:: wikimiki.org ::

Nombre Irrationnel

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, c'est un réel qui n'est pas rationnel. Il existe deux types d'irrationnels :
- les nombres algébriques, qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels non tous nuls, comme la racine carrée de 2 (voir la démonstration d'irrationnalité), et plus généralement tout nombre

\sqrt

où x un rationnel positif qui n'est pas un quotient de carrés parfaits (notamment, lorsque x est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait).
- les nombres transcendants comme π (pi) et e (nombre exponentiel).

Voir aussi

Nombre

Catégorie:Numération
- Un nombre est une quantité abstraite utilisée pour dénombrer et classer des objets ou pour mesurer une grandeur physique.
Les nombres doivent être distingués des chiffres, qui sont des (combinaisons de) symboles utilisés pour représenter les nombres. La notation des nombres comme une série de chiffres est développée dans l'article : système de numération. La langue française, à la différence de beaucoup d’autres, utilise deux mots proches : nombre et numéro, pour désigner des notions voisines. Si le numéro désigne souvent un code représenté par des chiffres (numéro de téléphonne, jeton de loto...), il suggère l'idée d'un emplacement particulier dans une suite ordonnée d'éléments (adresse dans une rue, en l'occurrence, les chiffres ne suffisent plus à exprimer le 3bis de la rue). Le nombre, quant à lui, induit plutôt l'idée de quantité, de population. Lorsqu'il n'est pas attaché à un objet (numéro) ou des objets (population), le nombre est une abstraction pure. Ainsi le numéro est représenté par des chiffres composant un nombre.

Mesure et comptage

La numération, outre le système de numération employé, connaît deux modes :
- le mode quantitatif qui exprime une mesure en utilisant des adjectifs numéraux cardinaux : trois litres, 3 000 Hz, 0,5 Ω,
- le mode ordinal qui attribue aux objets un numéro d'ordre : le premier, le deuxième, la seconde, la tierce... L'utilisation d'adjectifs numéraux cardinaux remplace alors parfois celle d'adjectifs ordinaux : page trois, l'an III du règne de Sédécias. Le nombre devient alors plutôt un numéro.

Quantification

La numération quantitative s'est fortement répandue avec la culture scientifique qui mesure son objet, qui en évalue la quantité par rapport à une unité arbitraire. Cette quantité peut être nulle (0 m) ou négative (-12 V). Le nombre de fois où l’unité peut être observé dans l’objet mesuré est entier ou fractionnaire (0,50 €). La quantification, jointe à l’usage d’une numération positionnelle, facilite grandement la manipulation conceptuelle : les opérations (les quatre de bases : addition, soustraction, multiplication, division, et autres que la Mathématique élabore). De fait, c’est l’approche quantitative du réel, jointe à une mathématique utilisant un système arithmétique positionnel qui a permis l‘émergence de la physique.

Indexation

La numération ordinale est couramment utilisée pour le comptage d'objets distincts, unitaires : les livres sur une étagère, même si les adjectifs cardinaux sont utilisés dans le langage courrant. Il s'agit alors d'une indéxation plutôt que d'une mesure. Je compte un, deux, trois, quatre, cinq livres sur l'étagère. Le troisième livre, c‘est-à-dire en troisième position, porte l'index trois. Le nombre de livres, 5, correspond à l'index le plus grand. L'indexation commence à 1. Il n'y a pas d'objet 0. Dans l‘exemple ci-dessus, il n’y a pas d'unité arbitraire, de livre de référence : un gros dictionnaire vaut un livre tout comme un simple feuillet. L’utilisation d’une quantification (pesage, mesure à la règle...) ne permet pas d’obtenir le nombre de livres sur l’étagère si ceux-ci ne sont pas homogènes. On ne cherche pas une quantité de livres ( 5 mètres linéaires d’étagère) mais un nombre de livres.

Observations

Quelques effets de l'existence de deux modes de numérotation peuvent être signalés.
- En musique, la tierce est un intervalle de deux tons. Héritée de la culture antique, la numération n'est pas quantitative mais ordinale. On ne compte pas la quantité d'intervalles mais la note sur laquelle aboutit l'intervalle : la troisième puisque celle de départ porte l'index 1 (Do = 1 ; Ré = 2 ; Mi = 3 ). Il y a une disjonction entre le rang d'une note d'arrivée (comptage de tons) et l'écart (mesure de tons).
- L’an 1 appartient au . Il n’y a pas d'an 0 puisque la numérotation des ans est un comptage. Le siècle ayant 100 années, l'an 100 appartient au même siècle. C'est l'an 101 qui commence le deuxième siècle. Ainsi, le vingtième siècle comprenait les années de 1901 à 2000 et le les années allant de 1001 à 2000. Il semble cependant que le développement de la quantification ait fait commencer le et ses festivités un an plus tôt.
- La syntaxe de certains langages informatiques fait commencer à 0 l'indexation de tableaux $var[0], $var[1], $var[2]. Si i est l'index le plus grand des éléments de la variable $var, celle-ci comprend alors i+1 éléments. L'informatique a ainsi réintroduit une disjonction entre les numérations ordinale et cardinale que la science faisait disparaître.

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les nombres entiers naturels notés par

\mathbb\,

, utilisés pour le dénombrement.
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs

\mathbb\,

. Les rapports d'entiers réalisés par la division sont appelés nombres rationnels ou fractions; l'ensemble de tous les nombres rationnels est noté

\mathbb\,

, formé des ensembles de nombres à développement décimal fini (les nombres décimaux) et les nombres à développement périodique. Si , dans l'ensemble, outre les éléments de

\mathbb\,

, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques , on obtient l'ensemble des nombres réels, noté

\mathbb\,

. Ces nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cet ensemble est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants. Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté

\mathbb\,

, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme à coefficients complexes peut être complètement factorisé. Ainsi : :

\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb

Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions. En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension finie sur

\mathbb\,

, sont les nombres réels, les nombres complexes, et les quaternions. Les éléments des corps de fonction algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres. Ils sont historiquement apparus dans cet ordre :
- Les entiers naturels,
- Les nombres rationnels positifs,
- L'invention du zéro,
- Les entiers relatifs,
- Les nombres rationnels,
- Les nombres irrationnels et les nombres réels,
- Les nombres complexes,
- Les nombres hypercomplexes,
- Les nombres p-adiques,
- Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
- Les nombres transfinis,
- Les nombres hyperréels,
- Les nombres surréels et pseudo-réels. Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées. La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres réels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École. Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres tout à fait convenables. Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions. L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue, et sont très utilisés en théorie des nombres ; ces nombres sont cependant assez méconnus au sein même de la communauté mathématique… Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyper-réels, mais la construction est différente. Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont généralisée dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Articles connexes

- Numération ;
- mathématiques ;
- fraction ;
- les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la numérotation décimale : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ;
- nombre premier ;
- gogol ;
- nombres en français ;
- nombres dans le monde ;
- Liste des nombres ;
- Les nombres ordinaux et cardinaux ;
- Table des diviseurs.

Références

- John H. Conway, Richard K. Guy, « Le Livre des Nombres », Paris, éditions Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-03638-8
- Article nombre dans le wiktionnaire Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Editions Robert Laffont, collection "Bouquins" ja:数 ko:수 (수학) simple:Number th:จำนวน

Nombre rationnel

Rationnel Catégorie:Mathématiques élémentaires Un nombre rationnel est un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire, d'un quotient de deux nombres entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté

\mathbb Q

Développement décimal

Comme tous les nombres réels, les nombres rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique (C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant indéfiniment. Cette séquence sera appelée une période du développement décimal illimité.). Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une suite illimitée de « 9 ». En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une suite illimitée de « 0 » (et mieux, un développement décimal limité équivalent). Quelques exemples : :1/3 = 0,3 = 0,33 = 0,333... (on répète la période « 3 » indéfiniment ... mais « 33 » est aussi une période.) :50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951... :3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 (mais aussi = 0,749 999 99...) :1 = 1,0 = 1,000 00... (dans les égalités ci-dessus, les groupements de chiffres soulignés désignent des périodes) Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ainsi, par exemple, le nombre 0,12 122 1222 12222... (où l'on a des séquences de « 2 » de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel. Ainsi, 2,4 (qui peut s'écrire sous la forme 12/5) est rationnel, de même que 13,444... (=121/9). Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration). L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels :

\mathbb R = \bar \mathbb Q

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes ; p.ex. :3/4 = 1/2+1/4 :47/72 = 1/2+1/7+1/101+1/50904 = 1/2 + 1/8 + 1/36 Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles ; p.ex. :1/12 = -1/4+1/3 :35/72 = 35/8-35/9 Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction. Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction: :

178,\underline = \frac   = \frac   = 178

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline  = \frac  = \frac

Et lorsque la période est décalée :

178,10\underline  = \frac   = \frac  = \frac  = \frac

L'on peut prouver que

12,9......9 = 13\,

en procédant de la sorte :

12,9999....9 = 12,\underline = \frac  = \frac  = \frac  = 13

Liens externes

- Le logiciel [http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/fraction.html PC Fraction] calcul des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc. ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Racine carrée

La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre réel positif qui une fois multiplié par lui-même donne x. La racine carrée de x est notée

\sqrt

. Par exemple,

\sqrt=4

puisque 4 × 4 = 16, et

\sqrt=1,41421...

. Les racines carrées sont importantes pour la résolution des équations du second degré. En essayant de prolonger la fonction racine carrée aux nombres réels strictement négatifs on construit les nombres imaginaires (l'appellation ne doit pas induire en erreur : tout nombre, du fait qu'il constitue une abstraction, possède déjà un caractère imaginaire au sens de tous les jours; « imaginaire » en terminologie mathématique n'a pas du tout le même sens) et par extension le corps des nombres complexes.

Propriétés

Les propriétés importantes suivantes de la fonction racine carrée sont valables pour tous nombres réels positifs x et y (dans certains cas strictement positifs) : :

\sqrt = x^

\sqrt = \sqrt \times \sqrt

\sqrt = \frac

\sqrt = \left|x\right|

pour tout nombre réel x (voir valeur absolue) La fonction racine carrée envoie un nombre rationnel sur un nombre algébrique;

\sqrt

est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel et (à part 0) quotient de deux carrés parfaits (0 peut s'écrire

\frac

). En particulier,

\sqrt

est irrationnel (son carré 2 n'est pas le quotient de deux carrés parfaits). La fonction racine carrée envoie l'aire d'un carré sur la longueur d'un de ses côtés. La fonction racine carrée a la représentation graphique suivante : Image:racine_carrée.png La fonction racine est continue en tout réel positif x, et dérivable en tout réel strictement positif x (mais n'est pas dérivable en x=0; en ce point la pente de la tangente est infinie; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale). Sa dérivée est égale à

x\mapsto\frac

, et on peut l'obtenir facilement en considérant

x\mapsto\sqrt

comme la fonction puissance

\frac

(première propriété énumérée au-dessus). Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s'obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée : :

\sqrt=1 + \sum_^(-1)^ h^n

=1 + \sum_^(-1)^ h^n

=1 + \sum_^(-1)^ h^n

= 1 + \frach - \frach^2 + \frac h^3 - \frac h^4 + \dots

pour |h| <1. Remarquons au passage que :

=2\left[C_^-C_^n \right]

et est donc un entier naturel.

Les racines carrées en algèbre

Soient x et a deux réels, tels que x²=a. Une erreur courante est de «prendre la racine carrée» et d'en déduire que

x=\sqrt

Cela est inexact, parce que la racine carrée de x² n'est pas x, mais la valeur absolue de x : |x|, d'après l'une des règles ci-dessus. Ainsi, nous pouvons conclure que

|x|=\sqrt

, ou

x=\pm\sqrt

Extraction de racines carrées

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d'extraire la racine carrée d'un nombre. Évidemment, si la racine carrée n'est pas un nombre décimal, alors l'algorithme ne se termine jamais. Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n'importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui suit, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100. Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine à l'écart, de la même façon que lorsque nous effectuons une division classique. À chaque étape :
- on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d'un reste éventuel
- soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée
- on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste
- si le reste est nul et qu'il n'y a plus de chiffre à abaisser alors l'algorithme se termine sinon on recommence. Exemple : Quelle est la racine carrée de 152,2756 (en base 10). Le résultat est le suivant. ____1__2,_3__4_ | | 01 52,27 56 1 x 01 1×1=1 1 ____ __ 00 52 22 2x 00 44 22×2=44 2 _______ ___ 08 27 243 24x 07 29 243×3=729 3 _______ ____ 98 56 2464 246x 98 56 2464×4=9856 4 _______ 00 00 fin de l'algorithme Le résultat trouvé est 12,34 Vérification : 12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34. = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02) = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004 = 152,2756

Calcul approché

L'équation de Pell conduit à une méthode pour trouver des approximations rationnelles de racines carrées de nombres entiers. Un autre algorithme plus couramment utilisé pour approcher √x est basé sur la méthode de Newton et procède de la manière suivante :
- on place une valeur positive arbitraire dans r (idéalement la plus proche possible de la racine carrée de x)
- on remplace r par la moyenne de r et de x/r
- on recommence à l'étape 2. L'algorithme converge de manière quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts de r double pratiquement à chaque étape. Cet algorithme fonctionne également bien pour les nombres p-adiques, mais ne peut pas être utilisé pour identifier de vraies racines carrées des racines carrées p-adiques; il est facile, par exemple, de construire une suite de nombres rationnels par cette méthode qui converge vers +3 dans les réels, mais vers -3 dans les 2-adiques.

Calcul par la méthode du goutte à goutte

Voir Technique_de_l'extraction_de_racine

Construction géométrique de la racine carrée

Technique_de_l'extraction_de_racine Il est possible de construire la racine carrée d'un nombre constructible. Soit a ce nombre, on cherche donc à construire dans le plan un segment de longueur

\sqrt

. Construisons le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O tel que AO=1. Considérons ensuite le cercle de diamètre AB et menons la hauteur issue de O sécante en H avec le demi-cercle supérieur. Le triangle ABH est rectangle en H. Soit x=OH. En utilisant le théorème de Pythagore, on montre que

x = \sqrt

. Cette égalité justifie par ailleurs que les triangles AOH et HOB sont semblables Démonstration de

x = \sqrt

: Dans le triangle rectangle HOB : x² + a² = HB²
Dans le triangle rectangle ABH : HB² = (a+1)² - AH²
Dans le triangle rectangle AOH : AH² = 1² + x²
D'où x² + a² = (a+1)² - (1² + x²), soit, après simplification x² = a, soit

x = \sqrt

Les racines carrées de nombres complexes

Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tels que w² = z. La définition de racine de

\sqrt

est la suivante : si z s'écrit sous forme trigonométrique

z=r e^

avec -π < φ ≤ π, alors nous posons

\sqrt=\sqrt e^

. Ainsi définie, la fonction racine carrée est holomorphe partout sauf en les réels négatifs. (en lesquels elle n'est même pas continue).Le développement en série de Taylor ci-dessus reste valable pour x complexe. Quand le nombre est dans sa forme algébrique, la formule suivante peut être utilisée : :

\sqrt = \sqrt \pm i\sqrt

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial. Notons qu'à cause de la nature discontinue de la fonction de racine carrée dans le plan complexe, la relation

\sqrt=\sqrt\sqrt

est fausse en général. Supposer cette propriété toujours vraie risque de nous conduire à des démonstrations fausses et, par exemple ce qui suit est une démonstration de l'égalité -1 = 1 : :

-1 = i \times i = \sqrt \times \sqrt = \sqrt = \sqrt = 1

La troisième égalité ne peut pas être justifiée (voir la preuve que 1 est égal à -1).

Les racines carrées de matrices et d'opérateurs

Si A est une matrice définie positive ou un opérateur défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice ou un opérateur définis positifs B tel que B² = A; nous définissons alors √A = B. Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A. Cela peut se généralier à un opérateur borné normal sur un espace de Hilbert. En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes.

Les racines carrées, approximations entières

Les demo makers ont parfois besoin de construire de tables de racines carrées entières. exemple: CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .. 15 16 17 .. 24 25 RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 .. 3 4 4 .. 4 5 Lorque l'on observe la suite des racines, On s'appercoit que les racines sont constantes, puis incrémentées. Plus précisément,
- le 0 est répété 1 fois,
- le 1, 3 fois
- le 2, 5 fois
- le 3, 7 fois
- le 4, 9 fois Le nombre de fois est une suite de nombres impairs (incrémentés de 2 en 2).

Démonstration

(a+1)² -a² = a² +2a +1 -a² = 2a + 1 on retrouve donc notre exemple:
- le a=2, 2a+1=5 fois
- le a=3, 2a+1=7 fois
- le a=4, 2a+1=9 fois

Itérations infinies de racines carrées

- Il va de soit que : :

2 = \sqrt

qui peut s'écrire encore : :

2 = \sqrt

et en « réitérant à l'infini » : :

2 = \sqrt

- Ramanujan obtint une formule similaire pour 3. Il partit de la décomposition :

(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,

et construisit le produit

n(n+p)

en fixant

p=2

n(n+2) = n\sqrt

Il substitua le terme

(n+3)

n(n+2) = n\sqrt

Ramanujan réitéra à l'infini en remplaçant maintenant

n

par 1 sans se préoccupper du passage à la limite et obtint la jolie formule : :

3 = \sqrt

En fixant

n

p

à d'autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, vous pourrez également construire d'autres belles formules comme : :

4 = \sqrt

- En résumé, la relation suivante, itérée à l'infini : :

n+2 = \sqrt = \sqrt

permet donc d'exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées. En particulier, en fixant n = 0 et sans se préoccuper du passage à la limite :

2 = \sqrt

Voir aussi

- exponentielle
- Nombre d'or
- Nombre irrationnel
- Nombre algébrique
- Nombre réel
- Nombre complexe
- racine cubique Catégorie:Fonction remarquable ja:平方根 ko:제곱근

Théorème

ja:定理
- 1
- catégorie:Raisonnement mathématique Un théorème est un raccourci, un outil mathématique fonctionnant dans un ensemble ou système donné. C'est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique, à partir d'axiomes. Notez que théorème ne signifie pas théorie. Il est démontré (sauf erreur) une fois pour toutes, est ensuite considéré comme vrai, et peut être alors utilisé pour démontrer d'autres propositions. Un théorème a généralement des hypothèses de base — des conditions, qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance. Ensuite il a une conclusion — une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base. La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme un « théorème » n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Exemples de démonstrations

Une démonstration par l'absurde considérée comme l'une des plus belles par Paul Erdös est la démonstration de l'irrationnalité de

\sqrt

. Par l'absurde supposons donc que

\sqrt

soit un rationnel. Il existe deux entiers p et q (strictement positifs) tels que :

\sqrt = \frac p q

. Quitte à simplifier par le P.G.C.D. de p et q, nous pouvons supposer p et q premiers entre eux (la fraction

p/q

est dite irréductible). Nous élevons au carré, les deux membres pour obtenir :

2 =\frac

En multipliant par q² les deux côtés, nous obtenons alors :

\ 2 \cdot q^2 =p^2

Nous en déduisons que 2 divise p²=p×p et d'après le lemme de Gauss puisque 2 est premier, nous en déduisons que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p=2k. Nous obtenons alors en simplifiant par 2 : :

\ q^2 =2 \cdot k^2

Cette égalité montre, d'après le lemme de Gauss, que 2 divise q. On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ, où l'on avait supposé p et q premiers entre eux. c.q.f.d. ---- Dans son ouvrage « Grundlagen der Geometrie » David Hilbert donna une nouvelle forme à la géométrie et en posa ses fondements. Rappelons quelques-uns des axiomes des fondements de la géométrie :
- I, 3 Sur une droite, il y a au moins deux points ; il existe au moins trois points non alignés.
- II, 2 Deux points A et C étant donnés, il existe au moins un point B appartenant à la droite AC et tel que C soit entre A et B.
- II, 3 De trois points d'une droite, il n'y en a pas plus d'un qui se trouve entre les deux autres.
- II, 4 Soient A, B et C trois points non alignés et a une droite du plan ABC qui ne passe par aucun des points A, B et C ; si la droite a passe par l'un des points du segment AB, alors elle passe ou par un point du segment BC ou par un point du segment AC. Démontrons le théorème suivant : Théorème : :Deux points A et C étant donnés, il existe sur la droite AC au moins un point D situé entre A et C Démonstation :
Considérons la droite AC, d'après l'axiome I, 3, il existe au moins un point E extérieur à cette droite AC. D'après l'axiome II, 2, sur la droite AE il existe au moins un point F tel que E soit compris entre A et F autrement dit tel que E soit un point du segment AF. D'après le même axiome, sur la droite FC, il existe au moins un point G tel que C soit sur le segment FG. D'après II, 3, le point G est donc extérieur au segment FC (sinon C et G sont deux points situés entre F etG). D'après l'axiome II, 4 la droite EG coupe forcément le segment AC en un point D. c.q.f.d.

D'autres formes d'assertions

En général, les affirmations mathématiques doivent être suffisamment intéressantes ou importantes pour que nous puissions leur donner le nom de « théorème ». Selon leur importance ou leur utilité les affirmations peuvent prendre des noms différents :
- lemme : une affirmation qui fait partie de la démonstration d'un théorème plus grand ;
- corollaire : une affirmation qui est une conséquence immédiate d'un théorème ou qui est un théorème très simple ;
- proposition : un résultat qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
- remarque : un résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation. Une affirmation mathématique qui semble vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée conjecture. Comme nous l'avons noté au-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes), et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique propositionnelle, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Voir aussi

- Théorème de Baire
- Théorème de Bolzano-Weierstrass
- Théorème de Cantor-Bernstein
- Théorème intégral de Cauchy
- Théorème de Cayley-Hamilton
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Théorème de Dirichlet
- Théorème de Fatou
- Théorème de Fermat
- Théorème de Fubini
- Théorème fondamental de l'arithmétique
- Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
- Théorème d'incomplétude de Gödel
- Théorème de Green
- Théorème de Hahn-Banach
- Théorème de Lagrange
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Ramsey
- Théorème des résidus
- Théorème de Stone-Weierstrass
- Théorème de Stokes
- Théorèmes de Sylow
- Théorème de Taylor
- Théorème de Thalès
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Théorème de Wilson et plus généralement :
- Liste des théorèmes pour une liste de théorèmes célèbres et de conjectures.

Nombre transcendant

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale :

a_n x^n + a_ x^+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0

où

n \ge 1\,

et les coefficients

a_i\,

sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un

a_n

est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique. L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques. Les premiers nombres bien définis dont on a pu montrer la transcendance sont les nombres de Liouville, démontrés transcendants par Joseph Liouville en 1844. Un exemple de nombre de Liouville est: :

c = \sum_^\infty 10^ = 0,110001000000000000000001000....

dans lequel le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) et 0 sinon. Le premier nombre a avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de

\pi\,

et ainsi montra l'impossibilité de la quadrature du cercle. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce au théorème de Gelfond-Schneider : Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre $a^b\,$ est transcendant. On peut par exemple déduire de ce théorème la transcendance de

e^\,

2^\,

. Ou si a est un nombre algébrique non nul alors

e^ \,

est transcendant. Résultats : considérons l'ensemble A, des nombres algébriques. Alors : #A est un sous-corps de R. En particulier, A est stable par addition et multiplication. #A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de l'ensemble R (les nombres transcendants existent bien).

Exemples

- Le nombre

\pi\,

(voir l'article pi).
- Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
-

e^\,

constante de Gelfond
-

2^\,

(constante de Gelfond-Schneider) ou plus généralement

a^b\,

(voir le théorème de Gelfond-Schneider) où

a \ne 0\,

a\ne 1\,

est algébrique et b est algébrique mais non rationnel. Le cas général du septième problème de Hilbert, c’est-à-dire déterminer si

a^b\,

est transcendant lorsque

a \ne 0\,

a\ne 1\,

est algébrique et b est irrationnel, reste non-résolu.
- La valeur de la fonction trigonométrique

\sin(1)\,

\ln(a)\,

si a est positif, rationnel et

a \ne 1

.
-

\Gamma\left(\frac\right)\,

\Gamma\left(\frac\right)\,

(voir fonction Gamma d'Euler).
-

\Omega\,

, constante de Chaitin.
- Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
- L'un au moins des deux nombres

e + \pi\,

e.\pi\,

est transcendant. En effet,

e\,

\pi\,

sont les racines de l'équation du second degré

x^2 - (e+\pi)x + e.\pi = 0\,

; si

e + \pi\,

e.\pi\,

étaient tous deux algébriques, les deux racines de cette équation seraient algébriques, en contradiction avec le fait connu que les deux nombres

e\,

\pi\,

sont transcendants.
:On conjecture même que

e + \pi\,

e.\pi\,

sont tous deux transcendants.
-

\sum_^ 10^;\qquad \beta > 1\; ,

:où

\ \lfloor \beta \rfloor

est la partie entière de

\ \beta

. Par exemple, si

\beta = 2\,

, alors ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000... Transcendant ja:超越数 ko:초월수 th:จำนวนอดิศัย

Pi

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (Π en majuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède. Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines. La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères. La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même.

\pi\,

se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à

\pi\,

radians.

Analyse

\frac2\pi=
\frac2\cdot
\frac2\cdot
\frac2\ldots

(formule de François Viète, 1593) :

\frac - \frac + \frac - \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

(formule de Leibniz) :

\frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots = \frac

(produit de Wallis) :

\zeta(2) = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

(Euler) :

\zeta(4)= \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac

:et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de

\pi^\,

pour un entier positif n :

\Gamma\left(\right)=\sqrt

(Fonction Gamma d'Euler) :

\int_^ e^ dx = \sqrt

n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt \left(\frac\right)^n

(formule de factorielle de Stirling) :

e^ + 1 = 0\;

(Identité d'Euler, aussi appelé « La formule la plus remarquable au monde ») :π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables : :

\frac = 1 + \frac

=

(William Brouncker) :

\frac = 1 + \frac

:(Il y a d'autres représentations sur [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/]) :

\sum_^ \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2

où

\varphi\,

est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey). :

\int_0^1 \sqrt\ dx = \,

(Aire d'un quart de cercle unité)

Théorie des nombres

:La probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux vaut 6/π². :Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) est π/4.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

\lim_ \frac \sum_^ \sqrt = \frac

:presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

Physique

\Delta x \Delta p  \ge \frac

(Inégalité de Heisenberg) :

R_ -  + \Lambda g_ =  T_

(Équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas d'expression simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec seulement quelques décimales sur toutes celles découvertes à ce jour serait : :3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679. plus... Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Historique du calcul de Pi

Au les Babyloniens utilisaient l'approximation 25/8 et les Égyptiens (16/9)²(= 3.16049...) qui était une assez bonne approximation. Ce ne fut qu'au qu'une meilleure approximation fut utilisée : vers 250 av. J.-C., grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle par deux polygones, Archimède obtint : 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), soit 2 décimales exactes. Au Moyen-Orient en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit écrit sur sa tombe. Ensuite, grâce au développement de l'analyse au , avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec les 14 décimales obtenues par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shank passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945. Le calcul des décimales de Pi s'emballa au avec l'apparition de l'informatique : 2037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. Le record actuel, obtenu en 2002 est de 1 241 100 000 000 décimales.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, dont des formules similaires sont encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide : :

\frac = 4 \arctan\frac - \arctan\frac

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec :

(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 -114244i

. Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin. Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales. On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes). Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela: :

\frac = 12 \arctan\frac + 32 \arctan\frac - 5 \arctan\frac + 12 \arctan\frac

(K. Takano, 1982) :

\frac = 44 \arctan\frac + 7 \arctan\frac - 12 \arctan\frac + 24 \arctan\frac

(F. C. W. Störmer, 1896) Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, ont découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

\pi = \sum_^ \frac \left( \frac - \frac - \frac - \frac\right)

Cette formule permet de calculer facilement la n décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ site] de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000 chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001. Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la n décimale de π, mais cette fois ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html).

Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont: :

\frac = \frac \sum^\infty_ \frac

(formule du à Ramanujan) :

\frac = 12 \sum^\infty_ \frac

(formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Retenir pi

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème : :Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages ! :Immortel Archimède, artiste, ingénieur, :Qui de ton jugement peut priser la valeur ? :Pour moi ton problème eut de pareils avantages. Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale. En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de pi en 13 heures. Cet exploit a été homologué par le livre Guinness des records

Questions ouvertes

La question ouverte la plus importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de chiffres apparaît dans la valeur décimale de π, comme on s'y attendrait dans une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Ceci devrait être vrai dans n'importe quelle base, pas seulement en base 10. On ne sait pas non plus quels sont les chiffres dont le nombre d'apparitions est infini. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires implique la normalité en base 2 de π.

De la nature de π

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

Voir aussi

Liens internes

- Journée de π
- La bibliothèque de Babel
- Les décimales de π sur Wikisource : 1 000 - 2 000 - 10 000 - 100 000 - 1 000 000 - - 1 500 000

Livres

- Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9
- Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Editions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435

Liens externes

- [http://www.pi314.net pi314.net] : un magnifique site entièrement dédié à pi
- [http://www.nombrepi.com/ www.nombrepi.com] : un site dédié au nombre pi
- [http://www.peripheria.net/ Peripheria] : le portail francophone sur le nombre pi
- [http://www.dr.phlegmon.free.fr/pi/pi.htm Exposé sur Pi "Comment approximer la constante?" , démonstrations de la formule de Viète, du théorème de Buffon, utilisation de la radioactivité]
- [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html le site Wolfram Mathematics] compile de nombreuses formules pour π
- [http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html Finding the value of Pi]
- [http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html PlanetMath: Pi]
- [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.jp quelques décimales sur un site japonais]
- [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/ un million de décimales]
- [http://rlwpx.free.fr/WPFF/pi.htm programme] pour extraire les décimales de Pi Pi
- als:Pi ja:円周率 ko:원주율 simple:Pi th:ไพ

Base naturelle des logarithmes

Définition

La constante mathématique

e

(parfois appelée constante de Néper du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement : e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4... e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite : :

e = \lim_ \left(1+\frac\right)^n

et peut être aussi écrit comme une somme de série :

e =  + 
  +  + 
  +  + \cdots

Ici

n!

représente la factorielle de

n

Origine de la définition

Le nombre e est avec le nombre

, la constante réelle probablement la plus importante des mathématiques. Cette constante définit la base des morphismes continus de

(

dans

(

. En d'autres termes, cela signifie que le nombre e est la base des fonctions qui transforment l'addition en multiplication. :

\forall x, y \in \mathbb,\,\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)

Tout morphisme continu de

(

dans

(

s'obtient facilement une fois la fonction exponentielle de base e connu. En effet, si f est le morphisme qui à la valeur 1 associe la valeur a élément de

\mathbb

, on peut alors montrer que : :

\forall x \in \mathbb,f(x) = \exp(\ln(a)\times x)

\ln(a)\,

désigne le logarithme naturel de a.

Intérêt historique

Le premier intérêt de cette fonction fût de permettre le calcul rapide de multiplications à l'aide de la table des logarithmes. Illustrons le fonctionnement de ce calcul à l'aide d'un exemple. Imaginons que nous souhaitons multiplier 1234 par 254. La table des logarithmes nous donne : :

\ln(1 234)=7,118\,

\ln(254)=5,537\,

avec une précision de 4 chiffres significatifs. Nous avons donc, à la précision des approximations près, l'égalité suivante: :

1 234\times 254\,=\,\exp(\ln(1 234))\times \exp(\ln(254))\,=\,\exp(7,118\,+\,5,537)\,

La multiplication se résume alors, si l'on possède les tables de logarithmes à l'addition de 7,118 avec 5,537. :

1234\times 254\,=\,\exp(12.655)\,=\,313436\,

Avant l'apparition de la machine à calculer, les tables de logarithmes et les rêgles à calcul fondé sur les propriétés de la constante de Néper étaient des outils largement utilisés pour le calcul.

Base des logarithmes naturels et trigonométrie

La constante e et la trigonométrie sont intimement liés. La base du problème des morphismes continus de

(\mathbb,+)

dans

(

est toujours l'exponentielle de base e. Cette propriété permet de définir simplement la notion de fonction trigonométrique de base : sinus et cosinus grace à l'égalité suivante: :

\forall \theta \in \mathbb\ e^ = \cos \theta\,+\,i \,\sin \theta\,

De cette égalité découle naturellement la très belle identité d'Euler qui lie les grandes constantes de

\mathbb

. :

e^+1=0 \,

Base des logarithmes naturels et calcul différentiel

La constante de Néper intervient de manière fondamentale dans le calcul infinitésimal. En effet, l'exponentielle de base e a pour dérivée elle même. En d'autres termes, cela signifie que cette fonction croît proportionnellement à sa valeur. Ainsi par exemple, si une population engendre 2 nouveaux membres par individu sur une période constante, alors sa croissance sera exponentielle. Cette propriété s'exprime par le fait que l'exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle suivante: :

y' - y = 0\,

Toute solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un utilise la constante de Néper. De manière générale toute équation différentielle linéaire nécessite la fonction exponentielle réelle ou complexe pour s'exprimer. Ces propriétés permettent de définir tout un ensemble de formules autour de la constante de Néper dont nous donnons ici le développement en fraction continue qui suit un motif intéressant : :

e=2+\frac

Base des logarithmes naturels et théorie des nombres

La constante de Néper apparaît largement dans la théorie des nombres. Les mathématiciens se sont très tôt intéressé à la nature du nombre e. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873. Et les propriétés de ce nombre sont à la base du Théorème de Lindemann-Weierstrass. Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.

Démonstration de l'irrationalité de e

- Démonstration de l'irrationalité de e catégorie:constante mathématique ja:ネイピア数 ko:E (수학상수)

Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512,

2 \times 10^3

... Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse. Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel. Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou

\mathbb

. On note

\mathbb^ -

l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) » ... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent. On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ». Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Comme une quantité ne peut être moindre que un, zéro n'est pas un nombre ! heureusement d'ailleurs, sinon, 1 serait le deuxième nombre !

Quelques pistes à propos du zéro

Les chiffres vont de 1 à 9 et permettent d’écrire les nombres. Qu’en est-il du zéro ? Zéro est-il un chiffre ? Zéro, çifr en arabe, signifie vide. C'est la racine du mot chiffre, elle maintient une vérité fondamentale, l'illusion de tout ce qui est quantifiable. Le zéro métaphysique est le « Non-être » symbolisé par le « vide » dans les traditions orientales. « Avant l'Un, que peux-tu compter ? » demande l'auteur du Sepher Ietsirah. Peut-il y avoir une quantité moindre que zéro ? « Avancer qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres. » (Carnot - Notes sur les quantités négatives) En effet, zéro « représente purement et simplement l'absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable. » (René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal – NRF Gallimard, 1946, p. 97) Force est de constater qu'en mathématique la division par zéro n'a pas de sens ; elle est dite impossible A noter que le concept de nombre nul ainsi que la définition de l'infini comme inverse du zéro apparaissent dans la publication du mathématicien et astronome indien Brahmagupta (628). (Voir Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, R. Laffont, 1994, tome II, p. 460). Leibniz, redécouvrant la nature binaire de la manifestation, remplace le 1 et le 2 par le 0 et le 1 qui sont restés les deux signes utilisés dans le langage des ordinateurs. « Dans son arithmétique binaire, Leibniz voulait voir l'image de la Création. Il imaginait que l'unité représentait Dieu et zéro le néant ; que l'Etre Suprême avait tiré tous les êtres du néant ; de même que l'unité et le zéro expriment tous les nombres dans son système de numération. » (Laplace - Exposition du Système du Monde - Livre V, chap. VI) Ce point de vue amène cette remarque de René Guénon : « Les mathématiciens ayant (...) le tort de regarder le zéro comme une sorte de symbole du néant, comme si le néant pouvait être symbolisé par quoi que ce soit, il semble résulter de là que l'équilibre est l'état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière » (Les Principes du Calcul infinitésimal - Op. cit., p. 106). Les mathématiques n'ont pas cessé pourtant d’abandonner toute base métaphysique. Pascal serait très étonné de nos soi-disant certitudes. Pour lui, il était évident que zéro représentait le rien. N'a-t-il pas écrit : « J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ôte quatre reste zéro » ? (Pensées - Hachette, 1973, p. 30) Depuis, le résultat de cette opération est devenu (-4). Les nombres négatifs sont bien une « création » de l'homme au sens où l'entend Guénon. Qu'en est-il actuellement ? Un mathématicien contemporain écrit, à la page zéro de son livre : « Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. » (François Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris : Herman, 1983, p. 0). Voilà donc un livre dont la première page est la page 0, la deuxième la page 1... L'absence de quantité peut-elle faire nombre ? La logique purement mentale a fini par supplanter l'intelligence métaphysique. Avant l'invention du zéro par les Indiens, on laissait en effet, dans l'écriture d'un nombre, un espace pour indiquer l'absence de quantité. Cela était cause de maintes erreurs : « Des tablettes portant des inscriptions cunéiformes prouvent qu'à cette époque, sous le signe du roi Hammourabi, les mathématiciens de Babylone réalisaient d'étonnantes prouesses de calcul. L'usage du zéro leur était inconnu et un espace symbolisait l'absence de chiffre d'un ordre donné ; cependant, cet espace était souvent oublié, d'où une certaine ambiguïté dans les nombres transcrits. » (Bergmani, Les Mathématiques - Life, 1965, p 16). Al-Khowarizmi écrit : « Nous avons décidé d'exposer la manière de compter des Indiens, à l'aide de IX caractères et de montrer comment, grâce à leur simplicité et leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les nombres. » (Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens) Dans son traité sur les nombres hindous, il a popularisé une sentence qui devint traditionnelle : « Lorsqu'il ne reste rien, faites figurer un petit cercle pour que la place ne demeure pas vide. » L'emploi des dix signes de notre numération est cependant antérieur. Cependant, la numération décimale basée sur le principe de position et sur l'emploi du signe “zéro” était déjà utilisée par le chimiste Abu Musa Gabir ibn Hayyan, qui vivait vers 776, dans son livre Les Poissons. (Voir Georges Ifrah,- Histoire universelle des chiffres , op. cit). Dès le début du VIe siècle les mathématiciens indiens Brahmagupta et Bhâskara révélaient dans leurs œuvres une parfaite maîtrise de la numération décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro dont la découverte remonterait aux IVe-Ve siècles. En Europe, c'est le moine Gerbert, devenu pape sous le nom de Sylvestre II, qui introduisit le zéro dans la numération au Xe siècle. On a peine à imaginer ce que fut l'apport des chiffres indiens. En arabe ancien, comme en hébreu et en grec, on ne distinguait pas les chiffres des lettres et ceux-ci étaient à l'origine des hiéroglyphes. (Voir A. Youschkevitch, Les Mathématiques arabes : XIIe-XIVe s., Paris : A. Vrin, 1976, tome I, p. 165). Ainsi le radical hébreu yd se retrouve aussi bien dans y(o)d, dixième lettre de l'alphabet signifiant « dix », que dans y(a)d signifant « main ». L'emploi du zéro était connu des Mayas qui le représentait par la coquille, liée à la mort, ou par l'escargot. (Voir Girard Raphaël, Le Polpol-Vuh : histoire culturelle des Mayas-Quichés - Paris, 1954, p. 42). Zéro, chez les Babyloniens, « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle”. » (Georges Ifrah, Op. cit., tome I, p. 774). Comme les Babyloniens, les Egyptiens laissaient un espace vide pour mettre en évidence le fait qu'il n'y avait rien. Ceci est symboliquement plus juste, mais beaucoup moins pratique et source de multiples erreurs. Comment représenter le rien par un signe ? La représentation par un petit rond, un cercle, est incorrecte puisque le cercle est engendré à partir du zéro. La ligne droite, courbe ou circulaire, que l'on dit formée de points n'est-elle pas en réalité formée de zéros puisque le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur et n’est donc représentable que par approximation ? Paradoxalement, le vide est plein : chacun sait que « la Nature a horreur du vide ». Au plan métaphysique, la mort à soi-même est vacuité. « Qui atteint à sa vertu primitive s'identifie avec l'origine de l'Univers et par là avec le vide. » (Chuang-Tzu, ch. Ciel-Terre in François Chang- Vide et Plein. Le langage pictural chinois - Paris : Seuil, 1979). Le vide est plein de tous les possibles. « A l'origine, il y a le Rien (wu) ; Le Rien n'a point de nom. Du Rien est né l'Un ; L'Un n'a point de forme. » (Tao Té King) Le Un métaphysique n'est pas le un mathématique. Il en est de même pour le zéro : « le Zéro métaphysique n'est qu'un aspect de l'Infini ; du moins il nous est permis de le considérer comme tel en tant qu'il contient en principe l'unité, et par suite tout le reste. En effet, l'unité primordiale n'est que le Zéro affirmé, ou, en d'autres termes, l'Etre universel, qui est cette unité, n'est que le Non-être affirmé... ». (René Guénon, Les Etats multiples de l'Etre - Véga, Paris, 1980, p. 37-38) L’abandon, au non de la raison et de la logique cartésienne de toute base métaphysique est-elle un progrès pour l’humanité ? A voir les conséquences, il est permis d’en douter. « Science sans conscience n’est que ruine de l’äme » écrivait Montaigne.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.
- 0 est neutre pour l'addition: le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre. :a+0=a :5+0=5 :13+0=13 :4+0=4
- L'addition est commutative: l'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat. :a+b=b+a :5+3=3+5 :8+4=4+8 :17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.
- 1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre. :a × 1 = a :5 × 1 = 5 :13 × 1 = 13 :4 × 1 = 4
- La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat. :a × b = b × a :5 × 3 = 3 × 5 :8 × 4 = 4 × 8 :17 × 2 = 2 × 17
- Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant : :0×n=0 :m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi

- La construction des entiers naturels
- Les nombres premiers
- Les nombres parfaits
- Les nombres quasi-parfaits
- Les nombres semi-parfaits
- Les nombres abondants
- Les nombres superabondants
- Les nombres amicaux
- Les nombres déficients
- Les nombres sociaux
- Les nombres amiables
- Les nombres chanceux
- Les nombres étranges
- Les nombres tordus
- Les nombres harmoniques
- Les nombres triangulaires
- Les nombres hexagonaux
- Les nombres figurés
- Les nombres chromatiques
- Le raisonnement par récurrence
- Les Axiomes de Peano Catégorie:Nombre ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Entier relatif

Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit

\mathbb Z

comme le quotient de

\mathbb N\times\mathbb N

par la relation

(a,b)R(a',b')

si, et seulement si,

a+b'=a'+b

, i.e. un couple

(a,b)

représente l'intuitif entier relatif

a-b

. Cet ensemble est noté

\mathbb Z

, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre). Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux. La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit,

(\mathbb Z,+)

est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation

R

admet un représentant ayant ou bien la forme

(0,a)

(il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme

(a,0)

(il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément

(0,0)

étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi

\mathbb Z

peut être vu comme la donnée

(\\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \)

. Ainsi on vérifie aisément que

R

est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que

(0,0)

est un élément neutre et que

(a,0)

(0,a)

sont symétriques l'un de l'autre (i.e.

(a,a)R (0,0)

)pour tout

a \in \mathbb N

. Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans

\mathbb Z

, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (

\mathbb Z

, +,
- ) est un anneau commutatif. Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini. La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.

Voir aussi

Construction des entiers relatifs Catégorie:Nombre ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Nombre rationnel

\mathbb Q

Développement décimal

Rationnels, irrationnels

\mathbb R = \bar \mathbb Q

Autres écritures

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction. Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction: :

178,\underline = \frac   = \frac   = 178

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline = \frac  = \frac

178,\underline  = \frac  = \frac

Et lorsque la période est décalée :

178,10\underline  = \frac   = \frac  = \frac  = \frac

L'on peut prouver que

12,9......9 = 13\,

en procédant de la sorte :

12,9999....9 = 12,\underline = \frac  = \frac  = \frac  = 13

Liens externes

Nombre complexe

En mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels : ils sont apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs. Une conséquence immédiatement visible est que si l’on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes. Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe. Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Tout polynôme non constant admet autant de racines complexes que son degré. L’étude des fonctions dérivables au sens complexe est une branche des mathématiques appelée analyse complexe. Les nombres complexes furent « inventés » au par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. La présentation géométrique vient entre autres de l’abbé Buée et d’Argand.

Approche vulgarisée des nombres complexes

Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d’étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes . Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode. En effet, ils présentent un aspect double :
- de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
- de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, sont une pure abstraction. Nous allons essayer, dans cette partie, d’avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard [1].

X et i

Lorsque l’on manipule les x d’une équation, inéquation ou système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion que ce nombre n’existe pas, par exemple : :

\left\

Nombre p-adique

ja:P進数 catégorie:Algèbre p-adique En mathématiques, un nombre p-adique est un élément du corps

\mathbb Q_p

des nombres p-adiques, où p est un nombre premier donné. On parle donc de nombre 2-adique, 3-adique, etc. Les corps

\mathbb Q_p

des nombres p-adiques sont construits par complétion du corps

\mathbb Q

des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique et notée

|.|_p

. En un sens, les corps

\mathbb Q_p

sont apparentés au corps

\R

des nombres réels, qui est également une complétion du corps des nombres rationnels lorsque la norme considérée est la valeur absolue habituelle. La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries de puissances dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, il est possible de munir un corps

\mathbb Q_p

d'une norme non-archimédienne. On obtient alors une analyse différente de l'analyse usuelle, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne. Pour un nombre premier donné

p

, on définit la norme p-adique sur

\mathbb Q

comme suit :
la norme p-adique

|r|_p

d'un rationnel

r

vaut

lorsque

r

se décompose en

r =  \cdot p^k

avec

a

b

k

entiers relatifs,

b>0

a

b

p

premiers entre eux (une telle décomposition est unique).
Si

r

est entier,

k

est simplement le plus grand exposant d'une puissance de

p

qui divise

r

. En quelque sorte, plus

r

est divisible par

p

, plus sa norme p-adique est petite. Par exemple, pour

r =  = 2^\times 3^2\times 5^\times 7\times 11^

:
:

|r|_2=2

|r|_3=

|r|_5=25

|r|_7=

|r|_=11

|r|_p=1

pour tout autre nombre premier. On peut montrer que tout norme sur

\mathbb Q

est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique

d_p

sur

\mathbb Q

en posant : :

d_p(x,y)=|x-y|_p

Le corps

\mathbb Q_p

des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (

\mathbb Q

d_p

). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient

\mathbb Q

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques. On définit l'anneau des entiers p-adiques

\mathbb Z_p

comme la limite projective des anneaux

\mathbb Z/p^n\mathbb Z

. Un entier p-adique est alors une suite

(a_n)_

telle que

a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z

et que, si

n, a_n=a_m [p^n] .

Par exemple, 35 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35 \ldots) .

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite (a_n) dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.

L'anneau des entiers

p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps

\mathbb Q_p

des nombres p-adiques.

Décomposition canonique de Hensel

Soit

p

un nombre premier. Tout élément non nul

r

\mathbb Q_p

(et en particulier tout élément de

\mathbb Q

) s'écrit de manière unique sous la forme : ::

r = \sum_^\infty a_i p^i

où

k \in \Z

et les

a_i

sont des nombres entiers compris entre

0

p-1

. Cette écriture est la décomposition canonique de

r

comme nombre p-adique. Cette série est convergente suivant la métrique p-adique. On note

\Z_p

l'ensemble des éléments de

\mathbb Q_p

tels que

k\ge 0

et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques.

\Z_p

est un sous-anneau de

\mathbb Q_p

. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de

\mathbb Q_p

, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels. Par exemple, avec

p = 2

:
-

1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2

(le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
-

-1 = \sum_^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2

: on peut vérifier que, puisque

\ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2

, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
-

3 = \ldots 000011_2

= 1 + \sum_^\infty 2^= \ldots 01010101011_2

: en multipliant ce résultat par

\ldots 000011_2

, on retrouve 1.
-

\sum_^\infty 2^

représente un élément de

\mathbb Q_p

(et même de

\mathbb Z_p

) qui n'est pas dans

\mathbb Z

. Un autre exemple, avec

p = 7

: 2 n'a pas de racine carrée dans

\mathbb Q

mais en possède une dans

\mathbb Q_7

, à savoir

\sqrt = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7

Propriétés

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable. Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas possible d'en faire un corps ordonné. La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets. Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. La clôture algébrique des nombres p-adiques est infinie. Les corps

\mathbb Q_p

ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un

\mathbb Q_p

n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée

\Omega^p

et elle est algébriquement close. Le corps

\Omega^p

est isomorphe au corps

\mathbb C

des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Il faut cependant noter que l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et qu'il n'est pas possible d'en expliciter un. Les nombres p-adiques contiennent le n corps cyclotomique si et seulement si

n

divise

p-1

. Par exemple, les 1, 2, 3, 4, 6 et 12 corps cyclotomiques sont des sous-corps de

\mathbb Q_

. Le nombre e n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant,

e^p

est un nombre p-adique, sauf si

p=2

e

est un élément de la clôture algébrique de tous les corps p-adiques. Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction :

f:\mathbb Q_p \rightarrow \mathbb Q_p

f(x)=\left\

Brilsmurf

] Brilsmurf is een smurf. Zijn stem was in de Nederlandse tekenfilmversie in eerste instantie van Frans van Dusschoten. Hij ziet zichzelf als plaatsvervanger en uiteindelijke opvolger van Grote Smurf. In de tekenfilmversie van 'De Smurführer' (Koning Smurf) was hij het die de titelrol vervulde (in het oorspronkelijke stripverhaal had hij slechts een bijrol). Brilsmurf weet het altijd beter te smurfen, maar heeft het toch altijd bij het verkeerde eind. Met zijn gesmurf werkt hij de andere smurfen snel op de zenuwen en wordt dan vaak hardhandig tot zwijgen gebracht. Het woord wordt ook gebruikt als scheldnaam.

Brilsmurf in andere talen

- Duits: Schlaubi
- Engels: Brainy smurf
- Frans: le Schtroumpf à lunettes
- Hebreeuws: Bar Moach (בר מוח - betekent 'met verstand') Categorie:Smurf

Malaga accommodation jelenia g�ra og�oszenia t�uszcze wagi elektroniczne cheap tickets

:: RELATED NEWS ::