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Pi

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (Π en majuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède. Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines. La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères. La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même.

\pi\,

se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à

\pi\,

radians.

Analyse

\frac2\pi=
\frac2\cdot
\frac2\cdot
\frac2\ldots

(formule de François Viète, 1593) :

\frac - \frac + \frac - \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

(formule de Leibniz) :

\frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots = \frac

(produit de Wallis) :

\zeta(2) = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

(Euler) :

\zeta(4)= \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

:et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de

\pi^\,

pour un entier positif n :

\Gamma\left(\right)=\sqrt

(Fonction Gamma d'Euler) :

\int_^ e^ dx = \sqrt

n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt \left(\frac\right)^n

(formule de factorielle de Stirling) :

e^ + 1 = 0\;

(Identité d'Euler, aussi appelé « La formule la plus remarquable au monde ») :π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables : :

\frac = 1 + \frac

=

(William Brouncker) :

\frac = 1 + \frac

:(Il y a d'autres représentations sur [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/]) :

\sum_^ \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2

où

\varphi\,

est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey). :

\int_0^1 \sqrt\ dx = \,

(Aire d'un quart de cercle unité)

Théorie des nombres

:La probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux vaut 6/π². :Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) est π/4.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

\lim_ \frac \sum_^ \sqrt = \frac

:presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

Physique

\Delta x \Delta p  \ge \frac

(Inégalité de Heisenberg) :

R_ -  + \Lambda g_ =  T_

(Équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas d'expression simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec seulement quelques décimales sur toutes celles découvertes à ce jour serait : :3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679. plus... Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Historique du calcul de Pi

Au les Babyloniens utilisaient l'approximation 25/8 et les Égyptiens (16/9)²(= 3.16049...) qui était une assez bonne approximation. Ce ne fut qu'au qu'une meilleure approximation fut utilisée : vers 250 av. J.-C., grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle par deux polygones, Archimède obtint : 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), soit 2 décimales exactes. Au Moyen-Orient en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit écrit sur sa tombe. Ensuite, grâce au développement de l'analyse au , avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec les 14 décimales obtenues par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shank passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945. Le calcul des décimales de Pi s'emballa au avec l'apparition de l'informatique : 2037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. Le record actuel, obtenu en 2002 est de 1 241 100 000 000 décimales.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, dont des formules similaires sont encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide : :

\frac = 4 \arctan\frac - \arctan\frac

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec :

(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 -114244i

. Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin. Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales. On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes). Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela: :

\frac = 12 \arctan\frac + 32 \arctan\frac - 5 \arctan\frac + 12 \arctan\frac

(K. Takano, 1982) :

\frac = 44 \arctan\frac + 7 \arctan\frac - 12 \arctan\frac + 24 \arctan\frac

(F. C. W. Störmer, 1896) Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, ont découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

\pi = \sum_^ \frac \left( \frac - \frac - \frac - \frac\right)

Cette formule permet de calculer facilement la n décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ site] de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000 chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001. Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la n décimale de π, mais cette fois ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html).

Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont: :

\frac = \frac \sum^\infty_ \frac

(formule du à Ramanujan) :

\frac = 12 \sum^\infty_ \frac

(formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Retenir pi

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème : :Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages ! :Immortel Archimède, artiste, ingénieur, :Qui de ton jugement peut priser la valeur ? :Pour moi ton problème eut de pareils avantages. Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale. En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de pi en 13 heures. Cet exploit a été homologué par le livre Guinness des records

Questions ouvertes

La question ouverte la plus importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de chiffres apparaît dans la valeur décimale de π, comme on s'y attendrait dans une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Ceci devrait être vrai dans n'importe quelle base, pas seulement en base 10. On ne sait pas non plus quels sont les chiffres dont le nombre d'apparitions est infini. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires implique la normalité en base 2 de π.

De la nature de π

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

Voir aussi

Liens internes

- Journée de π
- La bibliothèque de Babel
- Les décimales de π sur Wikisource : 1 000 - 2 000 - 10 000 - 100 000 - 1 000 000 - - 1 500 000

Livres

- Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9
- Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Editions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435

Liens externes

- [http://www.pi314.net pi314.net] : un magnifique site entièrement dédié à pi
- [http://www.nombrepi.com/ www.nombrepi.com] : un site dédié au nombre pi
- [http://www.peripheria.net/ Peripheria] : le portail francophone sur le nombre pi
- [http://www.dr.phlegmon.free.fr/pi/pi.htm Exposé sur Pi "Comment approximer la constante?" , démonstrations de la formule de Viète, du théorème de Buffon, utilisation de la radioactivité]
- [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html le site Wolfram Mathematics] compile de nombreuses formules pour π
- [http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html Finding the value of Pi]
- [http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html PlanetMath: Pi]
- [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.jp quelques décimales sur un site japonais]
- [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/ un million de décimales]
- [http://rlwpx.free.fr/WPFF/pi.htm programme] pour extraire les décimales de Pi Pi
- als:Pi ja:円周率 ko:원주율 simple:Pi th:ไพ

Nombre

Catégorie:Numération
- Un nombre est une quantité abstraite utilisée pour dénombrer et classer des objets ou pour mesurer une grandeur physique.
Les nombres doivent être distingués des chiffres, qui sont des (combinaisons de) symboles utilisés pour représenter les nombres. La notation des nombres comme une série de chiffres est développée dans l'article : système de numération. La langue française, à la différence de beaucoup d’autres, utilise deux mots proches : nombre et numéro, pour désigner des notions voisines. Si le numéro désigne souvent un code représenté par des chiffres (numéro de téléphonne, jeton de loto...), il suggère l'idée d'un emplacement particulier dans une suite ordonnée d'éléments (adresse dans une rue, en l'occurrence, les chiffres ne suffisent plus à exprimer le 3bis de la rue). Le nombre, quant à lui, induit plutôt l'idée de quantité, de population. Lorsqu'il n'est pas attaché à un objet (numéro) ou des objets (population), le nombre est une abstraction pure. Ainsi le numéro est représenté par des chiffres composant un nombre.

Mesure et comptage

La numération, outre le système de numération employé, connaît deux modes :
- le mode quantitatif qui exprime une mesure en utilisant des adjectifs numéraux cardinaux : trois litres, 3 000 Hz, 0,5 Ω,
- le mode ordinal qui attribue aux objets un numéro d'ordre : le premier, le deuxième, la seconde, la tierce... L'utilisation d'adjectifs numéraux cardinaux remplace alors parfois celle d'adjectifs ordinaux : page trois, l'an III du règne de Sédécias. Le nombre devient alors plutôt un numéro.

Quantification

La numération quantitative s'est fortement répandue avec la culture scientifique qui mesure son objet, qui en évalue la quantité par rapport à une unité arbitraire. Cette quantité peut être nulle (0 m) ou négative (-12 V). Le nombre de fois où l’unité peut être observé dans l’objet mesuré est entier ou fractionnaire (0,50 €). La quantification, jointe à l’usage d’une numération positionnelle, facilite grandement la manipulation conceptuelle : les opérations (les quatre de bases : addition, soustraction, multiplication, division, et autres que la Mathématique élabore). De fait, c’est l’approche quantitative du réel, jointe à une mathématique utilisant un système arithmétique positionnel qui a permis l‘émergence de la physique.

Indexation

La numération ordinale est couramment utilisée pour le comptage d'objets distincts, unitaires : les livres sur une étagère, même si les adjectifs cardinaux sont utilisés dans le langage courrant. Il s'agit alors d'une indéxation plutôt que d'une mesure. Je compte un, deux, trois, quatre, cinq livres sur l'étagère. Le troisième livre, c‘est-à-dire en troisième position, porte l'index trois. Le nombre de livres, 5, correspond à l'index le plus grand. L'indexation commence à 1. Il n'y a pas d'objet 0. Dans l‘exemple ci-dessus, il n’y a pas d'unité arbitraire, de livre de référence : un gros dictionnaire vaut un livre tout comme un simple feuillet. L’utilisation d’une quantification (pesage, mesure à la règle...) ne permet pas d’obtenir le nombre de livres sur l’étagère si ceux-ci ne sont pas homogènes. On ne cherche pas une quantité de livres ( 5 mètres linéaires d’étagère) mais un nombre de livres.

Observations

Quelques effets de l'existence de deux modes de numérotation peuvent être signalés.
- En musique, la tierce est un intervalle de deux tons. Héritée de la culture antique, la numération n'est pas quantitative mais ordinale. On ne compte pas la quantité d'intervalles mais la note sur laquelle aboutit l'intervalle : la troisième puisque celle de départ porte l'index 1 (Do = 1 ; Ré = 2 ; Mi = 3 ). Il y a une disjonction entre le rang d'une note d'arrivée (comptage de tons) et l'écart (mesure de tons).
- L’an 1 appartient au . Il n’y a pas d'an 0 puisque la numérotation des ans est un comptage. Le siècle ayant 100 années, l'an 100 appartient au même siècle. C'est l'an 101 qui commence le deuxième siècle. Ainsi, le vingtième siècle comprenait les années de 1901 à 2000 et le les années allant de 1001 à 2000. Il semble cependant que le développement de la quantification ait fait commencer le et ses festivités un an plus tôt.
- La syntaxe de certains langages informatiques fait commencer à 0 l'indexation de tableaux $var[0], $var[1], $var[2]. Si i est l'index le plus grand des éléments de la variable $var, celle-ci comprend alors i+1 éléments. L'informatique a ainsi réintroduit une disjonction entre les numérations ordinale et cardinale que la science faisait disparaître.

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les nombres entiers naturels notés par

\mathbb\,

, utilisés pour le dénombrement.
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs

\mathbb\,

. Les rapports d'entiers réalisés par la division sont appelés nombres rationnels ou fractions; l'ensemble de tous les nombres rationnels est noté

\mathbb\,

, formé des ensembles de nombres à développement décimal fini (les nombres décimaux) et les nombres à développement périodique. Si , dans l'ensemble, outre les éléments de

\mathbb\,

, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques , on obtient l'ensemble des nombres réels, noté

\mathbb\,

. Ces nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cet ensemble est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants. Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté

\mathbb\,

, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme à coefficients complexes peut être complètement factorisé. Ainsi : :

\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb

Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions. En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension finie sur

\mathbb\,

, sont les nombres réels, les nombres complexes, et les quaternions. Les éléments des corps de fonction algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres. Ils sont historiquement apparus dans cet ordre :
- Les entiers naturels,
- Les nombres rationnels positifs,
- L'invention du zéro,
- Les entiers relatifs,
- Les nombres rationnels,
- Les nombres irrationnels et les nombres réels,
- Les nombres complexes,
- Les nombres hypercomplexes,
- Les nombres p-adiques,
- Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
- Les nombres transfinis,
- Les nombres hyperréels,
- Les nombres surréels et pseudo-réels. Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées. La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres réels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École. Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres tout à fait convenables. Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions. L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue, et sont très utilisés en théorie des nombres ; ces nombres sont cependant assez méconnus au sein même de la communauté mathématique… Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyper-réels, mais la construction est différente. Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont généralisée dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Articles connexes

- Numération ;
- mathématiques ;
- fraction ;
- les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la numérotation décimale : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ;
- nombre premier ;
- gogol ;
- nombres en français ;
- nombres dans le monde ;
- Liste des nombres ;
- Les nombres ordinaux et cardinaux ;
- Table des diviseurs.

Références

- John H. Conway, Richard K. Guy, « Le Livre des Nombres », Paris, éditions Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-03638-8
- Article nombre dans le wiktionnaire Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Editions Robert Laffont, collection "Bouquins" ja:数 ko:수 (수학) simple:Number th:จำนวน

Pi (lettre grecque)

Linguistique

- Pi (Π en majuscule, π en minuscule) est la 16 lettre de l'alphabet grec.
- Dans la numération grecque, π désigne 80.

Arts et culture

Cinéma

- Π est un film de Darren Aronofsky.

Sciences

Mathématiques

- En mathématiques modernes, la lettre minuscule π, ou constante d'Archimède représente le nombre Pi, égale au rapport de la circonférence sur le diamètre d'un cercle. π ≈ 3,14159
- Π (majuscule) majuscule représente le produit.
- Exemple :

\prod_^i = n!

: le produit des nombres entiers de 1 à n est égal à factorielle n.
- La fonction π(x) est la fonction qui, pour un réel x, associe le nombre de nombres premiers inférieurs à x.
- En calculabilité, les formules Π_n font partie de la hiérarchie arithmétique et commencent par un pour-tout.

Physique - chimie

- Les pions (ou mésons π) sont des particules de la famille des mésons. Il en existe 3 catégories : les pions π⁺, π⁰ et π^-. Catégorie:Lettre grecque Catégorie:Pi ja:Π

Circonférence

La circonférence est une ligne courbe fermée limitant une surface. Dans le cas d'un cercle, la circonférence est une ligne courbe plane et fermée, dont tous les points se trouvent à égale distance d'un point fixe appelé centre. On obtient la circonférence d'un cercle en multipliant son diamètre par le nombre π

C=\pi \times D

Catégorie:Géométrie ja:円周

Cercle

Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond ». Pour la plupart des gens, de nombreuses formes plus ou moins régulières sont représentées par un cercle : une roue, la circonférence d'un arbre, le tour de la Terre (bien que celle-ci soit aplatie aux pôles), les orbites des satellites autour de la Terre, des planètes autour du Soleil (bien que ces orbites soient en fait des ellipses)...

Géométrie

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque. Dans un espace euclidien, il s'agit du rond que tout le monde associe au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Nous nous placerons pour la suite dans le cas d'un espace euclidien. cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé
Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité. cCercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus
Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts). Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle. représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

Définitions

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points. On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur dun rayon est évidemment le rayon r du cercle. Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r. définition d'objets géométriques liés au cercle
Définition d'objets géométriques liés au cercle
Propriétés géométriques du cercle
Voici en vrac quelques propriétés géométriques du cercle.
Mesures

- Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2.π.r.
- L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut π.r² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Tangente

- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. : Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir). tangente perpendiculaire au rayon
Tangente perpendiculaire au rayon
Médiatrice

- On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. :Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices. la médiatrice d'une corde passe par le centre
La médiatrice d'une corde passe par le centre
- On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle

- Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B. : Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès. triangle rectangle inscrit dans un cercle
Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Angle inscrit, angle au centre

- Prenons deux points distincts poop et caca du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a : $\widehat = 2 \cdot \widehat$ : Pour l'angle au centre $\widehat$ , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. : Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland. illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
- si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM² - R²
- si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² - R². Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.
Équations
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est : : (x-a)² + (y-b)² = r² cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc : x² + y² = 1. Ceci donne l'équation cartésienne du cercle : : $y = b \pm \sqrt$ . L'équation paramétrique du cercle est : x = a + r.cos(θ) : y = b + r.sin(θ) soit pour le cercle trigonométrique : x = cos(θ) : y = sin(θ)
Conique
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône). un cercle est une section droite d'un cône
Un cercle est une section droite d'un cône
Voir aussi
sphère (3 dimensions).
Société
Un cercle désigne un petit groupe de personnes librement associées et fait généralement référence à :
- une égalité des droits dans le groupe.
- le caractère d'exclusivité de l'appartenence à une telle structure. On parle parfois de club. Par exemple, le Cercle des poètes disparus (Dead Poets Society, film de Peter Weir).
Expression

- C'est la quadrature du cercle : se dit d'un problème insoluble, en référence à un problème mathématique classique, dont on a montré en 1882 qu'il n'avait pas de solution.
Cercle vicieux, cercle vertueux
Effet d'accumulation d'un effet négatif ou bénéfique parce que l'effet devient cause à son tour. Par exemple l'expérience montre que plus on « fait la gueule » plus on rencontre des personnes qui font de même. À l'inverse, plus on sourit plus le monde autour de soi est souriant. On dit aussi effet boule de neige, spirale vicieuse ou spirale vertueuse. Catégorie:Courbe Catégorie:Géométrie ja:円 (数学) simple:Circle

Diamètre

Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer qu'une valeur correspond au diamètre, en technique, la valeur (du diamètre) est précédée par un symbole Ø représentant un cercle barré. Et ce symbole est lui même précédé par la lettre S, s'il s'agit d'une sphère. Voir aussi rayon. Catégorie:Géométrie ja:径

Nombre entier

Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit

\mathbb Z

comme le quotient de

\mathbb N\times\mathbb N

par la relation

(a,b)R(a',b')

si, et seulement si,

a+b'=a'+b

, i.e. un couple

(a,b)

représente l'intuitif entier relatif

a-b

. Cet ensemble est noté

\mathbb Z

, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre). Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux. La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit,

(\mathbb Z,+)

est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation

R

admet un représentant ayant ou bien la forme

(0,a)

(il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme

(a,0)

(il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément

(0,0)

étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi

\mathbb Z

peut être vu comme la donnée

(\\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \)

. Ainsi on vérifie aisément que

R

est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que

(0,0)

est un élément neutre et que

(a,0)

(0,a)

sont symétriques l'un de l'autre (i.e.

(a,a)R (0,0)

)pour tout

a \in \mathbb N

. Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans

\mathbb Z

, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (

\mathbb Z

, +,
- ) est un anneau commutatif. Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini. La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.

Voir aussi

Construction des entiers relatifs Catégorie:Nombre ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Johann Heinrich Lambert

Lambert, Johann Lambert, Johann Lambert, Johann Catégorie:Naissance en 1728 Catégorie:Décès en 1777 Johann Heinrich Lambert est un mathématicien français du (Mulhouse, 26 août 1728 - Berlin, 25 septembre 1777), connu en géographie pour sa projection de Lambert ; obligatoire pour l’établissement de la carte topographique de France, elle consiste en 4 projections coniques, conformes, prises le long du méridien de Paris, en 4 parallèles équidistants. De ce fait, il a préparé l’étude des transformations conformes (le plan d'Argand et les nombres complexes de Gauss sont postérieurs de 30 ans). Son traité de perspective (1759, 1774) précède les travaux de Monge, poursuivis par Poncelet. Préoccupé par la représentation de la profondeur en peinture et la représentation de la transparence de l’air, il énonce la loi de Lambert en photométrie (1760). Ses travaux sur les tracés à la règle et au compas le conduisent à discuter du célèbre postulat d’Euclide sur les parallèles (1786), et à prouver l’irrationnalité de π (1768). En astronomie, retrouvant les résultats d’Euler sur les trajectoires paraboliques (d’énergie nulle) sur les comètes, il les prolonge par le théorème de Lambert sur les orbites elliptiques (3 positions datées permettent de déterminer le mouvement keplérien d’un satellite) (1761). On lui doit de nombreux articles de trigonométrie sphérique (1770), mais sans que la notion d’angle solide soit encore clairement définie.
- Il fut l'un des créateurs de la photométrie.
- Il a joué un rôle précurseur dans la logique symbolique.
- Importante œuvre en théorie de la connaissance (1764).

Voir aussi:

- loi de Beer-Lambert connu aussi comme (loi Lambert-Beer, loi Beer-Lambert-Bouguer)
- cosinus de Lambert
- projection de Lambert
- équation trinomiale de Lambert
- Fonction W de Lambert

Liens externes

- [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lambert.html Lambert]

Ferdinand von Lindemann

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (12 avril 1852 à Hanovre - 6 mars 1939) fut un mathématicien allemand passé à la postérité pour sa démonstration publiée en 1882 que π est un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe aucun polynôme non nul à coefficients rationnels dont π soit une racine.

Jeunesse

Son père Ferdinand enseignait les langues modernes au gymnasium et sa mère la fille du directeur. La famille déménagea ensuite à Schwerin. Il étudia les mathématiques à Göttingen, Erlangen, et Munich. À Erlangen il obtint un doctorat, supervisé par Felix Klein, sur la géométrie non euclidienne.

Démonstration de la transcendance

En 1882 il publia le résultat qui fit sa célébrité : la transcendance de π. Ses méthodes étaient similaires à celles utilisées neuf années auparavant par Charles Hermite pour montrer que e la base naturelle des logarithmes est transcendant. On savait déjà que si π est transcendant, alors le problème ancien et célèbre de la quadrature du cercle à l'aide d'une règle et d'un compas ne peut être résolu.

Autre

Pendant qu'il était professeur à l'université de Königsberg, Lindemann agit comme superviseur pour la thèse doctorale de David Hilbert. Voir aussi théorème Lindemann-Weierstrass. Von Lindemann, Ferdinand Von Lindemann, Ferdinand Von Lindemann, Ferdinand

1882

Catégorie:1882 Cette page concerne l'année 1882 du calendrier grégorien.

Événements

Europe

- 6 mai : Attentat de Phoenix Park, à Dublin, contre des responsables britanniques.
- 20 mai : Triplice ou Triple Alliance entre l'Allemagne, l'Autriche et l'Italie.
- Fondation de l'organisation Bilou (Beith Israël Lekhou Vena'ale), premier mouvement haloutsique (pionnier) en Ukraine.
- Premier axel réussit en compétition de patinage par le Norvégien Axel Paulsen.

France

- 28 mars : Lois Jules Ferry : Lois sur l'obligation, la gratuité et la laïcité de l'enseignement primaire de 6 à 13 ans.
- 30 décembre : Création de l'école normale supérieure de garçons de Saint-Cloud.
- Jules Ferry Président du Conseil (2) : 1882-1885.
- Scandale : le Krach de l'Union générale.
- Création du Parti ouvrier par Jules Guesde

Suisse

- La ligne ferroviaire du Gothard est inaugurée les 22 et 23 mai. Les travaux ont duré dix ans et fait 177 victimes.
- Première conversation téléphonique entre Zurich et Winterthour.
- Le premier tramway hippomobile fait son apparition à Zurich.

Afrique

- Les Anglais prennent le contrôle de l'Égypte, réprimant des soulèvements nationalistes contre Tawfiq Pacha.
- Livraison des deux premières lignes de chemin de fer de la Réunion.

Amériques

- Les États-Unis commencent à restreindre l'émigration par le Chinese Exclusion Act.

Asie & sous-continent indien

- L'homme d'état japonais Okuma Shigenobu fonde le Kaishinto, parti progressiste.

Océanie & Pacifique

Proche-Orient & monde arabo-musulman

- Ouverture de l’école juive de garçons de Jérusalem.

Chronologies thématiques

- Chemins de fer : 1882 dans les chemins de fer
- Sports : 1882 en sport
- Arts & culture :
- Le compositeur allemand Richard Wagner produit son opéra Parsifal.
- Léon Pinsker publie « L'auto-émancipation des Juifs » dans lequel il défend l'idée de la création d'un État juif.
- Architecture :
- L'architecte espagnol Antoni Gaudí commence l'église Sagrada Família à Barcelone.
- L'architecte français Charles Garnier construit l'observatoire de Nice.
- Beaux-arts :
- Édouard Manet peint Le bar des Folies-Bergères.
- Fondation du Musée des Arts décoratifs en France.
- Sciences & techniques :
- L'inventeur américain Thomas Edison fournit de l'électricité à ses 59 clients new-yorkais.
- Le mathématicien allemand Felix Klein invente la bouteille qui porte son nom.
- Le mathématicien allemand Ferdinand Lindeman prouve la transcendance du nombre pi (?).
- Le médecin français Jean Charcot conduit ses travaux sur l'hystérie.
- Découverte par le médecin et microbiologiste Robert Koch du bacille de la tuberculose.
- Création de la Psychical Research Society de Londres composée de notoriétés scientifiques.

Naissances en 1882

- 30 janvier : Franklin Delano Roosevelt, futur président des États-Unis
- 1 février : Louis St. Laurent, futur Premier ministre du Canada
- 2 février : James Joyce, écrivain irlandais
- 20 mars : René Coty, futur président de la République française
- 13 mai : Georges Braque, peintre français
- 22 juillet : Edward Hopper, peintre et graveur américain
- 5 octobre : Robert Goddard, ingénieur et physicien américain
- 29 octobre : Jean Giraudoux, dramaturge français
- 12 novembre : Giuseppe Antonio Borgese, critique et écrivain italien
- 16 décembre : Zoltán Kodály, compositeur hongrois
- 28 décembre : Sir Arthur Eddington, astronome et physicien anglais
- Abd el-Krim, homme politique marocain

Décès en 1882

- 9 avril : Dante Gabriel Rossetti, poète, écrivain et peintre anglais (° 1828).
- 29 juillet : Andrew Leith Adams, médecin, naturaliste et géologue (° 1827).
- 20 novembre : Henry Draper, astronome américain, pionnier de la photographie astronomique.
- 31 décembre : Léon Gambetta, homme d'État français (° 2 avril 1838) __NOTOC__ ko:1882년 ms:1882 simple:1882 th:พ.ศ. 2425

Polynôme

Catégorie:Algèbre La première approche que l'on a d'un polynôme est la combinaison linéaire (somme pondérée) des puissances d'une variable, habituellement notée X (voir l'article Fonction polynôme (mathématiques élémentaires). Ces fonctions sont largement utilisées en pratique, ne serait-ce que parce qu'elles donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable ( voir l'article Développement limité ) et permettent de représenter des formes lisses ( voir l'article Courbe de Bézier ). Il ne s'agit en fait que d'une petite partie la notion, la fonction polynôme. Le concept va au-delà de cette notion de fonctions. En algèbre abstraite, un polynôme d'indéterminée X sur un anneau unitaire intègre est une expression de la forme : :

a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \,

où X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme. Si en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme, il n'en est pas de même en algèbre abstraite. Cet article traitera donc principalement du polynôme formel.

Considérations historiques

:Voir article détaillé : Histoire des polynômes L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Les polynômes initialement créés pour résoudre des équations se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Les coefficients sont très souvents des réels positifs mais la soustraction est permise. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre abstraite. Les coefficients quittent alors le domaine des réels ou des complexes (polynômes à coefficient dans un corps) pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ( comme Z ). Le nombre de variables augmente et on est parfois amené à étudier des polynômes à 2, 3,.., n variables. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Polynômes formels

Un polynôme f est défini comme une expression formelle de la forme :

f = a_n X^n + a_ X^ + \cdots + a_1 X + a_0 \,

où les coefficients a₀,.., a_n sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme. L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau A, noté A[X], n'est autre que l'ensemble des suites d'éléments de A à support fini (suites nulles à partir d'un certain rang, appelées également suites presque nulles). Pour une construction de A[X], voir une construction de l'ensemble des polynômes. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et les règles suivantes : : X a = a X pour tous les éléments a de l'anneau A : X^k X^l = X^{k + l} pour tous les entiers naturels k et l. On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau. L' « anneau des polynômes à coefficients dans A » est désigné par A[X]. Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A. On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les sommes de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

Fonctions polynômes

Fonction polynôme : À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. La raison pour laquelle les algébristes doivent faire une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale est que sur certains anneaux A ( par exemple sur les corps finis ), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts. Exemple : Sur le corps fini

\mathbb Z / 2 \mathbb Z

, le polynôme X + X² est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est. Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément

x_0 \,

appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f dans A[X], associe l'élément

f ( x_0 ) \,

de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en

x_0 \,

de A[X] dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps

\mathbb K \,

, et E l'algèbre des matrices n × n sur

\mathbb K \,

, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur

\mathbb K \,

. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes : :

f ( M ) = a_n M^n + a_ M^ + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,

f ( u ) = a_n u^n + a_ u^ + \cdots + a_1 u + a_0 Id_ \,

Divisibilité

En algèbre commutative, c'est-à-dire dans une anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre

Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f.q = g. On peut démontrer alors que « chaque racine engendre un facteur linéaire », ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f ( a ) = 0, alors le polynôme ( X - a ) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Hörner. Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :
- Polynôme inversible : un polynôme P est inversible ssi il existe un polynôme Q tel que P.Q = 1. ::Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
- Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible. :: Un polynôme du premier degré dont le coefficient devant X est 1 est irréductible. :: Le polynôme X² + 1 est irréductible dans

\mathbb R[ X ] \,

, mais pas dans

\mathbb C [ X ] \,

. :: Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.
- Polynôme premier : P est un polynôme premier ssi , pour tout Q et S, si P ne divise pas Q alors P divise S. :: Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalente mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.
- Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif ssi le pgcd de ses coefficients est 1.
- Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré :: X² + 1 est scindé sur

\mathbb C \,

mais pas sur

\mathbb R \,

.
- Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré X - a_i où tous les a_i sont distincts.
- Polynômes premiers entre eux : P et Q sont premiers entre eux ssi : pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
- Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.

Coefficients dans un corps commutatif

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien. K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .

Constructions de nouvelles structures

Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.

Corps des fractions

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X.

Corps de rupture

La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions. Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X] , on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine. Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P. La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps. On plonge alors A dans cet anneau A_P par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe

\dot a

la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0. Un corps est algébriquement clos quand, il est inutile de chercher des corps de rupture. C'est à dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de

\mathbb C

Autres opérations sur les polynômes

Polynôme dérivé

Sur A[X], si P est le polynôme défini par

P(X) = \sum_^n a_iX^i

, le polynôme dP défini par

dP(x) =  \sum_^n i a_iX^

si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.

Division suivant les puissances croissantes

Si K est un corps, pour tout entier n, et pour tout P et Q de K[X], Q(0) non nul, il existe deux polynômes T et R tels que P = TQ + XⁿR avec deg(T) < n. Cette décomposition est unique. Exemple : donc 1 + 3X + 2X² - 7X³ = (1 + X - 2X²)(1 + 2X + 2X² - 5X³) + X⁴(9 - 10X) Cette opération est très utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou celle d'un développement limité.

Polynôme à plusieurs indéterminées

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X]. Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme. :

X^3 + 3XYZ^2 - 5Y + 7\,

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.

Voir aussi

- Fonction polynôme
- Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)
- Équation polynomiale
- Dans le domaine de l'algèbre linéaire : Polynôme minimal, Polynôme caractéristique
- Dans le domaine de l'analyse : Polynôme d'interpolation ja:多項式 ko:다항식

Nombre rationnel

Rationnel Catégorie:Mathématiques élémentaires Un nombre rationnel est un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire, d'un quotient de deux nombres entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté

\mathbb Q

Développement décimal

Comme tous les nombres réels, les nombres rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique (C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant indéfiniment. Cette séquence sera appelée une période du développement décimal illimité.). Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une suite illimitée de « 9 ». En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une suite illimitée de « 0 » (et mieux, un développement décimal limité équivalent). Quelques exemples : :1/3 = 0,3 = 0,33 = 0,333... (on répète la période « 3 » indéfiniment ... mais « 33 » est aussi une période.) :50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951... :3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 (mais aussi = 0,749 999 99...) :1 = 1,0 = 1,000 00... (dans les égalités ci-dessus, les groupements de chiffres soulignés désignent des périodes) Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ainsi, par exemple, le nombre 0,12 122 1222 12222... (où l'on a des séquences de « 2 » de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel. Ainsi, 2,4 (qui peut s'écrire sous la forme 12/5) est rationnel, de même que 13,444... (=121/9). Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration). L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels :

\mathbb R = \bar \mathbb Q

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes ; p.ex. :3/4 = 1/2+1/4 :47/72 = 1/2+1/7+1/101+1/50904 = 1/2 + 1/8 + 1/36 Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles ; p.ex. :1/12 = -1/4+1/3 :35/72 = 35/8-35/9 Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction. Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction: :

178,\underline = \frac   = \frac   = 178

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline  = \frac  = \frac

Et lorsque la période est décalée :

178,10\underline  = \frac   = \frac  = \frac  = \frac

L'on peut prouver que

12,9......9 = 13\,

en procédant de la sorte :

12,9999....9 = 12,\underline = \frac  = \frac  = \frac  = 13

Liens externes

- Le logiciel [http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/fraction.html PC Fraction] calcul des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc. ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Nombre constructible

ko:작도가능한 수 Constructible catégorie:Géométrie catégorie:Algèbre Un nombre constructible à la règle et au compas est une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas. La question de savoir quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon a hanté les mathématiciens depuis les éléments d'Euclide. Du temps de la mathématique grecque, les seuls outils géométriques « autorisés » étaient la droite et le cercle. Toute construction faisant intervenir d'autres outils dit « mécaniques » (spirale d'Archimède, conchoïde, ellipse...) n'étaient que de la géométrie « abâtardie ». Cette vision très rigoriste de la géométrie euclidienne est à la source de problèmes célèbres comme l'irrationalité de racine de 2, la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube.

Constructions possibles

A l'aide d'une règle et d'un compas, on peut construire des cercles et des droites, bien sûr, mais aussi des parallèles et des perpendiculaires : Parallèle Image:paralleleconstructible.png
On construit le quatrième point d'un parallélogramme ABCX en traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA et un arc de cercle de centre A et de rayon BC. Perpendiculaire Image:perpendiculaireconstructible.png
On utilise les propriétés des symétries axiales.

Opération sur les nombres constructibles

Addition

Image:sommeconstructible.png

Soustraction

Image:differenceconstructible.png À condition que x > y

Multiplication

Image:produitconstructible.png Une simple utilisation du théorème de Thalès permet de dire que 1×z = x × y

Division

Image:quotientconstructible.png La même utilisation du théorème de Thalès permet de dire que :

\frac=\frac

Ces observations permettent de dire que l'ensemble des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives) est un corps commutatif. Les Grecs ont ainsi pu établir que tous les nombres rationnels positifs étaient constructibles. Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.

Extraction de racine carrée

On utilise le fait que, dans un triangle rectangle en A, si H est le pied de la hauteur issue de A, on a : BH×BC = BA² (c'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ABC et HAB sont semblables) et la propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, on peut extraire une racine carrée: Image:racineconstructible.png On trace donc la longueur x = BC, puis le cercle de diamètre BC, puis le point H tel que BH = 1, puis la perpendiculaire à (BC) menée par H , puis le point A intersection de cette perpendiculaire avec le cercle. BA² = 1×x nous assure que

y = \sqrt

Les racines carrées sont donc constructibles. La première tentative des Grecs a été de dire que ces nombres étaient rationnels mais une démonstration simple leur a permis de se convaincre que cela n'était pas le cas. Il existait donc des nombres constructibles qui n'étaient pas rationnels mais irrationnels. Quells étaient alors leur forme? Permettaient-ils de tout mesurer dans le monde réel ? Malgré leurs recherches, ils ne purent venir à bout du problème, ni eux ni les mathématiciens de langue arabe qui suivirent et qui eurent pourtant l'intuition du résultat.

Ensemble des nombres constructibles

Les opérations précédentes permettent donc de dire que tout rationnel est constructible, mais aussi que la racine carrée d'un rationnel est constructible et même que l'on peut, avec de la patience, construire le nombre suivant: :

5 + \sqrt.

L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire uniquement à l'aide des 5 opérations précédentes. Il faut attendre les travaux de Pierre-Laurent Wantzel, qui, grâce aux travaux de Gauss sur les polygones constructibles, peut énoncer son théorème de Wantzel et affirmer que les seuls nombres constructibles sont de cette forme (plus exactement sont dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une.... d'une extension quadratique de Q). Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube, qui reviennent à résoudre une équation de degré 3 (donc extension impaire). L'ensemble des nombres constructibles ne regroupe donc qu'une petite partie de l'ensemble des nombres algébriques. Le problème de la quadrature du cercle tombera un peu plus tard, quand Ferdinand von Lindemann aura prouvé en 1882 que π n'est pas algébrique, c’est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à coefficients dans Q. le nombre π ne peut donc pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une....d'une extension quadratique de Q.

Géométrie

Les philosophes de la grèce Antique, dont Euclide, ont défini la géométrie comme la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace. Cet article est principalement consacré à la géométrie ainsi entendue. Mais il expose au préalable, par souci de complétude, une autre définition, plus générale, moins précise, mais plus proche de l’usage de cette notion dans les mathématiques et les sciences contemporaines.

La géométrie comme science des positions

Les progrès des connaissances ont rendu la définition classique beaucoup trop restrictive. On peut parler de la géométrie de l’espace-temps et de nombreux espaces abstraits. La distinction entre ce qui est et n’est pas géométrique est alors délicate. Toute structure, tout modèle, tout univers possible, peut être étudié, d’une façon géométrique. On peut alors définir la géométrie comme la science des positions. Cette définition est moins précise que la précédente parce que la notion de position est d’abord intuitive, position dans l’espace, dans le temps, dans un réseau, … On peut parler de positions dès qu’il y a des relations de position ou un ordre de positions. Comment divers êtres sont-ils placés les uns par rapport aux autres ? En ce sens général, la géométrie n’est pas restreinte à l’étude des figures spatiales. On peut développer une géométrie des positions sociales (Pierre Bourdieu, La distinction). On peut aussi parler de géométrie à propos de tout système d’êtres mathématiques, dès qu’il y a du sens à parler de leurs positions relatives. La suite de cet article revient à la première définition de la géométrie, qui est un cas particulier de la seconde. Il s’agit d’étudier les positions statiques des corps rigides dans l’espace, notre espace physique à la fois large, long, et profond. La science générale des positions des corps, c’est au fond la science du mouvement, ou la science de la matière, c’est donc toute la physique. Se limiter aux positions statiques des corps rigides a une grande importance pratique et permet dans un premier temps d’ignorer les complications d’une théorie du temps.

Origine probable de la géométrie

On place souvent ses débuts telle qu'on la connaît dans la Grèce antique, où la parcellisation des terres conduisait à faire de savants calculs sur les surfaces cultivées et partagées. Il s’agissait donc de topographie. Les outils de base des constructions géométriques étaient (et sont restés) la règle et le compas (qui n'étaient parfois tous les deux qu'une simple corde servant à tirer des droites, à tracer des cercles et à reporter des distances). (voir Construction à la règle et au compas)

Le prestige de la géométrie

La géométrie est très importante dans l'histoire des mathématiques et de la pensée philosophique, car elle est la première théorie axiomatique digne de ce nom. Euclide a réuni l’ensemble des connaissances géométriques de son temps d’un telle façon qu’elles soient toutes ou bien des vérités premières, des axiomes, ou bien des théorèmes, prouvés à partir des axiomes. Cette méthode axiomatique a un immense prestige aux yeux des scientifiques et des philosophes en tant qu’idéal de perfection du raisonnement. Pour désigner la logique, Pascal disait “l’esprit de géométrie”.

Qu’est-ce qu’une figure géométrique ?

Les Eléments d’Euclide sont consacrés aux lignes droites, aux cercles, aux triangles, aux figures planes que l’on peut construire à partir des précédentes, aux figures spatiales que l’on peut limiter par ces figures planes, et à quelques autres que l’on peut définir à partir des droites et des cercles (sphères, …) Les figures peuvent ainsi être dessinées ou construites principalement à la règle et au compas. La définition moderne d'une figure est très différente de celle d’Euclide. Sous sa forme la plus tolérante elle dit que n’importe quel ensemble de points est une figure. Au point de vue mathématique, cela ouvre un immense espace de possibilités mais cela pose quelques difficultés au point de vue physique : du fait des propriétés étonnantes des espaces continus (une région finie contient un ensemble infini de points, …), certaines figures mathématiques (les lignes continues non différentiables, …) peuvent avoir des propriétés qui n’ont pas de sens physique, qui ne peuvent pas être confrontées à l’expérience, parce que celle-ci ne livre jamais qu’une somme finie d’informations.

La vérité de la géométrie euclidienne

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à quelle pression mon réservoir va-t-il résister » ; on peut donc réduire le nombre d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage). La géométrie peut être considérée comme une théorie physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille de papier et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation thermique. Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers, ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point de vue, les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides. Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations, mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des exprériences plus précises pourraient en montrer la fausseté. La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit. La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel, idéal, possible. (voir Théorie des modèles et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Fable sur la naissance de la géométrie

Nous allons imaginer ci-après ce qu'a pu être le cheminement qui amena à l'élaboration de la géométrie, et notamment à la rédaction des Éléments par Euclide ; il ne s'agit pas là d'une reconstitution historique, mais plutôt d'un fable destinée à illustrer la naissance du concept de géométrie et la notion d'abstraction. Dans l'antiquité, les mathématiques correspondaient à des besoins très concrets du type : « quelles doivent être les dimensions de mon silo pour que je puisse stocker tout mon grain ? » (1) Les calculs faits sur des objets concrets (ici, les silos et les grains) ne faisaient intervenir que certaines caractéristiques (longueurs, aires, volumes) et n'avaient pas besoin des autres caractéristiques (comme le matériau de construction, l'épaisseur des parois, la masse). Par le processus d'abstraction, les scientifiques (que l'on appelait plus volontiers philosophes à l'époque) ont construit des objets définis uniquement par ces grandeurs ; ces objets abstraits n'ayant pas de constitution matérielle, ils pouvaient être représentés par des dessins sur une surface. On a donc une distinction entre le dessin d'art, qui avait à l'époque une connotation religieuse et magique et servait aussi à l'éducation et à la conservation de la mémoire, et le dessin géométrique qui n'est qu'un support visuel, une aide à la réflexion, pour des objets abstraits. (voir Éléments d'histoire des sciences, Michel Serres et coll., éd. Bordas, Paris, 1989)

La géométrie et le développement des projets

La géométrie peut donc être décrite comme étant « du dessin servant faire un modèle simplifié d'objets réels ». Comme tout processus d'abstraction, la géométrie permet de prendre du recul par rapport à la réalité, et à simplifier le problème ; on commence par résoudre tout ce qui est relatif aux dimensions de l'objet réel avant de s'attaquer au reste (comment on va construire l'objet, comment on va l'assembler avec les autres objets). La géométrie a donc naturellement permis de grands progrès en architecture et en mécanique, avec notamment la naissance du dessin industriel. Si quelqu'un vous disait de but en blanc « je construis une voiture fictive », vous l'imagineriez, tel Charlot dans les Temps modernes, en train de mimer le vissage des boulons dans le vide, et vous le prendriez sûrement pour un fou. Or, la notion de projet, ce n'est rien d'autre que cela : travailler sur un objet qui n'existe que dans l'esprit. Cette notion de projet qui nous paraît évidente en raison de notre culture est en fait une violence faite au « bon sens », qui frise la schizophrénie (le « projeteur » vit dans un monde imaginaire). Le dessin permet de « concrétiser », de « matérialiser » l'imagination et donc de sortir le « projeteur » de sa « folie », de lui redonner contact avec la réalité. Cet objet fictif est tracé sur papier, et c'est ce dessin, en tant que support de la réflexion, qui permet d'élaborer l'objet avant même d'avoir pris le premier outil ; il permet aussi l'échange des idées et la transmission d'information (passage du bureau d'étude au bureau des méthodes, puis à l'atelier de fabrication). La géométrie est donc une révolution fondamentale dans la manière de penser qui fait naître la notion de projet (projection dans l'avenir, travail sur un objet qui n'existe pas). La géométrie, et notamment la trigonométrie, est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises). Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. Cela permet notamment de répondre à la question : « comment représenter un objet fictif complexe de manière compréhensible pour un humain ».

Voir aussi

Généralités
- Géométrie euclidienne
- Géométrie vectorielle
- Géométrie analytique
- Espace euclidien
- Géométrie non euclidienne
- Géométrie projective
- Géométrie dans l'espace
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Écrire les figures de la géométrie Développements et Applications
- Fonction trigonométrique
- Courbe plane
- Orientation
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Optique géométrique
- Figures géométriques (dessins des civilisations anciennes)
- Géodésie
- Le parallélisme en automobile Catégorie:Mathématiques
- ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k