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Konvergent

Konvergent

Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes. Das Gegenteil wird als Divergenz bezeichnet. Dabei handelt es sich um eine grundlegendes Konzept der modernen Analysis. In einem allgemeineren Sinne wird es in der Topologie behandelt. In der altgriechischen Philosophie und Mathematik stand der Begriff Konvergenz noch nicht zur Verfügung. In seiner modernen Form wurde er erstmals von Augustin Louis Cauchy definiert.

Konvergenz und Divergenz von Folgen

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn in jeder ε-Umgebung von a fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen.

Definitionen

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xi) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt: :\forall \ \exists \ N \in \mathbb : \forall \ n > N \quad d(a, x_n) < \epsilon (Sprich: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε einen Index N (i.A. abhängig von \epsilon), derart, dass für alle n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt: der Abstand d(a, xn) ist kleiner als ε (d(a, xn) < ε) (in den reellen Zahlen also |xn - a| < ε)) a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge, und man schreibt : \lim_ x_i = a. Wenn die Folge (xi) nicht konvergiert, dann sagt man, sie divergiert. In den reellen Zahlen unterscheidet man dann zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz: Bestimmte Divergenz gegen +\infty (bzw. -\infty) liegt vor, wenn eine Folge xi jede reelle Zahl irgendwann überschreitet und dann darüber bleibt (bzw. jede Zahl unterschreitet). Das heißt, :\forall M\in\mathbb \ \exists N\in\mathbb : \forall n>N \quad x_n>M bzw. :\forall M\in\mathbb \ \exists N\in\mathbb : \forall n>N \quad x_n. Man schreibt dann ::\lim_ x_i = \infty bzw. ::\lim_ x_i = -\infty und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen \infty bzw. gegen -\infty. Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge nicht das eben beschriebene Verhalten hat.

Beispiele

In den reellen Zahlen:
- Die Folge (1/n) konvergiert gegen 0 (ist eine Nullfolge).
- Die konstante Folge (c) mit einer festen reellen Zahl c konvergiert gegen c.
- Die Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) der abbrechenden Dezimalentwicklungen von √2 konvergiert gegen √2.
- Die Folge (n) der natürlichen Zahlen divergiert bestimmt gegen \infty.
- Die Folge (+1,-1,+1,-1,...) divergiert unbestimmt.
- Die Folge (1,-2,3,-4,5,-6,...) divergiert unbestimmt. In den rationalen Zahlen sind (1/n) und (c) für eine feste rationale Zahl c konvergent; die Dezimalbruchentwicklung von √2 konvergiert aber nicht, da kein rationaler Grenzwert existiert. Sie ist jedoch eine Cauchy-Folge.

Konvergenz von unendlichen Reihen

Da man häufig die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht direkt mit der obigen Definition zeigen kann, gibt es einige so genannte Konvergenzkriterien.
- Cauchy-Kriterium
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Leibniz-Kriterium Eine spezielle Art der Konvergenz ist hier die absolute Konvergenz.

Verallgemeinerungen

Konvergenz von Funktionenfolgen

Um das Verhalten von Funktionenfolgen zu beschreiben, gibt es mehrere Konvergenzbegriffe, da es zum einen mehrere Abstandsbegriffe in einem Funktionenraum gibt und ferner neben der Frage nach der Existenz des Grenzwerts auch Fragen nach den Eigenschaften der Grenzfunktion auftauchen. So ist die Grenzfunktion einer Folge von stetigen Funktionen nicht notwendigerweise stetig. Siehe dazu: punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz.

Konvergenz in topologischen Räumen

Eine Folge (an) von Punkten in einem topologischen Raum X heißt konvergent gegen einen Punkt a, wenn in jeder Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen. a heißt dann ein Grenzwert von a. Ist X hausdorffsch, so hat eine Folge höchstens einen Grenzwert. Dieser Konvergenzbegriff umfasst alle vorgenannten. Fasst man eine Folge (an) als Abbildung von N in die reellen Zahlen (oder einen anderen topologischen Raum) auf, und bezeichnet man den zusätzlichen Punkt in der Ein-Punkt-Kompaktifizierung Y von N mit ∞, so bedeutet die Aussage: "(an) konvergiert gegen a", nichts anderes als: "an lässt sich durch a∞ = a stetig auf Y fortsetzen".

Konvergenz in der Stochastik

Und speziell bei Anwendungen in der Statistik angemessen darüber entscheiden zu können, ob Schätz- oder Testverfahren asymptotisch die richtigen Resultate liefern, haben sich verschiedene Konvergenzbegriffe in der Stochastik herausgebildet. Die wichtigsten von ihnen sind fast sichere Konvergenz, stochastische Konvergenz, Konvergenz im p-ten Mittel und Konvergenz in Verteilung. Offensichtlich sind all diese Begriffe schwächer als der allgemeine Konvergenzbegriff, da dem Einfluss des Zufalls Rechnung getragen werden muss. Siehe auch:
- Konvergenzgeschwindigkeit
- Konvergenz von Mengenfolgen Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis Kategorie:Topologie

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Limes (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

Limes einer reellen Funktion

Das Symbol \lim_ f(x) bezeichnet den Limes der reellen Funktion f für den Grenzübergang der Variablen x gegen a. Dabei kann a sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte +\infty und -\infty; in jedem Fall muss a jedoch im Abschluss des Definitionsbereiches von f liegen. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch +\infty und -\infty in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:
- Definition: Die Funktion f hat für x \to a (mit a \in \mathbb) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) \epsilon > 0 ein (im Allgemeinen von \epsilon abhängiges) \delta > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung |x - a| < \delta genügen, auch |f(x) - b| < \epsilon gilt. Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert f(x) und dem Limes b kann beliebig klein gemacht werden, wenn man x genügend nahe bei a wählt. Beispiel: \lim_ \frac = 2
- Definition: Die Funktion f hat für x \to a (mit a \in \mathbb) den Limes +\infty, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl T ein (im Allgemeinen von T abhängiges) \delta > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung |x - a| < \delta genügen, auch f(x) > T erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes -\infty definiert. Beispiel: \lim_ \frac = \infty
- Definition: Die Funktion f hat für x \to +\infty den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) \epsilon > 0 eine (im Allgemeinen von \epsilon abhängige) reelle Zahl S gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung x > S genügen, auch |f(x) - b| < \epsilon erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs x \to -\infty definieren. Beispiel: \lim_ \frac = 1 Bei Grenzwerten des Typs x \to a (mit a \in \mathbb) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung x > a oder x < a einseitige Grenzwerte zu bilden: : \lim_ \frac = \infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = \infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = \infty : \lim_ \frac = -\infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = -\infty \qquad\mbox\qquad \lim_ \frac = -\infty Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Sei \lim_ f(x) = a und \lim_ g(x) = b. Dann gelten folgenden Beziehungen:
- \lim_ (f(x) \pm g(x)) = a \pm b
- \lim_ (f(x) \sdot g(x)) = a \sdot b
- \lim_ \frac = \frac falls b \ne 0.
- Ist |f(x)| \le |g(x)| und ist \lim_ g(x) = 0, so ist auch \lim_ f(x) = 0. Viele Grenzwerte lassen sich leicht mit der Regel von L'Hospital berechnen.

Wichtige Grenzwerte


- \lim_ \left(1 + \frac \right)^x = e^k
- \lim_ (1 + x)^\frac = e
- \lim_ \cos(x) = 1
- \lim_ \frac = 1
- \lim_ \frac = 1
- Die geometrische Reihe s_n=\sum_^ a_k=\sum_^a_0 \cdot q^k konvergiert gegen \frac falls |q|<1 und divergiert falls |q|>1 für n \to \infty.
- Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch: \sum_^\infty \frac = \ln 2.

Limes einer Folge

Erläuterung

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge (a_n) reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und a beliebig klein wird. Wenn für jedes vorgegebene \epsilon>0 nur endlich viele Folgenglieder weiter als \epsilon von a entfernt sind, dann heißt die Folge (a_n) konvergent gegen den Grenzwert a. Eine äquivalente Formulierung lautet: Zu jedem \epsilon>0 gibt es einen Index N, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als \epsilon von a entfernt sind. In Formeln: : \left(\lim_ a_n = a \right) \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0 \; \exists N\in\mathbb \; \forall n>N: \;\left|a_n-a \right|<\epsilon Man beachte, dass der Index N von \epsilon abhängen darf. Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Folge (1/n) gegen 0 konvergiert, wählt man zu vorgegebenem \epsilon als N (z. B.) die kleinste natürliche Zahl, die größer als 1/ \epsilon ist. Daher gilt für alle n>N: : |a_n-0| = \frac < \frac < \epsilon Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus N>1/\epsilon. Man findet auch die Darstellung ohne Absolutbetrag: Für \left|a_n-a \right|<\epsilon wird auch (etwas anschaulicher) a-\epsilon geschrieben. Mit n>N.

Beispiele


- Die konstante Folge (b_n) mit b_n=1 ist konvergent gegen 1.
- Die Folge (c_n) mit (c_n)=1/n konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge genannt.
- Die Folge (e_n) mit e_n=(1+1/n)^ n ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e. Die Folge (1+ r/n)^n konvergiert gegen e^r . Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.
- Die Folge (c_n) mit c_n=(-1)^n +1/n ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade n.
- Achilles und die Schildkröte

Limes superior und Limes inferior

Ist eine Folge nicht konvergent, so gibt es stets Teilfolgen, die konvergent sind oder gegen +\infty oder -\infty divergieren. In diesem Falle bezeichnet man den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter oder bestimmt divergenter Teilfolgen als Limes superior bzw. Limes inferior.

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos. Siehe Konvergenz.

Weblinks


- [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwerte_von_funktionen.htm Grenzwerte bei Funktionen]
- [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwertsaetze.htm Grenzwerte bei Zahlenfolgen] Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis ja:極限

Topologie

Als Topologie (von griech.: topos = Ort, Platz und logos = Lehre, Wissen, Wort) bezeichnet man:
- Die Lehre oder Wissenschaft von Ortsfunktionen oder Ortslagen in Geographie und Architektur, die nicht durch die Topographie beschrieben werden können, siehe auch Geoglyphe
- ein Teilgebiet der Mathematik, siehe Topologie (Mathematik)
  - Topologie ist auch die Bezeichnung gewisser mathematischer Strukturen, siehe topologischer Raum
- die Struktur der Verbindungen in einem Rechnernetz, siehe Topologie (Netzwerk)
- (selten) die Beschäftigung mit Topoi (in irgendeiner näheren Bedeutung). Vergleiche auch Topographie. ja:位相幾何学 simple:Topology zh-cn:拓扑学

Folge (Mathematik)

Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heißt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge. Die einzelnen Zahlen, aus denen die Folge zusammengesetzt ist, heißen die Glieder der Folge. In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze, rationale oder reelle Zahlen. In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert, so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dürfen. Folgen, deren Glieder nicht Zahlen, sondern Mengen sind, werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt.

Anwendungen

Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden. In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen. Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen. Manche elementare Funktionen wie tan(x) führen dabei auf recht exotische Folgen, wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen. Eine Reihe ist eine Folge, deren einzelne Glieder sich aus der Summe der Glieder einer anderen Folge ergeben. Reihen werden insbesondere zur Approximation irrationaler Zahlenwerte verwendet (siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik)).

Formale Definition

Die Glieder einer Folge sind in ihrer Reihenfolge festgelegt. Daher kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer", einen Index, eindeutig bezeichnet werden. Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb . Je nach Anwendungsfall schließt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge \mathbb_0 notiert) oder man schließt sie aus (entspricht der Menge \mathbb^+ ). Wie so oft, kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklärt eine unendliche Folge als eine Funktion :\begina:&\mathbb &\to& X\\ & i\mapsto&a_i\end, die jedem Index i aus der Indexmenge N ein Folgenglied a_i aus der Zielmenge X zuordnet. In der Regel ist X ein metrischer Raum. In der Schulmathematik und in den wichtigsten Anwendungsfällen ist X ganz konkret die Menge der reellen Zahlen \mathbb. Für eine endliche Folge mit n Gliedern definiert man den Index statt aus \mathbb_0 aus einer endlichen Menge, und zwar üblicherweise entweder aus der Menge \ oder aus der Menge \. :Bemerkung: Diese Wahlmöglichkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: In älteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden n-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und n adressiert. In den meisten anderen Programmiersprachen werden jedoch Indizes von 0 bis n-1 verwendet. Zur Notation: Es ist gebräuchlich, eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als ( a_i) oder \langle a_i \rangle zu notieren. Davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge \. :Beispiel: Die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 4, ... hat die Bildmenge .

Bildungsgesetz einer Folge

Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Folge anzugeben:
- Nennen aller Folgeglieder (nur endliche Folgen)
- Funktion
- Reihe
- Rekursion
- Algorithmus Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht, stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen. Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt. Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation, da letzten Endes jede Folge, die überhaupt wohldefiniert ist, eine Funktionsvorschrift besitzt. Bei unregelmäßigen Folgen lässt sich lediglich sagen, dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und über algorithmische Vorschriften erfolgt, die mit der üblichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden können. [Diese Thematik hängt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen].

Angabe von Anfangsgliedern

Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht problematisch. Denn auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen. :Beispiele:
- Gegeben ist 0, 1, 2, 3. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, ..., also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, ...., also als die periodische Folge der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit, also modulo 231 dargestellt. Beim sukzessiven Erhöhen eines Registers durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, ..., 2147483647, -2147483646, -2147483645, ..., -1 und periodisch weiter.
- Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5 als plausibelste Fortsetzung 1, 6, 1, 7, ... Andere würden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl \pi wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, ... vorschlagen. Die [http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] (OEIS) enthält tausende mathematisch relevanter Folgen. Darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen. Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthält und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen, trennt man die Folgenglieder zweckmäßigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas, also z.B. 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

Angabe einer Funktionsvorschrift

Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift :i\mapsto a_i als eine geschlossene Gleichung angeben. In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge \mathbb_0 zugrunde:
- Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ... Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen. Die Funktionsvorschrift lautet einfach :a_i = i.
- Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, .... hat die Funktionsvorschrift :a_i = 2i+1.
- Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, ... :a_i = 2^i.

Daran anknüpfende Aufgaben (für Schüler)

Die Aufgabe, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist einfach. Man nimmt nacheinander die Werte i=0, i=1, i=2 usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a_0, a_1, a_2 usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: Eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war. Beispiel: die Folge a_i = 1 / (1 + (i - 1000)^2) , die bis i=1000 monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann. Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (wie oben bereits bemerkt). In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder a_0, a_1, a_2 usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index i=0,\, 1,\, 2,\, ... abhängen. Im einzelnen können folgende Eigenschaften überprüft werden:
- Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor (-1)^i in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, -1, 2, -3, 4, ... hat die Vorschrift a_i=(-1)^i \cdot i.
- Sind die Folgeglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... hat die Vorschrift a_i = (i+1)/2^i.
- Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d zu (oder ab, mit d < 0) ? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge a_i=a_0 +d\cdot i. Beispiel: 1, 3, 5, 7, ... hat die Vorschrift a_i= 1+2i .
- Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, ... lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, ...
- Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis 1:q zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge a_i=a_0 \cdot q^i . Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift a_i=100 \cdot (0,8)^i . Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, ... ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen.

Angabe als Reihe

Eine Folge \langle s_n \rangle , deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge \langle a_i \rangle geschrieben werden kann, heißt eine Reihe: :s_n= a_0 + a_1 +\ldots+a_n=\sum_^n a_i :Erläuterungen zur Notation: :
- Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck \sum_^n a_i ist nichts anderes als eine Abkürzung für den Ausdruck a_0+a_1+\ldots+a_n. :
- Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass wir speziell n und i gewählt haben, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend. :
- Um s_n=\sum_^n a_i als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index n vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index i kein (von außen) vorzugebender Wert, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt. Welches n auch immer gegeben ist, für den "Laufindex" i müssen nacheinander die Werte 0, 1, ..., n eingesetzt und die Summe der zugehörigen a_0, a_1, ..., a_n berechnet werden. Man kann jede Folge \langle s_n \rangle als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge :a_i = \begin0 &\mbox i=0,\\ s_i-s_ &\mbox\end konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht. Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige n ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für
- die arithmetische Reihe
- die geometrische Reihe Siehe dazu den Artikel Summe. Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe immer darauf schließen, dass die zugrundeliegende Folge gegen Null konvergiert.

Angabe einer Rekursion

Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden. Dazu nennt man m Anfangswerte (mit m \geq 1; meistens ist m=1 oder m=2) sowie eine Vorschrift, wie ein Folgenglied a_i aus den vorhergehenden m Gliedern a_, ..., a_ berechnet werden kann. Das bekannteste Beispiel für eine Folge, die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lässt, ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Für sie ist m=2, gegeben sind die zwei Anfangsglieder a_0=0 und a_1=1 sowie die Rekursionsvorschrift :a_i = a_ + a_ . Die Funktionsvorschrift :a_i = \left(\left(\right)^i - \left(\right)^i\right) steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt. Beachte, dass die a_i alle ganzzahlig sind, da sich die ungeraden Potenzen der \sqrt herauskürzen. Für manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten. Zum Beispiel folgt für die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift :a_i = a_0\cdot q^i die Rekursionsvorschrift :a_i = q\cdot a_ . Die Rekursion :a_1 = 2\,,\quad a_ = \frac2 + \frac1 definiert die Folge rationaler Zahlen 2, 3/2, 17/12, ..., die gegen \sqrt konvergiert.

Angabe über einen Algorithmus

Für manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift, aber keine Funktionsvorschrift. Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... Bereits den alten Griechen (möglicherweise auch Indern) war es bekannt, wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet. Eine Möglichkeit ist, das Sieb_des_Eratosthenes anzuwenden. Es gibt jedoch keine Methode, zu einem gegebenen i die i-te Primzahl anzugeben, ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur (i-1)-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen). Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste, sondern die 10^ -ste Primzahl wissen möchte, macht dies den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen für die Sicherheit von Verschlüsselungs- und Authentifizierungsalgorithmen, die auf Primzahlen beruhen.

Charakterisierung von Folgen

Wie Funktionen kann man auch Folgen über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren:

Monotonie (Mathematik)


- Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb gilt: a_i \leq a_.
- Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb gilt: a_i < a_.
- Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.

Beschränktheit


- Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus \mathbb gilt: a_i < S .
- Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum.
- Die Begriffe nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog definiert.

Sonstige


- Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
- Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, könnte man eine triviale oder konstante Folge nennen.
- Eine unendliche Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch. Es gibt eine Periodenlänge n, und für alle i aus \mathbb gilt: a_i = a_ . In der Analysis gilt das Hauptinteresse der Frage, ob eine Folge einen Grenzwert hat. Siehe dazu den Artikel Grenzwert. Eine unendliche Folge, die gegen keinen Grenzwert konvergiert, kann nichtsdestoweniger Häufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2, 3/4, -5/6, 7/8, ... besitzt die Häufungspunkte -1 und 1). Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen, zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Besonders nützlich ist folgender Satz: :Eine monoton steigende, nach oben beschränkte Folge konvergiert und ihr Grenzwert stimmt mit ihrem Supremum überein (Beispiel: die Folge 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... konvergiert gegen ihr Supremum 1). Eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum.

Daran anknüpfende Aufgaben (insbesondere für Schüler und Studienanfänger)

Wenn Aufgaben zur Monotonie oder/und Beschränktheit von Folgen gestellt werden, sind die Folgen in der Regel über eine Funktionsvorschrift, eventuell auch über eine Rekursion gegeben.

Nachweis der Monotonie


- Wenn man vermutet, dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist, setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein, berechnet die zugehörigen Folgenglieder und hofft, ein Gegenbeispiel zu finden. Beispiel: Die durch a_i = 2^i /(3i +1) gegebene Folge ist nicht monoton, denn a_0 = 1 \,>\, a_2 = 4/7\, <\, a_5 =32/16.
- Wenn man vermutet, dass eine Folge streng monoton steigt, schreibt man a_i < a_, wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite i+1 anstelle von i in die Vorschrift einsetzt), und überprüft die so entstandene Ungleichung, indem man sie durch Äquivalenzumformungen vereinfacht. Beispiel: [Siehe Lehrbücher]
- Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten, einfacheren Folge zerlegen, deren Steigungsverhalten schon bekannt ist. Beispiel: a_i = \frac = \frac = 2 - \frac . Wenn man weiß, dass 1/(i+1) streng monoton fällt, kann man schließen, dass -1/(i+1) streng monoton steigt. Weil der Term 2 konstant ist, steigt auch a_i streng monoton.

Nachweis der Beschränktheit / Bestimmung einer Schranke


- Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht möglich, denn mit auch noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen, dass es nicht irgendeine sehr große bzw. sehr kleine Zahl gibt, durch die die Folge beschränkt ist.
- Es muss also angenommen werden, dass es eine Schranke gibt. Nun wird die passende Ungleichung angesetzt, d.h. für eine obere Schranke also a_i \leq S. Auf der linken Seite der Ungleichung wird die Funktionsvorschrift angewandt und dann nach i aufgelöst. Dadurch erhält man (mit etwas Glück) ein Ergebnis der Form i \leq f(S) oder i \geq f(S), wobei f(S) für einen von S abhängigen Term steht. Im ersten Fall hat man herausgefunden, dass die Folge nicht nach oben beschränkt ist (egal wie groß f(S) ist, es ist immer möglich, ein noch größeres i zu finden, das die Ungleichung verletzt). Im zweiten Fall versucht man ein S zu finden, für das f(S) \leq 0 ist. Für dieses S ist i \geq f(S) immer erfüllt und somit ist der Nachweis gelungen, dass S eine obere Schranke ist.
- Auch diese Aufgabe kann sich vereinfachen, wenn es gelingt, die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen.

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Für die Folge 5, 7, 9, ... lautet die Funktionsvorschrift :a_i = 5 + 2i, im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz d) :a_i = a_0 + i \cdot d. Innerhalb der Mathematik oder Informatik benötigt man besonders häufig die Folge der geraden :a_i = 2i oder der ungeraden Zahlen, :a_i = 2i+1. Die Folge der "Dreieckszahlen" 1, 3, 6, 10, 15, ... kann man als Reihe auffassen, der die arithmetische Folge 1, 2, 3, ... zugrunde liegt. Mit Hilfe einer bekannten Summationsformel findet man :a_i = \frac.

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Die Folge der Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, ... hat die Funktionsvorschrift :a_i = i^2, die der Kubikzahlen 0, 1, 8, 27, ... :a_i = i^3, was man für s-te Potenzen der natürlichen Zahlen zu :a_i = i^s verallgemeinern kann, wobei s eine beliebige reelle Zahl sein darf. Mit s=1/2 erhält man die Folge 0, 1, √2, √3, 2, √5, ... der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen, :a_i = i^ = \sqrt . Bei negativen Exponenten s < 0 ist zu beachten, dass 0^s nicht existiert. Beispielsweise ist es nicht möglich, mit s=-1 und der Funktionsvorschrift :a_i = i^ = \frac , dass Folgenglied zum Index i=0 zu berechnen. Man kann den Index 0 ausschließen, indem man sich die Indexmenge \mathbb^ beschränkt. Oft ist es jedoch zweckmäßiger, die Indexmenge \mathbb_0 unverändert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in :a_i = (i+1)^ = \frac zu ändern. Dann lauten die ersten Folgenglieder 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift für beliebige Exponenten s aufstellen: :a_i = (i+1)^.

Geometrische Folgen

So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben, so stehen in einer geometrische Folge :a_i = a_0 \cdot q^i aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhältnis zueinander, a_ / a_i = q . Zum Beispiel ergibt sich mit q=2 die Folge der Zweierpotenzen :a_i = 2^i, also zum Beispiel für die ersten zehn Glieder die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (jedes Glied ist doppelt so groß wie das vorangegangene). Wichtig ist diese Folge speziell für die Umwandlung von den in der Informatik verwendeten Dualzahlen in Dezimalzahlen (und umgekehrt). Eine geometrische Folge mit \vert q \vert < 1 konvergiert gegen Null, wie beispielsweise die Folge 1; 0,1; 0,01; ... zu q=0,1: :a_i = \left(\frac\right)^i Wenn q=1 erhält man die triviale Folge 1, 1, 1, ...; wenn q=-1, erhält man aus :a_i = (-1)^i die fundamentale alternierende Folge 1, -1, 1, -1, ... Ein Beispiel für die Alltagsanwendung der geometrischen Folge ist die gleichstufige Stimmung der musikalischen Tonleiter - die aufeinanderfolgenden Glieder, hier Halbtonschritte, besitzen zueinander ein konstantes Frequenzverhältnis.

Verallgemeinerungen

In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge.

Siehe auch

Tabelle mathematischer Symbole

Noch nicht eingebaut

Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel.

Weblinks


- Die [http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] (OEIS) enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.
- [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] ! ja:列 (数学)

Metrischer Raum

:Dieser Artikel erklärt neben metrischer Raum per Weiterleitung auch die Begriffe Metrik (Mathematik), Pseudometrik (=Semimetrik), metrisierbar(er Raum), Minkowski-Metrik, Manhattan-Metrik, Euklidische Metrik, Maximum-Metrik. Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Punkten eines Raums einen reellen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst werden kann. Ein Raum ist eine Menge, deren Elemente in geometrischer Interpretation als Punkte aufgefasst werden. Ein metrischer Raum ist ein Raum, auf dem eine Metrik definiert ist. Ein metrischer Raum ist ein topologischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie; ein metrisierbarer Raum ist ein topologischer Raum, dessen Topologie durch eine Metrik induziert sein könnte. Zu anderen Wortbedeutungen siehe die Begriffsklärungsseite Metrik. Manchmal werden, entgegen dem Sprachgebrauch der Mathematik, auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet. In der Differentialgeometrie wird eine „infinitesimale“ Metrik definiert, siehe dazu den Artikel metrischer Tensor.

Formale Definition

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d: X × X → R heißt Metrik, wenn für beliebige Elemente x, y und z von X die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:
- (i) d(x,x) = 0 (identische Punkte haben Abstand 0);
- (ii) aus d(x,y)=0 folgt x=y (nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0);
- (iii) d(x,y)=d(y,x) (Symmetrie);
- (iv) d(x,y) ≤d(x,z) + d(z,y) (Dreiecksungleichung); oft werden (i) und (ii) durch die folgenden, weniger minimalistischen Bedingungen ersetzt, die unter Hinzunahme von (iii) und (iv) äquivalent sind:
- (i') d(x,y) ≥ 0 (Abstände können nicht negativ sein);
- (ii') d(x,y)=0 dann und nur dann, wenn x=y. Das Paar (X, d) ist dann ein metrischer Raum. In der Praxis bezeichnet man zumeist X allein als den metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, dass in diesem Raum die Metrik d benutzt wird. Eine Abbildung, welche die Metrik erhält, heißt Isometrie. Figuren, die von einer Isometrie aufeinander abgebildet werden können, heißen kongruent zueinander. Zur Erläuterung:
- Die Symmetrie (iii) besagt, dass es keinen Unterschied zwischen "Hinweg-Abstand" und "Rückweg-Abstand" gibt.
- Die Dreiecksungleichung (iv) besagt, dass der Abstand entlang dem direkten Weg, also entlang der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten gemessen wird. Ein Umweg über einen dritten Punkt kann nicht kürzer als der direkte Weg sein. Wird diese Bedingung dahingehend verschärft, dass der Abstand d(x,y) nicht länger sein darf als der längere der beiden Abstände d(x,z) und d(z,y) (mit beliebigem z !), erhält man den Begriff der Ultrametrik.

Definitheit und Pseudometrik

Aus Bedingungen (i), (iii), (iv) oder (i') und (ii') folgt, dass nichtidentische Punkte einen Abstand größer als Null haben. In Anlehnung an die Nomenklatur für einen normierten Raum sagt man, dass Metriken positiv definit sind (wenn der metrische Raum ein normierter Raum ist, dann kann man aus x≠y folgern, dass x-y≠0; die positive Definitheit der Norm besagt dann, dass ||x-y||>0). Wird auf Bedingung (ii) verzichtet, erhält man den Begriff der Pseudometrik (auch Semimetrik genannt) und einen pseudometrischen Raum: Nichtidentische Punkte können den Abstand 0 haben. Die Metrik ist positiv semidefinit, d. h. Abstände sind stets größer oder gleich 0. Metrische Tensoren, die nicht positiv definit sind, werden nur unregelmäßig explizit als pseudometrisch bezeichnet. Ein Beispiel ist der (pseudo)metrische Tensor diag(-1,1,1,1) des Minkowski-Raums.

Beispiele: durch Normen erzeugte Metriken

Jede Norm auf einem Vektorraum induziert durch die Festlegung :d(x, y) := \|x - y\| eine Metrik. Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder Innenproduktraum, jeder Banachraum, jeder Hilbertraum) ein metrischer Raum. Eine Metrik, die aus einer p-Norm (siehe dazu den Artikel normierter Raum) abgeleitet ist, heißt auch Minkowski-Metrik. Wichtige Spezialfälle sind
- die Manhattan-Metrik zu p=1;
- die Euklidische Metrik zur p=2;
- die Maximum-Metrik zu p=∞. Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich in den Artikeln Matrixnorm, Funktionenraum. Aus einer p-Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken der folgenden wichtigen Räume:
- der eindimensionale Raum der reellen oder komplexen Zahlen mit dem absoluten Betrag als Norm (mit beliebigem p !) und der dadurch gegebenen Metrik ::d(x, y) = |x-y|;
- der euklidische Raum mit seiner durch den Satz des Pythagoras gegebenen Euklidischen Metrik (zur 2-Norm) :\left\|(x_1, x_2, \dots, x_n)\right\| = \sqrt Als eine Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik :d(x, y) := ρ(x - y) bezeichnet, die von einer Funktion ρ induziert wird, welche die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist.

Beispiele: nicht durch Normen erzeugte Metriken


- Auf jeder Menge lässt sich eine triviale Metrik (auch diskrete Metrik genannt) (die sogar eine Ultrametrik ist) definieren durch
- :
- d(x,x) = 0,
- :
- d(x,y) = 1 für x≠y.
- Im allgemeinen nicht durch eine Norm induziert ist die Riemannsche Metrik, die aus einer differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit macht. Beispiele dafür:
  - die natürliche Metrik auf einer Kugeloberfläche, in der der Großkreis die kürzeste Verbindung (Geodäte) zwischen zwei Punkten ist;
  - die uneigentliche Metrik im Minkowski-Raum R×R3 der speziellen Relativitätstheorie, in der zeitähnliche Abstände durch [(Δt)2 - (Δx/c)2 - (Δy/c)2 - (Δz/c)2]1/2 und ortsähnliche Abstände durch [(Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 - (Δct)2]1/2 gegeben sind;
  - die von der Materieverteilung abhängige Verallgemeinerung dieser Metrik in der allgemeinen Relativitätstheorie.
- Die folgenden Metriken messen den Abstand zwischen Teilmengen, nicht Elementen, eines metrischen Raums; man könnte sie als Metriken zweiten Grades bezeichnen, denn sie greifen auf eine Metrik ersten Grades zwischen den Elementen des metrischen Raums zurück:
  - Die Hausdorff-Metrik misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen eines metrischen Raums.
  - Als Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik bezeichnet, die den Abstand zwischen zwei Kurven als das Maximum des Abstands zwischen korrespondierenden Punkte nach Festlegung einer optimalen Korrespondenz misst; welche Korrespondenzen zugelassen werden, wird in verschiedenen Anwendungen unterschiedlich definiert.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale Struktur. Die globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen. Die verschiedenen topologischen Räume verallgemeinern die möglichen lokalen Struktur metrischer Räume. Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn eine Metrik existiert, die mit der gegebenen Topologie verträglich ist, also von der Metrik induziert sein könnte. Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert. Siehe dazu den ausführlichen Artikel vollständiger Raum. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum. Ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist, heißt Hilbertraum. Betrachtet man die von einem metrischen Raum erzeugte Topologie, lassen sich diese Begriffe nicht mehr definieren. Eine mögliche Verallgemeinerung, die dies noch erlaubt, bilden die uniformen Räume.

Geschichte

Metrische Räume wurden in der Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel (1906) von Maurice Fréchet erstmals verwendet. Kategorie:Topologie Kategorie:Geometrie Kategorie:Analysis ja:距離空間 ko:거리공간

Folge (Mathematik)

Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heißt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge. Die einzelnen Zahlen, aus denen die Folge zusammengesetzt ist, heißen die Glieder der Folge. In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze, rationale oder reelle Zahlen. In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert, so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dürfen. Folgen, deren Glieder nicht Zahlen, sondern Mengen sind, werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt.

Anwendungen

Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden. In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen. Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen. Manche elementare Funktionen wie tan(x) führen dabei auf recht exotische Folgen, wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen. Eine Reihe ist eine Folge, deren einzelne Glieder sich aus der Summe der Glieder einer anderen Folge ergeben. Reihen werden insbesondere zur Approximation irrationaler Zahlenwerte verwendet (siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik)).

Formale Definition

Die Glieder einer Folge sind in ihrer Reihenfolge festgelegt. Daher kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer", einen Index, eindeutig bezeichnet werden. Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb . Je nach Anwendungsfall schließt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge \mathbb_0 notiert) oder man schließt sie aus (entspricht der Menge \mathbb^+ ). Wie so oft, kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklärt eine unendliche Folge als eine Funktion :\begina:&\mathbb &\to& X\\ & i\mapsto&a_i\end, die jedem Index i aus der Indexmenge N ein Folgenglied a_i aus der Zielmenge X zuordnet. In der Regel ist X ein metrischer Raum. In der Schulmathematik und in den wichtigsten Anwendungsfällen ist X ganz konkret die Menge der reellen Zahlen \mathbb. Für eine endliche Folge mit n Gliedern definiert man den Index statt aus \mathbb_0 aus einer endlichen Menge, und zwar üblicherweise entweder aus der Menge \ oder aus der Menge \. :Bemerkung: Diese Wahlmöglichkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: In älteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden n-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und n adressiert. In den meisten anderen Programmiersprachen werden jedoch Indizes von 0 bis n-1 verwendet. Zur Notation: Es ist gebräuchlich, eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als ( a_i) oder \langle a_i \rangle zu notieren. Davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge \. :Beispiel: Die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 4, ... hat die Bildmenge .

Bildungsgesetz einer Folge

Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Folge anzugeben:
- Nennen aller Folgeglieder (nur endliche Folgen)
- Funktion
- Reihe
- Rekursion
- Algorithmus Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht, stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen. Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt. Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation, da letzten Endes jede Folge, die überhaupt wohldefiniert ist, eine Funktionsvorschrift besitzt. Bei unregelmäßigen Folgen lässt sich lediglich sagen, dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und über algorithmische Vorschriften erfolgt, die mit der üblichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden können. [Diese Thematik hängt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen].

Angabe von Anfangsgliedern

Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht problematisch. Denn auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen. :Beispiele:
- Gegeben ist 0, 1, 2, 3. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, ..., also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, ...., also als die periodische Folge der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit, also modulo 231 dargestellt. Beim sukzessiven Erhöhen eines Registers durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, ..., 2147483647, -2147483646, -2147483645, ..., -1 und periodisch weiter.
- Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5 als plausibelste Fortsetzung 1, 6, 1, 7, ... Andere würden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl \pi wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, ... vorschlagen. Die [http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] (OEIS) enthält tausende mathematisch relevanter Folgen. Darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen. Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthält und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen, trennt man die Folgenglieder zweckmäßigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas, also z.B. 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

Angabe einer Funktionsvorschrift

Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift :i\mapsto a_i als eine geschlossene Gleichung angeben. In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge \mathbb_0 zugrunde:
- Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ... Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen. Die Funktionsvorschrift lautet einfach :a_i = i.
- Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, .... hat die Funktionsvorschrift :a_i = 2i+1.
- Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, ... :a_i = 2^i.

Daran anknüpfende Aufgaben (für Schüler)

Die Aufgabe, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist einfach. Man nimmt nacheinander die Werte i=0, i=1, i=2 usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a_0, a_1, a_2 usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: Eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war. Beispiel: die Folge a_i = 1 / (1 + (i - 1000)^2) , die bis i=1000 monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann. Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (wie oben bereits bemerkt). In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder a_0, a_1, a_2 usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index i=0,\, 1,\, 2,\, ... abhängen. Im einzelnen können folgende Eigenschaften überprüft werden:
- Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor (-1)^i in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, -1, 2, -3, 4, ... hat die Vorschrift a_i=(-1)^i \cdot i.
- Sind die Folgeglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... hat die Vorschrift a_i = (i+1)/2^i.
- Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d zu (oder ab, mit d < 0) ? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge a_i=a_0 +d\cdot i. Beispiel: 1, 3, 5, 7, ... hat die Vorschrift a_i= 1+2i .
- Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, ... lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, ...
- Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis 1:q zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge a_i=a_0 \cdot q^i . Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift a_i=100 \cdot (0,8)^i . Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, ... ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen.

Angabe als Reihe

Eine Folge \langle s_n \rangle , deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge \langle a_i \rangle geschrieben werden kann, heißt eine Reihe: :s_n= a_0 + a_1 +\ldots+a_n=\sum_^n a_i :Erläuterungen zur Notation: :
- Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck \sum_^n a_i ist nichts anderes als eine Abkürzung für den Ausdruck a_0+a_1+\ldots+a_n. :
- Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass wir speziell n und i gewählt haben, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend. :
- Um s_n=\sum_^n a_i als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index n vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index i kein (von außen) vorzugebender Wert, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt. Welches n auch immer gegeben ist, für den "Laufindex" i müssen nacheinander die Werte 0, 1, ..., n eingesetzt und die Summe der zugehörigen a_0, a_1, ..., a_n berechnet werden. Man kann jede Folge \langle s_n \rangle als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge :a_i = \begin0 &\mbox i=0,\\ s_i-s_ &\mbox\end konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht. Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige n ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für
- die arithmetische Reihe
- die geometrische Reihe Siehe dazu den Artikel Summe. Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe immer darauf schließen, dass die zugrundeliegende Folge gegen Null konvergiert.

Angabe einer Rekursion

Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden. Dazu nennt man m Anfangswerte (mit m \geq 1; meistens ist m=1 oder m=2) sowie eine Vorschrift, wie ein Folgenglied a_i aus den vorhergehenden m Gliedern a_, ..., a_ berechnet werden kann. Das bekannteste Beispiel für eine Folge, die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lässt, ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Für sie ist m=2, gegeben sind die zwei Anfangsglieder a_0=0 und a_1=1 sowie die Rekursionsvorschrift :a_i = a_ + a_ . Die Funktionsvorschrift :a_i = \left(\left(\right)^i - \left(\right)^i\right) steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt. Beachte, dass die a_i alle ganzzahlig sind, da sich die ungeraden Potenzen der \sqrt herauskürzen. Für manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten. Zum Beispiel folgt für die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift :a_i = a_0\cdot q^i die Rekursionsvorschrift :a_i = q\cdot a_ . Die Rekursion :a_1 = 2\,,\quad a_ = \frac2 + \frac1 definiert die Folge rationaler Zahlen 2, 3/2, 17/12, ..., die gegen \sqrt konvergiert.

Angabe über einen Algorithmus

Für manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift, aber keine Funktionsvorschrift. Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... Bereits den alten Griechen (möglicherweise auch Indern) war es bekannt, wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet. Eine Möglichkeit ist, das Sieb_des_Eratosthenes anzuwenden. Es gibt jedoch keine Methode, zu einem gegebenen i die i-te Primzahl anzugeben, ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur (i-1)-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen). Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste, sondern die 10^ -ste Primzahl wissen möchte, macht dies den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen für die Sicherheit von Verschlüsselungs- und Authentifizierungsalgorithmen, die auf Primzahlen beruhen.

Charakterisierung von Folgen

Wie Funktionen kann man auch Folgen über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren:

Monotonie (Mathematik)


- Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb gilt: a_i \leq a_.
- Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle i aus \mathbb gilt: a_i < a_.
- Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.

Beschränktheit


- Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke S besitzt, so dass für alle i aus \mathbb gilt: a_i < S .
- Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum.
- Die Begriffe nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog definiert.

Sonstige


- Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
- Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, könnte man eine triviale oder konstante Folge nennen.
- Eine unendliche Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch. Es gibt eine Periodenlänge n, und für alle i aus \mathbb gilt: a_i = a_ . In der Analysis gilt das Hauptinteresse der Frage, ob eine Folge einen Grenzwert hat. Siehe dazu den Artikel Grenzwert. Eine unendliche Folge, die gegen keinen Grenzwert konvergiert, kann nichtsdestoweniger Häufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2, 3/4, -5/6, 7/8, ... besitzt die Häufungspunkte -1 und 1). Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen, zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Besonders nützlich ist folgender Satz: :Eine monoton steigende, nach oben beschränkte Folge konvergiert und ihr Grenzwert stimmt mit ihrem Supremum überein (Beispiel: die Folge 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... konvergiert gegen ihr Supremum 1). Eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum.

Daran anknüpfende Aufgaben (insbesondere für Schüler und Studienanfänger)

Wenn Aufgaben zur Monotonie oder/und Beschränktheit von Folgen gestellt werden, sind die Folgen in der Regel über eine Funktionsvorschrift, eventuell auch über eine Rekursion gegeben.

Nachweis der Monotonie


- Wenn man vermutet, dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist, setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein, berechnet die zugehörigen Folgenglieder und hofft, ein Gegenbeispiel zu finden. Beispiel: Die durch a_i = 2^i /(3i +1) gegebene Folge ist nicht monoton, denn a_0 = 1 \,>\, a_2 = 4/7\, <\, a_5 =32/16.
- Wenn man vermutet, dass eine Folge streng monoton steigt, schreibt man a_i < a_, wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite i+1 anstelle von i in die Vorschrift einsetzt), und überprüft die so entstandene Ungleichung, indem man sie durch Äquivalenzumformungen vereinfacht. Beispiel: [Siehe Lehrbücher]
- Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten, einfacheren Folge zerlegen, deren Steigungsverhalten schon bekannt ist. Beispiel: a_i = \frac = \frac = 2 - \frac . Wenn man weiß, dass 1/(i+1) streng monoton fällt, kann man schließen, dass -1/(i+1) streng monoton steigt. Weil der Term 2 konstant ist, steigt auch a_i streng monoton.

Nachweis der Beschränktheit / Bestimmung einer Schranke


- Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht möglich, denn mit auch noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen, dass es nicht irgendeine sehr große bzw. sehr kleine Zahl gibt, durch die die Folge beschränkt ist.
- Es muss also angenommen werden, dass es eine Schranke gibt. Nun wird die passende Ungleichung angesetzt, d.h. für eine obere Schranke also a_i \leq S. Auf der linken Seite der Ungleichung wird die Funktionsvorschrift angewandt und dann nach i aufgelöst. Dadurch erhält man (mit etwas Glück) ein Ergebnis der Form i \leq f(S) oder i \geq f(S), wobei f(S) für einen von S abhängigen Term steht. Im ersten Fall hat man herausgefunden, dass die Folge nicht nach oben beschränkt ist (egal wie groß f(S) ist, es ist immer möglich, ein noch größeres i zu finden, das die Ungleichung verletzt). Im zweiten Fall versucht man ein S zu finden, für das f(S) \leq 0 ist. Für dieses S ist i \geq f(S) immer erfüllt und somit ist der Nachweis gelungen, dass S eine obere Schranke ist.
- Auch diese Aufgabe kann sich vereinfachen, wenn es gelingt, die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen.

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Für die Folge 5, 7, 9, ... lautet die Funktionsvorschrift :a_i = 5 + 2i, im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz d) :a_i = a_0 + i \cdot d. Innerhalb der Mathematik oder Informatik benötigt man besonders häufig die Folge der geraden :a_i = 2i oder der ungeraden Zahlen, :a_i = 2i+1. Die Folge der "Dreieckszahlen" 1, 3, 6, 10, 15, ... kann man als Reihe auffassen, der die arithmetische Folge 1, 2, 3, ... zugrunde liegt. Mit Hilfe einer bekannten Summationsformel findet man :a_i = \frac.

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Die Folge der Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, ... hat die Funktionsvorschrift :a_i = i^2, die der Kubikzahlen 0, 1, 8, 27, ... :a_i = i^3, was man für s-te Potenzen der natürlichen Zahlen zu :a_i = i^s verallgemeinern kann, wobei s eine beliebige reelle Zahl sein darf. Mit s=1/2 erhält man die Folge 0, 1, √2, √3, 2, √5, ... der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen, :a_i = i^ = \sqrt . Bei negativen Exponenten s < 0 ist zu beachten, dass 0^s nicht existiert. Beispielsweise ist es nicht möglich, mit s=-1 und der Funktionsvorschrift :a_i = i^ = \frac , dass Folgenglied zum Index i=0 zu berechnen. Man kann den Index 0 ausschließen, indem man sich die Indexmenge \mathbb^ beschränkt. Oft ist es jedoch zweckmäßiger, die Indexmenge \mathbb_0 unverändert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in :a_i = (i+1)^ = \frac zu ändern. Dann lauten die ersten Folgenglieder 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift für beliebige Exponenten s aufstellen: :a_i = (i+1)^.

Geometrische Folgen

So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben, so stehen in einer geometrische Folge :a_i = a_0 \cdot q^i aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhältnis zueinander, a_ / a_i = q . Zum Beispiel ergibt sich mit q=2 die Folge der Zweierpotenzen :a_i = 2^i, also zum Beispiel für die ersten zehn Glieder die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (jedes Glied ist doppelt so groß wie das vorangegangene). Wichtig ist diese Folge speziell für die Umwandlung von den in der Informatik verwendeten Dualzahlen in Dezimalzahlen (und umgekehrt). Eine geometrische Folge mit \vert q \vert < 1 konvergiert gegen Null, wie beispielsweise die Folge 1; 0,1; 0,01; ... zu q=0,1: :a_i = \left(\frac\right)^i Wenn q=1 erhält man die triviale Folge 1, 1, 1, ...; wenn q=-1, erhält man aus :a_i = (-1)^i die fundamentale alternierende Folge 1, -1, 1, -1, ... Ein Beispiel für die Alltagsanwendung der geometrischen Folge ist die gleichstufige Stimmung der musikalischen Tonleiter - die aufeinanderfolgenden Glieder, hier Halbtonschritte, besitzen zueinander ein konstantes Frequenzverhältnis.

Verallgemeinerungen

In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge.

Siehe auch

Tabelle mathematischer Symbole

Noch nicht eingebaut

Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel.

Weblinks


- Die [http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] (OEIS) enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.
- [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] ! ja:列 (数学)

Reelle Zahlen

] Die Menge der Reellen Zahlen ist eine Obermenge der rationalen Zahlen. Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen. Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet. Reelle Zahlen werden als Maß für kontinuierliche Größen wie der Länge gebraucht; z.B. hat die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 die Länge \sqrt. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol \mathbb (auch \mathbf) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ wurde gewählt, weil sie im Gegensatz zu den imaginären Zahlen eine reale (=„reele“) Entsprechung haben. Die reellen Zahlen und Funktionen von \mathbb nach \mathbb sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:
- die Kreiszahl π (pi),
- die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z.B. √2, aber nicht √4 = 2. Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, daß sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine Periode bilden. Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise e und π.

Mächtigkeiten

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste x_1,x_2,x_3,\ldots reeller Zahlen unvollständig ist. Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen. Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt. Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet. Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper. Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft. Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert. # Die reellen Zahlen sind ein Körper # Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt: ## es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a (