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Parameterintegral

Parameterintegral

Einige Integrale in der Analysis lassen sich elementar nicht ausdrücken. Ferner gibt es so genannte Parameterintegrale, wie beispielsweise die Gammafunktion.

Bezeichnung des Parameterintegrals

Sei

E \subseteq \mathbb^n

messbar und

E \neq \varnothing

. Ferner sei

\varnothing \neq D \subseteq \mathbb^n

und

f : D \times E \to \mathbb

. Für

f(x, t) \!

ist

x \in D

und

t \in E

f \!

ist bezüglich

t \!

integrierbar über

E \!

. Dann heißt

F : D \to \mathbb

F(x) = \int_E f(x,t)\mathrmt \!

Parameterintegral (auch Parameter-Integral) mit dem Paramter

x

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion :

\Gamma(x)=\int_0^\infty t^ e^ \mathrmt.

Differenzieren des Parameterintegrals

Sind für das Paramterintegral feste Grenzen vorgegeben, kann man es nach folgender Regel ableiten: (Die Stetigkeit der Funktion

f

und

f_t

vorausgesetzt) :

\frac \int_a^b f(x,t)\mathrmx = \int_a^b f_t(x,t)\mathrmx

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von

t

in den Grenzen ableitet. Nach der Regel von Leibniz (Leibnizregel, auch Leibniz-Regel) geschieht das nach folgendem Verfahren:

Satz

Für stetig differenzierbare Funktionen

\chi

\varphi

und

f

gilt :

\frac\int\limits_^ f(x,t)\mathrmx = \int\limits_^ f_t(x,t) \mathrmx + f(\varphi(t),t)\varphi'(t) - f(\chi(t),t) \chi'(t).

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz :

\frac\int\limits_^ f(x,t)\mathrmx = \int\limits_^ \fracf(x,t) \mathrmx + f(\varphi(t),t) \frac\varphi(t) - f(\chi(t),t) \frac\chi(t).

Kategorie:Analysis

Gammafunktion

Die Gammafunktion ist in der Mathematik eine meromorphe Funktion, die definiert wird als :

\Gamma(x)=\int_0^\infty t^ e^ \mathrmt

für x > 0. Sie erweitert die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen. Für ganzzahlige positive Werte gilt :

\Gamma(n)=(n-1)!

, was sich aus der Funktionalgleichung :

\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x)

induktiv ergibt.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß: :

\Gamma(x) = \lim_ \frac \;\hbox\; x \in \mathbb\backslash \.

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß: :

\Gamma(x) = \left[ x \cdot \mathrm^ \cdot \prod_^ \left(1+\frac\right)\mathrm^ \right]^,

wobei die Eulersche Konstante γ definiert ist als :

\gamma = \lim_ \left( \sum_^n \frac - \ln n \right).

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert die Stirlingsche Formel :

\Gamma(x) = \sqrtx^\mathrm^ \; \hbox \; 0 < \mu(x) < \frac.

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (H. Bohr und J. Mollerup, 1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion: : Eine Funktion

G\colon\mathbb R_\to\mathbb R_

ist in diesem Bereich gleich der Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: :#

G(1)=1

G(x+1)=x\cdot G(x)

G

ist logarithmisch konvex, d.h.

x\mapsto\log G(x)

ist eine konvexe Funktion.

Funktionalgleichungen

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion :

\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel :

\Gamma\left(\frac\right)\Gamma\left(\frac\right) = \frac\Gamma(x).

Verallgemeinerung: Unvollständige Gammafunktion

Wenn die obere Integrationsgrenze des Integrals ein fester, endlicher Wert ist, spricht man von der unvollständigen Gammafunktion: :

\gamma(x,y)=\int_0^y t^ e^\,\mathrmt

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor: :

\Gamma(x) = \int_0^1 \left[\ln\left(\frac\right)\right]^ \mathrmt

(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die obige Form über) Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.

Literatur

- Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. Leipzig, Teubner 1931.
(nur noch in Bibliotheken erhältlich)
- K. Königsberger: Analysis I. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.

Weblinks

- [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Die Gammafunktion bei Wolfram MathWorld] Kategorie:Analytische Funktion ja:ガンマ関数 ko:감마 함수

Gargoyle

]] ]] Wasserspeier sind Rohre oder Rinnen zur Wasserableitung an Dächern, häufig in Verbindung mit aus Stein gemeißeltem Bauschmuck, der motivisch meist Tierformen darstellt. Sie dienen dazu, das in den Dachrinnen gesammelte Regenwasser vom Gebäude weg zu Boden fallen zu lassen, damit es nicht in Mauerwerk und Fundament eindringt. In der Antike waren sie vor allem in Form von Löwenköpfen, denen das Wasser aus dem Maul spritzt, auf der als Sima bezeichneten Traufrinne angeordnet. Bereits in der Romanik und später in der Gotik und Renaissance verwendete man, besonders bei größeren Kirchengebäuden, häufig dämonische Gestalten oder Tiere in einer symbolischen Bedeutung. Sie befinden sich an der Außenfassade der Kirchen, niemals innen. Damit symbolisieren sie den Einfluss des Teufels auf die irdische Welt, der in Kontrast zur Reinheit des Himmelsreiches (symbolisiert durch das Innere der Kirche) steht. Gargoyles haben des Weiteren den Ruf, Beschützer zu sein. Ihr dämonisches Aussehen soll den Geistern und Dämonen einen Spiegel vorhalten und sie vergraulen und somit Kirchen und Klöster vor bösen Mächten schützen - ein weiterer Grund, weshalb Gargoyles nur außen zu finden sind. Neben den steinernen gab es später auch Wasserspeier aus Metall. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts verloren sie aber meist ihre Funktion, da man dazu überging, das Regenwasser in Dachrohren nach unten zu führen. In schmuckloser, einfacher Form als Röhre oder Rinne wird der Wasserspeier auch Ablaufrinne, Abtraufe oder Ansetztraufe genannt. Bei modernen Flachdachgebäuden ist er generell als Notüberlauf zu finden, um eine Überlastung des Daches bei verstopften Regenabläufen zu verhindern.

Wasserspeier außerhalb des Bauwesens

Die französische Bezeichnung für Wasserspeier ist Gargouille, verwandt mit dem deutschen gurgeln. Über das Englische hat der Begriff als Gargoyle durch die Verwendung in der Fantasy-Literatur und Computerspielen auch in den deutschen Sprachgebrauch Einzug gefunden. Dort beschreibt er in der Regel magische Wesen, die tagsüber Steinstatuen sind, bei Sonnenuntergang zum Leben erwachen und bei Sonnenaufgang wieder zu Stein werden. Die Herkunft von Gargoyles wird in mythologischen Legenden auf sehr spirituelle Weise dargestellt. Als Fantasy-Kreaturen tauchen Wasserspeier bzw. Gargoyles auch in den Scheibenwelt-Romanen von Terry Pratchett, in der Zeichentrickserie Gargoyles von Disney, in einigen Horrorfilmen, sowie in weiteren Fantasyserien und Romanen auf. In den meisten Fällen werden die Gargoyles aufgrund ihres Aussehens gern als "Feindbild" genutzt, ganz entgegen ihrem eigentlichen Zweck, dem Beschützen und Verteidigen der Schwächeren.

Erscheinungsform

Gargoyles werden oft mit animalischem Körper und Gesicht dargestellt, seltener mit humanoidem Körper und dämonischen Gesichtszügen. Häufig haben Gargoyles Schwingen, mit denen sie aber laut Mythologie nicht fliegen, sondern nur gleiten können. Gargoyles besitzen mächtige, dreifingrige Klauen und sind, wie Drachen, 6-gliedrige Lebewesen. Als siebtes Glied könnte man den Schweif dazuzählen, der die selbe „Funktion“ hat wie bei den Dinosauriern.

Literatur

- Bergander, Birgit: Wasserspeier am Ulmer Münster / Texte: Birgit Bergander. Fotos: Marcellus Kaiser. Laupheim : C & S, 2004. 168 S., zahlr. Ill. ISBN 3-937876-09-X
- Schymiczek, Regina E.G.: Die Siegburger Wasserspeier und der Kölner Dom. Eine Analyse im Spiegel neuer Forschungsergebnisse, in: Heimatblätter des Rhein-Sieg-Kreises, 73. Jahrgang; Siegburg 2005, zahlr. Ill. ISBN 3-938535-02-4
- Schymiczek, Regina E.G.: Über deine Mauern, Jerusalem, habe ich Wächter bestellt... Zur Entwicklung der Wasserspeierformen am Kölner Dom (= Europ. Hochschulschriften: Reihe 28, Kunstgeschichte, 402). Frankfurt/M., Berlin, Bern, Bruxelles, New York, Oxford, Wien: Europ. Verlag der Wissenschaften 2004, zugl. Diss. Bochum 2003, 246 S., zahlr. Ill., 1 Faltblatt. ISBN 3-631-52060-3
- Schymiczek, Regina E.G., Heribert Schulmeyer: Willibrord der Wasserspeier. Köln: Verlag Kölner Dom 2002. 44 Seiten, zahlr. farbige Illust.,fester Einband. ISBN 3-922442-3

Siehe auch

- Architektur
- Kirchenbau
- Liste von Fabelwesen
- Mittelalter

Weblinks

- http://www.gargoyle.de (deutsch) - mit vielen Bildern
- http://www.stratis.demon.co.uk/gargoyles/gargoyle.htm (engl.) - mit vielen Bildern
- http://www.lostnewyorkcity.com/ (engl.)
- http://www.stonecarver.com/ (engl.) Kategorie:Dach Kategorie:Fassade Kategorie:Literarische Figur ja:ガーゴイル

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