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Nombre P-adique

Nombre p-adique

ja:P進数 catégorie:Algèbre p-adique En mathématiques, un nombre p-adique est un élément du corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques, où p est un nombre premier donné. On parle donc de nombre 2-adique, 3-adique, etc. Les corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques sont construits par complétion du corps \mathbb Q des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique et notée |.|_p. En un sens, les corps \mathbb Q_p sont apparentés au corps \R des nombres réels, qui est également une complétion du corps des nombres rationnels lorsque la norme considérée est la valeur absolue habituelle. La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries de puissances dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, il est possible de munir un corps \mathbb Q_p d'une norme non-archimédienne. On obtient alors une analyse différente de l'analyse usuelle, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne. Pour un nombre premier donné p, on définit la norme p-adique sur \mathbb Q comme suit :
la norme p-adique |r|_p d'un rationnel r vaut lorsque r se décompose en r = \cdot p^k avec a, b et k entiers relatifs, b>0 et a, b et p premiers entre eux (une telle décomposition est unique).
Si r est entier, k est simplement le plus grand exposant d'une puissance de p qui divise r. En quelque sorte, plus r est divisible par p, plus sa norme p-adique est petite. Par exemple, pour r = = 2^\times 3^2\times 5^\times 7\times 11^ :
:|r|_2=2 :|r|_3= :|r|_5=25 :|r|_7= :|r|_=11 :|r|_p=1 pour tout autre nombre premier. On peut montrer que tout norme sur \mathbb Q est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique d_p sur \mathbb Q en posant : :d_p(x,y)=|x-y|_p Le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (\mathbb Q, d_p). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient \mathbb Q

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques. On définit l'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_ telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n, a_n=a_m [p^n]. Par exemple, 35 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35 \ldots). L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite (a_n) dont le premier élément n'est pas nul a un inverse. L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques.

Décomposition canonique de Hensel

Soit p un nombre premier. Tout élément non nul r de \mathbb Q_p (et en particulier tout élément de \mathbb Q) s'écrit de manière unique sous la forme : ::r = \sum_^\infty a_i p^i où k \in \Z et les a_i sont des nombres entiers compris entre 0 et p-1. Cette écriture est la décomposition canonique de r comme nombre p-adique. Cette série est convergente suivant la métrique p-adique. On note \Z_p l'ensemble des éléments de \mathbb Q_p tels que k\ge 0 et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. \Z_p est un sous-anneau de \mathbb Q_p. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de \mathbb Q_p, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels. Par exemple, avec p = 2 :
- 1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2 (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
- -1 = \sum_^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2 : on peut vérifier que, puisque \ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
- 3 = \ldots 000011_2
- = 1 + \sum_^\infty 2^= \ldots 01010101011_2 : en multipliant ce résultat par \ldots 000011_2, on retrouve 1.
- \sum_^\infty 2^ représente un élément de \mathbb Q_p (et même de \mathbb Z_p) qui n'est pas dans \mathbb Z. Un autre exemple, avec p = 7 : 2 n'a pas de racine carrée dans \mathbb Q mais en possède une dans \mathbb Q_7, à savoir \sqrt = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7.

Propriétés

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable. Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas possible d'en faire un corps ordonné. La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets. Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. La clôture algébrique des nombres p-adiques est infinie. Les corps \mathbb Q_p ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un \mathbb Q_p n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée \Omega^p et elle est algébriquement close. Le corps \Omega^p est isomorphe au corps \mathbb C des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Il faut cependant noter que l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et qu'il n'est pas possible d'en expliciter un. Les nombres p-adiques contiennent le n corps cyclotomique si et seulement si n divise p-1. Par exemple, les 1, 2, 3, 4, 6 et 12 corps cyclotomiques sont des sous-corps de \mathbb Q_. Le nombre e n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, e^p est un nombre p-adique, sauf si p=2. e est un élément de la clôture algébrique de tous les corps p-adiques. Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction :f:\mathbb Q_p \rightarrow \mathbb Q_p, f(x)=\left\

Corps (mathématiques)

ko:체 (수학) ja:体 (数学) catégorie:Théorie des anneaux En mathématiques, un corps est une structure algébrique. Le corps est comparable au groupe, mais muni de deux opérations. L'histoire des corps a débuté réellement avec Évariste Galois, qui a du même coup de génie découvert les groupes, et les actions de groupe.

Définition

Un corps est une structure algébrique consistant en un anneau unitaire dont tous les éléments non-nuls sont inversibles. Un corps est dit commutatif si c'est un anneau commutatif, c'est-à-dire si sa multiplication est commutative. La plupart des corps que l'on manipule habituellement sont commutatifs, c'est pourquoi on ajoute souvent cette condition à la définition d'un corps. La terminologie universitaire française, sous l'influence de l'anglais, fluctue ; souvent, elle considère que les corps sont tacitement commutatifs, les corps non commutatifs ou corps gauches étant déclarés tels, et parfois dénommés anneaux à (ou de) division.

Notation

Souvent, un corps est noté avec une lettre « à la craie », et très souvent, cette lettre est K, comme le mot allemand Körper: :\mathbb. On se dispense en général de préciser les notations pour les lois et leurs éléments neutres: « \mathbb est un corps » doit se comprendre comme: « (\mathbb,+,\cdot,0,1) est un corps ».

Exemples


- \mathbb, le corps des nombres rationnels;
- \mathbb, le corps des nombres réels;
- \mathbb, le corps des nombres complexes;
- \mathbb_q, le corps fini à q éléments.

Propriétés


- la caractéristique d'un corps est nulle ou est un nombre premier ;
- la caractéristique d'un corps fini est un nombre premier, et son cardinal est de la forme q=p^n.
- tout morphisme d'anneaux unitaire entre un corps et un anneau unitaire est injectif.
- un corps fini est commutatif et pour un cardinal donné (p^n avec p premier) il est unique. Il est constitué de 0 et des racines du polynôme X^-1.

Voir aussi


- algèbre abstraite
- corps finis
- théorie de Galois
- corps de nombres
- corps valués

Complétion métrique

ja:完備 Catégorie:Topologie En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy d'éléments de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque \sqrt n'y figure pas. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

Exemples

Soit l'espace \mathbb Q des nombres rationnels. Considérons la suite définie par : :x_1 = 1 et x_ = + . C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à \mathbb Q. En fait elle converge vers le nombre irrationnel \sqrt. L'intervalle ouvert ]0,1[ n'est pas complet non plus. La suite (, , , \ldots) est une suite de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle. Toutefois, l'intervalle réel fermé [0,1] est complet, la suite précédente ayant une limite valant 0 dans cet intervalle. L'espace \R des nombres réels et l'espace \mathbb C des nombres complexes sont complets ainsi que l'espace euclidien \R^n. Les autres espaces vectoriels normés peuvent être complets ou pas ; ceux qui le sont sont les espaces de Banach. Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont complets. L'espace \mathbb Q_p des nombres p-adiques est complet pour tout nombre premier p. Cet espace complète \mathbb Q avec la métrique p-adique tout comme \R complète \mathbb Q avec la métrique euclidienne. Si S est un ensemble donné, l'ensemble S^ des suites de S devient un espace métrique complet si on définit la distance entre les suites (x_n)_ et (y_n)_ comme étant égale à 1\over N où N est le plus petit indice pour lequel x_N \ne y_N, ou 0 si un tel indice n'existe pas.

Quelques théorèmes

Tout espace métrique compact est complet. En fait tout espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et borné. Un sous-espace d'un espace complet est complet si et seulement s’il est fermé. Si X est un ensemble et M un espace métrique complet, alors l'ensemble B(X,M) des fonctions bornées de X dans M est un espace métrique complet. On définit la distance dans B(X,M) en terme de distance dans M : :d(f,g) := \sup\left\. Si X est un espace topologique et M un espace métrique complet, alors l'ensemble C_b(X,M) des fonctions continues bornées de X dans M est un sous-espace clos de B(X,M) et donc également complet. Le théorème de Baire montre que tout espace métrique complet est un espace de Baire. Toute application f contractante d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe qui est limite de toute suite définie de la manière suivante: x_0\, quelconque x_=f(x_n)\,

Complété d'un espace métrique

Pour tout espace métrique M, il est possible de construire un espace métrique complet M' (également noté \tilde M ou \hat M) qui contient M comme sous-espace dense. Il possède la propriété suivante : si N est un espace métrique complet quelconque et f est une fonction uniformément continue de M vers N, alors il existe une unique fonction uniformément continue f' de M' vers N qui prolonge f. M' est appelée complété de M. Le complété de M peut être construit comme l'ensemble des classes d'équivalence des suites de Cauchy de M. Pour deux suites de Cauchy (x_n)_ et (y_n)_ de M, on définit la relation : :x R y \Leftrightarrow \lim_ d(x_n,y_n) = 0 où d est la distance sur l'ensemble M (cette limite existe car les suites convergent, la distance est une valeur réelle et les nombres réels sont complets). Cette relation n'est pas celle d'une distance nulle, car deux suites de Cauchy distinctes peuvent être en relation. On définit le complété de M comme l'ensemble des classes d'équivalence de la relation précédente. L'espace originel est plongé dans le nouvel espace par identification d'un élément x de M avec la classe d'équivalence des suites qui convergent vers x (c’est-à-dire la classe d'équivalence qui contient la suite constante de valeur x). La construction des nombres réels est un cas particulier; l'ensemble des nombres réels est le complété de l'ensemble des nombres rationnels, la valeur absolue usuelle étant utilisée comme distance. En utilisant d'autres notions de distance sur les nombres rationnels, on obtient d'autres ensembles, les nombres p-adiques. Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense. Appliquée à un espace préhilbertien, on obtient un espace de Hilbert.

Espace topologiquement complet

La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. L'ensemble des nombres réels, par exemple, est complet et homéomorphe à l'intervale ]0,1[ qui n'est pas complet. En topologie, un espace est considéré comme topologiquement complet s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Un tel espace est également appelé espace polonais. Exemple : c'est le cas de l'ensemble ]0,1[ qui n'est pas complet avec la distance usuelle, mais qui le devient avec la distance d(x,y) = | \tan(\pi x - \pi/2) - \tan(\pi y - \pi/2) |.

Nombre réel

Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

Des nombres et de leurs origines

Problématique et première solution

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des nombres rationnels. Cette solution est finalement performante. Elle permet d'approximer toute longueur avec une précision supérieure à nos besoins. Les premiers systèmes connus sont ceux des Sumériens, ce sont en effet les premiers qui ont noté et donc laissé une trace visible de leurs pensées. Non seulement la notion de fraction était formalisée, mais cette notion était normalisée et des dénominateurs, que l'habitude avait rendu intuitifs, étaient communs à tout leur peuple. Leur habitude a perduré jusqu'à nous dans quelques domaines. La représentation du temps est une trace vivante de leur manière de représenter une grandeur mesurable. Illustrons nos propos par un exemple : comment exprimer 20.695=\frac en sumérien ? Les Sumériens disent que la durée est d'approximativement 20 jours car ils remarquent que \frac=20+\frac. Ensuite ils disent que la durée est plus précisement 20 jours et une demie journée car ils remarquent que \frac=20+\frac+\frac. Enfin on trouve 20 jours une demie journée 4 heures 40 minutes et 48 secondes car \frac=20+\frac+\frac+\frac+\frac. Nous utilisons encore leur système aujourd'hui.

La formalisation d'Euclide

fraction La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au . Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques. :Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. :Un pont est bati entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont mis en correspondance avec les points d'une droite orientée, appelée droite réelle. Considérons une droite D contenant un point O que par convention nous appellerons origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que nous identifierons au nombre 1. Par convention nous dirons que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même coté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative. Ce nombre est appelé abscisse du point M considéré. Cette relation que notre formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite. Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux.
Droite réelle
l'abscisse du point Q est égale à -\frac=-3, OI et OQ désignant les distances de O à I et de O à Q respectivement

Problèmes des nombres rationnels

Le début des problèmes

Droite réelle Le pont entre l'arithmétique et la géométrie ne tarda pas à porter ces fruits. Une incohérence apparu.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement mathématique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à à la longueur de la diagonale du carré A, alors on vérifie l'égalité l2 = 2. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de la géométrie.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut avoir de carré égal à 2. Ici, nombre signifie fraction car il rien d'autre n'est encore imaginable. La démonstration est donnée en appendice. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de l'arithmétique. Nous voilà devant une situation incompréhensible. Les mathématiques sont capables de prouver à la fois qu'une proposition est vrai et fausse. Pourtant aucune erreur n'est visible. Il faudra plus de deux millénaires pour que l'humanité comprennent pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et comment bien les représenter. Cette histoire est l'histoire des nombres réels. Il est à noter que Pythagore savait probablement que certaines racines sont irrationnelles. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Les problèmes continuent

Pythagore Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division devient véritablement complexe si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est parfaitement décrit par l'article Fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets. L'école mathématique grec, tout de même mieux équipée que ses confrêres égyptiens se désintéressa de cette problématique, à quelques exceptions notoire comme Diophante d'Alexandrie. Il fallu une autre source de savoir. Elle vint de perse par le mathématicien Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī pour introduire dans la pensée européenne du moyen-age des concepts comme la numérotation indienne, le zéro et une pensée de type algèbrique et non uniquement géométrique. Il fallu encore des siècles pour découvrir des notations pratiques et un système décimal véritablement opérationnel. Un deuxième problème apparaît. Peut-on écrire toutes les fractions de manière décimal ? La réponse est oui à condition d'accepter que les suite de décimales ne s'arrètent pas. Or une analyse des développements décimaux montre que la suite de décimales est périodique pour une fraction. Et si la suite des décimales ne l'est pas ? Par exemple, le nombre 0.1010010001... correspond il à une longueur? Notre intuition nous dit que oui, mais la raison montre que cette valeur ne peut être une fraction. Quel sens lui donner alors?

Les problèmes s'aggravent

développements décimaux Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l' analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse. calcul infinitésimal Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une extrème complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition que d'une explicitation formelle limpide. Pour comprendre la raison de l'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions, il faut savoir que cette branche des mathématiques se fondent sur l'analyse des infiniments petits. Or on pourrait intuitivement comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle mais qui laisse plus de trous que de matière. Or l'analyse ne peut se contenter d'un tel support, la raison est rigoureusement donnée en appendice. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé. Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.

Après 2200 ans : la solution

La construction

topologie L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est à dire boucher les trous. Comment ont ils fait? construire rigoureusement les nombres réels Comme parfois en mathématiques, quand un problème arrive à maturité, ce n'est pas un mais deux penseurs qui résolvent la difficulté. C'est ce qui arriva. La premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est à dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les un des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article Suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1.41 et ainsi de suite en alignant petit à petit toutes les décimales de \sqrt 2, cette suite est vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carré de 2 et cette approche permet de constuire les nombres réels. Le deuxième fût Richard Dedekind dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres). C'est la plus simple, il étudie la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carré de 2. Ces deux méthodes construisent le même ensemble, les nombres réels.

La solution est plus riche que prévue

coupures Le montrera que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.
- Non seulement le paradoxe de la \sqrt est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type x \rightarrow \sqrt[n], que dans le cas des fonctions trigonométriques.
- Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques c'est à dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Pierre-Laurent Wantzel sous la forme du théorème de Gauss-Wantzel résolvent l'essentiel des problèmes insolubles depuis l'antiquité sur la construction à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Le plus beau d'entre eux: la quadrature du cercle demandera plus de travail. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynômiale à coefficients entiers. Joseph Liouville prouve l'existence de tels nombres, en exhibe les premiers exemples et trouve les premiers outils de démonstration. La démonstration de la transcendatalité de π prouve alors l'inexistance de solution à la quadrature du cercle.
- Enfin, le Théorème de Rolle, est généralisée et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé (c'est à dire qu'il n'a pas reculé). Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrable.

Propriétés de R

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général \mathbb R, par la phrase de David Hilbert: \mathbb R est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. Dernier signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de \mathbb R. Ici isomorphe signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

isomorphe Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au . Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de \mathbb R ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels. La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. \mathbb R est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure à un isomorphisme près.
- \mathbb R est un corps commutatif. \mathbb R est donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. \mathbb R est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.
- \mathbb R est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:
  - :\forall a,b,c \in \mathbb \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;;
  - :\forall a,b \in \mathbb \;\forall c \in \mathbb_+^
- \quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;
- L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants. Le dernier axiome différencie \mathbb R de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

Théorie des nombres

Présentation

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Voir par exemple la liste des matières de la théorie des nombres. Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu -- c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci. Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaîssent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches. Tels que les exemples suivants :
- La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
- La conjecture de Catalan concernant les puissances d'entiers successifs,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
- La conjecture de Syracuse concernant une simple itération. La théorie de l'équation diophantienne a même été montrée comme étant indécidable (voir les Problèmes de Hilbert).

La théorie analytique des nombres

Elle emploie l'outillage du calcul et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver infiniment beaucoup de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approximé par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans ce domaine, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres. Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appelé localisation et mène à la construction des nombres p-adique ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, elle incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Des algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.

Histoire de la théorie des nombres

La théorie des nombres, une étude favorite parmi les Grecs anciens, commence sa renaissance aux 16ième et 17ième siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac, et spécialement Fermat. Au 18ième siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, et vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798), et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence. Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros. La théorie des congruences a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant : :a \equiv b \pmod c, et explora la plus grande partie de ce domaine. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa. A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit la loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller(?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer). On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par forme quadratique binaire. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith est due une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith. Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant : :x^n+y^n=z^n\,\!. Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent indépendamment le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain. Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier. À la fin du XIXième et au début du , les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera cette conjecture en 1994 avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème. Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Références

Voir aussi


- Codes correcteurs
- Cryptographie
- Libri-Carucci
- Nombre premier

Liens externes


- [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Initiation à la théorie des nombres] catégorie: Mathématiquescatégorie:Théorie des nombres ja:数論 ko:수론 th:ทฤษฎีจำนวน

Norme ultramétrique

catégorie:Topologie En mathématiques, une norme ultramétrique, aussi appelée non-archimédienne est une norme qui vérifie une condition plus forte que l'inégalité triangulaire, à savoir : :\|a+b\| \leq \max(\|a\|,\|b\|) Cette condition se généralise aisément par récurrence, pour affirmer que la norme d'une somme est majorée par le maximum des normes des termes. Cette condition plus forte rend vrais un certain nombre de résultats qui ne sont pas valides dans le cadre général, notamment :
- tout point d'une boule est au centre ;
- dans un espace ultramétrique complet, une série converge si et seulement si son terme générique tend vers 0.

Article lié


- Analyse p-adique

Analyse p-adique

L’analyse p-adique est une branche des mathématiques qui traite des fonctions de nombres p-adiques. L’analyse p-adique est utilisée en théorie des probabilités, théorie des nombres, et en géométrie algébrique. Elle a des applications dans la mécanique newtonienne, la mécanique quantique, la physique statistique, la théorie quantique des champs et dans la théorie des cordes. Catégorie:Analyse

Nombre réel

Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

Des nombres et de leurs origines

Problématique et première solution

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des nombres rationnels. Cette solution est finalement performante. Elle permet d'approximer toute longueur avec une précision supérieure à nos besoins. Les premiers systèmes connus sont ceux des Sumériens, ce sont en effet les premiers qui ont noté et donc laissé une trace visible de leurs pensées. Non seulement la notion de fraction était formalisée, mais cette notion était normalisée et des dénominateurs, que l'habitude avait rendu intuitifs, étaient communs à tout leur peuple. Leur habitude a perduré jusqu'à nous dans quelques domaines. La représentation du temps est une trace vivante de leur manière de représenter une grandeur mesurable. Illustrons nos propos par un exemple : comment exprimer 20.695=\frac en sumérien ? Les Sumériens disent que la durée est d'approximativement 20 jours car ils remarquent que \frac=20+\frac. Ensuite ils disent que la durée est plus précisement 20 jours et une demie journée car ils remarquent que \frac=20+\frac+\frac. Enfin on trouve 20 jours une demie journée 4 heures 40 minutes et 48 secondes car \frac=20+\frac+\frac+\frac+\frac. Nous utilisons encore leur système aujourd'hui.

La formalisation d'Euclide

fraction La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au . Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques. :Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. :Un pont est bati entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont mis en correspondance avec les points d'une droite orientée, appelée droite réelle. Considérons une droite D contenant un point O que par convention nous appellerons origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que nous identifierons au nombre 1. Par convention nous dirons que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même coté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative. Ce nombre est appelé abscisse du point M considéré. Cette relation que notre formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite. Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux.
Droite réelle
l'abscisse du point Q est égale à -\frac=-3, OI et OQ désignant les distances de O à I et de O à Q respectivement

Problèmes des nombres rationnels

Le début des problèmes

Droite réelle Le pont entre l'arithmétique et la géométrie ne tarda pas à porter ces fruits. Une incohérence apparu.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement mathématique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à à la longueur de la diagonale du carré A, alors on vérifie l'égalité l2 = 2. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de la géométrie.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut avoir de carré égal à 2. Ici, nombre signifie fraction car il rien d'autre n'est encore imaginable. La démonstration est donnée en appendice. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de l'arithmétique. Nous voilà devant une situation incompréhensible. Les mathématiques sont capables de prouver à la fois qu'une proposition est vrai et fausse. Pourtant aucune erreur n'est visible. Il faudra plus de deux millénaires pour que l'humanité comprennent pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et comment bien les représenter. Cette histoire est l'histoire des nombres réels. Il est à noter que Pythagore savait probablement que certaines racines sont irrationnelles. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Les problèmes continuent

Pythagore Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division devient véritablement complexe si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est parfaitement décrit par l'article Fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets. L'école mathématique grec, tout de même mieux équipée que ses confrêres égyptiens se désintéressa de cette problématique, à quelques exceptions notoire comme Diophante d'Alexandrie. Il fallu une autre source de savoir. Elle vint de perse par le mathématicien Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī pour introduire dans la pensée européenne du moyen-age des concepts comme la numérotation indienne, le zéro et une pensée de type algèbrique et non uniquement géométrique. Il fallu encore des siècles pour découvrir des notations pratiques et un système décimal véritablement opérationnel. Un deuxième problème apparaît. Peut-on écrire toutes les fractions de manière décimal ? La réponse est oui à condition d'accepter que les suite de décimales ne s'arrètent pas. Or une analyse des développements décimaux montre que la suite de décimales est périodique pour une fraction. Et si la suite des décimales ne l'est pas ? Par exemple, le nombre 0.1010010001... correspond il à une longueur? Notre intuition nous dit que oui, mais la raison montre que cette valeur ne peut être une fraction. Quel sens lui donner alors?

Les problèmes s'aggravent

développements décimaux Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l' analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse. calcul infinitésimal Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une extrème complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition que d'une explicitation formelle limpide. Pour comprendre la raison de l'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions, il faut savoir que cette branche des mathématiques se fondent sur l'analyse des infiniments petits. Or on pourrait intuitivement comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle mais qui laisse plus de trous que de matière. Or l'analyse ne peut se contenter d'un tel support, la raison est rigoureusement donnée en appendice. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé. Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.

Après 2200 ans : la solution

La construction

topologie L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est à dire boucher les trous. Comment ont ils fait? construire rigoureusement les nombres réels Comme parfois en mathématiques, quand un problème arrive à maturité, ce n'est pas un mais deux penseurs qui résolvent la difficulté. C'est ce qui arriva. La premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est à dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les un des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article Suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1.41 et ainsi de suite en alignant petit à petit toutes les décimales de \sqrt 2, cette suite est vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carré de 2 et cette approche permet de constuire les nombres réels. Le deuxième fût Richard Dedekind dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres). C'est la plus simple, il étudie la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carré de 2. Ces deux méthodes construisent le même ensemble, les nombres réels.

La solution est plus riche que prévue

coupures Le montrera que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.
- Non seulement le paradoxe de la \sqrt est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type x \rightarrow \sqrt[n], que dans le cas des fonctions trigonométriques.
- Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques c'est à dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Pierre-Laurent Wantzel sous la forme du théorème de Gauss-Wantzel résolvent l'essentiel des problèmes insolubles depuis l'antiquité sur la construction à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Le plus beau d'entre eux: la quadrature du cercle demandera plus de travail. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynômiale à coefficients entiers. Joseph Liouville prouve l'existence de tels nombres, en exhibe les premiers exemples et trouve les premiers outils de démonstration. La démonstration de la transcendatalité de π prouve alors l'inexistance de solution à la quadrature du cercle.
- Enfin, le Théorème de Rolle, est généralisée et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé (c'est à dire qu'il n'a pas reculé). Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrable.

Propriétés de R

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général \mathbb R, par la phrase de David Hilbert: \mathbb R est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. Dernier signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de \mathbb R. Ici isomorphe signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

isomorphe Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au . Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de \mathbb R ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels. La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. \mathbb R est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure à un isomorphisme près.
- \mathbb R est un corps commutatif. \mathbb R est donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. \mathbb R est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.
- \mathbb R est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:
  - :\forall a,b,c \in \mathbb \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;;
  - :\forall a,b \in \mathbb \;\forall c \in \mathbb_+^
- \quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;
- L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants. Le dernier axiome différencie \mathbb R de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

Suite de Cauchy

ja:コーシー列 Catégorie:Topologie Cauchy En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite dont les termes se rapprochent. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy.

Définition

Une suite (x_n)_ dans un espace métrique (E,d) est dite suite de Cauchy (ou de Cauchy) si pour tout réel \varepsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tous entiers p,q\geq N, la distance d(x_p,x_q) soit inférieure à \varepsilon. Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doive avoir une limite dans l'espace. Néanmoins, si toute suite convergente est automatiquement de Cauchy, la réciproque n'est pas vraie en toute généralité. C'est la raison pour laquelle un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des nombres réels est complet, et la construction standard de l'ensemble des nombres réels utilise les suites de Cauchy de nombres rationnels (avec cependant un petit souci, puisqu'on a vu que les réels étaient utilisés pour définir la notion de suite de Cauchy; voir la construction des nombres réels à ce sujet). La page sur les espaces complets donne plus d'exemples.

Propriétés

On l'a déjà dit : toute suite convergente est une suite de Cauchy. Les suites de Cauchy ont donc quelques points communs avec celles-ci :
- toute suite de Cauchy est bornée ;
- une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence (il suffit donc de montrer qu'une suite de Cauchy a une valeur d'adhérence pour établir sa convergence !) ;
- l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.
- dans les espaces vectoriels normés, les suites de Cauchy forment un sous-espace de l'espace des suites;
- dans une algèbre normée, un produit de suites de Cauchy est de Cauchy.

Généralisation

Une famille (xα) dans un espace uniforme X est une famille de Cauchy si pour tout voisinage V il existe un nombre α0 tel que pour tous α, β > α0, le couple (xα, xβ) soit dans V2.

Voir aussi


- les espaces complets
- le critère de Cauchy
- la coupure de Dedekind
- la construction des nombres réels

Métrique


- Métrique (logiciel)
- Métrique (poésie)

Nombre premier

Catégorie:Arithmétique
- Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. L'ensemble des nombres premiers est noté ℙ.

Exemples

Voici la liste complète des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Primalité

La nature première ou non d'un nombre est appelée sa primalité. Un entier supérieur à 1 qui n'est pas premier est appelé nombre composé car il est factorisable. En effet, tout nombre supérieur à 1 et non premier peut être décomposé en un produit de puissances de facteurs premiers de façon unique, à l'ordre près, ainsi un nombre qui peut être décomposé en un produit de facteurs premiers n'est pas premier. Par exemple 12 = 2^2 \times 3 est composé, tout comme 14 = 7 \times 2.

Histoire

Les nombres premiers sont étudiés depuis l'Antiquité. Euclide a démontré par l'absurde dans ses Éléments (proposition 20 du livre IX) qu'il en existe une infinité.

Démonstration d'Euclide

Supposons que l'ensemble E des nombres premiers soit fini. Le produit P de tous ces nombres premiers est supérieur à chaque facteur et, a fortiori, le nombre N = P + 1 aussi. Ainsi N n'est pas dans E, il est composé. Pourtant, lorsqu'on le divise par chaque nombre premier, le reste vaut 1. N, divisible par aucun des nombres premiers, doit être premier lui-même, ou s'il est composé être le produit de nombres premiers qui ne sont pas dans E. C'est une contradiction, donc notre supposition initiale est fausse. En conclusion, on ne peut trouver de nombre premier plus grand que tous les autres, ergo il en existe une infinité.

Remarques


- Il ne faut pas espérer en déduire pour autant que tout nombre de la forme N!+1 (factorielle n plus 1) est premier, et le contre-exemple est vite trouvé. Pour N=4, on a N! = 24 et le nombre 25, loin d'être premier, est le carré de 5. Mais il n'est en effet divisible par aucun nombre inférieur à 5.
- Il ne faut pas non plus espérer pouvoir construire un nouveau nombre premier P en effectuant le produit de tous les nombres premiers inférieurs à une certaine borne q (primorielle)puis en lui ajoutant 1, c'est à dire P = 2 x 3 x 5 x ... x q +1, en effet ce procédé ne marche pas par exemple pour : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30 031 = 59 x 509.
- Bien qu'il existe une infinité de nombres premiers, il est possible de trouver un intervalle de nombres entiers de longueur aussi grande que l'on veut ne contenant aucun nombre premier ! Par exemple l'intervalle suivant : [ N!+2 ; N!+N ] est un intervalle de longueur N−2 ne contenant pas de nombre premiers (quel que soit N).

Autres démonstrations

D'autres mathématiciens ont donné leur propre démonstration de ce résultat; par exemple celle de Kummer est particulièrement élégante et Furstenberg fournit une preuve utilisant une argumentation topologique. Bien que l'ensemble des nombres premiers soit infini, nous pourrions nous poser la question : combien y a-t-il de nombres premiers en dessous de 100 000 ?, ou quelle est la probabilité pour qu'un nombre entier aléatoire de 100 chiffres soit premier ? Des questions comme celles-ci trouvent une réponse grâce au théorème des nombres premiers.

Utilisation

Les nombres premiers ont de nombreuses utilisations pratiques, dont la cryptographie asymétrique. Les nombres utilisés n'ont d'intérêt que s'ils comportent beaucoup de chiffres, rendant ainsi impossible dans l'état officiel actuel de la technique un craquage en temps réel... ... mais pas un craquage anticipé. On prête à la NSA le projet de constituer une immense base de données inverse ou seraient précalculés tous les couples clé privée/clé publique jusqu'à une certaine taille. Lorsqu'on a un message à craquer, si sa clé publique est dans cette base, il suffit d'y prendre la clé privée associée, peut-être calculée quinze ans plus tôt. Les mémoires à exaoctet sont lentes, mais un seul accès nous suffit.

Méthodes de calcul

Pour déterminer si un nombre est premier, on utilise des tests de primalité. Certains tests de primalité sont probabilistes et choisissent un nombre aléatoire appelé « témoin » et vérifient quelque formule impliquant le témoin et le nombre potentiellement premier N. Après plusieurs itérations, ils déclarent N être « sans aucun doute composé » ou « probablement premier ». Ces examens ne sont pas parfaits. Pour un test donné, il peut y avoir plusieurs nombres composés qui seront déclarés « probablement premiers » indépendamment du témoin choisi. De tels nombres sont appelés pseudo-premiers pour ce test. Vous trouverez ici une description du test de primalité de Fermat. L'algorithme AKS découvert en 2002 permet de déterminer si un nombre donné N est premier en utilisant un temps de calcul polynomial. 2002 Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inférieurs à une limite n pas trop grande, le crible d'Ératosthène est une méthode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barré de cette liste, 2 (à ce stade aucun nombre n'est barré), et on barre tous les entiers multiples de 2. On répète l'opération en considérant chaque fois le prochain nombre non barré et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barrés à la fin du processus sont les nombres premiers inférieurs à n. (On peut en fait arrêter le processus dès que les nombres non barrés encore à considérer sont supérieurs à la racine carrée de n, car leurs multiples auront déjà été barrés.)

Quelques propriétés des nombres premiers


- Si p est un nombre premier et si p divise un produit ab d'entiers, alors p divise a ou p divise b (lemme de Gauss).
- L'anneau \mathbb Z/n\mathbb Z (voir arithmétique modulaire) est un corps si et seulement si n est premier.
- La caractéristique d'un corps quelconque est ou bien zéro ou bien un nombre premier.
- Si p est un nombre premier et a est un entier quelconque, alors ap - a est divisible par p (petit théorème de Fermat).
- Si G est un groupe fini et si pn est la plus grande puissance du nombre premier p qui divise l'ordre de G, alors G a un sous-groupe d'ordre pn. (théorèmes de Sylow)
- Si p est premier et si G est un groupe ayant pn éléments, alors G contient un élément d'ordre p.
- Un entier p est premier si et seulement si la factorielle (p-1)! + 1 est divisible par p (théorème de Wilson). Inversement, un entier n > 4 est composé si et seulement si (n-1)! est divisible par n.
- Si n est un entier strictement positif, alors il existe toujours un nombre premier p tel que n < p ≤ 2n (postulat de Bertrand).
- La somme des inverses de tous les nombres premiers forme une série divergente. (voir la démonstration). Plus précisément, si S(x) désigne la somme de tous les inverses des nombres premiers inférieurs à x, alors S(x) = Θ(ln(ln(x))) pour x → ∞ (voir notation grand O).
- Pour tout nombre premier p > 3, il existe un entier naturel n tel que p = 6n - 1 ou p = 6n + 1.
- Dans toute progression arithmétique a, a+q, a+2q, a+3q, où les entiers positifs a et q ≥ 1 sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers (théorème de Dirichlet).

Le plus grand nombre premier connu

Le plus grand nombre premier connu est 225 964 951-1, il comporte 7 816 230 chiffres. Il s'agit du 42 nombre premier de Mersenne (M25 964 951) découvert le 18 février 2005 grâce aux efforts d'une collaboration qui porte le nom de GIMPS. Le record précédent était 224 036 583-1, (ce nombre comporte 7 235 733 chiffres), et est aussi un nombre premier de Mersenne découvert par GIMPS le 15 mai 2004. Tous les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne car il existe un test de primalité particulièrement rapide adapté aux nombres de cette forme, le test de primalité de Lucas-Lehmer. Quelques uns des plus grands nombres premiers n'ayant pas de forme particulière (c'est-à-dire ne pouvant s'écrire à l'aide d'une formule simple comme les nombres premiers de Mersenne) ont été trouvés en prenant un morceau de données binaires pseudo-aléatoires, et en les convertissant en un nombre n, en multipliant par 256k où k est un certain entier strictement positif, et en cherchant des nombres premiers éventuels dans l'intervalle [256kn + 1, 256k(n + 1) - 1]. En fait, pour lancer un coup publicitaire contre l'acte de copyright de Digital Millennium et les autres implémentations du traité de copyright WIPO, quelques personnes ont appliqué cette méthode à différentes formes variées du code DeCSS, en créant l'ensemble des nombres premiers illégaux. De tels nombres, lorsqu'ils sont convertis en binaire et exécutés comme un programme informatique, enfreignent la loi en vigueur dans une ou plusieurs juridictions.

Applications

Les nombres premiers extrêmement grands (c'est-à-dire plus grand que 10100) sont de possibles clés publiques cryptographiques. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.

Quelques types particuliers de nombres premiers

Un nombre premier p est dit primoriel s'il est de la forme p = Π(n) ± 1 pour un certain nombre n, où Π(n) représente le produit 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... de tous les nombres premiers inférieurs à n (voir primorielle). Le plus grand nombre premier primoriel connu est Π(24029) + 1, trouvé par Chris Caldwell en 1993. Un nombre premier est dit factoriel s'il est de la forme n! ± 1. Le plus grand nombre premier factoriel connu est 3610! - 1 [Caldwell, 1993]. Les premiers nombres premiers factoriels sont: :n! - 1 est premier pour n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166,... :n! + 1 est premier pour n = 1, 2, 3, 11, 13, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154... Nous ne savons pas s'il y a une infinité de nombres premiers factoriels ou primoriels. Les nombres premiers de la forme F_n = 2^ + 1 sont appelés les nombres premiers de Fermat. À l'heure actuelle, F0, F1, F2, F3 et F4 sont les seuls nombres de Fermat premiers connus. La suite des chiffres en base dix d'un nombre premier peut être un palindrome, comme dans le nombre premier 1031512 + 9700079 · 1015753 + 1. 11 et 2 sont des palindromes triviaux.

Écart entre les nombres premiers

Lécart entre le nème nombre premier pn et le n+1ème nombre premier pn+1 est défini comme étant le nombre de nombres composés compris entre les deux, i.e. gn = pn+1 - pn - 1 (des définitions légèrement différentes sont parfois utilisées). Nous avons g1 = 0 and g2 = 1. La suite (gn) des écarts entre les nombres premiers a été étudié en profondeur. Nous pouvons montrer que les écarts deviennent arbitrairement grands, i.e. pour tout nombre entier naturel N, il existe un indice n tel que gn > N. D'autre part, pour tout nombre réel strictement positif ε, il existe un indice de début n0 tel que gn < ε · pn pour tout n > n0. Nous disons que gn est un écart maximal si pour tout m<n, gm < gn. Le plus grand écart maximal connu est de 1131, trouvé par T. Nicely et B. Nyman en 1999. C'est le 64 plus petit écart maximal, et il se situe après le nombre premier 1693182318746371.

Les formules menant aux nombres premiers

Le curieux polynôme f(n) = n² − n + 41 donne des nombres premiers pour n allant de 0 à 40, mais f(41) est composé. Il n'existe aucun polynôme qui donne tous les nombres premiers de cette façon. Il existe un polynôme de degré 25 à 26 variables à coefficients entiers tel que, si vous limitez les valeurs des variables aux nombres entiers naturels, alors l'ensemble des valeurs strictement positives est égal à l'ensemble des nombres premiers (pour quelques valeurs des variables, le résultat est négatif et le nombre peut être alors composé) : :(k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a²y²−y²+1−x²) ::−((e⁴+2e³)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1)³(k+2)(n−1)²+1−f²)² ::−(((a+u⁴−u²a)²−1)(n+4dy)²+1−(x−cu)²)²−(ai+k+1−l−i)² ::−((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r²y⁴(a²−1)+1−u²)² ::−(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n−2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1))² ::−(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p−2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y)²] Il a été déterminé par Jones, Sato, Wada et Wiens. La fonction suivante donne tous les nombres premiers, et uniquement les nombres premiers, pour tout entier naturel n>1 : :f(n) = 2 + (2n! \ \mod \ (n+1)) Cette formule est basée sur le théorème de Wilson mentionné ci-dessus ; deux est généré plusieurs fois et tous les autres nombres premiers sont générés exactement une fois par cette fonction. En utilisant la fonction partie entière, [x] (la partie entière de x est le plus grand entier inférieur au nombre réel x), nous pouvons construire plusieurs formules donnant le nème nombre premier. Ces formules sont aussi basées sur le théorème de Wilson et sont intéressantes dans la pratique: elles permettent de trouver les nombres premiers de manière plus efficace. Définissons, pour tout entier m, le nombre π(m) de nombres premiers inférieurs à m. On démontre :\pi(m) = \sum_^m \frac ou, de manière équivalente, : \pi(m) = \sum_^m \left[ - \left[\right] \right] Le nème nombre premier pn peut être écrit sous la forme :p_n = 1 + \sum_^ \left[ \left[ \right]^ \right] Une autre approche n'utilise ni les factorielles, ni le théorème de Wilson, mais aussi largement la fonction partie entière (S. M. Ruiz 2000). Définissons d'abord :G(k) = k - 1 + \sum_^k \left[ \left(1 + \sum_^ \left(\left[\right] - \left[\right]\right) \right)\right] nous avons alors :p_n = 1 + \sum_^ \left(1 - \left[ \right]\right)

Généralisations

Le concept de nombre premier est si important qu'il a été généralisé de différentes façons dans des branches variées des mathématiques. L'ensemble est l'ensemble des nombres premiers des entiers naturels. L'ensemble est l'ensemble des nombres premiers des entiers relatifs. Lorsque nous parlons de nombres premiers sans précision, nous considérons les nombres premiers entiers naturels. Mais il arrive que certains dictionnaires de mathématiques définissent les nombres premiers en considérant les nombres premiers entiers relatifs. En théorie des nombres, certains mathématiciens parlent de nombres pseudo-premiers, des entiers qui, parce qu'ils satisfont à un certain test, sont considéré comme des nombres premiers probables mais peuvent être en fait composés (comme les nombres de Carmichaël). Pour modéliser certaines des propriétés des nombres premiers, nous définissons les polynômes premiers ou irréductibles. Plus généralement, nous pouvons définir des éléments premiers et irréductibles dans tout anneau intègre. Les idéaux premiers constituent un outil indispensable et font l'objet d'une étude en algèbre commutative et en géométrie algébrique. (ajouter un texte sur la décomposition des entiers de Gauss en entiers de Gauss premiers, car l'anneau des entiers de Gauss est un cet anneau est factoriel, c'est-à-dire que tout entier de Gauss non nul admet une unique décomposition, à un ordre près, en facteurs irréductibles, à une unité près)

Questions ouvertes

Il y a beaucoup de questions ouvertes sur les nombres premiers. Par exemple :
- La conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2, peut-il s'écrire comme somme de deux nombres premiers ?
- conjecture des nombres premiers jumeaux : un couple de nombres premiers jumeaux est une paire de nombres premiers dont la différence est égale à 2, comme 11 et 13. Existe-t-il une infinité de jumeaux premiers ?
- Toute suite de Fibonacci contient-elle une infinité de nombres premiers ?
- Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ?
- Y a-t-il toujours un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout n?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n2 + 1?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers factoriels ?
- Y a-t-il une infinité de nombres premiers primoriels ?

Citation

:« La percée mathématique évidente serait le développement d'un moyen simple de factoriser les grands nombres en facteurs premiers. ». Bill Gates, The Road Ahead, Viking Penguin (1995)

Les 25 premiers nombres premiers

Euler a prouvé une relation entre un nombre premier p (différent de 2 et de 5) et le nombre de chiffres k de la période du développement décimal de 1/p : k est un diviseur de p-1. (Le développement de 1/2 et de 1/5 est fini.)

Curiosités


- Le nombre premier suivant correspond aux 38 premiers chiffres de Pi (voir [http://research.att.com/projects/OEIS?Anum=A005042 Sloane A005042]) : :
31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841

- DIX est un nombre premier (le lire comme chiffres romains, bien entendu)
- 1 111 111 111 111 111 111 est un nombre premier (il y a 19 un) (les répunits R_2, R_, R_, R_, R_, R_ et R_ sont premiers, [http://research.att.com/projects/OEIS?Anum=A004023 Sloane A004023]). ).

Références


- Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Éditions Belin - Pour la Science, 2000 - ISBN 2701150175

Liens externes


- Chris K. Caldwell: « La page des nombres premiers », http://www.utm.edu/research/primes/
- Chris K. Caldwell: « Nombre premiers illégaux », http://primes.utm.edu/glossary/page.php/Illegal.html
- J. O'Connor et E. F. Robertson: « histoire MacTutor des nombres premiers », http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Prime_numbers.html
- Carlos Rivera: « les puzzles de nombres premiers » http://www.primepuzzles.net/
- La page (en espagnol) de Sebastián Martín Ruiz:http://perso.wanadoo.es/smaranda/
- Manindra Agarwal, Nitin Saxena, Neeraj Kayal, « PRIMES is in P », Preprint, August 6, 2002, http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
- The « PRIMES is in P » FAQ [http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html]
- Les 100,000 premiers nombres premiers, http://gutenberg.net/etext/65

Articles connexes


- Crible d'Ératosthène
- Crible de Sundaram
- Nombre premier de Fermat
- Nombre premier de Mersenne
- GIMPS
- Décomposition en produit de facteurs premiers
- Nombre abondant
- Nombre aimable
- Nombre amical
- Nombre déficient
- Nombre parfait
- Nombre presque parfait
- Nombre sociable ja:素数 ko:소수 (수론) th:จำนวนเฉพาะ

Norme

catégorie:Développement durable catégorie:Normalisation Norme terme générique désignant un ensemble de spécifications décrivant un objet, un être, qui peut être virtuel ou non.

Individuelles

Par la volonté de certain décideurs, ou tout simplement de par son éducation et par le jeux de ses habitudes, l'être humain a tendance à édicter des normes précisant ce qui est normal et ce qui ne l'est pas. Ces normes varient fortement avec les époques, les individus et de manières plus générales les sociétés.

Juridique

Les normes dans le système juridique sont les lois et les codes.

Industrie

Les normes permettent de remplacer aisément un produit par un équivalent quand on rencontre une difficulté d'approvisionnement quelconque. De plus elles permettent une interopérabilité des systèmes et produits industriels entre eux. Elles sont donc devenues indispensables. Pour essayer de fédérer l'industrie, des organismes publics ou privés, à but non lucratif en général, fondés et soutenus par un syndicat d'industriels concernés, réfléchissent et proposent des référentiels appelés normes ou recommandations. Une norme peut être largement adoptée par l'industrie (exemples : IEEE 802.3 CSMA/CD Ethernet, IEEE 802.11 Wi-Fi, ISO 9002), ou être délaissée par celle-ci (exemple : norme OSI de l'ISO). Un très grand effort de normalisation a été effectué dans le domaine industriel au . Charles Gide mentionne dans son Cours d'économie politique que de 1830 à 1895, le nombre de tailles de matelas, par exemple, est passé de plus de 80 à 14 seulement. Une partie de la normalisation s'est effectuée en utilisant des séries de Renard :
- Charles Renard, officier du génie, spécialiste des aérostats (dirigeables, montgolfières) avait constaté en