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Géométrie Algébrique

Géométrie algébrique

ko:대수기하학 ja:代数幾何学
- La géométrie algébrique est l'étude des variétés définies par des équations polynomiales.

Histoire

Cette partie de la géométrie existe depuis plus d'un siècle. Son début fut initié par l'école italienne de la fin du (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segrè...). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de points voisins et points proches afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bezout. Voir aussi les travaux de Max Noether en Allemagne. Après 1930, l'école américaine (Zariski, Mumford...) et française (Weil, Samuel, Chevalley, Serre...) développèrent sous une forme plus algébrique l'études des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux. Dans les années 1950 elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion d'Alexandre Grothendieck. Elle est devenue l'étude des schémas, les variétés apparaissant comme des schémas vérifiant des hypothèses supplémentaires.

Applications

- géométrie
- théorie des nombres

Allemagne

L'Allemagne (nom officiel en français : République fédérale d'Allemagne) est un pays d'Europe, membre du Conseil de l'Europe (1951), de l'OCDE, de l'Union de l'Europe Occidentale (1954), de l'OTAN (1955), de l'Union européenne (1958), de l'ONU (1973), de l'OSCE et de la zone euro.

Histoire

Article détaillé : Histoire de l'Allemagne Même si l'allemand et le sentiment national germanique datent de plusieurs siècles, le territoire connu maintenant comme l'Allemagne ne fut créé qu'en 1871, lorsque la Confédération de l'Allemagne du Nord, alors dominée par la Prusse, et les États du sud (le grand-duché de Bade, les royaumes de Wurttemberg et Bavière) devinrent l'Empire allemand. L'Allemagne, qui était devenue une des puissances politiques majeures en Europe s'engagea dans la Première Guerre mondiale aux côtés de l'Autriche-Hongrie (1914) et envahit la France. Après les premiers assauts, la guerre s'orienta vers une longue et lente guerre de position dans les tranchées, meurtrière d'un côté comme de l'autre. Elle prit fin en 1918, et l'empereur allemand, le Kaiser dut abdiquer en raison de la révolution allemande. Lors du traité de Versailles, l'Allemagne fut jugée responsable de la guerre. Le pangermanisme dévoyé en un nationalisme raciste, le ressentiment contre les conditions du traité de Versailles et les conséquences particulièrement dures de la crise économique mondiale de 1929 permirent au NSDAP (parti nazi) d'Adolf Hitler d'accéder au pouvoir en 1933. Aussitôt, Hitler élimina toute opposition et prit le contrôle absolu de l'État allemand. En 1935, l'Allemagne devint officiellement antisémite en promulguant les lois de Nuremberg. La politique d'Hitler consistant à annexer ou envahir ses voisins finit par provoquer la Seconde Guerre mondiale le 1 septembre 1939. L'Allemagne domina le début du conflit. Elle conquit une grande partie de l'Europe, de l'URSS, de l'Afrique du Nord. Mais en 1942-1943, la guerre tourna au profit des pays alliés : le Royaume-Uni, les États-Unis, l'URSS qui écrasèrent finalement les armées de l'Axe, envahissant notamment Berlin. Le 30 avril 1945, Hitler se suicida. 1945 Dévastée par la guerre, l'Allemagne et Berlin furent divisés en quatre secteurs, chacun étant contrôlé par une des nations vainqueurs (y compris la France). L'Allemagne fut finalement divisée en deux parties durant toute la guerre froide : la RFA (République fédérale d'Allemagne) à l'ouest et la RDA (République démocratique allemande) à l'est. Les territoires plus à l'est furent intégrés à la Pologne et à l'URSS. L'Allemagne de l'Ouest retrouva la croissance économique bien plus vite que l'Allemagne de l'Est. À la chute du mur de Berlin, symbole de la réunification de l'Allemagne, en novembre 1989, les deux pays ne possédaient pas du tout le même niveau économique. Cette différence se ressent aujourd'hui encore et l'Est reste plus pauvre que l'Ouest. Le coût de la réunification a entraîné d'importantes difficultés économiques pour le pays depuis les années 1990. Son unification a cependant permis d'en faire une nation politiquement incontournable au sein de l'Union européenne.

Géographie

Union européenne Article détaillé : Géographie de l'Allemagne Superficie : 357 005 km²
Frontières terrestres : 3 618 km (Autriche 784 km ; Tchéquie 646 km ; Pays-Bas 577 km ; Pologne 456 km ; France 451 km; Suisse 334 km ; Belgique 167 km ; Luxembourg 135 km ; Danemark 68 km)
Littoral : 2 389 km
Extrémités d'altitude : - 2 m > 2 962 m (la Zugspitze) Voir aussi:
- Liste des îles d'Allemagne
- Villes d'Allemagne

Économie

Article détaillé : Économie de l'Allemagne L'Allemagne enregistre le plus grand PIB de l'Union européenne. La Commission européenne lui a reproché à plusieurs reprises le dépassement des 3 % de déficit autorisé par le Traité de Maastricht. Le taux de chômage est de 11.5 % en novembre 2005 (11 % janvier 2004, 12.1 % en janvier 2005) et le nombre de chômeurs s'élève à plus de 5 millions. Avant la mise en place de l'euro le 1er janvier 1999, l'unité monétaire allemande était le Deutsche Mark.

Démographie

Deutsche Mark Article détaillé : Démographie de l'Allemagne Le pays une fois réuni est devenu démographiquement la nation la plus importante de l'Union européenne. Cependant, sa population vieillit et décroît naturellement, et seule l'immigration empêche une baisse de la population. Population : 83 029 536 habitants (en 2001). 0-14 ans : 15,57 % ; 15-64 ans : 67,82 %; + 65 ans : 16,61 %
Densité : 232 hab./km²
Espérance de vie des hommes : 75 ans (en 2000)
Espérance de vie des femmes : 81,1 ans (en 2000)
Taux de croissance de la pop. : 2,7 ‰ (en 1997)
Taux de natalité : 9,16 ‰ (en 1997)
Taux de mortalité : 10,42 ‰ (en 1997)
Taux de mortalité infantile : 4,71 ‰ (en 2001)
Taux de fécondité : 1,4 enfants/femme (en 2001)
Taux de migration : 4 ‰ (en 2001)
Personnes d'origine musulmane : 3,2 millions dont 2,5 millions sont turcs (2004)

Culture

Article détaillé : Culture de l'Allemagne L'Allemagne est la terre natale de compositeurs tels Beethoven, Bach, Brahms, Schumann, Wagner ou Carl Orff; de poètes tels Goethe, Schiller et Heine ; de philosophes tels Kant, Hegel, Karl Marx et Nietzsche, théologiens tels Luther et Bonhoeffer, d'écrivains tels Hermann Hesse, Thomas Mann et Grass ; de scientifiques tels Einstein, Born, Planck, Heisenberg, Hertz et Bunsen; et d'ingénieurs tels Otto, Daimler, Benz, Diesel et Linde.
- Langues régionales d'Allemagne
- Fêtes et jours fériés d'Allemagne
- Hymne national : Das Lied der Deutschen Les grandes organisations du culte en Allemagne sont la Evangelische Kirche in Deutschland et l'Église catholique romaine. La troisième organistion du culte est l'église orthodoxe grecque. L'église orthodoxe serbe est la sixième organisation du culte en Allemagne. La quatrième organisation du culte en Allemagne est l'Église apostolique arménienne. Plus connus sont les Témoins de Jéhovah, qui sont en 5 place.
- Liens vers des statistiques sur les religions en Allemagne: [http://www.remid.de]

Divers

Lignes de téléphone : 150,2 millions (en 1997)
Téléphones portables : 65 millions (en 2005)
Postes de radio : 77,8 millions (en 1997)
Postes de télévision : 51,4 millions (en 1998)
Utilisateurs d'Internet : 25 millions (en 2005)
Nombre de fournisseurs d'accès Internet : 123 (en 2000)
Routes : 656 140 km (dont 650 891 km goudronnés) (en 1998)
Voies ferrées : 40 826 km (en 1998)
Voies navigables : 7 500 km
Nombre d'aéroports : 613 (dont 322 avec des pistes goudronnées) (en 2000)

Voir aussi

Articles connexes

- Liste des noms français de toponymes allemands
- Gouvernement Angela Merkel(2)
- Liste d'Allemands célèbres
- Liste des quotidiens allemands
- Luftwaffe (Aviation militaire allemande)
- La naissance du nationalisme allemand en Prusse au début du XIXème siècle

Liens externes

- [http://lallemagneexpliquee.free.fr/ L'Allemagne expliquée : un site qui explique l'Allemagne, sa culture, ses traditions et les coutumes aux français]
- [http://www.bund.de/ Portail de l'administration allemande]
- [http://www.backinjob.de Travail en Allemagne]
- [http://www.amb-allemagne.fr/ Ambassade d'Allemagne en France]
- [http://www.deutschland.de/home.php?lang=3 Portail officiel culturel (en français)]
- [http://www.stadtpanoramen.de/ Des villes en images panoramiques]
- [http://fr.jurispedia.org/index.php/Allemagne Le droit allemand sur Jurispedia]
- [http://dw-world.de/ Deutsche Welle]
- [http://www.campus-germany.de/french Études et recherche en Allemagne]
- [http://www.dwellan.biz/documents/tourisme-en-allemagne.html Le tourisme en Allemagne]
- , [http://katalogdeutsch.net Katalog Deutsch] Annuaire de ressources pour l'Allemagne et la langue allemande]
- als:Deutschland fiu-vro:S'aksamaa ja:ドイツ ko:독일 ms:Jerman roa-rup:Ghirmânii simple:Germany th:สหพันธ์สาธารณรัฐเยอรมนี zh-min-nan:Tek-kok

Oscar Zariski

Oscar Zariski fut un des mathématiciens les plus influents dans le domaine de la géométrie algébrique au . Il est né sous le nom de Ascher Zaritsky le 24 avril 1899, à Kobrin (aujourd'hui en Biélorussie, à l'époque en Russie). Il est mort le 4 juillet 1986 à Brookline, dans le Massachusetts. Il fut un étudiant de l'université de Kiev en 1918, poursuivant ensuite ses études à Rome en 1920. Il est devenu un disciple de l'école italienne de géométrie algébrique, étudiant avec Guido Castelnuovo, Federigo Enriques et Francesco Severi. Il a soutenu son doctorat en 1924, sur la théorie de Galois. C'est lors de sa publication qu'il a accepté une suggestion de changer son nom pour des raisons professionnelles. Il a émigré aux États-Unis en 1927, avec le soutien de Solomon Lefschetz. Il a eu un travail à l'université Johns Hopkins, où il est devenu professeur en 1937. Durant cette période, il a écrit un livre célèbre sur les surfaces algébriques, prévu initialement comme un bilan du travail de l'école italienne, mais devenu de fait son chant du cygne. Ce livre a été publié en 1935. Il a été révisé longtemps après, avec de nombreuses notes montrant combien la géométrie algébrique avait changée depuis, non seulement dans ses fondations mais aussi dans ses objectifs. Il semble que ce travail soit à l'origine de l'insatisfaction de Zariski vis-a-vis de l'approche italienne de la géométrie birationelle. Le problème était une rigueur insuffisante et la solution était l'usage de l'algèbre commutative. La topologie de Zariski (nommée ainsi aujourd'hui), est adaptée à la géométrie birégulière, où les variétés sont liées par des applications polynômiales. Cette théorie est trop limitée pour les surfaces algébriques, et même pour les courbes avec des points singuliers. Une application rationnelle est à une application polynômiale ce qu'une fonction rationnelle est à un polynôme. En termes géométriques, on doit considérer des fonctions définies sur un sous-ensemble ouvert et dense d'une variété donnée. La description du comportement sur le complémentaire peut exiger des points infiniment proches pour expliquer le comportement limite le long de différentes directions. Ceci nécessite, dans le cas des surfaces, d'employer également la théorie des valuations pour décrire des phénomènes tels que les éclatements. Zariski est devenu professeur à l'université de Harvard en 1947 et a pris sa retraite en 1969. En 1945, il a discuté fructueusement des fondations de la géométrie algébrique avec André Weil. Weil était intéressé à établir une théorie abstraite des variétés, pour expliquer l'utilisation de la variété jacobienne dans sa preuve de l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis, une direction plutôt transverse aux intérêts de Zariski. À Harvard, parmi les étudiants de Zariski, on peut noter Shreeram Abhyankar, Heisuke Hironaka, David Mumford et Michael Artin dont les intérêts vont de la théorie des singularités à la cohomologie en passant par la théorie des espaces de modules. Zariski lui-même a travaillé sur la théorie de l'equisingularité. Une partie de ses résultats principaux, le théorème principal de Zariski et le théorème de Zariski sur les fonctions holomorphes, font partie des résultats généralisés et inclus dans les fondations modernes de la géométrie algébrique dues à Alexander Grothendieck. Il a reçu le prix Steele et le prix Wolf en 1981. Il a écrit également un livre sur l'algèbre commutative en deux volumes, avec Pierre Samuel. Ses articles ont été édités par les presses du MIT en quatre volumes. Zariski, Oscar Zariski, Oscar Zariski, Oscar

David Mumford

David Bryant Mumford (né le 11 juin 1937) est un mathématicien étasunien connu pour son travail en géométrie algébrique puis pour sa recherche en théorie de la vision. Il est actuellement professeur dans la division de Mathématiques appliquées de l'Université Brown, après une longue carrière académique à Harvard. Il est né à Worth, dans le Sussex en Angleterre, d'un père anglais et d'une mère étasunienne. A Harvard, Mumford a été un étudiant de Oscar Zariski, et son œuvre en géometrie algébrique combine la vision géometrique traditionnelle avec les dernières techniques algébriques. Il a publié sur les espaces de module avec un bilan de la théorie dans son livre Geometric Invariant Theory, sur les équations des variétés abéliennes et sur les surfaces algébriques. Ses livres Abelian Varieties (avec C. P. Ramanujam) et Curves on an Algebraic Surface utilisent à la fois les théories anciennes et nouvelles. Ses notes de cours sur la théorie des schémas ont circulé pendant des années avant de paraître dans The Red Book of Varieties and Schemes. Un autre travail pas complètement rédigé est formé par des cours donnés sur les quadriques et une étude des nombreux articles écrits par Shimura dans les années 60. La recherche de Mumford a fait beaucoup pour relancer l'étude classique des fonctions theta, en en exhibant les aspects algébriques. Il a publié d'autres livres sur ce sujet, dont la série des Tata lectures on Theta. Il a aussi un des fondateurs de la théorie des variétés toriques et toroïdales, et a cherché à appliquer les méthodes aux bases de Gröbner. Il a reçu la médaille Fields en 1974 pour son travail en géometrie algébrique. Durant les années 80, il a quitté ce domaine pour s'investir dans les recherches sur la vision et la reconnaissance des formes par le cerveau.

Voir aussi

- conjecture de Mumford
- groupe de Mumford-Tate

Lien externe

- [http://www.dam.brown.edu/people/mumford/ Page personnelle à Brown] Mumford, David Mumford, David ja:デヴィッド・マンフォード

Claude Chevalley

Claude Chevalley (11 février 1909 - 28 juin 1984) était un mathématicien français spécialiste de l'algèbre. Il est né à Johannesburg et mort à Paris. Il a été un des membres fondateurs du groupe Bourbaki. Il est le père de la philosophe Catherine Chevalley. Après ses études à l'École Normale Supérieure, il travaille sous la direction de Emil Artin à Hamburg à partir de 1931, puis avec Helmut Hasse. Un de ses résultats était une étape technique dans le développement de la théorie du corps de classe, qui permettait de remplacer l'utilisation des fonctions L par une méthode purement algébrique. Chevalley a aussi écrit un traité en trois volumes sur les groupes de Lie dans les années 1950. Quelque années plus tard, il publie ses recherches sur ce qu'on appelle aujourd'hui les groupes de Chevalley, une de ses contributions majeures. Un discussion fine des conditions d'intégralité dans les algèbres de Lie des groupes semi-simples permet de s'abstraire du cadre des nombres réels ou complexes et de travailler à la place avec les corps finis. Ceci permet de définir des groupes finis remarquables. Chevalley, Claude Chevalley, Claude Chevalley, Claude Chevalley, Claude

Jean-Pierre Serre

ko:장-피에르 세르 ja:ジャン＝ピエール・セール Serre Jean-Pierre Serre est un mathématicien français né le 15 septembre 1926 à Bages (Pyrénées-Orientales). Il est considéré comme étant l'un des plus grand mathématiciens du . Après avoir effectué sa thèse dans le domaine de la topologie algébrique sous la direction d'Henri Cartan il a effectué des travaux fondamentaux en théorie des nombres et géométrie algébrique. Jean-Pierre Serre est un ancien élève de l'École normale supérieure, médaillé Fields en 1954, Prix Abel en 2003, membre de l'Institut (Académie des sciences), professeur honoraire au Collège de France et ancien membre du groupe Bourbaki.

Lien externe

- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Serre.html Jean-Pierre Serre]
- [http://www.academie-sciences.fr/Membres/S/Serre_JP.htm Fiche biographique succincte sur le site de l'Académie des sciences] Serre, Jean-Pierre Serre ,Jean-Pierre Serre, Jean-Pierre Serre, Jean-Pierre

Théorie des anneaux

Anneaux Anneaux En mathématiques la théorie des anneaux s'occupe danneaux.

Histoire

L'étude des anneaux trouve sa source dans la théorie des polynômes et la théorie des entiers algébriques. Richard Dedekind a introduit le concept d'anneau. Le terme anneau (ou plus précisément le terme allemand Zahlring) a été utilisé en premier par David Hilbert dans l'article Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung, Vol. 4, 1897. La première définition axiomatique d'un anneau fut donnée par Adolf Fraenkel dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914. En 1921, Emmy Noether donna la première fondation axiomatique de la théorie des anneaux commutatifs dans son article monumental Ideal Theory in Rings. catégorie : Histoire des mathématiques

Alexandre Grothendieck

ko:알렉산더 그로센딕 ja:アレクサンドル・グロタンディーク Grothendieck, Alexander Grothendieck, Alexander Alexander Grothendieck est un mathématicien apatride, né le 28 mars 1928 à Berlin (Allemagne).

Biographie

Son père, Sascha Schapiro, ukrainien de confession juive, est un militant anarchiste. Après avoir passé dix ans en prison pour sa participation à plusieurs soulèvements anti-tsaristes, il rejoint Berlin où il rencontre sa femme, Hanka Grothendieck, hambourgeoise de confession protestante.

L'enfance

Hanka et Sascha veulent devenir écrivains et fréquentent les cercles radicaux. En 1933, la montée du nazisme les contraint à quitter l'Allemagne pour l'Espagne où ils participent, en 1936, au coup d'état mené par le Frente Popular. Alexander reste en Allemagne et est placé dans la famille d'un pasteur protestant, maître d'école près de Hambourg.
Il rejoint ses parents en France en 1939 où ils sont arrétés et déportés. Sascha est emprisonné au camp de Vernet dans l'Ariège, puis transféré à Auschwitz où il meurt en 1942. Anka et Alexander sont emmenés au camp de Rieucros, en Lozère.

Montpellier, en attendant Paris...

À la fin de la guerre, Alexander et sa mère s'installent près de Montpellier, où ils vivent modestement grâce à la bourse d'études d'Alexander. Inscrit en mathématiques, il fréquente très peu les amphithéâtres, préférant travailler dans son coin à la définition du concept de volume (comme il l'explique dans Récoltes et semailles, ces premières recherches, en même qu'elles l'initieront à la solitude du chercheur, le mèneront à redéfinir l'intégrale de Lebesgue).
L'un de ses professeurs, dont l'ancien patron était Élie Cartan, l'envoie à Paris, une lettre de recommandation dans la poche. Là-bas, ce n'est pas Élie Cartan, mais son fils, Henri Cartan, alors en charge des études à l'École normale supérieure et responsable du célèbre séminaire Cartan, qui l'accueille. Alors qu'il avait le sentiment d'être le seul mathématicien au monde, il découvre à Paris l'élite de sa discipline et prend la mesure de son ignorance.

Espaces vectoriels topologiques, une entrée fracassante dans les maths

Il fuit l'atmosphère parisienne et choisit la ville de Nancy pour préparer sa thèse auprès de Jean Dieudonné et Laurent Schwartz.
Des six articles qu'il rédige pendant cette période, il en choisit un, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, pour soutenir sa thèse. Suite à la présentation, à Paris, par Laurent Schwartz des travaux d'Alexander, celui-ci intègre le groupe Bourbaki où il restera plusieurs années. Père d'un enfant, il peine à trouver un emploi. Sa situation d'apatride l'empêche d'accéder aux emplois de la fonction publique et la naturalisation ne peut être obtenue qu'après avoir accompli le service militaire: il refuse et doit donc trouver un moyen de gagner sa vie. Il quitte la France pour travailler, en tant que professeur invité, au Brésil de 1953 à 1955, puis au Kansas en 1956. C'est au cours de cette période qu'il change de sujet d'étude.

La révolution des schémas, une nouvelle géométrie

Après des travaux remarquables en analyse fonctionnelle, il se tourne vers la géométrie algébrique. Il révolutionne ce domaine en établissant de nouvelles fondations et introduit la notion de schéma, en collaboration avec Jean-Pierre Serre. Les deux chercheurs correspondent énormément et leurs styles, bien que très différents, se complètent et portent leurs fruits.
Il revient à Paris en 1956, et se penche sur la topologie et la géométrie algébrique. Il produit alors une nouvelle version du théorème de Riemann-Roch et met en évidence le lien caché entre les propriétés analytiques et topologiques d'une variété.
En 1957, le décès de sa mère le plonge pendant plusieurs mois dans un état dépressif. L'année suivante, il décide de terminer ses travaux inachevé et réalise quelques percées spectaculaires. Il rencontre également sa future femme, avec laquelle il aura trois enfants.
Il est accueilli dans le tout nouvel Institut des hautes études scientifiques (IHES), consacré a la recherche en physique théorique et en mathématiques. Il y retrouve Jean Dieudonné, René Thom, Louis Michel, David Ruelle et entreprend de construire une théorie de la géométrie algébrique.
Entre 1960 et 1967, il rédige les huit premiers volumes des Éléments de géométrie algébrique, en collaboration avec Jean Dieudonné.
Lauréat de la médaille Fields en 1966, il n'accepta pas de se rendre en URSS pour la recevoir. Un voyage au Vietnam en 1967, le printemps de Prague et les évenements de mai 1968 le poussent vers les milieux contestataires jusqu'à ce qu'il démissionne de l'IHES en 1970, protestant contre le financement partiel de l'institut par le ministère de la défense.

Après les maths, l'écologie radicale

Suite à sa démission, il fonde Survivre et vivre dans le but de propager ses idées antimilitaristes et écologistes. Délaissé par la communauté des mathématiciens, ses demandes de poste au Collège de France et au CNRS sont refusées. Il divorce et fonde avec Justine Bumby, une thésarde rencontré aux États-Unis, une communauté près de Paris.
En 1973, il déménagent dans un village de l'Hérault, et experimente la contre-culture. Justine Bumby donne naissance à un enfant et le quitte peu de temps après. Il est nommé professeur à l'université de Montpellier, poste qu'il occupe jusqu'à sa retraite en 1988.
Il écrit quatre livres de 1980 à 1995: La longue marche à travers la théorie de Galois, Esquisse d'un programme, À la poursuite des champs et Les dérivateurs . Mais le plus célèbre est Récoltes et semailles, une sorte d'autobiographie d'un millier de pages, écrite vers 1985, qui ne trouve pas d'éditeur. Il écrit que sa vie a été traversée par trois passions : les femmes, les mathématiques et la méditation. Il refuse en 1988 le Prix Crafoord qu'il devait partager avec Pierre Deligne, invoquant les raisons suivantes :
- son salaire de professeur et sa retraite à venir suffisantes pour ses besoins ;
- le caractère surabondant du statut social et du prestige des chercheurs visés par le prix ;
- son éloignement du milieu scientifique depuis 1970 (la récompense portant sur des travaux vieux de 25 ans). Il rejette également un livre rédigé en son hommage, à l'occasion de son soixantième anniversaire, persuadé que son œuvre a été mal comprise. En 1990, il lègue l'ensemble de ses travaux mathématiques et s'installe dans les Pyrénées. Depuis, il y mène une vie de quasi hermite, complètement coupé du monde de la recherche.

Références

- Lettre à l'Académie Royale des Sciences de Suède, Alexandre Grothendieck (Le Monde, 4 mai 1988)
- Grothendieck : au fond des choses, Alexandre Hobeika (Pour la science, août 2005)

Voir aussi

- Éléments de géométrie algébrique

Liens externes

- [http://www.math.jussieu.fr/~leila/mathtexts.php Grothendieck Circle], un site consacré à Alexander Grothendieck et rassemblant nombreuses de ses œuvres. Grothendieck, Alexander

Schéma

catégorie:Art catégorie:Géométrie algébrique Un schéma est une représentation graphique faite en vue d'usage pratique ; une forme de dessin dont les aspects structurel sont valorisés en vue d'une interprétation non équivoque. Les schémas sont donc utilisés dans tous les secteurs d'activité. On appelle schéma corporel, la représentation plus ou moins explicite qu'un individu a de lui-même dans ses paramètres physiques, son apparence, ses capacités, etc. Le philosophe des sciences Ferdinand Gonseth a fortement accentué la dimension utilitaire du schéma au point de lui donner une dimension bien supérieure au simple niveau graphique ; il propose de reconsidérer des problèmes méthodologiques autour de l'idée de schématisation, une nouvelle démarche heuristique.

Géométrie

Définition

En géométrie algébrique, un schéma est la donnée d'un espace localement annelé localement isomorphe à un schéma affine. Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif unitaire, muni de son faisceau structural.

Intuition

Un schéma est avant tout un objet géométrique. Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. Rappelons brièvement que, normalement, une variété algébrique (en dimension 2) est l'ensemble des points P=(x,y) du plan qui vérifie une équation polynomiale, par exemple «x²+y²=1» (on obtient le cercle) ou «y=x²» (on obtient la parabole) ou «yx=1» (on obtient l'hyperbole) ou «x+y=1» (ou obtient une droite). En fait, on peut concevoir un schéma comme un objet plus général qu'une variété algébrique qui engloberait une variété V définie au-dessus de Q ainsi que toutes les variétés au-dessus des corps finis premiers déduites de V par réduction modulo p.

Histoire

La notion de schéma est due à Alexander Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. La théorie des schémas est développée de la façon la plus belle et la plus complète dans le grand traité de fondements, inachevé (mais très complet !), les Éléments de Géométrie Algébrique, plus connu des mathématiciens sous le nom de EGA.

Outil

Dans tous les métiers techniques, on utilise entre autres outils de travail, des schémas, sorte de plans représentants à l'aide de symboles les travaux à effectuer, les détails de constitutif d'une machine, etc.

Théorie des nombres

Présentation

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Voir par exemple la liste des matières de la théorie des nombres. Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu -- c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci. Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaîssent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches. Tels que les exemples suivants :
- La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
- La conjecture de Catalan concernant les puissances d'entiers successifs,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
- La conjecture de Syracuse concernant une simple itération. La théorie de l'équation diophantienne a même été montrée comme étant indécidable (voir les Problèmes de Hilbert).

La théorie analytique des nombres

Elle emploie l'outillage du calcul et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver infiniment beaucoup de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approximé par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans ce domaine, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres. Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appelé localisation et mène à la construction des nombres p-adique ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, elle incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Des algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.

Histoire de la théorie des nombres

La théorie des nombres, une étude favorite parmi les Grecs anciens, commence sa renaissance aux 16ième et 17ième siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac, et spécialement Fermat. Au 18ième siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, et vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798), et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence. Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros. La théorie des congruences a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant : :

a \equiv b \pmod c,

et explora la plus grande partie de ce domaine. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa. A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit la loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller(?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer). On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par forme quadratique binaire. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith est due une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith. Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant : :

x^n+y^n=z^n\,\!

. Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent indépendamment le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain. Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier. À la fin du XIXième et au début du , les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera cette conjecture en 1994 avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème. Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Références

Voir aussi

- Codes correcteurs
- Cryptographie
- Libri-Carucci
- Nombre premier

Liens externes

- [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Initiation à la théorie des nombres] catégorie: Mathématiques catégorie:Théorie des nombres ja:数論 ko:수론 th:ทฤษฎีจำนวน

Honigtopfameisen

Honigtopfameisen werden so genannt, weil sie eine Kaste haben, die Futter, welches ihnen von Arbeiterinnen gebracht und verfüttert wird, in ihrem Gaster speichern und dieses bei Bedarf, z. B. Futterknappheit, wieder abgeben. Der Gaster kann mit der Zeit stark anschwellen, so dass man von lebenden "Honigtöpfen" sprechen kann. Die meisten Arten von Honigtopfameisen leben in ariden Habitaten. Beispiele sind Myrmecocystus spp. in Nordamerika und Camponotus inflatus, Melophorus bagoti und Melophorus cowlei in den australischen Wüsten. Wenn von Honigtopfameisen die Rede ist, sind meist die gemeint, die von den australischen Ureinwohnern verspeist werden und diese beschränken sich meist auf Camponotus inflatus, weil diese den süßesten "Honig" besitzen. Kategorie:Hautflügler

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