:: wikimiki.org ::

Entier Naturel

Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512,

2 \times 10^3

... Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse. Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel. Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou

\mathbb

. On note

\mathbb^ -

l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) » ... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent. On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ». Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Comme une quantité ne peut être moindre que un, zéro n'est pas un nombre ! heureusement d'ailleurs, sinon, 1 serait le deuxième nombre !

Quelques pistes à propos du zéro

Les chiffres vont de 1 à 9 et permettent d’écrire les nombres. Qu’en est-il du zéro ? Zéro est-il un chiffre ? Zéro, çifr en arabe, signifie vide. C'est la racine du mot chiffre, elle maintient une vérité fondamentale, l'illusion de tout ce qui est quantifiable. Le zéro métaphysique est le « Non-être » symbolisé par le « vide » dans les traditions orientales. « Avant l'Un, que peux-tu compter ? » demande l'auteur du Sepher Ietsirah. Peut-il y avoir une quantité moindre que zéro ? « Avancer qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres. » (Carnot - Notes sur les quantités négatives) En effet, zéro « représente purement et simplement l'absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable. » (René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal – NRF Gallimard, 1946, p. 97) Force est de constater qu'en mathématique la division par zéro n'a pas de sens ; elle est dite impossible A noter que le concept de nombre nul ainsi que la définition de l'infini comme inverse du zéro apparaissent dans la publication du mathématicien et astronome indien Brahmagupta (628). (Voir Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, R. Laffont, 1994, tome II, p. 460). Leibniz, redécouvrant la nature binaire de la manifestation, remplace le 1 et le 2 par le 0 et le 1 qui sont restés les deux signes utilisés dans le langage des ordinateurs. « Dans son arithmétique binaire, Leibniz voulait voir l'image de la Création. Il imaginait que l'unité représentait Dieu et zéro le néant ; que l'Etre Suprême avait tiré tous les êtres du néant ; de même que l'unité et le zéro expriment tous les nombres dans son système de numération. » (Laplace - Exposition du Système du Monde - Livre V, chap. VI) Ce point de vue amène cette remarque de René Guénon : « Les mathématiciens ayant (...) le tort de regarder le zéro comme une sorte de symbole du néant, comme si le néant pouvait être symbolisé par quoi que ce soit, il semble résulter de là que l'équilibre est l'état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière » (Les Principes du Calcul infinitésimal - Op. cit., p. 106). Les mathématiques n'ont pas cessé pourtant d’abandonner toute base métaphysique. Pascal serait très étonné de nos soi-disant certitudes. Pour lui, il était évident que zéro représentait le rien. N'a-t-il pas écrit : « J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ôte quatre reste zéro » ? (Pensées - Hachette, 1973, p. 30) Depuis, le résultat de cette opération est devenu (-4). Les nombres négatifs sont bien une « création » de l'homme au sens où l'entend Guénon. Qu'en est-il actuellement ? Un mathématicien contemporain écrit, à la page zéro de son livre : « Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. » (François Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris : Herman, 1983, p. 0). Voilà donc un livre dont la première page est la page 0, la deuxième la page 1... L'absence de quantité peut-elle faire nombre ? La logique purement mentale a fini par supplanter l'intelligence métaphysique. Avant l'invention du zéro par les Indiens, on laissait en effet, dans l'écriture d'un nombre, un espace pour indiquer l'absence de quantité. Cela était cause de maintes erreurs : « Des tablettes portant des inscriptions cunéiformes prouvent qu'à cette époque, sous le signe du roi Hammourabi, les mathématiciens de Babylone réalisaient d'étonnantes prouesses de calcul. L'usage du zéro leur était inconnu et un espace symbolisait l'absence de chiffre d'un ordre donné ; cependant, cet espace était souvent oublié, d'où une certaine ambiguïté dans les nombres transcrits. » (Bergmani, Les Mathématiques - Life, 1965, p 16). Al-Khowarizmi écrit : « Nous avons décidé d'exposer la manière de compter des Indiens, à l'aide de IX caractères et de montrer comment, grâce à leur simplicité et leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les nombres. » (Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens) Dans son traité sur les nombres hindous, il a popularisé une sentence qui devint traditionnelle : « Lorsqu'il ne reste rien, faites figurer un petit cercle pour que la place ne demeure pas vide. » L'emploi des dix signes de notre numération est cependant antérieur. Cependant, la numération décimale basée sur le principe de position et sur l'emploi du signe “zéro” était déjà utilisée par le chimiste Abu Musa Gabir ibn Hayyan, qui vivait vers 776, dans son livre Les Poissons. (Voir Georges Ifrah,- Histoire universelle des chiffres , op. cit). Dès le début du VIe siècle les mathématiciens indiens Brahmagupta et Bhâskara révélaient dans leurs œuvres une parfaite maîtrise de la numération décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro dont la découverte remonterait aux IVe-Ve siècles. En Europe, c'est le moine Gerbert, devenu pape sous le nom de Sylvestre II, qui introduisit le zéro dans la numération au Xe siècle. On a peine à imaginer ce que fut l'apport des chiffres indiens. En arabe ancien, comme en hébreu et en grec, on ne distinguait pas les chiffres des lettres et ceux-ci étaient à l'origine des hiéroglyphes. (Voir A. Youschkevitch, Les Mathématiques arabes : XIIe-XIVe s., Paris : A. Vrin, 1976, tome I, p. 165). Ainsi le radical hébreu yd se retrouve aussi bien dans y(o)d, dixième lettre de l'alphabet signifiant « dix », que dans y(a)d signifant « main ». L'emploi du zéro était connu des Mayas qui le représentait par la coquille, liée à la mort, ou par l'escargot. (Voir Girard Raphaël, Le Polpol-Vuh : histoire culturelle des Mayas-Quichés - Paris, 1954, p. 42). Zéro, chez les Babyloniens, « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle”. » (Georges Ifrah, Op. cit., tome I, p. 774). Comme les Babyloniens, les Egyptiens laissaient un espace vide pour mettre en évidence le fait qu'il n'y avait rien. Ceci est symboliquement plus juste, mais beaucoup moins pratique et source de multiples erreurs. Comment représenter le rien par un signe ? La représentation par un petit rond, un cercle, est incorrecte puisque le cercle est engendré à partir du zéro. La ligne droite, courbe ou circulaire, que l'on dit formée de points n'est-elle pas en réalité formée de zéros puisque le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur et n’est donc représentable que par approximation ? Paradoxalement, le vide est plein : chacun sait que « la Nature a horreur du vide ». Au plan métaphysique, la mort à soi-même est vacuité. « Qui atteint à sa vertu primitive s'identifie avec l'origine de l'Univers et par là avec le vide. » (Chuang-Tzu, ch. Ciel-Terre in François Chang- Vide et Plein. Le langage pictural chinois - Paris : Seuil, 1979). Le vide est plein de tous les possibles. « A l'origine, il y a le Rien (wu) ; Le Rien n'a point de nom. Du Rien est né l'Un ; L'Un n'a point de forme. » (Tao Té King) Le Un métaphysique n'est pas le un mathématique. Il en est de même pour le zéro : « le Zéro métaphysique n'est qu'un aspect de l'Infini ; du moins il nous est permis de le considérer comme tel en tant qu'il contient en principe l'unité, et par suite tout le reste. En effet, l'unité primordiale n'est que le Zéro affirmé, ou, en d'autres termes, l'Etre universel, qui est cette unité, n'est que le Non-être affirmé... ». (René Guénon, Les Etats multiples de l'Etre - Véga, Paris, 1980, p. 37-38) L’abandon, au non de la raison et de la logique cartésienne de toute base métaphysique est-elle un progrès pour l’humanité ? A voir les conséquences, il est permis d’en douter. « Science sans conscience n’est que ruine de l’äme » écrivait Montaigne.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.
- 0 est neutre pour l'addition: le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre. :a+0=a :5+0=5 :13+0=13 :4+0=4
- L'addition est commutative: l'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat. :a+b=b+a :5+3=3+5 :8+4=4+8 :17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.
- 1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre. :a × 1 = a :5 × 1 = 5 :13 × 1 = 13 :4 × 1 = 4
- La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat. :a × b = b × a :5 × 3 = 3 × 5 :8 × 4 = 4 × 8 :17 × 2 = 2 × 17
- Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant : :0×n=0 :m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi

- La construction des entiers naturels
- Les nombres premiers
- Les nombres parfaits
- Les nombres quasi-parfaits
- Les nombres semi-parfaits
- Les nombres abondants
- Les nombres superabondants
- Les nombres amicaux
- Les nombres déficients
- Les nombres sociaux
- Les nombres amiables
- Les nombres chanceux
- Les nombres étranges
- Les nombres tordus
- Les nombres harmoniques
- Les nombres triangulaires
- Les nombres hexagonaux
- Les nombres figurés
- Les nombres chromatiques
- Le raisonnement par récurrence
- Les Axiomes de Peano Catégorie:Nombre ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Longueur

ko:길이 ja:長さ La longueur d’un objet représente la distance entre deux de ses extrémités, les plus éloignées possibles. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est souvent celle de l’objet complètement développé. La longueur d'un objet permet d’apprécier sa grandeur. Pour déterminer la longueur d’un objet, nous comparons sa grandeur à celle d’un autre objet pris comme unité. Par exemple, la longueur d’un mur peut être évaluée en mètres et dans ce cas nous déterminons le nombre de fois que nous pouvons placer un mètre étalon le long de ce mur en partant d’une extrémité et sans dépasser l’autre extrémité; et pour avoir une mesure plus précise nous pouvons évaluer la distance restante en la comparant de la même façon à des dixièmes de mètre, et continuer ainsi de suite… Il existe plusieurs unités de longueur : le mètre, le décimètre, le centimètre, le millimètre et décamètre, le kilomètre…Qui font partie du Système international. La longueur d’un objet physique n’est pas une propriété intrinsèque ; celle-ci peut dépendre de la température, du temps… La longueur peut dans certaines situations, représenter une durée, comme dans la longueur des jours, ou dans l’expression « à longueur de journée » qui signifie pendant toute la journée ou encore dans « traîner en longueur » qui veut dire durer trop longtemps. En informatique, la longueur d’un mot écrit dans un alphabet quelconque correspond au nombre de lettres qui composent le mot. De même, la longueur d’une chaîne de caractères correspond au nombre de caractères qui constituent la chaîne.

Mesure d'une longueur

La distance entre deux points se mesure avec une règle droite (une toise) qui peut être graduée
- en sous multiples (décimètre, centimètre, millimètre, micromètre)
- ou multiples (un décamètre, une chaîne d'arpenteur, un compteur kilométrique) En deçà du micromètre (nanomètre, picomètre, femtomètre), on ne peut plus utiliser de méthode visuelle (problème de diffraction, la longueur d'onde de la lumière visible étant de l'ordre de 500 nm). Il faut donc utiliser d'autres rayonnements. La nature fournit des structures pouvant servir d'étalons : atomes, noyaux, particules qui ont des paramètres invariants. Au delà du kilomètre : les mesures se font par la mesure du temps que met la lumière ou plus généralement les ondes électromagnétiques pour parcourir la ligne « droite » qui sépare deux objets : la distance terre soleil est de environ 8 minutes lumière = 480 seconde lumière = 8 × 60 × 1 s × 300 000 km/s. On fait correspondre deux points de l'objet dont on veut mesurer la distance qui les séparent en les faisant coincider avec des points de la règle; bien sûr il faut que l'objet et la règle soient rigides, indéformables. on écrit alors l'égalité : Longueur = mesure × l'unité. exemple: mesurons une page de papier avec une règle formée de 3 décimètres gradués en mm ; la page a pour largeur (l) 21 centimètres et pour longueur (L) 29,7 centimètres (ou 29.7 centimètres selon que l'on représente les nombres avec une virgule ou un point pour positionner le passage des unités aux dixièmes d'unité). On note en résumé : :l = 21 cm = 21 × 1 cm = 21 × 0,01 × 1 m = 0,21 m et :L = 29,7 cm = 29,7 × 1 cm = 29,7 × 0.01 × 1 m = 0,297 m Il est impossible de mesurer l'épaisseur de la feuille avec la même règle ; par contre on peut mesurer l'épaisseur d'une pile de 500 feuilles (une rame) et de constater que 500 × e = 5 cm et d'en déduire que l'épaisseur d'une feuille doit être de un dixième de millimètre. Le mesure des longueurs fait fréquemment intervenir la trigonométrie, avec la technique de triangulation.

Instruments de mesure

- Cale étalon
- Pied à coulisse
- Micromètre
- Jauge de profondeur

Voyez également

- Longueur d’un arc
- Courbe
- L’espace métrique
- Ordres de grandeur
- Conversion des unités Le système métrique international :
- Centimètre
- Mètre
- Kilomètre Le système impérial Grande-Bretagne :
- Unités de mesure anglo-saxonnes
- pouce
- pied
- Yard
- Mille Unités de longueur anciennes :
- Coudée
- Empan
- Canne (unité) Autres unités :
- Mille marin catégorie:Mathématiques Catégorie:Quantité physique

Volume

catégorie:Géométrie Catégorie:Quantité physique En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps,
de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.
Ainsi on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression. En Mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure. Pour les solides simples ( parallélépipède, objets de révolution), il existe une formule mathématique permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques. Par exemple :
- volume d'un parallélépipède rectangle: longueur x largeur x profondeur
- volume d'une sphère :

4 \pi R^3 /3

Exemples : V : Volume B, b : aire de la base

\alpha

: nombre de degrés H : hauteur D, d : diamètre R, r : rayon a : arête c : corde l : largeur
- Cube V = a³
- Parallélépipède V = B x H
- Tétraèdre

V=\begin\endBxh

- Rhomboèdre V = B x H
- Tas de sable

V=\begin\end(l(2a+a')+l'(2a'+a))

- Prisme droit/Prisme oblique V = B x H
- Prisme tronquée V=B[(H+H'+H")/3]
- Pyramide

V=\begin\endBxh

- Pyramide tronquée

V=\begin\end(B+b+sqrtBb)

- Volume d'une sphère : V=

4 \pi R^3 /3

ou V=

\pi D^3 /6

- Segment Sphérique à venir
- Coin à venir
- Secteur sphérique à venir
- Anneau sphérique à venir
- Tonneau à venir
- Cône oblique à venir
- Cône tronqué à venir
- Cylindre tronqué à venir
- Cylindre oblique à venir
- Tore à venir ---- Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommations, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule. ---- En langage bibliographique, le volume désigne une division physique d'un ouvrage, par opposition au tome qui désigne une division intellectuelle. ja:体積 simple:Volume

Masse

La masse d'un objet mesure la quantité de matière qui constitue cet objet. La masse d'un objet est la même quel que soit l'endroit où il se trouve dans l'univers. Il ne faut pas confondre la masse et le poids qui est la mesure de l'interaction de la masse et du champ de gravitation (le poids est une force). L'unité de base de la masse est le kilogramme (kg) et non pas le gramme (g). On utilise également la tonne égale à 1 000 kg et l'unité de masse atomique. Physiquement la notion de masse recouvre deux notions à priori indépendantes:
- la masse inertielle qui caractérise la quantité de mouvement d'un objet en déplacement (la quantité de mouvement globale de l'univers est une quantité qui se conserve).
- la masse grave qui mesure l'influence d'un corps sur le champ gravitationnel. S'il n'y a aucune raison théorique connue pour que ces deux quantités soit dépendantes l'une de l'autre, tous les résultats expérimentaux indiquent qu'elles sont directement proportionnelles. Cette équivalence implique le principe de la chute des corps exposé par Galilée puis Evangelista Torricelli : la vitesse d'un corps en chute libre ne dépend pas de sa masse. À notre échelle cette équivalence semble évidente et elle est démontrée expérimentalement à 10^-12 près. Pourtant certaines théories scientifiques comme la théorie des cordes prédisent qu'elle pourrait cesser d'être vérifiée à des échelles beaucoup plus fines. Dans l'Union européenne, de nombreuses masses (et volumes), sur les produits de consommations, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

Masse et énergie

À l'échelle des atomes, de la matière peut se transformer en onde électromagnétique, et une onde électromagnétique peut se transformer en matière. Plus exactement, des particules élémentaires ayant une masse non nulle (neutrons, protons), peuvent se transformer à la suite d'une collision en particules élémentaires de masse nulle (photons, neutrinos...). C'est le principe des réactions nucléaires, par exemple utilisées pour produire de l'électricité. Dans les accélérateurs de particules, on observe fréquemment ce genre de transformation. À l'inverse, un photon γ, de masse nulle, peut se décomposer après collision sur un atome en une paire électron-positron, ayant une masse. Lors de ces transformations, la loi de la conservation de l'énergie est respectée, la masse peut donc s'exprimer sous la forme d'une énergie : :

E = m \cdot c^2

avec
- E énergie de masse
- m masse
- c vitesse de la lumière dans le vide

Masse corporelle

La masse corporelle est la masse d'un être humain. Dans le langage courant, elle est souvent appelée à tort « poids ». Voir
- indice de masse corporelle (IMC)
- obésité
- sous-nutrition

Mesure de la masse

La mesure de la masse s'appelle le pesage, bien que ce terme provienne du mot « poids ». La seule manière de mesurer directement une masse consiste à la comparer à une autre masse ; c'est le principe des balances. On peut aussi estimer la masse à partir du poids, c'est-à-dire que l'on mesure la force qu'exerce l'objet à peser ; le dispositif est en fait un dynamomètre. C'est le cas le plus courant des pèse-personnes et des balances électroniques. On peut aussi estimer une masse par la perturbation du champ de gravité qu'elle induit. Cette mesure par gravimétrie n'est utilisable que pour les objets extrêment lourds, et est utilisée en géologie pour estimer la taille d'une formation rocheuse, ainsi qu'en archéologie (la gravimétrie a permis de détecter une chambre cachée dans une pyramide). Remarque Ce n'est probablement pas un hasard si le kilogramme étalon du BIPM a la même masse qu'un litre d'eau. Il faut se rappeler que la livre, en France, n'avait pas la même valeur sur tout le territoire : la provençale, la parisienne ou encore la bretonne n'avaient pas tout à fait la même valeur et aujourd'hui encore la livre tout comme le gallon n'ont pas la même valeur aux USA et au Royaume Uni. Beaucoup de marchandises se vendaient par volume, par boisseaux ou encore par barils, soit 18 boisseaux (235 litres) — différent du baril pétrolier qui ne fait que 158,98 litres. La masse d'un électron, d'un atome ou d'une molécule est parfaitement définie ; ceci justifie le fait que le BIPM ait rajouté la notion de quantité de matière qui se mesure en moles sachant que une mole de carbone a une masse de 12 grammes : la mole étant un nombre entier dit nombre d'Avogadro. Les réactions chimiques se font en combinant des atomes entiers : c'est pour cela que nombre d'Avogadro est un nombre entier

Électricité

Dans un circuit électrique, il est fréquent de relier un des deux pôles (généralement le pôle négatif) du circuit à la carcasse de l'objet (voiture, etc.). Grâce à ceci, il suffit d'un fil pour alimenter un consommateur de courant (lampe, etc.), le retour du courant se faisant par la carcasse. On dit que l'objet est mis à la masse. Il arrive que l'interrupteur qui commande, par exemple, une ampoule, ne fasse qu'une simple mise à la masse. Dans ce cas, l'ampoule est bien munie de deux fils et l'interrupteur d'un seul.

Pannes

Une mise à la masse défectueuse est une cause de panne fréquente, car il arrive que la carrosserie soit rouillée au point de contact, ou que les diverses parties de la carcasse communiquent mal entre elles. Lorsque la mise à la masse d'un groupe d'ampoules (bloc feu arrière/clignotant, par exemple) ne se fait pas, chaque ampoule cherche à faire son retour par l'autre ampoule. Dans ce cas, lorsque la voiture freine, cela allume faiblement le feu stop et le clignotant simultanément.

Voir aussi

- masse critique
- Liste des outils catégorie:Mécanique catégorie:Métrologie catégorie:Quantité physique catégorie:Outil ja:質量 ko:질량 ms:Jisim simple:Mass th:มวล

0 (nombre)

: Zéro redirige ici. Cet article est relatif au nombre 0. Pour l'article sur l'année zéro, voyez Année zéro. ---- 0 (zéro) est l'entier naturel précédant 1. C'est un chiffre désignant la valeur nulle.
C'est le cardinal (nombre d'éléments) de l'ensemble vide.

Histoire

Il n’est apparu que trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par les différents peuples et civilisations. La première apparition du zéro semble remonter au à Babylone, il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le système de numération babylonienne). Découvert aussi par les Chinois, qui n’ont pas su en revanche introduire le zéro. Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du , nous apprennent que, dès les - siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades. Il sera également utilisé par les Mayas durant le , mais de même uniquement comme chiffre dans leur système de numérotation de position et non comme nombre. Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari vers le . Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide » « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, traduit par les Arabes en « ṣifr » (Sifr), ce qui signifie « vide » et « grain », est la racine des mots chiffre et zéro. La graphie du zéro, d'abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voute céleste. Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des mathématiciens arabes, notamment ceux d'al-Khwārizmī, vers le . Les chiffres arabes sont importés d'Espagne en Europe chrétienne aux environs de l'an mil par Gerbert d'Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro n'est toutefois pas utilisé, les chiffres arabes servant simplement à marquer les jetons d'abaque de 1 à 9. Ce n'est qu'avec les contacts avec les Arabes dus aux Croisades que les Européens commencent, au , à apprendre l'usage du zéro, en même temps qu'ils ramènent les œuvres des auteurs Arabes et Grecs. Le savant Fibonacci eut une influence déterminante. Il resta plusieurs années en Afrique du Nord et étudia auprès d'un professeur musulman. Il voyagea également en Grèce, en Égypte, et au Moyen-Orient. Il conclut que le système indien était le meilleur. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l'époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque. Il faudra attendre le début du pour que zéro soit pleinement considéré comme un nombre (notamment l'égalité x⁰=1 pour x>0).

Utilisation

Il est aujourd'hui à la base de notre système de mesure de la température :
- 0 °C : température du passage de l'eau de l'état solide (glace) à l'état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa.
- 0 K : zéro absolu, température la plus basse possible (-273,16 °C), pour laquelle l'énergie cinétique des molécules est nulle. Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au . Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite... C'est ainsi que le et le ont commencé le 1 janvier 2001. Minuit peut se noter 00:00. Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation d'éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc) se fait par décalage par rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation de la base 10

Dans la base dix que l'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines... Lorsqu'il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines. Si l'on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi que l'on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ». On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ». L'utilisation d'un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il ne s'agit pas du concept d'« absence de quantité », il s'agit juste d'un artifice de notation. Par exemple, dans la numération romaine, on n'a pas besoin de cet artifice puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un 0 Pop.

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime par la phrase « il n'y en a pas » (ou « plus »). Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité. Lorsque l'on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets semblables, deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l'on manipule le zéro. L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) a :
-

a + 0 = 0 + a = a\,

(0 est élément neutre pour l'addition)
-

a \times 0 = 0 \times a = 0\,

(0 est élément absorbant pour la multiplication)
- si

a \ne 0\,

alors

a^0 = 1\,

0^0\,

n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que

0^0 = 1\,

.
- par convention

0 ! = 1\,

a + (- a) = 0\,

- a/0 = non défini
- 0/0 = non défini, en remarquant toutefois que le calcul dx/dy lorsque les deux valeurs tendent vers zéro, est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques

- Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien ou l'élément neutre pour l'addition dans un anneau.
- Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe).
- En géométrie, la dimension d'un point est 0.
- En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
- En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
- Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
- Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
- Zéro est l'une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier x² ou x²y, la fonction de Möbius retournera zéro.
- C'est le nombre de n×n carrés magiques pour n = 2.
- C'est le nombre de solutions du problème des n-dames pour n = 2 et n=3.

Voir aussi

Articles connexes

- Chiffre arabe
- Nombre
- Mathématiques
- Brahmagupta
- Alphabet morse dans lequel le chiffre 0 vaut « ---- »
- Zéro barré

Liens externes

- [http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/Zero.htm Almanach et dictionnaire des nombres] (site de Gérard Villemin)

Bibliographie

- Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife, éd. Hachette, ISBN 2012791921 Catégorie:Nombre ja:0 ko:0 simple:Zero th:0

Axiomes de Peano

Les axiomes

La définition axiomatique des entiers naturels de Giuseppe Peano est usuellement décrite par les cinq axiomes suivants : # 0 est un entier naturel (donc l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide). # Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n) ou Sn. # Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément). # Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux. # Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à

\mathbb N

(c'est le principe de récurrence). Ces axiomes définissent l'arithmétique de Peano.
On peut aussi les formuler de la façon suivante: # Il existe une injection de

\mathbb N

dans

\mathbb N

notée s et appellée succession # Il existe un entier naturel, noté 0 et appellé zéro qui n'a aucun antécédent par s # Tout sous-ensemble de

\mathbb N

contenant 0 et stable par s (E est stable par s si s(E) $\subset$ E) est égal à

\mathbb N

. Après une formalisation idoine, en vertu du théorème d'incomplétude de Gödel, il est impossible de démontrer la cohérence (ou consistance) de cette arithmétique à l'intérieur d'elle-même. Cela signifie qu'on ne peut pas être certain qu'il est impossible de prouver une contradiction à partir des axiomes de cette arithmétique, ou de trouver une propriété qui soit à la fois vraie et fausse dans cette arithmétique.

Propriété

Il existe un ensemble

\mathbb N

vérifiant les axiomes de Peano. Si

\mathbb N\,'

est un autre ensemble vérifiant les axiomes de Peano, alors

\mathbb N\,'

est isomorphe à

\mathbb N

, c'est-à-dire qu'il existe une bijection

f

\mathbb N\,'

sur

\mathbb N

telle que :
-

f(0) = 0\quad

\forall n, f(s(n)) = s(f(n))

catégorie:Arithmétique catégorie:Logique mathématique Peano ja:ペアノの公理 ko:페아노의 공리

Zéro

Histoire

Utilisation

Le zéro comme notation de la base 10

Le zéro comme absence de quantité

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) a :
-

a + 0 = 0 + a = a\,

(0 est élément neutre pour l'addition)
-

a \times 0 = 0 \times a = 0\,

(0 est élément absorbant pour la multiplication)
- si

a \ne 0\,

alors

a^0 = 1\,

0^0\,

n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que

0^0 = 1\,

.
- par convention

0 ! = 1\,

a + (- a) = 0\,

- a/0 = non défini
- 0/0 = non défini, en remarquant toutefois que le calcul dx/dy lorsque les deux valeurs tendent vers zéro, est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques

Voir aussi

Articles connexes

- Chiffre arabe
- Nombre
- Mathématiques
- Brahmagupta
- Alphabet morse dans lequel le chiffre 0 vaut « ---- »
- Zéro barré

Liens externes

- [http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/Zero.htm Almanach et dictionnaire des nombres] (site de Gérard Villemin)

Bibliographie

- Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife, éd. Hachette, ISBN 2012791921 Catégorie:Nombre ja:0 ko:0 simple:Zero th:0

Addition

ja:総和 simple:Addition catégorie:Arithmétique L'addition est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. L'addition combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes (plus précisément le cumulande et le cumulateur), pour donner un seul nombre, appelé la somme ou le total. Additionner signifie ajouter en comptant. Le signe d'addition est le symbole « + ». Par exemple, on peut lire 2 + 3 = 5 comme « deux plus trois font cinq » (ou égal cinq) ou « deux et trois font cinq ». Pour une définition de l'addition des nombres entiers naturels, voir l'addition dans ℕ.

Définition mathématique

Formellement, l'addition est une loi de composition interne sur un ensemble, notée +. Le plus souvent + désigne une loi commutative. La loi d'addition peut être associative, i.e. : Pour tous éléments x, y, z, (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z Lorsque l'addition est associative, les parenthèses deviennent inutiles ; et quand nous additionnons un nombre fini d'éléments, la façon dont nous regroupons les éléments n'a pas d'importance : nous obtenons toujours le même résultat. Et si de plus l'addition est commutative, l'ordre dans lequel nous plaçons les termes n'a pas d'importance non plus. L'élément neutre pour l'addition est généralement noté 0 et est appelé zéro. Si vous ajoutez 0 à n'importe quel élément, alors vous obtenez cet élément. Quand l'addition est associative, un élément x symétrisable admet un unique symétrique, appelé opposé et se note habituellement -x. : pour tous éléments x et y, y + (-x) se note y-x Ajouter l'opposé d'un nombre à un autre revient à retrancher le nombre à ce dernier. L'opération de soustraction peut se définir à partir de l'addition et de la notion d'opposé d'un nombre.

Les autres notations

Lorsque nous additionnons plusieurs termes donnés individuellement, nous pouvons utiliser +. Ainsi, la somme de 1, 2, et 4 s'écrit 1 + 2 + 4 = 7. Mais si nous considérons n éléments d'un ensemble notés

x_1, x_2, \cdots, x_, x_n

, alors la somme peut être écrite à l'aide de points de suspension pour marquer les termes manquants ou les parenthèses manquantes : :

(\cdots (x_1+ x_2)+ \cdots + x_)+ x_n

ou plus simplement si + est associative :

x_1+ x_2+ \cdots + x_+ x_n

Par exemple, 1 + 2 +... + 99 + 100 désigne la somme des nombres naturels de 1 à 100. Afin d'abréger les formules, les sommes peuvent être écrites à l'aide du symbole sigma (lettre majuscule grecque sigma). Considérons les éléments

x_m, x_, x_, \cdots, x_, x_n

, nous avons : :

\sum_^n x_i = (\cdots((x_m + x_) + x_) + \cdots + x_) + x_n

Et si de plus + est associative nous pouvons supprimer les parenthèses: :

\sum_^n x_i =x_m + x_ + x_ + ... + x_+ x_n

Sous le symbole sigma, nous trouvons une variable muette i et une valeur de début m; au-dessus de sigma n représente la valeur de fin. Pour déterminer la somme, nous donnons successivement à i toutes les valeurs entières de m jusqu'à n et ajoutons au fur et à mesure le terme x_i correspondant. Exemple : :

\sum_^6 i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90

Dans le cas particulier où m = n, la somme précédente est une somme d'un seul terme et est égale à x_m. Si vous n'ajoutez aucun terme, alors la somme est nulle par convention, parce que zéro est l'élément neutre de l'addition. C'est ce que l'on appelle une somme vide. Ce cas dégénéré survient lorsque les valeurs de début et de fin du symbole sigma vérifient m > n. Nous pouvons aussi considérer des sommes infinies de termes ; mais dans le cas des séries une telle somme correspond à une limite et la borne de fin est remplacée par le symbole

\infty

. Cette notion est généralisée par les sommes de familles sommables.

Sommes utiles

Les relations suivantes sont des identités : :

\sum_^n i =

\sum_^n (2i-1) = n^2

\sum_^n i^2 = \frac

\sum_^n i^3 = \left(\right)^2

\sum_^n k.i =

(somme d'une suite arithmétique) :pour x≠ 1,

\sum_^n x^i = \frac

(voir séries géométriques) :

\sum_^ x^i = \frac

\sum_^  = 2^n

(voir coefficient binomial) :

\sum_^  =

\sum_^ \frac=:e^

z\in\mathbb

Sommes de Riemann

\lim_\frac\sum_^f\left(a+\frac \right)=\lim_\frac\sum_^f\left(a+\frac \right)=\int_a^bf(x)dx

Voir aussi

- Séries ~ familles sommables ~ table d'addition ~ Technique de l'addition

1 (nombre)

Catégorie:Nombre : Un redirige ici. Cet article est relatif au nombre 1. Pour l'année, voir 1. ---- 1 (un) est l'entier naturel suivant 0 et précédant 2.
Il représente une entité seule. Un fait quelquefois référence à l'unité, et unitaire est quelquefois utilisé comme un adjectif dans ce sens. (Par exemple, un segment de longueur unitaire est un segment de longueur 1). Le préfixe du système international pour 1000¹ est kilo (k), et pour son inverse milli (m).

Évolution du glyphe

Image:Evolution1glyph.png Le glyphe que nous utilisons aujourd'hui dans le monde occidental pour représenter le nombre 1, une ligne verticale, souvent avec un petit sérif au sommet et quelquefois une petite ligne horizontale à la base, trouve ses racines chez les brahmanes indous. Ceux-ci écrivaient 1 sous forme d'une ligne horizontale (en Chine aujourd'hui, c'est la manière dont il est écrit). Les Gupta l'écrivait comme une ligne incurvée, et les Nagari quelquefois ajoutaient un petit cercle sur la gauche (tourné d'un quart de tour vers la droite, ceci ressemble au 9 puis devint l'écriture actuelle dans les écrits du Goujerat et du Panjâb). Les Népalais les tournaient aussi vers la droite, mais gardaient le petit cercle. Ceci devint finalement le sérif du sommet dans l'écriture moderne, mais la petite ligne horizontale occasionnelle a probablement comme origine la ressemblance avec l'écriture romaine I.

En mathématiques

Pour tout nombre x : :

x \times 1 = 1 \times x = x\,

(Ceci exprime le fait que 1 est l'élément neutre pour la multiplication). Comme conséquence de ceci, 1 est un nombre automorphe dans tout système de numération de base quelconque. :

\frac = x\,

(voir division) :

x^1 = x\,

1^x = 1\,

, et pour

x\ne 0

x^0 = 1\,

(voir exponentiation) :

x \uparrow\uparrow 1 = x

1 \uparrow\uparrow x = 1

(voir puissances itérées de Knuth). En utilisant l'addition ordinaire, nous avons 1 + 1 = 2 ; dépendant de l'interprétation du symbole « + » et du système de numération utilisé, l'expression peut avoir beaucoup de sens différents. Un ne peut pas être utilisé comme base d'un système de numération positionnel de manière ordinaire. Quelquefois les marques de correspondance sont assimilées à la « base 1 » ou système unaire, puisque seulement une marque (souvent un bâton) est nécessaire, mais cela ne marche pas de la même façon que le système de numération positionnel. En liaison avec ceci, nous ne pouvons pas prendre de logarithmes avec une base 1, puisque la « fonction exponentielle » de base 1 est la fonction constante 1. Dans la représentation de Von Neumann des nombres naturels, 1 est défini comme l'ensemble . Cet ensemble possède une cardinalité 1 et un rang héréditaire 1. Les ensembles comme ceci avec un élément unique sont appelés singletons. Dans un groupe multiplicatif ou monoïde, l'élément neutre est quelquefois noté « 1 », mais « e » (issu de l'allemand Einigkeit, unité) est plus traditionnel. Néanmoins, « 1 » est spécialement dédié pour l'identité multiplicative d'un anneau. (Notons que cette identité multiplicative est souvent appelée « unité ».) Un est sa propre factorielle, et son propre carré et son propre cube (et ainsi de suite, comme 1 × 1 × ... × 1 = 1). En conséquence du fait qu'il soit sont propre carré, un est aussi un nombre de Kaprekar. Un est le premier nombre figuré de chaque sorte, telle que les nombres triangulaires, nombres pentagonaux, nombres tétraédrique et les nombres hexagonaux centrés pour en nommer simplement un peu. C'est aussi le premier et le deuxième nombre dans les suites de Fibonacci, et le premier nombre de beaucoup de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier Livre de suites entières de Sloane ajoutait un 1 initial à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces 1 initiaux dans leurs ordre lexicographique. Plus tard, Sloane dans son Encyclopédie des suites entières et sa contrepartie Web, lEncyclopédie électronique des suites entières, ignora ces 1 initiaux dans leur ordre lexicographique des suites, car de tels 1 initiaux correspondent aux cas triviaux. Un est le produit vide. Un est un nombre en division harmonique. Un est le plus souvent utilisé pour représenter la 'vérité' comme donnée booléenne en informatique. Un n'est pas actuellement considéré comme un nombre premier, bien qu'il soit utilisé en tant que tel, et il le serait en prenant la définition simple de la primalité : que le nombre soit divisible seulement par un et lui-même - un est certainement lui-même. Néanmoins, pour les usages de la factorisation et précisemment pour le théorème fondamental de l'arithmétique, il est plus pratique de ne pas voir un comme un facteur premier, ou de le voir comme un facteur implicite qui existe toujours mais qui est non-écrit. Pour exclure le nombre un de la liste des nombres premiers, la primalité est définie comme un nombre ayant exactement deux diviseurs distincts, un et lui-même, lui-même étant un nombre autre que un. Le dernier mathématicien professionnel à publier 1 en tant que nombre premier était Henri Lebesgue en 1899, bien que Carl Sagan incluait un dans une liste de nombres premiers dans son livre Contact en 1985. Un est une des trois valeurs possibles retournées par la fonction de Möbius. En entrant un entier qui est sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne un. Un est le seul nombre impair qui est dans l'intervalle de la fonction indicatrice d'Euler $\varphi(x)\,$ , dans les cas où x = 1 et x = 2. Un est le seul nombre parfait d'ordre 1 (voir nombre parfait multiple). Un est égal à la somme de ses chiffres dans tout système de numération de base différente, c'est un nombre Harshad complet. Un est le nombre de n × n carrés magiques pour n = 1, 3. Un est le nombre de solutions du problème des n-dames pour n = 1. Un est un nombre méandrique, un nombre semi-méandrique, et un nombre méandrique ouvert. Par définition, 1 est la magnitude ou la valeur absolue d'un vecteur unité et de la matrice unité. Un est la valeur de $\sin(\frac)\,$ et de $\cos(0)\,$ , lorsque l'angle est mesuré en radians. Un est 0,999999... Voir aussi -1.
Dans la société humaine
Beaucoup de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Beaucoup de religions considèrent Dieu comme l'exemple parfait d'unicité.
Origine du « UN »
UN exprime le premier des nombres. Sa graphie en chiffre, 1, marque l'énergie ascendante qui redescend verticalement. Dans l'absolu Un a été en quelque sorte divinisé. « Dieu, c'est Un, le Nombre des Nombres » affirme Hiérocles, disciple de Pythagore. De ce point de vue, dans le Principe, il n'est ni pair, ni impair, ni masculin, ni féminin, il est sans qualificatif. Il est cause de Tout. « L'activité absolue est Unique, elle est “Cause causale”, nullement “cause cosmique”, elle est l'Unité et non encore l'Unité ternaire » (Schwalier deLubicz, Propos sur l'Esotérisme et le Symbole), l'Unité ternaire étant inhérente à la manifestation. Amadou-Hampaté Bâ rapporte que chez les Peuls, « le “un” n'est pas considéré comme un nombre, mais est l'unité inconnaissable et indéterminée. » (Amadou-Hampaté BÂ, L'Eclat de la Grande Etoile). Dans le relatif, il en va tout autrement ; 1 est masculin, phallique. Le trait plein, yang, du Yi King, lorsqu'il est mutable, engendre le trait yin séparé en deux tirets, le deux. UN n'engendre pas seulement le deux mais tous les nombres par sa propre répétition. Il se divise lui-même sans se diviser. Il n'est multiple d'aucun autre mais il est le diviseur de tous. Il divise tout nombre et, pourtant, il ne divise pas puisque le résultat de la division d'un nombre par un est ce nombre lui-même. Un est aussi important pour les nombres que le mot Dieu qui supporte tous les autres mots. Le philosophe Emerson pressent cette unité lorsqu'il écrit, non pas à propos des nombres mais à propos des mots : « On dirait qu'une seule personne est l'auteur de tous les livres qui existent dans le monde ; il y a en eux une unité si fondamentale qu'on ne peut nier qu'ils soient l'œuvre d'un seul homme omniscient. » Ainsi les mots, comme les nombres, nous ramènent-ils à l'Unité, au divin. De ce point de vue, le 1 supporte tous les autres nombres. Tous ne sont en fait qu'un. « Ex Uno non fit nisi Unum » « De l'Un ne peut procéder que le Un » écrit Leibniz. La conscience de cette vérité est ancienne. Au premier siècle avant Jésus-Christ, le grec Cornélius Agrippa énonçait : « Le nombre n'est que la répétition de l'Unité. L'unité pénètre le plus simplement tous les nombres, et étant la mesure commune de tous les nombres, leur source et leur origine, elle les contient tous étant joints uniquement, demeurant incapable de multitude, toujours la même et sans changement : c'est ce qui fait qu'étant multipliée, elle ne produit rien qu'elle-même. Un est le principe de toutes choses et toutes vont jusqu'à un, et après lui il n'y a rien (...) Un se rapporte donc à Dieu qui, étant un et innombrable, crée cependant quantité de choses et les contient dans soi. » Chaque partie du tout est comparable à un hologramme brisé en morceaux dans laquelle il est possible de voir apparaître l'objet entier, tout point de la plaque photosensible contenant tous les points de l'objet. La division de l'Unité, son fractionnement (1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc.), tend vers le zéro mathématique, mais « les fractions ne peuvent être des “ parties de l'unité”, comme on le dit, car l'unité arithmétique véritable est nécessairement indivisible et sans parties ; et c'est d'ailleurs de là que résulte la discontinuité essentielle du nombre qui est formé à partir d'elle » (Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal). L'Unité ne s'oppose qu'en apparence à la diversité nous dit Pascal dans l’une de ses Pensées : « Tout l'univers est contenu dans l'Unité ». Pourtant, l'Unité est-elle concevable en soi ? Dès qu'il y a une chose créée, il y a cette chose et celui qui la regarde. Le binaire ne peut connaître l'Unité, seule l'Unité peut connaître ce qui est issue d'elle. C'est pourquoi il est souvent question de la bi-unité divine ou du multiple-un. Le Créateur, Dieu, est chanté par le poète persan : « Son unité est une essence par laquelle [existe] toute multiplicité, et Lui-même constitue la cause par laquelle existent toutes les causes » (Marquet Yves - Poésie ésotérique ismaïlienne : la Ta'iyya de 'Amir al-Basrî - Paris : Maisonneuve et Larose, 1985, v. 52, p. 50). Dans l'ancienne Egypte, l'une des épithètes d'Amon, Dieu créateur anthropomorphe, « roi des Dieux », est « Un qui se fait millions ». La convergence est grande entre les diverses traditions puisque saint Thomas d'Aquin dit : « Mesure la multitude par l'unité. » Cette vérité est aujourd'hui comme toujours réaffirmée, que cela vise une multitude apparemment extérieure à l'homme ou la multitude des facettes intérieures de nous-mêmes : « Dans la multitude vois l'Unité, dans l'Unité vois le multiple contenu en puissance et puis résorbe par la Conscience toute consciente » (Emmanuel-Yves MONIN - Le Son du Désert). Le multiple naît de l'Un pour retourner à l'Un. Empédocle affirmait déjà : « A un moment, l'Un se forma du Multiple, en un autre moment il se divisa et de l'Un sortit le Multiple. » Et Teilhard de Chardin, dans sa vision de l'unité en gestation dans le bouillonnement du multiple, émet la même hypothèse : « Tout se passe comme si l'Un se formait par unification successive du Multiple et comme s'il était d'autant plus parfait qu'il centralise sous lui plus parfaitement un plus vaste Multiple » (Mon Univers). Dieu est l'Alpha et l'Omega. Omar Khayyâm de dire dans l’un de ses Quatrains : « J'ai prononcé la première lettre de l'alphabet et mon cœur m'a dit : “Maintenant, je sais. Un est le premier chiffre du Nombre qui ne finit pas.” » Dans cette Création sans cesse renouvelée, que sommes-nous ? A cette question il est répondu : « vous êtes le Multiple de Dieu qui s'est créé par l'Unité de Dieu. » (Karuna - Les Sons de Dieu). Voir monade pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités. Un représente l'unité, l'union, et l'absence de séparation ou de discrimination, c-à-d « Nous sommes tous un. » Quelque chose est unique si c'est la seule chose de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (spécialement en publicité), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial. Un est l'article indéfini masculin singulier ; le féminin est une. Un est aussi l'expression de la troisième personne du singulier pour la distinguer d'un groupe (« L'un de vous prendra-t-il un café ?) ».
En sciences
Un est :

- posé comme égal à la constante physique (c), la vitesse de la lumière, dans la notation d'Heaviside pour simplifier les calculs.
- le facteur dans les rapports pour les conversions d'unités.
- le rapport total de densité pour un univers plat.
- le numéro atomique de l'hydrogène.
Dans d'autres domaines
Un est :

- Le nom d'une compagnie de train de l'East Anglia en Angleterre.
- Le titre des chansons de Metallica, U2, Creed, Marvin Hamlisch (dans la comédie musicale A Chorus Line), Alanis Morissette, Harry Nilsson, Three Dog Night, et les Bee Gees.
- La dénomination du billet de 1 dollar US où figure le portrait de George Washington, et la dénomination de la pièce de 1 dollar US où figure le portrait de Sacagawea.
- La dénomination de la pièce de 1 cent de dollar US où figure le portrait d'Abraham Lincoln.
- Le nombre de la première pièce d'euros.
- L'indicatif téléphonique international vers les pays participant au plan de numération nord-américain, tels que les États-Unis et le Canada.
- Le n° de la zone DVD des États-Unis et du Canada.
- La plus haute position universelle sur la plupart des listes et classements.
- Une partie du surnom de la 1^ère division d'infanterie des forces armées des États-Unis, « The Big Red One ».
- Dans les pays anglo-saxons, la phrase « number 1 » est un euphémisme pour aller uriner (dérivé à partir de la pratique d'école élémentaire traditionnelle aux États-Unis de lever un ou deux doigts pour indiquer le temps approximatif de l'absence requise).
- Le mot Un (avec une majuscule) est un euphémisme pour Dieu (voir aussi Unicité).
- « ONE » est un acronyme qui fait référence à « ONE North East », l'agence de développement régional dans le nord-est de l'Angleterre.
- Le numéro de la maison de Number One Observatory Circle, la résidence du vice-président des États-Unis d'Amérique.
- Comme pour Air Force One, un est le signe d'appel de n'importe quel appareil de l'United States Air Force transportant le président des États-Unis d'Amérique.
- Au baseball, un représente la position du lanceur.
- Le nombre de sourates al-Fatiha dans le Coran.
- En musique :
- le chiffre romain I représente le degré de la gamme nommé tonique, lorsqu'il est distingué I = majeur, i = mineur.
- Le premier mode est appelé ionien.
- La première note d'un accord est appelée la fondamentale.
- Un (groupe) est un groupe de musique du Québec.
- La première dans le système scolaire français est la deuxième classe du lycée.
- Le nombre de dieux qui existent, en accord avec le monothéisme (voir aussi : tawhid)
- En France, le nombre d'années de mariage des noces de coton.
- Dans les pays anglo-saxons et en Allemagne, le nombre d'années de mariage des noces de papier.
- La première planète du système solaire s'appelle Mercure.
- Années historiques : -1, 1, ou l'année 1 dans un siècle.
- Le n° du département français d'Ain.
- Le numéro de l'autoroute française A1 qui part de Paris pour atteindre Lille (appelée l' « autoroute du Nord »).
Voir aussi

Articles connexes

- Alphabet Morse dans lequel le chiffre 1 vaut «
- ---- »
- Combinaisons de paires chiffre et lettre commençant par 1 :
- 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h 1i 1j</