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Gauss

Gauss


- Le célèbre mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss
- L'unité de mesure, noté G, de champ magnétique, le gauss
- La loi de Gauss, ou normale gaussienne, ou de Laplace-Gauss

Mathématicien

ja:数学者 Catégorie:Mathématiques
- Un mathématicien est un chercheur en mathématiques, ce qui recouvre donc une large palette de compétences et de pratiques très différentes, avec néanmoins en commun un même fond de vocabulaire, et une même exigence de rigueur. Pour mériter d'être qualifié de mathématicien, il faut quand même être reconnu d'avoir contribué significativement au développement de la science mathématique.

Voir aussi


- Mathématiciens célèbres

Allemand

L'allemand (Deutsch en allemand), est une langue appartenant au groupe des langues germaniques occidentales de la famille indo-européenne. C'est la langue la plus parlée au sein de l'Union européenne.

Histoire

Première mutation consonantique

Avec la première mutation consonantique (erste germanische Lautverschiebung) aux environs du , naissait le germanique commun à partir d'un dialecte indo-européen. Cette transformation explique des différences entre les langues germaniques (plus l'arménien) et les autres langues indo-européenes. On peut, pour simplifier, présenter les faits ainsi :
- k → h : cord en latin — Herz en allemand, heart en anglais
- p → f : pater en latin — father en anglais, Vater en allemand
- t → th : tres en latin — three en anglais, drie en néerlandais
- d → t : decem en latin — ten en anglais, tien en néerlandais
- g → k : gula en latin — Kehle en allemand, keel en néerlandais
- bh → b : bhrātā en sanskrit (frater en latin) — Bruder en allemand, brother en anglais
- dh → d : adham en sanskrit — deed en anglais, daad en néerlandais
- gh → g :
- ghostis en indo-européen (hostis en latin) — Gast en allemand, guest en anglais Articles complets : Loi de Grimm et Loi de Verner.

Seconde mutation consonantique

On commence à parler de langue allemande lorsque les dialectes parlés dans le Sud-Ouest de l'Allemagne subirent la seconde mutation consonantique (zweite germanische Lautverschiebung ou hochdeutsche Lautverschiebung, que l'on situe grosso modo vers le ), au cours de laquelle la langue commença à se différencier des dialectes du nord (Niederdeutsch, bas-allemand). Cette modification phonétique explique un certain nombre de différences entre l'allemand actuel et, par exemple, le néerlandais ou l'anglais :
- k → ch : ik — ich (je) ; ook — auch (aussi) ; make/maken — machen (faire)
- d → t : dag/day — Tag (jour) ; bed — Bett (lit); do/doen — tun (faire)
- t → s : wat/what — was (quoi) ; street/straat — Straße (rue) ; eat/eet — essen (manger)
- t → (t)z : sitten/sit — sitzen (être assis) ; two/twee — zwei
- p → f : slapen/sleep — schlafen (dormir) ; schip/ship — Schiff (bateau) ; help/helpen — helfen (aider)
- p → pf : peper/pepper — Pfeffer (poivre) ; paard — Pferd (cheval)
- v, w, f → b : geloof/believe — Glaube (croyance) ; avond/evening — Abend (soir) Article complet : Seconde mutation consonantique. Le nom d'allemand est également donné aux dialectes du nord qui n'ont pas ou peu subi cette transformation phonétique, même si l'appellation est considérée par les linguistes comme abusive.

Moyen Âge

Entre le et le eut lieu une diphtongaison dans les parlers du Sud-Ouest concernant l'articulation en deux phonèmes de ei, eu et au. Cela explique à nouveau certaines différences entre l'allemand standard et, par exemple, le néerlandais (les lettres dans les parenthèses expliquent la prononcation en utilisant la langue française):
- û (ou), → au (aou): hūs — Haus (maison) ; mūs — Maus (souris)
- î, (î) → ei (aille) : wīse — Weise (maniére) ; zīt — Zeit (temps)
- iu (û) → eu (≈oï): liute — Leute (des gens) ; hiute — heute (aujourd'hui) Contrairement aux États voisins, les contrées germaniques sont restées morcelées (Kleinstaaterei) au cours de l'ensemble du Moyen Âge contribuant au développement de dialectes très différents et, parfois, mutuellement inintelligibles. Un premier pas vers une langue interrégionale correspond au Mittelhochdeutsch poétique des poètes de cour vers le , bien que l'influence sur la langue vulgaire fut quasiment nulle, en raison de la faible alphabétisation. Aussi les régions germaniques restèrent-elles longtemps coupées en deux régions linguistiques :
- Au Nord, et en particulier du temps de la Hanse, le bas-allemand servait de langue véhiculaire de la mer du Nord à la mer Baltique.
- Au Sud se développait petit-à-petit, essentiellement à l'écrit, depuis le une « langue compromis » entre les différents dialectes qui devint l'allemand standard (Hochdeutsch). Il est à noter que ce processus est assez différent de celui des États voisins qui adoptèrent la langue de leur capitale.

Influence de la Réforme

En 1521, Martin Luther traduisit le Nouveau Testament dans cet allemand standard en développement et en 1534, l'Ancien Testament. Bien que Luther ne fut pas, comme il fut considéré autrefois, le pionnier dans l'établissement d'une langue interrégionale — en élaboration depuis le — il n'en reste pas moins que la Réforme contribua à implanter l'allemand standard dans les administrations et les écoles, y compris dans le Nord de l'Allemagne qui finit par l'adopter. Mais, jusqu'au début , le Hochdeutsch resta une langue souvent écrite, que beaucoup d'Allemands, en particulier dans le Nord, apprenaient comme une langue étrangère.

L'allemand en Europe centrale

Avec la domination de l'Empire austro-hongrois en Europe centrale, l'allemand y devint la langue véhiculaire. En particulier, jusqu'au milieu du , les marchands et, plus généralement, les citadins y parlaient l'allemand, indépendamment de leur nationalité : Prague, Budapest, Bratislava, Zagreb et Ljubljana constituaient des îlots germanophones au milieu des campagnes qui avaient conservé leur langue vernaculaire.

Normalisation de l'orthographe et de la grammaire

Johann Christoph Adelung publia en 1781 le premier dictionnaire allemand exhaustif, initiative suivie par Jacob et Wilhelm Grimm en 1852. Le dictionnaire des frères Grimm, publié en seize tomes entre 1852 et 1960, reste le guide le plus complet du vocabulaire allemand. Cette normalisation progressive de l'orthographe fut achevée grâce au Dictionnaire orthographique de la langue allemande de Konrad Duden en 1880, qui fut, à des modifications mineures près, déclaré comme référence officielle dans la réforme de l'orthographe de 1901.

Classification

C'est une langue germanique de la branche ouest, proche, notamment, du néerlandais.

Langues régionales

bas-allemand


- néerlandais
- afrikaans
- allemand du Nord
- bas-saxon

haut-allemand


- moyen-allemand
  - moyen allemand occidental
    - moyen-francique
      - mosellan
      - luxembourgeois
      - francique ripuaire
    - francique rhénan
      - palatin
      - hessois
  - moyen allemand oriental
    - thuringeois (haut-saxon)
    - berlinois (brandebourgeois)
    - dialectes de Lausitz
    - yiddisch
- allemand supérieur
  - francique
    - francique oriental
    - francique du méridional
      - francique du Main
  - allemand pennsylvanien
  - bavarois
    - autrichien
    - dialectes de Bavière
  - alémanique
    - alsacien
    - souabe
    - suisse alémanique
    - bas alémanique
    - haut alémanique

Répartition géographique


- en Europe :
  - L'allemand est langue officielle en Allemagne, en Autriche, au Liechtenstein, en Suisse, au Luxembourg, en Belgique et dans la région italienne du Tyrol du Sud;
  - République tchèque, Slovaquie, Hongrie, Pologne, Russie (Allemands de la Volga), Roumanie (Namat) ;
- en Afrique : Namibie, Togo, Afrique du Sud ;
- en Amérique : Amérique du Nord (en particulier en Pennsylvanie aux États-Unis où vit une communauté amish importante), Amérique du Sud (Paraguay, Chili, Argentine, Brésil). Note : que l'allemand soit devenu langue officielle dans certains États des États-Unis d'Amérique est une rumeur infondée. Source : wikipédias allemand et espagnol (en désaccord entre eux). À vérifier depuis une source plus sûre.

Langues dérivées

Le yiddish est une langue dérivée du vieil-allemand, dans lequel ont été introduits des mots d'origine slave ou hébraïque. L'unserdeutsch est un créole formé à partir d'un lexique allemand.

Écriture

L'allemand s'écrit avec les 26 lettres de l'alphabet latin, trois voyelles surmontées d'un Umlaut (sorte de tréma) ä, ö et ü, et un symbole spécial ß, eszet, utilisé en lieu et place de ss dans certains cas (principalement après une voyelle longue ou une diphtongue). La Suisse n'utilise plus le ß depuis les années 1930. Jusque dans les années 1940, l'allemand était imprimé en écriture gothique (Fraktur) et écrit en sütterlin, versions de l'alphabet latin difficiles à déchiffrer pour le profane.

Orthographe

:Voir article de fond : Réforme de l'orthographe allemande. L'orthographe allemande se déduit en général de la prononciation et d'un minimum de connaissances. Il est toutefois à noter que les fortes disparités régionales au niveau de la prononciation peuvent rendre la tâche ardue. Les difficultés orthographiques principales résident dans :
- les Fremdwörter (mots d'origine étrangère) : ils sont souvent écrits conformément au mot d'origine (par ex. Milieu, Mayonnaise) ;
- les lettres ä et e (e ouvert ou fermé), dans certains cas homophones et dans d'autres de prononciations voisines (par ex aufwendig dérivé de Aufwand, où l'orthographe reformée permet d'aussi écrire aufwändig) ;
- la distinction entre consonne simple et consonne double qui, dans un nombre limité de mots et contrairement à la règle habituelle, n'a pas d'influence sur la longueur de la voyelle (par ex. Tip mais tippen, Platz [tz est considéré comme un double z] mais plazieren) ;
- la séparation entre les mots (par ex. radfahren « aller à vélo » à côté de Auto fahren « aller en voiture ») et la (non-)capitalisation de certaines expressions (par ex. im dunkeln lassen « laisser incertain » à côté de (jemanden) im Dunkeln lassen « laisser (qqn) dans un endroit obscure »). Afin de supprimer une partie des difficultés ci-dessus, les représentants allemands, suisses et autrichiens convinrent d'une réforme de l'orthographe. Elle est entrée en vigueur en 1998 en Allemagne et deviendra obligatoire à partir de la mi-2005. La dernière réforme datait de 1901. Les principaux changements concernent :
- l'homogénéisation de la graphie des mots de même famille (aufwändig de Aufwand, mais toujours aufwenden) ;
- l'utilisation du ß uniquement après les voyelles longues et les diphtongues (on aura alors toujours der Fuß, die Geiß, mais der Fluss, ce qui est analogue aux règles pour les autres consonnes) ;
- dans les mots composés, aucune lettre ne sera plus supprimée (Geschirr + Rückgabe > Geschirrrückgabe ou, alternativement, Geschirr-Rückgabe) ;
- la généralisation plus exhaustive de l'écriture en plusieurs mots des expressions figées (auseinander reißen), ce qui est la chose la plus critiquée et qui a aussi créé des nouveaux problèmes: "Furcht erregend" (intimidant, traditionellement "furchterregend") mais toujours "noch furchterregender" (encore plus intimidant)
- la systématisation de la capitalisation des substantifs (der Dritte) ;
- la simplification de la césure et de l'emploi de la virgule. Cette réforme rencontre une forte critique en Allemagne. Le Land de Schleswig-Holstein a voté le retour à l'orthographe traditionnelle en 1998 (décision annulée pourtant par le Landtag [parlement régional]) et certains journaux et éditeurs ont depuis décidé de revenir à la graphie traditionnelle.

Prononciation

:Voir article de fond : Prononciation de l'allemand. Contrairement à l'anglais ou au français, l'allemand classique (Hochdeutsch) se prononce de manière assez conforme au texte écrit, hormis pour les mots d'emprunt. Toutefois, les francophones rencontrent généralement quelques difficultés, listées ci-dessous.
- Les deux prononciations du ch n'existent pas en français :
  - après a, u et o, il se prononce /χ/, comme en espagnol dans Juan, « Jean » ;
  - après i, e, ä, ö et ü, il se prononce /ç/, comme en grec moderne dans Όχι, « non ».
- Le coup de glotte au début des mots (et de certaines syllabes) commençant par une voyelle marque une séparation nette entre les mots. Le français, en revanche, a tendance à lier les mots entre eux.
- L'accent tonique est assez souvent placé sur la première syllabe, contrairement à la prononciation française standard qui accentue la dernière syllabe.
- Le h est aspiré comme en anglais. ----

- est parfois retranscrit en .
Note :
b = à la fin d'une syllabe ou avant s ou t, devant une voyelle
ch = après a, o ou u, lorsque suivi par a, o ou u au début d'un mot, ailleurs
d = à la fin d'une syllabe ou avant s ou t, ailleurs
e = dans les syllabes inaccentuées
g = à la fin d'une syllabe ou avant s ou t, avant une voyelle, dans les mots étrangers. ig =
h allonge la voyelle lorsqu'il la suit, ailleurs
j = dans les mots étrangers, ailleurs
r = entre une voyelle et une consonne : ou il ne se prononce pas, ou ailleurs
s = au début d'un mot et entre deux voyelles, devant t ou p, ailleurs
v = dans les mots étrangers, ailleurs
y = dans les mots provenant du grec, ou ailleurs dsch, ph, qu et y se trouvent majoritairement dans les mots étrangers

Grammaire

L'allemand est une langue flexionnelle comportant des conjugaisons et des déclinaisons.

Conjugaison

:Voir article de fond : Conjugaison de l'allemand. Le principe de la conjugaison allemande est assez proche du français. Les différences notables sont
- L'existence du subjonctif I, essentiellement destiné à relater les propos d'autrui
- La différence entre passif-action (Das Haus wird gebaut, la maison est [en train d'être] construite) et passif-état (Das Haus ist gebaut, la maison est construite [elle est finie]). En ce qui concerne la morphologie, le deux principaux types de verbes sont
- Les verbes faibles, qui conservent leur radical et ont un participe passé en -(e)t. Ces verbes sont le plus souvent réguliers.
- Les verbes forts, qui modifient leur radical au prétérit, au participe passé et parfois au présent. Ils ont un participe passé en -en. Ils sont dits irréguliers, le changement de radical n'étant pas prévisible. Parmi les verbes irréguliers se rangent également les auxiliaires de mode (können, pouvoir ; dürfen, avoir le droit; etc.), qui sont employés dans un nombre important de contextes différents.

Déclinaison

Voir article de fond : Déclinaisons allemandes La déclinaison allemande comporte quatre cas, le nominatif, l'accusatif, le datif et le génitif, auxquels s'ajoutent trois genres, le masculin, le féminin et le neutre ainsi que deux nombres, le singulier et le pluriel. Le porteur essentiel de la marque de déclinaison est le déterminant, secondé par l'adjectif épithète. Les déclinaisons sont employées :
- Pour indiquer la fonction d'un groupe nominal : sujet, objet, complément d'attribution, ou complément du nom.
- Après certaines prépositions (Wechselpräpositionen) pour indiquer s'il y a changement de lieu ou non
- En fonction du cas exigé par les prépositions ainsi que par les verbes, les adjectifs ou les noms suivis d'un complément.

Syntaxe

Voir article de fond : Syntaxe allemande L'allemand a pour particularité syntaxique principale de placer les éléments importants, soit en première position dans la phrase, soit dans les dernières positions. Par exemple : Er nahm gestern trotz aller Schwierigkeiten diese Maschine in Betrieb. Il a mis cette machine en service hier malgré toutes les difficultés. Sont mis en valeur
- Le sujet er (il)
- L'action in Betrieb [nehmen] ([mettre] en service) placée en fin de phrase
- L'objet diese Maschine (cette machine) Avant l'action et l'objet sont énumérées les circonstances. L'ordre de la phrase peut être modifié pour insister sur un des éléments, que l'on place alors en tête de phrase : Gestern nahm er trotz aller Schwierigkeiten diese Maschine in Betrieb. C'est hier qu'il a mis cette machine en service malgré toute les difficultés. Trotz aller Schwierigkeiten nahm er gestern diese Maschine in Betrieb. Malgré toutes les difficultés, il a mis cette machine en service hier. Diese Maschine nahm er gestern trotz aller Schwierigkeiten in Betrieb. C'est cette machine qu'il a mis en service hier malgré toutes les difficultés.

Lexique

Noms de la langue allemande

La langue allemande (ainsi que le peuple) a la particularité d'avoir des appellations très différentes d'une langue à l'autre (par exemple German, Deutsch, alemán, német, etc.). En effet, six racines différentes entrent en jeu :
- le proto-germanique
- teutā- pour « peuple » (parfois suffixé) :
  - danois tysk ;
  - suédois tyska ;
  - néerlandais Duits ;
  - bas latin thiosticus (cf. Synode de Tours) ;
  - latin (lingua) Theodisca ;
  - français tudesque (terme vieilli) ;
  - italien tedesco ;
  - japonais ドイツ (doitsu); :Note : c'est le même radical qui donne Dutch en anglais, « néerlandais », teuton en français. Le bas latin thiosticus vient du vieil haut allemand diutisc ;
- le nom du peuple germanique en latin, Germānus, peut-être emprunté au celtique gair maon, « peuple voisin » :
  - albanais Gjermanishte ;
  - anglais German ;
  - grec Γερμανικά ;
  - roumain germană;
- le nom de la tribu saxonne, du latin Saxō, Saxones (étymologie peu claire) :
  - estonien saksa ;
  - finnois saksa ;
- le vieux slave pour « muet », à comprendre au sens de « qui ne parle pas notre langue » :
  - tchèque němčina ;
  - hongrois német ;
  - russe немец
  - ukrainien німецький ; :Note : une autre étymologie rapproche cette racine du nom du fleuve Niémen, au-delà duquel vivaient les tribus germaniques.
- le nom de la tribu allemande, vraisemblablement du vieil haut allemand ala manni, « tous les hommes » (cf. alle et Mann en allemand), via le bas latin Alamanus ou Alemanus pour les langues romanes :
  - islandais almennr ;
  - français allemand ;
  - portugais alemão ;
  - espagnol alemán ;
  - turc Alman ;
- peut-être un mot pour « ouest » dans les langues baltes :
  - letton vācu ;
  - lituanien vokiečių.

Emprunts de l'allemand en français

Un nombre important de mots furent empruntés aux dialectes germaniques par le roman et l'ancien français (par ex. heaume, éperon, cible, fauteuil) ; seuls les mots d'origine plus récente sont encore discernables en tant qu'emprunts lexicaux (frichti, ersatz). À titre d'exemple, voici une liste non exhaustive de mots français provenant de l'allemand ou de l'un de ses dialectes :
- accordéon < Akkordion
- alpenstock
- arquebuse < hâkenbühse (moyen haut-allemand)
- asticoter < daß dich Gott... « que Dieu te...»
- aurochs
- beffroi < běrgfrîd (moyen haut-allemand)
- bivouac < Bîwacht (allemand de Suisse) ou bijwache (néerlandais)
- blafard < bleichvar (moyen haut-allemand)
- blende
- blinde < blenden « aveugler »
- blitzkrieg
- blockhaus
- bocard < Pochhammer
- bock
- boulevard < Bolwërc « ouvrage de madrier, rampart » (moyen haut-allemand) ou bolwerc (moyen néerlandais)
- bouquetin < Steinbock « bouc de rocher »
- bourgmestre < Bürgermeister (maire)
- bunker
- choucroute < Sauerkraut
- cible < schîbe (alémanique, cf. l'allemand Scheibe « disque »)
- ersatz
- hère < Herr (« Seigneur, Monsieur »), mais cette origine est discutée
- frichti < Frühstück (« petit déjeuner »)
- képi < Kappe
- kirsch < Kirschwasser
- kaputt < kaputt
- leitmotiv
- loustic < lustig « drôle, gai »
- mouise < mues « bouillie » (allemand dialectal du sud)
- nazi
- putsch
- reître < Reiter « cavalier »
- stalag < Stammlager
- trinquer < trinken « boire »
- vasistas < was ist das? « qu'est-ce ? »

Exemples

Voir aussi

Liens internes


- langue allemande
  - déclinaisons allemandes
  - prononciation allemande
  - conjugaison allemande
    - Verbes forts (allemand)
  - syntaxe allemande
- linguistique
  - dictionnaire des langues
    - langues par famille
      - langues indo-européennes
      -
- langues germaniques
      -
  - langues germaniques occidentales
      -
    - groupe germano-néerlandais
    - langues par zone géographique
      - langues régionales d'Allemagne
- liste des noms français de toponymes allemands

Liens externes


- [http://www.sprachtausch.net Sprachtausch.net] Site en allemand pour trouver quelqu'un pour vous enseigner, par exemple Allemand dans l'échange avec votre langue.
- [http://www.goethe.de/ Institut Goethe] (en allemand)
- [http://www.steinke-institut.de/ Steinke Institut]
- [http://www.freelang.com/dictionnaire/allemand.html Dictionnaire Freelang] - Dictionnaire allemand-français/français-allemand de Bertrand Cornu.
- [http://dico.leo.org/?lang=fr Dictionnaire LEO ] - Dictionnaire allemand-français/français-allemand en ligne
- [http://cronimus.free.fr/dico/index.htm Dictionnaire Cronimus] - Dictionnaire allemand-français de Jean-Paul Cronimus conçu comme un dictionnaire papier, nombreux exemples traduits, acronymes, vocabulaire du Zertifikat Deutsch
- [http://cronimus.apinc.org/dico/index.htm Dictionnaire Cronimus] Site alternatif 1
- [http://membres.lycos.fr/orfanses/dico/index.htm Dictionnaire Cronimus] Site alternatif 2
- [http://allemand.linguistmail.com Allemand tous les jours] (site commercial)
- [http://katalogdeutsch.net Katalog Deutsch] Annuaire de ressources pour l'Allemagne et la langue allemande
- [http://www.loecsen.com/travel/discover.php?lang=fr&to_lang=1/ Expressions pratiques en allemand]
- [http://languageserver.uni-graz.at/ls/lang?id=82 Standard German (Languages of the World)] Catégorie:Langue germanique Catégorie:Langue allemande Catégorie:Langue officielle de l'Union européenne als:Deutsche Sprache ko:독일어 ms:Bahasa Jerman ja:ドイツ語 simple:German language th:ภาษาเยอรมัน

Unité de mesure

Voir également la page d'homonymie Unité En physique et en métrologie, les unités sont des étalons pour la mesure de quantités physiques qui ont besoin de définitions précises pour être utiles. Différents systèmes d'unités sont basés sur des choix différents du jeu d'unités fondamentales. De nos jours, le système d'unités le plus utilisé est le Système international (SI). Il y a sept unités de base SI. Toutes les autres unités SI peuvent être dérivées de ces unités de base. D'autres systèmes d'unités qui ont été utilisés à des fins variées comprennent :
- le système d'unités CGS

Unités en tant que dimensions

Unités de base et unités dérivées

Conversion d'unités

Préfixes du système SI

Calculs au moyen d'unités

Exprimer une valeur physique dans une autre unité

Unités non-standard


- Zolotnik

Voir aussi


- Étalon international ISO 31 : Quantités et unités
- Unités de mesure de l'Ancien Régime

Liens externes


- [http://www.eppo.go.th/ref/UNIT-OIL.html Unit Conversion : Oil Industry Conversions]

Convertisseurs


- [http://calc.skyrocket.de/en/ Online Unit Converter - Conversion of many different units]
- [http://www.santos.com/ConversionCalculator.aspx?p=73 Santos - Conversion Calculator] Category:Unité de mesure Category:Métrologie ja:物理単位

Champ magnétique

Le champ magnétique est une grandeur physique engendrée par le déplacement de charges électriques (courant électrique), et capable d'exercer une force sur d'autres charges électriques en mouvement. Il affecte le déplacement des particules chargées en infléchissant leur trajectoire, sans les ralentir, ni les accélérer. Il est ainsi utilisé pour courber leur trajectoire dans les accélérateurs de particules. Le champ magnétique naît de deux phénomènes :
- Le déplacement d'une particule chargée crée un tel champ,
- Certaines particules possèdent un moment magnétique permanent : elles génèrent autour d'elles un champ magnétique. Tout courant génère un champ magnétique : il s'agit d'un déplacement de charges. C'est le principe des électro-aimants. Plus le courant est intense, plus le champ magnétique généré est intense. Le champ magnétique terrestre protège la terre parce qu'en courbant la trajectoire des particules chargées issues du soleil, il les détourne (voir magnétosphère). On pense qu'il est dû aux mouvements du manteau sous la croûte terrestre et aux courants électriques générés par ce phénomène. Une assemblée de molécules ou de particules possédant un moment magnétique, si les moments sont orientés dans une même direction en majorité, forme ce qu'on appelle un aimant permanent. À noter que le fait qu'ils s'orientent tous de la même manière ne peut être expliqué que d'un point de vue quantique (principe d'exclusion et hamiltonien de Heisenberg) - même si des moments magnétiques ont tendance à s'aligner sur le champ magnétique. Dans le vide, le champ généré en un point P par une charge en mouvement q, située en un point O et se déplacant à la vitesse \vec, est donné par la relation suivante :
::::\vec(P)=\frac.\frac avec B en Tesla (T), q en Coulomb (C), v en mètres par seconde (m/s), OP en mètres (m), et μ0 la perméabilité magnétique du vide qui vaut 4π.10-7m.kg.C-2.

Voir aussi


- magnétisme
- aimant
- électroaimant
- géophysique
- magnétomètre Catégorie:Électromagnétisme ja:磁場

Gauss (unité)

Le gauss est l'unité CGS « électromagnétique » à trois dimensions d'induction magnétique. Il est défini comme étant 1 maxwell par centimètre carré. Le gauss, nommé en l'honneur de Carl Friedrich Gauss, ne peut pas être comparé strictement à l'unité correspondante du système international (SI), le tesla, car le SI est à quatre dimensions lorsqu'on se limite aux grandeurs mécaniques et électriques. Cela dit, le gauss correspond à 10-4 T. Une autre façon de voir la conversion commence avec 1 T = 1 kg/A s² ; on convertit d'abord au gramme (d'où facteur 10-3), puis on substitue l'AbAmpère à l'ampère, ce qui ajoute un autre facteur 10-1. Catégorie:Unité de mesure électromagnétique Catégorie:Unité CGS ja:ガウス ko:가우스 (단위) th:เกาส์

Loi normale

La loi normale centrée réduite

La fonction \varphi : \R \to \R^+ définie par : : \varphi(t)=\frac\, \mathrm^ est une densité de probabilité : elle est continue, et son intégrale sur \ \R est égale à 1. On sait en effet que que \ \int_^\mathrm^\ dt = \sqrt (intégrale de Gauss). On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1. Remarques :
- la densité \varphi est paire ;
- elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout \ t \in \R, l'identité \varphi'(t) = - t\, \varphi(t).

Définition

On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité \varphi. La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss). Image:Gauss_reduite.png

Moments

Les moments de cette loi existent tous. Pour tout \ n \in \mathbb, le moment d'ordre n est : :\ m_n = \int_^ t^n\, \varphi(t)\, dt.
- Par parité de l'intégrande, tous les moments d'ordre impair sont nuls.
- Supposons ici n pair : \ n = 2\, k, où \ k \in \mathbb. :Si \ k \geq 1, une intégration par parties (à détailler) donne : :m_ = \int_^ t^\, t\, \varphi(t)\, dt =-\int_^ t^\, \varphi'(t)\, dt = (2\, k - 1) \int_^ t^\, \varphi(t)\, dt :c'est-à-dire : m_ = (2\, k - 1)\, m_ ; :comme \ m_0 = 1, on en déduit : m_ = 1 \cdot 3 \cdots (2\, k - 1) = \frac
- En particulier, \ m_1 = 0 (l'espérance est nulle : la loi est centrée) et \ m_2 = 1 (la variance vaut \ \ m_2 - m_1^2 = 1 : la loi est réduite). :Ceci justifie l'appellation de loi normale centrée réduite.

Fonction de répartition

On note \Phi la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Elle est définie, pour tout réel x, par : :\ \Phi(x) = \int_^x \varphi(t)\, dt = \int_^x\frac\,\mathrm^\, dt . C'est la primitive de \varphi qui tend vers 0 en -\infty ; elle ne s'exprime pas à l'aide des fonctions "usuelles" (exponentielle, etc.) mais devient elle-même une fonction usuelle, importante, pour quiconque pratique le calcul des probabilités ou les statistiques. Citons les propriétés suivantes de la fonction \Phi :
- Elle est indéfiniment dérivable, et \Phi' = \varphi
- Elle est strictement croissante, tend vers vers 0 en -\infty et vers 1 en +\infty :(c'est donc une bijection \R \to\, ]0,\, 1[\, : pour tout p \in\, ]0,\, 1[\,, il existe x \in \R unique, noté \ \Phi^(p), tel que \ \Phi(x) = p)
- Pour tout x \in \R, \Phi(-x) = 1 - \Phi(x) (ceci résulte de ce que la densité est paire) ; en particulier, \ \Phi(0) = 0,5 Remarque : les notations \varphi et \ \Phi pour désigner « la » densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont usuelles.

Tables numériques

Il existe des tables de la fonction de répartition, donnant des valeurs approchées de \ \Phi(x) ; on se limite à des x positifs ou nuls : en effet, si par exemple on connaît l'approximation \Phi(0,5) \simeq 0,6915, on en déduit \Phi(-0,5) \simeq 1 - 0,6915 = 0,3085. Au lieu des précédentes, on utilise souvent des tables de la fonction qu'on notera ici \ \Phi_0, définie sur \ \R^+ par : :\Phi_0(x) =\int_0^x \varphi(t)\, dt Voici une table de cette fonction \ \Phi_0 (où les valeurs de x vont de 0,0 jusqu'à 3,4 par pas de 0,1): On dispose des relations simples suivantes entre \ \Phi et \ \Phi_0 (découlant de la formule de Chasles pour les intégrales) :
- si \ x \geq 0, alors \ \Phi(x) = 0,5 + \Phi_0(x)
- si \ x < 0, alors \ \Phi(x) = 0,5 - \Phi_0(-x) Soit T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite :
- pour tout \ x \in \R,\, P(T \leq x) = \Phi(x) et pour tout \ x \in \R^+,\, P(0 \leq T \leq x) = \Phi_0(x)
- pour tout couple \ x_1,\, x_2 de réels tels que \ x_1 \leq x_2, \ P(x_1 \leq T \leq x_2) = \Phi(x_2)- \Phi(x_1).
Exemples numériques
À l'aide de la table ci-dessus, on obtient, pour la variable aléatoire précédente :
- \ P(0 \leq T \leq 1,7) = \Phi_0(1,7) \simeq 0,4554
- \ P(T \leq 1,7) = \Phi(1,7) = 0,5 + \Phi_0(1,7) \simeq 0,9554
- \ P(-0,3 \leq T \leq 1,7) = \Phi(1,7)- \Phi(-0,3) = 0,5 + \Phi_0(1,7) - 0,5 + \Phi_0(0,3) \simeq 0,5733

La loi normale générale

Soient \ T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, et deux réels \mu,\, \sigma, où \ \sigma > 0. On définit la variable aléatoire X = \sigma\, T + \mu, dont on note \ F la fonction de répartition. On a \mathrm(X) = \sigma\, \mathrm(T) + \mu = \mu et \mathrm(X) = \sigma^2\, \mathrm(T) = \sigma^2 puisque \ \mathrm(T) = 0 et \ \mathrm(T) = 1. Cherchons la loi de \ X : pour tout x \in \R, :F(x) = P(X \leq x) = P(\sigma\, T + \mu \leq x) = P\left(T \leq \frac\right) = \Phi\left(\frac\right), :puisque la fonction de répartition de \ T est \ \Phi. Ainsi, \ F est continûment (et même indéfiniment) dérivable : \ X suit une loi à densité, et la dérivée \ f de \ F est une densité de probabilité de cette variable aléatoire ; pour tout x \in \R, : f(x) = F'(x) = \frac\, \Phi' \left(\frac\right) = \frac\, \varphi \left(\frac\right) = \frac\, \mathrm^. Ceci légitime la définition suivante :

Définition

On appelle loi normale (ou gaussienne, ou de de Laplace-Gauss) de paramètres \ \mu,\, \sigma^2 (où \ \sigma > 0) la loi de probabilité définie par la densité \ f : \R \to \R^+, telle que pour tout x \in \R : :f(x) = \frac\, \varphi \left(\frac\right) = \frac\, \mathrm^. Notation: cette loi est notée \mathcal(\mu,\, \sigma^2) (on a aussi utilisé \mathcal(\mu,\, \sigma), mais cette dernière tend à céder la place à l'autre, d'autant plus qu'elle n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-)normale sur \ \R^n). La loi normale centrée réduite est \mathcal(0,\, 1). On peut énoncer, compte tenu de ce qui précède (le dernier point se démontrant de manière analogue):

Propriété

Soit une variable aléatoire \ X qui suit la loi normale \mathcal(\mu,\, \sigma^2). Alors :
- son espérance et sa variance existent et \ \mathrm(X) = \mu, \ \mathrm(X) = \sigma^2 > 0
- sa fonction de répartition \ F est telle que pour tout x \in \R, :F(x) = \Phi\left(\frac\right)
- la variable aléatoire X^\star = \frac, c'est-à-dire X^\star = \frac, suit la loi normale centrée réduite
- si \ \alpha,\, \beta sont deux réels (\ \alpha \neq 0), alors la variable aléatoire \ \alpha\, X + \beta suit la loi normale \mathcal(\alpha\, \mu + \beta,\, \alpha^2\, \sigma^2)

Largeur à mi-hauteur

Lorsque l'on travaille sur une représentation graphique, on estime fréquemment la largeur de la gaussienne par sa largeur à mi-hauteur H (en anglais full width at half maximum, FWHM), qui est la largeur de la courbe à une altitude qui vaut la moitié de l'altitude du sommet. La largeur à mi-hauteur est proportionnelle à l'écart type : : H ≈ 1,18·σ

Calcul de P(a ≤ X ≤ b)

Les résultats précédents permettent de ramener tout calcul de probabilité relatif à la loi normale \mathcal(\mu,\, \sigma^2) à un calcul de probabilité relatif à la loi normale centrée réduite. On a vu qu'on dispose de tables donnant des approximations de valeurs de la fonction \ \Phi, tables qu'on utilise encore fréquemment, même si certaines calculatrices ou certains tableurs peuvent maintenant les remplacer. Si la variable aléatoire \ X suit la loi normale \mathcal(\mu,\, \sigma^2), et si \ a,\, b sont deux réels tels que \ a \leq b, on a : :\ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \Phi\left(\frac\right) - \Phi\left(\frac\right)

Cas d'un intervalle centré à la moyenne. Plages de normalité


- Si t est un réel positif, :\ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \Phi(t) - \Phi(-t) = \Phi(t) - (1 - \Phi(t)) = 2\, \Phi(t) - 1
- lorsque \ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \alpha, où \ \alpha \in\, ]0,\, 1[, :ce qui équivaut à \ 2\, \Phi(t) - 1 = \alpha, ou \ \Phi(t) = \frac, :l'intervalle \ [\mu - t\, \sigma,\, \mu + t\, \sigma] = [\mathrm(X) - t\, \sigma,\, \mathrm(X) + t\, \sigma] est appelé plage de normalité au niveau de confiance \alpha :(si par exemple, \alpha = 0, 95, on dit : "plage de normalité au niveau de confiance 95%" : en statistique, c'est un intervalle dans lequel se trouve 95% de la population lorsque la distribution est gaussienne).
Exemples numériques
Grâce à la table précédente, on obtient :
- \ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,6826 ; :l'intervalle [\mathrm(X) - \sigma,\, \mathrm(X) + \sigma] est la plage de normalité au niveau de confiance 68 %
- \ P(\mu - H \leq X \leq \mu + H) \simeq 0,7610 ; :l'intervalle [\mathrm(X) - H,\, \mathrm(X) + H] (H étant la largeur à mi-hauteur) est la plage de normalité au niveau de confiance 76 %
- \ P(\mu - 2\, \sigma \leq X \leq \mu + 2\, \sigma) \simeq 0,9544 ; : l'intervalle [\mathrm(X) - 2\, \sigma,\, \mathrm(X) + 2\, \sigma] est la plage de normalité au niveau de confiance 95 %
- \ P(\mu - 3\, \sigma \leq X \leq \mu + 3\, \sigma) \simeq 0,9974 ; : l'intervalle [\mathrm(X) - 3\, \sigma,\, \mathrm(X) + 3\, \sigma] est la plage de normalité au niveau de confiance 99 %

Champ d'application

La loi normale s'utilise notamment comme approximation d'une loi binomiale de paramètres (n ; p) pour n grand et p, 1 - p de même ordre de grandeur ; on approche alors cette loi binomiale par la loi normale ayant même espérance np et même variance np(1-p). On a dessiné ci-dessous :
- un diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres (12 ; 1/3) et la loi normale correspondante d'espérance 4 et de variance 8/3
Image:Bernoulli12.png

- un diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres (60 ; 1/3), et la loi normale correspondante d'espérance 20 et de variance 40/3
Image:Bernoulli60.png
Le mathématicien Gauss a introduit cette loi pour le calcul d'erreurs. En statistiques, de nombreux phénomènes suivent des distributions gaussiennes : données biométriques des individus (Adolphe Quételet), mesure du quotient intellectuel, à compléter par des spécialistes...

Critères de normalité

Le recours à une distribution gaussienne est si fréquent qu'il peut finir par être abusif. Il faut alors rechercher des critères de normalité. Le premier critère, le plus simple, consiste à tracer l'histogramme ou le diagramme en bâtons de la distribution et à vérifier si le diagramme est en forme de « cloche ». Ce critère, subjectif, permet cependant d'éliminer une partie des distributions jugées alors non gaussiennes. Le critère suivant consiste à utiliser les plages de normalité ou intervalles de confiance. On a vu que si une distribution est gaussienne :
- 68% de la population est dans l'intervalle [\overline -\sigma\, ;\, \overline+\sigma],
- 76% de la population est dans l'intervalle [\overline -H\, ;\, \overline+H],
- 95% de la population est dans l'intervalle [\overline -2\, \sigma\, ;\, \overline + 2\, \sigma],
- 99% de la population est dans l'intervalle [\overline - 3\, \sigma\, ;\, \overline + 3\, \sigma]. Lorsque ces pourcentages ne sont pas respectés, il est fort à parier que la distribution n'est pas gaussienne. On peut aussi utiliser la droite de Henry, en particulier quand on possède peu de renseignements sur la distribution. La droite de Henry va permettre de porter un diagnostic sur la nature non gaussienne de la distribution, et, dans le cas où celle-ci a des chances d'être gaussienne, elle permet d'en déterminer la moyenne et l'écart type. Le dernier critère est l'application d'un test d'adéquation (test du χ²) qui valide ou non l'hypothèse de normalité.

Stabilité de la loi normale par la somme

La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne. Plus explicitement : Soient X_1,\, X_2 deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois \mathcal(m_1,\, \sigma_1^2) et \mathcal(m_2,\, \sigma_2^2). Alors, la variable aléatoire \ X_1 + X_2 suit la loi normale \mathcal(m_1 + m_2,\, \sigma_1^2 + \sigma_2^2). Cette propriété se démontre directement (par convolution), ou indirectement (au moyen des fonctions caractéristiques).

Exemple

On prend ici le gramme comme unité de « poids ». Si le poids du contenu d'une boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 400 et de variance 25, et si le poids du contenant suit la loi normale d'espérance 60 et de variance 4, alors (avec l'hypothèse, naturelle, d'indépendance) le poids total de la boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 460 et de variance 29 ; son écart type est environ 5, 4 grammes.

Mélange de populations

Il ne faut pas confondre la somme de deux variables gaussiennes indépendantes, qui reste une variable gaussienne, et le mélange de deux populations gaussiennes, qui n'est pas une population gaussienne (voir aussi modèle de mixture gaussienne). Un mélange constitué de
- 2/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 160 cm et d'écart type 15 cm, de densité f
- 1/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 130 cm et d'écart type 10 cm, de densité g suit une loi de moyenne (2/3)×160+(1/3)×130 = 150 cm, mais non gaussienne, de densité :h = (2/3) f + (1/3) g. Sur la représentation graphique de la densité h, on peut apercevoir une double bosse : la distribution est bimodale.
Image:Double_Gauss.png

Simulation

Il est possible de simuler, par exemple par ordinateur, un tirage aléatoire dont la loi est normale. Les logiciels ou les langages de programmation possèdent en général un générateur de nombres pseudo-aléatoires ayant une distribution uniforme sur ]0,1[. On cherche donc une fonction transformant ces nombres. De manière générale, on peut prendre la fonction réciproque de la fonction de répartition : en l'occurrence, si la variable aléatoire U suit la loi uniforme sur ]0,1[, alors la variable aléatoire \ \Phi^(U) suit la loi normale centrée réduite ; cependant, cette méthode n'est pas maniable, faute d'expressions simples des fonctions \ \Phi et \ \Phi^.

Cas de la loi normale à une dimension

Pour la loi normale à une dimension (celle qui a été étudiée jusqu'ici), on peut utiliser la méthode de Box-Muller. Si U_1 et U_2 sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur ]0,1[, alors les variables aléatoires : : T_=\sqrt\, \cos (2\pi U_) : T_=\sqrt\, \sin (2\pi U_) suivent toutes deux la loi normale centrée réduite. Les variables aléatoires X_1 = \mu + \sigma\, T_1 et X_2 = \mu + \sigma\, T_2 suivent donc toutes deux la loi normale \, \mathcal(\mu,\, \sigma^2). ; Voir ausi
- Générateur de nombres aléatoires gaussiens, message de news:fr.sci.maths, 27 janvier 2000 ;
- [http://www.taygeta.com/random/gaussian.html Generating Gaussian Random Numbers]

Cas de la loi multinormale

La loi multinormale ou loi normale sur \R^n étend la loi normale à un vecteur aléatoire X = (X_1,\, X_2,\dots,\, X_n) à valeurs dans \R^n. Elle est caractérisée par deux paramètres : un vecteur m de moyennes, et une matrice V (carrée d'ordre n) de variance-covariance. Chaque élément m_i de m représente l'espérance de la variable aléatoire X_i. Chaque élément V_ de V représente la covariance des variables aléatoires X_i, X_j et en particulier, chaque élément diagonal V_ de V représente la variance \sigma^2_i de la variable aléatoire X_i. Comme toute matrice de variance-covariance, la matrice V est symétrique réelle, à valeurs propres positives ou nulles ; lorsque la loi multinormale est non dégénérée (c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire), la matrice V est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive ; dans ce cas, la loi multinormale admet une densité sur \R^n. Pour simuler une loi multinormale non dégénérée de paramètres m et V, on utilise la méthode suivante : # Soit T un vecteur aléatoire à n composantes gaussiennes centrées réduites et indépendantes (la loi de T, multinormale, a pour moyenne le vecteur nul et pour matrice de variance-covariance la matrice identité). # Soit L la matrice résultant de la factorisation de Cholesky de la matrice V. # Alors, le vecteur aléatoire X=m+L T suit la loi multinormale de moyenne m et de variance-covariance V :(on convient dans cette dernière relation d'identifier chaque élément de \R^n avec la matrice colonne de ses composantes).

Le calcul de l'intégrale de Gauss

On trouvera ce calcul (utilisant une intégrale double) dans l'article sur l'intégrale de Gauss.

Voir aussi

Articles connexes


- Erreur (métrologie)
- Statistiques
- Probabilité
- loi de probabilité

Liens externes


- [http://fr.wikisource.org/wiki/Table_de_la_loi_normale_centr%C3%A9e_r%C3%A9duite Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sur wikisource] Catégorie:Statistiques Normale ja:正規分布 ko:정규 분포

Gray Partridge

The Grey Partridge (Perdix perdix) is a gamebird in the pheasant family Phasianidae of the order Galliformes, gallinaceous birds. This partridge breeds on farmland across most of Europe into western Asia, laying up to 20 eggs in a ground nest. The nest is usually in the margin of a cereal field, most commonly Winter wheat. It is a non-migratory terrestrial species, which forms flocks outside the breeding season. It is declining greatly in numbers in areas of intensive cultivation such as Great Britain, due to loss of breeding habitat and food supplies. The numbers have fallen by 80% since the 1930s. Efforts are being made in Great Britain to halt the decline by creating Conservation headlands. It was introduced into North America and is quite common in some areas of southern Canada and the northern United States (where it is also known as Hungarian Partridge or Hun). It is a rotund bird, 28-32 cm long, brown-backed, with grey underparts, an orange face and a chestnut belly patch. There is little difference between the sexes, although the female has a smaller belly patch. Young Grey Partridges are esentally yellow-brown, and lack the distinctive face and underpart markings. The song is a harse kieerr-ik. When disturbed, like most of the gamebirds, it flies a short distance on rounded wings, often calling rick rick rick as it rises. This is a seed-eating species, but the young in particular take insects as an essential protein supply. During the first 10 days of life, the young can only digest insects. These are collected by the parents from the edges of cereal fields. Category:partridges

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