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La relativité générale est une théorie de la gravitation qui décrit celle-ci comme une manifestation d’une déformation locale de la géométrie de l’espace-temps.
Elle est considérée comme l'œuvre majeure d’Albert Einstein qui la publia en 1915.
Généralités
La description géométrique de la théorie physique due à Einstein trouve ses origines dans les avancées de la géométrie non-euclidienne, qui remontent aux différentes tentatives aux cours des siècles de démontrer le cinquième postulat d’Euclide, énonçant que par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite donnée.
Ces efforts culminèrent au avec la réalisation par les mathématiciens Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss que ce postulat pouvait sans inconvénient être remplacé par un différent (plusieurs parallèles possibles, ou pas de parallèle du tout), et ne constituait donc en fait qu’un axiome arbitraire. Aucune de ces géométries n’était plus « vraie » que les autres : il s’agissait simplement d’outils conceptuels différents pouvant servir de support à des usages également différents. La surface d’une sphère, par exemple, peut indifféremment être considérée comme la surface d’un objet euclidien à 3 dimensions ou comme un espace non-euclidien particulier à deux dimensions, la seconde représentation pouvant s’avérer plus commode dans certains cas.
La généralisation de ces résultats, dénommée géométrie non-euclidienne, fut réalisée par Bernhard Riemann, un élève de Gauss, mais elle fut considérée comme simple curiosité mathématique jusqu’à ce qu’Einstein utilise les travaux de son professeur Hermann Minkowski (qui utilisait des nombres complexes pour obtenir des espaces non-euclidiens faciles à traiter en géométrie analytique... et exprima en 1907 dans cette description la transformation de Lorentz !) pour développer sa théorie de la relativité générale.
transformation de Lorentz
La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres : cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l’espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, lespace-temps. En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant c, temps et espace s’altèrent de façon liée, tout comme deux coordonnées d’un point en géométrie analytique s’altèrent de façon liée lorsqu’on pivote les axes du repère.
La relativité générale ajouta à cette vision que la présence de matière pouvait déformer localement l’espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites « droites » - en tout cas de longueur minimale - à travers l’espace-temps ont des propriétés de courbure dans l’espace et le temps.
Contrairement à l’espace-temps à quatre dimensions euclidiennes imaginé par le romancier H.G. Wells, cet espace-temps de Minkowski n’est pas euclidien. En effet, une de ses composantes (le temps) doit être affectée dans les calculs de distance du coefficient j (le « i » des mathématiciens) défini (au signe près) par l’équation j² = -1. La distance la plus courte entre deux points distincts de cet espace-temps, (dont le carré est x²+y²+z²-c²t²), peut donc fort bien être nulle - c’est d’ailleurs le cas pour les points de départ et d’arrivée d’un rayon lumineux. Cela illustre le côté non-euclidien de cet espace.
H.G. Wells]
Le 29 mai 1919, les mesures de la déviation des positions apparentes d’étoiles par Sir Arthur Eddington lors d’une éclipse solaire, malgré quelques imprécisions de mesure, constituèrent la première confirmation de la théorie.
De très nombreuses expériences ont été réalisées depuis et tous les résultats obtenus sont en accord avec la théorie.
On peut citer par exemple une expérience menée par Pound et Rebka à l'université Harvard (1959), qui a permis de détecter un changement de 22,5 m de la longueur d'onde d’une source monochromatique de Cobalt.
Autre conséquence pratique de la relativité générale : les horloges atomiques en orbite autour de la Terre du système de positionnement GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour le ralentissement dû à l’effet de la gravité terrestre.
(En ce qui concerne la Relativité restreinte, l’étude des trajectoires de particules dans des chambres de Wilson montre que celles-ci, lorsqu’elles sont en déplacement rapide, ont bien une durée de vie allongée de ce que prévoit la Relativité : la longueur de leur parcours, lorsqu’on connaît leur vitesse, en témoigne).
Fondements de la relativité restreinte
Cette section rappelle les résultats expérimentaux et les avancées mathématiques qui menèrent à la formulation de la théorie de la relativité générale, et donne aussi un aperçu de la théorie de la relativité restreinte.
Gauss a réalisé qu’on pouvait imaginer d’autres géométries que la géométrie euclidienne.
Si l’univers se caractérise par une telle géométrie, qu’un physicien tient un bâton verticalement, et qu’à une certaine distance, un cartographe mesure sa longueur par une technique de triangulation basée sur la géométrie euclidienne, rien ne garantit qu’il obtiendra le même résultat si le physicien lui apporte le bâton et qu’il le mesure directement. Bien entendu, dans la pratique, la différence serait si insignifiante qu’il serait impossible de la remarquer à l’aide d’instruments de mesure traditionnels, mais des expériences équivalentes ont été réalisées qui ont permis de détecter le caractère non euclidien de l’espace-temps.
Dans sa Mécanique, Isaac Newton présupposait que les corps étaient dotés d’une vitesse absolue, autrement dit qu’ils étaient soit « réellement » au repos, soit « réellement » en mouvement.
Il remarqua aussi que ces vitesses absolues étaient non mesurables autrement que relativement aux vitesses des autres corps (de la même manière, la position d’un corps n’était mesurable que relativement à celle d’un autre corps, etc).
En conséquence toutes les lois de la mécanique newtonienne devaient opérer à l’identique quel que soit le corps considéré et quel que soit son mouvement.
Cependant, Newton pensait que sa théorie ne pouvait avoir de sens sans l’existence d’un référentiel fixe absolu dans lequel la vitesse de tout corps pourrait être mesurée, même si celui-ci ne pouvait être détecté.
En fait, il est possible en pratique de bâtir une mécanique newtonienne sans cette hypothèse : la théorie résultante (nommée d’ailleurs relativité galiléenne) n’a d’ailleurs pas d’intérêt opérationnel particulier et ne doit pas être confondue avec la relativité einsteinienne, qui implique en plus la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels et en moins l’hypothèse galiléenne que les vitesses relatives s’additionnent (ces deux axiomes sont en effet mutuellement incompatibles).
Au , le physicien écossais James Clerk Maxwell formula un ensemble d’équations, les équations du champ électromagnétique, qui proposaient que la lumière n’était qu’un type particulier d’onde électromagnétique, hypothèse qui fut validée par les expériences du physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz. Selon la théorie de Maxwell, les ondes électromagnétiques avaient de plus la propriété de se propager à vitesse constante par rapport au support du champ, l’Éther (produit dérivé de l’Éther luminufère de Huygens). Ce dernier devenait ainsi un référentiel privilégié en contradiction avec le principe de relativité de Galilée selon lequel le mouvement rectiligne uniforme ne peut pas être discerné.
Cela mena à chercher à déterminer la vitesse de la Terre dans cette sorte d'« océan cosmique », et puisque la Terre effectuait une rotation annuelle dans l’Éther, la vitesse de la lumière mesurée à la surface de la Terre devait apparaître accrue lorsque la Terre se déplaçait à l’encontre de l’Éther, et diminuée 6 mois plus tard, lorsque la Terre allait dans le même sens que l’Éther.
Cette mesure de vitesse devait donc montrer une période d’un an.
Malheureusement, une expérience d’interférométrie menée par Michelson et Morley ne permit de détecter aucune variation sensible, et ce quelle que soit la période de l’année.
Ce résultat devait mener à la conclusion étonnante que la vitesse de la lumière était constante dans toutes les directions. Cette conclusion menait à une impasse : l’Éther n’existait pas, ou (non exclusif !) la loi d’addition des vitesses était fausse.
En postulant la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels, et en adoptant une nouvelle loi d’addition des vitesses, les transformations de Lorentz, Einstein put en 1905 synthétiser ces résultats et en déterminer les conséquences révolutionnaires — notamment l’équivalence de la masse et de l’énergie — dans un article resté célèbre : De l’électrodynamique des corps en mouvement.
Résumé de la théorie
Référentiels
L’idée centrale de la relativité est que l’on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l’accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel, défini en un point donné.
Tout mouvement est alors décrit relativement à ce référentiel.
La relativité restreinte postule que ce référentiel peut être étendu indéfiniment dans l’espace et dans le temps.
Elle ne traite que le cas des référentiels dits inertiels, autrement dits animés d’une vitesse constante et sans changement de direction.
La relativité générale, elle, traite les référentiels accélérés (au sens vectoriel) ou non.
En relativité générale, il est admis que l’on ne peut définir un référentiel local avec une précision donnée que sur une période finie et dans une région finie de l’espace (de la même manière, à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte sans distorsion que sur une région limitée).
En relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local inertiel.
En particulier, la trajectoire de particules libres comme des photons est une ligne droite dans un référentiel local inertiel.
Dès que ces lignes sont étendues au-delà de ce référentiel local, elles n’apparaissent plus droites, mais sont connues sous le nom de géodésiques.
La première loi de Newton doit être remplacée par la loi du mouvement géodésique.
La trajectoire d’un photon est par exemple une géodésique de longueur... nulle : la partie positive du carré de cette longueur (x²+y²+z²) est en effet égale et opposée à sa partie négative (-c²t²)
Revenons sur la notion de référentiel inertiel. Nous distinguons les référentiels inertiels, dans lesquels un corps libre de toute action extérieure maintient un mouvement uniforme, des référentiels non-inertiels, dans lesquels un corps libre subit une accélération dont l’origine est due à l’accélération du référentiel lui-même.
Un exemple en est la force centrifuge que l’on ressent lorsqu’un véhicule qui nous transporte effectue un rapide changement de direction, un autre exemple en est la force dite de Coriolis, manifestation de la rotation terrestre. La force centrifuge est fictive et n'est qu'une manifestation de l'inertie (premier principe de Newton).
Principe d’équivalence
Parce qu’il n’a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d’inertie (résistance d’un corps à l’accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu’il n’y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel, d’un mouvement uniforme [?](donc non accéléré) en l’absence de champ gravitationnel.
En clair, on n’observe pas localement de gravitation dans un référentiel en chute libre, en autant qu'il soit suffisamment petit, par rapport aux moyens de détection, pour qu'on ne puisse pas y détecter d'accélération. Autour de la Terre, la chute libre peut être par exemple une chute vers le sol ou bien le mouvement d’un satellite.
Ce résultat n’est que local, c’est-à-dire valable pour un espace restreint i.e. 'petit'. Dans un volume et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Il s’agit juste d’unifier ce qui est semblable dans les phénomènes afin de les traiter par un mécanisme unique.
Cette équivalence est utilisée dans l’entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique où la force centrifuge contrebalance quelques minutes les forces de gravité, simulant ainsi la « chute libre » d’un corps satellisé (chute libre qui dure indéfiniment, puisque circulaire).
Dans cette perspective, la gravitation observée à la surface terrestre est la force observée dans un référentiel défini en un point de la surface terrestre qui n’est pas libre, mais sur lequel agit toute la roche qui constitue le noyau, et cette force est de nature identique à la force centrifuge qui serait ressentie dans un vaisseau spatial suffisamment éloigné de la Terre pour ne plus guère subir son attraction, et effectuant une manœuvre de changement de direction. Ou encore, le sol empêche un objet de faire sa chute libre en exerçant une force vers le haut (appelée « réaction du sol ») ; en mécanique newtonienne, on a plutôt tendance à considérer que la chute libre est une accélération vers le bas, alors qu’ici, la chute libre est l’état de référence et c’est l’état de repos par rapport au sol qui est une accélération vers le haut.
Le principe d’équivalence revient à considérer, pour résumer, que la masse inertielle et la masse gravitationnelle représentent une seule et même chose.
Tenseur d’énergie et courbure de l’espace
Mathématiquement parlant, Einstein modélise l’espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur impulsion-énergie en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité de matière et d’énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes).
Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l’espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l’espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie de l’espace-temps est d’imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d’un objet massif, une boule par exemple.
Le chemin le plus court entre deux points - ce qui reste la définition de la « ligne droite » - ne sera alors pas le même qu’en l’absence de déformation : si la trajectoire passe trop près de la bille, en effet, le parcours est « allongé » par le creusement de la feuille de caoutchouc. Remarquons que nous n’avons à prendre en compte dans cette analogie ni le temps ni la gravité, ce qui est normal puisque c’est eux que nous désirons décrire en sortie.
En transposant cette image dans l’espace physique, la présence d’un corps massif affectera la courbure de l’espace, ce qui semblera vu de l’extérieur altérer la course d’un rayon lumineux ou d’un objet en mouvement qui passe dans son voisinage. Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : « La masse et l’énergie disent à l’espace-temps comment se courber, et la courbure de l’espace-temps dit à la matière comment se comporter ».
Cela a pour conséquence en astronomie l’effet de mirage gravitationnel (parfois nommé lentille gravitationnelle à tort, car n’ayant les propriétés ni d’une lentille convergente - ce que l’on voit immédiatement si l’on trace plus de quatre rayons ! - ni celles d’une lentille divergente).
Cette notion de courbure de l’espace explique la courbure des rayons lumineux au voisinage d’un astre massif, qui ne pouvait être due à la loi de Newton si les photons n’ont pas de masse.
L’équation du champ d’Einstein n’est pas une solution unique et il y a de la place pour d’autres modèles, s’ils sont en accord avec les observations.
La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique, et le remplacement de l’équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale.
Peu de physiciens doutent qu’une telle Théorie de Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d’application, de la même manière que cette dernière permet de prédire les lois de la gravitation de Newton dans les limites des faibles vitesses (dites vitesses non relativistes).
L’équation du champ contient un paramètre « supplémentaire » appelé la constante cosmologique qui a été introduite à l’origine par Einstein pour qu’un univers statique (c’est-à-dire un univers qui n’est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.
Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : l’univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations de l’astronome Edwin Hubble dix ans plus tard démontrèrent que l’Univers était en fait en expansion. Donc fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu’une valeur non nulle de est nécessaire pour expliquer certaines observations.
L’équation complète du champ gravitationnel, qu'on appelle léquation d'Einstein, s’écrit :
:
où est le tenseur de Ricci, que l’on obtient par contraction du tenseur de courbure, est le scalaire de courbure (), est le tenseur métrique, est la constante cosmologique, est le tenseur d’énergie, est la célérité de la lumière dans le vide, et est la constante gravitationnelle qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne.
décrit la métrique de la variété et est un tenseur symétrique.
Étant donné que les quatre degrés de liberté sont les quatre coordonnées d’espace-temps, les équations indépendantes se réduisent à six.
L’étude des solutions de cette équation est une branche de la Physique nommée cosmologie.
Elle permet notamment d’expliquer l’excès de l’avance du périhélie de la planète Mercure, de prédire l’existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d’étudier les différents scénarios d’évolution de l’Univers. Notons que l’astrophysicien bien connu Stephen Hawking a démontré qu’un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.
Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser avec les satellites LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement de la Lune de [http://www.nature.com/news/2004/041018/full/041018-11.html deux mètres par an] comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.
Métrique de Schwarzschild
Nous pouvons obtenir les équations de la relativité générale correspondant à un potentiel central engendré par un corps à symétrie sphérique en résolvant l'équation :
:
On obtient la métrique de Schwarzschild :
:
Liens internes
- géométrie non-euclidienne
- géométrie dans l'espace
- relativité restreinte
- relativité
Liens externes
- [http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier510-1.php Relativité générale : comment l'espace-temps devint dynamique], Futura-Sciences
- [http://lanturluland.free.fr/lanturluland/francais/2_presentation_fr/presentation1.htm Les aventures d’Anselme Lanturlu] Le géométricon et Tout est relatif, bandes dessinées de Jean-Pierre Petit, éd. Belin,
- [http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/baulieu.html Un cours assez succinct donné à l'École Polytechnique]
- [http://universtour.free.fr/generale.htm Article de vulgarisation]
- [http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 Sean M. Carroll, Introduction to general relativity], un cours très complet.
Références
- Kip Thorne, Stephen Hawking : Trous noirs et distorsions du temps, Flammarion (1997). Un livre de vulgarisation rédigé par des experts.
- Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, Freeman (1973). Un ouvrage classique pour les étudiants de troisième cycle scientifique, qui insiste sur les aspects géométriques de la théorie.
- Ray d’Inverno: Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University (1993). Une introduction accessible au niveau premier cycle scientifique.
- Herman Bondi: Relativity and Common Sense, Heinemann (1964). Une introduction accessible à tous par un scientifique renommé.
- W. Perret and G.B. Jeffrey, trans.: The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, New York Dover (1923).
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Catégorie:Physique théorique
La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.
Interprétation prérelativiste
Pour la physique prérelativiste, la gravitation explique l'attraction mutuelle entre tous les corps ayant une masse. Elle est régie par une loi établie par Isaac Newton en 1687, et qui s'exprime selon la formule :
::
- étant la force gravitationnelle exercée par le corps 1 sur le corps 2 (en newton ou m·kg·s-2) ;
- G, la constante gravitationnelle, qui vaut 6,6742.10-11 N·m2·kg-2 (ou m3·kg-1·s-2) (l'incertitude sur cette constante est cependant très élevée : 1500 ppm, soit une incertitude de 0,0010.10-11 N·m2·kg-2) ;
- m1 et m2, les masses des 2 corps en présence (en kilogrammes) ;
- d, la distance entre les 2 corps (en mètres) ;
- est un vecteur unitaire dirigé du corps 1 vers le corps 2 ;
- le signe - indique que le corps 2 est attiré par le corps 1 ; d'après la troisième loi de Newton on a .
Dans cette interprétation, le phénomène de gravitation se traduit donc par une force, au sens de la mécanique newtonienne. On peut déduire de la formule que :
- plus un corps a une masse importante, plus il exercera une attraction sur l'autre corps ;
- plus les objets sont éloignés moins ils s'attirent ;
- l'accélération que subit un objet à cause de la gravitation est indépendante de sa masse.
On constate aussi que cette formule est compatible avec le principe des actions réciproques.
Cette loi est bien vérifiée expérimentalement. Du point de vue de la technique, elle suffit à faire voler des objets plus lourds que l'air ou pour envoyer des hommes sur la Lune. Pourtant, elle n'est considérée aujourd'hui que comme une approximation de la théorie relativiste de la gravitation.
Approche relativiste
À partir de 1915, Albert Einstein donnera une autre vision de la gravitation dans sa théorie de la Relativité générale. La gravitation n'est plus une force mais la manifestation d'une déformation de l'espace par les corps massifs qui y sont plongés.
Ce qui avait intrigué Einstein, et même Galilée et Newton, dans l'interprétation mécanique de la gravitation, est ce que Einstein posera comme principe de base : le Principe d'Équivalence : tous les objets, quelque soit leur masse, accélèrent de la même façon sous l'effet de leur poids. Or, cela implique qu'un objet deux fois plus massif est toujours attiré deux fois plus fort, indépendamment de sa composition.
Pour bien comprendre le problème posé par l'interprétation mécanique de la gravitation, il suffit de comparer cette force à d'autres forces de même nature.
Si vous devez pousser ou tirer un petit chariot ayant une masse de 50 kg et qu'une autre personne à côté de vous en pousse un autre ayant une masse de 10 kg, il est évident que pour aller à la même vitesse, vous devrez exercer sur votre chariot une force 5 fois plus importante que celle de l'autre personne. Les deux chariots vont alors à la même vitesse, ainsi qu'en est-il des objets pesants qui tombent à la même vitesse quelque soient leurs masses respectives et leur composition.
Mais si dans le cas des chariots, ceux-ci vont à la même vitesse, c'est parce des êtres humains doués de raison, appliquent respectivement une force appropriée à chacun des chariots pour que leur vitesse soit identique. Alors qu'en est-il de la gravitation qui parvient au même résultat ? Serait-elle douée de raison elle aussi ? D'où l'étrangeté de cette force "intelligente" et qui intrigua Newton.
Einstein exprime le problème en remarquant qu'on peut distinguer deux concepts de masse :
- la masse « gravitationnelle », qui correspond à la force d'attraction exercée par un corps (cette force étant proportionnelle à cette masse), force qu'on peut traduire, de façon imagée, en une pente dans l'espace-temps induite par la présence d'un corps, et qui fait descendre les autres corps vers lui ;
- la masse « inerte » ou « inertie », qui correspond à la réaction d'un corps à n'importe quelle force, l'accélération acquise sous l'effet d'une force quelconque étant inversement proportionnelle à cette inertie.
A priori, ces deux concepts sont différents et leur rapport devrait varier selon les corps, un peu comme masse et volume ont des rapports très variés. Or une balle de plume de 1 g et une balle de plomb de 1 g, soumises à la même force gravitationnelle, tombent de manière identique (célèbre expérience du tube de Newton). Ce qui relève soit de la coïncidence la plus miraculeuse, soit (plus raisonnablement), d'une relation fondamentale qu'exprime justement la relativité générale.
Voir aussi
- Eplastophème
- Gravité
- Histoire de la gravitation au XVIIème siècle
- loi universelle de la gravitation
Espace-temps
La notion d'espace-temps a été introduite par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps telle qu'elle avait été définie par la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein. Celui-ci avait publié en 1905 un article consacré aux lois fondamentales de l'électromagnétisme Sur l'électrodynamique des corps en mouvement.
Cette théorie est un des grands bouleversements survenus au début du dans le domaine de la physique. (Voir aussi le problème de « l'éther »).
Un événement se positionne dans le temps et l'espace par ses coordonnées ct, x, y, z qui dépendent toutes du référentiel.
Il est très difficile de s'imaginer que le temps ne soit pas le même suivant le référentiel dans lequel on le mesure et ceci est pourtant bien confirmé expérimentalement en particulier dans les accélérateurs de particules CERN.
Le temps dépend du référentiel dans lequel il est mesuré et n'est donc pas absolu.
Il en va de même pour l'espace. La longueur d'un objet peut être différente selon le référentiel de mesure.
Seul l'espace-temps comme concept unifié, qui est mathématiquement un espace de Minkowski, existe dans l'absolu, tandis que ses composantes d'espace et temps en sont des aspects qui dépendent du point de vue (référentiel).
Le rapport entre les mesures d'espace et temps donné par la constante universelle (vitesse de la lumière dans le vide) permet de décrire une distance d en terme de temps : d = ct
avec t le temps nécessaire à la lumière pour parcourir d.
Le Soleil est à 150 millions de kilomètres c'est-à-dire à 8 minutes-lumière de la Terre. En disant "minutes-lumière", on parle d'une mesure de temps multiplié par c, et on obtient une mesure de distance, dans ce cas-ci, des kilomètres. Autrement dit c sert à convertir des unités de temps en unités de distance. Kilomètres et minutes-lumière sont donc deux unités de mesure de distance.
Ce qui unifie espace et temps dans une même équation, c'est que la mesure du temps peut être transformée en mesure de distance (en multipliant t, exprimé en unités de temps, par c), et t peut donc de ce fait, être associé aux trois autres coordonnées de distance dans une équation où toutes les mesures sont en unités de distance. En ce sens on pourrait dire que le temps, c'est de l'espace !
Voir aussi
- Univers
Lien externe
- [http://perso.wanadoo.fr/jules-verne/CIEH.htm L'espace et le temps chez Jules Verne...], par Lionel Dupuy
Catégorie:Astronomie
Catégorie:Physique théorique
Catégorie:Temps
ja:時空
ko:시공간
1915Catégorie:1915
Cette page concerne l'année 1915 du calendrier grégorien.
Événements
- 5 septembre : Conférence pacifiste à Zimmerwald.
- 19 janvier : premier bombardement aérien de civils par un zeppelin en Angleterre.
- 4 février : Premières attaques sous-marines allemandes.
- En février, Échec de la tentative de percée française en Champagne (février-mars).
- 22 avril : Première utilisation de gaz asphyxiants près d'Ypres.
- 24 avril : Arrestation et déportation de plus de 600 intellectuels arméniens de Constantinople par les Jeunes Turcs. Date considérée symboliquement comme marquant le début du génocide des Arméniens
- 25 avril : Débarquement d'un corps expéditionnaire allié aux Dardanelles.
- 26 avril : Traité de Londres entre les alliés et l'Italie.
- 7 mai : Torpillage par les Allemands du paquebot britannique Lusitania
- 23 mai : Entrée de l'Italie en guerre au côté des alliés.
- En mai, Échec de la tentative de percée en Artois (Mai-juin).
- En mai, Offensives allemandes contre la Russie (mai-oct.).
- 25 septembre : Échec d'une tentative française de percée en Artois (25 sept-11 oct).
Europe
- Début du ministère de coalition d'Herbert Asquith, Premier ministre d'Angleterre (fin en 1916).
France
- 29 octobre : Aristide Briand Président du Conseil en France.
- Création du constructeur automobile « Citroën ».
- Émission d'un emprunt national à 5% pour financer la guerre.
- L'inflation se monte à 20%.
- 9 janvier : les autorités fédérales décrètent le monopole des céréales.
- 16 mai : Inauguration du tunnel du Mont-d’Or qui raccourcit de 17 km le trajet Vallorbe-Paris.
- 27 juillet : Le Conseil fédéral promulgue une ordonnance controversée sur la censure.
- 5 septembre : Réunion à Zimmerwald (BE), de leaders socialistes de onze pays européens, dont Léon Trotsky et Lénine.
Afrique
Amériques
Amérique du Nord
- Harvey Spencer Lewis fonde l'A.M.O.R.C. (Ancien et Mystique Ordre de la Rose-Croix).
- Refondation du Ku Klux Klan.
Amérique Latine
Océanie & Pacifique
Proche-Orient & monde arabe
- 30 mai : Empire ottoman : Ordre de déportation des Arméniens dans les déserts d'Irak et de Syrie, des centaines de milliers de personnes meurent.
Arts & culture
- 8 février et 3 mars : Première à Los Angeles et sortie du film de David Wark Griffith : Naissance d'une Nation.
Beaux-Arts
- En décembre, exposition à Petrograd du tableau Carré noir sur fond blanc de Malevitch.
- Naissance du mouvement Dada.
Littérature
- Disparition de la Gazette, le premier hebdomadaire français (fondé en 1631).
- L'écrivain autrichien Franz Kafka publie La Métamorphose.
- Romain Rolland, Prix Nobel de littérature pour son œuvre majeure Jean-Christophe.
Sciences & techniques
- 22 avril : Première utilisation de gaz asphyxiants près d'Ypres en Belgique.
- Le physicien Albert Einstein expose sa théorie de la relativité générale.
- Premier appel téléphonique transcontinental entre New York et San Francisco.
Sports
- 30 janvier : John Profumo, homme politique britannique
- 15 février : Georges Gorse, homme politique français
- 5 mars : Laurent Schwartz, mathématicien français († en 2002, 87 ans)
- 7 mars : Jacques Chaban-Delmas, homme politique français († en 2000, 85 ans)
- 21 avril : Anthony Quinn, acteur mexicain († en 2001, 86 ans)
- 6 mai : Orson Welles, acteur et réalisateur américain († en 1985, 70 ans)
- 15 mai :
- Paul Samuelson, économiste américain
- Mario Monicelli, scénariste et réalisateur italien
- 4 juin : Modibo Keïta, homme politique malien († en 1977, 62 ans)
- 24 juin : Fred Hoyle, cosmologiste britannique († en 2001, 86 ans)
- 11 juillet : Guy Schoeller, éditeur français
- 29 août : Ingrid Bergman, actrice de cinéma suèdoise († en 1982, 67 ans)
- 24 octobre : Bob Kane, dessinateur américain de comics, créateur de Batman († en 1998, 83 ans)
- 19 décembre : Édith Piaf, chanteuse française († en 1963, 48 ans)
- 27 décembre : William Howell Masters, sexologue américain
- 28 septembre : Ethel Rosenberg, espionne (?) américaine exécutée († en 1953, 38 ans)
- Michel Bréal, linguiste français
- Eugène Ducretet, ingénieur, pionner français de la radio
- 9 mai : François Faber, cycliste
- 2 juillet : Porfirio Díaz, président du Mexique jusqu'en 1911
- 10 septembre : Charles-Eugène Boucher de Boucherville, premier ministre du Québec
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ja:1915年
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th:พ.ศ. 2458
Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky
Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky (Николай Иванович Лобачевский, 1792 à Nijni-Novgorod, 24 février 1856 à Kazan) est un mathématicien russe.
Il fait ses études à l'Université de Kazan où il devient professeur en 1822.
En 1837, il publie en France l'article Géométrie imaginaire dans lequel il met au point une géométrie non-euclidienne, c'est-à-dire une géométrie ne respectant pas le Vième postulat d'Euclide concernant les droites parallèles : dans cette nouvelle géométrie, par un point donné, il est possible de faire passer plusieurs droites parallèles à une droite donnée. La géométrie de Lobatchevsky est appelée géométrie hyperbolique. Une des œuvres majeures de Lobachevsky et "la pangéométrie" où en quelque sorte il fait un bilan de toutes ses découvertes
Voir aussi
- Euclide
- Éléments d'Euclide
- Giovanni Saccheri
- Jean François Moufot
- János Bolyai
- Bernhard Riemann
Lobatchevsky, Nicolaï Ivanovitch
Lobatchevsky, Nicolaï
Lobatchevsky, Nicolaï
ja:ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー
Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 — 23 février 1855) était un mathématicien, astronome et physicien allemand, ayant apporté de très importantes contributions ; il est considéré comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
allemand
Gauss naquit à Brunswick, dans le duché de Brunswick (maintenant en Allemagne) dans une famille très modeste, dont les parents avaient peu d'éducation.
Gauss fut un enfant prodige, il apprit seul à lire et à compter à l'âge de trois ans et à l'école, il impressionna très tôt ses professeurs, et il y a d'ailleurs une célèbre anecdote ; un professeur essayait d'occuper ses élèves en leur faisant faire des additions, il leur proposa de calculer la somme de tous les nombres de 1 à 100. Peu de temps après, le jeune Gauss fournit la réponse correcte, ayant astucieusement additionné les nombres extrêmes par paires, remarquant que les sommes intermédiaires donnaient toujours le même résultat: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, etc., et ce un nombre total de 50 fois soit 50 × 101 = 5050.
Le duc de Brunswick remarqua ses aptitudes, et lui accorda une bourse en 1792 afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il fut envoyé au collège Caroline qu'il fréquenta jusqu'en 1795. Dans cette période, il formula la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers, conjecture qui fut prouvée par Jacques Hadamard en 1896.
Gauss acquit pendant toute sa scolarité une très grande érudition, et lorsqu'il était au collège, il démontra à nouveau, indépendamment, des théorèmes importants.
Gauss fit une grande percée en 1796, lorsqu'il caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas uniquement (Théorème de Gauss-Wantzel), et compléta de cette façon le travail commencé par les mathématiciens de l'Antiquité grecque.
Gauss était si satisfait de ce résultat qu'il demanda qu'un polygone régulier de 17 côtés soit gravé sur son tombeau.
Il fut le premier à démontrer rigoureusement le théorème fondamental de l'algèbre ; en fait, il produisit quatre preuves entièrement différentes de ce théorème tout au long de sa vie, et clarifia considérablement le concept de nombre complexe. Il apporta aussi d'importantes contributions en théorie des nombres avec son livre publié en 1801 Disquisitiones arithmeticae, qui contenait un exposé très clair sur l'arithmétique modulaire et la première preuve de la loi de réciprocité quadratique.
Il fut soutenu par des traites du Duc de Brunswick, mais n'apprécia pas l'instabilité de cet arrangement et aussi ne crut pas que les mathématiques fussent assez importantes pour mériter une telle aide ; il opta donc pour une place dans l'astronomie, et en 1807 il fut nommé professeur d'astronomie et directeur de l'observatoire astronomique de Göttingen.
En 1809, Gauss publia un travail d'une importance capitale sur le mouvement des corps célestes qui contenait un développement influant de la méthode des moindres carrés, une procédure utilisée aujourd'hui dans toutes les sciences, pour minimiser l'impact d'une erreur de mesure. Il était en mesure de prouver l'exactitude de la méthode dans l'hypothèse d'erreurs normalement distribuées. La méthode fut décrite plus tôt par Adrien-Marie Legendre en 1805, mais Gauss affirma qu'il l'utilisait depuis 1795.
Gauss découvrit la possibilité de géométries non-euclidiennes mais ne publia jamais ce travail. Son ami Farkas Wolfgang Bolyai avait essayé en vain pendant de nombreuses années de démontrer le postulat de la parallèle à partir des autres axiomes de la géométrie d'Euclide et échoua. Le fils de Bolyai, János Bolyai, découvrit à nouveau la possibilité de géométries non euclidiennes en 1820 ; son travail fut publié en 1832.
Plus tard, Gauss essaya de déterminer si le monde physique était en fait euclidien en mesurant des triangles géants.
En 1818, Gauss commença une étude géodésique de l'État de Hanovre, travail qui mena plus tard au développement des distributions normales pour décrire les erreurs de mesure et qui comporta un intérêt dans la géométrie différentielle ; et son theorema egregrium permit d'établir une propriété importante de la notion de courbure.
En 1831, une collaboration fructueuse avec le professeur de physique Wilhelm Weber aboutit à des résultats sur le magnétisme, et fut à l'origine de la découverte des lois de Kirchhoff en électricité et mena à la construction d'un télégraphe primitif. Il fut également l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell, qui constituent une théorie globale de l'électromagnétisme. La loi de Gauss pour les champs électriques exprime qu'une charge électrique crée un champ électrique divergeant. Sa loi pour les champs magnétiques énonce qu'un champ magnétique divergeant vaut 0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de monopôle magnétique. Les lignes de champ sont donc obligatoirement fermées.
Bien que Gauss n'eût jamais travaillé comme professeur de mathématiques et qu'il détesta enseigner, plusieurs de ses étudiants devinrent des mathématiciens influents, parmi lesquels figuraient Richard Dedekind et Bernhard Riemann.
Gauss était profondément pieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s'opposa à Napoléon qu'il vit comme un semeur de révolution. La vie privée de Gauss fut marquée par la mort précoce de sa première femme qu'il aimait, Johanna Osthoff, en 1809, suivie de près par la mort de l'un de ses enfants, Louis. Gauss plongea dans une dépression de laquelle il ne sortit jamais entièrement. Il se remaria, avec Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna), mais le deuxième mariage ne semble pas avoir été très heureux. Quand sa deuxième femme décéda en 1831 après une longue maladie, l'une de ses filles, Therese, prit en main les tâches ménagères et s'occupa de Gauss jusqu'à la fin de sa vie. Sa mère habita dans sa maison de 1812 jusqu'à sa mort en 1839. Gauss a rarement collaboré avec d'autres mathématiciens et était considéré par beaucoup comme une personne distante et austère.
Gauss eut six enfants, trois par femme. Avec Johnanna (1780-1809), ses enfants furent Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1846) et Louis (1809-1810). De tous les enfants de Gauss, Wilhelmina était la plus prédisposée à avoir son génie, mais mourut regrettablement jeune. Avec Minna Waldeck, il eut trois enfants : Eugene (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) et Therese (1816-1864). Eugene émigra aux États-Unis en 1832 environ, après une discorde avec son père, pour se retrouver finalement à Saint-Charles, dans le Missouri, où il devint un membre respecté de la communauté. Wilhelm vint s'installer un peu plus tard dans le Missouri, commença comme fermier et se lança dans la vente de chaussures à Saint Louis et devint riche. Therese resta à la maison jusqu'à la mort de Gauss, et se maria après.
Il décéda à Göttingen, Hanovre (aujourd'hui en Allemagne) en 1855 et fut enterré au cimetière de Albanifriedhof. De 1989 jusqu'à la fin de 2001, son portrait et une courbe de distribution normale figuraient sur le billet de banque de dix marks allemand.
G. Waldo Dunnington fut pendant toute sa vie un élève de Gauss. Il écrivit de nombreux articles, et une biographie: Carl Frederick Gauss: Le Titan de la Science.
La Royal Society lui décerne la médaille Copley en 1838. L'astéroïde 1001 Gaussia a été nommé en son honneur.
Voir aussi
- conditions de Gauss dans les articles optique géométrique, lentille et miroir.
- loi normale gaussienne en probabilités et statistiques
- Détermination orbitale
- Théorèmes de Gauss
Liens externes
- [http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.html Carl Friedrich Gauss], site incluant la biographie de Gauss et tout son travail.
- [http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html biographie MacTutor de Gauss]
- [http://freepages.science.rootsweb.com/~johns Carl Frederick Gauss], site tenu par l'arrière arrière arrière-petite-fille de Gauss, incluant une lettre numérisée écrite par Gauss et addressée à son fils, Eugene, et lien vers sa généalogie.
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
Gauss, Carl Friedrich
ja:カール・フリードリヒ・ガウス
ko:카를 프리드리히 가우스
th:คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
Bernhard RiemannRiemann, Bernhard Riemann, Bernhard Riemann, Bernhard
Riemann, Bernhard
Bernhard Riemann est un mathématicien allemand, né le 17
septembre 1826 à Breselenz, Hanovre, mort d'une tuberculose le 20 juillet 1866 à Selasca en Italie.
Il a d'abord étudié à Göttingen puis à Berlin, où il eut entre autres comme professeurs Dirichlet, dont il reprit la chaire, Jacobi et Steiner. Il a effectué sa thèse à Göttingen, où il enseigna ensuite, sous la direction de Gauss.
Dans sa thèse, présentée en 1851, Riemann met au point la théorie des fonctions d'une variable complexe, introduisant notamment le concept des surfaces portant son nom (sphère de Riemann). Il approfondira cette théorie en 1857, en mettant au point la théorie des fonctions abéliennes.
Lors de sa soutenance d'habilitation, en 1854, il donne un exposé intitulé
Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) qui jette les bases de la géométrie différentielle. Cette soutenance a profondément changé la conception de la notion de géométrie, notamment en ouvrant la voie aux géométries non-euclidiennes et à la théorie de la relativité générale.
On lui doit également d'important travaux sur les intégrales, poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu'on appelle aujourd'hui les intégrales de Riemann.
En 1859, Riemann, qui vient juste d'être nommé professeur à Göttingen et à l'Académie des Sciences de Berlin, publie un article Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée. Il y définit la fonction Zeta, en reprenant les travaux de Euler et en les étendant aux nombres complexes, et utilise cette fonction dans le but d'étudier la répartition des nombres premiers. La célèbre hypothèse de Riemann sur les zéros non triviaux de la fonction zeta formulée dans cet article n'est toujours pas démontrée, et fait partie des fameux 23 problèmes de Hilbert.
ja:ベルンハルト・リーマン
ko:베른하르트 리만
Nombres complexesEn mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels : ils sont apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs.
Une conséquence immédiatement visible est que si l’on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes.
Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe.
Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Tout polynôme non constant admet autant de racines complexes que son degré. L’étude des fonctions dérivables au sens complexe est une branche des mathématiques appelée analyse complexe.
Les nombres complexes furent « inventés » au par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. La présentation géométrique vient entre autres de l’abbé Buée et d’Argand.
Approche vulgarisée des nombres complexes
Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d’étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes .
Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode.
En effet, ils présentent un aspect double :
- de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
- de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, sont une pure abstraction.
Nous allons essayer, dans cette partie, d’avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard [1].
X et i
Lorsque l’on manipule les x d’une équation, inéquation ou système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu.
Parfois, on arrive à la conclusion que ce nombre n’existe pas, par exemple :
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