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Nombre Algébrique

Nombre algébrique

ko:대수적 수 ja:代数的数 Algébrique

Nombres algébriques réels ou complexes

On appelle nombre algébrique un nombre réel ou complexe qui est racine d'une équation polynomiale à coefficients entiers non tous nuls. Il est équivalent de dire qu'il est racine d'une équation polynomiale (ou d'un polynôme) à coefficients rationnels non tous nuls. L'ensemble des nombres algébriques se note \overline et est un corps inclus dans \mathbb. On a \overline \neq \mathbb : en effet, il est connu que l'ensemble \overline est dénombrable, alors que \mathbb ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants.

Exemples


- Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient p / q de 2 entiers est racine de l'équation q x - p = 0
- Le nombre réel (et irrationnel) \sqrt 2 est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 - 2 = 0 .

- Le nombre complexe i est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 + 1 = 0 .

Généralisation

Plus généralement : soient \mathbbun corps, et \mathbb une extension de \mathbb. Un élément de \mathbbest dit algébrique sur \mathbb s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans \mathbb, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb dans le cas contraire. La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où \mathbbest le corps \mathbbdes rationnels et \mathbbest le corps \mathbb des nombres complexes.

Voir aussi


- Cas particuliers de nombres algébriques:
  - entier algébrique
  - nombre rationnel
- Autres classes de nombres:
  - nombre transcendant

Catégorie:Nombre

catégorie:mathématiques Les nombres et les ensembles de nombres sont parmi les objets les plus couramment manipulés en mathématiques. Dans cette catégorie se trouve tout ce qui s'y rapporte. ja:Category:数 ko:분류:수 simple:Category:Numbers th:Category:จำนวน

Nombre complexe

En mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels : ils sont apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs. Une conséquence immédiatement visible est que si l’on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes. Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe. Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Tout polynôme non constant admet autant de racines complexes que son degré. L’étude des fonctions dérivables au sens complexe est une branche des mathématiques appelée analyse complexe. Les nombres complexes furent « inventés » au par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. La présentation géométrique vient entre autres de l’abbé Buée et d’Argand.

Approche vulgarisée des nombres complexes

Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d’étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes . Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode. En effet, ils présentent un aspect double :
- de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
- de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, sont une pure abstraction. Nous allons essayer, dans cette partie, d’avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard [1].

X et i

Lorsque l’on manipule les x d’une équation, inéquation ou système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion que ce nombre n’existe pas, par exemple : :\left\

Nombre entier

Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit \mathbb Z comme le quotient de \mathbb N\times\mathbb N par la relation (a,b)R(a',b') si, et seulement si, a+b'=a'+b, i.e. un couple (a,b) représente l'intuitif entier relatif a-b. Cet ensemble est noté \mathbb Z, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre). Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux. La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit, (\mathbb Z,+) est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation R admet un représentant ayant ou bien la forme (0,a) (il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme (a,0) (il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément (0,0) étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi \mathbb Z peut être vu comme la donnée (\\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \). Ainsi on vérifie aisément que R est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que (0,0) est un élément neutre et que (a,0) et (0,a) sont symétriques l'un de l'autre (i.e. (a,a)R (0,0))pour tout a \in \mathbb N. Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans \mathbb Z, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (\mathbb Z, +,
- ) est un anneau commutatif. Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini. La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.

Voir aussi

Construction des entiers relatifs Catégorie:Nombre ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Nombre rationnel

Rationnel Catégorie:Mathématiques élémentaires Un nombre rationnel est un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire, d'un quotient de deux nombres entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb Q.

Développement décimal

Comme tous les nombres réels, les nombres rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique (C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant indéfiniment. Cette séquence sera appelée une période du développement décimal illimité.). Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une suite illimitée de « 9 ». En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une suite illimitée de « 0 » (et mieux, un développement décimal limité équivalent). Quelques exemples : :1/3 = 0,3 = 0,33 = 0,333... (on répète la période « 3 » indéfiniment ... mais « 33 » est aussi une période.) :50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951... :3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 (mais aussi = 0,749 999 99...) :1 = 1,0 = 1,000 00... (dans les égalités ci-dessus, les groupements de chiffres soulignés désignent des périodes) Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ainsi, par exemple, le nombre 0,12 122 1222 12222... (où l'on a des séquences de « 2 » de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel. Ainsi, 2,4 (qui peut s'écrire sous la forme 12/5) est rationnel, de même que 13,444... (=121/9). Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration). L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels :\mathbb R = \bar \mathbb Q

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes ; p.ex. :3/4 = 1/2+1/4 :47/72 = 1/2+1/7+1/101+1/50904 = 1/2 + 1/8 + 1/36 Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles ; p.ex. :1/12 = -1/4+1/3 :35/72 = 35/8-35/9 Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction. Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction: : 178,\underline = \frac = \frac = 178 : 178,\underline = \frac = \frac : 178,\underline = \frac = \frac : 178,\underline = \frac = \frac Et lorsque la période est décalée : 178,10\underline = \frac = \frac = \frac = \frac L'on peut prouver que 12,9......9 = 13\, en procédant de la sorte :12,9999....9 = 12,\underline = \frac = \frac = \frac = 13

Liens externes


- Le logiciel [http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/fraction.html PC Fraction] calcul des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc. ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Dénombrable

Catégorie:Nombre Catégorie:Théorie des ensembles Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels \mathbb, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur \mathbb (ou \mathbb^
- , voir plus bas) ; cela équivaut à l'existence d'une bijection de \mathbb (ou \mathbb^
- ) sur E. Naïvement, dire qu'un ensemble E est dénombrable signifie qu'il est possible de compter un à un chacun de ses éléments, et de leur attribuer un rang : on peut numéroter les éléments de E sans omission ni répétition, en utilisant tous les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels est dénombrable, car un ensemble est toujours équipotent à lui-même. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que chaque élément de \mathbb peut être associé à lui-même. Tout ensemble équipotent à un ensemble dénombrable est lui-même dénombrable. Un ensemble dénombrable est infini, car équipotent à \mathbb, qui est infini. Mais la réciproque est fausse : il existe des ensembles infinis non dénombrables. Le mathématicien Cantor, qui introduisit la notion de dénombrabilité, démontra que l'ensemble des nombres réels, noté \ \mathbb, n'est pas dénombrable.

Vocabulaire

L'expression ensemble dénombrable a deux définitions :
- Certaines publications emploient cette expression non seulement dans le sens vu ci-dessus mais aussi pour désigner un ensemble fini
- D'autres utilisent cette expression uniquement pour les ensembles satisfaisant la définition, et préfèrent employer l'expression ensemble au plus dénombrable pour désigner un ensemble soit fini, soit dénombrable. Il faut donc prendre garde à la convention utilisée lors de la lecture d'une publication sur le sujet. Dans cet article, c'est la seconde acception qui sera utilisée.

Ensembles courants et dénombrabilité


- Par définition, l'ensemble \mathbb des entiers naturels est dénombrable.
- L'ensemble \mathbb^
- des entiers naturels non nuls est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb^
- & \longrightarrow & \mathbb \\ n & \longmapsto & n-1\end est bijective.
- L'ensemble des entiers naturels pairs, noté 2\, \mathbb, est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \ 2\, \mathbb \\ n & \longmapsto & 2\, n\end est bijective.
- L'ensemble des carrés parfaits, noté ici \mathbb^, est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \ \mathbb^ \\ n & \longmapsto & n^2\end est bijective. :On doit à Galilée la remarque qu'il y a "autant" de carrés parfaits que d'entiers naturels, mettant ainsi en défaut l'affirmation classique (qu'on trouve dans les Éléments d'Euclide): "le tout est plus grand que la partie".
- L'ensemble \mathbb des entiers relatifs est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \mathbb \\ n & \longmapsto & \left\

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, c'est un réel qui n'est pas rationnel. Il existe deux types d'irrationnels :
- les nombres algébriques, qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels non tous nuls, comme la racine carrée de 2 (voir la démonstration d'irrationnalité), et plus généralement tout nombre \sqrt où x un rationnel positif qui n'est pas un quotient de carrés parfaits (notamment, lorsque x est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait).
- les nombres transcendants comme π (pi) et e (nombre exponentiel).

Voir aussi

entier naturel | entier relatif | nombre rationnel | nombre irrationnel | nombre réel | nombre complexe | nombre p-adique Irrationnel ja:無理数 ko:무리수

Extension de corps

Catégorie:Théorie des anneaux En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, l'extension d'un corps K est un corps L qui contient K comme sous-corps. Par exemple, \mathbb C, le corps des nombres complexes, est une extension de \R, le corps des nombres réels, lequel est lui-même un extension de \mathbb Q, le corps des nombres rationnels. On note parfois L/K pour indiquer que L est une extension de K. Plus généralement, une extension de K est un couple de corps distincts K^
- et L où K^
- est un sous-ensemble de L et K est isomorphe à K^
- . Lorsqu'aucune ambiguité ne se pose, on identifie K à K^
- .

Degré d'une extension

Soit L/K une extension de corps. L peut être considéré comme un espace vectoriel sur K, où l'addition vectorielle est l'addition sur L et la multiplication scalaire est la restriction de la multiplication à L. La dimension de cet espace vectoriel est appelée le degré de l'extension et est notée \left[L:K\right]. L'extension est dite « finie » ou « infinie » selon que le degré est fini ou non. Par exemple, \left[\mathbb C:\R\right]=2 et l'extension \mathbb C / \R est donc finie. Par contre, \left[\R:\mathbb Q\right]=\aleph_1, le cardinal du continu, et l'extension \mathbb R / \mathbb Q est donc infinie. Si M est une extension de L qui est elle-même une extension de K, alors \left[M:K\right]=\left[M:L\right]\cdot \left[L:K\right] .

Extension algébrique

Article détaillé : Extension algébrique Si L est une extension de K, alors un élément de L qui est une racine d'un polynôme non-nul sur K est dit algébrique sur K. Dans le cas contraire, l'élément est dit transcendant sur K. Dans le cas où L=\mathbb C et K=\mathbb Q, on parle de nombre algébrique et de nombre transcendant. Si tout élément de L est algébrique sur K, l'extension L/K est dite algébrique. Dans le cas contraire, elle est dite transcendante. Si tout élément de L est transcendant sur K, l'extension est dite purement transcendante. On peut montrer qu'une extension est algébrique si et seulement si elle est l'union de ses sous-extensions finies. En particulier, tout extension finie est algébrique. par exemple, \mathbb C/\R, finie, est algébrique, mais \R/\mathbb Q est transcendante.

Extension simple

Si L/K est une extension de corps et V est un sous-ensemble de L, alors on définit le corps K(V) comme le plus petit sous-corps de L qui contient K et V. Il est consitué des éléments de L pouvant être obtenus gràce à un nombre limité d'opérations additives et multiplicatives sur K et V. Si L=K(V), on dit que L est généré par V. Une extension de corps générée par un seul élément est appelée extension simple. Une telle extension est finie si elle est générée par un élément algébrique et purement transcendante si elle est générée par un élément transcendant. Par exemple, \mathbb C est une extension simple de \R car elle est générée par i, l'unité imaginaire. L'extension \R/\mathbb Q, n'étant ni finie, ni purement transcendante, n'est pas simple.

Extension de Galois

Une extension de corps possédant un groupe de Galois est appelée extension de Galois. Si le groupe de Galois est abélien, l'extension est nommée extension abélienne. Par exemple, \mathbb C/\R est une extension abélienne, son groupe de Galois étant d'ordre 2. En revanche, \R/\mathbb Q n'est pas une extension de Galois car le seul automorphisme de corps de \R est l'identité.

Entier algébrique

Catégorie:Théorie des nombres Un nombre z complexe est un entier algébrique, s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers relatifs, soit P(z) = 0 avec: P(X)= X^n + a_ X^ + \cdots + a_1 X + a_0 C'est donc en particulier un nombre algébrique.

Exemples

Les nombres entiers sont des entiers algébriques. Mais il en existe de moins triviaux. Par exemple:
- les racines carrées des nombres entiers: la racine de n est solution de X2 - n = 0
- i, racine carrée de -1, solution de X2 + 1 = 0
- les racines n-ièmes de l'unité: solutions de Xn - 1 = 0
- le nombre d'or φ = 1,618..., solution de X2 - X - 1 = 0

Théorème

Un nombre rationnel est un entier algébrique si et seulement si c'est un entier relatif.

Propriété

Les entiers algébriques sont stables sous les lois +,-,
- .

Nombre transcendant

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale : a_n x^n + a_ x^+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0 où n \ge 1\, et les coefficients a_i\, sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un a_n est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique. L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques. Les premiers nombres bien définis dont on a pu montrer la transcendance sont les nombres de Liouville, démontrés transcendants par Joseph Liouville en 1844. Un exemple de nombre de Liouville est: : c = \sum_^\infty 10^ = 0,110001000000000000000001000.... dans lequel le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) et 0 sinon. Le premier nombre a avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de \pi\, et ainsi montra l'impossibilité de la quadrature du cercle. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce au théorème de Gelfond-Schneider : Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre a^b\, est transcendant. On peut par exemple déduire de ce théorème la transcendance de e^\, et 2^\,. Ou si a est un nombre algébrique non nul alors e^ \, est transcendant. Résultats : considérons l'ensemble A, des nombres algébriques. Alors : #A est un sous-corps de R. En particulier, A est stable par addition et multiplication. #A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de l'ensemble R (les nombres transcendants existent bien).

Exemples


- Le nombre \pi\, (voir l'article pi).
- Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
- e^\, constante de Gelfond
- 2^\, (constante de Gelfond-Schneider) ou plus généralement a^b\, (voir le théorème de Gelfond-Schneider) où a \ne 0\, ou a\ne 1\, est algébrique et b est algébrique mais non rationnel. Le cas général du septième problème de Hilbert, c’est-à-dire déterminer si a^b\, est transcendant lorsque a \ne 0\, ou a\ne 1\, est algébrique et b est irrationnel, reste non-résolu.
- La valeur de la fonction trigonométrique \sin(1)\,
- \ln(a)\, si a est positif, rationnel et a \ne 1.
- \Gamma\left(\frac\right)\, et \Gamma\left(\frac\right)\, (voir fonction Gamma d'Euler).
- \Omega\,, constante de Chaitin.
- Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
- L'un au moins des deux nombres e + \pi\, et e.\pi\, est transcendant. En effet, e\, et \pi\, sont les racines de l'équation du second degré x^2 - (e+\pi)x + e.\pi = 0\, ; si e + \pi\, et e.\pi\, étaient tous deux algébriques, les deux racines de cette équation seraient algébriques, en contradiction avec le fait connu que les deux nombres e\, et \pi\, sont transcendants.
:On conjecture même que e + \pi\, et e.\pi\, sont tous deux transcendants.
- \sum_^ 10^;\qquad \beta > 1\; , :où \ \lfloor \beta \rfloor est la partie entière de \ \beta. Par exemple, si \beta = 2\,, alors ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000... Transcendant ja:超越数 ko:초월수 th:จำนวนอดิศัย

Monferés

Concello da Provincia da Coruña en Galicia. Pertence á Comarca do Eume. Poboación en 2004: 2.490 persoas segundo o Padrón municipal de habitantes (2.552 en 2003). Xentilicio (véxase no Galizionario) :

Lugares de Monfero

Para unha lista completa de todos os lugares do concello de Monfero vexa: Lugares de Monfero.

Parroquias

Véxase tamén

Category:Concellos galegos

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Yvias
Yvias to miejscowość i gmina we Francji, w regionie Bretania, w departamencie Côtes-d'Armor. Według danych na rok 1990 gminę zamieszkiwały 673 osoby, a gęstość zaludnienia wynosiła 58 osób/km² (wśród 1269 gmin Bretanii Yvias plasuje się na 733. miejscu pod względem liczby ludności, natomiast pod względem powierzchni na miejscu 782.).

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Yvignac
Yvignac to miejscowość i gmina we Francji, w regionie Bretania, w departamencie Côtes-d'Armor. Według danych na rok 1990 gminę zamieszkiwało 1 065 osób, a gęstość zaludnienia wynosiła 30 osób/km² (wśród 1269 gmin Bretanii Yvignac plasuje się na 554. miejscu pod względem liczby ludności, natomiast pod względem powierzchni na miejscu 191.).

Linki zew
Marek Rutkiewicz
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Osiągnięcia

2005


- 3. miejsce w Pomorskim Klasyku
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Linki zewnętrzne


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Saint-Mayeux to miejscowość i gmina we Francji, w regionie Bretania, w departamencie Côtes-d'Armor. Według danych na rok 1990 gminę zamieszkiwało 539 osób, a gęstość zaludnienia wynosiła 18 osób/km² (wśród 1269 gmin Bretanii Saint-Mayeux plasuje się na 807. miejscu pod względem liczby ludności, natomiast pod względem powierzchni na miejscu 276.).

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Iwan Sulima
Iwan Sulima, ukr. Іван Сулима (ur.?, zm. 12 grudnia 1635) hetman nierejestrowych wojsk Kozaków zaporoskich w latach 1628—1629 i 1630—1635. Drobny szlachcic, urodził się w Rogoszczach (obecnie w obwodzie czernihowskim). Przez pewien czas by
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