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Parabolische Differentialgleichung

Parabolische Differentialgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung. Sie beschreibt die Temperaturverteilung eines Körpers durch Wärmeleitung oder die Ausbreitung eines gelösten Stoffes durch Diffusion. Die Wärmeleitungsgleichung in einer Raumdimension lautet: :

\frac u(x,t)= \frac

Hier kann zum Beispiel

u(x,t)

die Temperaturverteilung in einem dünnen Stab bezeichnen. In 3 Dimensionen lautet die Wärmeleitungsgleichung: :

\frac u(\vec,t) = \Delta u(\vec,t),

wobei

\Delta=\frac+
\frac+\frac

der Laplace-Operator ist. Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung Null ist, geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung über.

Lösungen

Die 1-dimensionale Fundamentallösung lautet:

u(x,t)=\sqrt e^

Eine n-dimensionale Fundamentallösung ist gegeben durch

u(x,t)=\frac e^ \qquad \|x\|^2 = x_1^2 + x_2^2 + ..+x_n^2

Weitere Lösungen

1) In manchen Fällen kann man Lösungen der Gleichung finden mit Hilfe des Symmetrieansatzes:

u(x,t) = f\left(\frac\right)

Dies führt auf die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für f:

\xi f^\prime(\xi)=2\cdot f^(\xi)

2) Eine weitere 1-dimensionale Lösung lautet

u(x,t) = \sin(2 c^2 t - xc) \ \exp(-cx)

, wobei c eine reelle Zahl ist. Mit ihr kann man das Wärmespeicherungsverhalten modellieren, wenn ein Gegenstand (mit einer zeitlich sinusförmigen Temperatur) erhitzt wird. siehe auch: Wärme, Wärmeübertragung, Wärmekapazität, spezifische Wärmekapazität, Wärmeleitkoeffizient, Temperaturleitfähigkeit, Diffusion, Brownsche Molekularbewegung Kategorie:Partielle Differentialgleichungen Kategorie:statistische Physik

Partielle Differentialgleichung

Eine Partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL oder PDE für eng. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.

Definition

Etwas genauer gesagt ist eine PDE eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:
- die unbekannte Funktion hängt von mindestens 2 Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung, oder kurz nur Differentialgleichung)
- in der PDE kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor
- in der Gleichung kommen nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor. Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion

u

, die von zwei Variablen

x

und

y

abhängt, lautet :

F\left(x,y,u(x,y),\frac,\frac, 
\ldots\frac,\ldots \right) = 0,

wobei F eine beliebige Funktion ist.

Beispiel

Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich beider ist nicht immer wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird nur durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Oft reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen der auf eine Wasseroberfläche fällt entstehen, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig. Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion u(x,t) möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort x und Zeit t). Die partielle Ableitung

\frac

gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt

\frac

die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung

\frac =  \frac

Eine Lösung dieser Gleichung wäre

u(x,t) = f(x+t)

mit einer beliebigen Funktion

f

Einteilung

Man kann PDGen nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf. Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen linear auf, aber die Funktion selbst nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDE. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen. Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind selbst hier formelmäßige Lösungen nur in Ausnahmefällen möglich. Man unterscheidet weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen, die einen gemischten Charakter haben. Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen, da für mehr als zwei unabhängige Variable eine solche Einteilung i.a. nicht existiert:

a(x,y) \frac + b(x,y) \frac + 
c(x,y) \frac  + d(x,y) \frac = 0

Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet: :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 > 0

ist die Gleichung in (x,y) elliptisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 = 0

ist die Gleichung in (x,y) parabolisch :Wenn

a(x,y) c(x,y) - b(x,y)^2/4 < 0

ist die Gleichung in (x,y) hyperbolisch Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit (⇒elliptisch), singulär (⇒parabolisch), oder indefinit (⇒hyperbolisch) ist.

Rand und Anfangswertprobleme

Eine partielle Differentialgleichung per se hat im Allgemeinen mehrere Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen braucht es gewisse Zusatzbedingungen, nämlich Rand- und/oder Anfangsbedingungen. Diese Situation ist ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man Anfangsbedingungen in einem Punkt braucht. Bei PDGen reicht die Vorgabe eines Funktionswertes an einem Punkt nicht aus, man muss Funktionswerte (und/oder Ableitungen) auf einer Mannigfaltigkeit vorgeben. Nicht jede Zusatzbedingung führt zu einer vernünftigen Lösung, das Ganze hängt von der Art der Gleichung ab. Typische Beispiele sind
- Dirichlet-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Neumann-Randbedingungen (für elliptische Probleme)
- Anfangs- und Randbedingungen (für parabolische Probleme)
- Cauchy-Probleme (für hyperbolische Problemen)

Elliptische partielle Differentialgleichungen

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zustand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen. Das Paradebeispiel ist die Laplace-Gleichung, bzw die Poisson-Gleichung. Diese Gleichungen beschreiben etwa die (stationäre) Temperaturverteilung in einem Körper, oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Außerdem ist das (Newtonsche) Gravitationspotential eine Lösung der Poisson-Gleichung. Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten auftretenden Randbedingungen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen. Die erstere bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion ist. Am Beispiel der Temperaturverteilung soll der Unterschied klargemacht werden: Steckt man ein Objekt in Eiswasser, dann ist die Temperatur am Rand 0 Grad. Damit ist die Temperaturverteilung im Inneren die Lösung eines Dirichlet-Randwertproblems. Ein anderer Fall tritt auf, wenn man den Körper isoliert. Hier ist zwar nicht die Temperatur bekannt, aber durch Isolation ist der Wärmefluß am Rand 0. Da der Fluß mit der Normalableitung in Verbindung gebracht werden kann, führt dies auf ein Neumann-Problem. Ähnliches gilt in der Elektrostatik: Kennt man die Spannung die am Rand angelegt wird, kommt man zu einem Dirichlet-Problem, kennt man hingegen die Stromstärke am Rand kommt man zu einem Neumann-Problem. Eine nichtlineare Gleichung, die elliptisch ist, ist die Gleichung für Minimalflächen (Minimal surface equation), diese beschreibt eine Seifenhaut, die sich bildet, wenn man ein Drahtgestell in Seifenlauge taucht.

Parabolische partielle Differentialgleichungen

Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber im instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls durch diese Gleichung beschreiben. Parabolische Gleichungen führen auf ein Anfangs-Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluß vorgegeben werden. Dies entspricht dem Fall von Dirichlet- oder Neumannbedingungen im elliptischen Fall. Zusätzlich muss noch die Temperaturverteilung am Anfang (zum Zeitpunkt 0) vorgegeben werden. Insgesamt benötigen also parabolische Gleichungen Bedingung am räumlichen Rand und zum Anfangszeitpunkt. Ein weiterer (nichtlinearer) Vertreter von parabolischen Gleichungen ist die Korteweg-de Vries-Gleichung, die Wasserwellen in Ufernähe beschreibt.

Hyperbolische partielle Differentialgleichungen

Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung. Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben. Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung immer hyperbolische. Im Unterschied zu parabolischen und elliptischen Gleichung werden Lösungen von hyperbolischen Gleichungen wenig bis gar nicht gedämpft. Das führt einerseits dazu, dass die Lösungstheorie schwieriger wird, da mit weniger Differenzierbarkeit gerechnet werden kann. Anderseits können sich Wellen erst durch diese fehlende Dämpfung über weite Strecken ausbreiten. Die zu diesem Typ gehörigen Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme: Das bedeutet, dass wie im parabolischen Fall zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Bei hyperbolischen Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte: Den Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie in Holzblasinstrumenten kommt man dementsprechen auf Neumannbedingungen). Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung (entspricht dem Funktionswert) am Anfang, und die Geschwindigkeit mit der die Saite am Anfang angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung). Mit diesem Bedingungen kann die Auslenkung zu allen späteren Zeitpunkten eindeutig gelöst werden. Hyperbolische Gleichungen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten heißen strikt hyperbolisch. Hier ist die Lösungstheorie auch für nichtlineare Systeme wohlbekannt, ist die Gleichung nichtstrikt hyperbolisch, wie beispielsweise die mehrdimensionalen Euler-Gleichungen oder die Gleichungen der Magneto-Hydrodynamik, ist dies nicht mehr der Fall.

Theorie

Wichtige Sätze:
- Satz von Cauchy-Kovalevskaja
- Satz von Holmgren
- Lemma von Lax-Milgram
- Maximumprinzip
- Schaudertheorie

Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen

Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen und der finiten Volumen.

Beispiele

- Navier-Stokes-Gleichungen
- Maxwellsche Gleichungen
- Schrödingergleichung
- Einsteinsche Feldgleichungen
- Biharmonische Gleichung Gleichungen in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten nennt man Integro-Differentialgleichung. ja:偏微分方程式

Wärmeleitung

Unter Wärmeleitung, auch Wärmediffusion oder Konduktion genannt, wird in der Physik der Wärmefluss in einem Kontinuum (Feststoff oder ruhendes Fluid) zufolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. Wärme fließt dabei aufgrund des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik von selbst immer nur in Richtung geringerer Temperatur. Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung

\dot

wird durch das Fouriersche Gesetz (1822) (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) beschrieben, das für den vereinfachten Fall eines festen Körpers mit zwei parallelen Wandflächen lautet: :

\dot =   F (t_-t_)

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:
-

t_

die Temperatur der wärmeren Wandoberfläche
-

t_

die Temperatur der kälteren Wandoberfläche
-

F

die Fläche, durch die die Wärme strömt,
-

\lambda

der Wärmeleitkoeffizient, eine meist temperaturabhängige Stoffgröße, und
-

\delta

die Dicke der Wand sind. Die Wärmestromdichte ist nach dem Fourierschen Grundgesetz wie folgt definiert:

\dot = -\lambda \cdot grad \ \vartheta

In dielektrischen Festkörpern (Isolatoren) geschieht die Wärmeleitung durch das Zusammenstoßen der Atome oder Moleküle. Dabei übertragen Moleküle mit kinetisch höherer Energie ihre Energie auf benachbarten Moleküle mit geringerer kinetischen Energie. In elektrisch leitfähigen Körpern wie Metallen tragen außerdem die freien Ladungsträger, in der Regel Elektronen, zur Wärmeleitung bei; gute elektrische Leiter übertragen die Wärme besser. Auch in Flüssigkeiten und Gasen wird die Wärmeleitung durch Stöße zwischen Teilchen dominiert, doch ist deren Bewegung stärker und es wirken auch andere Effekte (Durchmischung, Diffusion etc.) merklich. Die Wärmeleitung in Gasen hängt vom Druck ab. Leichte Atome bzw. Moleküle leiten besser als schwere.
Im Gegensatz zur Konvektion bilden sich bei reiner Wärmediffusion in Flüssigkeiten und Gasen keine Wirbel. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes geht bei der Wärmeleitung keine Wärme verloren. Kategorie:Thermodynamik

Diffusion

Diffusion (v. lat.: diffundere = ausgießen, verstreuen, ausbreiten; PPP diffusum) ist die Bewegung von kleinsten Teilchen, insbesondere von Atomen oder Molekülen, aufgrund der Energie, die diese bei genügend großen Temperaturen haben. In Flüssigkeiten und Gasen wechseln sie ständig den Ort, in Festkörpern erfolgen gelegentliche Ortswechsel. Unter Diffusion im engeren Sinne versteht man den Ausgleich von Konzentrationsunterschieden bis hin zum selbständigen Durchmischen, der durch diese Bewegung entsteht. Im weiteren Sinne versteht man jede thermische Fortbewegung und jeden damit verbundenen Transport als Diffusion, auch wenn dieser zum Entmischen führen kann. Der Stoffaustausch geschieht dabei vom Ort der höheren zum Ort der niedrigeren Konzentration. In Flüssigkeiten und Gasen nennt man die Diffusion auch Brownsche Molekularbewegung. Sie kann auch durch eine poröse Wand oder Membran hindurch erfolgen. Im Falle einer semipermeablen Membran kann die konzentrationsausgleichende Wirkung der Diffusion zu einem Druck führen, siehe Osmose. Die Diffusion bei einer bestimmten Temperatur erfolgt ohne weitere Energiezufuhr und ist in diesem Sinne passiv; vor allem in der Biologie wird die Diffusion vom aktivem Transport unterschieden. Die einzelnen Teilchen bewegen sich hin und her und vor und zurück, ein einzelner, momentaner Diffusionsschritt ist also ungerichtet. Auf den ersten Blick ist die Bewegung also zufällig, bei genauerer Betrachtung über einen längeren Zeitraum bzw. über viele Teilchen gemittelt kann sich dennoch ein Transport in eine bestimmte Richtung ergeben, z.B. wenn ein Sprung in eine bestimmte Richtung eine - vielleicht nur geringfügig - größere Wahrscheinlichkeit hat. So entsteht ein Nettofluss an Teilchen aufgrund eines Konzentrationsgefälles bis sich ein stationärer Zustand, das Gleichgewicht, einstellt. Zumeist ist der Gleichgewichtszustand die Gleichverteilung, bei der die Konzentration aller Teilchen an jedem Punkt im Raum gleich hoch ist. Sind in einem Raum Teilchen oder Energie ungleichmäßig verteilt, dann führt die Diffusion in diesem Fall mit der Zeit zu einer statistisch gleichmäßigen Verteilung, also einem Konzentrationsausgleich.

Veranschaulichung

Ein einfach nachvollziehbares Experiment zur Veranschaulichung der Ausbreitung durch Diffusion, ist die allmähliche Einfärbung eines Glases lauwarmen Wassers, wenn man einen Hagebuttenteebeutel hineinhängt, das Wasser aber nicht umrührt oder den Behälter schüttelt. Ein anderes "Experiment" ist das Öffnen einer Sprudelflasche, bei dem in der wässrigen Lösung Gasblasen aufsteigen. Hier erfolgt die Diffusion so, dass sich das Konzentrationsgefälle verstärkt, schließlich entmischen sich Kohlendioxid und Lösung.

Physikalische Grundlagen

Diffusion gelöster Teilchen

Ein Ausgleichsprozess führt immer zum thermodynamischen Gleichgewicht hin. Das treibende Potenzial für den Ausgleichsprozess ist die Entropiezunahme. Bei festgelegtem Druck und festgelegter Temperatur ist daher der Gradient des chemischen Potenzials µ das treibende Potenzial des Stoffstroms. Der Fluss ergibt sich somit zu: :

J = - D \left(\frac\right)_

Hieraus ergeben sich die Gesetze der Maxwell-Stefan-Diffusion. Die Maxwell-Stefan-Diffusion ist das heute vorrangig eingesetzte Modell zur Beschreibung von Stofftransporten. Für einfache Anwendungsfälle kann anstelle des chemischen Potenzials die Konzentration c verwendet werden. Diese ist einfacher zugänglich als das Chemische Potenzial eines Stoffes. Mit dieser Vereinfachung ergeben sich aus der Maxwell-Stefan Diffusion die Fickschen Gesetze. Problematisch wird der Übergang auf die Konzentration bei sehr geringen Konzentrationen, denn das chemische Potenzial ist logarithmisch von der Konzentration abhängig.

1. Ficksches Gesetz

J = - D \frac

Die Teilchenstromdichte (Flux) J (

\mathrm

) ist proportional zum Diffusionskoeffizienten D (

\mathrm

) und dem Konzentrationsgradienten

\frac

. Es macht eine quantitative Aussage über die (im statistischen Mittel) gerichtete Bewegung von Teilchen, d.h. wieviel Teilchen einer Stoffmenge sich pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit, die senkrecht zur Diffusionsrichtung liegt, netto bewegen.

2. Ficksches Gesetz (Diffusionsgleichung)

Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung :

\frac=-\frac

ergibt sich bei konstantem D die Diffusionsgleichung :

\frac = D \frac

Sie stellt eine Beziehung zwischen zeitlichen und örtlichen Konzentrationsunterschieden dar. Es eignet sich somit zur Darstellung instationärer Diffusion, im Gegensatz zum 1. Fickschen Gesetz, das einen zeitlich konstanten Diffusionsfluss beschreibt.

Diffusionsgeschwindigkeit von Gasen

thumb Die Diffusionsgeschwindigkeit von Gasen ist von der Molmasse dieser Gase abhängig: Gase mit geringer Molmasse breiten sich schneller aus als solche, die eine größere Molmasse haben. Auf mikroskopischer Ebene wird die Diffusion durch die Brown'sche Molekularbewegung bewirkt.

Diffusion in kristallinen Festkörpern

Die Diffusion in Kristallen erfolgt zumeist über Leerstellen, also über nicht mit Atomen besetzte Plätze des Kristallgitters. Dass die Selbstdiffusion über Leerstellen erfolgen muss und nicht mittels direktem Platztausch oder über einen Ringtausch wurde zuerst von Kirkendall mit dem nach ihm benannten Effekt nachgewiesen.

Fokker-Planck-Gleichung

Eine zusätzliche Kraft durch ein vorhandenes Potenzial führt dazu, dass die Gleichverteilung nicht mehr dem stationären Zustand entspricht. Die Theorie dazu liefert die Fokker-Planck-Gleichung.

Anwendungen

Siehe auch: Diffusionspumpe, Diffusionsnebelkammer, Diffusionsplattentest (Diffusionstest), Diffusionsregulation, Diffusionskühlschrank

Lebensmitteltechnik

Industriell wird die Diffusion in der Zuckerfabrikation genutzt.

Halbleitertechnik

In sog. Diffusionsöfen werden bei hohen Temperaturen (450°C - 1200°C) Dotanten (z. B. Bor, Phosphor, Arsen, Antimon, Gold) in das Halbleitermaterial eingebracht um dort gezielt die elektrische Leitfähigkeit oder mechanische Eigenschaften für Bauelemente der Mikrosystemtechnik zu beeinflussen.

Technische Chemie

Die Diffusion spielt in der Technischen Chemie eine Zentrale Rolle. Wichtig ist hier unter anderem die sog. Stoffbilanzgleichung, die die Diffusion mit der Konvektion und der chemischen Reaktion koppelt. Sie lautet für den Fall, daß die Reaktionsgeschwindigkeit nur von einer Komponente abhängt:

\frac = D \frac - v \frac - k c^n

mit k = Geschwindigkeitskonstante der Chem. Reaktion und n = Reaktionsordnung
Typische Anwendungen sind Reaktor- und Katalysatordesign. Siehe auch: Makrokinetik, Hatta-Zahl, Thiele-Modul

Diffusion in der Betriebswirtschaftslehre und Geografie

Die Diffusion ist neben der Adoption ein Konzept der Diffusionstheorie innerhalb der Betriebswirtschaftlehre. Unter Diffusion wird dabei der Prozess der Kommunikation einer Innovation, über bestimmte Kommunikationskanäle, im Zeitverlauf und unter den Mitgliedern eines sozialen Systems verstanden (siehe auch Diffusionsforschung).

Falsche Diffusion in der Akustik

Das Wort "Diffusion" wird in der Akustik aus dem Englischen häufig falsch direkt mit Diffusion "übersetzt". In diesem Sinne gibt es in der Raumakustik im Deutschen dieses Wort nicht. Das richtige Wort heißt "Diffusität".

Siehe auch

- Konvektion
- Poisson-Gleichung
- Wärmeleitungsgleichung
- Diffusität
- Reaktions-Diffusionsgleichung
- Gleichverteilung

Weblinks

- [http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_6/backbone/r6_2_2.html Die Fickschen Diffusionsgesetze]
- [http://www.eurodiffusie.nl/ Projekt zur Untersuchung der Diffusion der Euromünzen] (niederländisch) Kategorie:statistische Physik Kategorie:Physikalische Chemie Kategorie:Biochemie ja:拡散

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace. Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

Allgemeines

Für den Fall von n karthesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als :

\Delta=\vec\nabla^2= \sum_^n .

Dabei ist

\vec\nabla

der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise :

\Delta\varphi = \operatorname\left(\operatorname\,\varphi\right) = \vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\varphi\right).

möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in karthesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweilgen Räume transformiert wird.

Laplace-Operator in 1 Dimension

Für eine Funktion φ(x) in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.

Laplace-Operator in 2 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten mit

\varphi ( x , y )

\Delta\varphi =
\frac +
\frac

in Polarkoordinaten mit

\varphi ( r , \phi )

\Delta\varphi =
\frac +
\frac\frac +
\frac\frac

oder :

\Delta\varphi =
\frac\cdot\frac
\left( r\cdot\frac \right) +
\frac\frac

Laplace-Operator in 3 Dimensionen

Für eine Funktion φ(x,y,z) von drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten mit

\varphi ( x , y , z )

\Delta\varphi =
\frac +
\frac +
\frac

in Zylinderkoordinaten mit

\varphi ( \rho , \phi , z )

\Delta\varphi = \frac \cdot\frac
\left( \rho\cdot\frac \right) +
\frac\cdot\frac +
\frac

in Kugelkoordinaten mit

\varphi ( r , \vartheta , \phi )

\Delta\varphi = \frac \left(
\frac \left( r^2 \cdot \frac \right) +
\frac \cdot \frac \left(\sin\vartheta \cdot \frac \right) +
\frac \cdot \frac
\right)

Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:

G_(x, x') = -\frac + F(x,x')

mit

\Delta F(x,x') = 0

. Es gilt dann:

\Delta G_(x, x') = \delta(x - x')

mit der Delta-Distribution

\delta

. Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Bemerkungen

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder

\vec a

angewandt werden.

\Delta \vec a

wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang : :

\Delta\vec a = \operatorname\left(\operatorname\,\vec a \right) - \operatorname\left( \operatorname\,\vec a\right)

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung :

\Delta\varphi = 0

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix. Insbesondere im englischsprachigen Raum (und folglich in der englischsprachigen Literatur) wird der Laplace-Operator nicht mit dem Symbol "

\Delta

" bezeichnet. Stattdessen wird die intuitivere Schreibweise

\nabla^2

benutzt.

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt :

\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right)

wobei „

\circ

“ für die Verkettung von Funktionen steht. Siehe auch: Gradient, Divergenz, Rotation. Kategorie:Analysis

Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Mathematische Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung

G(x)

definiert als distributionelle Lösung von

L G(x) = \delta(x)

Hier ist

\delta(x)

die Dirac'sche Delta-Distribution.

Anwendung

Falls eine Fundamentallösung bekannt ist, erhält man eine Lösung der Gleichung

L u(x) = f(x)

durch Faltung:

u(x) = \int G(x - y) f(y) dy

Theorie

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung. Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt. Kategorie:Analysis

Fundamentallösung

Mathematische Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung

G(x)

definiert als distributionelle Lösung von

L G(x) = \delta(x)

Hier ist

\delta(x)

die Dirac'sche Delta-Distribution.

Anwendung

Falls eine Fundamentallösung bekannt ist, erhält man eine Lösung der Gleichung

L u(x) = f(x)

durch Faltung:

u(x) = \int G(x - y) f(y) dy

Theorie

Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit ODE für engl. ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, die nur Ableitungen nach einer reellen Variablen enthält. Ihre Lösung ist somit eine Funktion, die von einer Variablen abhängt.

Motivation

Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird. Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung, welche von Galileo Galilei noch mit geometrischen Methoden bearbeitet werden konnten. Als Isaac Newton jedoch auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, den Differentialkalkül und die heute geläufige Form einer Differentialgleichung einzuführen. Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome: :

\fracN(t) = c\; N(t).

Durch Berechnen der Funktion

N(t)\!

aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden. Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der Differentialgleichung :

m\;a = m\; \fracx(t) = -k \; x(t).

Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion

x(t)\!

, deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.

Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben. Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln: Sei :

y^(t)=f(t,\,y(t),\,y'(t),\,y

(t),\dots,\,y^(t)) eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt: : $u_k(t)=y^(t) \quad k \in$ Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung: : $u'_0(t)=u_1(t)\!$ : $u'_1(t)=u$ _0(t)=u_2(t)\! :

\dots

u'_=u

_= \dots = u^_0=y^=f(t,y,u_0,u_1,\dots\,u_). Umgekehrt kann man auch aus manchen (aber nicht allen) Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.
Lineare Differentialgleichungen
Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen lassen sich oft mit Standardmethoden lösen. Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung für die Funktion y(t) ist : $\sum_^n c_i(t) y^(t) = s(t)$ . Hierbei sind $c_i(t)\!$ und $s(t)\!$ bekannte Funktionen, $y(t)\!$ wird gesucht, $y^(t)\!$ ist die i-te Ableitung von y nach t. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von t unabhängigen) Koeffizienten $c_i(t)\!$ und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit $s = 0\!$ ) und inhomogene (mit $s \not= 0\!$ ) Problemstellungen.
Das Lösen von Differentialgleichungen
Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar, es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im Allgemeinen n freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von n Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n-1 Variablen, die selbst Funktionen der n Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt). Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben. Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden. Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.
Lineare Differentialgleichungen
Für Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip: Eine Linearkombination mehrerer Lösungen ist wieder eine Lösung. n unabhängige Lösungen einer Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Es gibt verschiedene (unendlich viele) Fundamentalsysteme für eine gegebene Gleichung, die Anzahl der Funktionen des Fundamentalsystems ist aber immer gleich. Bei inhomogenen Differentialgleichungen löst man meist zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist dann $y(t) = y_h(t) + y_p(t)\!$ wobei $y_h(t)\!$ die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und $y_p(t)\!$ eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung ist: Addiert man zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung eine Lösung der homogenen Gleichung dazu, ist das Ergebnis wieder eine Lösung der inhomogenen Gleichung.
Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Hier führt der Ansatz $y(t) = e^$ mit zunächst unbekanntem $\lambda$ zum Ziel. Dadurch erhält man ein Polynom, dessen Grad gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist: : $\sum_^n c_i \cdot \lambda^i = 0$ Dieses Polynom hat im Allgemeinen n komplexe Lösungen, daraus erhält man n Funktionen der Form $e^$ , die ein Fundamentalsystem bilden. Bei Mehrfachlösungen sind auch die zusätzlichen Funktionen $t^k \cdot e^$ mit natürlichen Zahlen k zwischen (ausschließlich) 0 und der Vielfachheit der Lösung des Polynoms Lösungen der Differentialgleichung. Sind alle Koeffizienten $c_i$ reell, so erhält man ein rein reelles Fundamentalsystem, indem man bei den Funktionenpaaren mit nichtreellen, komplex-konjugierten $\lambda$ -Werten $e^$ einmal durch $e^ \cdot \cos(\operatorname(\lambda_j) \cdot t)$ und einmal durch $e^ \cdot \sin(\operatorname(\lambda_j) \cdot t)$ ersetzt.
Spezielle Lösungsmethoden
Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind, durch direkte Integration lösen. Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.
Trennung der Veränderlichen (Separationsmethode)
Hat man eine DGL in der Form $\dot y(x) = g( y(x) ) f( x )$ kann man sie lösen. Da man im Gegensatz zum allgemeineren Fall $\dot y(x) = h( y(x), x )$ die Funktion $h$ in je zwei nur noch von einer Variablen abhängige Funktionen getrennt hat, spricht man von einer Trennung der Variablen. Um sie zu Lösen teilt man durch $g(y)$ und integriert beide Seiten über $x$ : $\int \frac \, dx = \int f(x) \, dx + konst$ . Auf der linken Seite hat man nun aber gerade die Ableitung von $\int \frac \, dy$ stehen: $\frac (\int \frac \, dy) = \frac (\int \frac \, dy) - \frac = \frac - \dot y = \frac$ . Es bleibt: $\int \frac \, dy = \int f(x) \, dx + konst$ . Man hat nun noch die beiden Integrale zu lösen und bei Möglichkeit danach die Gleichung nach y aufzulösen. Die Integrationskonstante kann man mit einer Anfangsbedingung beseitigen.
Beispiel
gesucht ist y mit $\dot y(t) = 2t y(t) - t$ und y(0) = 5,5
- Trennen der Veränderlichen $\dot y(t) = 2t y(t) - t = t (2y(t) - 1) \Rightarrow \frac = t$
- Integrieren $\int \frac dy = \int t \ dt$ $\Rightarrow \frac \ln(2y-1) + c_1 = \frac t^2 + c_2$
- Auflösen nach y: (mit jeweils neuen konstanten) $\ln(2y-1) = t^2 + c_3$ $2y-1 = e^ = e^ \cdot c_4$ mit $c_4 > 0$ $y = \frac \cdot (e^ \cdot c_4 + 1) = e^ \cdot c_5 + \frac$ mit $c_5 > 0$
- Anfangsbedingung: $5,5 = e^ \cdot c_5 + \frac \Rightarrow c_5 = 5$
- Lösung: $y = e^ \cdot 5 + \frac$
Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGL Systeme zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.
Spezielle Differentialgleichungen
: d'Alembert-Differentialgleichung : Bernoulli-Gleichung : Clairaut-Gleichung : Exponentialfunktion $y'=\alpha y \Rightarrow y=ce^$ : Eulersche Differentialgleichung : Riccati-Gleichung
Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen
Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung immer auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen, geht man bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im Normalfall von einem System erster Ordnung aus: : $\dot(t)=f(t,x(t))$ mit $x:\R^n \to \R^n$ und $f:\R^ \to \R^n$ . Es gibt zwei wichtige Klassen von numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, die Einschrittverfahren (insbesondere die Runge-Kutta-Verfahren) und die linearen Mehrschrittverfahren. Eine Verallgemeinerung von beiden Klassen stellen die allgemeinen linearen Verfahren (General linear Methods (GLM)) dar.
Siehe auch
#partielle Differentialgleichung #Anfangswertproblem #Randwertproblem
Literatur

- M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
- B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
- Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422 Kategorie:Differentialgleichungen Kategorie:Theoretische Physik ja:常微分方程式

Wärmeübertragung

Man spricht von Wärmeübertragung, wenn zwischen zwei Systemen mit Temperaturunterschied Wärme vom System mit der höheren Temperatur zu demjenigen mit der niedrigeren Temperatur übertragen wird (Wärmeausgleich oder Wärmeübergang). Die Wärmeübertragung wird charakterisiert durch den Wärmeübergangskoeffizienten. Die Wärmeübertragung ist irreversibel und findet immer vom höheren Energieniveau auf das Niedrigere statt. Anmerkung: "Die Wärmeübertragung ... findet immer vom höheren Energieniveau auf das Niedrigere statt." Dabei ist immer der Bruttowert der Wärmeübertragung gemeint. Es findet nicht nur eine Wärmeübertragung von warm nach kalt, sondern auch eine Wärmeübertragung von kalt nach warm statt, aber der Wärmestrom von warm nach kalt ist immer größer als von kalt nach warm, so dass die Resultierende von beiden Wärmeströmen immer von warm nach kalt geht. Diese Anmerkung ist deshalb notwendig, weil sonst die Wärmeübertragung bei Strahlung falsch verstanden werden kann. Dies kann auf zwei Arten erfolgen:
- Durch Wärmeleitung, dabei wird kinetische Energie zwischen benachbarten Atomen oder Molekülen übertragen.
- Durch Wärmestrahlung mittels elektromagnetischer Wellen. Sie erfolgt hauptsächlich im infraroten Spektrum. Durch Konvektion oder Mitführung, kann keine Wärme, sondern nur innere Energie oder Enthalpie übertragen werden, indem Atome oder Moleküle gasförmiger oder flüssiger Materialien sich bewegen. Meist wirken bei realen Systemen mehrere Übertragungsarten zusammen. Innerhalb von Festkörpern findet nur Wärmeleitung statt, in Flüssigkeiten und Gasen Wärmeleitung gekoppelt mit Konvektion, d. h. Strömung. Wärmestrahlung findet vorzugsweise zwischen Oberflächen, auch im Vakuum, statt, wobei ein- und zweiatomige Gase für die Strahlung praktisch durchlässig (diatherman) sind. Auch im Gleichgewichtszustand der gleichen Temperatur tauschen die Systeme Wärme aus. Allerdings sind abgegebene und aufgenommene Wärme gleichgroß, so dass sich die Effekte kompensieren. Siehe auch: Wärmeübertrager, Strahlungsaustausch Kategorie:Thermodynamik

Temperaturleitfähigkeit

Die Temperaturleitfähigkeit, auch Temperaturleitzahl, ist eine Materialkonstante, die zur Beschreibung der zeitlichen Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur durch Wärmeleitung als Folge eines Temperaturgefälles dient. Sie ist verwandt mit der Wärmeleitfähigkeit

\lambda

, die zur Beschreibung des Energietransportes dient, und ist definiert als :

a =

mit der Dichte

\rho

und der spezifischen Wärmekapazität c_p. Die Temperaturleitfähigkeit hat die Einheit

m^2/s

. Die Temperaturleitfähigkeit beschreibt im Gegensatz zur Wärmeleitfähigkeit nicht nur das stationäre Verhalten bei der Wärmeleitung. Die instationären Effekte, wie sie etwa bei der Weitergabe von Temperaturzyklen durch Tag-, Nachtschwankungen der Außentemperatur zu Wohninnenräumen entstehen, können durch die Wärmeleitfähigkeit allein nicht beschrieben werden. Das räumliche und zeitliche Verhalten der Temperatur T(x,y,z,t) lässt über die fouriersche Differentialgleichung :

\frac\ = a\ \Delta T

berechnen, wobei

\Delta

der Laplace-Operator ist. Der Typ dieser Differentialgleichung beschreibt generell Diffusionsprozesse. Wie warm oder kalt sich ein Körper "anfühlt" wird im ersten Moment durch die Temperaturleitfähigkeit bestimmt; nach einiger Zeit (wenn das Temperaturfeld stationär wird) nur noch durch die Wärmeleitfähigkeit (siehe Tabellen). Siehe auch: Wärmeeindringkoeffizient Kategorie:Thermodynamik Kategorie:Festkörperphysik ja:温度拡散率

Brownsche Molekularbewegung

Als Brownsche Molekularbewegung wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte, thermisch getriebene Eigenbewegung der Moleküle bezeichnet. Weniger bekannt ist, dass bereits 1785 Jan Ingenhousz die Bewegung von Holzkohlestaub auf Alkohol beschrieb. Brown beobachtete unter dem Mikroskop, wie Pollen in einem Wassertropfen unregelmäßig zuckende Bewegungen machten. Die Erklärung dafür liefern die Moleküle des Wassertropfens, die permanent von allen Seiten gegen die größeren, sichtbaren Pollenteilchen stoßen, wie die Physiker Albert Einstein und Marian von Smoluchowski unabhängig voneinander im Jahr 1905 zeigten. Diffusion und Osmose basieren auf dieser Molekularbewegung. Ursprünglich nahm Brown an, dass dies ein Hinweis auf die Lebenskraft sei, die lange Zeit von Wissenschaftlern als existent vermutet wurde, siehe Organische Chemie. Aber den Effekt konnte er schließlich auch an eindeutig unbelebten Staubkörnern beobachten.

Mathematisches Modell

Mathematisch ist eine brownsche Bewegung

B = (B_t)_

ein zentrierter Gauß-Prozess mit Kovarianzfunktion

Cov(B_t,B_s) = \mathop(t,s)

für alle

t,s \geq 0

. Der resultierende stochastische Prozess ist heute zu Ehren von Norbert Wiener, der die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz desselben 1923 bewies, als Wiener-Prozess bekannt. Viele wichtige Details sind im Artikel dort zu finden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine brownsche Bewegung zu konstruieren:
- die abstrakte Konstruktion anhand des Schemas von Kolmogorow, wobei man dann Probleme mit der Pfadstetigkeit bekommt.
- die Lévy-Ciesielski-Konstruktion: hierbei wird die Brown'sche Bewegung mit Hilfe der durch das Haarsystem auf

C([0,1])

induzierten Schauderbasis bereits als stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden konstruiert.
- Seien

Z_3

Z_1

, ... unabhängig, identisch verteilt und standardnormalverteilt

\sim \mathcal (0, 1)

. Dann ist

S(t) = Z_0 t + \sum_^\infty Z_k \frac

eine brownsche Bewegung. Die brownsche Bewegung spielt auch bei der Simulation von Aktienkursverläufen eine Rolle.

Siehe auch

- Brownsche Brücke
- Geometrische brownsche Bewegung
- Diffusionsbegrenztes Wachstum

Weblinks

- [http://schulen.eduhi.at/riedgym/physik/10/waerme/temperatur/brownsche_bewegung.htm Anschauungsmaterial (www.eduhi.at)]
- [http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/adp/historic.html A. Einstein, Annalen der Physik und Chemie, IV. Folge, Band 17, S. 549-560 (1905)]
- [http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/bmotion.pdf E. Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion]
- [http://www.cornelsen.de/physikextra/htdocs/Teilchen1.html Java-Applet zu Brown'schen Molkular-Bewegung] Kategorie:Statistik Kategorie:statistische Physik Kategorie:1827 ja:ブラウン運動

Kategorie:Partielle Differentialgleichungen

Hauptartikel: Partielle Differentialgleichung Kategorie:Differentialgleichungen

Kategorie:Statistische Physik

In diese Kategorie gehören alle Methoden und Anwendungen der statistischen Physik: zum einen die typischen Begriffe zur Gleichgewichtsstatistik (Ensemble, Phasenraum, Boltzmann-Statistik), zum anderen die noch nicht besonders gut ausgebaute Physik der Transport- und Nichtgleichgewichtsprozesse, also Diffusion, Fokker-Planck-Gleichung, u.s.w. Siehe auch die verwandte Kategorie: Stochastik Kategorie:Thermodynamik ja:Category:統計力学 ko:분류:통계역학

St. Louis arch

The Jefferson National Expansion Memorial is located in Saint Louis, Missouri near the start of the Lewis and Clark Expedition. It was designated as a National Memorial by Executive Order 7523, on December 21,1935, and is maintained by the National Park Service (NPS). The park was established to commemorate several historical events:
- the Louisiana Purchase, and the subsequent westward movement of American explorers and pioneers;
- the establishment of the first cathedral and the first civil government west of the Mississippi River;
- the debate over slavery raised by the Dred Scott case. The memorial site consists of a 91-acre (0.36 km²) park along the Mississippi River on the site of the original city of St. Louis; the Old Courthouse, a former state and federal courthouse which saw the origins of the Dred Scott case; the 45,000-square-foot Museum of Westward Expansion; and the Gateway Arch, a steel catenary arch that has become the city's emblem. arch As the park entered the 21st century it is host to four million visitors each year, three-quarters of which enter the Arch and/or the Old Courthouse.

The Gateway Arch

The Arch stands 630 feet (192 m) tall, and is 630 feet (192 m) at its widest point; by ordinance it is the tallest structure in the city. Its legs are equilateral triangles, narrowing from 54 feet (16.5 m) at the base to 17 feet (5.2 m) at the top. Each wall consists of a stainless steel skin covering reinforced concrete from ground level to 300 feet (91 m) or carbon steel and rebar from 300 feet (91 m) to the peak. The interior of the Arch is hollow and contains a unique transport system leading to an observation deck at the top. The interior of the Arch also contains two emergency stairwells in the event of a need to evacuate the Arch or if a problem develops with the tram system.

Visitor center

Underneath the Arch is a visitor center, entered from a descending outdoor ramp starting at either base. With the center is the Museum of Westward Expansion, exhibits on the history of the St. Louis riverfront, and tram loading and unloading areas. Tucker Theater, finished in 1968 and renovated 30 years later, has about 285 seats and shows a documentary (Monument to the Dream) on the Arch's construction. Odyssey Theater was completed in 1993 and has 255 seats. It was the first 70 mm film theater to be located within on NPS grounds and operated by the NPS. It runs films from a rotating play list. Visitors pass through security checkpoints at each entrance to the Arch, before being allowed access to the visitor center. Security was increased as result of a 1997 Congressional mandate to establish a Counter-Terrorism Program at the park. The NPS used the increased funding to purchase magnetometers and x-ray equipment for visitor screening and 25 CCTV cameras scattered throughout the grounds of the memorial.

Tram

CCTV From the visitor center one may move to either base of the Arch and enter a unique tramway much as one would enter an ordinary elevator, through narrow double doors. Passing through the doors the passengers in groups of five enter a horizontal cylindrical compartment containing five seats and a flat floor. Because of the car shape, the compartments have sloped ceilings which are low enough to force taller riders to lean forward while seated (for this reason it's recommended that the tallest of the five passengers in the car sit in the center seat facing the door). Several of these compartments are linked to form a train. These compartments each individually retain an appropriate level by rotating, which allows them to maintain the correct orientation while the entire train follows curved tracks up one leg of the arch. There are two groups of these vertical tramways, one on the north end and the other on the south end of the Arch. The north queue area includes displays which interpret the design and construction of the Gateway Arch; the south queue area includes displays about the St. Louis riverfront during the mid-19th century. Each tram is made up of eight cars. The trip to the top of the Arch takes four minutes, and the trip back down takes three minutes. The car doors have narrow glass panes, allowing passengers to see the interior of the Arch during the trip. The tram is operated by the quasi-governmental Bi-State Development Agency under an agreement with the NPS.

Observation area

Near the top of the arch, a rider will exit the compartment and climb a slight grade to enter the arched observation area. Small windows, almost invisible from the ground, allow views across the Mississippi River and southern Illinois with its prominent Mississippian culture mounds to the east at Cahokia, and the city of Saint Louis and the Great Plains to the west.

Additional photographs

Image:ArchIntRvrFront.JPG|The riverfront area as seen from the observation deck. Image:QuickBirdStLouisClip.jpg|DigitalGlobe Quickbird satellite image. Image:GatewayArchSouthTramEntrances.JPG|Part of the south tramway's entrance doors.

History

In 1947, a group of civic leaders held a national competition to select a design for the main portion of the Memorial space. A young Finnish-American architect named Eero Saarinen won this competition with plans for a 590-foot (180-metre) catenary arch to be placed on the banks of the Mississippi River. However, these plans were modified over the next 15 years, placing the arch on higher ground and adding 40 feet (12 m) in height and width. Saarinen developed the shape with the help of architectural engineer Hannskarl Bandel. It is not a pure inverted catenary. Saarinen preferred a shape that was slightly elongated and thinner towards the top, a shape that produces a subtle soaring effect, and transfers more of the structure's weight downward rather than outward at the base. When Saarinen won the competition, the official notification went to his father, architect Eliel Saarinen, who had also submitted an entry. The family celebrated with a bottle of champagne, and two hours later an embarrassed official called to say the winner was, in fact, the younger Saarinen. The elder Saarinen then broke out a second bottle of champagne to celebrate his son's success. The construction of the Arch began February 12, 1963 and was completed on October 28, 1965, costing less than US$15 million to build. Along with all other historical areas of the National Park Service, the memorial was listed on the National Register of Historic Places on October 15, 1966. Vice President Hubert Humphrey and Secretary of the Interior Stewart Udall dedicated the Arch on May 25, 1968. In 1984, Congress authorized the enlargement of the Memorial to include up to 100 acres on the east bank of the Mississippi River in East St. Louis, Illinois. Funds were authorized to begin land acquisition, but Congress placed a moratorium upon NPS land acquisitions in fiscal year 1998. The moratorium continued into the 21 century, with expansion becoming less likely because of the construction of a riverboat gaming facility and related amenities. In 1999, the Arch tram queue areas were completely renovated at a cost of approximately $2.2 million.

External links

- [http://www.nps.gov/jeff/ Official website], including its [http://data2.itc.nps.gov/parks/jeff/ppdocuments/Strategic%20Plan%20-%202000.doc 2000-2005 Strategic Plan] (in Microsoft Word format)
- [http://www.nationalparksgallery.com/parks/Jefferson-National-Expansion-Memorial Jefferson National Expansion Memorial Pictures]
- [http://www.gatewayarch.com/ Gateway Arch tourism site], run by the Bi-State Development Agency
- [http://www.googleearthhacks.com/dlfile65/St.-Louis-Gateway-Arch---3d.htm 3D model plug-in for Google Earth] Category:Buildings and structures in Missouri Category:Missouri landmarks Category:National Memorials in the United States Category:Saint Louis, Missouri Category:Thomas Jefferson

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