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Catégorie:Théorie Des Nombres

Catégorie:Théorie des nombres

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- Théorie des nombres catégorie:Mathématiques Nombres

Théorie des nombres

Présentation

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Voir par exemple la liste des matières de la théorie des nombres. Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu -- c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci. Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaîssent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches. Tels que les exemples suivants :
- La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
- La conjecture de Catalan concernant les puissances d'entiers successifs,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
- La conjecture de Syracuse concernant une simple itération. La théorie de l'équation diophantienne a même été montrée comme étant indécidable (voir les Problèmes de Hilbert).

La théorie analytique des nombres

Elle emploie l'outillage du calcul et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver infiniment beaucoup de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approximé par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans ce domaine, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres. Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appelé localisation et mène à la construction des nombres p-adique ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, elle incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Des algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.

Histoire de la théorie des nombres

La théorie des nombres, une étude favorite parmi les Grecs anciens, commence sa renaissance aux 16ième et 17ième siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac, et spécialement Fermat. Au 18ième siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, et vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798), et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence. Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros. La théorie des congruences a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant : :

a \equiv b \pmod c,

et explora la plus grande partie de ce domaine. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa. A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit la loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller(?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer). On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par forme quadratique binaire. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith est due une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith. Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant : :

x^n+y^n=z^n\,\!

. Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent indépendamment le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain. Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier. À la fin du XIXième et au début du , les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera cette conjecture en 1994 avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème. Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Références

Voir aussi

- Codes correcteurs
- Cryptographie
- Libri-Carucci
- Nombre premier

Liens externes

- [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Initiation à la théorie des nombres] catégorie: Mathématiques catégorie:Théorie des nombres ja:数論 ko:수론 th:ทฤษฎีจำนวน

Property of a Lady

Octopussy and The Living Daylights is a collection of James Bond short stories, by Ian Fleming, published posthumously in the United Kingdom and the United States by Glidrose Productions, in 1966, as a postscript to his James Bond canon.

Publication overview

Before his death, Ian Fleming reportedly had intended to compile a second book of short stories in the same vein as For Your Eyes Only. After his death, Glidrose Productions followed this plan. Initially, the book contained only two short stories: (i) The final James Bond short story to be published, "Octopussy" (with agent 007 in a minor role), which was first serialized in the March and April 1966 issues of Playboy magazine, some two years after Ian Fleming's death; and (ii) "The Living Daylights", considered by critics to be the best James Bond short story, which was first published in the 1962 magazine supplement to The Times newspaper (the story also appeared under the title "Berlin Escape", in the June 1962 issue of Argosy magazine). Argosy When the first paperback edition of the collection was published in 1967, it was expanded with a third short story, "The Property of a Lady" which Fleming wrote, in 1963, for inclusion in The Ivory Hammer, the annual publication of Sotheby's auction house. In the second edition, the collection's title was shortened to Octopussy; most paperback reprints of the 1970s and 1980s used the abbreviated title. The third edition of the collection appeared in 2002, expanded with a fourth short story, "007 in New York". Originally titled "Reflections in a Carey Cadillac", it was however first published under the name "Agent 007 in New York" in the New York Herald Tribune in October 1963. In 1964 it was retitled simply "007 in New York" when published in the American edition of Thrilling Cities. The short story was written as a consolation to readers in New York City due to Fleming's grim opinion of the city. The story was not published in Britain until the late 1990s. Editions of the collection published since the mid-1990s have used the original full title, Octopussy and the Living Daylights. It is not known for certain whether any of these stories were ever actually earmarked by Ian Fleming for his never-completed collection, though it is likely "The Living Daylights", at the very least, would have been a strong contender since it (unlike the others) had already been widely published by 1964. "Octopussy" provided the title of the eponymous 1983 film, and the background for the movie character Octopussy, the daughter of the villain in the short story; the film also used most of the plot of "The Property of a Lady". In 1987, "The Living Daylights" was closely adapted for part of Timothy Dalton's eponymous first James Bond film of the same title. According to some sources, The Property of a Lady was to have been the title of Dalton's third James Bond film to be released in 1991, but it went unfilmed; little of the original short story would have been available for use, given its having been used in the Octopussy film. As for "007 in New York", some aficionados feel that, though unfilmed, the story's spirit is in the New York City segment of the 1973 film, Live and Let Die.

Plot overviews

At the start of You Only Live Twice, Bond complains about the meaningless assignments he had undertaken since the death of his wife (Tracy Bond) at the end of On Her Majesty's Secret Service. It has been suggested that the stories in this collection may well have taken place during this dark period of Bond's career.

"Octopussy"

Bond is assigned to apprehend a hero of the Second World War implicated in a murder involving a cache of Nazi gold. Agent 007 appears briefly in this story, which is told mostly in flashback and from the point of view of Major Dexter Smythe, the villain. (The later 1983 film of the same name introduced a female protagonist who is said to be the major's daughter.)

"The Living Daylights"

An unusually morose James Bond is assigned sniper duty to help a defector known as "272" escape East Berlin. Bond's duty is to prevent a top KGB assassin codenamed "Trigger" from killing 272 by eliminating the sniper. However, the assignment becomes difficult when Bond discovers that Trigger is a beautiful female cellist whom he had earlier admired. Bond, never wishing to kill anyone in cold blood, decides to instead shoot the butt of her rifle, preventing her from making the kill. The mission, while successful, is also considered a failure due to Bond's last second decision, and it ends with Bond hoping that M fires him for it.

"The Property of a Lady"

James Bond investigates a Secret Service employee, Maria Freudenstadt, who is a double agent about to be paid by her Russian keepers by auctioning a Fabergé egg at Sotheby's in her name. The Russians have sent a man from London, known as the underbidder, to push the price of the item to the necessary value to pay for her services as a double agent. Bond attends the auction in hopes of spotting this man and after doing so has the man expelled from London as persona non grata. Maria Freudenstadt was hired by the British Secret Service with prior knowledge that she was an agent of the KGB. She is essentially tasked with sending phony SITREPS to Washington D.C., which she copies and sends to Moscow unknowning that they are fake. Her unpleasant fate is revealed in Fleming's novel, The Man with the Golden Gun, though as it happened most readers did not get to see this story, in which she first appeared, until several years after the novel came out.

"007 in New York"

The story, "007 in New York", is an inconsequential tale in which Bond muses about New York City, and his favorite recipe for scrambled eggs, during a quick mission to the Big Apple to warn a female MI6 employee that her new boyfriend is a KGB agent.

Comic strip adaptations

Two of Fleming's short stories were adapted as daily comic strips which were published in the British Daily Express newspaper and syndicated worldwide.
- "The Living Daylights" ran from September 12 to November 12, 1966, adapted by Jim Lawrence and illustrated by Yaroslav Horak.
- "Octopussy" ran from November 14, 1966 to May 27, 1967, again by Lawrence and Horak. Both comic strips were reprinted by Titan Books in the early 1990s, and again in 2004. To date, "The Property of a Lady" and "007 in New York" have not been adapted as comic strips. Along with "Quantum of Solace" from For Your Eyes Only, these remain the only Ian Fleming Bond stories not yet adapted in this form.