname_A oder f^2=\operatorname_A. Dabei bezeichnet \operatorname_A die Identität auf A. Gelegentlich wird die Identität \operatorname_A selbst nicht als Involution angesehen.

Eigenschaften


- Jede Involution ist eine Bijektion.

Beispiele

Negatives und Kehrwert

Die Abbildungen : \mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto -x und : \mathbb R^\times\to\mathbb R^\times,\quad x\mapsto\frac1x sind Involutionen, denn es gilt : -(-x)=x für alle x\in\mathbb R und : \frac1=x für alle x\ne0. Ist allgemein G eine abelsche Gruppe, so ist die Abbildung g\mapsto -g (bei additiver Schreibweise) bzw. g\mapsto g^ (bei multiplikativer Schreibweise) ein Gruppenautomorphismus und eine Involution. Für eine nichtabelsche Gruppe ist diese Abbildung zwar auch eine Involution, aber kein Gruppenhomomorphismus.

Die komplexe Konjugation

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen ist das Bilden der konjugiert-komplexen Zahl eine Involution: Für eine komplexe Zahl z=a+b\mathrm i mit a,b\in\mathbb R ist die konjugiert-komplexe Zahl \bar z = z^
- = a - b\mathrm i . Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert \overline = z^ = a + b\mathrm i = z.

Das Transponieren von Matrizen

In der Menge M^ der quadratischen Matrizen über einer Menge M ist das Transponieren \cdot^T:M^\rightarrow M^, A\mapsto A^T eine Involution.

Rechnen in F2

Addition: (x + 1) + 1 = x

Geometrie

In der Geometrie sind Punkt- und Geradenspiegelungen Involutionen.

Involutorische Chiffren

Das wohl bekannteste Beispiel aus der Kryptologie ist ROT13, bei dem alle Buchstaben um 13 Stellen (das halbe Alphabet) verschoben werden.

Körperinvolution

Unter einer Körperinvolution versteht man üblicherweise eine Involution, die zugleich ein Körperautomorphismus ist. Von einer Körperinvolution \sigma über einem Körper K fordert man also : \sigma^2 = \operatorname_K sowie für alle a,b\in K : \sigma(a + b) = \sigma(a) + \sigma(b) und : \sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b) Die bekannteste nichttriviale Körperinvolution ist die Konjugation über den komplexen Zahlen. Aus diesem Grund benutzt man für eine Körperinvolution oft die gleiche Schreibweise wie für die komplexe Konjugation: Anstelle von \sigma(a) wird häufig \overline geschrieben. Ein anderes Beispiel ist der Automorphismus des Körpers : \mathbb Q(\sqrt2)=\, der durch : a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2 definiert ist. Man beachte, dass er im Unterschied zur komplexen Konjugation den Betrag nicht erhält: : |7-5\sqrt2|\approx01, aber |7+5\sqrt2|\approx141. Kategorie:Mathematik ja:対合

Duale Zahlen

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt.

Definition

Es sei A ein Ring. Dann ist der Ring der dualen Zahlen über A der Faktorring : A[\varepsilon]=A[X]/(X^2); \varepsilon ist das Bild der Unbestimmten X im Quotienten A[X]/(X^2).

Eigenschaften

Es sei k ein Körper. k[\varepsilon] ist ein lokaler artinscher Ring, der als Vektorraum über k die Dimension 2 hat. Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung : a+b\varepsilon mit a,b\in k. Das maximale Ideal wird von \varepsilon erzeugt; der Restklassenkörper ist k. (\varepsilon) und k sind als k[\varepsilon]-Moduln isomorph. Für jeden Ring A ist A[\varepsilon]\cong A\otimes\mathbb Z[\varepsilon].

Duale Zahlen und Derivationen

Es seien A ein Ring, B,C zwei A-Algebren und f\colon B\to C ein Homomorphismus von A-Algebren. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen : den A-Algebrenhomomorphismen :: B\to C[\varepsilon],\quad b\mapsto f(b)+\varepsilon D(b), : die Hochhebungen von f unter C[\varepsilon]\to C, \varepsilon\mapsto0, sind und : A-linearen Derivationen D\colon B\to C; dabei wird die B-Modulstruktur auf C von f induziert.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Für ein Schema U sei : U[\varepsilon] = U\otimes_\mathbb Z[\varepsilon]. Es sei S ein Schema und X ein S-Schema. Das Schema T_=\mathbb V(\Omega_^1)=\mathbf\,S^\cdot\Omega_^1 ist das relative Tangentialbündel von X über S. Dann gibt es eine natürliche Bijektion : T_(U) = X(U[\varepsilon]) für beliebige S-Schemata U. Ein U[\varepsilon]-wertiger Punkt ist also ein U-wertiger Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor in diesem Punkt. Man kann sich \mathrm\,k[\varepsilon] für einen Körper k also als Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor vorstellen.

Literatur


- M. Demazure, A. Grothendieck: Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie. Schemas en groupes I, II, III (SGA 3). Lecture Notes in Mathematics 151, 152, 153. Springer-Verlag, Berlin 1970. Kategorie:Kommutative Algebra Kategorie:Algebraische Geometrie

Quaternionen

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Die Menge der Quaternionen wird meist mit \mathbb bezeichnet. (Man beachte jedoch, dass dieses Symbol je nach Kontext aber auch eine andere Bedeutung haben kann, siehe obere Halbebene und hyperbolischer Raum.) Quaternionen sind eine vierdimensionale