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Théorème

Théorème

ja:定理
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- catégorie:Raisonnement mathématique Un théorème est un raccourci, un outil mathématique fonctionnant dans un ensemble ou système donné. C'est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique, à partir d'axiomes. Notez que théorème ne signifie pas théorie. Il est démontré (sauf erreur) une fois pour toutes, est ensuite considéré comme vrai, et peut être alors utilisé pour démontrer d'autres propositions. Un théorème a généralement des hypothèses de base — des conditions, qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance. Ensuite il a une conclusion — une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base. La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme un « théorème » n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Exemples de démonstrations

Une démonstration par l'absurde considérée comme l'une des plus belles par Paul Erdös est la démonstration de l'irrationnalité de

\sqrt

. Par l'absurde supposons donc que

\sqrt

soit un rationnel. Il existe deux entiers p et q (strictement positifs) tels que :

\sqrt = \frac p q

. Quitte à simplifier par le P.G.C.D. de p et q, nous pouvons supposer p et q premiers entre eux (la fraction

p/q

est dite irréductible). Nous élevons au carré, les deux membres pour obtenir :

2 =\frac

En multipliant par q² les deux côtés, nous obtenons alors :

\ 2 \cdot q^2 =p^2

Nous en déduisons que 2 divise p²=p×p et d'après le lemme de Gauss puisque 2 est premier, nous en déduisons que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p=2k. Nous obtenons alors en simplifiant par 2 : :

\ q^2 =2 \cdot k^2

Cette égalité montre, d'après le lemme de Gauss, que 2 divise q. On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ, où l'on avait supposé p et q premiers entre eux. c.q.f.d. ---- Dans son ouvrage « Grundlagen der Geometrie » David Hilbert donna une nouvelle forme à la géométrie et en posa ses fondements. Rappelons quelques-uns des axiomes des fondements de la géométrie :
- I, 3 Sur une droite, il y a au moins deux points ; il existe au moins trois points non alignés.
- II, 2 Deux points A et C étant donnés, il existe au moins un point B appartenant à la droite AC et tel que C soit entre A et B.
- II, 3 De trois points d'une droite, il n'y en a pas plus d'un qui se trouve entre les deux autres.
- II, 4 Soient A, B et C trois points non alignés et a une droite du plan ABC qui ne passe par aucun des points A, B et C ; si la droite a passe par l'un des points du segment AB, alors elle passe ou par un point du segment BC ou par un point du segment AC. Démontrons le théorème suivant : Théorème : :Deux points A et C étant donnés, il existe sur la droite AC au moins un point D situé entre A et C Démonstation :
Considérons la droite AC, d'après l'axiome I, 3, il existe au moins un point E extérieur à cette droite AC. D'après l'axiome II, 2, sur la droite AE il existe au moins un point F tel que E soit compris entre A et F autrement dit tel que E soit un point du segment AF. D'après le même axiome, sur la droite FC, il existe au moins un point G tel que C soit sur le segment FG. D'après II, 3, le point G est donc extérieur au segment FC (sinon C et G sont deux points situés entre F etG). D'après l'axiome II, 4 la droite EG coupe forcément le segment AC en un point D. c.q.f.d.

D'autres formes d'assertions

En général, les affirmations mathématiques doivent être suffisamment intéressantes ou importantes pour que nous puissions leur donner le nom de « théorème ». Selon leur importance ou leur utilité les affirmations peuvent prendre des noms différents :
- lemme : une affirmation qui fait partie de la démonstration d'un théorème plus grand ;
- corollaire : une affirmation qui est une conséquence immédiate d'un théorème ou qui est un théorème très simple ;
- proposition : un résultat qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
- remarque : un résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation. Une affirmation mathématique qui semble vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée conjecture. Comme nous l'avons noté au-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes), et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique propositionnelle, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Voir aussi

- Théorème de Baire
- Théorème de Bolzano-Weierstrass
- Théorème de Cantor-Bernstein
- Théorème intégral de Cauchy
- Théorème de Cayley-Hamilton
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Théorème de Dirichlet
- Théorème de Fatou
- Théorème de Fermat
- Théorème de Fubini
- Théorème fondamental de l'arithmétique
- Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
- Théorème d'incomplétude de Gödel
- Théorème de Green
- Théorème de Hahn-Banach
- Théorème de Lagrange
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Ramsey
- Théorème des résidus
- Théorème de Stone-Weierstrass
- Théorème de Stokes
- Théorèmes de Sylow
- Théorème de Taylor
- Théorème de Thalès
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Théorème de Wilson et plus généralement :
- Liste des théorèmes pour une liste de théorèmes célèbres et de conjectures.

Assertion

Catégorie:Raisonnement mathématique En mathématiques, une assertion est une phrase mathématique, à laquelle il est possible, dans le cadre d'une théorie, d'attribuer une valeur de vérité vraie ou fausse, mais pas les deux (principe du tiers exclu). Autrement dit, nous devons pouvoir dire sans aucune ambiguïté si cette formulation est vraie ou fausse par rapport à un système d'axiomes donné et en concordance avec une logique mathématique.

Exemples

- 2 + 2 = 4 est une assertion vraie dans la théorie des entiers naturels.
- e = 2,71 (où e désigne la base du logarithme népérien) est une assertion fausse dans la théorie des nombres réels.
- « il pleuvra demain » n'est pas une assertion.
- L'assertion 1 + 1 = 0 est fausse dans la théorie des entiers mais est vraie dans la théorie des nombres modulo 2. Nous entendons souvent dire que 2 + 2 = 5 est une affirmation fausse ; en fait cela sous-entend que 2 et 5 sont des entiers naturels et en utilisant les axiomes de la définition des entiers naturels, nous aboutissons à une contradiction évidente 1 = 0, par exemple. Mais nous pouvons faire devenir cette égalité vraie en considérant 2 et 5 comme égaux à 0 et en définissant l'addition par 0 + 0 = 0. Nous construisons dans ce cas une autre théorie ; tout le problème est de savoir si ensuite cette théorie sera d'une quelconque utilité. Et pourra-t-on trouver beaucoup d'adeptes de cette théorie ? Après tout des savants italiens du comme Cardan s'enhardissaient à travailler avec des racines carrées de nombres négatifs et notaient abusivement un certain nombre complexe imaginaire

\sqrt

; cela donna plus tard naissance à la théorie des nombres complexes.

Axiome

catégorie:Raisonnement mathématique catégorie:Logique
- catégorie:épistémologie Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de αξιοσ (axios), signifiant digne. En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes. En mathématiques le mot axiome désigne une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide ; actuellement un axiome représente plutôt un point de départ dans un système de logique (cf. Robert Blanché). Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'« axiome de la commutativité de la multiplication ». On a longtemps confondu axiome et postulat, bien qu’on les différencie déjà dans les Éléments d'Euclide (les axiomes sont évidents alors qu’on demande d’admettre les postulats). Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) : # un nombre noté 0 existe # tout nombre X a un successeur noté succ(X) # X+0 = X # succ(X) + Y = X + succ(Y) Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes. En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit: :succ(X) = X + 1 et :1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4 :1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0)) :1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4 :1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3) Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome. Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne). Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une géométrie hyperbolique. Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois eut le temps de montrer avant de mourir en duel à 22ans, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique. Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née. Au , le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi

- Axiomes IST de l'analyse non standard
- Axiomatisation
- Axiome d'antifondation
- Axiome d'Archimède
- Axiome du choix
- Axiome de la paire
- Axiome de la réunion
- Axiome de l'ensemble des parties
- Axiome de l'ensemble vide
- Axiome de l'infini
- Axiome de fondation
- Axiome de Pasch
- Axiome de régularité
- Axiome de remplacement
- Axiome d'extensionnalité
- Axiome de la borne supérieure
- Axiome de séparation
- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Axiomes de Peano
- Axiomes des probabilités
- postulat de la droite parallèle
- Mathématiques renversées
- Axiomes selon R. Blanché
- Système axiomatique
- Théorie axiomatique des ensembles

Lien externe

- [http://metamath.planetmirror.com/mpegif/mmset.html#axioms Metamath axioms page] ja:公理 ko:공리

Théorie

Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie contempler, observer examiner. Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance, spéculative souvent basée sur l’observation ou l’expérience, donnant une représentation idéale, éloignée des applications. Parfois le terme théorie est employé pour désigner quelque chose de temporaire ou pas tout à fait vrai, ou encore dans son sens grec d'une députation qu'on envoyait assister aux jeux Olympiques ou à l'Oracle, un groupe de personnes voire même d'objets : "une théorie de petits cris" (A.Nothomb). En mathématiques et en logique mathématique, une théorie est un ensemble d’affirmations dont certaines sont des axiomes et les autres des théorèmes démontrables à partir de ces axiomes et au moyen de règles de logique. Le théorème d'incomplétude de Gödel déclare qu'aucune théorie cohérente, ayant un nombre fini d'axiomes (dans un langage au moins aussi solide que celui l'arithmétique), ne peut inclure toutes les affirmations vraies. Autrement dit, une telle théorie contiendra toujours des propositions indécidables. En sciences, une théorie est un modèle ou un cadre de travail pour la compréhension. En physique, le terme de théorie désigne généralement le support mathématique, dérivé d'un petit ensemble de principes de base, permettant de produire des prévisions expérimentales pour une catégorie donnée de systèmes physiques. Un exemple pourrait être la « théorie électromagnétique », qui est habituellement confondue avec l'électromagnétisme classique, et dont les résultats spécifiques peuvent être obtenus à partir des équations de Maxwell. L’adjectif théorique adjoint à la description de certains phénomènes, indique souvent qu'un résultat particulier a été prédit par une théorie mais n'a pas été encore observé. Par exemple, jusqu’à récemment, des trous noirs étaient encore considérés comme des objets théoriques. Il n'est pas rare dans l'histoire de la physique, que des théories aient produit de telles prévisions et que plus tard ces dernières se soient confirmées par l’expérience. Pour qu’une théorie soit considérée comme faisant partie des connaissances établies, il est habituellement nécessaire que celle-ci produise une expérience critique, c’est à dire un résultat expérimental qui n’était prédictible par aucune théorie établie.
- Si les conséquences prévues ne sont pas contredites par la réalité observée et mesurée, la théorie et ses principes se trouvent confortée.
- Si apparaissent des faits observés et mesurés que la théorie ne prévoit pas, soit il faut modifier la théorie, soit en préciser les limites.
- Si la théorie prédit des effets, il faut chercher à les observer et à les mesurer. Les théories prédictives confirment qu'il y a des lois ou règles qui... régissent le comportement de l'univers. Ainsi :
- les lois de conservation (voir Théorème de Noether)
- les principes de maxima et de minima, comme ceux de Maupertuis et Hamilton Les constantes universelles relèvent d'un autre ordre. Elles ne sont pas en elles-mêmes des règles. Catégorie:Sciences Catégorie:Recherche scientifique Catégorie:Théorie scientifique
- Catégorie:Philosophie Catégorie:Théorie de la connaissance ja:理論

Raisonnement par l'absurde

ja:背理法 Absurde Reductio ad absurdum Reductio ad absurdum signifie en latin « réduire à une absurdité » et est un type de raisonnement logique, aussi appelé raisonnement par l'absurde ou démonstration par l'absurde. Il repose sur le principe du tiers exclu, qui affirme qu'une assertion qui ne peut pas être fausse est forcément vraie. Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que l'hypothèse non p (i.e. que p est fausse) mène à une contradiction logique. Ainsi p ne peut pas être fausse, et doit être a fortiori vraie. Prenons un exemple simple, et considérons la proposition « il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0 ». Dans un raisonnement par l'absurde, nous commençons par prendre la négation de la proposition : « il existe un plus petit nombre rationnel strictement positif, disons r₀ ». Maintenant soit x = r₀/2. Alors x est un nombre rationnel, et est strictement plus grand que 0, et x est strictement plus petit que r₀. Mais cela est absurde - contradictoire avec notre hypothèse initiale que r₀ était le plus petit nombre rationnel. Ainsi nous pouvons conclure que la proposition d'origine est nécessairement vraie : il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0. Il n'est pas rare d'utiliser ce type d'argument avec des propositions telle que celle ci-dessus, pour démontrer la non-existence de quelque objet mathématique. Nous supposons que de tels objets existent, et ensuite nous démontrons que cela nous mène à une contradiction ; ainsi, de tels objets n'existent pas. Pour des exemples, voyez la démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers, la démonstration que la racine carrée de 2 est irrationnelle et la démonstration de la non dénombrabilité de l'ensemble des réels de Cantor. Il est important de noter que pour fournir une preuve valide, il doit être démontré que pour une proposition donnée p, non p implique une propriété qui est réellement fausse dans le système mathématique utilisé. Le danger ici est d'utiliser un sophisme, où nous montrons que non p implique une propriété q, qui semble fausse, mais qui n'est pas vraiment démontrée comme fausse. Les exemples historiques de cette erreur incluent la démonstration fausse du cinquième postulat d'Euclide de la droite parallèle (aussi connu comme le postulat de la parallèle) à partir des autres postulats. L'échec de ces démonstrations a par la suite mené à la géométrie non euclidienne. Bien que le raisonnement par l'absurde soit librement employé dans les démonstrations mathématiques, toutes les écoles de pensée mathématique ne l'acceptent pas comme un principe universellement vrai. Dans des écoles telles que l'intuitionnisme, la loi du tiers exclu n'est pas considérée comme vraie. Dans cette manière de penser, il y a une différence très significative entre montrer que quelque chose existe en prouvant qu'il serait absurde qu'elle ne soit pas et en montrant que quelque chose existe en construisant un exemple réel d'un tel objet. En logique mathématique, la reductio ad absurdum est représentée par : : si ::

S \cup \ \vdash F

: alors ::

S \vdash p

Dans ce qui précède, p est la proposition que nous souhaitons démontrer et S est un ensemble d'assertions qui sont données comme vraies ; celles-ci pourraient être, par exemple, les axiomes de la théorie dans laquelle nous travaillons, ou des théorèmes que nous avons récemment établis et qui s'appuient dessus. Nous considérons la négation de p en plus de S ; si ceci mène à une contradiction logique F , alors nous pouvons conclure que les propositions de S impliquent p.

Paul Erdős

Erdős, Paul Erdős, Paul Erdős, Paul Paul Erdös est un mathématicien hongrois, né le 26 mars 1913 à Budapest (Hongrie) et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie (Pologne). La vie de Paul Erdös a été toute entière consacrée à ses travaux de recherche. Vivant dans le dénuement le plus total, il est le chercheur le plus prolifique, toutes disciplines confondues, avec plus de 1500 papiers de recherche publiés. En particulier, nombre de ces papiers visait à étudier ses domaines de prédilection (théorie des graphes, théorie des nombres, combinatoire) sous des angles différents, et à améliorer sans cesse l'élégance des démonstrations. Agé d'un an lorsque survient la Première Guerre mondiale, Paul Erdös voit son père capturé par l'armée russe. Sa mère, redoutant de ne pouvoir veiller sur ses enfants hors du foyer, préféra dès lors engager un précepteur. Celle-ci, professeur de mathématiques, lui transmet toutefois elle-même le goût de cette discipline, ce qui amènera le jeune Erdös à s'intéresser très tôt à des problèmes mathématiques. Ayant obtenu sa thèse en Hongrie en 1934, ses origines juives le contraignent à s'exiler dans un premier temps à l'Université de Manchester puis aux États-Unis. Dans un premier temps à l'Université de Princeton, Erdös est ensuite invité par Ulam à Madison. C'est à cette époque qu'il parvient, avec le mathématicien Atle Selberg, à établir une preuve élégante du théorème des nombres premiers. Mais Selberg publie seul le document, et obtient la médaille Fields... Installé à Purdue, Erdös est invité à rejoindre le programme de développement de la bombe atomique américaine en 1943, mais sa candeur le fera échouer lors des entretiens. Ce n'est qu'en 1948 qu'il peut rentrer en Hongrie pour retrouver sa famille rentrée de déportation. Quelques années plus tard, en 1950, la « chasse aux sorcières » de McCarthy le fit accuser de communisme, et il ne fut plus autorisé à rentrer aux États-Unis. Installé durant les années 1960 en Israël, Erdös ne put à nouveau fouler le sol américain qu'en 1963. Il entreprit dès lors une carrière de chercheur et professeur itinérant, et finit par décéder dans sa chambre d'hôtel à l'âge de 83 ans.

Anecdotes

- Le caractère particulièrement prolifique d'Erdös amena à la définition du « nombre d'Erdös », signalant le degré de collaboration d'un chercheur avec Erdös. Ce dernier a par définition le nombre 0. Les mathématiciens ayant publié un papier de recherche cosigné avec Erdös ont pour nombre d'Erdös 1. Les chercheurs ayant publié avec ces derniers ont un nombre d'Erdös de 2 comme Albert Einstein, et ainsi de suite par récurrence. En 1998, le plus grand nombre d'Erdös connu d'un mathématicien en activité était de 7. Les personnes qui n'ont jamais écrit d'article mathématique, de même que celles n'ayant pas de coauteur qui soit relié à Erdös de la manière décrite ci-dessus, ont un nombre d'Erdös égal à

\infty

.
- Lorsque Hardy et Erdös se rencontrèrent, Hardy avait cinquante-sept ans et sentait ses capacités mathématiques diminuer. Il aimait dire que les mathématiques appartiennent à la jeunesse : « Galois est mort à vingt et un ans, Abel à vingt-sept [...]. Riemann à quarante [...]. Je ne connais pas d'exemple d'un progrès majeur en mathématiques dû à un homme de plus de cinquante ans. » Erdös, qui n'avait que vingt et un ans, était trop jeune pour savoir qu'il deviendrait l'un des plus célèbres contre-exemples de la conjecture de Hardy.

Référence

Paul Hoffman : Erdös, l'homme qui n'aimait que les nombres (Editions BELIN, 2000 - ISBN 2-7011-2539-1)

Voir aussi

Conjecture de Erdős-Burr

Liens externes

[http://www.oakland.edu/enp/ The Erdos Number Project] ja:ポール・エルデシュ ko:폴 에르되시 th:พอล แอร์ดิช

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, c'est un réel qui n'est pas rationnel. Il existe deux types d'irrationnels :
- les nombres algébriques, qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels non tous nuls, comme la racine carrée de 2 (voir la démonstration d'irrationnalité), et plus généralement tout nombre

\sqrt

où x un rationnel positif qui n'est pas un quotient de carrés parfaits (notamment, lorsque x est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait).
- les nombres transcendants comme π (pi) et e (nombre exponentiel).

Voir aussi

Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512,

2 \times 10^3

... Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse. Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel. Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou

\mathbb

. On note

\mathbb^ -

l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) » ... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent. On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ». Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Comme une quantité ne peut être moindre que un, zéro n'est pas un nombre ! heureusement d'ailleurs, sinon, 1 serait le deuxième nombre !

Quelques pistes à propos du zéro

Les chiffres vont de 1 à 9 et permettent d’écrire les nombres. Qu’en est-il du zéro ? Zéro est-il un chiffre ? Zéro, çifr en arabe, signifie vide. C'est la racine du mot chiffre, elle maintient une vérité fondamentale, l'illusion de tout ce qui est quantifiable. Le zéro métaphysique est le « Non-être » symbolisé par le « vide » dans les traditions orientales. « Avant l'Un, que peux-tu compter ? » demande l'auteur du Sepher Ietsirah. Peut-il y avoir une quantité moindre que zéro ? « Avancer qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres. » (Carnot - Notes sur les quantités négatives) En effet, zéro « représente purement et simplement l'absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable. » (René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal – NRF Gallimard, 1946, p. 97) Force est de constater qu'en mathématique la division par zéro n'a pas de sens ; elle est dite impossible A noter que le concept de nombre nul ainsi que la définition de l'infini comme inverse du zéro apparaissent dans la publication du mathématicien et astronome indien Brahmagupta (628). (Voir Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, R. Laffont, 1994, tome II, p. 460). Leibniz, redécouvrant la nature binaire de la manifestation, remplace le 1 et le 2 par le 0 et le 1 qui sont restés les deux signes utilisés dans le langage des ordinateurs. « Dans son arithmétique binaire, Leibniz voulait voir l'image de la Création. Il imaginait que l'unité représentait Dieu et zéro le néant ; que l'Etre Suprême avait tiré tous les êtres du néant ; de même que l'unité et le zéro expriment tous les nombres dans son système de numération. » (Laplace - Exposition du Système du Monde - Livre V, chap. VI) Ce point de vue amène cette remarque de René Guénon : « Les mathématiciens ayant (...) le tort de regarder le zéro comme une sorte de symbole du néant, comme si le néant pouvait être symbolisé par quoi que ce soit, il semble résulter de là que l'équilibre est l'état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière » (Les Principes du Calcul infinitésimal - Op. cit., p. 106). Les mathématiques n'ont pas cessé pourtant d’abandonner toute base métaphysique. Pascal serait très étonné de nos soi-disant certitudes. Pour lui, il était évident que zéro représentait le rien. N'a-t-il pas écrit : « J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ôte quatre reste zéro » ? (Pensées - Hachette, 1973, p. 30) Depuis, le résultat de cette opération est devenu (-4). Les nombres négatifs sont bien une « création » de l'homme au sens où l'entend Guénon. Qu'en est-il actuellement ? Un mathématicien contemporain écrit, à la page zéro de son livre : « Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. » (François Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris : Herman, 1983, p. 0). Voilà donc un livre dont la première page est la page 0, la deuxième la page 1... L'absence de quantité peut-elle faire nombre ? La logique purement mentale a fini par supplanter l'intelligence métaphysique. Avant l'invention du zéro par les Indiens, on laissait en effet, dans l'écriture d'un nombre, un espace pour indiquer l'absence de quantité. Cela était cause de maintes erreurs : « Des tablettes portant des inscriptions cunéiformes prouvent qu'à cette époque, sous le signe du roi Hammourabi, les mathématiciens de Babylone réalisaient d'étonnantes prouesses de calcul. L'usage du zéro leur était inconnu et un espace symbolisait l'absence de chiffre d'un ordre donné ; cependant, cet espace était souvent oublié, d'où une certaine ambiguïté dans les nombres transcrits. » (Bergmani, Les Mathématiques - Life, 1965, p 16). Al-Khowarizmi écrit : « Nous avons décidé d'exposer la manière de compter des Indiens, à l'aide de IX caractères et de montrer comment, grâce à leur simplicité et leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les nombres. » (Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens) Dans son traité sur les nombres hindous, il a popularisé une sentence qui devint traditionnelle : « Lorsqu'il ne reste rien, faites figurer un petit cercle pour que la place ne demeure pas vide. » L'emploi des dix signes de notre numération est cependant antérieur. Cependant, la numération décimale basée sur le principe de position et sur l'emploi du signe “zéro” était déjà utilisée par le chimiste Abu Musa Gabir ibn Hayyan, qui vivait vers 776, dans son livre Les Poissons. (Voir Georges Ifrah,- Histoire universelle des chiffres , op. cit). Dès le début du VIe siècle les mathématiciens indiens Brahmagupta et Bhâskara révélaient dans leurs œuvres une parfaite maîtrise de la numération décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro dont la découverte remonterait aux IVe-Ve siècles. En Europe, c'est le moine Gerbert, devenu pape sous le nom de Sylvestre II, qui introduisit le zéro dans la numération au Xe siècle. On a peine à imaginer ce que fut l'apport des chiffres indiens. En arabe ancien, comme en hébreu et en grec, on ne distinguait pas les chiffres des lettres et ceux-ci étaient à l'origine des hiéroglyphes. (Voir A. Youschkevitch, Les Mathématiques arabes : XIIe-XIVe s., Paris : A. Vrin, 1976, tome I, p. 165). Ainsi le radical hébreu yd se retrouve aussi bien dans y(o)d, dixième lettre de l'alphabet signifiant « dix », que dans y(a)d signifant « main ». L'emploi du zéro était connu des Mayas qui le représentait par la coquille, liée à la mort, ou par l'escargot. (Voir Girard Raphaël, Le Polpol-Vuh : histoire culturelle des Mayas-Quichés - Paris, 1954, p. 42). Zéro, chez les Babyloniens, « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle”. » (Georges Ifrah, Op. cit., tome I, p. 774). Comme les Babyloniens, les Egyptiens laissaient un espace vide pour mettre en évidence le fait qu'il n'y avait rien. Ceci est symboliquement plus juste, mais beaucoup moins pratique et source de multiples erreurs. Comment représenter le rien par un signe ? La représentation par un petit rond, un cercle, est incorrecte puisque le cercle est engendré à partir du zéro. La ligne droite, courbe ou circulaire, que l'on dit formée de points n'est-elle pas en réalité formée de zéros puisque le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur et n’est donc représentable que par approximation ? Paradoxalement, le vide est plein : chacun sait que « la Nature a horreur du vide ». Au plan métaphysique, la mort à soi-même est vacuité. « Qui atteint à sa vertu primitive s'identifie avec l'origine de l'Univers et par là avec le vide. » (Chuang-Tzu, ch. Ciel-Terre in François Chang- Vide et Plein. Le langage pictural chinois - Paris : Seuil, 1979). Le vide est plein de tous les possibles. « A l'origine, il y a le Rien (wu) ; Le Rien n'a point de nom. Du Rien est né l'Un ; L'Un n'a point de forme. » (Tao Té King) Le Un métaphysique n'est pas le un mathématique. Il en est de même pour le zéro : « le Zéro métaphysique n'est qu'un aspect de l'Infini ; du moins il nous est permis de le considérer comme tel en tant qu'il contient en principe l'unité, et par suite tout le reste. En effet, l'unité primordiale n'est que le Zéro affirmé, ou, en d'autres termes, l'Etre universel, qui est cette unité, n'est que le Non-être affirmé... ». (René Guénon, Les Etats multiples de l'Etre - Véga, Paris, 1980, p. 37-38) L’abandon, au non de la raison et de la logique cartésienne de toute base métaphysique est-elle un progrès pour l’humanité ? A voir les conséquences, il est permis d’en douter. « Science sans conscience n’est que ruine de l’äme » écrivait Montaigne.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.
- 0 est neutre pour l'addition: le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre. :a+0=a :5+0=5 :13+0=13 :4+0=4
- L'addition est commutative: l'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat. :a+b=b+a :5+3=3+5 :8+4=4+8 :17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.
- 1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre. :a × 1 = a :5 × 1 = 5 :13 × 1 = 13 :4 × 1 = 4
- La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat. :a × b = b × a :5 × 3 = 3 × 5 :8 × 4 = 4 × 8 :17 × 2 = 2 × 17
- Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant : :0×n=0 :m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi

- La construction des entiers naturels
- Les nombres premiers
- Les nombres parfaits
- Les nombres quasi-parfaits
- Les nombres semi-parfaits
- Les nombres abondants
- Les nombres superabondants
- Les nombres amicaux
- Les nombres déficients
- Les nombres sociaux
- Les nombres amiables
- Les nombres chanceux
- Les nombres étranges
- Les nombres tordus
- Les nombres harmoniques
- Les nombres triangulaires
- Les nombres hexagonaux
- Les nombres figurés
- Les nombres chromatiques
- Le raisonnement par récurrence
- Les Axiomes de Peano Catégorie:Nombre ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Nombres premiers entre eux

ko:서로 소 th:จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ Catégorie:Arithmétique En mathématiques, des entiers a et b sont dit premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. On dit aussi que a est premier avec b. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1. Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier ; 0 est uniquement premier avec 1 et -1. Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés

Théorème de Bachet de Méziriac

Les entiers relatifs a et b sont dits premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1 (voir identité de Bézout). De façon équivalente, b a un inverse pour la multiplication modulo a : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Théorème de Gauss

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c. Si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a). En d'autres termes: b est simplifiable dans l'anneau Z_a des entiers modulo a. Les deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a,b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0,0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a,b). La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π² (Voir Pi). Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si les nombres 2^a-1 et 2^b-1 sont premiers entre eux.

Généralisation

Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A. Cela généralise l'identité de Bézout. Si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K. Avec cette définition, des idéaux principaux (a) et (b) dans l'anneau des nombres entiers relatifs

\mathbb Z

sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont premiers entre eux. ---- Voir aussi : plus grand commun diviseur

Fraction

ja:分数 ko:분수 Le mot fraction a la même origine que fracture. Il s'agit de « casser » un objet et d'en prendre un petit morceau. Le terme de fraction possède diverses acceptions dans la langue courante :
- une fraction d'un groupe, une fraction de seconde ...
- la fraction du pain est, dans la liturgie chrétienne, l'instant situé au début de la communion rappelant le geste de Jésus-Christ rompant le pain pour le donner à ses disciples. C'est cependant en mathématiques qu'il joue son rôle principal. Il représente la notion intuitive de proportion. Alors que les Français utilisent volontiers les chiffres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions — sans doute en raison de la différence culturelle système métrique - système impérial. Par exemple, ils diront d'une personne qu'elle mesure 5 pieds ⅔ et non pas 5,67 pieds.

Définition naïve

Une fraction de nombre désigne de manière naïve un nombre divisé en parts égales. Par exemple, la fraction

\frac

désigne le quotient de 56 par 8. Elle est égale 7 car 7×8=56. La division est ainsi l’opération réciproque de la multiplication. Les nombres que l'on peut obtenir par des fractions sont appelés des nombres rationnels. L'ensemble des rationnels est noté

\mathbb Q

.
- Voir aussi Fraction (mathématiques élémentaires)

Définition abstraite

Si (A,+,.) est un anneau commutatif unitaire intègre, on peut créer, à partir de A, un corps appelé corps des fractions de A. Corps dans lequel les éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs)

\frac

et dans lequel les fractions possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification) que les fractions de

\mathbb Q

Voir article détaillé : Corps des fractions

Autres fractions

- fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
- fraction unitaire : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier positif.
- fraction égyptienne : fraction qui est la somme de fractions unitaires, toutes distinctes.
- fraction décimale : fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
- fraction composée : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions :

\frac=\frac=\frac \times \frac = \frac

- fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels

(a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)

de la manière suivante

a_0 + \frac

- fraction rationnelle : fraction constituée à partir de l'anneau des polynômes à coefficients dans

\mathbb R

Fraction (groupe)

Fraction est aussi un groupe de RIF (Rock Identitaire Français). Catégorie:Fraction

Lemme de Gauss

Catégorie:arithmétique modulaire catégorie:théorie des nombres Gauss En mathématiques, il existe plus d'un lemme de Gauss ; tous ont été nommés en l'honneur du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Dans la théorie des polynômes, le lemme de Gauss relie le plus haut facteur commun (phfc) d'un produit de deux polynômes à coefficients entiers aux phfc de ses facteurs. Si nous considérons R = P.Q alors, n'importe quel facteur commun des coefficients de P sera divisible par tous les coefficients de R, cela se montre par une démonstration facile. Le lemme fonctionne d'une autre manière, en limitant les facteurs communs pour R. Il fournit ce qui était nécessaire pour conclure que le phfc des coefficients de R est exactement le produit des phfc de P et Q. Un énoncé équivalent : si les phfc de P et Q est 1, alors il est aussi de 1 pour R. Dans le cas d'une variable, il existe une démonstration simple de ceci. Considérons un nombre premier p, et essayons de montrer que R mod p (c.a.d. R avec les coefficients réduits au corps des résidus modulo p) n'est pas 0. En fait le degré de R mod p est la somme de ceux de P mod p et de Q mod p, qui est plus qu'assez, parceque nous travaillons dans un corps. Une conséquence importante est que R peut seulement se factoriser comme un produit de polynômes avec des coefficients en nombres rationnels, si cela est déjà effectué dans les polynômes entiers. On peut voir ceci en vérifiant les puissances d'un nombre premier fixé p nécessaire pour réduire les dénominateurs ; le même argument marche comme précédemment, et cette version peut aussi être appelée le lemme de Gauss. Il s'applique au théorème des racines rationnelles. Il existe une généralisation à plusieur variables. Le lemme de Gauss dans la théorie des nombres est utilisé dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique. Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p. Considéront les entiers :

a, 2a, 3a, \dots, \fraca

et leurs plus faibles résidus modulo m. Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors :

\left(\frac\right) = (-1)^n

où

\left(\frac\right)

est le symbole de Legendre. Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant
:

\frac

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

Liens externes

- [http://algo.inria.fr/banderier/Recipro/node16.html#SECTION00540000000000000000 Une démonstration en ligne]

Nombre premier

Catégorie:Arithmétique
- Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. L'ensemble des nombres premiers est noté ℙ.

Exemples

Voici la liste complète des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Primalité

La nature première ou non d'un nombre est appelée sa primalité. Un entier supérieur à 1 qui n'est pas premier est appelé nombre composé car il est factorisable. En effet, tout nombre supérieur à 1 et non premier peut être décomposé en un produit de puissances de facteurs premiers de façon unique, à l'ordre près, ainsi un nombre qui peut être décomposé en un produit de facteurs premiers n'est pas premier. Par exemple

12 = 2^2 \times 3

est composé, tout comme

14 = 7 \times 2

Histoire

Les nombres premiers sont étudiés depuis l'Antiquité. Euclide a démontré par l'absurde dans ses Éléments (proposition 20 du livre IX) qu'il en existe une infinité.

Démonstration d'Euclide

Supposons que l'ensemble E des nombres premiers soit fini. Le produit P de tous ces nombres premiers est supérieur à chaque facteur et, a fortiori, le nombre N = P + 1 aussi. Ainsi N n'est pas dans E, il est composé. Pourtant, lorsqu'on le divise par chaque nombre premier, le reste vaut 1. N, divisible par aucun des nombres premiers, doit être premier lui-même, ou s'il est composé être le produit de nombres premiers qui ne sont pas dans E. C'est une contradiction, donc notre supposition initiale est fausse. En conclusion, on ne peut trouver de nombre premier plus grand que tous les autres, ergo il en existe une infinité.

Remarques

- Il ne faut pas espérer en déduire pour autant que tout nombre de la forme N!+1 (factorielle n plus 1) est premier, et le contre-exemple est vite trouvé. Pour N=4, on a N! = 24 et le nombre 25, loin d'être premier, est le carré de 5. Mais il n'est en effet divisible par aucun nombre inférieur à 5.
- Il ne faut pas non plus espérer pouvoir construire un nouveau nombre premier P en effectuant le produit de tous les nombres premiers inférieurs à une certaine borne q (primorielle)puis en lui ajoutant 1, c'est à dire P = 2 x 3 x 5 x ... x q +1, en effet ce procédé ne marche pas par exemple pour : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30 031 = 59 x 509.
- Bien qu'il existe une infinité de nombres premiers, il est possible de trouver un intervalle de nombres entiers de longueur aussi grande que l'on veut ne contenant aucun nombre premier ! Par exemple l'intervalle suivant : [ N!+2 ; N!+N ] est un intervalle de longueur N−2 ne contenant pas de nombre premiers (quel que soit N).

Autres démonstrations

D'autres mathématiciens ont donné leur propre démonstration de ce résultat; par exemple celle de Kummer est particulièrement élégante et Furstenberg fournit une preuve utilisant une argumentation topologique. Bien que l'ensemble des nombres premiers soit infini, nous pourrions nous poser la question : combien y a-t-il de nombres premiers en dessous de 100 000 ?, ou quelle est la probabilité pour qu'un nombre entier aléatoire de 100 chiffres soit premier ? Des questions comme celles-ci trouvent une réponse grâce au théorème des nombres premiers.

Utilisation

Les nombres premiers ont de nombreuses utilisations pratiques, dont la cryptographie asymétrique. Les nombres utilisés n'ont d'intérêt que s'ils comportent beaucoup de chiffres, rendant ainsi impossible dans l'état officiel actuel de la technique un craquage en temps réel... ... mais pas un craquage anticipé. On prête à la NSA le projet de constituer une immense base de données inverse ou seraient précalculés tous les couples clé privée/clé publique jusqu'à une certaine taille. Lorsqu'on a un message à craquer, si sa clé publique est dans cette base, il suffit d'y prendre la clé privée associée, peut-être calculée quinze ans plus tôt. Les mémoires à exaoctet sont lentes, mais un seul accès nous suffit.

Méthodes de calcul

Pour déterminer si un nombre est premier, on utilise des tests de primalité. Certains tests de primalité sont probabilistes et choisissent un nombre aléatoire appelé « témoin » et vérifient quelque formule impliquant le témoin et le nombre potentiellement premier N. Après plusieurs itérations, ils déclarent N être « sans aucun doute composé » ou « probablement premier ». Ces examens ne sont pas parfaits. Pour un test donné, il peut y avoir plusieurs nombres composés qui seront déclarés « probablement premiers » indépendamment du témoin choisi. De tels nombres sont appelés pseudo-premiers pour ce test. Vous trouverez ici une description du test de primalité de Fermat. L'algorithme AKS découvert en 2002 permet de déterminer si un nombre donné N est premier en utilisant un temps de calcul polynomial. 2002 Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inférieurs à une limite n pas trop grande, le crible d'Ératosthène est une méthode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barré de cette liste, 2 (à ce stade aucun nombre n'est barré), et on barre tous les entiers multiples de 2. On répète l'opération en considérant chaque fois le prochain nombre non barré et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barrés à la fin du processus sont les nombres premiers inférieurs à n. (On peut en fait arrêter le processus dès que les nombres non barrés encore à considérer sont supérieurs à la racine carrée de n, car leurs multiples auront déjà été barrés.)

Quelques propriétés des nombres premiers

- Si p est un nombre premier et si p divise un produit ab d'entiers, alors p divise a ou p divise b (lemme de Gauss).
- L'anneau

\mathbb Z/n\mathbb Z

(voir arithmétique modulaire) est un corps si et seulement si n est premier.
- La caractéristique d'un corps quelconque est ou bien zéro ou bien un nombre premier.
- Si p est un nombre premier et a est un entier quelconque, alors a^p - a est divisible par p (petit théorème de Fermat).
- Si G est un groupe fini et si pⁿ est la plus grande puissance du nombre premier p qui divise l'ordre de G, alors G a un sous-groupe d'ordre pⁿ. (théorèmes de Sylow)
- Si p est premier et si G est un groupe ayant pⁿ éléments, alors G contient un élément d'ordre p.
- Un entier p est premier si et seulement si la factorielle (p-1)! + 1 est divisible par p (théorème de Wilson). Inversement, un entier n > 4 est composé si et seulement si (n-1)! est divisible par n.
- Si n est un entier strictement positif, alors il existe toujours un nombre premier p tel que n < p ≤ 2n (postulat de Bertrand).
- La somme des inverses de tous les nombres premiers forme une série divergente. (voir la démonstration). Plus précisément, si S(x) désigne la somme de tous les inverses des nombres premiers inférieurs à x, alors S(x) = Θ(ln(ln(x))) pour x → ∞ (voir notation grand O).
- Pour tout nombre premier p > 3, il existe un entier naturel n tel que p = 6n - 1 ou p = 6n + 1.
- Dans toute progression arithmétique a, a+q, a+2q, a+3q, où les entiers positifs a et q ≥ 1 sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers (théorème de Dirichlet).

Le plus grand nombre premier connu

Le plus grand nombre premier connu est 2^{25 964 951}-1, il comporte 7 816 230 chiffres. Il s'agit du 42 nombre premier de Mersenne (M_{25 964 951}) découvert le 18 février 2005 grâce aux efforts d'une collaboration qui porte le nom de GIMPS. Le record précédent était 2^{24 036 583}-1, (ce nombre comporte 7 235 733 chiffres), et est aussi un nombre premier de Mersenne découvert par GIMPS le 15 mai 2004. Tous les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne car il existe un test de primalité particulièrement rapide adapté aux nombres de cette forme, le test de primalité de Lucas-Lehmer. Quelques uns des plus grands nombres premiers n'ayant pas de forme particulière (c'est-à-dire ne pouvant s'écrire à l'aide d'une formule simple comme les nombres premiers de Mersenne) ont été trouvés en prenant un morceau de données binaires pseudo-aléatoires, et en les convertissant en un nombre n, en multipliant par 256^k où k est un certain entier strictement positif, et en cherchant des nombres premiers éventuels dans l'intervalle [256^kn + 1, 256^k(n + 1) - 1]. En fait, pour lancer un coup publicitaire contre l'acte de copyright de Digital Millennium et les autres implémentations du traité de copyright WIPO, quelques personnes ont appliqué cette méthode à différentes formes variées du code DeCSS, en créant l'ensemble des nombres premiers illégaux. De tels nombres, lorsqu'ils sont convertis en binaire et exécutés comme un programme informatique, enfreignent la loi en vigueur dans une ou plusieurs juridictions.

Applications

Les nombres premiers extrêmement grands (c'est-à-dire plus grand que 10¹⁰⁰) sont de possibles clés publiques cryptographiques. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.

Quelques types particuliers de nombres premiers

Un nombre premier p est dit primoriel s'il est de la forme p = Π(n) ± 1 pour un certain nombre n, où Π(n) représente le produit 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... de tous les nombres premiers inférieurs à n (voir primorielle). Le plus grand nombre premier primoriel connu est Π(24029) + 1, trouvé par Chris Caldwell en 1993. Un nombre premier est dit factoriel s'il est de la forme n! ± 1. Le plus grand nombre premier factoriel connu est 3610! - 1 [Caldwell, 1993]. Les premiers nombres premiers factoriels sont: :n! - 1 est premier pour n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166,... :n! + 1 est premier pour n = 1, 2, 3, 11, 13, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154... Nous ne savons pas s'il y a une infinité de nombres premiers factoriels ou primoriels. Les nombres premiers de la forme

F_n = 2^ + 1

sont appelés les nombres premiers de Fermat. À l'heure actuelle, F₀, F₁, F₂, F₃ et F₄ sont les seuls nombres de Fermat premiers connus. La suite des chiffres en base dix d'un nombre premier peut être un palindrome, comme dans le nombre premier 10³¹⁵¹² + 9700079 · 10¹⁵⁷⁵³ + 1. 11 et 2 sont des palindromes triviaux.

Écart entre les nombres premiers

Lécart entre le nème nombre premier pn et le n+1ème nombre premier pn+1 est défini comme étant le nombre de nombres composés compris entre les deux, i.e. gn = pn+1 - pn - 1 (des définitions légèrement différentes sont parfois utilisées). Nous avons g₁ = 0 and g₂ = 1. La suite (gn) des écarts entre les nombres premiers a été étudié en profondeur. Nous pouvons montrer que les écarts deviennent arbitrairement grands, i.e. pour tout nombre entier naturel N, il existe un indice n tel que gn > N. D'autre part, pour tout nombre réel strictement positif ε, il existe un indice de début n₀ tel que gn < ε · pn pour tout n > n₀. Nous disons que gn est un écart maximal si pour tout m<n, gm < gn. Le plus grand écart maximal connu est de 1131, trouvé par T. Nicely et B. Nyman en 1999. C'est le 64 plus petit écart maximal, et il se situe après le nombre premier 1693182318746371.
Les formules menant aux nombres premiers
Le curieux polynôme f(n) = n² − n + 41 donne des nombres premiers pour n allant de 0 à 40, mais f(41) est composé. Il n'existe aucun polynôme qui donne tous les nombres premiers de cette façon. Il existe un polynôme de degré 25 à 26 variables à coefficients entiers tel que, si vous limitez les valeurs des variables aux nombres entiers naturels, alors l'ensemble des valeurs strictement positives est égal à l'ensemble des nombres premiers (pour quelques valeurs des variables, le résultat est négatif et le nombre peut être alors composé) : :(k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a²y²−y²+1−x²) ::−((e⁴+2e³)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1)³(k+2)(n−1)²+1−f²)² ::−(((a+u⁴−u²a)²−1)(n+4dy)²+1−(x−cu)²)²−(ai+k+1−l−i)² ::−((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r²y⁴(a²−1)+1−u²)² ::−(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n−2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1))² ::−(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p−2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y)²] Il a été déterminé par Jones, Sato, Wada et Wiens. La fonction suivante donne tous les nombres premiers, et uniquement les nombres premiers, pour tout entier naturel n>1 : : $f(n) = 2 + (2n! \ \mod \ (n+1))$ Cette formule est basée sur le théorème de Wilson mentionné ci-dessus ; deux est généré plusieurs fois et tous les autres nombres premiers sont générés exactement une fois par cette fonction. En utilisant la fonction partie entière, [x] (la partie entière de x est le plus grand entier inférieur au nombre réel x), nous pouvons construire plusieurs formules donnant le nème nombre premier. Ces formules sont aussi basées sur le théorème de Wilson et sont intéressantes dans la pratique: elles permettent de trouver les nombres premiers de manière plus efficace. Définissons, pour tout entier m, le nombre π(m) de nombres premiers inférieurs à m. On démontre : $\pi(m) = \sum_^m \frac$ ou, de manière équivalente, : $\pi(m) = \sum_^m \left[ - \left[\right] \right]$ Le nème nombre premier pn peut être écrit sous la forme : $p_n = 1 + \sum_^ \left[ \left[ \right]^ \right]$ Une autre approche n'utilise ni les factorielles, ni le théorème de Wilson, mais aussi largement la fonction partie entière (S. M. Ruiz 2000). Définissons d'abord : $G(k) = k - 1 + \sum_^k \left[ \left(1 + \sum_^ \left(\left[\right] - \left[\right]\right) \right)\right]$ nous avons alors : $p_n = 1 + \sum_^ \left(1 - \left[ \right]\right)$
Généralisations
Le concept de nombre premier est si important qu'il a été généralisé de différentes façons dans des branches variées des mathématiques. L'ensemble est l'ensemble des nombres premiers des entiers naturels. L'ensemble est l'ensemble des nombres premiers des entiers relatifs. Lorsque nous parlons de nombres premiers sans précision, nous considérons les nombres premiers entiers naturels. Mais il arrive que certains dictionnaires de mathématiques définissent les nombres premiers en considérant les nombres premiers entiers relatifs. En théorie des nombres, certains mathématiciens parlent de nombres pseudo-premiers, des entiers qui, parce qu'ils satisfont à un certain test, sont considéré comme des nombres premiers probables mais peuvent être en fait composés (comme les nombres de Carmichaël). Pour modéliser certaines des propriétés des nombres premiers, nous définissons les polynômes premiers ou irréductibles. Plus généralement, nous pouvons définir des éléments premiers et irréductibles dans tout anneau intègre. Les idéaux premiers constituent un outil indispensable et font l'objet d'une étude en algèbre commutative et en géométrie algébrique. (ajouter un texte sur la décomposition des entiers de Gauss en entiers de Gauss premiers, car l'anneau des entiers de Gauss est un cet anneau est factoriel, c'est-à-dire que tout entier de Gauss non nul admet une unique décomposition, à un ordre près, en facteurs irréductibles, à une unité près)
Questions ouvertes
Il y a beaucoup de questions ouvertes sur les nombres premiers. Par exemple :
- La conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2, peut-il s'écrire comme somme de deux nombres premiers ?
- conjecture des nombres premiers jumeaux : un couple de nombres premiers jumeaux est une paire de nombres premiers dont la différence est égale à 2, comme 11 et 13. Existe-t-il une infinité de jumeaux premiers ?
- Toute suite de Fibonacci contient-elle une infinité de nombres premiers ?
- Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ?
- Y a-t-il toujours un nombre premier entre n² et (n + 1)² pour tout n?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n² + 1?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers factoriels ?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers primoriels ?
Citation
:« La percée mathématique évidente serait le développement d'un moyen simple de factoriser les grands nombres en facteurs premiers. ». Bill Gates, The Road Ahead, Viking Penguin (1995)
Les 25 premiers nombres premiers
Euler a prouvé une relation entre un nombre premier p (différent de 2 et de 5) et le nombre de chiffres k de la période du développement décimal de 1/p : k est un diviseur de p-1. (Le développement de 1/2 et de 1/5 est fini.)
Curiosités

- Le nombre premier suivant correspond aux 38 premiers chiffres de Pi (voir [http://research.att.com/projects/OEIS?Anum=A005042 Sloane A005042]) : :31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841
- DIX est un nombre premier (le lire comme chiffres romains, bien entendu)
- 1 111 111 111 111 111 111 est un nombre premier (il y a 19 un) (les répunits $R_2$ , $R_$ , $R_$ , $R_$ , $R_$ , $R_$ et $R_$ sont premiers, [http://research.att.com/projects/OEIS?Anum=A004023 Sloane A004023]). ).
Références

- Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Éditions Belin - Pour la Science, 2000 - ISBN 2701150175
Liens externes

- Chris K. Caldwell: « La page des nombres premiers », http://www.utm.edu/research/primes/
- Chris K. Caldwell: « Nombre premiers illégaux », http://primes.utm.edu/glossary/page.php/Illegal.html
- J. O'Connor et E. F. Robertson: « histoire MacTutor des nombres premiers », http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Prime_numbers.html
- Carlos Rivera: « les puzzles de nombres premiers » http://www.primepuzzles.net/
- La page (en espagnol) de Sebastián Martín Ruiz:http://perso.wanadoo.es/smaranda/
- Manindra Agarwal, Nitin Saxena, Neeraj Kayal, « PRIMES is in P », Preprint, August 6, 2002, http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
- The « PRIMES is in P » FAQ [http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html]
- Les 100,000 premiers nombres premiers, http://gutenberg.net/etext/65
Articles connexes

- Crible d'Ératosthène
- Crible de Sundaram
- Nombre premier de Fermat
- Nombre premier de Mersenne
- GIMPS
- Décomposition en produit de facteurs premiers
- Nombre abondant
- Nombre aimable
- Nombre amical
- Nombre déficient
- Nombre parfait
- Nombre presque parfait
- Nombre sociable ja:素数 ko:소수 (수론) th:จำนวนเฉพาะ

David Hilbert

David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg - 14 février 1943 à Göttingen) était un mathématicien allemand. Hilbert a enseigné à l'université de Königsberg, la ville où il est né et où il a fait ses études. En 1895 il est nommé à Göttingen, où il enseignera jusqu'à sa retraite en 1930. Hilbert est souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens du , au même titre que Henri Poincaré. On retient de lui notamment sa liste des 23 problèmes, dont certains ne sont aujourd'hui toujours pas résolus, qu'il présenta en 1900 au congrès international de mathématiques à Paris. Ses contributions aux mathématiques sont nombreuses :
- Consolidation de la théorie des invariants, qui était le sujet de sa thèse.
- L'axiomatisation de la géométrie euclidienne, pour la rendre consistante, parue dans son Grundlagen der Geometrie (Base de la géometrie).
- Travaux sur la théorie des nombres algébriques, reprenant et simplifiant, avec l'aide de son ami Minkowski, les travaux de Kummer, Kronecker, Dirichlet et Dedekind, et les publiant dans son Zahlbericht (Rapport sur les nombres).
- Apport des espaces portant son nom, lors de ses travaux en analyse sur les équations intégrales.
- Apport sur les formes quadratiques bases mathématiques à la relativité d'Einstein. Hilbert fut également le chef de file des formalistes, mouvement dont le but était l'unification des mathématiques via leur axiomatisation. Les Bourbakistes notamment adhérèrent ensuite à ce mouvement.

Voir aussi

- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Mathématiciens célèbres
- Base de Hilbert
- Espace de Hilbert
- Problèmes de Hilbert
- Conjecture de Hilbert-Pólya

Lien externe

- [http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=hilbert Hilbert] Hilbert, David Hilbert, David Hilbert, David ja:ダフィット・ヒルベルト ko:다비드 힐베르트 th:ดาฟิด ฮิลแบร์ท

Droite (mathématiques)

ja:直線 simple:Line Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et surtout en géométrie, était un objet allant de soi, si évident que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le grec Euclide dans ses Éléments. Avec le développement du calcul algébrique et du calcul vectoriel, d'autres définitions vinrent s'ajouter. Mais c'est la naissance des géométries non euclidiennes qui a conduit à la découverte de nouveaux types de droites, et, par là-même, nous a forcés à éclaircir et approfondir ce concept.

Vision naïve

« La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre ». Cette définition simple suffit à bon nombre d'entre nous. Elle permet par exemple au jardinier de tracer ses lignes de semis : en tendant une corde entre deux piquets, il matérialise une ligne tirée au cordeau. C'est à un procédé analogue que recourt le bricoleur pour tracer une ligne de 5 mètres : il enduit une corde de craie, la tend entre deux points fixes puis, utilisant l'élasticité naturelle de cette corde, il l'éloigne du sol et la lâche soudainement. La corde reprend alors brutalement sa position initiale en déposant sur le sol une ligne de craie. Voir aussi les définitions d'une demi-droite et d'un segment.

Définition formelle d'Euclide

Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). À l'aide de ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, l'ensemble des autres propriétés. Pour Euclide :
- une ligne est une longueur sans largeur;
- et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points. Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.

Géométrie vectorielle

En géométrie vectorielle, une droite est un sous-espace vectoriel de dimension 1. Si v est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée par v est l'ensemble des vecteur w pour lesquels il existe un scalaire (un réel pour un espace vectoriel sur R) k tel que w = kv. On dit alors que les vecteurs v et w sont colinéaires.

Géométrie affine

En géométrie affine, une droite est un sous-espace affine de dimension 1. Si A est un point et v un vecteur non nul, la droite affine engendrée par A et v est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un scalaire k tel que

\vec=kv

. Le vecteur v est appelé vecteur directeur de la droite. On peut aussi définir la droite passant par les points distincts A et B comme l'ensemble des barycentres des points A et B.

Géométrie analytique

Si l'espace vectoriel est muni d'une base, ou l'espace affine d'un repère, la droite peut être caractérisée par des équations.

Espace affine de dimension 2

Une droite affine est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que

ax + by + c = 0 \,

, où

(a ; b) \neq (0;0)

. Un vecteur directeur de la droite est le vecteur de coordonnées

(-b ; a)

. L'équation précédente est appelée équation de la droite. Dans cette famille de droites, on rencontre
- les droites d'équation

y = ax

associées à des fonctions linéaires de R dans R
- les droites d'équation

y = ax + b

associées à des fonctions affines de R dans R
- les droites d'équation

x = a

parallèles à l'axe des ordonnées a représente la pente de la droite.

Espace affine de dimension n

En dimension n, la droite passant par

A(a_1;a_2;...a_n) \,

et de vecteur

v(v_1;v_2;...;v_n) \,

est l'ensemble des points

M(x_1;x_2;...;x_n) \,

pour lesquels il existe un scalaire k tel que :

\left\

Corollaire

Se dit en mathématiques d'un théorème qui découle immédiatement d'un autre. Catégorie:Mathématiques

Théorème de Cantor-Bernstein

Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de mathématiques. Il est nommé en l'honneur des mathématiciens Georg Cantor, Felix Bernstein et Ernst Schröder.

Énoncé

S'il existe une injection d'un ensemble

E

vers un ensemble

F

, et une injection de l'ensemble

F

vers l'ensemble

E

, alors il existe une bijection de

E

dans

F

. :

\left\

Théorème intégral de Cauchy

En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales. Le théorème est habituellement formulé pour les chemins fermés de la manière suivante : soit U un sous-ensemble ouvert de

\mathbb C

qui est simplement connexe, soit

f:U\rightarrow \mathbb C

une fonction holomorphe, et soit γ un chemin rectifiable dans U dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet), alors : :

\int_\gamma f(z) dz = 0

Comme cela a été montré par Goursat, le théorème intégral de Cauchy peut être démontré en supposant seulement que la dérivée complexe de f existe en tout point de U. Ceci est très intéressant, parce que nous pouvons alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces fonctions, et de cela nous pouvons déduire que ces fonctions sont en fait indéfiniment continûment dérivables. La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert U = satisfait à cette condition. La condition est cruciale; par exemple, si γ est le chemin défini par : :

\gamma(t) = \exp( 2\pi it)

où exp est la fonction exponentielle, qui décrit le cercle unité, alors l'intégrale sur ce chemin :

\int_\gamma \frac dz = 2\pi i

est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f(z) = 1/z n'est pas défini (et donc f n'est certainement pas holomorphe) en z = 0. Une conséquence importante du théorème est que l'intégrale curviligne de fonctions holomorphes sur des domaines simplement connexes peut être calculée d'une manière familière à partir du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral : soit U un ouvert simplement connexe de

\mathbb C

, soit

f:U\rightarrow \mathbb C

une fonction holomorphe, et soit γ un chemin continûment différentiable dans U dont le point de départ est a et le point d'arrivée b. Si F est une primitive complexe de f, alors :∫_γ f(z) dz = F(b) - F(a). Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que U soit un ouvert simplement connexe de

\mathbb C

dont la frontière est l'image du chemin rectifiable γ. Si f est une fonction qui est holomorphe sur U et continue sur l'adhérence de U, alors :∫_γ f(z) dz = 0. Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé par le théorème des résidus. Cauchy Catégorie:Mesure et intégration Catégorie:Analyse complexe

Théorème de Cayley-Hamilton

En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que toute endomorphisme d'espace vectoriel de dimension finie sur un corps quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En terme de matrice, cela signifie par exemple que: Si A est une matrice carrée et si :

p(X)=det(XI-A)\;

est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : :

p(A)=0.\;

Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique.

Démonstration

Effectuons la démonstration sur la matrice

A

. Définissons la matrice

B(X) = ^t com(XI-A)

. On sait que :

\quad (XI-A).B(X)=det(XI-A).I=P(X).I

Nous pouvons interpréter les membres et facteurs de cette égalité comme des polynômes en X à coeficients dans l'anneau des matrices carrées nxn à coefficients dans K et cette égalité entraîne que

P(X).I

est divisble à gauche par $XI-A$ . Ceci implique alors que la valeur à droite (égale en réalité ici aussi à sa valeur à gauche car on a tout aussi bien

B(X).(XI-A)=det(XI-A).I

) du polynôme

P(X).I

pour

X=A

est nulle. Cette valeur n'est autre que

P(A)

, ce qui achève la démonstration.

Exemple

Considérons par exemple la matrice :

A = \begin1&2\\
3&4\end

. Le polynôme caractéristique s'écrit :

p(X)=\det\beginX-1&-2\\
-3&X-4\end=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^2-5X-2.

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que :

A^2-5A-2I_2=0

et cette relation peut être rapidement vérifiée dans ce cas. De plus le théorème de Cayley-Hamilton permet de calculer les puissances d'une matrice plus simplement que par un calcul direct. Reprenons la relation précédente :

A^2-5A-2I_2=0

A^2=5A+2I_2

Ainsi, par exemple, pour calculer A⁴, nous pouvons écrire :

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2

et il vient :

A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A

A^4=145A+54I_2

. Catégorie : Algèbre Catégorie:Algèbre linéaire Cayley-Hamilton ja:ケイリー・ハミルトンの定理

Théorème de d'Alembert-Gauss

ko:대수학의 기본 정리 ja:代数学の基本定理 th:ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต Catégorie:Algèbre Catégorie:Analyse complexe Alembert-Gauss Le théorème de d'Alembert-Gauss, simplement appelé théorème de d'Alembert ou encore théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante : :Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps

\mathbb C

des nombres complexes a (au moins) une racine dans

\mathbb C

. En d'autres termes, le corps

\mathbb C

des nombres complexes est algébriquement clos. On en déduit facilement que tout polynôme de degré

n > 0

est scindé, c'est-à-dire qu'il se factorise en produit de

n

polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement

n

racines (en tenant compte des ordres de multiplicité). Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Albert Girard. Jean le Rond d'Alembert en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du . La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse. Une preuve très concise repose sur le théorème de Liouville en analyse complexe. A cet effet, on considère un polynôme P à coefficients complexes, de degré au moins égal à 1. On suppose qu'il n'a aucune racine : dès lors, la fonction rationnelle 1 / P est entière et bornée (car elle tend vers 0 à l'infini) ; du théorème de Liouville, on déduit qu'elle est constante, ce qui contredit l'hypothèse sur le degré, et prouve ainsi par l'absurde l'existence d'au moins une racine de P.

Voir aussi

- Factorisation des polynômes
- Équation polynomiale
- Équation du second degré
- Théorème de Gauss

Bibiographie

- Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, ISBN 0-387-94657-8

Théorème de Fatou

Pierre Fatou, mathématicien français (1878-1929) énonca plusieurs théorèmes dont :
- Théorème de Fatou (1926) Soit f une fonction entière qui n'est pas une translation. Alors la fonction

f \circ f

a un point fixe dans

\mathbb

.
- Théorème de Fatou-Lebesgue appelé théorème de convergence dominée. Catégorie : Analyse Fatou

Théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls

x

y

z

tels que :

x^n+y^n=z^n \,

où

n

est un entier strictement supérieur à 2. (Pour les premières valeurs de

n

, il existe une infinité de solutions - le cas

n=1

est évident, le cas

n=2

admet notamment la solution classique 4² + 3² = 5² et fait appel à la méthode du cercle). Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de lArithmetica de Diophante, à côté de l'énoncé de ce problème : :J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres. Plus précisément, Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'il impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes… Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le faire tomber, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire qu'il prend une telle valeur. On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.
Remarques

- L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».
- Ce théorème est le sujet du livre « Le Dernier Théorème de Fermat » de Simon Singh, disponible au format poche sous le numéro ISBN 2012789218
- Contrairement à ce qu'on a pu parfois voir dans des journaux ou à la télévision (en raison du type de formule qui y figure), ce théorème n'a strictement aucune relation, quelle qu'elle soit, avec le théorème de Pythagore. Cependant, Fermat s'en est évidemment inspiré. Sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens(triplets d'entiers qui vérifient le théorème de Pythagore, comme (3,4,5)). ---- Pour le cas n = 2, toutes les solutions non triviales sont données par : Si $x=2kml\,$ et $y=k(m^2-l^2)\,$ , alors $z=k(m^2+l^2)\,$ où k entier, m>l,