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Catégorie:Nombre

Catégorie:Nombre

catégorie:mathématiques Les nombres et les ensembles de nombres sont parmi les objets les plus couramment manipulés en mathématiques. Dans cette catégorie se trouve tout ce qui s'y rapporte. ja:Category:数 ko:분류:수 simple:Category:Numbers th:Category:จำนวน

Nombre

Catégorie:Numération
- Un nombre est une quantité abstraite utilisée pour dénombrer et classer des objets ou pour mesurer une grandeur physique.
Les nombres doivent être distingués des chiffres, qui sont des (combinaisons de) symboles utilisés pour représenter les nombres. La notation des nombres comme une série de chiffres est développée dans l'article : système de numération. La langue française, à la différence de beaucoup d’autres, utilise deux mots proches : nombre et numéro, pour désigner des notions voisines. Si le numéro désigne souvent un code représenté par des chiffres (numéro de téléphonne, jeton de loto...), il suggère l'idée d'un emplacement particulier dans une suite ordonnée d'éléments (adresse dans une rue, en l'occurrence, les chiffres ne suffisent plus à exprimer le 3bis de la rue). Le nombre, quant à lui, induit plutôt l'idée de quantité, de population. Lorsqu'il n'est pas attaché à un objet (numéro) ou des objets (population), le nombre est une abstraction pure. Ainsi le numéro est représenté par des chiffres composant un nombre.

Mesure et comptage

La numération, outre le système de numération employé, connaît deux modes :
- le mode quantitatif qui exprime une mesure en utilisant des adjectifs numéraux cardinaux : trois litres, 3 000 Hz, 0,5 Ω,
- le mode ordinal qui attribue aux objets un numéro d'ordre : le premier, le deuxième, la seconde, la tierce... L'utilisation d'adjectifs numéraux cardinaux remplace alors parfois celle d'adjectifs ordinaux : page trois, l'an III du règne de Sédécias. Le nombre devient alors plutôt un numéro.

Quantification

La numération quantitative s'est fortement répandue avec la culture scientifique qui mesure son objet, qui en évalue la quantité par rapport à une unité arbitraire. Cette quantité peut être nulle (0 m) ou négative (-12 V). Le nombre de fois où l’unité peut être observé dans l’objet mesuré est entier ou fractionnaire (0,50 €). La quantification, jointe à l’usage d’une numération positionnelle, facilite grandement la manipulation conceptuelle : les opérations (les quatre de bases : addition, soustraction, multiplication, division, et autres que la Mathématique élabore). De fait, c’est l’approche quantitative du réel, jointe à une mathématique utilisant un système arithmétique positionnel qui a permis l‘émergence de la physique.

Indexation

La numération ordinale est couramment utilisée pour le comptage d'objets distincts, unitaires : les livres sur une étagère, même si les adjectifs cardinaux sont utilisés dans le langage courrant. Il s'agit alors d'une indéxation plutôt que d'une mesure. Je compte un, deux, trois, quatre, cinq livres sur l'étagère. Le troisième livre, c‘est-à-dire en troisième position, porte l'index trois. Le nombre de livres, 5, correspond à l'index le plus grand. L'indexation commence à 1. Il n'y a pas d'objet 0. Dans l‘exemple ci-dessus, il n’y a pas d'unité arbitraire, de livre de référence : un gros dictionnaire vaut un livre tout comme un simple feuillet. L’utilisation d’une quantification (pesage, mesure à la règle...) ne permet pas d’obtenir le nombre de livres sur l’étagère si ceux-ci ne sont pas homogènes. On ne cherche pas une quantité de livres ( 5 mètres linéaires d’étagère) mais un nombre de livres.

Observations

Quelques effets de l'existence de deux modes de numérotation peuvent être signalés.
- En musique, la tierce est un intervalle de deux tons. Héritée de la culture antique, la numération n'est pas quantitative mais ordinale. On ne compte pas la quantité d'intervalles mais la note sur laquelle aboutit l'intervalle : la troisième puisque celle de départ porte l'index 1 (Do = 1 ; Ré = 2 ; Mi = 3 ). Il y a une disjonction entre le rang d'une note d'arrivée (comptage de tons) et l'écart (mesure de tons).
- L’an 1 appartient au . Il n’y a pas d'an 0 puisque la numérotation des ans est un comptage. Le siècle ayant 100 années, l'an 100 appartient au même siècle. C'est l'an 101 qui commence le deuxième siècle. Ainsi, le vingtième siècle comprenait les années de 1901 à 2000 et le les années allant de 1001 à 2000. Il semble cependant que le développement de la quantification ait fait commencer le et ses festivités un an plus tôt.
- La syntaxe de certains langages informatiques fait commencer à 0 l'indexation de tableaux $var[0], $var[1], $var[2]. Si i est l'index le plus grand des éléments de la variable $var, celle-ci comprend alors i+1 éléments. L'informatique a ainsi réintroduit une disjonction entre les numérations ordinale et cardinale que la science faisait disparaître.

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les nombres entiers naturels notés par \mathbb\,, utilisés pour le dénombrement.
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs \mathbb\,. Les rapports d'entiers réalisés par la division sont appelés nombres rationnels ou fractions; l'ensemble de tous les nombres rationnels est noté \mathbb\,, formé des ensembles de nombres à développement décimal fini (les nombres décimaux) et les nombres à développement périodique. Si , dans l'ensemble, outre les éléments de \mathbb\,, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques , on obtient l'ensemble des nombres réels, noté \mathbb\,. Ces nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cet ensemble est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants. Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté \mathbb\,, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme à coefficients complexes peut être complètement factorisé. Ainsi : :\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions. En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension finie sur \mathbb\,, sont les nombres réels, les nombres complexes, et les quaternions. Les éléments des corps de fonction algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres. Ils sont historiquement apparus dans cet ordre :
- Les entiers naturels,
- Les nombres rationnels positifs,
- L'invention du zéro,
- Les entiers relatifs,
- Les nombres rationnels,
- Les nombres irrationnels et les nombres réels,
- Les nombres complexes,
- Les nombres hypercomplexes,
- Les nombres p-adiques,
- Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
- Les nombres transfinis,
- Les nombres hyperréels,
- Les nombres surréels et pseudo-réels. Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées. La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres réels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École. Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres tout à fait convenables. Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions. L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue, et sont très utilisés en théorie des nombres ; ces nombres sont cependant assez méconnus au sein même de la communauté mathématique… Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyper-réels, mais la construction est différente. Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont généralisée dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Articles connexes


- Numération ;
- mathématiques ;
- fraction ;
- les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la numérotation décimale : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ;
- nombre premier ;
- gogol ;
- nombres en français ;
- nombres dans le monde ;
- Liste des nombres ;
- Les nombres ordinaux et cardinaux ;
- Table des diviseurs.

Références


- John H. Conway, Richard K. Guy, « Le Livre des Nombres », Paris, éditions Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-03638-8
- Article nombre dans le wiktionnaire Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Editions Robert Laffont, collection "Bouquins" ja:数 ko:수 (수학) simple:Number th:จำนวน

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries


- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
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- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre


- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
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- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités


- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
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- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives


- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)


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- Analyse élémentaire
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- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques


- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes


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- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
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  - Association Bourbaki
  - Femmes et mathématiques
  - Société Mathématique de France
  - Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
  - Olympiades de mathématiques
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- Norme d'opérateur
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  - Table des bases
  - Table des diviseurs
  - Table des facteurs premiers
  - Table des symboles mathématiques
  - Table de constantes mathématiques
  - Table de limites
  - Table de dérivées
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  - Table d'intégrales

Liens internes


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- Construction des objets courants
- Erreur de signes
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- Liste des articles de mathématiques
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  - Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes


- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
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- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Luther Wright and the Wrongs

Luther Wright and the Wrongs are a Canadian alternative country band, consisting of Luther Wright, Camille Giroux, Burke Carroll, Dan Curtis and Sean Kelly. The band began as a side project for Wright when he was a member of Weeping Tile. When that band amicably parted ways following their 1998 recording This Great Black Night, the Wrongs became Wright's primary band. Weeping Tile leader Sarah Harmer has appeared as a guest musician on several of the Wrongs' albums. The band's most famous album, 2001's Rebuild the Wall, is a track-by-track reimagining of Pink Floyd's progressive rock classic The Wall as a country album.

Discography


- Hurtin' For Certain (1997)
- Roger's Waltz (1999)
- Rebuild the Wall (2001)
- Guitar Pickin' Martyrs (2003) Category:Canadian musical groups Category:Country music groups Category:1990s music groups Category:2000s music groups Category:Alternative country

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