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Théorème

ja:定理
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- catégorie:Raisonnement mathématique Un théorème est un raccourci, un outil mathématique fonctionnant dans un ensemble ou système donné. C'est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique, à partir d'axiomes. Notez que théorème ne signifie pas théorie. Il est démontré (sauf erreur) une fois pour toutes, est ensuite considéré comme vrai, et peut être alors utilisé pour démontrer d'autres propositions. Un théorème a généralement des hypothèses de base — des conditions, qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance. Ensuite il a une conclusion — une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base. La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme un « théorème » n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Exemples de démonstrations

Une démonstration par l'absurde considérée comme l'une des plus belles par Paul Erdös est la démonstration de l'irrationnalité de

\sqrt

. Par l'absurde supposons donc que

\sqrt

soit un rationnel. Il existe deux entiers p et q (strictement positifs) tels que :

\sqrt = \frac p q

. Quitte à simplifier par le P.G.C.D. de p et q, nous pouvons supposer p et q premiers entre eux (la fraction

p/q

est dite irréductible). Nous élevons au carré, les deux membres pour obtenir :

2 =\frac

En multipliant par q² les deux côtés, nous obtenons alors :

\ 2 \cdot q^2 =p^2

Nous en déduisons que 2 divise p²=p×p et d'après le lemme de Gauss puisque 2 est premier, nous en déduisons que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p=2k. Nous obtenons alors en simplifiant par 2 : :

\ q^2 =2 \cdot k^2

Cette égalité montre, d'après le lemme de Gauss, que 2 divise q. On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ, où l'on avait supposé p et q premiers entre eux. c.q.f.d. ---- Dans son ouvrage « Grundlagen der Geometrie » David Hilbert donna une nouvelle forme à la géométrie et en posa ses fondements. Rappelons quelques-uns des axiomes des fondements de la géométrie :
- I, 3 Sur une droite, il y a au moins deux points ; il existe au moins trois points non alignés.
- II, 2 Deux points A et C étant donnés, il existe au moins un point B appartenant à la droite AC et tel que C soit entre A et B.
- II, 3 De trois points d'une droite, il n'y en a pas plus d'un qui se trouve entre les deux autres.
- II, 4 Soient A, B et C trois points non alignés et a une droite du plan ABC qui ne passe par aucun des points A, B et C ; si la droite a passe par l'un des points du segment AB, alors elle passe ou par un point du segment BC ou par un point du segment AC. Démontrons le théorème suivant : Théorème : :Deux points A et C étant donnés, il existe sur la droite AC au moins un point D situé entre A et C Démonstation :
Considérons la droite AC, d'après l'axiome I, 3, il existe au moins un point E extérieur à cette droite AC. D'après l'axiome II, 2, sur la droite AE il existe au moins un point F tel que E soit compris entre A et F autrement dit tel que E soit un point du segment AF. D'après le même axiome, sur la droite FC, il existe au moins un point G tel que C soit sur le segment FG. D'après II, 3, le point G est donc extérieur au segment FC (sinon C et G sont deux points situés entre F etG). D'après l'axiome II, 4 la droite EG coupe forcément le segment AC en un point D. c.q.f.d.

D'autres formes d'assertions

En général, les affirmations mathématiques doivent être suffisamment intéressantes ou importantes pour que nous puissions leur donner le nom de « théorème ». Selon leur importance ou leur utilité les affirmations peuvent prendre des noms différents :
- lemme : une affirmation qui fait partie de la démonstration d'un théorème plus grand ;
- corollaire : une affirmation qui est une conséquence immédiate d'un théorème ou qui est un théorème très simple ;
- proposition : un résultat qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
- remarque : un résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation. Une affirmation mathématique qui semble vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée conjecture. Comme nous l'avons noté au-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes), et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique propositionnelle, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Voir aussi

- Théorème de Baire
- Théorème de Bolzano-Weierstrass
- Théorème de Cantor-Bernstein
- Théorème intégral de Cauchy
- Théorème de Cayley-Hamilton
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Théorème de Dirichlet
- Théorème de Fatou
- Théorème de Fermat
- Théorème de Fubini
- Théorème fondamental de l'arithmétique
- Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
- Théorème d'incomplétude de Gödel
- Théorème de Green
- Théorème de Hahn-Banach
- Théorème de Lagrange
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Ramsey
- Théorème des résidus
- Théorème de Stone-Weierstrass
- Théorème de Stokes
- Théorèmes de Sylow
- Théorème de Taylor
- Théorème de Thalès
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Théorème de Wilson et plus généralement :
- Liste des théorèmes pour une liste de théorèmes célèbres et de conjectures.

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Aedirn

Aedirn to fikcyjne państwo opisane przez Andrzeja Sapkowskiego w sadze o wiedźminie. Aedirn sąsiaduje z Kaedwen, Redanią, Temerią, Mahakamem i Lyrią-Rivią. Od wschodu Aedirn jest ograniczone przez Góry Sine. Wewnątrz państwa leży Dolina Kwiatów - Dol Blathanna - rządzona przez Stokrotkę z Dolin - Enid an Gleanna.
W stolicy Aedirn - Vengerbergu - mieści się siedziba Yennefer.
Pod rządami Demawenda Aedirn zajęło Lyrię i Rivię po Dol Angra, lecz szybko utraciło Północną Marchię na rzecz Henselta z Kaedwen, a ziemie południowe podczas tzw. rozbioru nilfgaardzko-kaedweńskiego.
- Ważniejsze miasta
- Vengerberg
- Hagge
- Aldersberg
- Ban Ard
- Guleta Kategoria:Wiedźmin

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