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Polar

Polar

Der Ausdruck polar bezeichnet:
- in der Chemie und Physik eine Stoffeigenschaft, siehe Polarität (Chemie).
- in der Chemie eine Bindungseigenschaft, siehe Bindungsarten.
- in der Mathematik und Physik ein Koordinatensystem, siehe Polarkoordinaten.
- in der Physik eine Sorte Vektoren, siehe Vektor (Mathematik).
- in den Geowissenschaften die Polargebiete.
- eine amerikanische Sonde, siehe Polar Explorer.
- eine Biermarke.
- einen Hersteller von Sportuhren mit Pulsmesser für das herzfrequenzkontrollierte Training [http://www.polar-deutschland.de http://www.polar-deutschland.de].
- schwedische Plattenfirma, siehe Polar Music, die in den 90ern von der Firma Polygram, aufgekauft wurde, welche Ende der 90er wiederum in die Universal Music Group aufging. Die bekannteste Gruppe, die das Label unter Vertrag hatte, waren ABBA, die zweiterfolgreichste Musikgruppe überhaupt.

Polarität (Chemie)

Der Ausdruck Polarität bezeichnet in der Chemie eine durch Ladungsverschiebung in Atomgruppen entstandene Bildung von getrennten Ladungsschwerpunkten, die bewirken, dass eine Atomgruppe nicht mehr elektrisch neutral ist (siehe auch Pol). Das elektrische Dipolmoment ist ein Maß für die "Polarität" des Moleküles.

Polare Stoffe

Ein polarer Stoff besteht aus polaren Molekülen, ein polares Molekül besitzt ein permanentes elektrisches Dipolmoment. Polare Stoffe lösen sich gut in polaren Lösungsmitteln (Salze in Wasser). Unpolare Stoffe lösen sich gut in unpolaren Lösungsmitteln (organische Stoffe in Benzol oder Äther). Die Löslichkeit ist umso besser, je ähnlicher die Wechselwirkungskräfte zwischen den Teilchen des Lösungsmittels und zwischen denen des gelösten Stoffes sind. Polare Moleküle bestehen aus Atomen mit unterschiedlicher Elektronegativität und haben einen unsymmetrischen Aufbau, wie z.B. beim Wassermolekül dargestellt. Beispiele:
- Wasser, Salze, ...

Unpolare Stoffe

Ein unpolares oder apolares Molekül dagegen besitzt kein permanentes Dipolmoment. Unpolare Stoffe lösen sich gut in unpolaren Lösungsmitteln (organische Stoffe in Benzol oder Äther). Polare Stoffe lösen sich gut in polaren Lösungsmitteln (Salze in Wasser). Die Löslichkeit ist umso besser, je ähnlicher die Wechselwirkungskräfte zwischen den Teilchen des Lösungsmittels und zwischen denen des gelösten Stoffes sind. Kategorie:Chemie Beispiele:
- Benzin, Tetrachlormethan, Wachs, Fett, ... Das Dipolmoment eines Stoffes bestimmt seine Löslichkeit oder seine Fähigkeit, als Lösungsmittel zu wirken. Dabei gilt die Faustregel, dass polare Stoffe in polaren Lösungsmitteln gut, in unpolaren aber schlecht löslich sind. Unpolare Stoffe wiederum sind in unpolaren Lösungsmitteln (z. B. Benzin, Hexan) gut, in polaren aber schlecht löslich. Dies wurde von den mittelalterlichen Alchemisten mit der Regel "similia similibus solvuntur" (lat: "ähnliches wird von ähnlichem gelöst") beschrieben. Auch sind viele Salze im polaren Lösungsmittel Wasser auf Grund ihrer Ionenstruktur gut löslich, unpolare Stoffe wie Fett oder Wachs dagegen nicht. Viele Aromastoffe oder Duftstoffe sind z.B. in Wasser nicht löslich, und werden daher in einem Öl gelöst (z.B. Backöl oder Duftöl) oder in Alkohol, deshalb ist Alkohol auch in vielen Lebensmitteln als Zutat aufgeführt. Ein einfaches Experiment, mit dem man feststellen kann, dass Wasser ein permanentes elektrisches Dipolmoment besitzt, ist das Folgende:
Man lädt z.B. einen Kunststoffkamm durch das Kämmen trockener Haare oder Reiben an einem Wollpullover elektrisch auf. Nun läßt man aus einem Wasserhahn einen ganz dünnen Strahl fließen, gerade so daß er nicht abreißt und tropft. Wenn man nun den Kamm dem Wasserstrahl vorsichtig nähert, macht dieser einen Bogen und nähert sich dem Kamm. Dabei darf der Wasserstrahl aber den Kamm nicht berühren, da der Kamm ansonsten entladen wird.
Die Erklärung für dieses Verhalten ist einfach: In dem inhomogenen elektrischen Feld richten sich die Dipole des Wassermolküls so aus, dass sie zum Kamm hin zeigen. Auf das dem Kamm nähere Molkülende wirkt aufgrund des inhomogenen Feldes eine größere anziehende Kraft als die abstoßende Kraft auf das andere Molekülende. Insgesamt bleibt also eine kleine anziehende Kraft für jedes Wassermolekül übrig, die dann den Wasserstrahl umlenkt. Siehe auch: Bindungsarten Kategorie:Chemie

Bindungsarten

In der Chemie unterscheidet man grundsätzlich zwischen 3 Bindungsarten: # Die Ionenbindung oder auch Ionische Bindung (zwischen Metall und Nichtmetall: z.B. CaS) # Die Elektronenpaarbindung oder auch Atombindung. Hierbei werden 2 Arten unterschieden: #
- unpolare Elektronenpaarbindung #: z.B. Bindungen zwischen C--C #
- polare Elektronenpaarbindung #: z.B. Bindungen zwischen O--H # Die Metallbindung oder auch Metallische Bindung. (Zwischen zwei Metallen) Die Elektronenpaarbindung kommt nur zwischen Nichtmetallen vor. Welche der jeweiligen Bindungen vorliegt, lässt sich aus der Differenz der Elektronegativitäten beider Bindungspartner feststellen. Bei einer Differenz von 0 ist die Elektronenpaarbindung unpolar. Liegt sie zwischen 0 und 1,7, liegt eine polare Elektronenpaarbindung vor. Bei einem Wert größer als 1,7 handelt, es sich um eine Ionenbindung. Polare Bindungen oder Ionenbindungen können zu einer Polarität des Moleküls führen. Kategorie:Chemie

Polarkoordinaten

Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben bild:Ebene_polarkoordinaten.PNG :Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergeben sich : x = r cos ( φ ) und : y = r sin ( φ ) als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man : \det\frac=\begin \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end=r

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Polar zu kartesisch lässt sich folgendermaßen umrechnen: :x=r\,\cos\varphi :y=r\,\sin\varphi Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln: :r=\sqrt :\varphi = \begin\arccos\frac & \mathrm\ y\geq0 \\[,5em] -\arccos\frac xr & \mathrm\ y < 0\end Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate "Arkustangens"-Funktion atan2(y,x), die den korrekten Wert für φ für jedes gegebene x und y findet.

Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems. ::bild:Zylinderkoordinaten.PNG Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich : x = r cos ( φ ), : y = r sin ( φ ) und : z = h als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z-Achse. Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante: : \det\frac=\begin \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end=r Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV: :\mathrmV=r \,\mathrmr\, \mathrm\varphi \, \mathrmh

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

:x=r\,\cos\varphi :y=r\,\sin\varphi :z=h \quad :r=\sqrt :\varphi =\arctan\frac + \pi u_0(-x) \, \sgn y :h=z \quad : \begindx\\dy\\dz\end= \begin \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end\cdot \begindr\\d\varphi\\dh\end : \begindr\\d\varphi\\dh\end= \begin \frac&\frac&0\\ \frac&\frac&0\\ 0&0&1 \end\cdot \begindx\\dy\\dz\end

Kugelkoordinaten

Kreiskoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel der Geraden zwischen Ursprung und Punkt und der Ebene x,y. ::bild:Kugelkoordinaten.PNG Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.

Weitere Artikel zum Thema

Siehe auch: Koordinate, geografische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren Kategorie:Geometrie ja:極座標系 ko:극좌표

Vektor (Mathematik)

Vektoren haben eine spezielle und eine allgemeinere Bedeutung in der Mathematik. In allgemeinster Form ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, das mit seinesgleichen addiert werden kann und das mit Zahlen (sog. Skalaren) multipliziert werden kann. Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert. In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung. Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils \vec v. Da diese Pfeile in Länge, Richtung und Orientierung alle übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit \vec v bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel: : \vec v = \begin 7 \\ 3 \end, im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Koordinaten, siehe weiter unten. Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den "herkömmlichen", geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Vektor ein Tensor, obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als Matrix und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet. Auch alle benannten Größen - wie Längenangaben in m, Geldbeträge usw. usf. - sind in diesem Sinn Vektoren. In der Differentialgeometrie, der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes, der durch einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung gegeben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, Moment und Beschleunigung. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum. Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand, Energie, Zeit, Temperatur, Ladung, Leistung, Arbeit und Masse gegenüberstellen, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung und keine Orientierung haben. Vektoren sind normalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile", die kollinear (d.h. parallel sind, also die gleiche Richtung besitzen), gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden. Sie dienen im Allgemeinen dazu, eine Richtung anzuzeigen - siehe auch Richtungsvektor. Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ursprung (Ausgangspunkt). Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben. Kräfte, die auf Starrkörper wirken, sind teilweise gebunden. Sie wirken entlang einer bestimmten Geraden. Es ist egal, an welchem Punkt der Geraden sie angreifen. Man nennt sie "linienflüchtige" Vektoren. Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Man kann jeden Vektor zu einem Einheitsvektor machen, indem man ihn normiert, das heißt alle Koordinaten durch den Betrag (die Länge) des Vektors teilt. Ein Vektor mit gleichem Betrag, gleicher Richtung aber entgegengesetzter Orientierung eines anderen Vektors ist dessen Gegenvektor.

Darstellungsformen

Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (\vec bzw. \overrightarrow) oder fett geschrieben (a, AB). Im englischsprachigen Raum ist die Schreibweise \underline a bzw. \underline gebräuchlicher.(Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise verwendet, in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch der Fettdruck vor.) Ist der Betrag, also die Länge, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert: |\vec| Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt: A wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet. Die Lage der Pfeilspitze gibt die Orientierung des Vektors, die Länge seinen Betrag und der Pfeilschaft seine Richtung an. Dieser Vektor kann auch als \overrightarrow bezeichnet werden und sein Betrag als |\overrightarrow| bzw. \overline. Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist, sondern, dass diese ihn nur definieren. Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können, ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In einem n-dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. Im kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren. Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum \mathbb^3 mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind \vec, \vec und \vec die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse, kann jeder Vektor als : \vec = a_1\vec + a_2\vec + a_3\vec angeschrieben werden. Die reellen Zahlen a1, a2 und a3 sind eindeutig durch \vec festgelegt. Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3×1- oder 1×3-Matrix: : \vec = \begina_1 \\ a_2 \\ a_3\end\quad\mbox\quad \vec = \begina_1 & a_2 & a_3 \\\end Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische Koordinatensystem gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist. Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen: : \vec = a_1\begin1 \\ 0 \\ 0 \\\end + a_2\begin0 \\ 1 \\ 0 \\\end + a_3\begin0 \\ 0 \\ 1 \\\end Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann: : |\vec| = \sqrt

Rechenoperationen

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren : \vec a= a_1\vec i + a_2\vec j + a_3\vec k\ \mathrm\ \vec b = b_1\vec i + b_2\vec j + b_3\vec k berechnet sich als: : \vec+\vec = (a_1+b_1)\vec + (a_2+b_2)\vec + (a_3+b_3)\vec = \begina_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3\end . Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren indem man den Startpunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Startpunkt des ersten Vektors bis zum Endpunkt des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor: Die Vektoren \vec a und \vec b können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als die (längere) Diagonale. Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz. Die Differenz dieser beiden Vektoren ist: : \vec-\vec = (a_1-b_1)\vec + (a_2-b_2)\vec + (a_3-b_3)\vec = \begina_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3\end . Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Startpunkt des Gegenvektors des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt im Startpunkt des ersten Vektors und endet im Endpunkt des Gegenvektors des zweiten Vektors. Geometrisch entspricht dem der Verbindungsvektor zwischen den Endpunkten des zweiten und des ersten Vektors.

Multiplikation mit einem Skalar

Multiplikation Vektoren können mit reellen Zahlen, oft Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können, multipliziert werden: : r\vec = (ra_1)\vec + (ra_2)\vec + (ra_3)\vec = \beginra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end Die Länge des resultierenden Vektors ist daher |r|\cdot|\vec|. Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung, ist er negativ, in die Gegenrichtung. Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2):Wobei der Vektor auch die Richtung ändern kann x(-1) Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz: : r\cdot(\vec a + \vec b) = r\vec a + r\vec b Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird häufig auch S-Multiplikation genannt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt) zweier Vektoren \vec a und \vec b, so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als \vec a\cdot\vec b und ist definiert als : \vec\cdot\vec = \left|\vec\right|\left|\vec\right|\cos\varphi , wobei \varphi der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als : \vec\cdot\vec = \begina_1 \\ a_2 \\ a_3 \end\cdot\beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \end = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors : \vec\cdot\vec = \begina_1 \\ a_2 \\ a_3 \end\cdot\begina_1 \\ a_2 \\ a_3 \end = a_1^2+a_2^2+a_3^2 Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch als Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor verstehen. Daher ist das Skalarprodukt zweier orthogonal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel \varphi zwischen zwei Vektoren \vec und \vec kann mit folgender Formel berechnet werden, die aus dem Skalarprodukt folgt: : \cos \varphi = \frac Dass das Skalarprodukt einen direkten Zugang zur Berechnung von Winkeln in der Vektorgeometrie ermöglicht, macht seine große Bedeutung für die Geometrie aus.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (notiert als \vec a\times\vec b) (gesprochen als "a Kreuz b") zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von \vec a und \vec b aufgespannten Ebene steht. Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum \mathbb^3 ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als : \vec\times\vec = \left|\vec\right| \left|\vec\right| \sin(\theta) \vec wobei \theta der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus), und \vec n der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist. Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf \vec a und \vec b stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren \vec a, \vec b und \vec\times\vec verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt). Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als: Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als: : \vec\times\vec = \begina_1 \\ a_2 \\ a_3\end \times \beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \end = \begin a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end = \begin 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end Der Betrag von \vec a\times\vec b entspricht der Fläche des von \vec a und \vec b aufgespannten Parallelogramms. Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz sondern das sogenannte Anti-Kommutativgesetz: : \vec\times\vec = - \vec\times\vec Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpfen, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. Siehe dazu: Kreuzprodukt.

Siehe auch


- Analytische Geometrie
- Spatprodukt
- Vektorgrafik
- Pseudovektor
- Homogene Koordinaten

Geschichte


- begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Hermann_Gra%C3%9Fmann(15.04.1809 - 26.09.1877)

Literatur


- Kurt Bohner, Peter Ihlenburg, Roland Ott: Mathematik für berufliche Gymnasien - Lineare Algebra Vektorielle Geometrie Merkur Verlag Rinteln, 1. Auflage 2004, ISBN 3-8120-0552-2

Weblinks


- [http://www.virtualuniversity.ch/mathematik/32.html Javaapplet zur Veranschaulichung der Vektoraddition]
- [http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html Javaapplet zur Veranschaulichung des Kreuzprodukts] Kategorie:Geometrie Kategorie:Lineare Algebra ko:벡터

Polargebiet

Unter den Polargebieten versteht man zum einen die Region innerhalb des nördlichen Polarkreises, die Arktis, sowie den Kontinent der Antarktis auf der Südhalbkugel der Erde. Besonderes Kennzeichen der Polarregionen sind neben dem kalten Klima mit viel Schnee und Eis der bis zu einem halben Jahr dauernde Polartag mit der Mitternachtssonne bzw. die Polarnacht, aber auch die Polarlichter. Auch auf dem Mars gibt es eisbedeckte Polargebiete.

Leben in Extremen

Obwohl die klimatischen Verhältnisse der Polarzonen sehr extrem und lebensfeindlich sind - was die Erforschung dieser Gegenden trotz moderner Technik zu einem bisweilen riskanten Abenteuer werden lässt -, finden sich Formen des Lebens sowohl in den Polargebieten der Nordhalbkugel der Erde (z.B. Eisbären) als auch in den Polargebieten der Südhalbkugel der Erde (z.B. Pinguine), die an die schwierigen Lebensbedingungen optimal angepasst sind.

Siehe auch


- Tundra, Lappland, Nordpolarmeer
- Nordpol, Südpol
- Polarforschung, Liste der Polarforscher
- Alfred-Wegener-Institut
- Ozonloch
- Französisches Südpolarmeergebiet (Terres Australes et Antarctiques Françaises TAAF)

Weblinks


- http://www.kindernetz.de/thema/polar/polargebiete/
- http://pole.meeresakrobaten.de/ Polargebiete - extreme Lebensräume Kategorie:Klimazonen und Vegetation

Pulsmesser

Eine präzise Herzfrequenz-Messung ist sowohl im Fitness- und im Ausdauertraining als auch bei wissenschaftlichen Untersuchungen unbedingt nötig. Das manuelle Fühlen der Pulswelle bedeutet ungenaue Ergebnisse, EKG- oder Holter-Geräte sind in ihrer Nutzung zu kostenintensiv und zu komplex, um von Sportlern aktiv genutzt zu werden. Das erste kabellose Herzfrequenz-Messgerät (auch bekannt als Pulsuhr oder Pulsmesser) wurde 1983 vorgestellt. Es handelte sich dabei um das tragbaren PE 2000 Herzfrequenz-Messgerät (Polar Electro Oy), das aus einem Empfänger und einem Sender bestand. Der Sender konnte an der Brust angebracht werden, entweder durch Einmal-Elektroden oder einen elastischen Elektrodengurt. Der Empfänger war ein uhrenähnlicher Monitor, der am Handgelenk getragen wurde. Am Anfang wurden Herzfrequenz-Messgeräte für den Einsatz bei Sportlern und Trainern konzipiert, um die Qualität und Effektivität des Trainings zu optimieren. Bald darauf untersuchten Wissenschaftler die Geräte und nutzten sie in ihren Arbeiten. Heute bietet die Bandbreite der Herzfrequenz-Messgeräte einfach zu bedienende Produkte für jeden, der sich für Wellness, Fitness und Gesundheit interessiert, es gibt aber auch High-Tech-Produkte, die die Wünsche und Bedürfnisse von ambitionierten Freizeit- und Leistungssportlern erfüllen und auf vielfältiger Art und Weise bei wissenschaftlichen Untersuchungen zu Herzfrequenz und Herzfrequenz-Variabilität eingesetzt werden. Herzfrequenz-Messgeräte nehmen über den an der Brust getragenen Sender die Herzsignale (R-Impulse) auf, die über die Haut abgegeben werden, und senden diese Signale an den Empfänger, der am Handgelenk getragen oder am Fahrrad befestigt wird. Die aktuelle Herzfrequenz wird dann kontinuierlich im Uhrendisplay angezeigt. Neben der Anzeige der Herzfrequenz bieten unterschiedliche Modelle die unterschiedlichsten Funktionen. Beginnend mit dem Alarm beim überschreiten der Zielzone, über die Kalorienberechnungsfunktion hin zum Höhen-, Temperatur- oder Geschwindigkeitsmesser können je nach Geschmack alle nötigen Informationen für ein effektives Ausdauertraining abgerufen werden. Je nach Modell können die Herzfrequenz-Daten schon während des Trainings analysiert werden (wie zum Beispiel bei der Zielzonenbestimmung über die Polar OwnZone) oder später anhand von entweder Durchschnittswerten oder der gesamten Herzfrequenzdatei (nach der Übertragung auf einen PC), um das Training optimal zu analysieren und zu steuern. Kategorie:Messgerät Kategorie:Kardiologie

PolyGram

PolyGram war ein Medienkonzern, der 1971 aus der Firmengruppe Deutsche Grammophon Gesellschaft und Philips Phonographische Industrie entstand. Weitere Labels waren u.a.: Archiv Produktion, Brunswick Records, Decca Records (ab 1979), Fontana Records, Karussell (Label), Mercury Records, Polydor, Polystar, Verve Records, seit Anfang der 90er auch Polar Music. Philips und Siemens waren bis 1984 zu je 50% beteiligt, ab 1985 reduzierte Siemens auf 10%, ab 1987 gehörte Polygram allein zu Philips. Im Jahre 1998 wurde die Firma an Seagram verkauft und ging im Unternehmen Universal Music Group auf, das 2000 an den französischen Mischkonzern Vivendi verkauft wurde und seit 2003 mehrheitlich zu NBC gehört. Kategorie:Deutsches Musiklabel ja:ポリグラム

Universal Music Group

Vivendi_Universal#Universal_Music_Group

Frontier House

Frontier House was an educational reality TV type series that originally aired on PBS in April of 2002. The show, which was filmed over the course of five months, followed the lives of three family groups that agreed to live as settlers did on the American frontier in the 1880s. Each family was given a 160 acre plot of land and completed all the tasks that would have been absolutely necessary for a settler. These tasks included building a log cabin, planting food, tending livestock, harvesting, and preparing for the winter months. Frontier House was the result of the successful The 1900 House, an earlier series which originally aired on PBS in 2000. Manor House and Colonial House followed the successful series and the latest, Texas Ranch House, has yet to be aired.

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