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Constante D'Apéry

Constante d'Apéry

La constante d'Apéry est la valeur de la fonction Zeta de Riemann en l'entier naturel 3. :

\zeta(3)=\sum_ \frac \simeq 1.2020569

. Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1977 que ce nombre est irrationnel (Théorème d'Apéry). On ne sait toujours pas (2005) si ce nombre est transcendant. Par comparaison, le nombre :

\zeta(2)=\sum_ \frac = \frac

est transcendant. Catégorie:Théorie des nombres

Fonction Zeta de Riemann

catégorie:Théorie des nombres catégorie:Analyse complexe Zeta de Riemann La fonction ζ de Riemann

zeta

est définie en tout nombre complexe s de partie réelle > 1 par :

\zeta(s) =
\sum_^\infin \frac

dans le domaine du plan complexe, cette série est convergente et définit une fonction holomorphe. Bernhard Riemann s'est rendu compte que la fonction ζ peut être prolongée analytiquement (de façon unique) en une fonction holomorphe

\zeta

définie en tous nombres complexes s tels que s ≠ 1. C'est cette fonction qui fait l'objet de l'hypothèse de Riemann. Le lien entre cette fonction et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler :

\zeta(s) = \prod_ \frac

un produit infini étendu à l'ensemble

\mathcal P

des nombres premiers p. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. Les zéros de ζ jouent un rôle important parce que certaines intégrales sur un contour impliquant la fonction

s\mapsto \ln(1/\zeta(s))

peuvent être utilisées pour approcher la fonction du nombre de nombres premiers π (voir théorème des nombres premiers). Ces intégrales sur un contour sont calculées avec le théorème des résidus et par conséquent la connaissance des singularités est requise. La fonction ζ satisfait l'équation suivante : :

\zeta(s) = 2^s\pi^\sin\left(\frac\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

valable pour tout s dans

\mathbb-\\,\!

. Ici, Γ désigne la fonction Gamma. Cette formule est utilisée pour construire le prolongement analytique. En s = 1, la fonction zeta a un pôle simple de résidu 1. Euler était aussi capable de calculer ζ(2k) pour les entiers pairs de la forme 2k en utilisant la formule : :

\zeta(2k) = \frac

où les B_2k sont les nombres de Bernoulli. De là nous voyons que ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450 etc. Nous obtenons les célèbres séries infinies permettant de calculer les puissances paires de π. Pour les nombres impairs, le cas n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1979 que ζ(3) = 1,2020569... est irrationnel (voir constante d'Apéry). On peut exprimer l'inverse de la fonction ζ en utilisant la fonction de Möbius μ comme suit : pour tout nombre complexe s de partie réelle > 1, :

\frac = \sum_^ \frac

Cette formule conjointement avec l'expression de ζ(2) donnée plus haut, peut être utilisée pour prouver que, la probabilité pour que deux nombres entiers pris au hasard soient premiers entre eux, est égale à 6/π², soit environ 60,8 pour cent. ja:ゼータ関数 ko:리만 제타 함수

Roger Apéry

Roger Apéry (Rouen, 14 novembre 1916 – Caen, 18 décembre 1994) était un mathématicien français qui a effectué la plus grande partie de sa carrière à l’université de Caen. Il est mobilisé au début de la Seconde Guerre mondiale et fait prisonnier en juin 1940, puis libéré en octobre 1941. Il soutient en 1947 une thèse en géométrie algébrique sous la direction de Paul Dubreuil. Il est ensuite nommé maître de conférences à Rennes. Il continue sa carrière à Caen, de 1949 à sa retraite en 1986. Il est connu pour avoir créé une surprise mondiale en montrant en 1977 l'irrationnalité de la valeur en 3 de la fonction Zeta de Riemann (Théorème d'Apéry). Ce nombre est parfois appelé depuis la constante d'Apéry.

Lien externe

- [http://peccatte.karefil.com/PhiMathsTextes/AperyFR.htm Biographie complète] Apéry, Roger Apéry, Roger Apéry, Roger Apéry, Roger

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, c'est un réel qui n'est pas rationnel. Il existe deux types d'irrationnels :
- les nombres algébriques, qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels non tous nuls, comme la racine carrée de 2 (voir la démonstration d'irrationnalité), et plus généralement tout nombre

\sqrt

où x un rationnel positif qui n'est pas un quotient de carrés parfaits (notamment, lorsque x est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait).
- les nombres transcendants comme π (pi) et e (nombre exponentiel).

Voir aussi

Théorème d'Apéry

Ce théorème, dû au mathématicien Roger Apéry, stipule que le nombre

\zeta (3)=\frac+\frac+\frac+\frac+\cdots

est irrationnel, où ζ est la fonction Zeta de Riemann. Ce nombre est également appelé constante d'Apéry. Apéry ja:アペリーの定理

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