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Irrationale Zahl

Irrationale Zahl

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Ratio ist dabei in der Bedeutung Verhältnis gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist also nicht "unvernünftig", wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde. Definition
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als

\frac

mit

p, q \in\mathbb

und

q\neq0

). Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist. Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:
- Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B.

\sqrt

1+\sqrt[3]

) und
- Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...). Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasus aus Metapontum, ein Schüler des Pythagoras soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasus die Existenz irrationaler Zahlen (die Wurzel 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

- Euklid bewies die Irrationalität von

\sqrt

(zum Beweis siehe hier).
- 1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von

\pi

- Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von :

\zeta(3)=\sum_^\infty \frac.

- Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl

e

e^

ist transzendent.

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Es ist noch unbekannt, ob eine der Zahlen π + e oder π - e irrational ist. (Allerdings weiß man, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss.) Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Es ist ebenfalls unbekannt, ob 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind.

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: wenn man jeder irrationalen Zahl eine natürliche Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationalen Zahlen, die nicht einer natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit von R bewiesen. Da R sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich sind, müssen die irrationalen Zahlen überabzählbar sein. Es lässt sich allerdings zeigen, dass auch die algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar sind. Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen liegt also allein an den transzendenten Zahlen.

Siehe auch

- Zahlenbereiche
- Komplexe Zahlen
- Ordinalzahlen
- Zahlensystem Kategorie:Zahlen ja:無理数 ko:무리수

Reelle Zahl

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge

\sqrt

. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol

\mathbb

(auch

\mathbf

) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von

\mathbb

nach

\mathbb

sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste

x_1,x_2,x_3,\ldots

reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen

a, b, c

gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen

a < b, a = b, b < a

(Trichotomie) ## aus

a < b

und

b < c

folgt

a < c

(Transitivität) ## aus

a < b

folgt

a + c < b + c

(Verträglichkeit mit der Addition) ## aus

a < b

und

c > 0

folgt

ac < bc

(Verträglichkeit mit der Multiplikation) # Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von

\mathbb

besitzt ein Supremum Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:
- die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
- das Archimedische Axiom:
- :Sind

a

und

b

positive reelle Zahlen, dann gibt es ein

n \in \mathbb

, so dass

na > b

ist.
- das Vollständigkeitsaxiom:
- :Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:
- das Intervallschachtelungsaxiom:
- :Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer. Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man

a / b

, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier

b

) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch)

p/q

zweier ganzer Zahlen mit

q\neq 0

darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B.

x/1

). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie

\sqrt 2

\sqrt 3

oder die Kreiszahl

\pi

) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit

\mathbb

bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung

\mathbf

ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :

5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5

. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :

3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116

, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel

(1/5, 24/35, 5/7)

ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :

(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2

Konstruktion von $\mathbb$ aus $\mathbb$

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen

(a, b)

, wobei wieder

b

ungleich Null ist - oft wird

b

auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::

(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d)

(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d)

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass

2/4 = 1/2

sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation

\sim

auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::

(a, b) \sim (c, d)

genau dann wenn,

a \cdot d = b \cdot c

. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper

\mathbb

, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von

(a, b)

schreibt man als

a/b

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass

\mathbb

der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen

\mathbb

enthält.

\mathbb

ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen

\mathbb

. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :

c := (a + b) / 2

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen

\mathbb

und

\mathbb

, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Weblinks

- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem oder Zehnersystem (lat. decimus = der Zehnte) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute mit dem Dualsystem das weltweit verbreiteteste Zahlensystem, und stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es im 8. Jahrhundert in seinem Arithmetikbuch, durch das es im 10. Jahrhundert nach Europa gelangte. Mit seiner Durchsetzung im 12. Jahrhundert kam auch der Begriff Arabische Zahlen auf. In arabischen Ländern werden sie bis heute indische Zahlen genannt. Ohne Null aber bereits mit der Dezimalzahlen-Idee (also Zehner, Hunderter, Tausender usw. rechnete man bereits im Alten Ägypten (siehe Hieroglyphen) und später bei den Römern (siehe Römische Zahlen). Die Chinesischen Zahlen sind ein Mischsystem aus den Ziffern eins bis neun (eine Null wurde später hinzugefügt) und Zeichen für die Zehnerschritte.

Definition und Darstellung

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet man die 10 Ziffern :0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun). Diese Ziffern werden jedoch in verschiedenen Teilen der Welt anders geschrieben. Siehe dazu die Artikel Arabische Zahlen und Indische Zahlen. Die alten indischen Ziffern werden auch heute noch in der Devanāgarī-Schrift verwendet.

Definition

Eine Dezimalzahl wird durch die Ziffern z_i dargestellt. Die Ziffern werden ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht der zur Stelle passenden Zehnerpotenz. Es wird also die höchstwertige Stelle mit dem Wert z_m ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten z_m-1 bis z₀ in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen z_-1 bis z_-n, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Ziffern vor dem Komma werden mit positiven Exponenten, nach dem Komma mit negativem Exponenten multipliziert. Im englischen Sprachraum wird statt des Kommas meist ein Punkt verwendet. :

z_m z_ \ldots z_0\operatornamez_ z_ \ldots z_
\qquad \left(m,n\in\mathbb \quad z_i\in\\right)

Der Wert Z der Dezimalzahl ergibt sich durch Addition bzw. Subtraktion dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert 10ⁱ multipliziert werden: :

Z = \pm \sum_^m z_i \cdot 10^i

. Diese Darstellung nennt man auch Dezimalbruchentwicklung.

Beispiel

: 723,48 = 7·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ + 4·10^-1 + 8·10^-2

Dezimalbruchentwicklung

Mit Hilfe der Dezimalbruchentwicklung kann man jede reelle Zahl durch eine Summe von Brüchen als Zehnerpotenzen darstellen. Diese Darstellung ist eine einfache Reihenentwicklung. Insbesondere bei allen irrationalen Zahlen bricht diese Reihe nicht ab; dann liegt eine unendliche Dezimalbruchentwicklung vor. Zur Umformung periodischer Dezimalbruchentwicklungen (siehe weiter unten) verwendet man die Beziehungen: :

0\overline = \frac; \quad
0\overline = \frac; \quad
0\overline = \frac; \quad \ldots

. Beispiele:

055555\ldots = 0\overline = \frac

033333\ldots = 0\overline = \frac = \frac

0424242\ldots = 0\overline = \frac = \frac

0081081081\ldots = 0\overline = \frac = \frac

Die Periode wird jeweils in den Zähler übernommen. Im Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. Gegebenenfalls sollte der entstandene Bruch noch gekürzt werden. Etwas komplizierter ist die Rechnung, wenn die Periode nicht unmittelbar auf das Komma folgt: Beispiele:

083333\ldots = 08\overline = 8\overline : 10 = 8\frac : 10
= 8\frac : 10 = \frac : 10 = \frac = \frac

048363636\ldots = 048\overline = 48\overline : 100
= 48\frac : 100 = 48\frac : 100 = \frac : 100 = \frac
= \frac

Formel

Für unendliche Dezimalbrüche mit einer Null vor dem Komma lässt sich folgende Formel aufstellen: :

p = \frac

Dabei sind p die periodische Zahl, x die Zahl vor Beginn der Periode (als Ganzzahl), m die Anzahl der Ziffern vor Beginn der Periode, y die Ziffernfolge der Periode (als Ganzzahl) und n die Länge der Periode. Die Anwendung dieser Formel soll anhand des letzten Beispiels demonstriert werden:

p = 048363636\ldots = 048\overline

x = 48; \quad m = 2; \quad y = 36; \quad n = 2

p = \frac
= \frac = \frac = \frac

Periode

In der Mathematik bezeichnet man als Periode eines Dezimalbruchs eine Ziffer oder Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wieder wiederholt. Alle rationalen Zahlen haben eine periodische Dezimalbruchentwicklung. Beispiele: Sofortperiodische: 1/3 = 0,33333... 1/7 = 0,142857142857... 1/9 = 0,11111... Nichtsofortperiodische: 2/55 = 0,036363636... 1/30 = 0,03333... 1/6 = 0,16666... Auch endliche Dezimalbrüche wie 0,12 können als periodische Dezimalbrüche aufgefasst werden: 0,12 = 0,12000... Perioden treten im Dezimalsystem genau dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lässt -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine Länge, die um eins niedriger ist als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).

Periodische Dezimalbrüche als Grenzwerte

Der Limes- oder Grenzwert-Begriff der Analysis erlaubt eine exakte Definition von periodischen Dezimalbrüchen. So gilt beispielsweise: :

0\overline = 07 + 007 + 0007 + \ldots

0\overline

ist der Limes der folgenden (unendlichen) geometrischen Reihe :

07 + 07 \cdot \frac + 07 \cdot \left(\frac\right)^2 
+ 07 \cdot \left(\frac\right)^3 + \ldots

Notation mit Periodenstrich

Für periodische Dezimalbruchentwicklungen ist eine Schreibweise üblich, bei der der sich periodisch wiederholende Teil der Nachkommastellen durch einen Überstrich markiert wird. Beispiele sind
-

1/6 = 0,1\bar

,
-

1/7 = 0,\overline

Nicht periodische Nachkommaziffern-Folge

Wie im Artikel Stellenwertsystem erläutert, besitzen irrationale Zahlen (auch) im Dezimalsystem eine unendliche nichtperiodische Nachkommaziffern-Folge. Irrationale Zahlen können also nicht durch eine endliche Ziffernfolge dargestellt werden. Man kann sich zwar mit endlichen (oder periodischen) Dezimalbrüchen beliebig annähern, jedoch ist eine endliche Darstellung niemals exakt. Es ist also nur mithilfe zusätzlicher Symbole möglich, irrationale Zahlen durch endliche Darstellungen anzugeben. Beispiele solcher Symbole sind Wurzelzeichen, wie für √2, Buchstaben wie π oder e, sowie mathematische Ausdrücke wie unendliche Reihen oder Grenzwerte Jedoch ist auch so nicht jede reelle Zahl darstellbar, weil es überabzählbar viele reelle Zahlen, aber nur abzählbar viele endliche Darstellungen mit einem endlichen Zeichenvorrat gibt.

Besondere Eigenschaft der Dezimalbruchentwicklung

Eine besondere Eigenschaft bei der Dezimalbruchentwicklung ist, dass eine rationale Zahl zwei unterschiedliche Dezimalbruchentwicklungen besitzen kann. Wie oben beschrieben, kann man den Wert von 0,999999... zu 9/9 berechnen. Damit erhält man die zunächst überraschende Aussage :

099999\ldots = 0\overline = 1

. Diese Tatsache ist anschaulich schwer verständlich, mathematisch jedoch richtig. Sie hängt eng mit der Definition eines Dezimalbruchs als Limes (Grenzwert) einer unendlichen Reihe zusammen. Man kann sagen, dass die Zahl mit jeder weiteren 9 näher an 1 heranrückt. Da es jedoch unendlich viele Neunen sind, kommen die Partialsummen beliebig nahe an 1 heran; also ist der Grenzwert 1! Ebenso wird 0,7999999... zu 0,8 usw.

Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

Methoden zur Umrechnung von und in das Dezimalsystem werden in den Artikeln zu anderen Stellenwertsystemen und unter Zahlbasiswechsel und Stellenwertsystem beschrieben.

Siehe auch

- Zahlensystem, römische Zahlen
- Dualsystem, Oktalsystem, Duodezimalsystem, Hexadezimalsystem, Vigesimalsystem, Sexagesimalsystem, Schreibweise von Zahlen, Basiswechsel
- Dezimalwährung, Metrisches System
- Gleitkommazahl (floating point number)

Weblinks

- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm Umrechnung von Zahlensystemen (Oktal-/Dezimal-/Binär-/Hexadezimalsystem)] Kategorie:Zahlensystem ja:十進記数法 ko:십진법

Wurzel (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter Wurzel das Ergebnis der Rechenoperation Radizieren (v. lat. Radix „Wurzel“). Das Radizieren ist (neben dem Logarithmieren) eine Umkehrung des Potenzierens.

Schreibweise

Radix = \sqrt [Exponent]

Dies entspricht der Fragestellung: Für welche Zahl (Radix) gilt: :

^ = Radikand

? Beispiel: :

\sqrt[3] = 2 \Leftrightarrow 2^3 = 8

(sprich: „Dritte Wurzel aus 8“) Bei der Schreibweise ist es üblich, dass der Wurzelexponent, der in der Regel links oben angeschrieben wird, weggelassen wird, falls er den Wert 2 hat: :

\sqrt[2] =: \sqrt

In diesem Falle handelt es sich um eine Quadratwurzel. Oftmals wird die Quadratwurzel einfach die Wurzel genannt. Des weiteren bezeichnet man Wurzeln mit Wurzelexponent 3 speziell als Kubikwurzeln. Es ist zu beachten: Die oben genannte Fragestellung hat oft mehrere Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen, der Operator $\sqrt[]$ bedeutet dabei grundsätzlich die positive Lösung. Beispiel: Die Gleichung

x^2 = 4

hat die beiden reellen Lösungen 2 und −2. Der Term

\sqrt[2]

entspricht dabei dem Wert 2 und nicht dem Wert −2. Bei natürlichen, ungeraden Wurzelexponenten gilt: Eine reelle Lösung ist für alle reellen Zahlen definiert. Ist der Radikand positiv, so ist das Ergebnis positiv. Ist der Radikand

x

negativ, so ist das Ergebnis

\sqrt[q]=-\sqrt[q]

. Bei natürlichen, geraden Wurzelexponenten gilt: Eine reelle Lösung ist nur für positive Radikanden definiert. Auch im Bereich der komplexen Zahlen gibt es Wurzeln aus negativen Zahlen nur mit gewissen Einschränkungen, siehe unten. komplexen Zahlen Funktionen der Form :

x\mapsto\sqrt[n]x

oder allgemeiner

x\mapsto\sqrt[n]

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt

\sqrt[n]=x^\frac

. Daraus folgt: :

\sqrt[n] = x

n \neq 0

. Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen. Das Wurzelziehen wurde vom deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt.

Näherungsverfahren

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren. Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von

\sqrt[n]

ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion :

y \mapsto y^n-x, \quad n \ge 1

annähert: # Wähle einen (möglichst guten) Startwert

y > 0

# Iteriere nach der Vorschrift :

y \mapsto \frac

Für

n = 2

erhält man gerade das Heronverfahren. Beispiel für eine Näherung für

\sqrt[3]

nach dem obigen Iterationsverfahren: Die Iterationsvorschrift lautet mit

x=2

und

n=3

y \mapsto \frac

. Mit dem Startwert

y = 2

erhält man:

Rechenregeln zur Berechnung am Computer

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen x erhält man so: :

\sqrt[n] = x^ = \exp(\ln(x) / n)

Imaginäre Quadratwurzeln aus negativen x kann man so berechnen: : Imaginärteil des Ergebnisses =

\sqrt\ \mathrm\ -\sqrt

Siehe auch: Schriftliches Wurzelziehen, Einheitswurzel

Abschätzung einer Wurzel

Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung berechnen. Das lässt sich gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet: Beispiele:
- Die dritte Wurzel von 103.823:
Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
- Die dritte Wurzel von 12.167:
Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23. Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt. Bei den Rechenkünstlern handelt es sich natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel: Was ist die 25. Wurzel von 880794982218444893023439794626120190780624990275329063400179824681489784873773249 und extremere Aufgaben.

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Als die

n

-ten Wurzeln einer komplexen Zahl

a\in\Bbb C

bezeichnet man die Lösungen der Gleichung :

z^n-a = 0

. Ist

a\neq 0

in der Exponentialform

a=|a|\,\mathrm e^

dargestellt, so sind die

n

-ten Wurzeln aus

a

genau die

n

komplexen Zahlen :

z_k=\sqrt[n]\cdot\exp\left(\frac + k\cdot\frac\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1) .

komplexen Zahl Der Sonderfall

a=1

wird als n-te Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als

n

-te Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die

n

-ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius

1

und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in

n

gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären

n

-Ecks. Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe)

n

-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des Logarithmus definieren: :

z^=\exp\fracn\quad(z\in\mathbb C\setminus\)

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise

\sqrt[3]=1+\mathrm i\sqrt3

und nicht

=-2

Wurzeln aus Matrizen

Als Wurzel einer quadratischen Matrix

A

bezeichnet man alle Matrizen

B

, die mit sich selbst multipliziert

A

ergeben:

A = B B

\Leftrightarrow

B

ist Wurzel von

A

(Anmerkung: man findet auch Quellen, in denen

B

die Wurzel von

A

ist, wenn

A = B B^T

) Man schreibt die Wurzel von

A

auch als

A^\frac

Anzahl existierender Wurzeln

Wie auch bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. So besitzt die Nullmatrix nur eine Wurzel, während beispielsweise die Einheitsmatrix

I = 
\begin 
1 &  0 \\ 
0 & 1 
\end

unendlich viele Wurzeln besitzt nämlich unter anderem

I^\frac = 
\begin 
1 &  a \\ 
0 & -1 
\end

für

a \in\Bbb C

. Zudem gilt wie bei den reellen oder komplexen Zahlen, dass wenn

A^\frac

eine Wurzel aus

A

ist, dann ist

- A^\frac

dies ebenfalls.

Geometrische Interpretation von Wurzeln

Betrachtet man die Matrix

A

als lineare Transformation, das heißt, als eine Transformation, die Punkte

\vec

im Vektorraum in andere Punkte

\vec

überführt, dann kann man die Wurzel

A^\frac

als die Transformation interpretieren, die man zweimal durchführen muss um

\vec

\vec

zu transformieren. Beispiel: Man nimmt die zweidimensionale Rotationsmatrix mit dem Winkel

\alpha

A = 
\begin 
\cos \alpha &  -\sin \alpha \\ 
\sin \alpha & \cos \alpha 
\end

Dann ist eine Wurzel von

A

die Rotationsmatrix mit dem Winkel

\alpha/2

(oder auch mit dem Winkel

(360^\circ +\alpha)/2

). Mit der ersten Multiplikation von

\vec

mit

A^\frac

erreicht man eine Drehung um den halben Winkel und mit der zweiten Multiplikation noch einmal.

Berechnung einer Wurzel

Man kann zwei Wurzeln einer Matrix

A

der Größe

n \times n

leicht bestimmen, wenn

A

eine Diagonalmatrix, ist oder sich zumindest in eine Diagonalform überführen lässt (siehe Diagonalisierung). Fall 1: Diagonalmatrix Im ersten Fall ist eine Wurzel einfach zu bestimmen, indem von jedem Element auf der Diagonalen die Wurzel bestimmt wird:

A^\frac =
  \begin
    \sqrt & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & \sqrt & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \dots & \sqrt
  \end

Für jedes der

n

Diagonalelemente kann man das Vorzeichen beliebig wählen, sodass man

2^n

verschiedene Lösungen erhält. Da die Matrix

A

auch negative Werte auf der Diagonalen besitzen kann, können die Wurzeln dementsprechend komplexe Zahlen beinhalten. Diagonalmatrizen mit negativen Diagonaleinträgen können jedoch auch reelle Wurzeln besitzen; diese sind dann selbst jedoch keine Diagonalmatrizen, zum Beispiel ist :

\begin0&1\\-1&0\end^2=\begin-1&0\\0&-1\end.

Fall 2: Diagonalisierbare Matrix Ist die Matrix

A

keine Diagonalmatrix, kann man sie ggf. in Diagonalform überführen: Man bestimmt die Matrizen

T

und

D

mit

A = T D T^

. Die Matrix

T

besteht aus den Eigenvektoren der Matrix

A

als Spalten. Die Matrix

D

ist eine Diagonalmatrix mit den zugehörigen Eigenwerten auf der Diagonalen. Eine Wurzel der Matrix

A

berechnet sich dann wie folgt:

A = A^\frac A^\frac = T D T^ = T D^\frac D^\frac T^ = (T D^\frac T^) (T D^\frac T^)

\Rightarrow A^\frac = T D^\frac T^

D

eine Diagonalmatrix ist, lässt sich ihre Wurzel wie oben beschrieben berechnen. Auch hierbei ist zu beachten, dass die Diagonalmatrix negative Eigenwerte beinhalten kann, wodurch die Wurzel komplex wird. Da man auch hier wie in Fall 1 für jedes der

n

Diagonalelemente der Matrix

D

das Vorzeichen beliebig wählen kann, erhält man auch hier

2^n

verschiedene Lösungen. Fall 3: Nicht diagonalisierbare Matrix Ist die Matrix

A

nicht diagonalisierbar, lässt sich mit dem gezeigten Verfahren keine Wurzel berechnen. Dies bedeutet nicht, dass

A

keine Wurzel besitzt: So ist beispielsweise die Scherungs-Matrix

A = 
\begin 
1 & 2 \\ 
0 & 1 
\end

nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch die Wurzel

\begin 
1 & 1 \\ 
0 & 1 
\end

Positiv definite symmetrische Matrizen

Betrachtet man nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix

A

besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel

A^\frac

. Man erhält sie, indem man

A

mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Trägheitssatz von Sylvester stets möglich) und dann wie oben die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Andere Bedeutungen des Wortes

Für die veraltete Bedeutung der Wurzel als Lösung einer Gleichung, siehe den Artikel Nullstelle. Für die spezielle Bedeutung in der Darstellungstheorie, siehe den Artikel Wurzelsystem. Für die außermathematische Verwendung des Wortes siehe Wurzel.

Die Wurzelgesetze

Es gibt auch bei den Wurzeln Rechengesetze. Diese lauten folgendermaßen:
-

\sqrt[n]\cdot\sqrt[n]=\sqrt[n]

\sqrt[m]=\sqrt[m\cdot n]

\frac=\sqrt[n]

a^=\frac

(\sqrt[n])^m=\sqrt[n]

a^=\sqrt[n]

a^=\frac

Siehe auch

- Mathematik für die Schule

Weblinks

- [http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm Schriftliches Wurzelziehen]
- Schriftliches Wurzelziehen in der englischen Wikipedia Kategorie:Analysis Kategorie:Arithmetik ja:冪根

Kreiszahl

right Die Kreiszahl

\pi

(pi) ist eine mathematische Konstante; ihr Wert beträgt näherungsweise :

\pi \approx 314159.

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi (

\pi

) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes perifereia (Randbereich). Sie wird auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Mathematische Grunddaten

Ludolph van Ceulen

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl

\pi

. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als
- das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser,
- die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1,
- das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität & Transzendenz

Edmund Landau Die Zahl

\pi

ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle

\pi

ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist,

\pi

nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von

\pi

wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Wegen der Transzendenz von

\pi

lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Die ersten 100 Nachkommastellen sind :

\pi

≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9 Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da

\pi

transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang. Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von

\pi

keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden. Die gleiche Genauigkeit wie bei den 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

\pi

= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (Kreis mit 1 m Durchmesser auf der Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung berücksichtigt werden.

Geschichte der Zahl $\pi$ – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl

\pi

. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß ..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für

\pi

mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten China, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass

\pi

in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3. China Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604... In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)² = 3,0044... für

\pi

. In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl

\pi

bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = 3,14167...; die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von

\pi

nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob

\pi

also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von

\pi

beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von

\sqrt

die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Flächenberechnung Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist. Die Teildreiecke, die durch die Höhe des Dreiecks gebildet werden sind flächengleich mit den zugehörigen Möndchen über den Katheten, da die Hypotenusenabschnitte p und q im gleichen Verhältnis stehen wie die Radiusquadrate über den Katheten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71: :::

31408450... = 3+\frac<\pi<3+\frac = 31428571...

Archimedes kam über den Bruch

\frac

zu der Annäherung 3,141635. Die Bezeichnung „

\pi

“ stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes' Konstante eingeführt; für den Kreisumfang war sie allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an

\pi

erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui – ähnlich wie Archimedes – die Schranken 3,1410 und 3,1427. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 <

\pi

< 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch 355/113 (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von

\pi

), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte 1424 bereits auf 16 Stellen genau. Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von

\pi

zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶²-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung. Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt: :

\frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \dots = \frac

. Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei: :

\sum_^ \frac = 1 - \frac + \frac - \dots = \frac

. Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz. Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand: :

\arctan \theta = \theta - \frac + \frac - \frac + \cdots

. Sie war Grundlage vieler Approximationen von

\pi

in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von

\pi

. Seine Gleichung :

4 \arctan \left(\frac \right) - \arctan \left(\frac \right) = \frac

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen schreibt, beginnend mit :

(5+i)^ \cdot (-239 + i) = -114244-114244 i

. Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande

\pi

bereits auf 148 Stellen genau an. Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form :

\frac=1+\frac

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von

\pi

eignet. Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber

\pi

beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 = 3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für

\pi

ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von

\pi

entsprechen, z. B. 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1]. Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an

\pi

dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet: :

\frac \cdot\sum_^ \frac = \frac

. Weitere Berechnungsformeln: :

\frac + \frac + \frac + \frac + ... = \frac

(Euler) :

\frac - \frac + \frac - + ... = \frac

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1996 entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Reihendarstellung für

\pi

: :

\pi = \sum_^\frac\left(\frac - \frac - \frac - \frac\right)

Diese Summenformel erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von

\pi

zu berechnen, ohne dass zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website [http://www.nersc.gov/~dhbailey/] enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Berechnung mittels Flächenformel

Programmiersprache Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass

\pi

in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats. Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r lautet :

A_K = \pi r^2

, der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge 2r errechnet sich als :

A_Q = (2r)^2

. Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also :

\frac = \frac = \frac

. Damit lässt sich

\pi

als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

\pi=4\,\frac

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der

\pi

näherungsweise berechnet werden kann. Algorithmus Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von π hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,17 und mit r = 100 bereits 3,1417. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon r = 10000 zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt. r = 10000 kreistreffer = 0 quadrattreffer = (2
- r + 1) ^ 2 for y = -r to r for x = -r to r if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then kreistreffer = kreistreffer + 1 ausgabe 4
- kreistreffer / quadrattreffer Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes r marginal. Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden. In der Programmiersprache C definiert die Include-Datei math.h standardkonform das Macro M_PI. Der zugehörige Wert ist dabei mit etwas mehr Stellen angegeben als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Programmiersprache C Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von

\pi

ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich

\pi/4

. Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von

\pi

läßt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahl steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl. Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben: public static double berechne_pi(int tropfenzahl)

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch „Unterhaltsame Geometrie“. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von π. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5.000 Nadelwürfe auf einen Wert von

\pi=3,159

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die $\pi$ enthalten

Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt

\pi

auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von

\pi

als Kreiszahl unmittelbar hervor.
- Umfang eines Kreises mit Radius r:

U = 2 \pi r

- Fläche eines Kreises mit Radius r:

A = \pi r^2

- Volumen einer Kugel mit Radius r:

V = \frac \pi r^3

- Oberfläche einer Kugel mit Radius r:

A_O = 4 \pi r^2

- Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe a:

V = r^2 \pi a

- Volumen eines durch die Rotation der Funktion f(x) um die x-Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen a und b:

V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrmx

- Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen:

\frac\left(\frac\right)^\sqrt

Formeln der Analysis

Analysis–1830]]

\pi

spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei
- unendlichen Reihen:

\sum_^ \frac = \frac

(Euler, s. auch Riemannsche ζ-Funktion)
- der Gaußschen Glockenkurve:

\int_^ e^ \mathrmx = \sqrt\pi

- der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große n:

n! \approx \sqrt \left(\frac\right)^n

- der Fourier-Transformation:

\mathcalf(\omega)= \frac \int_^\infty f(t) e^ \,\mathrm t

- der Eulerschen Identität:

e^ = -1

Die Eulersche Identität als Kombination von

\pi

mit der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl e und der imaginären Einheit i wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.

Formeln der Physik

In der Physik spielt

\pi

neben
- der Kreisbewegung:

\omega = 2 \pi f

(Winkelgeschwindigkeit gleich

2 \pi

mal Umlauffrequenz) vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort

\pi

über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel
- in der Quantenmechanik:

\Delta x \Delta p \ge \frac

(Heisenbergsche Unschärferelation).

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit
- bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von

\pi

,
- beim Erdradius zehn Dezimalstellen,
- bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen. Bereits mit 100 Dezimalstellen sind auf einen Millimeter genaue Berechnungen für Kreisumfänge möglich, deren Radius die menschliche Vorstellungskraft nahezu sprengt – der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen. Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von

\pi

führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird. Die Zahl

\pi

spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle – nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.

Offene Fragen

Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich

\pi

ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort „wiki“ im ASCII-Code entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der Binärdarstellung von

\pi

.) In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von

\pi

zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/ Webseite von Bailey]. Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von

\pi

auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl

\pi

entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl

\pi

tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren sogar noch besser als

\pi

ab.

Anhang für Liebhaber der Zahl $\pi$

Rekorde, Film und Kuriositäten

- Der derzeitige Rekord der Berechnung von

\pi

wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI-Supercomputer mit 1.241.100.000.000 (1,2 Billionen) Stellen gehalten
- Der aktuelle Rekord im Auswendiglernen von

\pi

-Nachkommastellen liegt bei 83.431, aufgestellt am 2. Juli 2005 vom Japaner Akira Haraguchi. Akira Haraguchi übertrifft damit den im Jahre 1995 von seinem Landsmann Hiroyuki Goto aufgestellten Rekord von 42.195
- Den deutschen Rekord im auswendig Wiedergeben der Zahl

\pi

hat Meike Duch am 28. September 2004 auf 5555 Nachkommastellen erhöht
- Die erste Million Ziffern von

\pi

und ihres Kehrwerts 1/π sind als Datei beim Projekt Gutenberg oder unter [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/ http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/]erhältlich
- Freunde der Zahl

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gedenken einmal am 14. März der Kreiszahl mit dem π-Tag. Der Grund für die Wahl dieses Tages liegt in der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein π-Annäherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Annäherung von Archimedes an 22/7 geehrt werden soll
- Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem $\pi$ überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau 2/π. Dabei handelt es sich um eine Variante des weiter oben beschriebenen Nadelwurfversuchs
- 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl

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spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle
- 1998 veröffentlichte Darren Aronovsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus

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herausfiltern möchteFilm „Pi“
- Im Jahre 1897 gab es im US-Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf, mit dem die Zahl

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per Gesetz als 3,2 definiert werden sollte. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus bereits beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit
- Das Guinness-Buch der Rekorde kennt die obige Geschichte etwas anders: Der ungenaueste Wert von $\pi$ . Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von $\pi$ de jure vier ist
- 1853 publizierte William Shanks seine Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von

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, alle per Hand berechnet. 92 Jahre später, im Jahre 1945, wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. (Siehe auch die Tabelle unten, die etwas andere Jahreszahlen angibt)
- Die Nummerierung der Versionen des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth nähert sich

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an. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2002 trägt die Nummer 3.141592
- Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können
- Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 05. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Aufgestellt und organisiert wurde der Weltrekord von Lisa Grieb und Svenja Häuser vom Mathematikum in Gießen
- Auf dem Album 'King of the mountain' von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.

Merkregeln

Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt: Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender: :Wie, o dies π. Macht ernstlich so vielen viele Müh,
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein! Ausführlich bis auf 31 Stellen: :Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft, mächtige Zahlreih'n dauernd verkettet bis in die späteste Zeit getreu zu merken; drum hab' ich Ludolfen mir zu Lettern umgeprägt. Kürzer ist: :Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen! Oder: :Ist's doch, o Isaak, schwierig zu wissen wofür sie steht! Ein englisches Gedicht mit 12 Nachkommastellen ist: :See I have a rhyme assisting :My feeble brain, its tasks ofttimes resisting. Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Folge: :Now I, even I, would celebrate. In rhymes unapt, the great :Immortal Syracusan, rivaled nevermore, who in his wondrous lore, passed on before, left men his guidance, how to circles mensurate. Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls Archimedes: :Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, :Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi ton problème eut de pareils avantages. Weitere Möglichkeiten sind: :How I wish I could enumerate PI easily ... :How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard. :May I have a large container of coffee? – Thank You! Besonders lang ist: :[http://users.aol.com/s6sj7gt/mikerav.htm Poe, E.: Near a Raven] :Ein Gedicht von Mike Keith, das er 1995 in Anlehnung an Edgar Allan Poes The Raven geschrieben hat. Mit Hilfe des Gedichtes kann man sich

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auf 740 Stellen genau merken.

Auf der Jagd nach π – Tabelle

Siehe auch: Liste der Mathematiker, Wurzel 2

Quellen und Literatur

- David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt Taschenbuch Verlag 2001. ISBN 3-499-61176-7
- Jean-Paul Delahaye: π – Die Story. Birkhäuser Verlag 1999. ISBN 3-7643-6056-9
- Jörg Arndt & Christoph Haenel: Pi – Algorithmen, Computer, Arithmetik (mit CD-ROM). Springer Verlag 1998, 2000 (2. Auflage). ISBN 3-540-66258-8
- Jonathan M. Borwein & Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, 1998, ISBN 047131515X.
- Keith Devlin, Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3423330163
- Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Verlag Ullstein, Berlin 1965.
- Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, 1982 ISBN 3-49916-692-5
- Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. Verlag C. H. Beck, München 1990 ISBN 3-40602-535-8
- Jakow I. Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen Volkseigener Verlag, Berlin 1962

Weblinks

- [http://www.super-computing.org/ Webseite Yasumasa Kanadas (englisch)] 4 Milliarden Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform)
- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html Geschichte der Zahl π]
- [http://pi314.at/ Freunde der Zahl π]
- [http://www.angio.net/pi/piquery The π-Search Page] – Ziffernfolgen innerhalb von π suchen (200 Mio. Stellen, sehr schnell)
- [http://www.pisearch.de.vu Search π] – π durchsuchen, Stellen ausgeben lassen (3,2 Mrd. Stellen, langsame Suche)
- [http://www.anderegg-web.ch/phil/archimedes.htm Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl]
- [http://www.pi-world-ranking-list.com/ Weltrangliste der π-Auswendiglerner]
- [http://www.pibel.de Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit] Kategorie:Zahlen als:Pi ko:원주율 ja:円周率 simple:Pi th:ไพ

Hippasus

Hippasos von Metapont (ca. 450 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus dem Kreis der Pythagoreer. Nach den Überlieferungen hat Hippasos zur glänzenden antiken Musiktheorie Wesentliches beigetragen. Er entwickelte Tonleitertheorien und ähnliches. Auch wird heute angenommen, dass er es war, der die berühmte Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Fünfeck (Pentagramm), dem pythagoräischen Ordenssymbol, fand. Versucht man nämlich durch Wechselwegnahme zwischen Seite und Diagonale eine kleinste gemeinsame Teilstrecke zu finden, so stößt man auf ein kleineres Pentagramm, in dem die Streckenverhältnisse wieder der Ausgangssituation gleich sind und so weiter. Es gibt die Legende, dass die Pythagoreer Hippasos im Meer ertränkt haben sollen, weil er diesen berühmten Beweis veröffentlicht hat. Kategorie:Mann Kategorie:Vorsokratiker Kategorie:Mathematiker

Pythagoras

]] Pythagoras (griechisch Πυθαγόρας) von Samos war ein griechischer Mathematiker und Philosoph, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte, genauere Daten sind nicht bekannt. Direkt von ihm verfasste Werke sind nicht überliefert, da die Schule der Pythagoreer zur Geheimhaltung verpflichtet war. Pythagoras' Lebenslauf wurde nur mündlich weiter gegeben und erst etwa 900 Jahre später niedergeschrieben, so dass sich sämtliche heute geläufigen, fast ausnahmslos nachplatonischen Beschreibungen seines Lebens und Wirkens auf wenige authentische Quellen stützen können. Das einzig gesicherte Datum in seinem Leben ist das Jahr 532/531, in dem er Samos wegen seines adligen Standesgenossen Polykrates verließ.

Das Leben des Philosophen

Unter den verschiedenen Versionen über Pythagoras' Leben wird folgendes erzählt: Pythagoras von Samos wurde auf der Insel Samos vor der griechischen Küste geboren. In seiner Jugend unternahm er eine Reise nach Mesopotamien und auch Ägypten, wo er studierte. Nach zwanzig Jahren des Reisens hatte sich Pythagoras alle mathematischen Regeln der damals bekannten Welt angeeignet. Auf seine Heimatinsel Samos zurückgekehrt, musste er bald wieder fliehen, da seine Ansichten über gesellschaftliche Reformen vom Tyrannen Polykrates nicht geteilt wurden. Um 532 v. Chr. ließ sich Pythagoras im süditalienischen Kroton nieder. Dort fand er in Milon, dem reichsten Bürger der Stadt, einen idealen Mäzen, der zugleich auch einer der kräftigsten Männer der Geschichte war. Pythagoras' Ruf als Weiser von Samos hatte sich zu der Zeit schon in ganz Griechenland verbreitet, aber Milon war noch berühmter. Er war ein Mann von herkuleischer Gestalt, der - was niemandem vorher gelungen war - bei den Olympischen Spielen zwölf Siege errungen hatte. Neben der Athletik schätzte und praktizierte Milon auch Philosophie und Mathematik. Milon stellte ihm einen Teil seines Hauses zur Verfügung, groß genug, um darin eine Schule aufzubauen. Hier gründete Pythagoras eine religiös-philosophisch-politische Gemeinschaft von sechshundert Anhängern, zu der auch mehrere Frauen gehörten. Sie nannte sich 'pythagoräischer Bund' und ihre Mitglieder bezeichneten sich später als Pythagoreer. Pythagoras Lieblingsschülerin war Theano von Kroton, eine Tochter Milons, und trotz des Altersunterschieds heirateten sie. Während der sechsundsiebzigsten Olympiade (510 v. Chr.) kam es in der nahegelegenen Stadt Sybaris zu einem Aufstand, der niedergeschlagen wurde. Die Rädelsführer flüchteten nach Kroton, sollten aber ausgeliefert werden. Milon und Pythagoras riefen die Bürger dazu auf, die Flüchtlinge zu schützen. Von Sybaris aus wurde daraufhin ein Heer von 300.000 Mann gegen Kroton geschickt, das von Milon mit 100.000 bewaffneten Bürgern verteidigt wurde. In einem siebzigtägigen Krieg gewann Milon die Oberhand. Zur Vergeltung leiteten die Krotoner den Fluss Crathis um, dessen Wasser Sybaris überflutete und die Stadt zerstörte. Nun herrschte in Kroton Aufruhr um die Frage der Kriegsbeute. Die einfache Bevölkerung befürchtete, die pythagoräische Elite könnte die erbeuteten Ländereien allein für sich beanspruchen. Neid, Furcht und Verschwörungsängste, die den geheimniskrämerischen Bund umgaben, machten sich Luft. Aufgehetzt durch Kylon, einen abgewiesenen Kandidaten der Gemeinschaft, umzingelte der wütende Mob das Haus Milons und die angrenzende Schule. Alle Türen wurden verschlossen und verrammelt, um die Flucht der Bewohner zu verhindern, und dann begann das Mordbrennen. Milon konnte dem Inferno entkommen, Pythagoras und viele seiner Schüler aber starben in den Flammen. Pythagoras' Frau Theano überlebte und führte die Schule weiter, ebenso später ihre gemeinsame Tochter Damo. Nach einer anderen Version der Geschichte kam Pythagoras bei den Auseinandersetzungen in Kroton nicht ums Leben, sondern war gezwungen, in das weiter nördlich gelegene Metapont zu fliehen, wo er um 497/96 starb.

Betätigungsfelder

Metapont Während uns Pythagoras heute in erster Linie als Mathematiker in Erinnerung ist, so hatte er und seine Schule weiterhin entscheidenden Einfluss auf die Ausbildung des abendländischen Tonsystems (siehe auch Pythagoräisches Komma). Von seinen Zeitgenossen wurde er wohl in erster Linie als religiöser Prophet betrachtet. Für seine Anhänger, die Pythagoräer, gehörten die Musik, die Harmonie und die Zahlen unlösbar zusammen (Harmonik). In seiner Philosophie sind auch indische Einflüsse merkbar, so etwa in seinem Glauben an die Seelenwanderung. Sie erhoben die Seele in die Nähe des Göttlichen, und nur so konnte man dem Kreislauf der Wiedergeburt entgehen. Aber aus dieser mystischen Lehre entwickelte sich die exakte Wissenschaft, wobei heute nicht mehr klar zu trennen ist, was von Pythagoras und was von seinen Schülern stammt.

Lehre

Wissenschaft Pythagoras knüpfte mit seiner Philosophie an Anaximander und seiner Lehre vom Apeiron an, ergänzte sie aber wesentlich, indem er die Zahl als zusätzliches Prinzip einführte. "Alles ist Zahl" - dieser Satz wird den Pythagoräern zugeschrieben und er verdeutlicht, dass sie die Zahl als eine die gesamte Natur konstituierende Kraft betrachteten. Erstmals in der griechischen Philosophie wird diese Rolle damit einem abstrakten Prinzip zugeschrieben. In diesem Zusammenhang ist der Begriff der Inkommensurabilität wichtig. Der Überlieferung nach entdeckte ein Schüler von Pythagoras namens Hippasos an einer geometrischen Figur inkommensurable Strecken und wurde dafür auf Pythagoras Anordnungen ertränkt. Gleichgültig, ob diese Geschichte der Wahrheit entspricht oder nicht – die Existenz inkommensurabler, d.h. nicht "mit einem gemeinsamen Maß messbarer" Strecken war eine mit dem Weltbild der Pythagoräer schwer vereinbare Entdeckung. Denn sie bedeutet, dass es Strecken gibt, für die das Verhältnis der Längen nicht durch natürliche Zahlen ausgedrückt werden kann (in heutiger Sprechweise: das Verhältnis ist nicht rational, sondern irrational). Man nimmt an, dass dieser Umstand am Pentagramm, einem für die Pythagoräer wichtigen Symbol, mittels Wechselwegnahme (der geometrischen Version des euklidischen Algorithmus) gemacht wurde: Das Verhältnis der Seite zur Diagonale ist beim regelmäßigen Fünfeck irrational. Es kann aber auch sein, dass die Inkommensurabilität am Quadrat (Seite und Diagonale) entdeckt wurde, entweder ebenfalls geometrisch, oder mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes und dem bei Euklid zu findenden zahlentheoretischen Beweis. Der "pythagoräische Lehrsatz", auch "Satz des Pythagoras", über das rechtwinkelige Dreieck ist allerdings wesentlich älter. Er verdankt seinen Namen der Zuschreibung durch Euklid. Gut bekannt ist auch heute noch die schon im Altertum vielbelächelte Ansicht, in Bohnen würden menschliche Seelen reinkarnieren, und daher sei das Essen von Bohnen mit Mord gleichzusetzen. Vermutlich hat Pythagoras viel von seinem Gedankengut von den Ägyptern oder gar den Persern übernommen. Die Überlieferungen berichten, er sei von ägyptischen Priestern eingeweiht worden oder habe an den orphischen Mysterien teilgehabt. Die Seefahrer, mit denen er unterwegs war, hielten Pythagoras für ein göttliches Wesen, da die Überfahrt wider Erwarten ruhig verlief. In Ägypten ließ er sich mit Fleiß über jede Lehre unterrichten und verweilte dort 22 Jahre lang bei Sternkunde, Geometrie und Einweihung in alle Göttermysterien. Sicher ist aber, dass zwischen der Mysterienschule der Pythagoräer und dem Geheimkult der orphischen Mysterien enge Beziehungen bestanden. Zum Teil sind die Lehren dieser beiden esoterischen Gesellschaften sogar identisch, so weit sich dies heute noch feststellen lässt – viele Details antiker Geheimlehren wurden nur mündlich weitergegeben und sind somit heute vergessen.Samos liegt in der Ägäis.

Literatur

Primärtexte

- Ovid, Metamorphoses XV,60-478 (Pythagoras' Lehren)
- Diogenes Laertius, Vitae philosophorum VIII (Leben berühmter Philosophen)
- Porphyrios, Vita Pythagorae (Leben des Pythagoras)
- Iamblichos von Chalkis, De Vita Pythagorica (Leben der Pythagoreer)
- Apuleius

Sekundärliteratur

- Bell, Eric Temple: The Magic of Numbers, New York 1991, ISBN 0486267881
- Burkert, Walter: Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, ISBN 0674539184
- K. L., Guthrie: The Pythagorean Sourcebook and Library, Phanes 1987 ISBN 0-933999-51-8
- J. O'Meara, Dominic: Pythagoras Revived, Oxford 1989, Paperback ISBN 0198239130, Hardcover ISBN 0198244851

Weblinks

-
- [http://www.info-antike.de/pyt_ref.htm Kurz-Biografie zu Pythagoras]
- [http://www.pythagoras-institut.de/Start.html Informationen zum Pythagoras Institut Dresden]
- [http://www.utm.edu/research/iep/p/pythagor.htm Internet Encyclopedia der Philosophie]
- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Pythagoras.html Weitere Informationen zu Pythagoras]
- [http://users.ucom.net/~vegan/ Homepage zum Pythagoreanism]
- [http://groups.yahoo.com/group/Pythagorean-L/ Pythagoreanism Discussion Group]
- [http://12koerbe.de/pan/ovid-vos.htm Metamorphoses XV,60-478: Pythagoras' Lehren]
- [http://12koerbe.de/pan/athen.htm#Pythagoras Pythagoras in Raffaels Philosophenschule von Athen] Siehe auch: Autos epha Kategorie:Mann Kategorie:Mathematiker der Antike Kategorie:Vorsokratiker ja:ピュタゴラス ko:피타고라스 simple:Pythagoras th:พีทาโกรัส

Ertränken

Unter Ertränken versteht man im allgemeinen das zu Tode bringen durch Erstickung unter bzw. im Wasser. Speziell fasst man unter dem Begriff Ertränken jegliche Arten von Todesstrafen zusammen, bei denen die Verurteilten durch verschiedene Weisen durch das Drücken ihres Körpers unter Wasser zum Erstickungstod gebracht wurden. Im Mittelalter und in der Frühen Neuzeit wurde diese Todesstrafe vor allem an Frauen vollstreckt. Sie wurden im Mittelalter ins Moor getrieben. Eine Variante stellte beispielsweise das Säcken dar, bei der die Verurteilten in Säcke eingenäht und ins Wasser geworfen wurden. Meist jedoch wurden die Delinquenten gebunden, dann ins Wasser geworfen und anschließend mit Stangen unter die Wasseroberfläche gedrückt. Bei der Todesstrafe des Ertränkens spielte der Symbolcharakter des Wassers eine wichtige Rolle: Dem Wasser wird reinigende Wirkung zugesprochen. Eines der prominentesten Opfer dieser Bestrafungsmethode ist Hippasus, ein Schüler des Pythagoras. Der Legende nach ließen Pythagoreer Hippasus ertränken, nachdem dieser den wunderbaren Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen an nicht Eingeweihte (also keine Mitglieder der pythagoreischen Gruppe) verraten hatte. Ertränken

Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (
- 6. Oktober 1831 in Braunschweig; † 12. Februar 1916 in Braunschweig) war ein deutscher Mathematiker. Benannt nach Richard Dedekind sind die dedekindschen Schnitte, die Dedekindringe, die dedekindsche η-Funktion in der Theorie der Modulformen, die dedekindsche ζ-Funktion eines algebraischen Zahlkörpers sowie der dedekindsche Komplementärmodul. Publikation von Richard Dedekind im Jahre 1888 / Was sind und was sollen Zahlen? "Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."

Weblinks

-
- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dedekind.html Kurzbiografie (engl.)]
- [http://finanz.math.tugraz.at/~predota/old/history/mathematiker/dedekind.html Kurzbiografie (dt.)] Dedekind, Richard Dedekind, Richard Dedekind, Richard Dedekind, Richard Dedekind, Richard ja:リヒャルト・デーデキント ko:리하르트 데데킨트

Euklid

Euklid von Alexandria (
- ca. 365 v. Chr.; † 300 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, der in Alexandria lebte. Sein berühmtestes Werk ist "Die Elemente", ein Buch, in dem er die Eigenschaften von geometrischen Objekten und ganzen Zahlen aus einer Menge von Axiomen (=Elementaraussagen) herleitet und das mathematische Wissen seiner Zeit zusammentrug. Damit nahm er die axiomatische Methode der modernen Mathematik vorweg. Viele der Resultate, die Euklid in den Elementen präsentiert, stammen von früheren Mathematikern - eine seiner Leistungen besteht aber eben auch darin, dass er sie sammelte und in einer einheitlichen Form darstellte. Als historische Persönlichkeit ist Euklid nicht gesichert; so gibt es auch die These, dass die Elemente nicht von einer Person, sondern von einem Expertenkreis kompiliert wurden. Die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum. Neben Geometrie enthalten Euklids Elemente auch die Anfänge der Zahlentheorie, wie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers, sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, den euklidischen Algorithmus. Euklid weist auch nach, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist (Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2). Das bekannte fünfte Axiom der ebenen Euklidischen Geometrie, das Parallelenaxiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet. Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Exaktifizierung von mathematischen Begriffen beigetragen hat. Im Zuge dessen wurden im 19. Jahrhundert auch die Lücken im Euklidischen Axiomensystem offenkundig. Eine Neufassung der Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk "Grundlagen der Geometrie" (1899).

Weblinks

Kategorie:Mathematiker der Antike ja:エウクレイデス ko:유클리드

Johann Heinrich Lambert

Johann Heinrich Lambert (
- 26. August 1728 in Mülhausen (Elsass); † 25. September 1777 in Berlin) war ein Mathematiker, Physiker und Philosoph.

Leben

Lambert ergriff eine wissenschaftliche Karriere, ohne je ein reguläres Studium absolviert zu haben. Er wurde 1746 Sekretär bei Iselin in Basel, zwei Jahre später Hauslehrer beim Präsidenten Salis in Chur und machte mit seinen Schülern mehrere Reisen. 1764 wurde er zum Oberbaurat und Mitglied der Akademie der Wissenschaften in Berlin ernannt.

Leistungen

Lambert gehörte zu den hervorragendsten Mathematikern und Logikern seiner Zeit. Die Lehre von Intensitätsmessung des Lichts begründete er als Wissenschaft in seinem Werk Photogrammetria, seu de mensura et gradibus luminis colorum et umbras (Augsburg 1760). Weiterhin erforschte er - selbst seit seiner Geburt schwerhörig - die Theorie des Sprachrohrs. Lambert erwarb sich auch Verdienste um die Erkenntnistheorie, der er sein Werk Neues Organon, oder Gedanken über die Erforschung und Bezeichnung des Wahren (2 Bde., Leipzig). Hier versuchte er mit Hilfe der Mathematik eine bessere Methode der Philosophie zu schaffen. Er gilt als ein Wegbereiter des Rationalismus und bedeutendster Vorgänger von Immanuel Kant, mit dem er in regem Briefwechsel stand. 1759 erschien die erste Auflage seiner Schrift "Freye Perspective", 1774 die zweite Auflage. Die Schriften zur Perspektive sind 1943 von Max Steck herausgegeben und mit einer ausführlichen Bibliographie aller Werke Lamberts versehen worden. 1761 (oder 1767) wies Lambert die Irrationalität der Zahl Pi nach. 1772 entwickelt er eine spezielle winkeltreue Kartenprojektion, die Lambertsche Schnittkegelprojektion. Weitere Projektionen werden ebenfalls von ihm entwickelt. Im selben Jahr veröffentlich er auch die Lambertsche Farbenpyramide. 1776 begründete er die Zeitschrift

Irrationale Zahl

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Siehe auch

Reelle Zahl

Einteilung der reellen Zahlen

Mächtigkeiten

Konstruktion von R aus Q

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Verwandte Themen

Rationale Zahl

Definition

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Darstellungsformen

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Eigenschaften

Verwandte Themen

Weblinks

Dezimalsystem

Definition und Darstellung

Ziffern

Definition

Beispiel

Dezimalbruchentwicklung

Formel

Periode

Periodische Dezimalbrüche als Grenzwerte

Notation mit Periodenstrich

Nicht periodische Nachkommaziffern-Folge

Besondere Eigenschaft der Dezimalbruchentwicklung

Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

Siehe auch

Weblinks

Wurzel (Mathematik)

Schreibweise

Näherungsverfahren

Rechenregeln zur Berechnung am Computer

Abschätzung einer Wurzel

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Wurzeln aus Matrizen

Anzahl existierender Wurzeln

Geometrische Interpretation von Wurzeln

Berechnung einer Wurzel

Positiv definite symmetrische Matrizen

Andere Bedeutungen des Wortes

Die Wurzelgesetze

Siehe auch

Weblinks

Kreiszahl

Mathematische Grunddaten

Definition

Irrationalität & Transzendenz

Die ersten 100 Nachkommastellen

Kettenbruchentwicklung

Sphärische Geometrie

Geschichte der Zahl \pi – von Schätzungen zur Rekordjagd

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Archimedes von Syrakus

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

Berechnung mittels Flächenformel

Programm

Statistische Bestimmung

Buffonsches Nadelproblem

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die \pi enthalten

Formeln der Geometrie

Formeln der Analysis

Formeln der Physik

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Offene Fragen

Anhang für Liebhaber der Zahl \pi

Rekorde, Film und Kuriositäten

Merkregeln

Auf der Jagd nach π – Tabelle

Quellen und Literatur

Konstruktion von $\mathbb$ aus $\mathbb$

Geschichte der Zahl $\pi$ – von Schätzungen zur Rekordjagd

Formeln, die $\pi$ enthalten

Anhang für Liebhaber der Zahl $\pi$