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Réflexion (mathématiques)
En mathématiques élémentaires, on appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un axe du plan, ou par rapport à un plan de l'espace. L'origine du terme se conçoit bien en liaison avec les miroirs qui réfléchissent une image.
Plus généralement, en mathématiques plus abstraites, la réflexion réfère à un automorphisme involutif d'un espace qui laisse invariant un sous-ensemble de codimension 1. Cela signifie qu'un espace bi-dimensionel (à n dimension) est retourné autour d'un axe uni-dimensionel (à n-1 dimensions) à l'intérieur de cet espace.
Note que cela s'applique à plus que juste la géométrie euclidienne. Les réflexions en géométrie affine eu égard à un hyperplan donné n'est pas unique, par exemple. Aussi, une inversion en géométrie inversive est considérée une réflexion par cette définition.
Y=-f(x)
->
->
Réflexion par rapport à l'axe des .
Y=f(-x)
->
->
Réflexion par rapport à l'axe des .
X=f(y)
-> f-1(x)
->
Réflexion par rapport à l'axe .
Catégorie:Théorie des ensembles
MathématiquesLes mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles
On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire.
Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre).
L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques.
L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique.
L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée.
:« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. »
::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse
Définitions des mathématiques
La science des nombres et de l’espace
L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...
La science des formes de déduction
Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste.
Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple.
Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées.
Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.
La science de tous les mondes possibles
Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles.
De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer.
On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début.
Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs.
En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.
La logique et les théories des ensembles
La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes.
Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques
Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude
Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories
L’arithmétique et les mathématiques discrètes
Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat
Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes
Les géométries
- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose
Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique
L’algèbre
- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation
L’analyse et la topologie
Analyse
- Analyse
- Suites
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- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité
Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie
La théorie des probabilités
- Probabilités
- Statistiques
Mathématiques appliquées
Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales
Mathématiques récréatives
- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques
Mathématiques élémentaires (non universitaires)
- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
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- Logique élémentaire
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Statistique élémentaire
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- Liste des articles de technique de calcul
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Voir aussi
Annexes
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- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
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Liens internes
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- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
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- Ordre de grandeur (nombre)
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- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique
Liens externes
- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
-
ja:数学
ko:수학
ms:Matematik
simple:Mathematics
th:คณิตศาสตร์
zh-min-nan:Sò·-ha̍k
Automorphisme
Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Théorie des catégories
Un automorphisme est un isomorphisme, c’est-à-dire un morphisme bijectif, d'une structure mathématique dans elle-même.
L'automorphisme le plus connu est l'identité qui a tout élément x d'un ensemble E associe x.
Hyperplan
catégorie:Algèbre linéaire
Les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.
Définition
Soit E un K-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.
On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.
Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriel de dimension n-1.
Dans , la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.
Caractérisation
On montre l'équivalence des propriétés suivantes :
- est un hyperplan
- Il existe une droite telle que
-
Lien avec les formes linéaires
On montre que le noyau d'une forme linéaire non nulle, est un hyperplan de E. Réciproquement, tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Interprétation de ce résultat dans le R-espace vectoriel :
Toutes les formes linéaires sur peuvent s'écrire sous la forme suivante :
avec fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit
Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan.
Exemples
a) Soit l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans .
L'ensemble des matrices de trace nulle est un hyperplan de E.
b) l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: est un hyperplan de E.
Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
Représentation des sous-espaces
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie. On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual. Leonardo da Vinci
Ni Leonardo da Vinci (Abril 15, 1452 – Mayo 2, 1519) ket maysa nga Italiano a Renaissance nga arkitekto, musikero, anatomista, inventor, inheniero, kumikitikit, geometero, ken pintor. Maaw-awagan kas arketipo ti "tao a Renaissance" ken kas universal a henio, ni Leonardo ket nalatak kadagiti nainlaingan a pinintaanna, kas iti Ti Maudi a Pangrabii ken ti Mona Lisa. Am-ammo pay kas nangdisenio iti naruay nga invension a nangsakbay iti moderno a teknolohia. Adu met ti naitulongna iti pannakaidur-as ti panagadal iti anatomia, astronomia, ken inheniera civil.
Da Vinci
Da Vinci
Da Vinci
Da Vinci
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Ronald Raygun
Ronald Wilson Reagan (February 6, 1911 – June 5, 2004) was the 40th President of the United States (1981–1989) and the 33rd Governor of directed-energy weapon. They are a classic and widespread feature of science fiction. Types of raygun have various names: ray gun, death ray, beam gun, blaster, laser gun, etc. They supply the general role of guns in the scenarios of many stories. All or most rayguns are fictional as far as now known.
:See directed-
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Pierre-Louis de Maupertuis
Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (July 17, 1698 – July 27, 1759) was a French mathematician, philosopher and man of letters. He is often credited
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Pierre Maupertuis
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August Möbius
August Ferdinand Möbius (November 17, 1790, Schulpforta, Saxony, Germany - September 26, 1868, Leipzig) was a German mathematician and
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Chamber of Deputies of Chile
The Chamber of Deputies of the Republic of Chile (Spanish:
Cámara de Diputados) is the lower house of Chile's bicameral Congress. Its organisation and its powers and duties are defined in articles 42 to 59 of Chile's current constitution.
It comprises
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