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Base Naturelle Des Logarithmes

Base naturelle des logarithmes

Définition

La constante mathématique

e

(parfois appelée constante de Néper du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement : e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4... e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite : :

e = \lim_ \left(1+\frac\right)^n

et peut être aussi écrit comme une somme de série :

e =  + 
  +  + 
  +  + \cdots

Ici

n!

représente la factorielle de

n

Origine de la définition

Le nombre e est avec le nombre

, la constante réelle probablement la plus importante des mathématiques. Cette constante définit la base des morphismes continus de

(

dans

(

. En d'autres termes, cela signifie que le nombre e est la base des fonctions qui transforment l'addition en multiplication. :

\forall x, y \in \mathbb,\,\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)

Tout morphisme continu de

(

dans

(

s'obtient facilement une fois la fonction exponentielle de base e connu. En effet, si f est le morphisme qui à la valeur 1 associe la valeur a élément de

\mathbb

, on peut alors montrer que : :

\forall x \in \mathbb,f(x) = \exp(\ln(a)\times x)

\ln(a)\,

désigne le logarithme naturel de a.

Intérêt historique

Le premier intérêt de cette fonction fût de permettre le calcul rapide de multiplications à l'aide de la table des logarithmes. Illustrons le fonctionnement de ce calcul à l'aide d'un exemple. Imaginons que nous souhaitons multiplier 1234 par 254. La table des logarithmes nous donne : :

\ln(1 234)=7,118\,

\ln(254)=5,537\,

avec une précision de 4 chiffres significatifs. Nous avons donc, à la précision des approximations près, l'égalité suivante: :

1 234\times 254\,=\,\exp(\ln(1 234))\times \exp(\ln(254))\,=\,\exp(7,118\,+\,5,537)\,

La multiplication se résume alors, si l'on possède les tables de logarithmes à l'addition de 7,118 avec 5,537. :

1234\times 254\,=\,\exp(12.655)\,=\,313436\,

Avant l'apparition de la machine à calculer, les tables de logarithmes et les rêgles à calcul fondé sur les propriétés de la constante de Néper étaient des outils largement utilisés pour le calcul.

Base des logarithmes naturels et trigonométrie

La constante e et la trigonométrie sont intimement liés. La base du problème des morphismes continus de

(\mathbb,+)

dans

(

est toujours l'exponentielle de base e. Cette propriété permet de définir simplement la notion de fonction trigonométrique de base : sinus et cosinus grace à l'égalité suivante: :

\forall \theta \in \mathbb\ e^ = \cos \theta\,+\,i \,\sin \theta\,

De cette égalité découle naturellement la très belle identité d'Euler qui lie les grandes constantes de

\mathbb

. :

e^+1=0 \,

Base des logarithmes naturels et calcul différentiel

La constante de Néper intervient de manière fondamentale dans le calcul infinitésimal. En effet, l'exponentielle de base e a pour dérivée elle même. En d'autres termes, cela signifie que cette fonction croît proportionnellement à sa valeur. Ainsi par exemple, si une population engendre 2 nouveaux membres par individu sur une période constante, alors sa croissance sera exponentielle. Cette propriété s'exprime par le fait que l'exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle suivante: :

y' - y = 0\,

Toute solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un utilise la constante de Néper. De manière générale toute équation différentielle linéaire nécessite la fonction exponentielle réelle ou complexe pour s'exprimer. Ces propriétés permettent de définir tout un ensemble de formules autour de la constante de Néper dont nous donnons ici le développement en fraction continue qui suit un motif intéressant : :

e=2+\frac

Base des logarithmes naturels et théorie des nombres

La constante de Néper apparaît largement dans la théorie des nombres. Les mathématiciens se sont très tôt intéressé à la nature du nombre e. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873. Et les propriétés de ce nombre sont à la base du Théorème de Lindemann-Weierstrass. Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.

Démonstration de l'irrationalité de e

- Démonstration de l'irrationalité de e catégorie:constante mathématique ja:ネイピア数 ko:E (수학상수)

John Napier

John Napier, plus connu sous le nom de Neper, né à Édimbourg en 1550 et mort le 4 avril 1617 au château de Merchiston, fut un théologien et mathématicien écossais. Issu d'une riche famille, lui-même baron de Merchiston, il se fit connaître par sa défense du protestantisme. Il mit notamment en garde le roi Jacques VI d'Écosse contre les visées du roi catholique Philippe II d'Espagne. Les mathématiques n'étaient pas son activité principale mais il ne manquait pas d'idées pour simplifier les calculs. Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l'usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout inventa les logarithmes. Son objectif était de simplifier les calculs trigonométriques nécessaires en astronomie. Il s'attacha à définir le logarithme d'un sinus en s'appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique. Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio fut lue par Henry Briggs qui le rencontra en 1615 et poursuivit son œuvre, prenant pour sa part l'option du logarithme décimal. Napier, John Napier, John Napier, John Napier, John Napier, John Napier, John ja:ジョン・ネピア ko:존 네이피어

1761

Catégorie:1761 | | Années 1740 | Années 1750 | Années 1760 | Années 1770 | Années 1780 1756 | 1757 | 1758 | 1759 | 1760 | 1761 | 1762 | 1763 | 1764 | 1765 | 1766 ---- Cette page concerne l'année 1761 du calendrier grégorien.

Événements

- Joseph Haydn devient le musicien de cour du prince Paul Anton Esterhazy.
- Le Portugal est envahi par l'Espagne pour son refus de fermer ses ports aux navires anglais.
- Le savant écossais Joseph Black découvre que la glace absorbe la chaleur sans changer de température pendant qu'elle fond.
- Les Anglais détruisent Pondichéry.
- Jean-Jacques Rousseau publie La Nouvelle Héloïse.

Naissances en 1761

- 19 janvier : Pierre Marie Auguste Broussonet, naturaliste français († 27 juillet 1807).
- 29 janvier : Albert Gallatin, homme politique et diplomate américain.
- 4 février : Blasius Merrem, zoologiste allemand († 1824).
- 22 octobre : Antoine Barnave, homme politique français.
- 20 novembre : Francesco Xaverio Castiglione, futur pape Pie VIII.

Décès en 1761

- 4 janvier : Stephen Hales, physiologiste, chimiste et inventeur anglais
- 30 novembre : John Dollond, opticien anglais.
- Noël-Antoine Pluche Naturaliste français ko:1761년 ms:1761

Factorielle

catégorie:Fonction remarquable catégorie:Arithmétique catégorie:Analyse combinatoire En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Ce qui s'écrit : :

n! = \prod_^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n

Exemples :
- 1! = 1
- 2! = 1 x 2 = 2
- 3! = 1 x 2 x 3 = 6
- 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800 La définition de la factorielle sous forme de produit rend naturelle la convention 0!=1 puisque 0! est un produit vide, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre de la multiplication. Cela permet à de nombreuses formules de ne pas avoir d'exception. La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques, comme par exemple la formule du binôme et la formule de Taylor. La formule de Stirling donne un équivalent de n! quand n est grand : :

\lim_ \frac=1.

Pour tout entier n, on a

\Gamma(n+1)=n!

où Γ est la fonction gamma d'Euler. La fonction Γ permet donc de prolonger la factorielle à l'ensemble des nombres complexes privé des entiers strictement négatifs.

Programmation

La factorielle d'un nombre peut être calculée en utilisant un algorithme récursif ou itératif. Écrivons en langage Scheme, proche du Lisp, un programme récursif donnant la factorielle d'un entier : (define fact (lambda (x) (if (= x 0) 1 (
- x (fact (- x 1)))))) Ce programme n'est pas efficace à l'exécution, pour les grands entiers. De la même manière, en Caml : let rec fact(n) = if n = 1 then 1 else a
- fact(n-1) ;; En langage C, de façon récursive : int factorielle_recursive(int n) Et de façon itérative: int factorielle_iterative(int n) Ces fonctions ne permettent pas de calculer la factorielle d'un nombre supérieur à 12 si les entiers sont limités à 32 bits, car le résultat dépasse la place disponible. Par souci de clarté, les programmes ci-dessus sont dépourvus de traitement des entrées sorties. Liens externes

- http://factorielle.free.fr
- [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm Algorithmes remarquables.]
- [http://myalgorithm.com/source-94.html Algorithme factoriel] - Pascal ja:階乗 ko:계승 th:แฟกทอเรียล

Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques.

Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit : :exp_a(n) = a × a × ... × a (n fois) On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes log_a, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles. Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles. Il existe une base e telle que e^x est la fonction réciproque du logarithme népérien ln.

Définitions et propriétés

Définitions

On note la fonction exponentielle

\exp\,

ou encore

x\mapsto e^x

(où

e

est la base naturelle des logarithmes), et cette fonction peut être définie de plusieurs façons équivalentes, l'une étant comme une somme de série et l'autre comme une limite : :

\exp(x) = \sum_^

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

Ici

n!

est la factorielle de

n

x

représente n'importe quel nombre réel ou complexe. Dans toute algèbre de Banach, la série précédente est normalement convergente, et on peut donc définir l'exponentielle d'un élément quelconque d'une telle algèbre, ou encore d'un élément quelconque du corps des nombres p-adiques.

Fonction exponentielle réelle

Si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de

\mathbb R

dans

\mathbb R_+^ -

est strictement croissante et continue. De plus,

\lim_\exp(x)=0

\lim_\exp(x)=+\infty

, elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur

\mathbb R_+^ -

. Pour définir l'exponentielle, une troisième approche, plus rare car limitative, mais qui ne nécessite pas les mêmes connaissances préalables, consiste à définir le logarithme népérien comme primitive de la fonction inverse, et l'exponentielle réelle comme la réciproque de la fonction logarithme népérien. La fonction exponentielle est dérivable et a pour dérivée exp, donc est indéfiniment dérivable. De plus exp est convexe. Sa représentation graphique est la suivante : Image:exponentielle.png En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout

a > 0

la fonction exponentielle de base a notée

\exp_a\,

x\mapsto a^x

, par : :

\forall x, a^x = \exp(\ln(a) x)\,

. La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre. Les fonctions exponentielles «transforment une addition en une multiplication», comme le montrent ces propriétés : :

a^0 = 1\,

a^1 = a\,

a^ =  a^x a^y\,

a^  =  \left( a^x \right)^y

= \left( \right)^x = a^

a^x b^x = (a b)^x\,

Elles sont valables pour touts réels strictement positifs a et b et pour tout réel x. Pour a réel strictement positif,

\exp_a\,

est le seul morphisme monotone du groupe additif

\mathbb R

dans le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

des réels strictement positifs vérifiant

\exp_a(1)=a\,

. Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif

\mathbb R

sur le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1. D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple : :

= a^\,

\sqrt = a^\,

\sqrt[n] = a^\,

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Le développement en série de l'exponentielle permet d'étendre celle-ci au plan complexe. :

\exp(z) = \sum_^

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes : pour tous z et w : :

\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)\,

\exp(0) = 1\,

\exp(z) \ne 0

\exp '(z) = \exp(z)\,\!

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire

2 \pi i\,

et vérifie : :

\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))

où

a

b

sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme

z\mapsto \ln(z)

. On peut définir une exponentielle plus générale : : pour tous nombres complexes z et w,

z^w = \exp(\ln(z) w)\,

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Fonction exponentielle et équation différentielle

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a : :

\lambda e^ = a \lambda e^.

ou plus exactement, on a

\varphi : x\mapsto \lambda e^

si et seulement si :

= a \varphi.

\varphi(0) = \lambda

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante de fois une fonction exponentielle d'une constante de fois le temps. La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire : :

= y

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach

La définition de la fonction exponentielle exp donnée précédemment peut être utilisée sur toute algèbre de Banach, et en particulier sur l'ensemble des matrices carrées. Dans ce cas nous avons : : si

xy = yx\,

alors

\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\,

\exp(0) = 1\,

\exp(x)\,

est inversible et a pour inverse

\exp(-x)\,

:La différentielle de l'exponentielle en un point x est l'application linéaire qui envoie u sur exp(x)·u. Dans le cadre des algèbres non-commutatives, d'algèbres de matrices, d'opérateurs sur les espaces de Banach ou sur les espaces de Hilbert, la fonction exponentielle est souvent considérée comme une fonction d'une variable réelle: :

f(t) = \exp(t A)\,

où

A

est un élément fixé de l'algèbre et

t

un réel quelconque. Cette fonction a les propriétés importantes : :

f(s + t) = f(s) f(t)\,

f(0) = 1\,

f'(t) = A f(t)\,

L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

L'application exponentielle envoie une algèbre de Lie sur le groupe de Lie de l'algèbre. Cela implique qu'elle partage les propriétés mentionnées ci-dessus. En fait, puisque ℝ est l'algèbre de Lie du groupe de Lie de tous les nombres réels strictement positifs avec la multiplication, la fonction exponentielle ordinaire d'une variable réelle est un cas particulier de la fonction exponentielle pour une algèbre de Lie. De même, puisque l'algèbre de Lie M(n, ℝ) de toutes les matrices carrées réelles est issue du groupe de Lie des matrices carrées inversibles, la fonction exponentielle pour les matrices carrées est un cas particulier de la fonction exponentielle sur une algèbre de Lie. Catégorie:Fonction remarquable Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Analyse complexe ja:指数関数 ko:지수함수

Logarithme naturel

ko:자연로그 ja:自然対数 th:ลอการิทึมธรรมชาติ catégorie:Analyse réelle catégorie:Fonction remarquable Le logarithme naturel est le logarithme de base e, où e est approximativement égal à 2,71828... (impossible de l'écrire sous forme d'un quotient puisque e est un nombre irrationnel). Le logarithme naturel est défini en tous les réels strictement positifs x. En des termes simples, le logarithme naturel est une fonction, qui est l'exposant d'une puissance de e, et apparaît fréquemment dans les processus naturels (ce qui explique pourquoi on l'appelle logarithme naturel). Cette fonction rend possible l'étude de phénomènes qui évoluent de façon exponentielle. Il est également appelé logarithme népérien, du nom de son « inventeur », le mathématicien écossais John Napier (ou John Naper).

Conventions de notation

Les mathématiciens interprètent généralement « ln(x) » ou « log(x) » comme étant log_e(x), i.e. le logarithme naturel de x, et écrivent « log₁₀(x) » s'ils veulent considérer le logarithme en base 10 de x. Les ingénieurs, les biologistes, et quelques autres écrivent simplement « ln(x) » ou (occasionnellement) « log_e(x) » lorsqu'ils veulent considérer le logarithme naturel de x, et notent « log(x) » le logarithme décimal « log₁₀(x) ». Pour éviter toute confusion, nous utiliserons la notation ln(x) pour le logarithme naturel de x et log₁₀(x) pour le logarithme décimal de x.

ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle naturelle

Cette fonction est l'application réciproque de la fonction exponentielle, on a ainsi :

\forall x\in\mathbb, e^ = x

: et :

\forall x, \ln(e^x) = x

. On a la représentation graphique suivante de la fonction ln : image:logarithme népérien.png Les logarithmes peuvent être définis dans toute base strictement positive et différente de 1, et pas seulement e, et sont utiles pour résoudre des équations dans lesquelles les inconnues apparaissent comme exposants d'une autre quantité.

Qu'ont-ils de si naturel ?

Initialement, il semblait que la base 10 était une base plus naturelle que e. La raison pour laquelle, on dit que ln(x) est « naturel » est double : # Le logarithme naturel, peut être défini très facilement à partir d'une intégrale simple ou d'une série de Taylor comme on l'expliquera plus bas; ce n'est pas le cas des autres logarithmes. # Ensuite, les expressions dans lesquelles une variable inconnue apparaît comme exposant de e se rencontrent plus souvent que les exposants de 10 (à cause des propriétés naturelles de la fonction exponentielle qui permettent de décrire la croissance et la décroissance de certains phénomènes), et ainsi le logarithme naturel est plus utile dans la pratique. Pour poser le problème concrètement, on considère la dérivée d'une fonction logarithme. On a :

\forall x\in\mathbb_+^ - , \frac(x)=\frac.

C'est uniquement quand la base du logarithme est égale à e que la constante vaut 1.

Définitions

Formellement, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction

x\mapsto \frac

, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=a, égale à l'intégrale : :

\ln(a)=\int_1^a \frac\,dx.

Cela définit le logarithme parce qu'il satisfait la propriété fondamentale d'un logarithme : :

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).

Cette relation peut être démontrée en utilisant un changement de variable comme suit : :

\ln (ab) 
= \int_1^ \frac \; dx 
= \int_1^a \frac \; dx \; + \int_a^ \frac \; dx 
=\int_1^ \frac \; dx \; + \int_1^ \frac \; dx 
= \ln (a) + \ln (b)

Le nombre e peut être défini comme l'unique nombre réel tel que ln(e) = 1. Cependant, si la fonction exponentielle a été définie auparavant, comme solution d'une équation différentielle ou par une série entière, le logarithme naturel se définit comme sa fonction réciproque : ln(x) est alors l'unique nombre tel que e^ln(x) = x. Puisque l'ensemble des valeurs de la fonction exponentielle est l'ensemble de tous les réels strictement positifs, ln est bien défini en tout réel strictement positif x. De plus exp est strictement croissante, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas sur

R

donc ln est dérivable et on peut retrouver sa dérivée par la dérivée d'une application réciproque.

Dérivée, série de Taylor et argument complexe

La dérivée du logarithme naturel est donnée par :

\frac\ln(x)=\frac.

\frac(x)=\frac.

On obtient le développement en série de Taylor : :

\ln(1+x)=\sum_^\infty \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

On peut aussi définir ln(z) sur certains ouverts de

\mathbb^ -

. Par exemple, le développement en série de Taylor précédent reste valable pour tout nombre complexe x de module strictement inférieur à 1.
Si un nombre complexe non nul z est écrit sous forme trigonométrique z = r e^iφ avec r > 0 et -π < φ < +π, alors on peut poser : :ln(z) = ln(r) + iφ Ainsi définie, ln est une fonction holomorphe sur

U = \mathbb \setminus \R^-

, et a la propriété suivante : : pour tout

z \in U

, e^ln(z) = z On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple; ln(e^z) n'est pas toujours égal à z, et ln(zw) n'est pas toujours égal à ln(z) + ln(w). Une définition plus naturelle de la fonction logarithme complexe ln la considère comme une fonction multiforme: pour z = r e^iφ on pose :ln(z) = C'est l'ensemble de tous les nombres complexes u pour lesquels e^u = z, parce que e^2πi = 1 (Voir la formule la plus remarquable du monde). La meilleure façon de traiter les fonctions multiformes comme celle-ci en analyse complexe est d'utiliser la sphère de Riemann : la fonction ln n'est alors pas définie sur le plan complexe, mais sur une sphère, dite de Riemann, qui possède une infinité dénombrable de feuilles, et les valeurs de la fonction diffèrent de 2πi de feuille en feuille.

Logarithme

En mathématiques, les fonctions logarithmes sont les applications réciproques des fonctions exponentielles. Si x est égal à b à la puissance y, x = b^y, nous pouvons dire aussi que y est le logarithme de x dans la base b (et cela signifie que y est la puissance à laquelle nous devons élever b, pour obtenir x), et nous écrivons : log_bx = y. Par exemple, log₁₀100 = 2 (car 10²=100) et log₂8 = 3 (car 2³=8). Les logarithmes furent inventés par John Napier (Neper) dans les années 1600. Avant l'ère des ordinateurs, les logarithmes étaient utilisés comme une aide de calcul, avec des tables de logarithme décimal et des règles à calcul. L'idée fondamentale est que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, et l'addition est plus facile à effectuer que la multiplication. Dans les applications, on utilisait le logarithme de base 10 ou le logarithme décimal appelé aussi le logarithme vulgaire. Les logarithmes sont aussi utiles pour résoudre les équations dont les inconnues apparaissent dans un exposant, ils apparaissent aussi souvent dans la solution d'une équation différentielle parce que leur dérivée est facile à calculer. De plus, beaucoup de quantités en sciences sont exprimées par leurs logarithmes; voir l'échelle logarithmique pour avoir une explication et une table. Pour tout nombre réel b strictement positif et différent de 1, la fonction log_b est définie en tout réel x strictement positif. Voir les identités logarithmiques pour quelques propriétés que vérifient les fonctions logarithmes. Il y a une base particulière e, la base du logarithme naturel qui a des propriétés intéressantes. (le nombre e est égal à exp(1) et vaut approximativement 2,71828). Le logarithme dans cette base est appelé le logarithme naturel ou logarithme népérien. On note habituellement les logarithmes de base e, log_e ou plus simplement ln. Dans la plupart des travaux de recherche en mathématiques pures, log est utilisé pour représenter log_e, tandis que dans les travaux d'ingénieurs il désigne log₁₀, et en informatique il désigne le plus souvent log₂. Le logarithme binaire est aussi souvent noté lg. L'ancienne notation du logarithme naturel Log n'est plus utilisée. Lorsque qu'il y a une ambiguïté possible, on doit écrire explicitement la base. Remarquons que l'on a une approximation curieuse (avec une erreur inférieure à 0.6% de la valeur exacte): log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x). Les logarithmes peuvent être aussi définis pour des nombres complexes. Ceci est expliqué dans la page logarithme naturel. Dans la théorie des groupes finis, il y a une notion de logarithme discret. Pour certains groupes finis, il est connu que le logarithme discret est très difficile à calculer, tandis que les exponentielles discrètes s'obtiennent facilement. Cette dissymétrie a des applications en cryptographie.

Définition

Généralités

Soit a > 0. On définit

log_a : \mathbb_+^ -  \rightarrow \mathbb

comme fonction réciproque de l'exponentielle :

\beginexp_a : & \mathbb & \rightarrow & \mathbb_+^ -  \\ \ & x & \mapsto & a^x \end

On a donc: :

\forall x \in \mathbb, log_a(a^x)=x

\forall x \in \mathbb, a^=x

Logarithmes importants

Le logarithme naturel ln revêt une importance singulière, puisqu'il est associé a l'exponentielle, c’est-à-dire l'exponentielle de base e. Cette importance apparait évidemment au regard des équations suivantes : :

\frac\ln(x)=\frac.

\ln(1+x)=\sum_^ \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

Ce logarithme est d'une utilisation particulièrement aisée. Le logarithme décimal est utilisé dans de nombreux domaines. Il permet de juger d'un ordre de grandeur, par exemple (il permet de compter les nombre de zero d'un nombre, puisque

\log_(10^d)=d\,\!

) Le logarithme binaire

\log_

est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de

\log_(d)\,\!

donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple,

int(\log_(13))=int(\log_(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!

Quelques propriétés

Déduction immédiate

\log_a(a)=1\,\!

Propriété fondamentale

\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)

(avec

a>0

b>0

) On démontre cette propriété de façon simple:

\ln(a \times b)=\ln(e^ \times e^)=\ln(e^)=\ln(a)+\ln(b)

conséquences: :

\ln (\frac) = - \ln a

\ln (\frac) = \ln(a) - \ln(b)

\ln (a^n) = n \times \ln(a)

, pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante :

\log_a(x)=\frac

\log_a(x)=\frac

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

564px Courbe

y=\ln x

Application pratique

- La règle à calcul
- Échelle logarithmique
- Table de logarithmes

Voir aussi

- Fonction holomorphe
- Exponentielle
- La présentation des logarithmes dans le Wikilivre de photographie Photographie - Chapitre 01 - Un peu de mathématiques Catégorie:Fonction remarquable Catégorie:Analyse réelle ja:対数

Logarithme

Définition

Généralités

Soit a > 0. On définit

log_a : \mathbb_+^ -  \rightarrow \mathbb

comme fonction réciproque de l'exponentielle :

\beginexp_a : & \mathbb & \rightarrow & \mathbb_+^ -  \\ \ & x & \mapsto & a^x \end

On a donc: :

\forall x \in \mathbb, log_a(a^x)=x

\forall x \in \mathbb, a^=x

Logarithmes importants

\frac\ln(x)=\frac.

\ln(1+x)=\sum_^ \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

\log_(10^d)=d\,\!

) Le logarithme binaire

\log_

est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de

\log_(d)\,\!

donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple,

int(\log_(13))=int(\log_(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!

Quelques propriétés

Déduction immédiate

\log_a(a)=1\,\!

Propriété fondamentale

\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)

(avec

a>0

b>0

) On démontre cette propriété de façon simple:

\ln(a \times b)=\ln(e^ \times e^)=\ln(e^)=\ln(a)+\ln(b)

conséquences: :

\ln (\frac) = - \ln a

\ln (\frac) = \ln(a) - \ln(b)

\ln (a^n) = n \times \ln(a)

, pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante :

\log_a(x)=\frac

\log_a(x)=\frac

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

564px Courbe

y=\ln x

Application pratique

- La règle à calcul
- Échelle logarithmique
- Table de logarithmes

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Soit a > 0. On définit

log_a : \mathbb_+^ -  \rightarrow \mathbb

comme fonction réciproque de l'exponentielle :

\beginexp_a : & \mathbb & \rightarrow & \mathbb_+^ -  \\ \ & x & \mapsto & a^x \end

On a donc: :

\forall x \in \mathbb, log_a(a^x)=x

\forall x \in \mathbb, a^=x

Logarithmes importants

\frac\ln(x)=\frac.

\ln(1+x)=\sum_^ \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

\log_(10^d)=d\,\!

) Le logarithme binaire

\log_

est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de

\log_(d)\,\!

donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple,

int(\log_(13))=int(\log_(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!

Quelques propriétés

Déduction immédiate

\log_a(a)=1\,\!

Propriété fondamentale

\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)

(avec

a>0

b>0

) On démontre cette propriété de façon simple:

\ln(a \times b)=\ln(e^ \times e^)=\ln(e^)=\ln(a)+\ln(b)

conséquences: :

\ln (\frac) = - \ln a

\ln (\frac) = \ln(a) - \ln(b)

\ln (a^n) = n \times \ln(a)

, pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante :

\log_a(x)=\frac

\log_a(x)=\frac

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

564px Courbe

y=\ln x

Application pratique

- La règle à calcul
- Échelle logarithmique
- Table de logarithmes

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Soit a > 0. On définit

log_a : \mathbb_+^ -  \rightarrow \mathbb

comme fonction réciproque de l'exponentielle :

\beginexp_a : & \mathbb & \rightarrow & \mathbb_+^ -  \\ \ & x & \mapsto & a^x \end

On a donc: :

\forall x \in \mathbb, log_a(a^x)=x

\forall x \in \mathbb, a^=x

Logarithmes importants

\frac\ln(x)=\frac.

\ln(1+x)=\sum_^ \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

\log_(10^d)=d\,\!

) Le logarithme binaire

\log_

est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de

\log_(d)\,\!

donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple,

int(\log_(13))=int(\log_(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!

Quelques propriétés

Déduction immédiate

\log_a(a)=1\,\!

Propriété fondamentale

\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)

(avec

a>0

b>0

) On démontre cette propriété de façon simple:

\ln(a \times b)=\ln(e^ \times e^)=\ln(e^)=\ln(a)+\ln(b)

conséquences: :

\ln (\frac) = - \ln a

\ln (\frac) = \ln(a) - \ln(b)

\ln (a^n) = n \times \ln(a)

, pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante :

\log_a(x)=\frac

\log_a(x)=\frac

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

564px Courbe

y=\ln x

Application pratique

- La règle à calcul
- Échelle logarithmique
- Table de logarithmes

Voir aussi

Morphisme

Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Théorie des catégories En mathématiques, un morphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure. Cette notion est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne une définition formelle bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une fonction, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles. Les morphismes peuvent être classifiés:
- un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
- un isomorphisme est un morphisme

f

entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme

f'

dans le sens inverse, tels que

f\circ f'

f'\circ f

sont les identités des structures ;
- un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
- un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme

f : A\to B

tel que : pour tout couple

g,h

de morphismes de type

B\to E

(et donc aussi pour tout

E

), si

g\circ f=h\circ f

, alors

g = h

;
- un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme

f : A\to B

tel que : pour tout couple

g,h

de morphismes de type

E\to A

(et donc aussi pour tout

E

), si

f\circ g=f\circ h

, alors

g = h

. Exemple: l'identité d'un ensemble est toujours un morphisme, quelle que soit la structure considérée. Et c'est un automorphisme...

Cas des groupes

Si on est dans le cas de deux groupes, cette définition se précise de la façon suivante: un morphisme

f

entre

(G, - )

(G', - ')

, vérifie donc:
-

\forall g,h\in G, f(g - h)=f(g) - 'f(h)

voir article détaillé: homomorphisme de groupe

Cas des anneaux

Dans le cas de deux anneaux

\left(A,+, - ,0_A\right)

\left(A',+', - ',0_\right)

, un morphisme

f

vérifie donc:
-

\forall a,b\in A, f(a+b)=f(a)+'f(b)

\forall a,b\in A, f(a - b)=f(a) - 'f(b)

si les anneaux considérés sont de plus unitaires, on parle de morphisme unitaire lorsque :

f\left(1_A\right)=1_

. Il faut noter qu'un morphisme d'anneaux entre anneaux unitaires n'est pas forcément unitaire, comme le montre l'exemple suivant: si on choisit un ensemble

E

infini, et une sous-partie

F

E

finie et que l'on munit les ensembles des parties de ces ensembles de la structure d'anneau où la somme est l'union disjointe et le produit est l'intersection, il est clair que l'inclusion des parties de

F

dans les parties de

E

est un morphisme d'anneau, mais n'est pas un morphisme d'anneau unitaire... En effet, c'est l'ensemble

E

tout entier qui est élément neutre pour l'intersection dans l'ensemble des parties de

E

, mais l'élément neutre des parties de

F

est

F

... donc son image par l'inclusion n'est pas l'élément neutre de l'anneau d'arrivée!

Cas des espaces vectoriels

Dans le cas de 2

\mathbb K

-espaces vectoriels

(E,+,.)

(F,+',.)

, un morphisme vérifie :
-

f

est un morphisme de groupe pour

(E,+)

(F,+')

\forall x\in E , \forall \lambda\in\mathbb,  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x)

Ce qui est équivalent à :

\forall (x,y)\in E \times E , \forall (\lambda , \mu )\in\mathbb, f(\lambda . x + \mu . y) = \lambda . f(x) + \mu . f(y)

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) : Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une fonction de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y). En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante.

Ensembles isomorphes

On dit que les ensembles

E

F

sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de

E

sur

F

. Savoir que deux ensembles sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrées de l'un à l'autre. Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à

\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z

Applications pratiques

L'étude des morphismes a des applications particulièrement importantes dans la Physique moderne, en particulier la Mécanique quantique.

Voir aussi

- Homéomorphisme : isomorphisme continu et d'inverse continu
- Difféomorphisme : isomorphisme à différentielle continue et d'inverse à différentielle continue

Fonction trigonométrique

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un triangle contenant l'angle, ou, plus généralement, par les rapports des coordonnées de points du cercle trigonométrique, ou, plus généralement encore, comme somme d'une série entière. Chacune de ces trois approches sera présentée ci-dessous. Il y a six fonctions trigonométriques de base.
- sinus (sin)
- cosinus (cos)
- tangente (tan = sin/cos)
- sécante (sec = 1/cos)
- cosécante (cosec = 1/sin)
- cotangente (cotan = cos/sin) Le sinus, le cosinus et la tangente sont de loin les plus importantes. Plusieurs relations entre ces fonctions sont énumérées à la page des identités trigonométriques.

Définitions dans le triangle rectangle

Pour définir les fonctions trigonométriques en un angle A, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle A. Nous emploierons les noms suivants pour désigner les côtés du triangle rectangle :
- l’hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et est une jambe de l'angle A,
- le côté opposé est le côté opposé à l'angle A, qui nous intéresse,
- le côté adjacent est le côté qui est une jambe de l'angle A, qui n'est pas l'hypoténuse. On notera: : o : la longueur du côté opposé : a : la longueur du côté adjacent : h : la longueur de l'hypoténuse 1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse : :sin(A) = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse = o/h. Notez que ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle A, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables. image:sinus_de_A.png 2) Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse : :cos(A) = longueur de côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = a/h. image:cosinus_de_A.png 3) La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent : :tan(A) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a. image:tangente_de_A.png Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus. 4) La cosécante de A notée cosec(A) est l'inverse du sinus de A, 1/sin(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du hypoténuse par la longueur du côté adjacent : :cosec(A)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé = h/o. 5) La sécante de A notée sec(A) est l'inverse du cosinus de A, 1/cos(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du hypoténuse par la longueur du côté opposé: :sec(A)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent = h/a. 6) La cotangente de A notée cotan(A) est l'inverse de la tangente de A, 1/tan(A), c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé: :cotan(A)= longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé = a/o.

Astuces mnémotechniques

- « Le gosse a dit que Tangopa avait de la synopie. » : pour se rappeler que cos = adj / hyp, tan = opp / adj et sin = opp / hyp.
- CosAdjHyp, TangOppAdj, SinOppHyp
- CosAdjHyp (cos = adj / hyp)
- TangOppAdj (tan = opp / adj)
- SinOppHyp (sin = opp/hyp)
- Sophie, Caddie, Topaze
- Sophie (sin = opp / hyp)
- Caddie (cos = adj / hyp)
- Topaze (tan = opp / adj)
- « CAHSOHTOA » ou bien « SOHCAHTOA »:
- cos = adj / hyp
- sin = opp / hyp
- tan = opp / adj.
- « SCT: OAO / HHA » SCT : Sin-Cos-Tan dans l'ordre des touches de la calculette, puis : Sinus Cosinus Tangente = = = Opposé Adjacent Opposé ------------ ------------ ---------- Hypoténuse Hypoténuse Adjacent

Valeurs remarquables

Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par la calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées à la main, comme dans les exemples suivants : Supposons que l'on ait un triangle rectangle dans lequel les deux angles sont égaux, et donc = 45 degrés (π/4 radians). Puisque les longueurs b et a sont égales; nous pouvons choisir a = b = 1. Maintenant, on peut déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés. En utilisant le théorème de Pythagore,

c = \sqrt = \sqrt

. Ceci est illustré dans la figure suivante : Par conséquent, :

\sin  = \frac = \frac

, :

\cos  = \frac = \frac

, :

\tan  = \frac = 1

Pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 60 degrés (π/3 radians) et de 30 degrés (π/6 radians), nous commençons par considérer un triangle équilatéral de longueur latérale 1. Tous ses angles sont de 60 degrés. En le divisant en deux, nous obtenons un triangle rectangle dont un angle est de 30 degrés. On obtient : :

\sin  = \frac

, :

\cos  = \frac

, :

\tan  = \frac

et :

\sin  = \frac

, :

\cos  = \frac

, :

\tan  = \sqrt

. On peut se souvenir de ces valeurs en construisant la table suivante : en mettant dans l'ordre 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°) et π/2 (90°), le sinus prend les valeurs

\frac

, et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

Définitions à partir du cercle trigonométrique

Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle trigonométrique. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre

0 \mbox \frac

. Dans un plan muni d'un repère orthonormé

(O,\vec,\vec)

, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(x_A,y_A) sur le cercle, alors on a : :

\cos \widehat = x_A

\sin \widehat = y_A

Image:cercle trigo.png Sur le cercle ci-dessous, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle [-2p,2p], soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul. Image:Cercle_trigonométrique.png Notez que nous mesurons des angles positifs dans le sens contraire à celui de aiguilles d'une horloge et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle ? avec la demi-droite positive 0x de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées (cos ?, sin ?). Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées (0, 0), (cos ?, 0) et (cos ?, sin ?) est égale à un rayon du cercle; l'hypoténuse a pour longueur 1, et sin ? = y/1 et cos ? = x/1. Le cercle trigonométrique peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1. Bien que seulement le sinus et le cosinus aient été définis directement par le cercle trigonométrique, les autres fonctions trigonométriques peuvent être définies par: :

\tan \theta  = \frac

\sec \theta  = \frac

\operatorname \theta  = \frac

\operatorname \theta  = \frac

Le cercle trigonométrique a pour équation : :

x^2 + y^2 = 1\,\!

Cela donne immédiatement la relation :

\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\,\!

Relations entre sinus et cosinus

Pour définir les angles strictement plus grand que

2\pi\,\!

ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des fonctions périodiques de période

2\pi\,\!

: :pour tout angle

\theta\,\!

et tout entier k : :

\cos(\theta) = \cos(\theta  + 2k\pi)\,\!

\sin(\theta) = \sin(\theta  + 2k\pi)\,\!

Ceci exprime le caractère périodique de ces fonctions. Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que :

\cos(\theta + \pi) = - \cos(\theta)\,\!

\sin(\theta + \pi) = - \sin(\theta)\,\!

car

\theta + \pi\,\!

est à l'opposé du cercle par rapport à

\pi\,\!

. :

\cos(\frac - \theta) = \sin(\theta)\,\!

\sin(\frac - \theta) = \cos(\theta)\,\!

car

\frac - \theta\,\!

est le point symétrique de

\theta\,\!

par rapport à la bissectrice de

(\vec,\vec)

. :

\cos(\theta + \frac) = - \sin(\theta)\,\!

\sin(\theta + \frac) = \cos (\theta)\,\!

car

\theta + \frac\,\!

est la rotation d'un quart de tour de

\theta\,\!

. :

\cos(\pi - \theta) = - \cos(\theta)\,\!

\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\,\!

car

\pi - \theta\,\!

est le symétrique de

\theta\,\!

par rapport à

(O,\vec)

. :

\cos(- \theta) = \cos(\theta)\,\!

\sin(- \theta) = - \sin(\theta)\,\!

car

- \theta\,\!

est le symétrique de

\theta\,\!

par rapport à

(O,\vec)

. Ces formules font partie des identités trigonométriques.

Représentations graphiques

Voici les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente: Image:sinus.png Image:cosinus.png Image:tangente.png

Définitions à partir des séries entières

Ici, et généralement en analyse, c'est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir :

sin(x) = x - \frac  + \frac  - \frac  +...+ (-1)^\frac +... = \sum\limits_^\infty   \frac

cos(x)=1 - \frac  + \frac  - \frac  +...+ (-1)^\frac +... = \sum\limits_^\infty   \frac

Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus et nous pouvons le justifier avec la théorie des séries de Taylor, et avec le fait que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est - sinus. Ces définitions sont souvent utilisées comme le point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre p puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d' Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle aussi bien que l'identité d'Euler. Les définitions en utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus sur tout le plan complexe.

Fonctions réciproques

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives. En les restreignant à certains intervalles, les fonctions trigonométriques réalisent des bijections. Les applications réciproques sont habituellement définies par:

pour tous réels x et y tels que
-1 < x < 1, -p/2 < y < p/2,
y = arcsin(x) si et seulement si x = sin(y)
pour tous réels x et y tels que
-1 < x < 1, 0 < y < p,
y = arccos(x) si et seulement si x = cos(y)
pour tous réels x et y tels que
-p/2 < y < p/2,
y = arctan(x) si et seulement si x = tan(y)
pour tous réels x et y tels que
(x < -1 ou x < 1), (-p/2 < y < p/2 et y ? 0),
y = arccosec(x) si et seulement si x = cosec(y)
pour tous réels x et y tels que
(x < -1 ou x < 1), (0 < y < p et y ? p/2),
y = arcsec(x) si et seulement si x = sec(y)
pour tous réels x et y tels que
x ? 0, (0 < y < p et y? p/2),
y = arccotan(x) si et seulement si x = cotan(y)

Ces fonctions peuvent s'écrire avec des intégrales : #

\arcsin(x) = \int(1 - x^)^dx

\arccos(x) = \int-(1 - x^)^dx

\arctan(x) = \int(1 + x^)^dx

arccosec(x) = \int(-x (x^ - 1)^ )^dx

\arcsec(x) = \int(x (x^ - 1)^)^dx

arccotan(x) = \int-(x^ + 1)^dx

Propriétés et applications

Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale en trigonométrie principalement en raison des deux résultats suivants : Considérons un triangle quelconque : image:triangle_quelconque.png
- la loi des sinus s'écrit: :

\frac= \frac=\frac

Cette relation peut être démontrée en divisant la triangle en deux triangles rectangles et en utilisant la définition ci-dessus du sinus. Le nombre commun

\frac

apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois points A, B et C). La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. C'est une situation courante survenant dans la triangulation, une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.
- la loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore :

c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat)

À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. La loi des cosinus est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.
- Il y a également la loi des tangentes : :

\frac=\frac

L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences; ce sont les séries de Fourier. Pour avoir un formulaire de relations entre les fonctions trigonométriques, consultez les identités trigonométriques.

Voyez également:

- Comment construire des tables trigonometriques
- Trigonométrie hyperbolique
- Trigonométrie complexe ko:삼각함수 ja:三角関数 th:ตรีโกณมิติ catégorie:Géométrie Trigonométrique catégorie:Trigonométrie

Calcul infinitésimal

ja:微分積分学 simple:Calculus catégorie:mathématiques Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeurs complémentaires:
- Le calcul différentiel est la théorie qui traite des taux de variation et fait intervenir la méthode de différentiation. En terme de fonctions mathématiques, la vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune.
- Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction et inclut des notions connexes comme le volume. Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Historique

Voir article principal Histoire du calcul infinitésimal Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation. La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Ceci a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIX siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne. On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier. Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment. Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal. Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant son travail ne fut pas connu en Occident à cette époque suite aux manque de contacts avec l'Extrême-Orient. [http://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html] La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du « problème de la tangente ».

Calcul différentiel

Article principal: dérivée Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique. Par exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en terme d'équations différentielles pour décrire les systèmes oscillants. La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui permet de trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un très bref aperçu des nombreuses applications du calcul infinitésimal dans des problèmes qui à première vue ne sont pas formulés en ces termes. Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral

Article principal: intégrale Le calcul intégral étudie les méthodes permettant de trouver l'intégrale d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface d'un fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe ainsi que la surface et le volume de solides comme la sphère ou le cône.

Bases

Les base conceptuelles du calcul ifinitésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites infinies, séries infinies et continuité. Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire et l'induction mathématique. La version moderne du calcul infinitésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul infinitésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle .

Théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont, dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette « découverte » par Newton et Leibnitz qui est à l'origine de l'explosion des résultats analytiques. Ce lien nous permet de retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle a partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème fondamental nous donne aussi une méthode pour calculer beaucoup d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer rééllement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction a ses dérivées. Les équations différentielles sont fondamentales en science.

Applications

Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan xoy un rectangle de côtés x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu de façon infinitésimale ; la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable du second ordre. On écrit donc: :

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow

\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac\vec i +\frac\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)

Toutes ces égalités sont différentes façon d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs: :

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm \overrightarrow (xy) \cdot\overrightarrow = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal. Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques.

Approche vulgarisée

Définitions et propriétés

Définitions

On note la fonction exponentielle

\exp\,

ou encore

x\mapsto e^x

(où

e

est la base naturelle des logarithmes), et cette fonction peut être définie de plusieurs façons équivalentes, l'une étant comme une somme de série et l'autre comme une limite : :

\exp(x) = \sum_^

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

Ici

n!

est la factorielle de

n

x

Fonction exponentielle réelle

Si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de

\mathbb R

dans

\mathbb R_+^ -

est strictement croissante et continue. De plus,

\lim_\exp(x)=0

\lim_\exp(x)=+\infty

, elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur

\mathbb R_+^ -

a > 0

la fonction exponentielle de base a notée

\exp_a\,

x\mapsto a^x

, par : :

\forall x, a^x = \exp(\ln(a) x)\,

a^0 = 1\,

a^1 = a\,

a^ =  a^x a^y\,

a^  =  \left( a^x \right)^y

= \left( \right)^x = a^

a^x b^x = (a b)^x\,

Elles sont valables pour touts réels strictement positifs a et b et pour tout réel x. Pour a réel strictement positif,

\exp_a\,

est le seul morphisme monotone du groupe additif

\mathbb R

dans le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

des réels strictement positifs vérifiant

\exp_a(1)=a\,

. Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif

\mathbb R

sur le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

= a^\,

\sqrt = a^\,

\sqrt[n] = a^\,

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Le développement en série de l'exponentielle permet d'étendre celle-ci au plan complexe. :

\exp(z) = \sum_^

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes : pour tous z et w : :

\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)\,

\exp(0) = 1\,

\exp(z) \ne 0

\exp '(z) = \exp(z)\,\!

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire

2 \pi i\,

et vérifie : :

\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))

où

a

b

z\mapsto \ln(z)

. On peut définir une exponentielle plus générale : : pour tous nombres complexes z et w,

z^w = \exp(\ln(z) w)\,

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Fonction exponentielle et équation différentielle

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a : :

\lambda e^ = a \lambda e^.

ou plus exactement, on a

\varphi : x\mapsto \lambda e^

si et seulement si :

= a \varphi.

\varphi(0) = \lambda

= y

Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach

xy = yx\,

alors

\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\,

\exp(0) = 1\,

\exp(x)\,

est inversible et a pour inverse

\exp(-x)\,

f(t) = \exp(t A)\,

où

A

est un élément fixé de l'algèbre et

t

un réel quelconque. Cette fonction a les propriétés importantes : :

f(s + t) = f(s) f(t)\,

f(0) = 1\,

f'(t) = A f(t)\,

L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques.

Approche vulgarisée

Définitions et propriétés

Définitions

On note la fonction exponentielle

\exp\,

ou encore

x\mapsto e^x

(où

e

est la base naturelle des logarithmes), et cette fonction peut être définie de plusieurs façons équivalentes, l'une étant comme une somme de série et l'autre comme une limite : :

\exp(x) = \sum_^

\exp(x) = \lim_ \left( 1 +  \right)^n

Ici

n!

est la factorielle de

n

x

Fonction exponentielle réelle

Si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de

\mathbb R

dans

\mathbb R_+^ -

est strictement croissante et continue. De plus,

\lim_\exp(x)=0

\lim_\exp(x)=+\infty

, elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur

\mathbb R_+^ -

a > 0

la fonction exponentielle de base a notée

\exp_a\,

x\mapsto a^x

, par : :

\forall x, a^x = \exp(\ln(a) x)\,

a^0 = 1\,

a^1 = a\,

a^ =  a^x a^y\,

a^  =  \left( a^x \right)^y

= \left( \right)^x = a^

a^x b^x = (a b)^x\,

Elles sont valables pour touts réels strictement positifs a et b et pour tout réel x. Pour a réel strictement positif,

\exp_a\,

est le seul morphisme monotone du groupe additif

\mathbb R

dans le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

des réels strictement positifs vérifiant

\exp_a(1)=a\,

. Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif

\mathbb R

sur le groupe multiplicatif

\mathbb R_+^ -

= a^\,

\sqrt = a^\,

\sqrt[n] = a^\,

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Le développement en série de l'exponentielle permet d'étendre celle-ci au plan complexe. :

\exp(z) = \sum_^

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes : pour tous z et w : :

\exp(z + w) = \exp(z) \exp(w)\,

\exp(0) = 1\,

\exp(z) \ne 0

\exp '(z) = \exp(z)\,\!

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire

2 \pi i\,

et vérifie : :

\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))

où

a

b

z\mapsto \ln(z)

. On peut définir une exponentielle plus générale : : pour tous nombres complexes z et w,

z^w = \exp(\ln(z) w)\,

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Fonction exponentielle et équation différentielle

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a : :

\lambda e^ = a \lambda e^.

ou plus exactement, on a

\varphi : x\mapsto \lambda e^

si et seulement si :

= a \varphi.

\varphi(0) = \lambda

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de l

Base naturelle des logarithmes

Définition

Origine de la définition

Intérêt historique

Base des logarithmes naturels et trigonométrie

Base des logarithmes naturels et calcul différentiel

Base des logarithmes naturels et théorie des nombres

Démonstration de l'irrationalité de e

John Napier

1761

Événements

Naissances en 1761

Décès en 1761

Factorielle

Programmation

- http://factorielle.free.fr - [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm Algorithmes remarquables.] - [http://myalgorithm.com/source-94.html Algorithme factoriel] - Pascal ja:階乗 ko:계승 th:แฟกทอเรียล

Exponentielle

Approche vulgarisée

Définitions et propriétés

Définitions

Fonction exponentielle réelle

Fonction exponentielle dans le plan complexe

Fonction exponentielle et équation différentielle

Fonction exponentielle de matrices et sur une algèbre de Banach

L'application exponentielle sur les algèbres de Lie

Logarithme naturel

Conventions de notation

ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle naturelle

Qu'ont-ils de si naturel ?

Définitions

Dérivée, série de Taylor et argument complexe

Logarithme

Définition

Généralités

Logarithmes importants

Quelques propriétés

Déduction immédiate

Propriété fondamentale

Équivalence des logarithmes

Représentation graphique

Application pratique

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Logarithmes importants

Quelques propriétés

Déduction immédiate

Propriété fondamentale

Équivalence des logarithmes

Représentation graphique

Application pratique

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Logarithmes importants

Quelques propriétés

Déduction immédiate

Propriété fondamentale

Équivalence des logarithmes

Représentation graphique

Application pratique

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Logarithmes importants

Quelques propriétés

Déduction immédiate

Propriété fondamentale

Équivalence des logarithmes

Représentation graphique

Application pratique

Voir aussi

Morphisme

Cas des groupes

Cas des anneaux

Cas des espaces vectoriels

Cas des ensembles ordonnés

- http://factorielle.free.fr
- [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm Algorithmes remarquables.]
- [http://myalgorithm.com/source-94.html Algorithme factoriel] - Pascal ja:階乗 ko:계승 th:แฟกทอเรียล