:: wikimiki.org ::

Matematiikka

Matematiikka

Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva looginen järjestelmä. Siinä käsitellään määriä, rakenteita, muutosta ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matemaatiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen kielenä, jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti. Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista maailmaa, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin. Vaikka usein matematiikan tutkimusongelmat tulevat luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta, tutkitaan matematiikassa myös puhtaasti matematiikan sisäisiä alueita, joille ei ole (vielä) löydetty sovellusalueita millään muulla tieteenalalla. Tällaiset matematiikan sisäisten tutkimusten tulokset voivat antaa hyödyllisiä työkaluja muiden matematiikan alueiden tutkimuksissa. Matematiikan tutkija - matemaatikko - näkee matematiikan usein enemmänkin taiteena kuin tieteenä. Matemaatikolle matematiikasta voi löytyä sellaista kauneutta, jota ei muualla ole.

Yleiskatsaus

fysiikasta Sana matematiikka tulee kreikan sanasta μάθημα (máthema), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista; μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa "halukas oppimaan". Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli hyödyllinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin astronomisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten eksakti ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä. Matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin. Rakenteen tutkiminen alkaa numeroista ja luvuista, joista tutuimpia ovat luonnolliset luvut ja kokonaisluvut sekä näihin liittyvät laskutoimitukset. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa abstraktiin algebraan, jossa tutkitaan algebrallisia rakenteita ja niihin liittyviä laskutoimituksia. Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta; ensin kehitettiin trigonometria ja euklidinen geometria. Myöhemmin näistä kehitettiin epäeuklidinen geometria. Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

Peruskäsitteitä

:aksiooma - apulause - funktio - joukko - kommutatiivisuus - kunta - lause - lemma - luku - numero - osajoukko - otaksuma - relaatio - rengas - ryhmä - teoreema - yhtälö

Alkioita eri avaruuksissa

:algebrallinen luku - alkuluku - imaginaariluku - irrationaaliluku - kokonaisluku - kompleksiluku - luonnollinen luku - matriisi - murtoluku - rationaaliluku - reaaliluku - transsendenttiluku - vektori

Tutkimusalueita

:algebra - analyysi - aritmetiikka - diskreetti matematiikka - fraktaaligeometria - funktioteoria - geometria - joukko-oppi - lineaarialgebra - logiikka - lukuteoria - numeeriset menetelmät - peliteoria - ryhmäteoria - tilastotiede - todennäköisyys - topologia - verkko- eli graafiteoria

Kuuluisia teorioita, lauseita ja otaksumia

- De Moivren kaava
- Eulerin lause
- Fermat'n suuri lause
- Goldbachin väittämä
- Poincarén väittämä
- Pythagoraan teoreema
- Riemannin hypoteesi

Katso myös

- Tiede ja matematiikka
- Luettelo matemaatikoista
- Luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista
- digitaalinen signaalinkäsittely
- mallintaminen

Kirjallisuutta

- Carl Boyer: Tieteiden kuningatar, matematiikan historia osat I ja II. Art House, 2000. ISBN 951-884-159-4

Linkkejä

- [http://www.makupalat.fi/matema.htm#matematiikka Makupalat-linkkikirjaston matematiikkalinkit]
- [http://matta.hut.fi/matta/index_fi.shtml TKK:n matematiikan tietokoneavusteisen opetuksen MatTa-projekti]
- [http://solmu.math.helsinki.fi/ Matematiikkalehti Solmu] Luokka:Matematiikka als:Mathématiques ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ tokipona:sona nanpa zh-cn:数学 zh-tw:數學

Aksiooma

Aksiooma on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen. Epistemologiassa aksiooma on itsestään selvä, perustavaa laatua oleva totuus, jonka varaan kaikki muu tieto rakentuu. Joidenkin epistemologien mielestä tällaisia aksioomia ei ole olemassa. Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko; näin ollen aksioomia ei todisteta. Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita. Aksioomien lisäksi tarvitaan päättelysääntöjä. Matematiikassa päättelysääntöinä käytetään enimmäkseen logiikan päättelysääntöjä. Myös logiikka on aksiomatisoitu. On myös eräitä yksinkertaisia logiikan järjestelmiä, jotka tulevat toimeen pelkillä päättelysäännöillä (Suppesin kehittämä logiikka). Esimerkiksi geometriassa on käytössä paralleeliaksiooma eli yhdensuuntaisuusaksiooma: annetun pisteen kautta voidaan piirtää täsmälleen yksi annetun suoran suuntainen suora. Konkreettisemmin: jos ojennan käteni suoraksi johonkin suuntaan, voidaan nenäpääni kautta kuvitella kulkemaan yksi ja tasan yksi suora, joka on tarkasti käteni suuntainen. Edellä oleva aksiooma tuntuu mielekkäältä ja "ainoalta oikealta", mutta myös muita yhdensuuntaisuuskäsitteitä on matematiikassa kehitetty. Onkin kehitetty esimerkiksi geometrioita, jotka eivät pohjaudu paralleeliaksioomaan. Tällainen epäeuklidinen geometria ei esimerkiksi sisällä lausetta "kolmion kulmien summa on 180 astetta". Esimerkki tällaisestä tilanteesta: Oletetaan että kolmio on piirretty kaksiulotteiselle tasolle jotka kaartuvat aiheuttaen sen että tasosta tulee pallo. Täten tason/pallon ulkopuolelle piirretty kolmio on kulmien summiltaan yli 180 astetta ja sisäpuolella alle 180 astetta. Toisaalta reaalilukuihin liittyy myös useita aksioomia. Näitä ovat esimerkiksi vaihdannaisuuslaki, liitännäisyyslaki, nolla-alkio, vasta-alkion olemassaolo sekä säilymislait. Yksinkertaisimmillaan aksioomat ja päättelysäännöt muodostavat kalkyylin. Esimerkki yksinkertaisesta kalkyylistä: :Aksiooma 1: ::I :Päättelysääntö 1: ::Merkkijonon molemmin puolin voi asettaa merkin U, esim. UIU. :Päättelysääntö 2: ::Merkkijonon perään saa asettaa merkin I, esimerkiksi UIUI. Kalkyylissä ristiriidattomuus tarkoittaa sitä, että kaikkia mahdollisia merkkijonoja ei voida johtaa. Yllä oleva kalkyyli on ristiriidaton, koska merkkijonoa UI ei voida johtaa aksioomasta I eikä muista merkkijonoista päättelysääntöjen avulla. Luokka:Matematiikka Luokka:Epistemologia ja:公理 ko:공리

Logiikka

Logiikka on filosofian osa-alue, joka tutkii päättelyn ja ajattelun muotoja, erityisesti deduktiivista päättelyä. Päättely on deduktiivista, jos se säilyttää totuuden siten, että oletusten ollessa tosia, johtopäätös ei voi olla epätosi. Usein sanalla 'logiikka' viitataan täsmälliseen symboliseen tekniikkaan tai menetelmään, jolla voidaan tutkia argumentin deduktiivista pätevyyttä tai deduktiivisesti pätevien argumenttien muotoja, joko yleisesti tai tarkoittaen tiettyä logiikan järjestelmää. Filosofinen logiikka on myös filosofian menetelmä. Se on logiikkaa, jota käytetään filosofisessa tutkimuksessa. Analyyttisessä filosofiassa todellisuus oletetaan perimmäiseltä olemukseltaan loogiseksi, ja näin logiikka liittyy läheisesti ontologiaan. Matemaattista logiikkaa on logiikka, jota käytetään matematiikan tutkimuksessa tai jossa käytetään matemaattista merkintätapaa. Yksinkertaisin matemaattisen logiikan alue on ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka.

Logiikan historia

Useta muinaiset kulttuurit ovat soveltaneet erilaisia systemaattisen ajattelun menetelmiä. Tieteellisenä ajattelun ja päättelyn muotojen tutkisena se kehittyi alkujaan vain kolmessa paikassa: Kiinassa 400-luvulla eaa., sekä Intiassa ja Kreikassa 100-luvulla eaa. Nykyaikaisen logiikan teoriat ovat kreikkalaiset logiikan perillisiä, vaikkakin on ehdotettu, että Boolean logiikan kehittäjät olivat tietoisia intialaisesta logiikasta. Kreikkalaisen logiikan historia ei ole kuitenkaan pelkästään eurooppalaista, vaan Euroopan keskiaikaiset loogikot saivat sen islamilaisen maailman aristoteelisesta logiikasta ja siihen tehdyistä kommentaarioista. Euroopan ulkopuolisen logiikan perinteet eivät ole säilyneet nykypäivään. Kiinassa Qin-dynastia tukahdutti logiikan tutkimisen, ja sen tilalle tuli Han Feizin legalistinen filosofia. Islamilaisessa maailmassa puolestaan ash'ari-koulukunnan nousu tukahdutti alkuperäisen logiikan tutkimuksen. Intiassa logiikan tutkiminen jatkui 1700-luvun alkupuolelle, mutta siirtomaa-ajalla se ei jatkunut pitkään.

Deduktiivinen ja induktiivinen päättely sekä enthymeme

Usein sanotaan, että deduktiivista päättelyä on päättely yleisestä yksityiseen ja induktiivista vastaavasti päättely yksityisestä yleiseen. Tämä ei kaikilta osin pidä paikkaansa. Esimerkiksi täydellinen luetteleva induktio etenee yksityisestä yleiseen mutta on deduktiivista päättelyä. Deduktiivinen päättely on päättelyä, joka säilyttää välttämättä totuuden, mutta ei objektiivisessa mielessä lisää informaatiota. Induktiivinen päättely taas ei välttämättä säilytä totuutta mutta lisää informaatiota. Esimerkki 1
Kaikki nuoret käyttävät huumeita.
Esko on nuori.
Siis: Esko käyttää huumeita. Esimerkissä 1 päättely on deduktiivista. Jos on olemassa tietty joukko (nuoret), jonka kaikki jäsenet toteuttavat tietyn ominaisuuden (käyttävät huumeita), niin on mahdotonta ajatella tilannetta, jossa jokin yksittäinen olio (Esko) kuuluisi tähän joukkoon, mutta ei toteuttaisi kyseistä ominaisuutta - jos kerran kaikki joukon jäsenet sen toteuttavat. Esimerkki 2
Esko käyttää huumeita.
Esko on nuori.
Siis: Kaikki nuoret käyttävät huumeita. Esimerkissä 2 päättely ei ole deduktiivista, vaan induktiivista. Induktiivisessa päättelyssä johtopäätöksen totuus ei ole oletusten totuuden välttämätön seuraus. Joskus päättely saattaa vaikuttaa pätevältä, vaikka se ei olekaan deduktiivista. Esimerkki 3
Esko on mies.
Siis: Esko ei ole nainen. Esimerkin 3 päättely ei ole deduktiivista. Se vaikuttaa kuitenkin pätevältä, koska olemme taipuvaisia implisiittisesti olettamaan eksplisiittisesti mainitun oletuksen (Esko on mies) lisäksi, että "jos jokin on mies, niin tämä jokin ei ole nainen". Termi 'jokin' viittaa tässä kaikkiin yksilöihin, jotka ylipäätään voivat tulla kyseeseen jonkin ominaisuuden toteuttajina. Esimerkin 3 päättely on ns. enthymeme eli epätäydellisesti ilmaistu syllogismi. Päättelystä saadaan deduktiivinen lisäämällä siihen mainitsematta jätetty lisäoletus seuraavasti: Esimerkki 4
Esko on mies.
Jos jokin on mies, niin tämä jokin ei ole nainen.
Siis: Esko ei ole nainen. Esimerkit 3 ja 4 ovat liiankin triviaaleja, mutta ne tuovat esiin yhden logiikan hienoista piirteistä: Looginen analyysi voi usein paljastaa jonkin todellisuutta koskevan piilevän oletuksen, kuten tässä sen, että miehet eivät ole naisia. Esimerkin 3 päättely voi joissakin yhteyksissä hyvinkin olla pätevää, esimerkiksi uimahallissa Eskon pohtiessa kumpaan pukuhuoneeseen hänen tulisi mennä. Mutta loogisesti pätevää, deduktiivista se ei ole. Usein sanotaan logiikan olevan oppi oikeasta päättelystä. Tällaisen määritelmän hyväksyminen kuitenkin köyhdyttäisi sanan 'oikea' merkityksen siten, että valtaosa empirististen tieteiden päättelystä ei olisi 'oikeaa'. Jos nyt hyväksymme lisäoletuksen "jos päättely ei ole oikeaa, niin se on väärää", päädymme siihen, että näiden tieteiden päättely on — väärää! Siis: reductio ad absurdum, logiikka ei ole oppi oikeasta päättelystä, vaan filosofian osa-alue, jonka tutkimuskohteena on deduktiivinen päättely.

Perinteinen näkemys logiikasta argumenttien pätevyyttä tutkivana tieteenä

Logiikassa argumentit ovat lausejonoja, joiden viimeinen lause on johtopäätös edellisistä lauseista, alkuehdoista eli premisseistä. Perinteinen näkökulma keskittyy argumenttiskeemoihin. Argumenttiskeemat ovat käsitteellisiä rakenteita, joiden pätevyys perustuu niiden loogiseen muotoon. Esimerkki 5
Jos

A\,\!

, niin

B\,\!

A\,\!

.
Siis:

B\,\!

. Esimerkissä 5 esitetty päättely on pätevä muotonsa perusteella. Johtopäätöksen

B\,\!

seuraaminen premisseistä ei perustu

A\,\!

:n ja

B\,\!

:n sisältöön, vaan muotojen "Jos

A\,\!

, niin

B\,\!

." ja "

A\,\!

." yhteyteen. Ensimmäisen premissin mukaan

A\,\!

B\,\!

:n riittävä edellytys, ja jälkimmäisen mukaan tämä riittävä edellytys

A\,\!

vallitsee. Esimerkin 5 argumenttiskeemaa voidaan soveltaa sijoittamalla lausemuuttujien

A\,\!

B\,\!

paikalle lauseita. Esimerkki 6 Olkoon

A=_\,\!

"Esko ui" ja

B=_\,\!

"Esko kastuu".
Jos Esko ui, niin Esko kastuu.
Esko ui.
Siis: Esko kastuu. Se, että premissien itsensä totuus saattaa perustua niiden sisältöön, ei kuulu logiikkaan, koska argumenttiskeemat eivät väitä mitään premissien totuudesta. Ne vain toteavat, mitä seuraa loogisesti, jos tietyt premissit ovat tosia. Tämä selvenee, kun esimerkki 5 esitetään seuraavassa muodossa: Esimerkki 7
Jos jos

A\,\!

, niin

B\,\!

A\,\!

, niin

B\,\!

. Esimerkistä 7 huomataan helposti, että loogisesti monimutkaisemmat luonnollisen kielen ilmaisut ovat melko hankalia hahmottaa. Ensimmäinen jos-sana viittaa premissien mahdolliseen totuuteen, jälkimmäinen jos-sana on osa ensimmäistä premissiä. Ilmaisua voidaan selventää sulkeilla: Esimerkki 8
Jos ((jos

A\,\!

, niin

B\,\!

) ja

A\,\!

), niin

B\,\!

. Olkoon

C=_\,\!

"(jos

A\,\!

, niin

B\,\!

)". Argumentin premissit ovat nyt

C\,\!

A\,\!

. Päädytään seuraavaan muotoon: Esimerkki 9
Jos (

C\,\!

A\,\!

), niin

B\,\!

. Esimerkin 5 argumentti on siis jono

\langleC,A,B\rangle\,\!

. Loogisen argumentin yleinen muoto on jono

\langleA_1,A_2,\ldots,A_,A_n\rangle\,\!

, jossa

A_1,A_2,\ldots,A_\,\!

ovat premissejä ja

A_n\,\!

johtopäätös.

Logiikoita

- Aristoteelinen logiikka
- Deonttinen logiikka
- Episteeminen logiikka
- Konstruktiivinen logiikka eli intuitionistinen logiikka
- Modaalilogiikka (aleettinen modaalilogiikka)
- Predikaattilogiikka
- Propositiologiikka
- Sumea logiikka
- Temporaalinen logiikka

Katso myös

- Salva veritate

Kirjallisuutta

Johdantokirjoja logiikkaan

- Miettinen, Seppo K.: Logiikan peruskurssi. Toinen, uudistettu painos. Helsinki: Gaudeamus, 1993.
- Miettinen, Seppo K.: Logiikka: Perusteet. Helsinki: Gaudeamus, 2003.
- Pönkänen, Matti: Logiikan perusteita. Jyväskylä: Gummerus, 1978.

Muuta

- Allwood, Jens, Lars-Gunnar Andersson & Östen Dahl: Logiikka ja kieli. Helsinki: Gaudeamus, 1980.
- Hayakawa, S. I.: Ajattelun ja toiminnan kieli. Helsinki: Otava, 1974.
- Jeffrey, Richard C.: Logiikka, sen ala ja rajat. Helsinki: Weilin+Göös, 1970.
- Kosko, Bart: Sumea logiikka. Kolmas painos. Helsinki: Art House, 2001.
- Nyberg, Tauno (toim.): Ajatus ja analyysi. Porvoo: WSOY, 1977.
- Rantala, Veikko & Ari Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan. Helsinki: Gaudeamus, 2004.
- Rantala, Veikko & Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi. Matemaattisten tieteiden laitoksen julkaisuja A208. Tampere: Tampereen yliopisto, 1989.
- Rantala, Veikko & Ari Virtanen: Logiikkaa: Teoriaa ja sovelluksia. Matemaattisten tieteiden laitoksen moniste B43. Tampere: Tampereen yliopisto, 1995.
- Salminen, Hannele: Johdatus logiikkaan. Helsinki: Gaudeamus, 1992.
- Väänänen, Jouko: Matemaattinen logiikka. Helsinki: Gaudeamus, 1987.

Kirjallisuutta englanniksi

- Cohen, Morris R. & Ernest Nagel: An Introduction to Logic and Scientific Method. Simon Publications, 2002.
- Copi, Irving M: Introduction to Logic. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 2002.
- Foster, Marguerite H. & Michael Martin (Editors): Probability, Confirmation, and Simplicity: Readings in the Philosophy of Inductive Logic. New York: Odyssey Press, 1966.
- Quine, W. V.: From a Logical Point of View: Nine Logico-Philosophical Essays. Second Revised Edition. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1980.
- Salmon, Merrilee H.: Introduction to Logic and Critical Thinking. Harcourt Brace Jovanovich, 1989.
- Skyrms, Brian: Choice & Chance: An Introduction to Inductive Logic. Belmont, California: Wadsworth Publishing, 1999.
- Soccio, Douglas J. & Vincent E. Barry: Practical Logic: An Antidote for Uncritical Thinking. International Thomson Publishing, 1992.
- Suppes, Patrick: Introduction to Logic. Mineola, New York: Dover Publications, 1999.

Logiikan filosofiaa

- Haack, Susan: Philosophy of logics'. Cambridge, 1978.
- Quine, W. V.: Philosophy of Logic. Second Edition. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1986. Luokka:Logiikka Luokka:Tieteenfilosofia fiu-vro:Loogiga ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

Fysiikka

Fysiikka on tiede, joka tutkii luonnonilmiöitä, erityisesti aineen ja säteilyn käyttäytymistä ja vuorovaikutuksia. Fysiikan ja muutamien toisten tieteiden, kuten tähtitieteen ja kemian välinen raja on usein häilyvä ja epämääräinen. Fysiikka on kokeellinen ja eksakti luonnontiede. Kokeellisuus eli empiirisyys tarkoittaa sitä, että luonnonilmiöitä koskevat havainnot ja mittaukset ovat kaiken fysikaalisen tiedon pohja. Fysikaalinen tieto on aina kokeellisesti perusteltua. Eksaktisuus merkitsee, että fysiikan tulokset pyritään ilmaisemaan matemaattisessa muodossa ilmiön havaittuja säännönmukaisuuksia esittävinä lakeina, joiden avulla voidaan tehdä ilmiötä koskevia kvantitatiivisia ennusteita. Fysiikassa luodaan erilaisia malleja, joilla pyritään kuvaamaan ilmiöitä eli luonnon käyttäytymistä. Mallien perusteella pyritään päättelemään ja formuloimaan luonnossa vallitsevia yleisiä periaatteita, lakeja. Lait formuloidaan matemaattisesti käyttämällä suureita, jotka kuvaavat suorasti tai epäsuorasti havaittavissa ja mitattavissa olevia ominaisuuksien kvantiteetteja. Lait kuvaavat näiden suureiden välisiä relaatioita, eli suureiden välisiä riippuvuuksia. Fysiikka tieteenä pyrkii mahdollisimman suureen rakenteellisuuteen. Rakenteellisuus merkitsee pyrkimystä irrallisista laeista kiinteän yhtenäisen kokonaiskuvan muodostamiseen, pyrkimystä hierarkkiseen tietorakenteeseen, jossa yksittäiset lait ovat jäsentyneet hallittavaksi, ymmärrettäväksi ja ristiriidattomaksi kokonaisuudeksi, teoriaksi. Äärimmäisenä pyrkimyksenä fysiikassa on kaiken teorian luominen, joka selittäisi kaikki luonnon vuorovaikutukset. Tällä hetkellä ei ole tietoa onko kaiken teoriaa ylipäätään mahdollista ikinä luoda.

Klassinen ja moderni fysiikka

Fysiikan perusteoriat voidaan karkeasti jakaa klassiseen ja moderniin fysiikkaan. Näiden termien määritelmät vaihtelevat. Rajatuimman näkemyksen mukaan modernia on vain kvanttifysiikka ja sille läheiset aiheet. Yleisesti kuitenkin myös suhteellisuusteoria lasketaan moderniksi fysiikaksi. Laajemman ns. historiallisen näkemyksen mukaan modernia fysiikkaa on kaikki 1900- ja 2000- luvulla tehty fysiikka. Pääsääntöisesti klassisessa fysiikassa keskitytään ihmisen mittaskaalan ilmiöihin, modernissa joko paljon pienempiin, paljon suurempiin tai vastaavasti paljon kylmempiin tai paljon kuumempiin eli energeettisempiin ilmiöihin. Monet tärkeät klassiset ilmiöt, esimerkiksi gravitaatio eli painovoima, tai yhteyttämisen fysikaaliset perusteet pystytään selittämään vain modernin fysiikan avulla. Klassisia aloja:
- Pitkälle Isaac Newtonin muotoilema kappaleita ja niiden liikkeitä kuvaava mekaniikka. Siinä kuvataan kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia, jotka perustuvat kappaleiden massaan, sekä näiden vuorovaikutusten aikaansaamia liikkeitä.
- Varautuneiden hiukkasten vuorovaikutuksia kuvaava sähkömagnetismi. Sähkömagnetismin teoria pohjaa James Clerk Maxwellin yhtälöille varautuneiden hiukkasten ja niiden aikaansaamien kenttien väliselle vuorovaikutukselle.
- Lämpöoppi, joka kuvaa erityisesti nesteiden ja kaasujen ominaisuuksia. Moderneja aloja:
- Suppea ja yleinen suhteellisuusteoria, jotka kuvaavat toistensa suhteen suurella nopeudella liikkuvien koordinaatistojen (havainnoitsijoiden) välisten havaintojen suhdetta, esimerkiksi samanaikaisuuden käsitettä. Yleinen suhteellisuusteoria myös selittää painovoiman avaruuden geometriseksi ominaisuudeksi.
- Kvanttimekaniikka, joka laajentaa klassisen fysiikan kuvausta hiukkasten ja kenttien välisestä vuorovaikutuksesta. Tärkeitä kvanttimekaniikan ominaisuuksia ovat hiukkasten aallon-omaiset interferenssi-ilmiöt, vastaavasti kenttien hiukkastyyppiset ominaisuudet kuten kvantittuminen, ja samantyyppisten hiukkasten tai aaltojen lomittuminen. Näitä ominaisuuksia tavataan yleensä erityisesti alkeishiukkasilta, mutta myös hiukkasten ryhmittymät voivat käyttäytyä kvanttimekaanisesti yhtenä kollektiivisena joukkona. Seuraavia aloja voidaan luokittelutavasta riippuen pitää klassisina tai moderneina:
- Tilastollinen eli statistinen fysiikka, joka kuvaa suuren hiukkasmäärän ominaisuuksia ja kytkee hiukkasten mikroskooppisen kuvauksen makroskooppisten systeemien termodynaamiseksi kuvaukseksi. Ala on syntynyt modernin fysiikan aikakaudella, mutta sen rakennetta voidaan pitää klassisena. Kronologisesti sitä voidaan pitää lämpöopin yleistyksenä.

Tutkimusalueita

Fysiikan tutkimuksen pääosa-alueet luokitellaan tyypillisisesti tutkittavien rakenteiden koon mukaan
- Hiukkasfysiikka kuvaa hiukkasten välisiä perusvuorovaikutuksia, tyypillisesti atomia pienempiä yksiköitä
- Atomi- ja molekyylifysiikka ja optiikka kuvaavat atomin kokoluokan ilmiöitä, atomien vuorovaikutusta säteilyn kanssa sekä sähkömagneettista säteilyä
- Tiiviin aineen fysiikka kuvaa jollain tavoin kondensoituneiden eli tiivistyneiden hiukkasryhmien käytöstä
- Tähtitiede kuvaa planeettojen ja tähtien välisiä ilmiöitä ja esim. tähtien lähettämää säteilyä Hiukkasfysiikan rinnalle voidaan liittää erityisesti atomien ytimissä tapahtuvia reaktioita tutkiva ydinfysiikka. Tiiviin aineen fysiikkaan enemmän tai vähemmän tiiviisti kytkettyjä aloja ovat mm.
- Aerosolifysiikka
- Biologinen fysiikka
- Elektroniikka
- Magnetismi
- Materiaalifysiikka
- Polymeerifysiikka Tähtitieteen alaluokkia ovat mm. kosmologia ja plasmafysiikka. Näiden lisäksi fysiikan tutkimusaloja ovat
- Akustiikka
- Avaruusfysiikka
- Laskennallinen fysiikka
- Ekonofysiikka
- Meteorologia Joissakin jaotteluissa myös fysikaalinen kemia, geologia ja geofysiikka luetaan kokonaan tai osittain fysiikkaan kuuluviksi.

Katso myös

Luettelo ratkaisemattomista fysiikan ongelmista Mallintaminen

Suomalaisia fysiikan linkkejä

Suuri osa alla olevista linkeistä on englanninkielisiä.
- [http://www.physics.helsinki.fi/sfs/index.shtml Suomen fyysikkoseura]
- [http://www.physics.helsinki.fi/fyl_www/index.htm Helsingin yliopiston fysiikan laitos]
- [http://physics.joensuu.fi/ Joensuun yliopiston fysiikan laitos]
- [http://www.phys.jyu.fi/ Jyväskylän yliopiston fysiikan laitos]
- [http://fysiikka.uku.fi/index_fi.shtml Kuopion yliopiston sovelletun fysiikan laitos]
- [http://www.ee.lut.fi/fi/lab/fysiikka/index.html Lappeenrannan teknillisen yliopiston fysiikan laitos]
- [http://physics.oulu.fi/ Oulun yliopiston fysiikan laitos]
- [http://www.ee.tut.fi/fys/index.shtml Tampereen teknillisen yliopiston fysiikan laitos]
- [http://www.hut.fi/Yksikot/TeknillinenFysiikka Teknillisen korkeakoulun teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto]
- [http://www.physics.utu.fi/ Turun yliopiston fysiikan laitos]
- [http://www.uwasa.fi/itt/teti/fysiikka/index.html Vaasan yliopiston fysiikan ja materiaalitekniikan laitos]
- [http://www.abo.fi/fak/mnf/fysik/ Åbo akademin fysiikan laitos]
- [http://boojum.hut.fi Kylmälaboratorio]

Kirjallisuutta

- Brian Greene: Kätketyt ulottuvuudet: supersäikeet, ajan halkeamat ja maailmanselityksen haaste; Otava (2000), ISBN: 9513116506
- Hugh D. Young, Roger A. Freedman: Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics, ISBN: 0321204697
- Hannu Karttunen: "Tiedettä kaikille: Fysiikka", ISBN 952-5329-32-1
- John R. Taylor: An Introduction to Error Analysis, ISBN: 093570275X
- Kaarle Kurki-Suonio, Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikutuksista kenttiin - sähkömagnetismin perusteet, ISBN: 9517451555
- Esko Valtaoja: "Kotona maailmankaikkeudessa"; Ursa , ISBN 952-5329-15-1
- [[Luokka:Fysiikka]] [[af:Fisika als:Physik ms:Fizik zh-min-nan:Bu̍t-lí-ha̍k ko:물리학 ja:物理学 simple:Physics th:ฟิสิกส์

Analyysi

Analyysi on matematiikan osa-alue, joka käsittelee reaalilukuja ja kompleksilukuja ja niiden funktioita. Sen tavoitteena oli alun perin kehittää jatkuvuuteen liittyville käsitteille eksaktit matemaattiset määritelmät. Siinä tutkitaan muun muassa jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

Historia

Analyysi sai alkunsa 1600-luvulla samaan aikaan Newtonin ja Leibnizin keksimänä toisistaan riippuvuutta. 1600-luvulla ja 1700-luvulla analyysin aiheet kuten variaatiolaskenta, differentiaaliyhtälöt, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, Fourier'n analyysi ja generoivat funktiot kehitettiin enimmäkseen käytännön sovelluksia varten. Analyysin tekniikoita käytettiin menestyksekkäästi approksimoitaessa diskreettejä ongelmia jatkuvilla vastineillaan. Koko 1700-luvun ajan funktion määritelmä oli väittelyn kohteena matemaatikkojen keskuudessa. 1800-luvulla Cauchy oli ensimmäinen, joka antoi analyysille tarkan loogisen pohjan määrittelemällä Cauchy-jonon. Hän myös aloitti formaalin funktioteorian tutkimisen. Poisson, Liouville, Fourier ja muut tutkivat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ja harmonista analyysiä. Vuosisadan puolivälissä Riemann esitteli hänen integroimisteoriansa. 1800-luvun viimeisellä kolmanneksella Weierstrass aritmetisoi analyysin. Hän luuli, että geometrinen perustelu oli luonnostaan harhaanjohtava ja esitteli ε-δ-määritelmän raja-arvolle. Sitten matemaatikot alkoivat huolestua siitä, että he olettivat reaalilukujen jatkumon olemassaolon ilman todistusta. Dedekind sittemmin konstruoi reaaliluvut Dedekindin leikkauksen avulla. Tuolloin yritykset parantaa Riemann-integroinnin teoreemoja johti reaalifunktioiden epäjatkuvien joukkojen "koon" tutkimiseen. Myös "hirviöitä" (ei-missään jatkuvia funktioita, jatkuvia, mutta ei-missään derivoituvia funktioita, avaruuden täyttäviä käyriä) alettiin kehittää. Sen vuoksi Jordan kehitti mittateoriansa, Cantor kehitti naiivin joukko-opin, ja Baire todisti Bairen kategoriateoreeman. 1900-luvun alussa analyysi formalisoitiin käyttämällä joukko-oppia. Lebesgue kehitti mittateoriansa ja Hilbert esitteli Hilbert-avaruuden, jonka avulla voitaisiin ratkaista integraaliyhtälöitä. Normitetun vektoriavaruuden ajatus oli jo olemassa, ja 1920-luvulla Banach loi funktionaalianalyysin. luokka:differentiaalilaskenta

Osajaot

Analyysi jakautuu nykyään seuraaviin osakohteisiin:
- Reaalianalyysi tutkii reaaliarvoisten funktioitten derivaattoja ja integraaleja. Tämä sisältää muun muassa raja-arvon, potenssisarjan ja mitan käsitteet.
- Funktionaalianalyysi tutkii funktioavaruuksia, tunnetuimpina esimerkkeinä Banach-avaruus ja Hilbert-avaruus.
- Harmoninen analyysi käsittelee Fourier-sarjoja ja niiden teorioita.
- Funktioteoria tutkii funktioita kompleksitasolta kompleksitasolle, jotka ovat kompleksisesti derivoituvia.
- Epästandardi analyysi tutkii hyperreaalilukuja ja niiden funktioita ja antaa täsmällisen määritelmän infinitesimaaleille ja äärettömän suurille luvuille. luokka:Matematiikka ja:解析学

Numerot

Numerot ovat merkistön merkkejä, joita voidaan käyttää joko lukujen tai numerosarjojen ilmaisemiseen. Jos numeroita käytetään yhdessä muiden merkkien, kuten kirjaimien, kanssa, on tuloksena merkkijono. Länsimaissa käytetään yleisesti arabialaisia numeroita kymmenkantaisessa lukujärjestelmässä. Tässä järjestelmässä on seuraavat numerot (pienimmästä suurimpaan): : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Myös muita numeroita on ollut käytössä, esimerkiksi roomalaisessa numerojärjestelmässä. Luokka:Matematiikka Luokka:Numerot ko:숫자 ja:数字

Luku

Luvut ovat abstrakteja käsitteitä, jotka mittaavat mm. suuruutta sekä järjestystä. Lukumäärää ilmaisevia lukuja sanotaan kardinaaliluvuiksi, järjestystä ilmaisevia lukuja puolestaan kutsutaan järjestysluvuiksi eli ordinaaliluvuiksi. Luvut koostuvat yleensä numeroista. Tapaa, jolla numeroista koostetaan lukuja, kutsutaan lukujärjestelmäksi. Matemaattisessa mielessä luvut ovat joidenkin matemaattisten avaruuksien alkioita ja niiden muodostaminen on riippuvainen järjestelmäkohtaisista sopimuksista. Käytössä on erilaisia lukuavaruuksia, kuten reaaliluvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut, kokonaisluvut sekä luonnolliset luvut. Länsimaissa käytetään yleisesti ns. arabialaisia numeroita järjestelmässä, jonka kantaluku on 10. Tässä järjestelmässä luvut muodostetaan numeroista 0-9 sekä desimaalierottimesta, joka on maasta riippuen yleensä pilkku tai piste. Lukuun peräkkäin kirjoitetuista numeroista oikeanpuoleisin on vähiten merkitsevä ja merkitys kasvaa vasemmalle mennessä kantaluvun verran. Eli esim. 123 tarkoittaa samaa kuin 3 + 2
- 10 + 1
- 100. Vastaavasti desimaalierottimen oikealla puolella olevat numerot ilmaisevat luvun osia. Desimaalierotinta ei aina merkitä näkyviin. On myös muita tapoja merkitä luvun osia. Näistä esimerkkinä murtoluvut. Kokonaisluvut ja luvun osat murtolukuina voidaan merkitä myös samaan lukuun peräkkäin ilman yhteenlaskuoperaattoria. Luokka:Matematiikka ko:수 (수학) ja:数 simple:Number th:จำนวน

Kokonaisluku

Kokonaislukujen joukko voidaan määritellä . Jos lähdetään luonnollisista luvuista, huomataan etteivät kaikki vähennyslaskut (esim. 2−5) ole mahdollisia luonnollisten lukujen joukon N puitteissa, vaikka yhteenlaskut aina ovat. Kokonaisluvut voidaan täsmällisesti määritellä luonnollisten lukujen erotuksiksi. Näin saaduista objekteista useat voidaan samaistaa; esim. 0−3 = 2−5. Samaistusehto on esitettävissä pelkän yhteenlaskun avulla: a−b = c−d siinä ja vain siinä tapauksessa että a+d = b+c (vrt. ristiin kertominen). Aina, kun a on vähintään b:n suuruinen, niin a−b on luonnollinen luku. Siitä päätellään luonnollisten lukujen olevan osa kokonaislukujen joukkoa Z. Yhteenlaskukin voidaan laajentaa kaikkien kokonaislukujen väliseksi asettamalla (a−b)+(c−d) = (a+c)−(b+d), joka määrittely on selvästi sopusoinnussa sen kanssa, minkä varmasti tiedämme pätevän silloin kun a−b ja c−d ovat luonnollisia lukuja. Määrittelyn tulos ei myöskään riipu siitä, että kyseiset kaksi erotusta samaistetaan joidenkin muiden kanssa. Kokonaislukujen kertolaskukin on määriteltävissä luonnollisten lukujen avulla. Tulos tästä kaikesta on, että kokonaisluvun käsite ja kokonaislukujen laskutoimitukset on voitu melko yksinkertaisin konstruktioin perustaa luonnollisiin lukuihin. Vastaavanlaisella menettelyllä päästäisiin kokonaisluvuista rationaalilukuihin käyttämällä osamääriä, vaikkeivät kokonaislukujen osamäärät aina olekaan kokonaislukuja. Kokonaislukuja on numeroituvasti ääretön määrä.

Erityisiä kokonaislukuja

- googol = 10¹⁰⁰ Luokka:Matematiikka ko:정수 ja:整数 th:จำนวนเต็ม

Lukuteoria

Lukuteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii lukuja, lukusarjoja sekä niiden välisiä riippuvuuksia ja ominaisuuksia. Lukuteoriaa on pitkään pidetty matemaatikkojen harrastamana teoreettisena huvitteluna, mutta nykyään sen tuottamia tietoja käytetään hyväksi muun muassa kryptografiassa. Analyyttinen lukuteoria on lukuteorian osa, joka hyödyntää matemaattista analyysiä. Luokka:Matematiikka Luokka:Lukuteoria ko:수론 ja:数論 th:ทฤษฎีจำนวน

Yhtälö

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtä suuriksi merkityt lausekkeet eivät suinkaan välttämättä ole täsmällisesti toistensa vastineita, vaan yhtälöstä pyritään selvittämään, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat. Tällöin puhutaan yhtälön ratkaisemisesta. Yhtälölle ei välttämättä ole olemassa ratkaisua, tai voi myös olla että yhtälö on voimassa kaikilla muuttujien arvoilla. Aina muuttujille ei ole saatavissa lukuarvoa, vaan niille saadaan jonkinlainen lauseke, jolloin vastaus riippuu muista yhtälön muuttujista. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella x (fysiikan sovelluksissa käytetään ratkaistavan suureen symbolia). Kun yhtälöitä on useita ja ne kaikki ovat voimassa yhtä aikaa, kutsutaan ryhmää yhtälöryhmäksi. Täsmälleen kahden yhtälön ryhmää sanotaan yhtälöpariksi.

Mitä yhtälölle saa tehdä

Yhtä suuriksi merkityille lausekkeille saa teoriassa tehdä lähes mitä tahansa yhteisiä laskuoperaatioita. Yhtälöstä saadaan oikeat ratkaisut tehdyistä operaatioista riippumatta. Näitä operaatioita voivat olla esim. yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku nollasta poikkeavalla luvulla. Myös potenssiin korotus on sallittua tietyin ehdoin. Yhtälön aste kertoo, kuinka monenteen potenssiin yhtälön muuttuja suurimmillaan korotetaan. Yleisimpiä ovat yhden muuttujan ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt. Näille on saatavissa analyyttinen ratkaisu eli lauseke tai tarkka lukuarvo aina kun se on olemassa. Esimerkki:

2x + 4 = 3x + 8

on yhden muuttujan ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkki:

3x^2 - x + 2 = -x^2 - 4 + 2

on yhden muuttujan toisen asteen yhtälö. Jos yhtälön aste on suurempi kuin kaksi, käytetään usein numeerisia menetelmiä ratkaisun saamiseksi, koska analyyttinen ratkaisu voi olla mahdoton tai liian työläs. Jos halutaan tietää ratkaisujen määrä, tarvitaan usein differentiaalilaskentaa. Kuitenkin n-asteisella yhtälöllä voi olla korkeintaan n ratkaisua. Kun ei käytetä algebrallisia menetelmiä, muunnetaan muotoa

f(x) = g(x)

oleva yhtälö usein muotoon

h(x) = f(x) - g(x) = 0

Mitä yhtälölle ei saa tehdä

Erityisesti luvulla nolla ei saa kertoa tai jakaa yhtälöä. Tämä aiheuttaa usein virheitä tilanteissa, joissa jaetaan tai kerrotaan lausekkeella, jonka arvo on nolla. Jos näin tehdään, voidaan päätyä virheellisiin tuloksiin, kuten seuraavasta klassisesta esimerkistä nähdään:

a = b                 | 
 - a
a
 - a = a
 - b             | -b
 - b
a
 - a - b
 - b = a
 - b - b
 - b
(a-b)(a+b) = (a-b)b   | /(a-b)
a+b = b
Koska a=b niin
b + b = b             | /b
1 + 1 = 1
2 = 1

Lopputuloksesta nähdään että jossain kohtaa tehtiin virhe. Virhe oli se, että jaettiin lausekkeella a - b. Koska alussa julistettiin että a = b, seuraa että a - b = 0, joten tapahtui nollalla jakaminen.

Katso myös

- Differentiaaliyhtälö
- Diofantoksen yhtälö
- Rekursioyhtälö Luokka:Matematiikka ko:방정식 ja:方程式 simple:Equation

Abstrakti algebra

Abstrakti algebra on matematiikan osa-alue joka tutkii algebrallisia rakenteita kuten ryhmiä, renkaita ja kuntia. Käsitettä abstakti algebra ei tule sekoittaa "alakoulun algebraan", joka tutkii sääntöjä joilla muokataan kaavoja ja algebrallisia lausekkeita, joissa luvut ovat reaali- tai kompleksilukuja.

Historiaa ja esimerkkejä

Historiallisesti algebralliset rakenteen ovat usein esiintyneet ensimmäistä kertaa muualla matematiikassa kun itse abstaktissa algebrassa. Kun uusi käsite on todettu hyödylliseksi eroittaa alkuperäisestä asiayhteydestä, se on voitu aksiomatisoida ja sitä on voitu tutkia abstraktin algebran keinoin. Tämän vuoksi abstaktilla algebralla on monia yhteyksiä muihin matematiikan osa-alueisiin. Esimerkkejä algebrallisista rakenteista joissa on annettu yksi laskutoimitus:
- magmat
- monoidit
- puoliryhmät
- ryhmät. Monipuolisempia algebrallisia rakenteita:
- renkaat ja kunnat
- moduulit ja vektoriavaruudet
- assosiatiiviset algebrat ja Lien algebrat
- lattiisit ja Boolen algebrat Kaikki yllä olevat esimerkit yhdessä kunkin algebrallisen rakenteen homomorfismien kanssa muodostavat kategorian, ja kategoriateoria antaa mahdollisuuden vertailla erilaisia algebrallisia struktuureja. luokka:abstrakti algebra ko:추상대수학 th:พีชคณิตนามธรรม

Avaruus (matematiikka)

Matematiikassa avaruus on joukko, jolla on määritelty jokin tietynlainen rakenne. Avaruuden oliot täyttävät yleensä tietyt yhteenlaskuun liittyvät ominaisuudet. Avaruus on tärkeä matematiikan termi. Avaruuksia määritelty erilaisia ja usein ne on nimetty ihmisten mukaan.
- Topologinen avaruus
- Metrinen avaruus
- Euklidinen avaruus
- Vektoriavaruus
- Normiavaruus
- Banachin avaruus
- Sisätuloavaruus
- Hilbertin avaruus
- Minkowskin avaruus
- Riemannin avaruus Luokka:Matematiikka

Trigonometria

Trigonometria on suorakulmaisia kolmioita ja sen kulmia käsittelevä matematiikan ala. Trigonometria on peräisin jo antiikin ajoilta. Noin 5000 vuotta sitten babylonialaiset tekivät taulukoita kolmioiden sivujen suhteista. Siihen kuuluvat olennaisesti trigonometriset funktiot, joista tärkeimmät ovat sini, kosini ja tangentti. Muita ovat sekantti, kosekantti ja kotangentti. Trigonometriassa suoraa kulmaa vastapäätä olevaa (kolmion pisintä) sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja suoran kulman viereisiä sivuja kateeteiksi. Trigonometristen funktioiden, sinilauseen ja kosinilauseen avulla voidaan vastata kaikkiin kolmion sivuja ja kulmia koskeviin kysymyksiin. Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa. tri | gono | metria kolme | kulma | mitata

Trigonometrisista funktioista

Suorakulmaisessa kolmiossa sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman suuruus, ei kolmion koko. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi.

SINI              sin α = α:n vastainen kateetti / hypotenuusa 

KOSINI            cos α = α:n viereinen kateetti / hypotenuusa

TANGENTTI         tan α = α:n vastainen kateetti / viereinen kateetti

KOTANGENTTI       cot α = α:n viereinen kateetti / vastainen kateetti

SEKANTTI          sec α = hypotenuusa / α:n viereinen kateetti 

KOSEKANTTI        csc α = hypotenuusa / α:n vastainen kateetti

Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä kutsutaan nimellä Pythagoraan lause, joka on erikoistapaus kosinilauseesta.

Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja

\sin^2 x + \cos^2 x = 1\qquad\tan x = \frac\qquad\cot x = \frac

D \sin x = \cos x\qquad D \cos x = -\sin x \qquad D \tan x = \frac \qquad D \cot x = -\frac

Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esim. sin(2x)) voidaan johtaa De Moivren kaavalla

Sarjakehitelmät

\sin x = x-\frac+\frac-\frac+\cdots = \sum_^\infty \frac

\cos x = 1-\frac+\frac-\frac+\cdots = \sum_^\infty \frac

Näillä kahdella sarjalla voidaan laskea myös kaikkien muiden trigonometristen funktioiden arvoja käyttäen hyväksi edellä mainittuja kaavoja.

Pallotrigonometria

Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee pallonpinnalle sijoitettuja kolmioita. Tällöin kolmion sivujen pituus vaikuttaa kolmion ominaisuuksiin (esimerkiksi kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta). Sivujen pituudet ilmaistaan pallotrigonometriassa kulmamittoina. Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.

Katso myös

- Kulma
- Kolmio
- Hyperbolinen funktio Luokka:Matematiikka Luokka:Trigonometria ko:삼각법 ja:三角法 th:ตรีโกณมิติ

Informaatioteoria

Claude Shannon (1916 - 2001) oli amerikkalainen matemaatikko, joka kehitti informaatioteorian. Shannonin työ on luonut pohjan mm. tietoliikenteen koodaukseen ja tiedon salaukseen. Shannon toimi MIT-yliopistossa ja Bell-laboratoriossa. Shannon julkaisi 1948 artikkelin A Mathematical Theory of Communication, jossa tutkitaan tiedon perusolemusta. Vuonna 1949 Shannon julkaisi artikkelin Communication Theory of Secrecy Systems, jossa hän sovelsi teoriaansa salaukseen. Shannonin teorian perustana on tiedon määritteleminen bittinä eli yhtenä kyllä/ei-päätöksenä. Tämän perusteella Shannon kehitti matematiikan haaran, jonka avulla tiedon määrää voidaan käsitellä tarkasti. Shannon määritteli mm. termit informaation entropia ja redundanssi. Shannon myös kehitti Nyqvistin näytteenottoteoriaa, jonka mukaan analoginen signaali voidaan palauttaa näytteistä, jotka otetaan kaksinkertaisella taajuudella kuin mikä itse signaali on. Tätä hyödynnetään esimerkiksi digitaalisessa puhelintekniikassa siten, että koska puhelinkojeen toistama suurin taajuus on noin 4000 Hz, digitaalinen keskus lähettää toiseen päähän 8000 näytettä puheesta sekunnissa. Fourier-muunnosten avulla Shannon todisti Nyqvistin teorian, jonka mukaan analoginen signaali saadaan palautettua teoriassa täydellisesti näistä 8000 näytteestä. Teoria tunnetaankin nykyisin Nyqvistin-Shannonin näytteenottoteoreemana. Ahvenanmaalainen [http://www.matheory.info/ Jan Kåhre] on esittänyt teoksessaan "The Mathematical Theory of Information" kahdeksan edellytystä Shannonin teorian soveltuvuudelle. Shannon, Claude ko:클로드 샤논 ja:クロード・シャノン

Aksiooma

Funktio

Matematiikassa funktiolla tarkoitetaan relaatiota, joka liittää annetun määrittelyjoukon jokaisen alkion yksikäsitteiseksi maalijoukon alkioksi. Funktiota merkitään usein

f : A \to B

, missä

A

B

ovat epätyhjiä joukkoja. Funktion käsite on tärkeä lähes jokaisella tieteenalalla.

Esimerkkejä

Esimerkki 1:

f: \mathbb \to \mathbb, f(x) = x

on funktio reaalilukujoukolta reaalilukujoukolle.

f: \mathbb \to \mathbb, f(x) = x^2

on funktio.

f: \mathbb \times \mathbb \to \mathbb, f(x, y) = x^2 + y^2

on funktio. Esimerkki 2: Olkoon joukko

A = \

ja joukko

B = \

. Nyt

A \times B = \

. Funktiot joukossa

A \times B

ovat:
-

F_1 = \

eli

F_1 : A \rightarrow B, F_1(x) = 1

F_2 = \

eli

F_2 : A \to B, F_2(x) = x

F_3 = \

eli

F_3 : A \to B, F_3(x) = 2x - 1

F_4 = \

eli

F_4 : A \to B, F_4(x) = 3 - x

F_5 = \

eli

F_5 : A \to B, F_5(x) = 2

F_6 = \

eli

F_6 : A \to B, F_6(x) = x + 1

F_9 = \

eli

F_7 : A \to B, F_7(x) = 3

Formaali määritelmä

Formaalisti funktio voidaan määritellä järjestettynä kolmikkona

(A,B,P)

, jossa

A

B

ovat määrittely- ja maalijoukot ja

P

sisältää järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on

A

:n alkio ja toinen kyseisen funktion tähän alkioon liitämä kuva, eli

B

:n alkio. Pareilta vaaditaan, että kukin

A

:n alkio esiintyy tarkalleen kerran

P

:n parin ensimmäisenä alkiona, ja tämä vaatimus erottaa funktiot yleisemmistä kaksipaikkaisitsa relaatioista.

Funktion ominaisuuksia

Katso myös

- Käänteisfunktio
- Jatkuva funktio
- Derivaatta
- Integraalilaskenta
- Matemaattinen optimointi Luokka:Matematiikka ja:関数 (数学) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Joukko

Joukko-opin perustaja Georg Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Näitä objekteja kutsutaan joukon alkioiksi, ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Oleellista on tietää mistä tahansa objektista kuuluuko se tiettyyn joukkoon vai ei. Joukon käsite on nykyisin tärkeä kaikilla matematiikan alueilla. Matemaattisesti tärkeimpiä ovat niin sanotut lukujoukot, joiden alkiot ovat lukuja. Joukot voidaan esittää luettelomuodossa tai tietyn säännön avulla. Lisäksi joukko voi olla päättyvä tai päättymätön, eli äärellinen tai ääretön. Joukoissa ei alkioiden järjestyksellä ole merkitystä, toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen kanssa. Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi. Esimerkiksi sigma-algebra on joukkoperhe.

Esimerkkejä

# Lukujen 1 ja 10 välillä olevien alkulukujen joukko on . # Luonnollisten lukujen joukko, tai määritelmästä riippuen, on ääretön lukujoukko. # Parillisten luonnollisten lukujen joukko on tai . # Päävärien muodostama joukko on .

Avoin joukko

Joukon A osajoukko B on avoin joukko, jos jokaisella B:n pisteellä on ympäristö, joka sisältyy A:han.

Lisämääritelmiä

- Pääjoukko
- Osajoukko
- Samuus
- Mahtavuus
- Tyhjä joukko Operaatioita:
- Unioni eli yhdiste
- Leikkaus_(matematiikka)
- Joukkoerotus
- Karteesinen tulo
- DeMorganin lait
- Potenssijoukko Joukkoihin liittyviä symboleita

Symboli	Miten luetaan?	Määritelmä
$\in$ $\not\in$	$a \in A$ "alkio a kuuluu joukkoon A" $a \not\in A$ "alkio a ei kuulu joukkoon A"
$\subset$ $\subseteq$	$B \subset A$ "joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään $B \subseteq A$ . $B \subset A$ "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta B ≠ A)".	$B \subset A$ , kun kaikilla $b \in B$ pätee $b \in A$ , ts. $\forall b \in B: b \in B \Rightarrow b \in A$
=	A = B "Joukot A ja B ovat samat"	A = B jos ja vain jos $A \subset B$ ja $B \subset A$ .
$\cup$	$A \cup B$ "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste"	$A \cup B$ = $\$ = (Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)
$\cap$	$A \cap B$ "A leikkaus B"	$A \cap B$ = $\$ =
\	A \ B "A miinus B"	A \ B = $\$ =
A^c	A^c "A:n komplementti"	A^c = $\$ =
$\mathcal(A)$	$\mathcal(A)$ "A:n potenssijoukko"	$\mathcal(A)$ =

Luokka:Joukko-oppi ja:集合

Kommutatiivisuus

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation suoritusjärjestyksellä ei ole väliä. Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon X joukko ja a ja b sen alkioita, ts. a ∈ X, b ∈ X. Operaatio
- : X × X → X on kommutatiivinen, jos kaikilla a ja b, a
- b = b
- a.

Esimerkkejä kommutatiivisuudesta

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita. Nimittäin a + b = b + a ja c
- d = d
- c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d. Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot x = (x₁,...,x_n) ja y = (y₁,...,y_n) reaalisia tai kompleksisia vektoreita.
Pistetulo · määritellään seuraavasti: x · y = x₁y₁ + ... + x_ny_n. Vektorien pistetulo on kommutatiivinen, koska kertolasku on kommutatiivinen: x · y = x₁y₁ + ... + x_ny_n = y₁x₁ + ... + y_nx_n = y · x.

Vastaesimerkkejä

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita. Nimittäin esimerkiksi 4 - 3 ≠ 3 - 4 ja 8 / 2 ≠ 2 / 8. Luokka:Algebra

Lause (matematiikka)

Kielitiede

Kielitieteessä lause on kielen yksikkö. Lause sisältää vähintään predikaatin ja usein subjektin.

Päälause

Virkkeen sisällä uusi päälause alkaa rinnastuskonjunktiolla. Rinnastuskonjunktioita ovat mm. ja, sekä, sekä-että, eli, tai, joko-tai, vai, mutta, vaan, sillä, siis, siksi, näet ja nimittäin. Kaksi päälausetta erotetaan toisistaan pilkulla, mikäli niillä ei ole yhteistä lauseenjäsentä.

Sivulause

Sivulause tarkentaa päälausetta ja alkaa alistuskonjunktiolla, relatiivipronominilla tai kysymyssanalla. Alistuskonjunktioita ovat mm. että, jotta, koska, kun, jos, vaikka ja kuin. Relatiivipronomineja ovat joka ja mikä sekä niiden taipuneet muodot. Kysymyssanoja ovat kuka, mikä, ken, kumpi, kumpainen, näiden taipuneet muodot sekä verbi, jonka loppuun on lisätty kysyvä liite -ko tai -kö (oletko, söikö). Sivulause erotetaan päälauseesta pilkulla. Katso myös: virke, lauseenjäsenet

Matematiikka

Matematiikassa ja logiikassa lauseella tarkoitetaan kahta asiaa. Propositio on väittämä, joka saa totuusarvoksi joko "tosi" tai "epätosi". Esim. "2 + 2 = 4" on tällainen lause, mutta "10 / 5" ei ole. Sen sijaan teoreema on määritelmänsä mukaan tosi.

Ohjelmointi

Ohjelmoinnissa lause on osa ohjelmakoodia, joka suorittaa jonkin tehtävän. Pelkäksi totuusarvoksi evaluoitava koodin osa on lauseke. Esimerkki ehdollisesta lauseesta C:n kaltaisella kielellä: :if ( lauseke ) ::lause :else ::lause Lauseet voidaan koota useimmissa ohjelmointikielissä kootuiksi lauseiksi, eli lohkoiksi: : Lause voi olla myös tyhjä lause, joka ei tee mitään. Luokka:Kielitiede

Lemma

Lemma eli apulause kuuluu osana loogiseen päättelyyn. Sitä käytetään matemaattisen todistuksen välivaihelauseena ja askeleena kohti varsinaisen väittämän todistusta. Tätä käytetään yleensä silloin, kun varsinaisen väittämän todistamisessa on selvä osa, jonka todistaminen on itsessäänkin merkittävä. Tällaista välivaiheena todistettua lausetta, lemmaa, voidaan mahdollisesti (tai oletetaan voitavan) käyttää myös muiden väitteiden todistamisessa. Lemma on morfologiassa sanamuotoja yhdistävä perusmuoto.

Katso myös

- Pumppauslemma (Pumping lemma). Luokka:Matematiikka

Numerot

Otaksuma

Konjektuuri on matemaattinen väite, jonka oletetaan olevan tosi mutta jota kukaan ei ole vielä todistanut todeksi tai epätodeksi. Kun konjektuuri on osoitettu todeksi, siitä tulee teoreema.

Kuuluisia konjektuureja

Kuuluisin konjektuuri oli Fermat'n suuri lause, joka osoitettiin todeksi 1995 ja siitä tuli teoreema. Muita kuuluisia konjektuureja:
- Goldbachin konjektuuri
- Poincarén konjektuuri
- Riemannin hypoteesi

Konjektuurin kumoaminen

Matemaattisen konjektuurin voi kumota esittämällä vastaesimerkin. Vaikka monet konjektuurit on laskettu tietokoneella valtavien lukujen päähän, se ei silti ole tae siitä, että konjektuuri olisi tosi.

Konditionaaliset todistukset

Ennen pitävää todistusta konjektuureista ei voi johtaa muiden lauseiden todistuksia, sillä jos konjektuuri todistetaan epätodeksi, se romuttaa myös muut sitä käyttäneet todistukset. Jotkut todisteet kuitenkin käyttävät esim. Riemannin hypoteesia, vaikka sitä ei ole näytetty toteen. Silloin kyseessä on konditionaalinen todistus, joka on tosi sillä ehdolla, että hypoteesi x on tosi.

Ratkeamattomat konjektuurit

Konjektuurit voidaan todistaa toden ja epätoden lisäksi ratkeamattomaksi. Esimerkiksi Georg Cantorin kontinuumihypoteesi on todistettu ratkeamattomaksi - se on aksiomaattisen järjestelmän ulkopuolella, ja se voidaan hyväksyä joko todeksi tai epätodeksi ja uudeksi aksioomaksi. Joistain konjektuureista tiedetään, että ne eivät voi olla ratkeamattomia. Esimerkiksi Goldbachin konjektuuri (kaikki parilliset kokonaisluvut ovat kahden alkuluvun summa) on tällainen. Jos Goldbachin konjektuuri olisi ratkeamaton, se olisi myös tosi, sillä jos sitä ei voi todistaa epätodeksi, ei ole olemassa paritonta kokonaislukua, joka ei ole kahden alkuluvun summa, mikä taas on konjektuurin väite. Luokka:Matematiikka Luokka:Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat

Rengas

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite, joka sijoittuu rakenteellisesti ryhmän ja kunnan väliin. Ryhmä

R

on rengas binääristen operaatioiden

+

\cdot

suhteen (merkitään

(R,+,\cdot)

) kun se toteuttaa seuraavat ehdot: #

\forall a, b \in R : a + b \in R

, #

\forall a, b \in R : a \cdot b \in R

, #

\forall a, b, c \in R : (a + b) + c = a + (b + c)

, #

\forall a, b, c \in R : (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b  \cdot c)

, #

\exists 0 \in R : \forall a \in R : a + 0 = a = 0 + a = a

, #

\exists 1 \in R : \forall a \in R : 1 \cdot a = a = a \cdot 1

, #

\forall a \in R : \exists (-a) \in R : a + (-a) = 0 = (-a) + a

, #

\forall a, b \in R : a + b = b + a

, #

\forall a, b \in R : a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)

. Toisin sanoen #

R

on Abelin ryhmä operaation

+

suhteen. #

R

on monoidi operaation

\cdot

suhteen. #

\forall a, b \in R : a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)

. Jos

\cdot

on kommutatiivinen,

R

on kommutatiivinen rengas. Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta. Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt

+

\cdot

1

0

eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä. Esimerkkejä: # Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole. # Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. #Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu. #Neliömatriisit, joiden determinantti on 1, muodostavat ei-kommutatiivisen renkaan matriisien yhteen- ja -kertolaskun suhteen. Yhteenlaskun nolla-alkiona on tällöin nollamatriisi ja kertolaskun yksikköalkiona identiteettimatriisi. Luokka:Algebra

Wikipedia:Articles for deletion/Ang Mo Kio Avenues 1, 2, 5 and 10

:The following discussion is an archived debate of the proposed deletion of the article below. Please do not modify it. Subsequent comments should be made on the appropriate discussion page (such as the article's talk page or on a Votes for Undeletion nomination). No further edits should be made to this page. The result of the debate was DELETE. Ang Mo Kio Avenue 1, Ang Mo Kio Avenue 2, and Ang Mo Kio Avenue 5 were deleted by User:JIP before this closure; I deleted Ang Mo Kio Avenue 10. Rob e rt 22:35, 9 October 2005 (UTC)

Ang Mo Kio Avenues 1, 2, 5 and 10

This is a collective AfD for Ang Mo Kio Avenue 1, Ang Mo Kio Avenue 2, Ang Mo Kio Avenue 5 and Ang Mo Kio Avenue 10. Ang Mo Kio Avenue 6 was nominated for deletion a few days ago; its AfD page is here. All four roads are passing through the housing estate of Ang Mo Kio New Town, which has already a section on transportation where these roads are mentioned and put into context. As they have no cultural or historic significance and there is no point in having separate entries on every single one of them the lot ought to be deleted. Pilatus 12:37, 29 September 2005 (UTC)
- Delete as with all minor and insignificant roads. Dottore So 16:08, 29 September 2005 (UTC)
- Delete per nominator CDC (talk) 20:23, 29 September 2005 (UTC)
- Keep. I don't see what's encylopedic about documenting every road. They are not particularly minor roads, either, many of them containing many muncipal buildings and tens of thousands of population on each - we can probably substantiate all of them soon. How about this: if they are not substantiated in say, a month, we can probably delete this? -- Natalinasmpf 22:42, 29 September 2005 (UTC)
- These entries have been around since February this year and have been touched by three or four people (and that includes myself nominating them here). Pilatus 23:01, 29 September 2005 (UTC)
- Delete all - if there are any reasons for any of these strips of tarmac to be notable, they should be - and are - covered in Ang Mo Kio New Town. Proto t c 10:20, 30 September 2005 (UTC)
- Delete.
- drew 15:55, 1 October 2005 (UTC)
- Delete - These are not significant enough streets to merit their own pages. Singopo 06:31, 2 October 2005 (UTC) :The above discussion is preserved as an archive of the debate. Please do not modify it. Subsequent comments should be made on the appropriate discussion page (such as the article's talk page or in an undeletion request). No further edits should be made to this page.

Dorota Rabczewska cheap london hotels Rolety Pozycjonowanie Skr�ty angielskie

:: RELATED NEWS ::

日本國家足球隊
日本國家足球隊是日本的足球代表隊，亞洲最具實力的國家足球隊之一，由日本足協負責管轄。雖然多年來摔角及棒球在國內大眾化之下，足球在90年代初開始受大眾歡迎。現時已經成為亞洲一支實力非凡的國家�