Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Числа Бернулли

Числа Бернулли

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел: :\sum_^N n^k=\frac1\sum_^kC^s_B_s N^

Значения первых чисел Бернулли

nBn
01
1−1/2
21/6
30
4−1/30
50
61/42
70
8−1/30
90
105/66
110
12−691/2730
130
147/6

Свойства


- Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B_1, равны нулю, знаки B_ чередуются.
- Числа Бернулли являются значениями при x=0 многочленов Бернулли: B_n = B_n(0). Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли: ::\frac x=\sum_^\infty\fracx^n, |x|< 2\pi,
- x\operatorname x=\sum_^\infty (-1)^nB_\fracx^, |x|<\pi,
- \operatorname x=\sum_^\infty|B_|\frac, |x|<\pi/2.
- Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана \zeta(s) при четных s=2m: ::B_=2(-1)^\frac . :Из чего следует ::B_n=-n\zeta(1-n) для всех n.
- \int_0^\infty \frac=\frac1|B_|, n=1,2,...

Литература


- Абрамович В. [http://kvant.mirror0.mccme.ru/1974/06/chisla_bernulli.htm Числа Бернулли], Квант, №6, 1974; Категория:Числа ja:ベルヌーイ数

Производящая функция

В комбинаторике, производя́щая фу́нкция последовательности \ — это формальный степенной ряд :\sum_^\infty a_n x^n Экспоненциальная производящая функция последовательности \ — это формальный степенной ряд :\sum_^\infty a_n \frac Довольно часто производящая функция интересующей последовательности \ является рядом Тейлора известной аналитической функции, и это может используется для изучения свойств самой последовательности. Тем не менее, следует отметить, что производящей функции не должна соответствовать аналитическая функция. Например, оба ряда :\sum_^\infty (3^n)^n x^n и \sum_^\infty (2^n)^n x^n имеют радиус сходимости ноль, т.е. расходятся во всех точках кроме нуля, а в нуле оба дают 1, т.е. как функции они совпадают, тем не менее как производящие функции (т.е. формальные ряды) они различны. Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы. Метод производящих функций был разработан Эйлером в 50-ых годах 18-го века.

Свойства


- (Экспоненциальная) производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих (экспоненциальных) производящих функций.
- Если A(x)=\sum_^\infty a_n x^n и B(x)=\sum_^\infty b_n x^n — производящие функции последовательностей \ и \, то A(x)B(x)=\sum_^\infty c_n x^n, где c_n = \sum_^n a_k b_.
- Если A(x)=\sum_^\infty a_n \frac и B(x)=\sum_^\infty b_n \frac — экспоненциальные производящие функции последовательностей \ и \, то A(x)B(x)=\sum_^\infty c_n \frac, где c_n = \sum_^n a_k b_.

Пример(ы)

Пусть B_n есть число представлений числа n в виде k_1+k_2+\cdots+k_m где \ неотрицательные целые числа и m фиксировано, тогда :\sum_^\infty B_nx^n=(1+x+x^2+\cdots)^m=(1-x)^. Взяв n раз производную в нуле получаем формулу :B_n=m(m+1)\cdots(m+n-1)/n!=.

Ссылки


- Воронин С., Кулагин А., [http://kvant.mccme.ru/1984/05/metod_proizvodyashchih_funkcij.htm Метод производящих функций], Квант, № 5, 1984.
- Ландо С.К. [http://www.mccme.ru/ium/ancient/combs93.html Лекции по комбинаторике], [http://www.mccme.ru МЦНМО], 1994. Category:Комбинаторика

Квант (журнал)

«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов. Является первым в мире научным журналом для школьников, рассчитанным на массового читателя.

История

Идею создания «Кванта» первым высказал академик Капица в 1964 году. В январе 1970 года читатели получили первый номер журнала. Главным редактором стал тогда академик Кикоин, первым заместителем главного редактора — академик Колмогоров. У журнала были два братско-дочерних проекта на английском и греческом языках.

Ссылки


- [http://kvant.info/ Сайт редакции]
- [http://kvant.mccme.ru/ Здесь] все выпуски по 2003-ий год.
- [http://www.nsta.org/quantum/ Quantum], в настоящее время мёртвый, братский проект в США. Category:Научно-популярные журналы

Toon

Toon on:
- Toon muusikas
- Toon keeleteaduses
- Hääletoon ehk intonatsioon

Sennik online Pozycjonowanie online spielautomaten Pozycjonowanie Darmowe gry online










































:: RELATED NEWS ::
Nils-Aslak Valkeapää
Nils-Aslak Valkeapää (født 23. mars 1943 i Enontekiö, død 27. november 2001 i Espoo) var en finsk-samisk kunster, musiker og forfatter. Han bodde i Käsivarsi i Finland og i
Londons rushtrafikkavgift
Londons rushtrafikkavgift (London Congestion Charge) er en avgift som ilegges bilister når de kjører i London sentrum. London var ikke den første byen til å innføre rushtrafikkavgift, men pr. 2004 den største byen som har gjort det. Avdelingen London Street Management i Roy Plunkett i firmaet DuPont, som markedsfører stoffet under handelsnavnet Teflon. PTFE blir også fremstilt og markedsført av andre firmaer under navn som DyneonTMPTFE (tidligere Hostaflon), Heydeflon, Ekafluvin, Fluon, Algoflon, Polyflon og Gore-Tex. F F F F F | | | | | ··· -C-C-C-C-C- ··· | | | | | F F F F F

Egenskaper

PTFE har noen helt spesielle egenskape
Teflon
Polytetrafluoreten (forkortet PTFE) er en fluoretenplast som ble oppfunnet i 1938 av Roy Plunkett i firmaet DuPont, som markedsfører stoffet under handelsnavnet Teflon. PTFE blir også fremstilt og markedsført av andre firmaer under navn som DyneonTMPTFE (tidligere Hostaflon), Heydeflon, Ekafluvin, Fluon, Algoflon, Polyflon og Gore-Tex. F F F F F | | | | | ··· -C-C-C-C-C- ··· | | | | | F F F F F

Egenskaper

PTFE har noen helt spesielle egenskape
Fríða Á. Sigurðardóttir
Fríða Áslaug Sigurðardóttir (Frida Aslaug Sigurdsdatter) (født 11. desember 1940 på Hesteyri i Sléttuhreppi) er en islandsk forfatter. Hun er utdannet cand. mag. i islandsk, og debuterte som forfatter i 1
London Congestion Charge
Londons rushtrafikkavgift (London Congestion Charge) er en avgift som ilegges bilister når de kjører i London sentrum. London var ikke den første byen til å innføre rushtrafikkavgift, men pr. 2004 den største byen som har gjort det. Avdelingen London Street Management i Southwark, London. Navnet kommer antagelig fra gammelengelsk Wealhworth, som betyr «walisisk gård»; walisisk har her betydningen innfødt britisk i motsetning til angelsaksisk. John Smith House, en bygning på Walworth Road som har navn etter Arbeiderpartilederen John Smith<
Ten Sing
Konseptet Ten Sing (Teenage Singing) står under KFUK/KFUM, og ble startet i Norge i 1968. I dag finnes det ca 100 Ten Sing-grupper spredt rundt i hele Norge. Til sammen er det nærmere 4000 ungdommer som ukentlig er på Ten Sing-øvelse i en kirke, menighetshus eller foreningshus. Ten Sing er en bevegelse og et begrep som er kjent i kirke og samfunnsliv ellers. Ideen er at ungdommer skal utvikle seg kreativt i et trygt, åpent, modig og kristent miljø. For mange er det ukentlige Ten Sing-arbeidet en inngangsport til kirken og en kristen tro. Ten Sing er en metode i kristent ungdomsarbeid
Einar Már Guðmundsson
Einar Már Guðmundsson (født 18. september 1954 i Reykjavík) er en islandsk forfatter. Han debuterte som forfatter med diktsamlingane Sendisveinninn er einmana og Er nokkur í kórónafötum hér inni? i 1980. Det er likevel som romanforfatter han har blitt kjent; hans f
All Rights Reserved 2005 wikimiki.org