הפרדוקסים של זנוןזנון מאלאה היה פילוסוף יווני שחי במאה החמישית לפני הספירה, והיה תלמידו של פרמנידס. זנון חיבר פרדוקסים העוסקים בתנועה ובזמן. כל אחד מפרדוקסים אלה מציג הוכחה הסותרת את המציאות הגלויה לעינינו, ובאו לתמוך בגישתו של פרמנידס לפיה אל לנו לסמוך על החושים המטעים אותנו. פרדוקסים אלה הם:
- פרדוקס אכילס והצב
- פרדוקס הדיכוטומיה
- פרדוקס החץ הנע
זנון ובני תקופתו לא הציגו פתרון לפרדוקסים אלה, והם העסיקו רבות את הפילוסופים של ימי הביניים. הפתרון לפרדוקסים של זנון נמצא בביסוס התיאורטי של מושג האינסוף, החל מהמאה ה-17.
פרדוקס אכילס והצב
הפרדוקס עוסק בתחרות ריצה בין האצן האגדי, אכילס, לבין הצב: אכילס רץ פי 10 מהר יותר מן הצב, ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 1000 מטר בתחילת התחרות.
זנון טוען שבתנאים אלה אכילס לעולם לא יוכל להשיג את הצב. זאת, מכיוון שבזמן שאכילס יעבור את 1000 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, יספיק הצב להתקדם 100 מטר, ולכן הוא יקדים את אכילס. וכאשר אכילס יעבור מרחק נוסף של 100 מ', יספיק הצב לעבור 10 מטר נוספים, ושוב יקדים את אכילס. וכך הלאה, בכל פעם שאכילס מגיע לנקודה שהצב היה בה קודם, בזמן הזה הצב מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.
פרדוקס זה עומד, כמובן, בסתירה לידוע לנו - אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. המוצא מן הפרדוקס: בריצתו של אכילס לעבר הצב יש אמנם מספר אינסופי של צעדים, אך הזמן הנחוץ לביצוע כל צעד הולך ומתקצר, כך שהזמן הנחוץ לביצוע המספר האינסופי של הצעדים הוא זמן סופי (כפי שידוע לנו מהעיסוק בסכום של טור אינסופי), שהוא הזמן הנחוץ לאכילס כדי להשיג את הצב.
פרדוקס הדיכוטומיה
אדם שרוצה לנוע ממקום למקום, כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו, כי לפני שיגיע לנקודת היעד, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד, ולפני שיגיע מנקודה היציאה לאמצע הדרך, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה. בהתאם לכך, האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו, כי קודם שיגיע לנקודה כלשהי יצטרך להגיע קודם לאמצע הדרך שבין נקודה היציאה לבין הנקודה שאליה הוא רוצה להגיע.
פרדוקס זה הוא וריאציה של הפרדוקס הקודם, וגם פתרונו דומה.
פרדוקס החץ הנע
ברגע מסוים שבו החץ עף אל מטרתו הוא נמצא במקום מסוים, כלומר הוא נמצא במנוחה במקום זה. תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ, ולכן החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו - תנועת החץ כלל אינה קיימת.
פתרונו של פרדוקס זה ניתן באמצעות מושג הגבול של החשבון האינפיניטסימלי, ממנו אנו לומדים שגם כאשר אורכו של הרגע שואף לאפס, מהירות החץ תהיה גדולה מאפס.
ראו עוד
- אינפיניטסימל
- חשבון אינפיניטסימלי
- גבול (מתמטיקה)
- אייזיק ניוטון לעומת אוגוסטין לואי קושי
- שלוש מהפכות קופרניקניות
זנון, פרדוקס של
קטגוריה:יוון העתיקה
ja:ゼノンのパラドックス
simple:Zeno's paradoxes
זנון מאלאהזנון מאלאה (Ζηνων, בערך 430-495 לפנה"ס), פילוסוף יווני שפעל בדרום איטליה באזור שנקרא יוון הגדולה, ידוע בעיקר בזכות הפרדוקסים שלו על תנועה וזמן, הקרויים הפרדוקסים של זנון. זנון נמנה עם האסכולה האלאטית, שעליה נמנה גם מורו וידידו פרמנידס.
המעט הידוע לנו אודות זנון בא מהדיאלוג "פרמנידס", שנכתב על-ידי אפלטון.
הפרדוקסים של זנון
- אכילס והצב
- פרדוקס הדיכוטומיה
- החץ של זנון
- הפרדוקס בדבר אי-קיומו של המרחב
קישורים חיצוניים
- [http://www.utm.edu/research/iep/z/zenoelea.htm Zeno of Elea] באתר Internet Encyclopedia of Philosophy.
קטגוריה:פילוסופים קדם-סוקראטים
קטגוריה:פילוסופים יוונים
קטגוריה:פילוסופים
קטגוריה:הלנים
יוון העתיקה
היסטוריה
יוון העתיקה היא התרבות המוכרת לנו כתרבות היוונית, היא לא היתה קיימת לפני האלף הראשון לפני הספירה. תחילת התרבות היוונית היתה בכרתים (ראו יוון המינואית) באלף השני לפני הספירה. השבטים האכאים והדורים פלשו לאזור בערך בתחילת האלף הראשון לפנה"ס. לא ידוע על מקורם ומוצאם של השבטים האלו. חשוב להדגיש, המיקנים לא היו יוונים במובן המוכר לנו של המילה.
הדורים התישבו בעיקר בפלופונס ואכאים בשאר יוון (לא להתבלבל עם חבל ארץ אכיאיה, שאכן נמצא בפלופונס, אך זהו מקרה יוצא דופן של אכאיים שהתישבו בפלופונס). רוב הקולוניות שנבנו מחוץ ליוון הן של אכאים. ענין השבטים השונים חשוב מאד ביוון הקלאסית היות ובני אותו עם בדרך כלל כרתו ברית בינם לבין עצמם. היותם של הסירקוזים דורים, היווה עילה לפלישה אתונאית במלחמה הפלופונסית לסיציליה.
פרט לשבטים אלו ישבו ביוון האטים (תושבי אטיקה) והתסלים. שבטים אלו נמנים עם האוכלוסיה המקורית של יוון.
אחרי הפלישה היתה תקופת חושך וירידה עצומה ברמת החיים ויוון פוצלה להמון יחידות קטנות שמאוחר יותר התפתחו לפוליס שהיא המסגרת המדינית המוכרת לנו. יחידות אלו נוסדו בעקבות ההרים הרבים המפרידים בין העמקים והמישורים ומצמצמים את פני שטח המחיה של יוון, מספר האזרחים בכל פוליס היה קטן ולא עלה על כמה אלפים ברובם. לעתים נדירות הגיע ל-10,000 ומעלה.
טעות רווחת נוספת היא החלוקה השרירותית לדמוקרטיות ואוליגרכיות. חשוב להדגיש, שאפילו בספרטה, שהיא המודל האוליגרכי, לא היה שלטון רודני. להפך, היו בה המון בלמים ואיזונים. למשל - היו להם שני מלכים שעמדו למשפט כל שנה. פרט למלכים היו להם חמישה אפורים שנבחרו בבחירות רגילות והיו מופקדים על הרשות המבצעת. תפקיד המלכים היה סמלי והנהגת הצבא בקרב. גם אתונה חוותה תקופות אוליגרכיות כמו לאחר תבוסה במלחמה הפלופונזית (השלטון ה-30 בשנת 404 לפנה"ס)
תיאטרון
ביוון התפתח אחד מבילויי הפנאי המקובלים ביותר של העולם המודרני - התיאטרון. ההצגות הועלו במקומות שנבנו במיוחד לשם כך ואלו הם האמפיתיאטרונים. רב הנושאים היו לקוחים מהמיתולוגיה היוונית, או מחיי היום יום. באתונה התיאטרון פרח בצורה מרהיבה ועם המשוררים שתרמו לתרבות האנושית נמנים אתונאים רבים כמו אאוריפידס, סופוקלס, אריסטופנס ועוד. אחת הקומדיות של אריסטופנס הועלתה לא מזמן בתיאטרון "הבימה". למרות שהמחזה נכתב לפני 2400 שנה, הוא נשאר אקטואלי עד היום.
הקדרות והפיסול
ביוון העתיקה פיסלו פסלים מרהיבים המציגים את היופי של גוף האדם. השלמות שבפסלים אלו היא כה גדולה שתקופה שלמה בהיסטוריה מתיחסת לחזרה לערכים אלו, הלא זוהי תקופת הרנסנס. היוונים לא ראו בעירום משהו פסול או שלילי לכן הפסלים מציגים את הגוף האנושי ללא בגדים. פרט לפסלי אנשים ואלים (שגם הם בצורת אדם) הם פיסלו פסלים של חיות ויצורים דימיוניים.
הקדרות היתה מפותחת מאוד וכדים רבים מעוטרים בציורים מרהיבים עם נושאים, הלקוחים בדרך כלל מהמיתולוגיה היוונית. כידוע צבע החימר הוא אדום, ולכן הציור, למרות שהוא אדום, לא צויר כפי שאנו רואים אותו. הם פשוט כיסו בצבע שחור את כל המקומות בכד שלא הופיעו בתמונה.
ראו גם
- השפה היוונית
- מיתולוגיה יוונית
- הומוסקסואליות ביוון העתיקה
- תרבות הגוף ביוון העתיקה
- הספורט ביוון העתיקה
תקופות היסטוריות
- יוון המינואית
- יוון הארכאית
- יוון הקלאסית
- יוון ההלניסטית
-
קטגוריה:תקופות היסטוריות
פרדוקספרדוקס (Paradox) הוא הוכחה הסותרת ידע מוכח אחר.
הפרדוקס יכול לבטא סתירה חיצונית כאשר הוא סותר ידע או הנחה קודמים, או סתירה פנימית כאשר ממנו עצמו נובעים דבר והיפוכו.
מקור המילה פרדוקס הוא מיוונית: para = ליד, מעבר; doxa = אמונה, דעה.
הפרדוקס ככלי מדעי
פרדוקס יכול להתגלות בחיי היומיום, בסתירה לאמיתות הרווחות בציבור, או במסגרתן של תיאוריות מדעיות, בסתירה למכלול הידע הקיים בהן.
בהשקפה נראה הפרדוקס כמטעה או מבלבל, אך לאמיתו של דבר נוטלים הפרדוקסים חלק חשוב במדע בפרט ובידע האנושי בכלל. נביעתו של פרדוקס מהנחה היא מן הדרכים הנפוצות להפרכתה של הנחה שגויה.
הפרדוקס מכריח אותנו לבחון מחדש את הידע שלנו, כדי לברר האם הסתירה נובעת מכשל סמוי בפרדוקס, כלומר הפרדוקס אינו נכון ואין כל סתירה, או שהפרדוקס מצביע על טעות בהנחות היסוד שלנו, ולכן עלינו לשנותן. הבהיר זאת היטב פרופ' אסא כשר, בפתח מאמרו "פאראדוכס, סימן שאלה":
:"הפאראדוכסים הם מן הסימנים המובהקים של הקשיים המושגיים ושל המבוכות הלוגיות. אפשר להיפטר מהם על-ידי סילוק הקשיים או הפגת המבוכות, באחת משתי דרכים. ההולך בדרך האחת מודה ועוזב - הוא מקבל את הפאראדוכס כעדות גמורה לכך שהמערכת המושגית שלו לקויה והוא משנה אותה במידה הדרושה כדי להסיר את הליקוי. ההולך בדרך האחרת כופר בעובדות ובאשמה - הוא אינו מקבל את הפאראדוכס, אלא מראה שהלה פורח על מגדל שהוא עצמו לקוי בשל סטיות סמויות מן המערכת המושגית הנתונה. בין אם כך ובין אם כך, הפאראדוכסים ילכו ויפוגו, אך לאורם יתבהרו לנו המושגים של עצמנו."
סוגים שונים של פרדוקסים
ניתן לסווג פרדוקסים לקטגוריות העיקריות הבאות:
- פרדוקסים מתמטיים - מתעוררים ממושגי היסוד של המתמטיקה.
- פרדוקסים לוגיים - מתעוררים ממושגי היסוד של הלוגיקה והפילוסופיה.
- פרדוקסים פיזיקליים - עוסקים במושגים של זמן, חלל ותנועה, מהעולם העתיק ועד לפיזיקה מודרנית.
- פרדוקסים של עמימות או פרדוקסים הגדרתיים - נובעים ממגבלותיה של השפה הטבעית, ומן היכולת לטעון טענות שיש בהן סתירה פנימית.
פרדוקסים מפורסמים
להלן כמה פרדוקסים מפורסמים, שחלקם היו בעלי השפעה רבה על החשיבה המדעית במהלך ההיסטוריה.
- פרדוקסים מילוליים
- בעיות של השפה הטבעית
- פרדוקס הערימה: מסירים מערימת חול גרגר אחר גרגר. מתי בדיוק היא מפסיקה להיות ערימה?
- הפרדוקס של ברי: המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות.
- הפרדוקס של גרלינג-נלסון: וריאציה לשונית של הפרדוקס של ראסל.
- הנחות יסוד בעייתיות
- פרדוקס השקרן: "משפט זה הוא שקר".
- פרדוקס הכל-יכול: האם ישות שהיא כל-יכולה מסוגלת ליצור כוח שיתגבר עליה?
- פרדוקס הספר: בעיירה גר ספר שמספר את כל תושבי אותה עיירה שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. מי מספר את הספר?
- פרדוקס "אף תשובה אינה נכונה": במבחן אמריקאי ישנה תשובה שאומרת שאין תשובות נכונות.
- פרדוקסים הקשורים לזמן
- פרדוקס בוחן הפתע: מהמשפט "בשבוע הבא יתקיים בוחן פתע" נובע שהבוחן לא יתקיים.
- פרדוקס הסבא: אתה נוסע לאחור בזמן והורג את סבא שלך קודם שפגש את סבתא שלך. כתוצאה מכך אתה לא נולדת מעולם.
- פרדוקס התאומים: כאשר אחד משני אחים תאומים יוצא מכדור הארץ במהירות קרובה למהירות האור, הוא חוזר מהמסע כשהוא צעיר ומבוגר מאחיו שנשאר בכדור הארץ.
- הפרדוקס של ניוקומב: פרדוקס בתורת המשחקים העוסק בתוצאות של יכולת חזיית העתיד.
- פרדוקסים פיזיקליים
- הפרדוקסים של זנון: פרדוקסים על תנועה וזמן.
- הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן: האם מאורעות רחוקים זה מזה משפיעים זה על זה במסגרת מכניקת הקוונטים?
- פרדוקס החתול של שרדינגר: פרדוקס במכניקת הקוונטים.
- הפרדוקס של אולברס: אם היקום אינסופי, על שמי הלילה להיות בהירים לחלוטין, כי יש כוכב בכל כיוון.
- הפרדוקס של גיל היקום: לפי התצפיות בשנת 2005 נראה כאילו יש כוכבים הזקנים מן היקום עצמו.
- פרדוקסים מתמטיים
- הפרדוקס של ראסל: האם קיימת קבוצה של כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן?
- הפרדוקס של בנך-טרסקי: ניתן לחתוך כדור לעשרה חלקים, ולהרכיב מהם שני כדורים זהים לכדור המקורי.
- פרדוקסים בפילוסופיה של המדע
- פרדוקס העורב: כאשר אנו רואים תפוח אדום, זה מחזק את ההשערה שכל העורבים שחורים.
- הפרדוקס של נלסון גודמן: התאוריות 'חוקי הפיזיקה תקפים' ו'חוקי הפיזיקה תקפים אבל יתהפכו בסוף שנת 2019' מנפקות אותם ניבויים ולכן הידע שלנו תומך בשתיהן במידה שווה.
- 'פרדוקסים' נוגדי אינטואיציה
- הפרדוקס של גלילאו: מציג את תכונותיהן המופלאות של קבוצות אינסופיות.
- הבעיה של מונטי הול: תוצאה בלתי אינטואיטיבית לבעיה פשוטה בתורת ההסתברות.
- 'פרדוקסים' של הטעיה
- פרדוקס הסוס: לכל הסוסים אותו צבע.
- פרדוקס המעטפות: שתי מעטפות באחת סך מסוים ובשניה כפול. המשתתף מקבל מעטפה אחת, אך לכאורה תמיד משתלם לו להחליף למעטפה השניה.
לקריאה נוספת
- רועי יהושוע, [http://gifted.cet.ac.il/gifted/skira/paradox/ פרדוקסים], באתר "בארץ הדעת".
- פרופ' אסא כשר, [http://www.tau.ac.il/~kasher/Paradox.doc פאראדוכס, סימן שאלה], עיון, 1975, עמ' 236 - 241.
- ענת בילצקי, פרדוקסים, אוניברסיטה משודרת, הוצ' משרד הבטחון, 1996.
- יהושע בר-הלל, הגיון, לשון ושיטה, הוצ' ספרית פועלים, 1970.
- רות מנור, "מה פרדוקסלי בפרדוקסים?", פילוסופיה ישראלית, הוצ' פפירוס, 1982.
- "שיחה בשניים עם פרופסור חיים גייפמן על פרדוקסים ומשמעותם", מחשבות, נובמבר 1983.
- ארנון אברון, משפטי גדל ובעית היסודות של המתמטיקה, אוניברסיטה משודרת, הוצ' משרד הבטחון, 1998
-
ja:パラドックス
simple:Paradox
תנועה (פיזיקה)תנועה היא מושג מרכזי בפיזיקה, שמשמעותו שינוי במיקום של גוף במהלך הזמן, כפי שהמיקום נמדד על-ידי צופה במערכת ייחוס מסוימת.
מהותה של התנועה
מהותה של התנועה העסיקה כבר את היוונים הקדמונים, כפי שניתן לראות בפרדוקסים של זנון, מהמאה החמישית לפני הספירה, ובמטאפיזיקה של אריסטו, מהמאה הרביעית לפני הספירה, שהתנועה (במשמעות הרחבה של מושג זה) מהווה מושג מרכזי בה.
ביסוס פורמלי למושג התנועה ניתן רק בשלהי המאה ה-17, באמצעות חוקי התנועה של ניוטון. עד לסוף המאה ה-19 היוו חוקי ניוטון את הבסיס למכניקה הקלאסית. חישובים המבוססים על חוקי ניוטון היו מדויקים מאוד, עד לרגע שבו הגיעו הפיזיקאים ליכולת לערוך ניסויים בתנועה במהירות גבוהה.
במהירויות גבוהות, חוקי התנועה של ניוטון חדלו לספק תוצאות מדויקות. לפתרון בעיה זו פיתח אלברט איינשטיין את תורת היחסות. בעוד שחוקי ניוטון הניחו ערכים מוחלטים של מרחב וזמן, תורת היחסות הניחה שאלה מושגים יחסיים, התלויים במערכת הייחוס. תורת היחסות מספקת תוצאות מדויקות יותר, אך לצרכים מעשיים, שבהם מדובר במהירויות נמוכות, פשוט יותר להשתמש בחוקי ניוטון, שרמת הדיוק שלהם מספיקה לצרכים אלה.
תנועה מוגדרת במונחי מרחב וזמן, ולכן מרחב וזמן יחסיים מובילים לתנועה יחסית.
צילום התנועה
היכולת לשמר דמות של עצמים סטטיים התקיימה משחר ההיסטוריה באמצעות הציור, ולאחר מכן באמצעות הצילום. בשלהי המאה ה-19 נוספה יכולת לצלם את התנועה, עם המצאת הראינוע. פיתוח יכולת צילום במהירות גבוהה מאוד נתנה אפשרות להבחין בפרטים של תנועה מהירה, כגון מעוף קליע של רובה או ריצה של סוס, שקשה להבחין בהם ללא מכשור זה.
Category:פיזיקה
ימי הביניים
, גרמניה)]]
ימי הביניים (מלטינית: media aetas) הוא מושג המתאר תקופה בהיסטוריה האירופית שבין העת העתיקה לתקופת הרנסנס. המונח הופיע לראשונה באיטליה במהלך המאה ה-15, לציון העידן שבין נפילתה של האימפריה הרומית במאה הרביעית-חמישית לספירה והמאה החמש–עשרה באיטליה (התקופה הנוכחית, praesens tempus, בלשונם). כוונת המלומדים שהגו את המונח הייתה להבחין בין התרבות והחשיבה שהיו מקובלים בעת העתיקה ואלו שבאו אחריהם, אותם תיארו כעידן של אפלה ושקיעה.
כיום, ישנם תיארוכים שונים של ימי הביניים, בהתאם לזווית ההתייחסות—היסטורית, כלכלית, תרבותית, גאוגרפית, וכדומה—אך מקובלת חלוקה הממקמת את נקודת הפתיחה של ימי הביניים בשקיעת התרבות העתיקה במאות הרביעית והחמישית ואת נקודת הסיום שלהם בעליית הרנסנס במדינות אירופה השונות, החל במאה החמש–עשרה באיטליה ועד תחילת המאה השבע-עשרה בצפון אירופה, ואף מאוחר יותר. התיארוך הסמלי המסורתי הוא בין מותו של קיסר האימפריה הרומית המזרחית תיאודוסיוס הראשון בשנת 395 או הדחת רומולוס אוגוסטולוס מן השלטון באימפריה המערבית על ידי אודואקר בשנת 476 לבין כיבושה של קונסטנטינופול על ידי התורכים בשנת 1453 או תחילתה של הרפורמציה הפרוטסטנטית בשנת 1517.
היסטוריוגרפיה של ימי הביניים
ימי הביניים בהיסטוריה
מקור המונח ושימושיו
המונח "ימי הביניים" נטבע במקור על ידי אנשי הרנסנס שראו את התקופה שבין נפילת האימפריה הרומית לתחייה הרוחנית שלהם כתקופת ביניים שבה לא התרחשה התפתחות משמעותית והאנושות הייתה שקועה בדכדוך מתמשך. כחלק מטרמינולוגיה זו - שבאה להאדיר את התחייה הרוחנית של הרנסנס באמצעות ביזוי ימי הביניים - נקראה האומנות של תקופה זו אומנות גותית, על שם השבטים הגותים הברבריים שהחריבו את האימפריה הרומית.
גם בימינו אנו מונחים אלה הם הרווחים בשימוש, אם כי כיום לא מתלווים אליהם הקונוטציות השליליות שהיו בהם במקור.
תיארוכי (פריודיזציה) ימי הביניים
תיארוך ימי הביניים - כלומר: הקביעה מתי התחילו ומתי נסתיימו, והחלוקה לתת-תקופות על פי שנים - מהווה עדיין מחלוקת רבה בין ההיסטוריונים ואין גישה שלטת. למרות זאת, יש הסכמה על מסגרת הזמן הכללית והויכוחים הם לגבי הגדרת תאריכים עדינה יותר.
תחילת ימי הביניים
ישנה מחלוקת בדבר התאריך המדויק בו התחילה תקופת ימי הביניים.
על פי התיעוד הממוסד ימי הביניים החלו עם נפילת האימפריה הרומית המערבית שהתרחשה רשמית בשנת 476, במאה החמישית לספירה. אך התאריך לא משמעותי, מאחר והאימפריה הרומית המערבית הייתה חלשה מאוד תקופה ארוכה לפני התפרקותה, בעוד התרבות הרומית עדיין שרדה באיטליה כמה עשורים לאחר מכן. כיום, יש היסטוריונים המתעדים את תחילת ימי הביניים במאה ה-4 לספירה עם התפשטות הנצרות באימפריה הרומית ואחרים מתעדים את תחילת התקופה במאה ה-7 לספירה) עם גבירת התפשטות האסלאם במזרח התיכון.
סיום ימי הביניים
ישנה אף מחלוקת בדבר סיומה המדויק של תקופת ימי הביניים, מאחר שהיסטוריון החוקר את איטליה במאה ה-15, לדוגמא, ימצא עצמו חוקר את הרנסאנס בעוד אחר החוקר את אנגליה בתחילת המאה ה-15 ימצא עצמו בלב ימי הביניים. היסטוריונים מסמנים שנים שונות כסוף ימי הביניים. יש הסוברים שימי בביניים הסתיימו בשנת 1492 עם נפילת מעוז המוסלמים האחרון בספרד והמסע של כריסטופר קולומבוס לאמריקה שהתרחשו באותה השנה, אחרים סוברים שהתקופה הסתיימה בשנת 1453 עם נפילת הקונסטנטינופול לידי האימפריה העות'מאנית ועם סיום מלחמת מאה השנים בין אנגליה לצרפת שהתרחשו באותה שנה, בניגוד לכך יש הסטוריונים הסוברים שימי הביניים הסתיימו בשנת 1456 עם המצאת הדפוס אחרים סוברים שהתקופה הסתיימה בכלל בשנת 1517 עם תחילת במהפכה הפרוטסטנטית.
את סיום תקופת ימי הביניים ואת תחילתה של תקופת העת החדשה מאפיינים שינויים רבים, ביניהם, תחילת הרפורמציה הפרוטסטנטית בשנת 1517, גילוי הדפוס בשנת 1456, עליית דגם המדינה המונרכית, תחילת מסעות החקר הימיים, תחילת השינוי הכלכלי-דמוגראפי ותחיית האומנות הקלאסית שהתרחשו לקראת סוף במאה ה-15 באיטליה, ובתחילת המאה ה-16 בצפון אירופה כחלק מהרנסנס.
האזורים שבהם חלו ימי הביניים
ההיסטוריונים משייכים לימי הביניים גם אזורים אחרים בעולם, מלבד אירופה, שלפי דעתם דומים במידה רבה לחברה הפיאודלית שרווחה באירופה בתקופה זו. התקופות שלפני הגעת המערב ליפן ולפני הגעת הקולוניאליזם לאפריקה הדרומית נקראות גם ימי הביניים.
חלוקת ימי הביניים לתקופות עיקריות
חלוקה שנקבעה על פי ההיסטוריונים
ההיסטוריונים מחלקים את ימי הביניים לשלוש תקופות:
- התקופה המוקדמת - במהלכה בפלישות ברברים רבות לאירופה המערבית, המסחר היה כמעט אפסי ורוב האירופאים לא היו נוצרים, אלא סלאבים, ערבים, סקנדינבים, מגיארים.
- התקופה האמצעית - מוכרת בעיקר בזכות החברה הפיאודלית שהתפשתה באותה תקופה והגידול במסחר והשתקמות הערים.
- התקופה המאוחרת - במהלכה החלו להיווצר המדינות כפי שאנו מכירים אותן כיום, תחת מלוכה חזקה ויציבה, וחל גידול במסחר ובתחומים נוספים.
חלוקה שנקבעה על פי הגרמנים
חלוקה היסטורית מקובלת נוספת היא החלוקה הגרמנית:
- ימי החשכה (The Dark Ages) – מהתמוטטות האימפריה הרומית, עד לתקופת "קרל הגדול"(שרלמיין).
- ימי הביניים הנורמניים – מתחילת מסע הצלב הראשון עד לסיום מגפת הדבר שהביאה למותם של חלק גדול מתושבי אירופה.
- ימי הביניים הגותיים – ממגפת הדבר בשנת 1350 ועד לסוף ימי הביניים ב-1492.
מאפיינים ותהליכים עיקריים בימי הביניים
שלהי העת העתיקה וראשית ימי הביניים
שלהי העת העתיקה וראשית ימי הביניים (גרמנית: Frühmittelalter) הם מונחים המציינים בדרך כלל את התקופה בהיסטוריה האירופית שנמשכה משלהי העת העתיקה בסוף המאה הרביעית ובמאה החמישית ועד המאה האחת עשרה לערך.
כבר בשלהי התקופה הרומית החל צומח סדר חברתי חדש שהחליף בהדרגה את הסדר החברתי הרומי. הקיסרים דיוקלטיאנוס וקונסטנטינוס בסוף המאה השלישית ובתחילת המאה הרביעית החלו בתהליך של שינוי, במבנה השלטון ובמבנה החברתי באימפריה הרומית. השליט הפך בהדרגה לשליט-אל בנוסח המזרחי, תוך סילוק מוקדי כוח מתחרים ובניית מערכת בירוקרטית הנשלטת ישירות על–ידי המונארך. כדי לשמר ולממן את המערכת הריכוזית הזו הועלו המיסים באופן ניכר, ונעשה נסיון להצמית אנשים למקום מושבם ולמקצועם, ואף לכפות הורשת מקצוע מאב לבן.
שינוי יזום זה גרם להחרפה ניכרת במצבה של האימפריה, לדעיכה של המרכזים העירוניים שמעבר לבירות קונסטנטינופול ורומא ולהמלטות של רבים מתושבי הערים אל אזורי הכפר או אל חסות הכנסייה. במקביל, בגלל ההדרדרות המתמדת במצבת כוח האדם הצבאית שנדרשה להחזקת האימפריה, החלה חדירה הדרגתית של קבוצות שבטים ברברים אל תוך גבולות האימפריה הרומית.
חדירת השבטים הברברים מכונה בדרך כלל "נדידת העמים" (Völkerwanderung). הפולשים על שלוש קבוצות עיקריות: קבוצות שבטים ממוצא גרמאני, שחלקן ישבו מזה מאות שנים בשולי האימפריה הרומית ובהם כאלו, כמו הגותים, שראו עצמם יורשיה של האימפריה; קבוצות שבטים סלאבים, שהגיעו ממזרח, וגם הן נמנו בחלקן על שבטים שישבו בגבול האימפריה; ושבטים לא-גרמאניים כמו ההונים, האווארים או המגיארים.
פלישות אלו, בניגוד לתפישה שהייתה שלטת עד לפני מספר עשורים, לא נשאו בכל המקרים אופי אלים. לעתים קרובות, ובמיוחד ביחס לשבטים הגרמאנים, חדרו השבטים אל תוך האימפריה בהסכמה ולעתים בהזמנת שליטי האימפריה, ששאפו לגייס כוחות מחודשים ורעננים לחיזוק הצבא האימפריאלי הנחלש. רוב השבטים קנו להם אחיזה ראשונית בשטחי האימפריה תחת הסדרי פואדרטי, שהקצו להם שטחי אדמה בתמורה למזון ולמתן סיוע צבאי לאימפריה.
בהדרגה ולאורך המאה החמישית, החלו השבטים שזכו לאדמות בצד הרומי של הדנובה והריין מקימים ממלכות עצמאיות או עצמאיות למחצה בתחומי האימפריה הרומית. גאליה, ספרד, ואפריקה נשמטו בהדרגה מידי האימפריה לטובת הונדלים, הויזיגותים, הפרנקים, הלומברדים, ואחרים והחלק שנותר, שכלל בעיקר את איטליה ורומא עצמה עמד בשליטה הולכת ומתעצמת של גנרלים גרמאנים.
התמוטטותה הסופית של האימפריה בשנת 476, הייתה סמלית יותר מממשית. השלטון בפועל היה מסור ממילא בידי שליטי ממלכות גרמאנים כאלו ואחרים. חלק מהם, כמו תיאודוריק הראשון, ראו עצמם כיורשיה הלגיטימיים של האימפריה הרומית, אך הסדר שאלו רצו ויכלו לקיים, גם אם היו בו יסודות רומיים, היה שונה מאוד מסדר העולם של הציוויליזציה היוונית-רומית.
בין המאה החמישית והמאה השמינית נוצרה תשתית פוליטית וחברתית שונה לחלוטין בשטחי אירופה המערבית. תחת האוסטרוגותים באיטליה, הויזיגותים בספרד, הפרנקים והבורגונדים בגאליה ובמערב גרמניה והסקסונים באנגליה התפוררו במהרה כל הסדרי השלטון הרומיים ופינו מקומם לשלטון שליטים-לוחמים בנוסח הגרמאני, שלא הצליחו לכונן מערכת שלטונית בת-קיימא או מערכות חוק, משפט וסדר. עם העלמם של אלו, נעלמו גם הבטחון בקניין הפרטי ובסחר ואחריהם כל התעשיות שהיו תלויות בבטחון הקניין והסחר כמו קדרות או ייצור יין ושמן.
מידה מסוימת של התרבות הרומית הכתובה ושל קשרים בין שטחים שונים נשמרה בחסות הכנסייה, המנזרים, והבישופויות שלה, אך היוונית והלטינית, התרבות, הספרות, הממשל והחוק שמשלו באגן הים התיכון מאז עלייתה של אתונה במאה החמישית לפנה"ס נמחו במידה רבה מן העולם. מסך של קדרות ובורות ירד ואירופה נכנסה ל"עידן האפלה".
ממלכות הונדלים בצפון אפריקה, הויזיגותים במזרח ספרד ודרום צרפת, הפרנקים בצפונה, הבורגונדים במרכזה וממלכת אודואקר שירשה את האימפריה הרומית באיטליה היו הכוחות העיקריים בסוף המאה החמישית. בהנהגת כלוביס הראשון, מייסד השושלת המרובינגית השתלטו הפרנקים בהדרגה עד סוף המאה השישית על שטחי צרפת כולה. מתחילת המאה השביעית, ירשו אותם הקרולינגים, שהרחיבו בהדרגה את שטחי שלטונם גם לצפון איטליה ומזרחה על פני רוב שטח גרמניה ומרכז אירופה. איטליה, לעומת זאת, התפוררה אחרי תום שלטון תיאודוריק הראשון לשורה של ממלכות נפרדות ואילו ספרד דעכה עד שנכבשה ברובה על–ידי המוסלמים.
במקביל להתפתחויות אלו, החלו פולשים נוספים עושים את דרכם ממזרח. המצביא המוכשר בליסריוס השיב להאימפריה הביזנטית חלק משטחי האימפריה המערבית בתחילת המאה השישית, אך שלטונם היה קצר מועד. הדת החדשה שנוסדה בשנת 632 בחצי האי ערב—האיסלם—החלה כובשת את העולם. במהלך המאה השביעית והשמינית כבשו הפולשים הערבים את המזרח התיכון, צפון אפריקה, ספרד וחלק מאיי הים התיכון כולל סיציליה. הים התיכון הפך מ"הים שלנו" (mare nostra), כמאמר הרומאים, לים בשליטה מוסלמית. האימפריה הביזנטית איבדה את צפון אפריקה וחלק מאסיה הקטנה ונאלצה לוותר על שטחי איליריה כדי להתגונן מפני הערבים. התפתחות זו, שמה קץ לתקווה להתחדשות הסחר בשלב מוקדם, והמסחר באגן הים התיכון, ערש התרבות המערבית, נפסק כמעט לחלוטין החל במאה השביעית.
צמיחת הסדר הפאודלי
מתוך אפרו של סדר העולם היווני-רומי החל לצמוח במאה השמינית סדר עולם חדש, הפאודליזם. התמוטטות השלטון המרכזי והסמכות הממשלתית, הובילה לצמיחת מערכת של שליטים מקומיים, שקיימו כל אחד מערכת שלטונית נפרדת. במערכת זו היו אלמנטים שאומצו מתקופת שלהי השלטון הרומי, כמו קיבוע אנשים למעמדם ולעיסוקם של הוריהם והצמתת החקלאים לאדמתם; ובמקביל אימוץ מערכת הנאמנות האישית ושבועות הנאמנות האישיות שהייתה מקובלת בחברה הגרמאנית.
האדם בחברה הפיאודלית לא היה יישות אינדבידואלית מבחינה אישית ומשפטית. עיקר האוכלוסיה הורכבה מצמיתים—איכרים ללא רכוש קרקעי שהיו להלכה מי שהיו חייבים אמונים (קומנדטיום) בתמורה להגנת האדון, ובפועל היו פשוט רכושו של בעל הקרקעות. בעלי הרכוש, הואסאלים תפקדו במידה רבה כבעלי אחוזות אוטארקיות, עם קשר מועט בין אחוזה אחת למשנה. הם היו קשורים ביניהם במערכת של שבועות אמונים אישיות (הומגיום), אופקיות ואנכיות, שקבעו חובת הענקת שירותים צבאיים לאדון לו נשבעו אמונים, כאשר התמורה התדירה באה בדמות הענקת אדמות לוסאל.
האדמות או ה"פיף" (fief) שקיבל הוסאל הפך במהרה לתנאי מקדים לכל שירות שהעניק זה לאדון. בתחילה, היו אדמות אלו אמורות לשוב לרשות בעליהם הראשונים, האדון, אך במהרה הפכו האדמות ומאוחר יותר גם שטחי שליטה שהוענקו לוסאלים בולטים לרכוש העובר בירושה. מצב זה החליש בהדרגה את מחוייבותם של הוסאלים לאדון וחיזק את מעמדם כשליטים עצמאיים להלכה בדוכסויות ונסיכויות נפרדות.
תחילת ימי הביניים
עד לזמן האחרון, היה נפוץ לדבר על "הפלישות הברבריות", עוברות מבעד לגבולות הרומאים ומביאות לקריסתה של האימפריה הרומית. היסטוריונים מודרניים, לעומת זאת, מבינים כעת שתיאור זה מכיל רק תמונה שבורה של המציאות באותם ימים – תקופת הגירה לא פשוטה. בכמה מקרים חשובים, כמו לדוגמה הפרנקים שנכנסים לגאליה, יישוב הפולשים לקח עשורים רבים, כאשר קבוצות המחפשות אופציות כלכליות חדשות עברו דרך טריטוריה רומאית, מסיגים את החברה הגאלו-רומאית, בדרך כלל ללא אלימות כלל. כמו הגותים, חלק גדול מאותם מתיישבים היו פודראטי (foederati), בעלי ברית צבאיים, של האימפריה, שזכו באפשרות ליישב טריטוריות מסוימות, הפרנקים והבורגונדים נמנו עליהם.
בורגונדים. ממלכתו - הקיסרות הרומית הקדושה - החזיקה מעמד למעלה מ-1000 שנה, למרות שנקרעו ממנה נתחים רבים עקב סכסוכיים פנימיים.]]
בין המאה ה-5 למאה ה-8 סדר פוליטי חדש התפתח על שטחי האימפריה לשעבר, מבוסס על משפחות אצילים, ועל הממלכות החדשות של האוסטרוגותים באיטליה, הויזגותים בספרד, הפרנקים והבורגונדים בגאליה וגרמניה המערבית, והסקסונים אנגליה. אדמות אלו נשארו נוצריות, כאשר המתיישבים הפגאנים התנצרו במהרה. השילוב בין התרבות החדשה, לתרבות הקלאסית ולהשפעות הנוצריות, יצר מודל חדש של חברה.
לעומת זאת, מעבר לאזורים אלו של אירופה חיו אנשים רבים ללא קשר ולו הפשוט ביותר עם הנצרות או עם התרבות הרומית. לוחמים אלו, כמו האבארים והויקינגים, עדיין היו מסוגלים לפגוע קשה במערכת החברתית החדשה שנוצרה באירופה המערבית.
הכנסייה הנוצרית, הגוף המרכזי היחיד ששרד את נפילת האימפריה הרומית המערבית, ריכז את עבודתו בלימוד לטינית, שמירת אומנות הכתיבה ויצירת ממשל מרכזי שמנוהל בידי רשת של בישופים. ימי הביניים המוקדמים מאופיינים בידי ממשל זה של הבישופים וכן חלוקת הנחלות למשפחות אצולה, דוכסים ולורדים.
מחוץ לשרידי הערים הרומאיות הנותרות, כוח השלטון פחת בהרבה. כתוצאה מכך, הוקצו נחלות ללורדים מקומיים שניהלו את הצבא, המיסים והחוק במקום, ונהנו מהכנסות שטח הקרקע. התפתחויות אלו הביאו להקמת החברה הפיאודלית. בהמשך ימי הביניים יתחזק שוב כוח השלטון המרכזי והזהות ה"לאומית" החדשה תצמח, כאשר שליטים חזקים ינסו להשמיד אצילים יריבים (או כאלו שמסכנים את שלטונם), כדוגמת "מלחמות השושנים".
היררכיה זו של התחייבויות הדדיות, ידועה כפיאודליזם, או כחברה הפיאודלית, חברה הקושרת כל אדם לשירותו של שליט בתמורה להגנתו של זה. אופייה של מערכת זו יצר בלבול בנחלות (שכן הנחלות הוחלפו בין שליטים לעיתים ולפעמים אף הוחזקו בחזקת שני שליטים). היתרון בפיאודליזם היה הגמישות של החברה, ויכולתה ליצור משענת יציבה לשלטון בלא שיהיה מאחוריה כוח מלכותי או פוליטי גדול ואחיד. בתקופה זו החלה עלייתם של מעמד הפרשים המשוריינים שהיוו את עיקר כוחה הצבאי של אירופה ומאוחר יותר נהפכו למעמד האבירים - פרשים משוריינים בעלי תואר אצולה וקוד של כבוד (שכלל לרוב נאמנות למלך או לכנסיה).
האימפריה הרומית המזרחית המכונה גם האימפריה הביזנטית על שם ביזנטיון, שמה הקדום של קונסטנטינופול שרדה את רוב ימי הביניים והאריכה ימים לאחר התמוטטות האימפריה הרומית המערבית.
באימפריה הביזנטית נמשך השלטון הרומאי הנוצרי באסיה הקטנה, יוון, האזורים הסלאבים מסביב ליוון, סיציליה, ודרום איטליה.
קיסרי האימפריה הביזנטית שאפו לחזור לימי הזוהר של האימפריה הרומית ולחזור ולשלוט גם במערב, עד שהקמת האימפריה הרומית הקדושה בידי קארל הגדול שברה את חלומותיהם. קארל הגדול איגד תחתיו את האזור המוכר לנו כיום כצרפת, מערב גרמניה וצפון איטליה. מאז והלאה הייתה אירופה יבשת דו קוטבית, כאשר המערב ווהמזרח מתחרים ביניהם על ההשפעה באזור הגדול והלא נוצרי של צפון אירופה.
הנצרות התפשטה מרחבי אירופה, לא רק באזור המזרח התיכון, יצרה יבשת מאוחדת כמעט לחלוטין תחת האידיאולוגיה והדת הנוצרית, קריסטנדום, מאזור המאה ה-9 ועד להיפרדות הכנסייה האורתודוכסית מהכנסייה הקתולית ב-1054.
דוגמה מרכזית לכוח התרבותי של הנצרות, שיצרה "זהות" אירופאית חדשה, ניתן למצוא במסעות הצלב. אשר במהלכם, אפיפיורים, מלכים וקיסרים יצרו את המושג של אחדות נוצרית ודרבנו קבוצות אוכלוסיה גדולות מאירופה לצאת ולהגן על הקריסטנדום מהכובש המוסלמי.
מהמאה ה-7 לספירה והלאה, האסלאם כבש אדמות רבות בצדי הגבולות הדרומיים והמזרחיים של אירופה. צבאות מוסלמים כבשו את מצרים, צפון אפריקה, ירושלים, ספרד, סיציליה וחלקים גדולים מאנטליה, עד לעצירתם בקרב טורס שנערך בדרום צרפת, בידי צבאות נוצרים. תמימות הדעים הפוליטית באירופה הייתה גדולה פחות משחשבו ורוב הצבא שגויס למסעות הצלב היה מאזורים ספורים באירופה. אזורים קטנים באזור צפון אירופה עדיין נשארו מחוץ לקריסטנדום עד למאה ה-12 ולאחריה והפכו גם הם יעד למסעות הצלב.
שיא ימי הביניים
בערך בסביבות שנת 1000, החלה תקופה של יציבות במערב אירופה כאשר נדידת העמים הגדולה נפסקה ברובה. באותו זמן המסחר גדל באיטיות ברחבי אירופה כאשר סכנות המסע קטנו, והחל גידול כלכלי איטי אך יציב.
בתקופה זו נוצרה גילדת הסוחרים ואיתה שאר ארגוני מסחר ובנקאות שפעלו במערב אירופה. האוניברסיטאות הראשונות נבנו בערים אירופאיות גדולות, משנת 1080 לערך, בעיקר בכדי לאמן וללמד אנשי כמורה. הספרות החלה לצמוח, ואיתה התקדמות גדולה באומנות, פיסול, מוזיקה וארכיטקטורה. קתדרלות גדולות נבנו ברחבי אירופה, תחילה בסגנון רומנסקי ולאחר מכן בסגנון גותי.
גותי
בתקופה זו החלו להתגבש הממלכות הגדולות של אירופה.
- ב 1066 טען המלך הנורמני ויליאם הכובש לכתר בריטניה ומשלא נענה פלש עליה וכבשה. דבר זה גרם להשפעה צרפתית רבה על האיים הבריטים (שעד אז היו מושפעים בעיקר מהתרבויות הקלטיות והסקסונית) ולהקמת בית מלוכה עם קשריי דם לצרפת (דבר שיצר מריבות חוזרות ונשנות על הכתר בין שתי הממלכות כאשר כל מלך תובע מלכות גם על הממלכה השנייה). בכיבוש זה הביא ויליאם הכובש את שיא ימי הביניים לאנגליה. כדי לבצר את שלטונו הוא הקים בבריטניה מערכת של טירות, הידועה שבהן היא מצודת לונדון (Tower of London) ששכנה בלב לונדון והוותה את המרכז השלטוני של ויליאם.
- גרמניה עדיין נשלטה בידי הקיסרות הרומית הקדושה, אך למעשה הייתה מורכבת מעשרות נסיכויות קטנות שהיו כפופות לשלטון המרכזי במעין פדרציה.
- בצרפת, השושלת הקרולינגית נפלה ואת מקומה תפסה השושלת הקפטינגית, אשר תשלוט בצרפת (גם בשמות בית ולואה, ובית בורבון) באופן רציף, למעלה משמונה מאות שנה, עד המהפכה הצרפתית בשנת 1789. בתקופה זו נהפכה צרפת למרכז דתי כאשר נבנו בה הקתדרלות הגדולות ומנזרים גדולים וחשובים הוקמו בה. בתקופה מסוימת, האפיפיור ישב בצרפת. הפריחה הדתית והתרבותית תרמה לפריחה גדולה במסחר, וזאת אפשרה למלכי צרפת להרחיב את גבולות שלטונם ולהדוף פולשים שגרמו לצרות בגבולות צרפת במשך עשרות שונים. בגלל שויליאם הכובש, דוכס נורמנדי אשר בצרפת נהפך למלך אנגליה, נקלעה צרפת למריבות עם בריטניה על הכתר.
בתקופה זו הסמכות החזקה ביותר באירופה הייתה כנראה האפיפיור, שניסה לאחד את אירופה תחת שלטון הצלב ולהקטין את המלחמות הפנימיות בין המלכים והאצילים על כתר, שלטון ונחלות. בשנת 1095 קרא האפיפיור אורבן השני לשחרר את ארץ הקודש מידי המוסלמים שמחללים את המקומות הקדושים ובכך בעצם הביא למסע הצלב הראשון. מסעי הצלב היו גורם מכונן בהתפתחותה התרבותית, הדתית, הפוליטית, הכלכלית והצבאית של אירופה.
מסעי הצלב
תקופה זו מזוהה יותר מכל עם האבירים בשריון נוצץ. האבירים היו יותר מפרשים בעלי שריון והיוו מעמד חברתי נפרד. למרות שכל אביר היה אציל וכל אציל היה אביר, רוב האבירים היו אצילים מהמעמד הנמוך ביותר (במדרג האצולה) שניסו להרוויח כבוד, הון ותהילה באמצעות מעשי גבורה ומשימות צבאיות. מסעי הצלב היוו כר משיכה גדול לאבירים עניים שחיפשו קרבות שיביאו להם אוצרות, נחלות ותהילה. בהתחלה, לא התלוו לאבירות גינוני כבוד כלשהם ורוב האבירים היו לוחמים פראיים וגסים, אך עם הזמן התפתח קוד האבירות - שחייב את האבירים להתנהגות אצילית וגינוני נימוס - שעידן את התנהגותם. שבועת האבירות נהפכה לטקס דתי ובו האביר מיטהר מחטאיו בליל שימורים ומוכתר לאביר בחסות הכנסיה. בשיא ימי הביניים, בעיקר תודות לטרובדורים (פייטנים נודדים), נפוצו הבלדות על אבירים אצילים וגיבורים, המבצעים מעשי גבורה ונלחמים ברוע. מבלדות אלה התפתחו גם הסיפורים הרומנטיים של אהבת חצר "Courtly Love" (רומן בין אביר לנסיכה או אצילה מנשות החצר) שבהם האביר מקדיש את עצמו לאהובתו ומבצע למענה מעשי גבורה. אחרי מסעי הצלב הגדולים, בעקבות שקט יחסי ששרר באירופה באותה תקופה, החלו להתפתח הטורנירים - תחרויות ראווה ודו קרב בין אבירים - שנועדו לספק לאבירים הזדמנות להפגין את כישוריהם, להתאמן ולזכות בתהילה, בפרס כספי או באשה נאה. על בסיס בלדות אלה וסיפורי עם שונים נוסדה התדמית של האבירים כפי שהיא מוכרת כיום בספרות ובקולנוע.
סוף ימי הביניים
קולנוע
המאה ה-15 החלה לסמן את סופם של ימי הביניים והתחלת תקופת הרנסנס, אם כי במידה רבה ימי הביניים נמשכו גם במאה ה-16. השינויים הגדולים היו בתרבות ובמדע וכן בשינוי שיטת הארגון הפוליטית (מעבר ממונרכיה פיאודלית למונרכיה אבסולוטית) ועליית כוחן של ערי-המדינה באיטליה.
התקופה זו גם ראתה שינויים טכנולוגיים אחרים, כולל את המצאת הדפוס, הבאת אבקת השריפה מסין, האצטרולב, המשקפיים וספינות משופרות שאפשרו מסעות באוקיאנוסים. המצאות אלו ואחרות הפכו את שחר עידן החקר הימי לאפשרי.
כניסת הנוצרים לאזור הבלטי והפיני בצפון מזרח אירופה, הביאה להיטמעות אותם אנשים ביתר מהירות בזהות הלאומית האירופאית. הקרע בין הכנסייה הקתולית לכנסייה המזרחית אורתודוקסית הוביל לפילוג בין מזרח אירופה למערבה. כיבוש מזרח אירופה על ידי האימפריה המונגולית גרם לניתוקה התרבותי ממערב היבשת, ולהעמקת הפילוג הפוליטי בין שני חלקי היבשת.
בספרד החל כיבוש איטי של האזורים המוסלמים. כתוצאה מכך, מידע על הפילוסופיה והמדע בעת העתיקה נגלה לעולם דוברי הלטינית, מהספריות המוסלמיות שנכבשו, דבר זה העשיר את תפיסת העולם האריסטוטלית שרווחה באירופה.
פוליטית, ימי הביניים המאוחרים אופיינו בדחיית הכוח הפיאודלי, ואי סדר הולך וגובר. מגמות אלו הובילו להתפתחות מדינות חזקות ומבוססות מלוכה. באמצעות מונופול על התותחים הראשונים הצליחו בתי המלוכה למוטט את טירות האצילים שסירבו לכפוף את עצמם לרצון המלך. מלחמות בין מדינות, כמו מלחמת מאה השנים בין אנגליה וצרפת, החלישו את המדינות הנוצריות במאבקן באיסלאם. המגפה של שנת 1348 (המוות השחור), והקרע בכנסייה הקתולית, היו קטלניים לסדרי ימי הביניים המוקדמים, והובילו את אירופה לשינויים הגדולים שעמדו להתחולל במאה ה-15 וה-16.
האימפריה הביזנטית שרדה עד 1453 אך בצורה חלשה ומרוסקת, עד שנכבשה ע"י האימפריה העות'מאנית.
היהודים בימי הביניים
בארצות אירופה
- השנאה הדתית הנוצרית כנגד יהודים.
- פרעות אנטישמיות ומעשי טבח כנגד יהודים.
- דחיקת היהודים אל מקצועות המסחר והכלכלה.
- חיים תחת חסיון השליט המקומי.
בארצות האיסלאם
אירועים מרכזיים בימי הביניים
- 800 - קארל הגדול (שרלמן) מוכתר על–ידי האפיפיור לאו השלישי לקיסר של הקיסרות הרומית הקדושה.
- 1066 - וויליאם הכובש כובש את בריטניה.
- 1099 - מתמטיקה, פילוסופיה, תאולוגיה ושפת היומיום למשמעויות רבות ושונות. המשותף לרוב הדעות הללו היא תפיסת האינסוף כדבר מה גדול מעבר ליכולת ההבנה האנושית, דבר מה שתכולתו גדולה לאין שיעור, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם, וכדומה.
האינסוף בפילוסופיה
בירור ראשוני של המשמעות הפילוסופית של מושג האינסוף מופיע בפרדוקסים של זנון שנוצרו ביוון העתיקה במאה החמישית לפנה"ס. שלושה פרדוקסים אלה עוסקים בפרדוקסלויות של התנועה ושל הזמן כאשר מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התיאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה-17.
תיאור של האינסוף מופיע בכתביו של אריסטו:
:תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, משום שמספר הפעמים שבהן ניתן לחלק גודל נתון לשניים אינו מוגבל. לפיכך האינסוף הוא פוטנציאלי ולעולם לא אקטואלי. מספר החלקים שביכולתנו ליצור גדול מכל מספר נתון.
רעיונותיו של אריסטו נוסחו ביתר פירוט בימי הביניים, למשל על-ידי הפילוסוף בן המאה ה-14 ויליאם איש אוקאם.
האינסוף במתמטיקה
במתמטיקה, ישנם שני סוגים עיקריים של אינסוף - זה הבא לתאר גודל של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי - גודל שכזה מכונה עוצמה. השני בא לתאר תהליכים גבוליים, ומשמעותו היא "כמה שנרצה" - כלומר, שאיפה לאינסוף פירושה שאנו יכולים להגיע למספר גדול כרצוננו. זהו אינסוף שמושתת אך ורק על אלמנטים סופיים, אך מאחוריו עומד תהליך אינסופי.
ישנן גם מערכות מספרים שכוללות בהן את האינסוף כמספר, או מרחבים שבהם האינסוף נכלל בתור איבר של המרחב. בכל המקרים הללו הדבר גורר שינוי של כמה מהתכונות המתקיימות במערכת, ולעתים אין האינסוף שהוסף אליהן מהווה יותר מסימון לצורכי נוחות בלבד.
האינסוף כתהליך הגדל כרצוננו
תכונתם של המספרים הטבעיים, שלכל אחד מהם יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם אקסיומת ארכימדס). אם נתבונן בסדרה שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ממקום מסויים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמא לתהליך של שאיפה לאינסוף, אף שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמלית של תהליך הגדל לאינסוף ניתנה במאה ה-17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס בשנת 1655 את הסמל למושג האינסוף. סמל זה אינו מייצג אינסוף מוחשי, אלה שאיפה לאינסוף, כלומר תהליך של גידול הנמשך עוד ועוד. הסמל בא לידי שימוש בביטוי מהצורה שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף" (ראו הרחבה בעניין זה בערך גבול).
האינסוף כגודל מוחשי
העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי בפרדוקס של גלילאו שהוצגה על ידי גלילאו גליליי ומדגים של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי. גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הטבעיים בעלי שורש שלם, אף שתוצאה זו סותרת את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מאשר מספרים טבעיים בעלי שורש שלם. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור המלון של הילברט.
טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על-ידי גיאורג קנטור בסוף המאה ה-19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה שנוצר במסגרת זו בא לבטא את גודלה של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כגון קבוצת המספרים הטבעיים או קבוצת המספרים הממשיים.
הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית (קרי: אלף אפס), ואת עוצמת הממשיים סימן באות .
יתרה מזו, משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט אין עוצמה 'גדולה ביותר'. ניתן להוכיח כי קבוצת כל העוצמות הינה כה גדולה עד כי לא ניתן לדבר על העוצמה שלה עצמה (כלומר, על פי תורת הקבוצות האקסיומטית, אוסף העוצמות גדול מכדי להיות קבוצה, והוא נחשב למחלקה).
האינסוף בגאומטריה
אחת התוצאות הראשונות הנובעות מהאקסיומות של הגאומטריה היא שכל ישר מכיל אינסוף נקודות. תוצאות נוספות היא שבכל מישור נמצאים אינסוף נקודות שונות ואינסוף ישרים שונים, וכן ישנם אינסוף מישורים שונים.
אחת הדרכים בהן נוהגים להתבונן על המישור המרוכב היא כעל כדור, המכונה הספירה של רימן, שמכיל את כל איברי המישור המרוכב בתוספת נקודה אחת, בקוטב הצפוני של הכדור - האינסוף. זוהי דוגמא למצב שבו האינסוף הוא נקודה לכל דבר במרחב, והיא מאפשרת טיפול נוח בפונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים.
האינסוף בקוסמולוגיה
התגלית לפיה היקום מתפשט העלתה בהכרח את השאלה האם התפשטות היקום היא תהליך שיימשך עד אינסוף או שתהליך זה ייעצר בשלב כלשהו. שאלה זו היא שאלת מפתח בקוסמולוגיה.
האינסוף בפיזיקה
באלקטרודינמיקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, שני ענפים של תורת הקוונטים שהיא נושא מרכזי בפיזיקה המודרנית, עלתה בעיה של משוואות המציגות מציאות פיזיקלית ותוצאתן אינסוף. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן הציע פתרון לבעיה זו, הקרוי רנורמליזציה.
האינסוף בתאולוגיה
בתורת הקבלה, אינסוף הוא תוארו החשוב והמרכזי של האלוהים. הוא בא לתאר את הריחוק של האדם וחוסר תפיסתו בעצמותו של האל.
האינסוף באמנות
הצייר מוריץ קורנליס אשר הרבה לחקור את מושג האינסוף ביצירותיו. רבות מיצירותיו מציגות דמויות ההולכות וקטנות לאינסוף. דוגמה מובהקת לכך היא הציור "[http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW436.jpg גבול מעגל 4 - שמים וגיהנום]" משנת 1960.
קישורים חיצוניים
- [http://gifted.cet.ac.il/gifted/skira/infinity/ אינסוף], באתר "ארץ הדעת"
- [http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/articles.asp?id=457&art_id=65 אינסוף ומתמטיקה] מאמר בנושא בפורום המתמטיקה של תפוז
קטגוריה:מתמטיקה
קטגוריה:פילוסופיה
טור (מתמטיקה)במתמטיקה מושג הטור בא לציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי.
טורים סופיים
טורים סופיים הם פשוט דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של אברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הטור הוא באמצעות האות היוונית סיגמה, בסימון זה: כאשר הוא מספר טבעי הנקרא האינדקס של הסכום, והוא רץ מהערך התחילי שלו ועד .
ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:
טור חשבוני
טור חשבוני הוא סכומה של סדרת איברים שהפרשים ביניהם קבועים. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: (ראו בעניין זה אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס).
טור טלסקופי
טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור שבו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה שמקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור הבא: האיבר ה- בטור הזה הוא כעת נשים לב כי מתקיים: ולכן נוכל לשכתב את הטור ולכתוב אותו כך:
טור גיאומטרי
טור גיאומטרי (או טור הנדסי) הוא סכומה של סדרת איברים שמנתם קבועה. למשל, הטור הוא טור של איברים שהראשון בהם הוא 1 ומנתם 2. סכומו של טור כזה, כאשר q היא המנה, a האיבר הראשון ו-n מספר האיברים, הוא: . נוכיח זאת:
נשים לב כי מתקיים
:
(זהו טור טלסקופי, כי מפתיחת הסוגריים מקבלים ).
כעת, סכום של טור בן n איברים שאברו הראשון הוא a ומנתו q נתון בדיוק על ידי
:.
לכן נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים
:
ומכאן
:
שם הטור נובע מכך שכל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו, כלומר
:
טורים אינסופיים
כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך:
:.
גם בטור שכזה ניתן לדבר על הסכום של כל האיברים, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמא נגדית:
נניח כי כאשר מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: ומכאן כי וקיבלנו
. זה כמובן לא הגיוני. מכאן שלא כל טור אינסופי בהכרח מתכנס למספר סופי.
כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כ |
