Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.
Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.
Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy , każdy odległy od środka układu współrzędnych o wektor , to środek masy ciała można określić przez wektor:
Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapiasana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości w przestrzeni za pomocą zależności:
przy czym:
to wektor środka masy;
M to masa ciała; V to objętość ciała;
to funkcja gęstości ciała
Grawitacja nazywana czasami ciążeniem powszechnym to jedno z oddziaływań podstawowych wyróżnianych przez fizykę. Oddziaływanie grawitacyjne jest zależne od masy posiadanej przez poszczególne ciała i od odległości między nimi.
Oddziaływanie grawitacyjne jest dużo słabsze niż oddziaływanie elektromagnetyczne, czy słabe albo silne w skalach odległości z którymi mamy do czynienia na co dzień. Jednak ciążenie jako jedyne może wpływać na ciała bardzo od siebie oddalone. Grawitacja jest oddziaływaniem, które sprawia, że obiekty astronomiczne tworzą się z rozrzedzonych obłoków gazu wypełniających Wszechświat. Ciążenie powoduje zapadanie się tych struktur i powstawanie galaktyk, gwiazd i planet. W codziennym życiu ciążenie objawia się nam w postaci przyspieszenia ziemskiego. Jabłka oraz inne przedmioty spadają, bo działa na nie grawitacja. W skali astronomicznej ciążenie wyjaśnia, dlaczego planety krążą wokół Słońca, a Księżyc dookoła Ziemi. Grawitacja zawsze powoduje przyciąganie, a nigdy odpychanie. Grawitacja może utrzymać w równowadze tak burzliwe procesy takie jak reakcje termojądrowe w jądrze Słońca. W szczególnym przypadku ciążenie może spowodować zapadanie się gwiazd i powstawianie czarnych dziur.
Najnowsze pomiary kosmologiczne wskazują, że Wszechświat rozszerza się coraz szybciej. W tej skali hipotetyzuje się na temat istnienia rzekomego odpychania, które mogłoby być silniejsze od przyciągania grawitacyjnego obiektów astronomicznych jednak nie wiadomo jakie mogłyby być źródła takiego oddziaływania, ani jaki ma charakter. Grawitacja w skali Wszechświata działa inaczej niż w naszym otoczeniu i współcześnie budowane modele kosmologiczne usiłują sprostać opisowi tych zagadnień. Fizycy podejmują próby stworzenia kwantowej teorii grawitacji, która będzie mogła wyjaśnić współczesne obserwacje kosmologiczne.
Wstęp
Najważniejszą cechą grawitacji jest jej powszechność. Ciążenie działa tak samo na wszystkie ciała niezależnie od ich natury. Jednym czynnikiem wpływającym na grawitację jest masa/energiawpływających na siebie obiektów. Nie można w żaden sposób zakłócić, ani odizolować żadnego ciała od wpływu ciążenia.
energia
We współczesnej fizyce grawitację opisuje Ogólna teoria względności. Oddziaływanie grawitacyjne jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni przez rozmaite formy materii lub energii.
Obecność ciężkich obiektów zmienia przestrzeń w dwojaki sposób. W naszym otoczeniu najważniejszym skutkiem grawitacji, jest dylatacja czasu. Na powierzchni Ziemi zegary działają wolniej niż w przestrzeni kosmicznej. Wartość opóźnienia wydaje się niewielka, ale jej wpływ na ruch ciał jest bardzo duży. Dylatacja czasu powoduje powstawanie siły skierowanej do środka naszej planety.
W pobliżu tak potężnych źródeł grawitacji jak czarne dziury zakrzywienie czasoprzestrzeni jest największe. Oprócz dylatacji czasu widoczne staje się odejście od geometrii euklidesowej (przyjmowanej intuicyjnie przez człowieka). Większość najbardziej egzotycznych zjawisk opisywanych przez ogólną teorię względności staje się widoczna właśnie w takich warunkach.
Mechanika klasyczna
Poglądy starożytnych
Już u zarania cywilizacji ludzie zaobserwowali, że przedmioty puszczone spadają. Codziennie doświadczenie mówi nam, że obiekty cięższe znajdą się na ziemi wcześniej niż te lżejsze. Jeżeli zrzucimy z pewnej wysokości kulkę oraz piórko, to piórko spadnie później. Co więcej istnieją obiekty takie jak np. balony, które pozornie łamią prawo grawitacji unosząc się do góry. Podobne codzienne obserwacje przekonały greckiego filozofa Arystotelesa, że proces spadania jest zależny od natury przedmiotu. Pogląd ten zawarł w swoich dziełach dotyczących fizyki wydanych w latach 355-322 p.n.e. Starożytni w żaden sposób nie kojarzyli ze sobą opadania ciał na ziemi, z ruchami planet w "niebiosach". Zachowanie ciał astralnych opisywał model geocentryczny, który nie pozwalał na dostrzeżenie jakichkolwiek analogii pomiędzy przyciąganiem i torami ciał niebieskich. Istniało powszechne przekonanie, że ziemia i niebo rządzą się całkowicie odmiennymi prawami.
Renesans
W roku 1543Kopernik zaproponował heliocentryczny model Układu Słonecznego. Słońce znajdowało się w środku, a planety poruszały się po kołowych orbitach. W roku 1584Giordano Bruno zaproponował zasadę według, której zarówno ziemią jak i niebem rządzą te same powszechne prawa.
W roku 1604Galileusz podważył wywodzące się ze starożytności idee dotyczące spadania ciał. Jego zdaniem pozorne różnice między ciążeniem działającym na różne obiekty są skutkiem zjawisk takich jak opór, albo wypieranie. W podręcznikach podaje się, że Galileusz wykonał szereg eksperymentów z kulami o różnych masach zrzucanymi z wieży lub staczającymi się po równi pochyłej. Wielu współczesnych historyków nauki sądzi, że ten wielki uczony dowiódł niezależności przyspieszenia ziemskiego od natury ciała w sposób czysto spekulatywny. Galileusz działał zgodnie z powszechnie uznawaną w jego czasach scholastyczną metodą analizy zjawisk.
Badacz ten wyobraził sobie dwie spadające cegły. Gdyby ich przyspieszenie zależało od masy, wówczas każda z cegieł oddzielnie spadałaby inaczej, niż gdyby połączyć je luźnym sznurkiem. Galileusz doszedł do wniosku, że założenie zależności przyspieszenia od masy ciała prowadzi do logicznej sprzeczności. Połączenie ciał sznurkiem nie zmienia ich fizycznych własności.
W latach 1609-18 niemiecki astronom Jan Kepler sformułował prawa dotyczące ruchu orbitalnego. Zgodnie z nimi planety kreślą w przestrzeni wielkie elipsy. Sformułował też prawo wiążące średni promień orbity z okresem obiegu:
Prawo powszechnego ciążenia
elipsy r. pod tytułem Phisophie Naturalis Principia Mathematica]]
Dnia 5 czerwca roku 1686 Newton wydał dzieło, w którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.
Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać:
:
gdzie: , – promienie orbit, , – okresy obiegu planet.
Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu:
:
gdzie: – przyspieszenie, – prędkość, – promień okręgu,
co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa:
:
gdzie to masa bezwładnościowa ciała.
Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej .
Prędkość orbitalna może być wyliczona jako:
:
Jeżeli podstawimy zalezność (4) do (3) to otrzymamy:
:
Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako:
:
Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu:
:
Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza.
Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk położył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia głosi, że:
Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:
::
gdzie: – stała grawitacji, , – masy ciał, – wektor łączący środki mas obu ciał, a jest długością tego wektora, jest wektorem jednostkowym () łączącym środki mas obu ciał. Siła jest wektorem a jej wartość (długość tego wektora ) jest równa:
::
stała grawitacji
Masy grawitacyjne i nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz. Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności.
Jednoznaczność masy bezwładnościowej i grawitacyjnej czekała na potwierdzenie eksperymentalne aż do roku 1798. Angielski fizyk Henry Cavendish jako pierwszy wykonał doświadczenia z wykorzystanie oscylujących mas, dzięki którym określił wartość stałej grawitacyjnej G z błędem 1%. W tym samym eksperymencie potwierdził też równoznaczność masy grawitacyjnej i bezwładnościowej.
Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Obecnie jej wartość zmierzono jako równą:
::G ≈ 6,6732 (±0,0031)×10-11m3kg-1s-2.
Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. praca wykonywana w tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała, tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność:
::
Korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną pola grawitacyjnego.
Grawitacja na powierzchni Ziemi
Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjny jest jednorodne.
Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną można obliczyć, że przedmiot o masie m na powierzchni naszej planety działa siła Fg:
gdzie Mz ≈ 5,9736×1024 kg – masa Ziemi, rz ≈ 6373,14 km ,
a zgodnie z drugą zasadą dynamiki:
Podstawiając zależność na siłę można obliczyć przyspieszenie ziemskieg:
W praktyce wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników. Umowna wartość g (dodaje się indeks "n" w celu zaznaczenia, że jest to przyspieszenie "normalne") to:
Spadający człowiek porusza się z przyspieszeniem ziemskim tylko przez kilka sekund. Potem opór powietrza staje się na tyle znaczący, że równoważy siłę grawitacji. Punkt równowagi odpowiada zwykle 200 km/h. Spadochron zwiększa siłę oporu powietrza i prędkość odpadania stabilizuje się na dużo mniejszej wartości.
Na Księżycu brak atmosfery powoduje, że wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem. Podczas lotów programu Apolloastronauci przeprowadzili pokazy ze zrzucaniem różnych przedmiotów, które transmitowała telewizja. Brak atmosfery hamującej ruch pojazdu powoduje, że lądowanie na Srebrnym Globie wymaga dużych zasobów paliwarakietowego. Spadochrony w próżni nie są skuteczne.
Grawitacja w ogólnej teorii względności
W Ogólnej Teorii Względności stworzonej przez Alberta Einsteina opis grawitacji polega na określeniu związku pomiędzy tensorem metrycznym opisującym lokalne stosunki długości i interwałów czasowych w czasoprzestrzeni a energią zawartą w określonym obszarze czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia dla teorii jest uogólnienie zasady względności Galileusza, o równoważności opisu zjawisk fizycznych w dowolnych układach inercjalnych, na dowolne także nieinercjalne układy odniesienia. Próba takiego zapisania praw mechaniki, aby ich postać matematyczna była identyczna w dowolnym układzie odniesienia, prowadzi do utożsamienia grawitacji i sił bezwładności, masy grawitacyjnej i bezwładnej i w końcu do równań pola grawitacyjnego łączących krzywiznę przestrzeni z tensorem energii-pędu oraz tensorem metrycznym. Można powiedzieć, że w ogólnej teorii względności grawitacja jest konsekwencją zakrzywienia czasoprzestrzeni.
Zakrzywienie to opisuje tensor metryczny definiujący w czasoprzestrzeni odległość między dwoma punktami o współrzędnych i
Sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń opisana jest przez element długości:
Funkcje i określa rozwiązanie równań Einsteina. Funkcja definiuje potencjał grawitacyjny U (r)
gdzie:
Równania Einsteina są skomplikowane. Maja one otwarty charakter w tym sensie, że geometria przestrzeni zależy od gęstości energii w rozpatrywanych obszarach, zaś ilość materii i jej przestrzenny rozkład (a więc i gęstość energii) zależy od geometrii. Równania Einsteina nie pozwalają traktować żadnej z tych wielkości jako bardziej podstawowej, co sprawia, że uzyskiwanie rozwiązań tych równań nie jest trywialne i zwykle możliwe jest jedynie dla wyjątkowo symetrycznych konfiguracji jak rozwiązanie Schwarzschilda z symetrią kulista i bez materii.
Rozwiązanie Schwarzschilda dla układu w próżni (np. poza gwiazdą) prowadzi do:
gdzie jest promieniem grawitacyjnym definiującym rozmiar horyzontu zdarzeń czarnej dziury.
W ujęciu ogólnej teorii względności postuluje się, że źródłem grawitacji jest tensor energii-pędu. Nawet cząstki pozbawione masy spoczynkowej (foton) doznają wpływu wynikającego z zakrzywienia przestrzeni a więc oddziaływują grawitacyjnie. Generalnie, źródłem grawitacji są wszelkie postacie energii dające wkład do wyżej wymienionego tensora energii pędu: masy, gęstość energii promieniowania i ciśnienia. W szczególności wkład ciśnienia jest identyczny z wkładem masy czyli wzrost ciśnienia powoduje wzrost sił przyciągających nie zaś jak podpowiada nam intuicja, spadek.
Grawitacja a mechanika kwantowa
Niestety, współczesna fizyka nie jest w stanie połączyć (zunifikować) Ogólnej Teorii Względności z mechaniką kwantową. Oznacza to, że żadna ze współczesnych teorii nie opisuje poprawnie ruchu cząstki o niewielkiej masie poruszającej się z prędkością porównywalną z prędkością światła w silnym polu grawitacyjnym np. w pobliżu lub we wnętrzu czarnej dziury. Ogólna teoria względności załamuje się również w momencie Wielkiego Wybuchu jak i zaraz po nim. Brak jest prawidłowego opisu zjawisk zachodzących w bardzo małych objętościach porównywalnych z długością Plancka. Jakkolwiek zjawiska te z punktu widzenia przeciętnego człowieka wydają się być dosyć odległe od zjawisk jakie obserwujemy na co dzień, to jednak poprzez ich związek z kosmologią, wyniki uzyskane na tych polach mają bezpośredni wpływ na obraz zjawisk jak najbardziej powszechnych.
Nie oznacza to oczywiście, że nie podejmuje się ciągle prób opisania grawitacji w zgodzie z zasadami mechaniki kwantowej. Postęp w tej dziedzinie jest znaczący i obejmuje sformułowanie wielu teorii: od takich, które analizują kwantowanie w przestrzeniach zakrzywionych, poprzez teorie pola posługujące się algebrą grassmanowską aż do teorii superstrun, nie będącej teorią pola. Wszystkie te teorie dają jakiś wgląd w możliwą naturę kwantowej grawitacji. Jednak brak jest spójnej teorii pozwalającej w dodatku na przewidywanie wyników doświadczeń, która unifikowałaby Ogólną Teorię Względności i mechanikę kwantową.
Wektor – w fizyce i technice pojęcie wektora związane jest z wielkością, której można przypisać dość ogólnie rozumianą "wartość" i "kierunek" w przestrzeni, niekoniecznie trójwymiarowej. W matematyce pojęcie to uległo daleko idącej generalizacji i związane jest z pojęciem przestrzeni wektorowej. Ten artykuł omawia rozmaite aspekty pojęcia wektora w przestrzeni trójwymiarowej.
Typowym przykładem wektora jest siła – ma ona zawsze pewną wartość, kierunek i zwrot w przestrzeni trójwymiarowej (liczba wymiarów nie ma tu większego znaczenia), a kilka różnych sił przyłożonych do tego samego obiektu daje w wyniku siłę wypadkową zgodnie z regułą równoległoboku.
Innym przykładem wektora jest prędkość poruszającego się punktu – by określić ją w pełni należy jak poprzednio podać jej wartość (zwaną czasem szybkością), kierunek oraz zwrot wektora. Określenie "ucieka z szybkością 180 km/h autostradą A1 w kierunku Gdańska" niesie ze sobą te właśnie informacje – mamy tu wartość (180 km/h), kierunek (autostrada A1) i zwrot (na Gdańsk). Brak którejkolwiek z nich powoduje, że opis ruchu nie jest pełny.
Bardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrótprostokątnego układu współrzędnych.
W języku geometrii różniczkowej wektor jest elementem przestrzeni stycznej do danej rozmaitości różniczkowej w jej danym punkcie.
Uogólnieniem pojęcia wektora jest tensor.
Definicje
Stwierdzenie, że wektor charakteryzuje się wartością, kierunkiem i zwrotem z matematycznego punktu widzenia oznacza, że jego składowe zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych w ten sam sposób jak współrzędne punktów przestrzeni.
Jeżeli A jest macierzą obrotu, a x oznacza współrzędne dowolnego punktu przestrzeni, to w obróconym układzie współrzędnych współrzędne te będą równe x′ = A · x – jeśli składowe danej wielkości w "starym" i "nowym" (obróconym) układzie współrzędnych związane są ze sobą analogiczną zależnością v′ = A · v, to jest ona wektorem.
Ogólniej, wektor jest tensorem kontrawariantnym rzędu jeden.
Przykładami wektorowych wielkości fizycznych są obok prędkości i siły: pęd, przemieszczenie, przyspieszenie, pole elektryczne.
Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne takie jak odległość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, czy masa są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość.
W fizyce oprócz wektorów występują również pseudowektory (lub wektory osiowe). Są to wielkości, których składowe podczas obrotów niewłaściwych układu współrzędnych zmieniają znak na przeciwny. Przykładem są tu pole magnetyczne, moment siły i moment pędu. Rozróżnienie na wektory i pseudowektory jest czasami zaniedbywane – nabiera ono znaczenia dopiero, gdy rozważa się własności symetrii równań opisujących zjawiska. Prostym sposobem odróżnienia wektora od pseudowektora jest przedstawienie wybranego zjawiska w zwierciadle. Wektory odbijają się tak jak obrazy a pseudowektory zmieniają zwrot.
Reprezentacja wektorów
W druku wektory oznacza się najczęściej czcionką pogrubioną: a, b, ... Inne sposoby oznaczania wektorów to umieszczanie strzałki nad literą lub (rzadziej) podkreślanie: a; używa się również znaku tyldy pod symbolem. Wartość wektora a (odpowiednik długości w matematyce) oznacza się symbolem ||a|| i często nazywa jego normą.
Wektory często reprezentuje się graficznie jako strzałki:
Tutaj punkt A nazywa się początkiem lub punktem zaczepienia wektora, natomiast punkt B jego końcem. Długość strzałki powinna być związana z wartością wektora, a jej kierunek z kierunkiem wektora.
Strzałkę reprezentującą wektor z rysunku powyżej można zapisać jako lub AB.
Mimo swej poglądowości, reprezentacja graficzna jest niewygodna jeśli chodzi o działania na wektorach. W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej każdy wektor można przedstawić jednoznacznie jako kombinację liniową wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych (tj. od wartości – długości – równej 1). Dla n=3 wektory te mają standardowe oznaczenia: wektor jednostkowy równoległy do osi OX oznaczamy symbolem i, równoległy do osi OY symbolem j, a równoległy do osi OZ symbolem k. Zatem, dowolny wektor a w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R3 można jednoznacznie zapisać jako:
:.
Liczby rzeczywiste al nazywamy współrzędnymi wektora i są one jednoznacznie wyznaczone przez sam wektor a, który wobec tego zapisuje się często w postaci kolumnowej:
:
lub wierszowej
:
Długość wektora
Długość (wartość) wektora a = a1i + a2j + a3k to liczba równa:
:
Wzór ten jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia Pitagorasa obowiązującego w geometrii euklidesowej.
Wektor zerowy
Dla pełności teorii wygodnie jest przyjąć istnienie tak zwanego wektora zerowego. Jest to wektor o nieokreślonym kierunku i zwrocie oraz długości równej 0. Dodanie (lub odjęcie) wektora zerowego do innego wektora nie zmienia tego wektora.
Równość wektorów
Dwa wektory uznajemy za równe, gdy mają tę samą wartość, kierunek i zwrot. W przypadku wektorów zaczepionych dodatkowym warunkiem jest równość punktów zaczepienia. Dla przykładu, wektory: i + 2j + 3k zaczepiony w punkcie (1,0,0) i i+2j+3k zaczepiony w punkcie (0,1,0) są równe, ale jeśli traktować je jako wektory zaczepione – nie.
Suma i różnica wektorów
Niech a=a1i + a2j + a3k i b=b1i + b2j + b3k będą dwoma wektorami. Ich sumę określamy jako:
:
Graficzną interpretacją dodawania wektorów jest tak zwana reguła równoległoboku:
grafika:Wektory sumr.png
lub reguła trójkąta:
grafika:Wektory sumt.png
Różnicę wektorów a i b określamy następująco:
:
Geometrycznie:
grafika:Wektory rozr.png
według reguły równoległoboku i
grafika:Wektory rozt.png
według reguły trójkąta.
Mnożenie przez skalar
Wektor można pomnożyć przez skalar – czyli w naszej sytuacji liczbę rzeczywistą. Jeżeli a jest wektorem, a r skalarem, to iloczynem ra wektora a przez skalar r nazywamy wektor:
:
Jego długość równa jest |r||a|, kierunek taki sam jak kierunek wektora a, a zwrot zgodny ze zwrotem a, gdy r>0 i przeciwny do zwrotu a, gdy r<0.
Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne – jest między innymi łączne i rozdzielne.
Wersor
Wersorem, albo wektorem jednostkowym, nazywamy dowolny wektor o długości równej 1. Z każdym wektorem niezerowym wektorem a, można stowarzyszyć pewien wersor, który jest zgodnie z nim skierowany. Mianowicie, łatwo sprawdzić, że wektor:
:
Ma długość jeden i jest skierowany zgodnie z wektorem a.
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny wektorów a i b (zwany czasem iloczynem wewnętrznym) jest liczbą, określoną jak następuje:
:
gdzie θ jest miarą kąta pomiędzy wektorami a i b. Jeśli
Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco:
Sens geometryczny iloczynu skalarnego jest następujący: jeśli narysować a i b jako zaczepione w jednym punkcie, to a·b jest iloczynem długości wektora a i rzutu równoległego wektora b na kierunek wektora a. Na przykład, w fizyce, praca wykonana nad ciałem przez siłę F jest iloczynem skalarnym wektora tej siły i wektora o jaki przesunęła ona ciało.
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy wektorów a i b (zwany też iloczynem zewnętrznym) jest wektorem określonym następująco:
:
gdzie θ jest miarą kąta między wektorami a i b, a n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b oraz skierowanym tak, by orientacja układu wektorów a, b i a×b była zgodna z orientacją wersorów osi układu współrzędnych.
W praktyce powszechnie wykorzystuje się układ współrzędnych zorientowany prawoskrętnie – oznacza to, że wersory i, j, k osi układu skierowane są zgodnie z kierunkami wyznaczonymi przez kciuk, palec wskazujący i palec środkowy (w tej właśnie kolejności) prawej dłoni. Chcąc zatem wyznaczyć kierunek iloczynu a×b należy ustawić kciuk zgodnie z kierunkiem wektora a i palec wskazujący zgodnie z kierunkiem wektora b, a wówczas palec środkowy wskaże kierunek wektora a×b. Zauważmy, że tak określony iloczyn wektorowy nie jest przemienny, to znaczy mnożąc b przez a otrzymamy inny wynik! Dokładniej,
:a×b = – b×a.
Wynika stąd, że a×b jest pseudowektorem.
Geometrycznie długość wektora a×b można interpretować jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b.
Podane tu określenie iloczynu wektorowego ma sens jedynie w geometrii trójwymiarowej, choć daje się uogólnić na więcej wymiarów.
Iloczyn mieszany wektorów
Iloczyn mieszany jest działaniem, które trójce wektorów a, b, c przypisuje liczbę oznaczaną (abc) i określoną następująco:
:
Główne zastosowania iloczynu mieszanego są trojakie. Przede wszystkim, wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wyraża objętość równoległościanu rozpiętego na danych wektorach. Dalej, iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne. I wreszcie, iloczyn mieszany jest liczbą dodatnią, wtedy i tylko wtedy, gdy trójka wektorów zorientowana jest zgodnie z trójką wersorów i, j, k osi układu współrzędnych.
Jeżeli wektory a, b, c dane są przez swoje współrzędne w postaci kolumnowej, to iloczyn mieszany tych wektorów równy jest wyznacznikowi macierzy kwadratowej utworzonej z wektorów.
Uogólnienia
W matematyce wektor oznacza element pewnej przestrzeni wektorowej. Tak rozumiane wektory są w pełni określone wyłącznie przez swoje własności formalne i mogą one być bardzo różnorodnymi obiektami: ciągami, macierzami lub przekształceniami przestrzeni. Najogólniejszym schematem dla tak rozumianego wektora jest funkcja funkcjami. W szczególności, tak rozumianymi wektorami są również tensory.
W matematyce funkcją ze zbioruX w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, jego elementy argumentami, zaś zbiór Y - przeciwdziedziną funkcji. Element y zbioru Y, który jest przypisany danemu x ze zbioru X nazywamy obrazem x, albo wartością funkcji dla argumentu x.
Definicja formalna
W teorii mnogości funkcja definiowana jest jako podzbiórfiloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, który spełnia następujące dwa warunki:
# dla dowolnego x ze zbioru X istnieje y ze zbioru Y taki, że x f y. .
# jeśli zachodzą warunki x f y oraz x f z, to y = z. .
#
Czyli: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny.
Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich , dla których istnieje taki argument , że f(x)= y.
W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator itd. są synonimami.
Na funkcje można nakładać dodatkowe warunki, takie jak różnowartościowość, surjektywność, wzajemną jednoznaczność czy ciągłość.
Funkcje można rozpatrywać jako osobne obiekty i wykonywać na nich działania, takie jak dodawanie, mnożenie, składanie.
Aerobik (ang. aerobics z gr. aér, aéros - powietrze + bíos - życie), to grupa ćwiczeń gimnastycznych, wykonywanych do muzyki. Aerobik powstał jako dyscyplina rekreacyjna, stając się z czasem również dyscypliną sportową, w któej odbywają się regularnie Mistrzostwa Świata.
Kategoria:Gimnastykaja:エアロビクス
SS Lazio
SS Lazio, fotbollsklubb i Rom
SS Lazio blev en mycket känd klubb i Sverige i samband med att Sven-Göran Eriksson var tränare för laget. Eriksson ledde laget till seger i Cupvinnarcupen och klubbens första ligatiteln på 26 år 2000. Klubben har länge spelat i Serie A och derbyna mot AS Roma tillhör de hetaste i Europa. Idag har klubben lägre ambitioner efter en ekonomisk kollaps i början av 2
Kisan Mazdoor Mandal
Kisan Mazdoor Mandal (Bonde- och Arbetarsamling), ett politiskt parti i Indien som existerade kring 1951. KMM vann 12 255 röster (5,42%) men inga mandat i dåvarande Bhopal i delstatsvalet 1951 (5,42%). Sitt bästa resultat fick KMM i Jahangirabad, där partiets kandidat Shakir Ali Khan fick 2 581 (43,41%).
I valet till den första
Klassisk
Klassisk (latinclassicus, av classis, klass) är beteckning för något som tillhör den grekiska eller romerska antiken eller är avsedd att sprida ljus över denna ("klassisk litteratur", "klassiska språk", "klassisk filologi", "klassiska studier") eller som söker sina förebilde
Pripps
Pripps, tidigare svenskt bryggeri som lever kvar som ett känt inhemskt svenskt varumärke. Pripps ingår numera i den danska bryggerikoncernen Carlsbergs bolag Carlsberg Sverige.
Pripps startades i Göteborg och växte under 1900-talet till att bli Sveriges största bryggeri, bland annat genom att köpa upp mindre bryggerier. Man har numera ingen tillverkning i staden man en gång började i.
<
