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Nombre Transcendant

Nombre transcendant

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale : a_n x^n + a_ x^+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0 où n \ge 1\, et les coefficients a_i\, sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un a_n est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique. L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques. Les premiers nombres bien définis dont on a pu montrer la transcendance sont les nombres de Liouville, démontrés transcendants par Joseph Liouville en 1844. Un exemple de nombre de Liouville est: : c = \sum_^\infty 10^ = 0,110001000000000000000001000.... dans lequel le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (i.e., 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...., etc.) et 0 sinon. Le premier nombre a avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de \pi\, et ainsi montra l'impossibilité de la quadrature du cercle. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce au théorème de Gelfond-Schneider : Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre a^b\, est transcendant. On peut par exemple déduire de ce théorème la transcendance de e^\, et 2^\,. Ou si a est un nombre algébrique non nul alors e^ \, est transcendant. Résultats : considérons l'ensemble A, des nombres algébriques. Alors : #A est un sous-corps de R. En particulier, A est stable par addition et multiplication. #A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de l'ensemble R (les nombres transcendants existent bien).

Exemples


- Le nombre \pi\, (voir l'article pi).
- Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
- e^\, constante de Gelfond
- 2^\, (constante de Gelfond-Schneider) ou plus généralement a^b\, (voir le théorème de Gelfond-Schneider) où a \ne 0\, ou a\ne 1\, est algébrique et b est algébrique mais non rationnel. Le cas général du septième problème de Hilbert, c’est-à-dire déterminer si a^b\, est transcendant lorsque a \ne 0\, ou a\ne 1\, est algébrique et b est irrationnel, reste non-résolu.
- La valeur de la fonction trigonométrique \sin(1)\,
- \ln(a)\, si a est positif, rationnel et a \ne 1.
- \Gamma\left(\frac\right)\, et \Gamma\left(\frac\right)\, (voir fonction Gamma d'Euler).
- \Omega\,, constante de Chaitin.
- Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
- L'un au moins des deux nombres e + \pi\, et e.\pi\, est transcendant. En effet, e\, et \pi\, sont les racines de l'équation du second degré x^2 - (e+\pi)x + e.\pi = 0\, ; si e + \pi\, et e.\pi\, étaient tous deux algébriques, les deux racines de cette équation seraient algébriques, en contradiction avec le fait connu que les deux nombres e\, et \pi\, sont transcendants.
:On conjecture même que e + \pi\, et e.\pi\, sont tous deux transcendants.
- \sum_^ 10^;\qquad \beta > 1\; , :où \ \lfloor \beta \rfloor est la partie entière de \ \beta. Par exemple, si \beta = 2\,, alors ce nombre est 0,11010001000000010000000000000001000... Transcendant ja:超越数 ko:초월수 th:จำนวนอดิศัย

Nombre réel

Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

Des nombres et de leurs origines

Problématique et première solution

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des nombres rationnels. Cette solution est finalement performante. Elle permet d'approximer toute longueur avec une précision supérieure à nos besoins. Les premiers systèmes connus sont ceux des Sumériens, ce sont en effet les premiers qui ont noté et donc laissé une trace visible de leurs pensées. Non seulement la notion de fraction était formalisée, mais cette notion était normalisée et des dénominateurs, que l'habitude avait rendu intuitifs, étaient communs à tout leur peuple. Leur habitude a perduré jusqu'à nous dans quelques domaines. La représentation du temps est une trace vivante de leur manière de représenter une grandeur mesurable. Illustrons nos propos par un exemple : comment exprimer 20.695=\frac en sumérien ? Les Sumériens disent que la durée est d'approximativement 20 jours car ils remarquent que \frac=20+\frac. Ensuite ils disent que la durée est plus précisement 20 jours et une demie journée car ils remarquent que \frac=20+\frac+\frac. Enfin on trouve 20 jours une demie journée 4 heures 40 minutes et 48 secondes car \frac=20+\frac+\frac+\frac+\frac. Nous utilisons encore leur système aujourd'hui.

La formalisation d'Euclide

fraction La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au . Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques. :Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. :Un pont est bati entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont mis en correspondance avec les points d'une droite orientée, appelée droite réelle. Considérons une droite D contenant un point O que par convention nous appellerons origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que nous identifierons au nombre 1. Par convention nous dirons que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même coté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative. Ce nombre est appelé abscisse du point M considéré. Cette relation que notre formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite. Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux.
Droite réelle
l'abscisse du point Q est égale à -\frac=-3, OI et OQ désignant les distances de O à I et de O à Q respectivement

Problèmes des nombres rationnels

Le début des problèmes

Droite réelle Le pont entre l'arithmétique et la géométrie ne tarda pas à porter ces fruits. Une incohérence apparu.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement mathématique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à à la longueur de la diagonale du carré A, alors on vérifie l'égalité l2 = 2. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de la géométrie.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut avoir de carré égal à 2. Ici, nombre signifie fraction car il rien d'autre n'est encore imaginable. La démonstration est donnée en appendice. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de l'arithmétique. Nous voilà devant une situation incompréhensible. Les mathématiques sont capables de prouver à la fois qu'une proposition est vrai et fausse. Pourtant aucune erreur n'est visible. Il faudra plus de deux millénaires pour que l'humanité comprennent pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et comment bien les représenter. Cette histoire est l'histoire des nombres réels. Il est à noter que Pythagore savait probablement que certaines racines sont irrationnelles. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Les problèmes continuent

Pythagore Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division devient véritablement complexe si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est parfaitement décrit par l'article Fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets. L'école mathématique grec, tout de même mieux équipée que ses confrêres égyptiens se désintéressa de cette problématique, à quelques exceptions notoire comme Diophante d'Alexandrie. Il fallu une autre source de savoir. Elle vint de perse par le mathématicien Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī pour introduire dans la pensée européenne du moyen-age des concepts comme la numérotation indienne, le zéro et une pensée de type algèbrique et non uniquement géométrique. Il fallu encore des siècles pour découvrir des notations pratiques et un système décimal véritablement opérationnel. Un deuxième problème apparaît. Peut-on écrire toutes les fractions de manière décimal ? La réponse est oui à condition d'accepter que les suite de décimales ne s'arrètent pas. Or une analyse des développements décimaux montre que la suite de décimales est périodique pour une fraction. Et si la suite des décimales ne l'est pas ? Par exemple, le nombre 0.1010010001... correspond il à une longueur? Notre intuition nous dit que oui, mais la raison montre que cette valeur ne peut être une fraction. Quel sens lui donner alors?

Les problèmes s'aggravent

développements décimaux Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l' analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse. calcul infinitésimal Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une extrème complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition que d'une explicitation formelle limpide. Pour comprendre la raison de l'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions, il faut savoir que cette branche des mathématiques se fondent sur l'analyse des infiniments petits. Or on pourrait intuitivement comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle mais qui laisse plus de trous que de matière. Or l'analyse ne peut se contenter d'un tel support, la raison est rigoureusement donnée en appendice. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé. Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.

Après 2200 ans : la solution

La construction

topologie L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est à dire boucher les trous. Comment ont ils fait? construire rigoureusement les nombres réels Comme parfois en mathématiques, quand un problème arrive à maturité, ce n'est pas un mais deux penseurs qui résolvent la difficulté. C'est ce qui arriva. La premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est à dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les un des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article Suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1.41 et ainsi de suite en alignant petit à petit toutes les décimales de \sqrt 2, cette suite est vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carré de 2 et cette approche permet de constuire les nombres réels. Le deuxième fût Richard Dedekind dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres). C'est la plus simple, il étudie la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carré de 2. Ces deux méthodes construisent le même ensemble, les nombres réels.

La solution est plus riche que prévue

coupures Le montrera que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.
- Non seulement le paradoxe de la \sqrt est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type x \rightarrow \sqrt[n], que dans le cas des fonctions trigonométriques.
- Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques c'est à dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Pierre-Laurent Wantzel sous la forme du théorème de Gauss-Wantzel résolvent l'essentiel des problèmes insolubles depuis l'antiquité sur la construction à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Le plus beau d'entre eux: la quadrature du cercle demandera plus de travail. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynômiale à coefficients entiers. Joseph Liouville prouve l'existence de tels nombres, en exhibe les premiers exemples et trouve les premiers outils de démonstration. La démonstration de la transcendatalité de π prouve alors l'inexistance de solution à la quadrature du cercle.
- Enfin, le Théorème de Rolle, est généralisée et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé (c'est à dire qu'il n'a pas reculé). Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrable.

Propriétés de R

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général \mathbb R, par la phrase de David Hilbert: \mathbb R est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. Dernier signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de \mathbb R. Ici isomorphe signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

isomorphe Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au . Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de \mathbb R ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels. La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. \mathbb R est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure à un isomorphisme près.
- \mathbb R est un corps commutatif. \mathbb R est donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. \mathbb R est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.
- \mathbb R est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:
  - :\forall a,b,c \in \mathbb \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;;
  - :\forall a,b \in \mathbb \;\forall c \in \mathbb_+^
- \quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;
- L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants. Le dernier axiome différencie \mathbb R de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

Équation polynomiale

Polynomiale (Equation) En mathématiques, on appelle équation polynomiale un problème de la forme :(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_ x^ + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, où les a_i, appelés coefficients de l’équation, sont donnés. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils pourraient prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue x (appartenant à un certain ensemble, en général le même corps ou anneau que les coefficients), appelées solutions de l’équation, pour lesquelles l’égalité (E) est vraie. On appelle degré de l’équation la plus grande puissance de l’inconnue affectée d’un coefficient non nul.
Par exemple, l’équation x^2 + 2x + 1 = 0 d’inconnue x \in \mathbb R est une équation polynomiale réelle du second degré. (Son unique solution est -1.)

Théorie

Polynômes

Soit l’équation :(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_ x^ + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, dont les coefficients a_i appartiennent à un corps \mathbb K. Les solutions de (E) dans \mathbb K sont les racines du polynôme :P = a_n X^n + a_ X^ + \cdots + a_1 X + a_0 \quad \in \mathbb K[X], obtenu en substituant à l'inconnue x l'indéterminée X. On montre en algèbre qu'un polynôme de degré n possède au plus n racines. L'équation (E) admet donc au plus n solutions. Si \mathbb K' est un surcorps de \mathbb K, on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans \mathbb K' ; et les solutions de (E) dans \mathbb K sont aussi solutions dans \mathbb K' (la réciproque étant en général fausse). Il est toujours possible de trouver un surcorps de \mathbb K, appelé corps de rupture du polynôme P, dans lequel (E) admet au moins une solution.

Existence de solutions pour les équations réelles et complexes

Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que le corps des complexes est algébriquement clos, c’est-à-dire que toute équation polynomiale à coefficients complexes et de degré au moins un admet une solution. Il s’ensuit que toute équation polynomiale de degré un ou plus à coefficients réels admet une solution complexe. En revanche, une équation comme x^2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans \mathbb R (ses solutions sont les complexes i et -i). On peut toutefois noter qu’une équation polynomiale réelle de degré impair admet nécessairement une solution réelle. En effet, la fonction polynôme associée est continue, et elle tend vers -\infty au voisinage de -\infty et vers +\infty au voisinage de +\infty. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend donc la valeur zéro en un certain réel, qui est ainsi solution de l’équation.

Lien avec la théorie de Galois

(à compléter/refaire !) On dispose de formules donnant les solutions des équations polynomiales réelles ou complexes de degré inférieur ou égal à quatre en fonction de leurs coefficients. Niels Henrik Abel a montré qu’il n’est pas possible de trouver telles de formules générales (n’utilisant que les quatre opérations usuelles et les racines) pour les équations de degré 5 ou plus. Évariste Galois a donné un critère permettant de déterminer, étant donnée une équation polynomiale, si sa solution s’exprime par radicaux.

Résolution explicite des équations numériques

Démarche

La résolution explicite d’une équation réelle ou complexe du premier degré est immédiate. Résoudre une équation de degré supérieur n revient à factoriser le polynôme associé, c’est-à-dire à réécrire (E) sous la forme :a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0, où apparaissent naturellement les solutions z_1, \dots, z_n. On cherche donc à exprimer les z_i en fonction des a_i. (Cette démarche s’applique plus généralement si coefficients et solutions prennent leurs valeurs dans un anneau intègre.)

Second degré

(Voir Résolution détaillée des équations du second degré.) Pour résoudre une équation du second degré du type ax^2 + bx + c on calcule son discriminant Δ (delta OU rhô chez les belges), défini par \Delta = b^2 - 4ac. Si \Delta > 0, alors l’équation a deux racines réelles distinctes x_1 et x_2, telles que : :x_1 = \frac :x_2 = \frac. Si \Delta = 0, l’équation a alors une racine réelle double x_0, telle que : :x_0 = -\frac. Si \Delta < 0, il n’existe aucune racine réelle au trinôme. Cependant il possède 2 racines complexes conjuguées z_1 et z_2 = \bar. Si \Delta = (i\delta)^2, on peut écrire : :z_1 = \frac :z_2 = \frac.

Équations se ramenant au second degré

Certaines équations de degré trois ou quatre se ramènent facilement à des équations du second degré. Leur résolution nécessite de connaître la formule de résolution des équations du second degré et les nombres complexes.

Premier exemple : racine(s) évidente(s)

Lorsqu’une équation de degré n admet une solution évidente, on peut factoriser le polynôme associé en un facteur du premier degré et un polynôme de degré n-1. La résolution de l’équation se ramène donc à celle d’une équation de degré n-1. On se propose d’étudier pour quelles valeurs de x la fonction réelle f : x \mapsto x^3 + x^2 + x + 1, polynomiale de degré 3, s’annule. On remarque tout d’abord que f(-1) = 0. Donc -1 est une racine du polynôme. On cherche alors (\alpha, \beta, \gamma) tels que : f(x) = (x + 1)(\alpha x^2 + \beta x + \gamma)\,\! . On a : : f(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \alpha x^2 + \beta x + \gamma\,\! : f(x) = \alpha x^3 + (\alpha + \beta)x^2 + (\beta + \gamma)x + \gamma\,\! Or deux polynômes sont égaux s’ils sont de même degré et si leurs coefficients respectifs sont égaux deux à deux. Donc : :\begin \alpha = 1 \\ \alpha + \beta = 1 \\ \beta + \gamma = 1 \\ \gamma = 1 \end et :\begin \alpha = 1 \\ \beta = 0 \\ \gamma = 1 \end Ainsi, :f(x) = (x + 1)(x^2 + 1)\,\!, et résoudre f(x) = 0 revient à résoudre x + 1 = 0, puisque x^2 + 1 > 0. L’unique solution réelle de l’équation est -1.

Deuxième exemple : équations bicarrées

On se propose de rechercher les racines du polynôme bicarré :f(x) = 7x^4 + 4x^2 - 3\,\! (est dit bicarré tout polynôme de la forme ax^4 + bx^2 + c\,\!). Pour cela, nous allons réaliser un changement d’inconnue. Posons X = x^2, on a alors f(x) = 7X^2 + 4X - 3. L’équation du second degré obtenue a pour discriminant \Delta = 4^2 - 4(7)(-3) = 16 + 84 = 100. Ses solutions sont donc :X_1 = \frac = \frac\,\! :X_2 = \frac = -1.\,\! Ces solutions sont exactement les carrés des solutions de l’équation de départ :7x^4 + 4x^2 - 3 = 0\,\!. L’ensemble des racines de f est donc :S = \left\\,\!.

Troisième exemple, où x ↦ ax + b√x + c

L’objectif est ici d’étudier les solutions de l’équation f(x) = 0, avec f : x \mapsto x - 4\sqrt - 5. Cela illustre que certaines équations non polynomiales se ramènent, elles aussi, à des équations polynomiales du second degré. On pose X^2 = x ; on peut donc écrire f(x) = X^2 - 4X - 5. On résout alors l’équation f(x) = 0 d’inconnue X : X^2 - 4X - 5 = 0 équivaut à (X - 2)^2 - 9 = 0. Les solutions sont donc X_1 = 5 et X_2 = -1. X_2, étant négative, n’est pas le carré d’un réel x. La seule solution possible de f(x) = 0 est donc :x_1 = X_1^2 = 25. Réciproquement, on vérifie que 25 est solution.

Troisième et quatrième degré

Pour résoudre une équation du troisième ou du quatrième degré, on peut tenter de ramener l’équation à une multiplication d’au moins deux polynômes plus simples (voir ci-dessus). Jérôme Cardan a résolu certaines équations de degré 3 et a exprimé les racines sous la forme de radicaux. Leonhard Euler a résolu ces équations d’une manière générale en commençant par rendre nul le terme de degré inférieur à celui du terme dominant en cherchant sans succès une méthode générale s’appliquant ensuite aux équations de degré supérieur. Pour un exposé détaillé de certaines méthodes de résolution voir :
- Méthode de Tschirnhaus (Méthode générale qui peut ne pas aboutir).
- Méthode de Bézout (Méthode générale qui peut ne pas aboutir).
- Méthode de Cardan (Résolution des équations de degré 3).
- Méthode de Sotta (Résolution des équations de degré 3 et généralisation à un degré quelconque sous certaines conditions).
- Méthode de Ferrari (Résolution des équations de degré 4).
- Méthode d'Euler (Résolution des équations de degré 4).

Équations de degré supérieur

Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré indépendamment l’un de l’autre que d’une manière générale une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux (voir paragraphe Théorie ci-dessus). Certaines équations particulières le sont. Charles Hermite a en revanche démontré qu’elles sont résolubles à l’aide des fonctions elliptiques.

Voir aussi


- Polynôme, Fonction polynôme
- Constructibilité
- Équation
- Fonction elliptique
- Nombre complexe
- Théorie de Galois

Nombre entier

Les entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit \mathbb Z comme le quotient de \mathbb N\times\mathbb N par la relation (a,b)R(a',b') si, et seulement si, a+b'=a'+b, i.e. un couple (a,b) représente l'intuitif entier relatif a-b. Cet ensemble est noté \mathbb Z, qui vient de l'allemand Zahlen (nombre). Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux. La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit, (\mathbb Z,+) est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation R admet un représentant ayant ou bien la forme (0,a) (il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme (a,0) (il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément (0,0) étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi \mathbb Z peut être vu comme la donnée (\\times\mathbb N)\cup (\mathbb N\times \). Ainsi on vérifie aisément que R est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que (0,0) est un élément neutre et que (a,0) et (0,a) sont symétriques l'un de l'autre (i.e. (a,a)R (0,0))pour tout a \in \mathbb N. Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans \mathbb Z, ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (\mathbb Z, +,
- ) est un anneau commutatif. Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini. La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.

Voir aussi

Construction des entiers relatifs Catégorie:Nombre ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Nombre algébrique

ko:대수적 수 ja:代数的数 Algébrique

Nombres algébriques réels ou complexes

On appelle nombre algébrique un nombre réel ou complexe qui est racine d'une équation polynomiale à coefficients entiers non tous nuls. Il est équivalent de dire qu'il est racine d'une équation polynomiale (ou d'un polynôme) à coefficients rationnels non tous nuls. L'ensemble des nombres algébriques se note \overline et est un corps inclus dans \mathbb. On a \overline \neq \mathbb : en effet, il est connu que l'ensemble \overline est dénombrable, alors que \mathbb ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants.

Exemples


- Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient p / q de 2 entiers est racine de l'équation q x - p = 0
- Le nombre réel (et irrationnel) \sqrt 2 est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 - 2 = 0 .

- Le nombre complexe i est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 + 1 = 0 .

Généralisation

Plus généralement : soient \mathbbun corps, et \mathbb une extension de \mathbb. Un élément de \mathbbest dit algébrique sur \mathbb s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans \mathbb, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb dans le cas contraire. La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où \mathbbest le corps \mathbbdes rationnels et \mathbbest le corps \mathbb des nombres complexes.

Voir aussi


- Cas particuliers de nombres algébriques:
  - entier algébrique
  - nombre rationnel
- Autres classes de nombres:
  - nombre transcendant

Cardinalité

catégorie:Théorie des ensemblescatégorie:Nombre En théorie des ensembles, la cardinalité représente la taille d'un ensemble.

Définition

Cas des ensembles finis

Pour un ensemble fini la cardinalité est son nombre d'éléments (zéro, pour l'ensemble vide) : :card () = 0 ; :card () = 3. Ainsi, card (ensemble des faces d'un dé cubique) = 6

Approche intuitive, pour les ensembles de taille infinie

Des résultats en mathématiques montrent que pour les ensembles infinis, il existe plusieurs tailles d'ensembles, donc plusieurs infinis. Ces différents infinis sont représentés par des nombres cardinaux transfinis. En particulier : :\mathrm (\mathbb) = \aleph_0 < \mathrm (\mathbb) = 2^ Cependant, et cela ne semble pas intuitif au premier abord : :\mathrm (\mathbb) = \mathrm (\mathbb) (cf. ensemble dénombrable) Voir aussi Théorie axiomatique des ensembles.

Propriété

Deux ensembles ayant la même cardinalité sont en bijection, on dit aussi qu'ils sont équipotents.

Propriétés pour les ensembles finis (ou même infinis)

# card( P ( E ) ) = 2 card( E ) # card( A ∪ B ) ≤ card( A ) + card( B ) = card( A + B ) # card( A ∩ B ) = card( A ) + card( B ) - card( A ∪ B )

Exemples de cardinaux

Si E et F sont deux ensembles donnés, alors :
- les correspondances de E dans F forment un ensemble, noté habituellement « Corr( E, F) ». Le nombre de ces correspondances est : :: Card \ Corr( E, F) = 2^ :Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler que les graphes sont les sous-ensembles de E×F.
- les fonctions de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Fnct( E, F) ». Le nombre de ces fonctions est : :: Card \ Fnct( E, F) = (CardF + 1)^
- les applications de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Appl( E, F) ». Le nombre de ces applications est : :: Card \ Appl( E, F) = CardF^ :Cette propriété explique pourquoi Appl( E, F) est le plus souvent noté « F^E \, ».
- les injections de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, noté habituellement « Inj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE > CardF. Si CardE ≤ CardF, le nombre de ces injections est : :: Card \ Inj( E, F) = \frac
- les surjections de E dans F forment un sous-ensemble de l'ensemble des applications, noté habituellement « Surj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE < CardF. Si CardE ≥ CardF, le nombre de ces surjections est : :: Card \ Surj( E, F) = \sum_^ (-1)^ \frac (CardF - i)^
- les bijections de E dans F forment un sous-ensemble des deux ensembles précédents, noté habituellement « Bij( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE ≠ CardF. Si CardE = CardF = n, le nombre de ces bijections est : :: Card \ Bij( E, F) = n ! .

Voir aussi


- Algèbre abstraite
- Correspondances et Relations
- Famille finie
- Théorie des ensembles

Infinité

ko:무한 ja:無限 simple:Infinity catégorie:Nombre L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est la faculté de ne pas avoir de limite. L'infini mathématique Aborder la notion d'infini en mathématiques peut se faire de plusieurs façons. La première et la plus simple consiste à poser un élément dénommé infini et à le caractériser par certaines de ses propriétés. Un tel élément n'a cependant aucun lien a priori avec la notion courante d'infini. Georg Cantor est le premier à donner une caractérisation de cette notion en termes formels : : Un ensemble est infini s'il est en bijection avec l'une de ses parties strictes. Ainsi \mathbb, ensemble des entiers relatifs, est infini car l'application x \mapsto 2x le met en bijection avec l'ensemble des entiers pairs.

Les éléments à l'infini

L'élément ω

Voir Ordinaux.

L'infini dans les ensembles ordonnés

L'infini topologique

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandrov. Soit ( E, U ) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace ( E\cup\, U' ), où ∞ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans E\cup\ des compacts de ( E, U ). On peut alors définir les voisinages de l'infini : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.

La géométrie projective

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dit à l'infini dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

Les cardinaux infinis

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec \mathbb. Autrement dit, il est dénombrable si on peut établir une liste (infinie) de ses éléments. Par exemple, on peut montrer que \mathbb est dénombrable : classons pour cela les fractions irréductibles de la manière suivante :
- pour toute fraction p/q, on calcule la somme p+q ;
- on classe les fractions par ordre croissant de cette somme p+q ;
- pour les fractions ayant la même somme p+q (comme 1/4 et 2/3), on les classe par ordre croissant de p ;
- ainsi on peut attribuer à chaque fraction un entier unique correspondant à son numéro d'apparition dans la liste ainsi construite, le début de cette liste serait : ::1 → 0
::2 → 1/1
::3 → 1/2
::4 → 2/1
::5 → 1/3
::... On a bien mis \mathbb en bijection avec \mathbb. Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier. Par opposition, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini » (trop grand pour être écrit). Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté \aleph_0.

Ensembles infinis indénombrables

Un ensemble infini indénombrable ne peut pas être mis en bijection avec \mathbb. On ne peut pas établir une liste de ses éléments. Par exemple, l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est indénombrable : la démonstration s'appuie sur l'Argument de la diagonale de Cantor. On dit que \mathbb a la puissance du continu, sa puissance (= son cardinal) est noté c ou \aleph_1.

Combien existe-t-il d'infinis ?

L'infini potentiel et l'infini actuel

Selon Ibicrate, le géomètre, élève de Sophrotatos, les philosophes grecs ont toujours fait clairement le distinguo entre l’infini potentiel – accepté par Aristote essentiellement à l’usage des mathématiciens, l’apeiron - plus exactement traduit par « l’illimité » et l’infini actuel, par exemple l’ensemble des entiers positifs en tant que totalité achevée qu’il refuse de considérer.

L'infini potentiel

L'infini potentiel fut conçu déjà dans la Grèce antique. On considère que l'on se dirige vers l'infini sans jamais l'atteindre. L'infini est perçu comme une potentialité.

L'infini actuel

L'infini actuel est une conception plus contemporaine. À la Renaissance, la perspective cavalière et par la suite la géométrie projective introduisirent des points de fuite à l'infini perceptibles sur des tableaux ou des dessins. Cela amena les penseurs à imaginer l'infini comme « atteignable » ou comme ayant une réalité proche. On considère l'infini comme une qualité intrinsèque de ce que l'on étudie. L'infini est perçu comme une réalité.

Liens externes


- [http://perso.wanadoo.fr/matt95/infini/ Infini en mathématiques]

Nombre de Liouville

En théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers p et q avec q > 1\, et tel que :0 < |x - \frac| < \frac\,. Un nombre de Liouville peut alors être approché « aussi près que l'on veux » par une suite de nombres rationnels. Une définition équivalente est que pour tout nombre entier positif n, il existe un nombre infini de paires d'entiers (p,q) obéissant à l'inégalité ci-dessus. Il est relativement facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, x est un nombre irrationnel. Supposons le contraire ; alors il existe des entiers c, d avec x = \frac\,. Soit n un entier positif tel que 2^ > d\,. Alors, si p et q sont des entiers tels que q > 1\, et \frac \ne \frac\,, alors :|x - \frac| = |\frac - \frac| \ge \frac > \frac \ge \frac\, ce qui contredit la définition ci-dessus. En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendant (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant, : c = \sum_^\infty 10^ = 0,110001000000000000000001000.... connu comme la constante de Liouville. La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons p_n\, et q_n\, comme suit : :p_n = \sum_^n 10^; \quad q_n = 10^ alors, pour tous les entiers positifs n, nous avons :|c - p_n/q_n| = \sum_^\infty 10^ = 10^ + 10^ + \cdots < 10^ = 1/^n Cette approche fournit un outil très utile pour démontrer qu'un nombre donné est transcendant. Malheureusement, bien que chaque nombre de Liouville soit transcendant, chaque nombre transcendant n'est pas un nombre de Liouville. Il a été démontré que \pi\, est transcendant, mais pas un nombre de Liouville. Plus généralement, la mesure irrationnelle d'un nombre réel x est une mesure de la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la borne supérieure de l'ensemble de nombres réels \mu\, tel que :0 < |x - \frac| < \frac\, est satisfaite par un nombre infini de paires d'entiers (p, q) avec q > 0. Pour toute valeur \mu\, inférieure à cette borne supérieure, l'ensemble de tous les rationnels \frac\, satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation de x; réciproquement, si \mu\, est plus grand que la borne supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent arbitrairement vers x. Les nombres de Liouville sont précisément les nombres ayant une mesure irrationnelle infinie.

Démonstration de la propriété de transcendance des nombres de Liouville

La démonstration procède en établissant premièrement la propriété d'irrationnalité des nombres algébriques. Cette propriété dit essentiellement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, donc il ne peut pas être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu habituellement comme le théorème de Liouville (sur l'approximation diophantienne), il existe plusieurs résultats connus comme le théorème de Liouville. Lemme : Si \alpha\, est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 0 à coefficients entiers, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous les entiers p, q, avec q > 0, :|\alpha - \frac| > \frac\,.

Démonstration du lemme

Soit M, la valeur maximale de |f'(x)|\, sur l'intervalle [\alpha-1, \alpha+1]\,. Soit \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\, les racines distinctes de f qui diffèrent d'\alpha\,. Prenons une certaine valeur A > 0\, satisfaisant :A < min(1, \frac, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|)\, Maintenant, supposons qu'il existe certains entiers p, q contredisant le lemme. Alors :|\alpha - \frac| \le \frac \le A < min(1, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|)\, Alors \frac\, est dans l'intervalle [\alpha - 1, \alpha + 1]\, ; et \frac\, n'est pas dans \\,, donc \frac\, n'est pas une racine de f ; et il n'y a pas de racine de f entre \alpha\, et \frac\,. Par le théorème des accroissements finis, il existe un x_0\, entre \frac\, et \alpha\, tel que :f(\alpha) - f(\frac) = (\alpha - \frac) f'(x_0), Puisque \alpha\, est une racine de f mais \frac\, ne l'est pas, nous voyons que |f'(x_0)| > 0\, et nous pouvons réordonner : :|\alpha - \frac| = \frac = \frac\, Maintenant, f est de la forme \sum_^n c_i x^i\, où chaque c_i\, est un entier ; donc nous pouvons exprimer |f(\frac)|\, comme :|f(\frac)| = |\sum_^n c_i p^i q^| = \frac \ge \frac\, la dernière inégalité reste valable parceque \frac\, n'est pas une racine de f. Ainsi, nous avons |f(\frac)| \ge \frac\,. Puisque |f'(x_0)| \le M\, par la définition de M, et \frac > A\, par la définition de A, nous avons :|\alpha - \frac| = \frac \ge \frac > \frac \ge |\alpha - \frac|\, ce qui est une contradiction; par conséquent, aucun p, q n'existe; ce qui démontre le lemme.

Démonstration de l'assertion

Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour tous les p, q :|x - \frac| > \frac\,. Soit r un entier positif tel que \frac \le A\,. Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des entiers a, b > 1 tel que :|x - \frac| < \frac = \frac = \frac \le \frac \le \frac \, ce qui contredit le lemme ; par conséquent x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.

Liens externes


- [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf Le commencement des nombres transcendants (en anglais)] Catégorie:Théorie des nombres

Joseph Liouville

Joseph Liouville (24 mars 1809 à Saint-Omer - 8 septembre 1882 à Paris) fut un mathématicien. Il est le fils d'un militaire qui survit aux campagnes napoléoniennes et, en 1814, la famille s'établit à Toul. Il est diplomé de l'École Polytechnique (Promotion X1825). Deux ans plus tard, il intègre l'École des Ponts et Chaussées, dont il n'obtient pas le diplôme en raison de problèmes de santé et surtout de sa volonté de suivre une carrière académique plutôt qu'une carrière d'ingénieur. Après quelques années dans diverses institutions comme assistant il est nommé comme professeur à l'École polytechnique en 1838. Il obtient une chaire en mathématique au Collège de France en 1850 et une chaire en mécanique à la Faculté des Sciences en 1857. À côté de ses réussites académiques, il était très talentueux dans les matières d'organisation. Liouville fonda le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées qui garde sa haute réputation jusqu’à ce jour. Il fut le premier à lire et les travaux non publiés d’Évariste Galois qui apparurent dans son journal en 1846, et à reconnaître leur importance. Liouville fut aussi impliqué en politique pendant un moment, et il devint membre de l’assemblée constituante en 1848. Cependant après la défaite aux élections à la députation en 1849 il quitta la politique. Liouville publia dans divers domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse complexe, la géométrie et la topologie différentielles, mais aussi la physique mathématique et même l'astronomie. Il est particulièrement célèbre pour son théorème, de nos jours un résultat plutôt simple en analyse complexe. Dans la théorie des nombres il fut le premier à prouver l’existence des nombres transcendants par une construction utilisant les fractions continues (nombres de Liouville). En physique mathématique, la théorie Sturm-Liouville qui fut un travail conjoint avec Charles-François Sturm est maintenant une procédure habituelle pour résoudre certains types d’équations intégrales. De plus il y a un second théorème de Liouville dans les dynamiques hamiltoniennes.
- le problème des valeurs au bord des solutions d'équations différentielles.
- les intégrales elliptiques : il prouve notamment que les fonctions abéliennes sont transcendantes. Liouville, Joseph Liouville, Joseph Liouville, Joseph Liouville, Joseph

1844

Catégorie:1844 Cette page concerne l'année 1844 du calendrier grégorien.

Événements

Amériques

Amérique du Nord


- Joseph Smith, le fondateur de l'église-secte des Mormons et candidat à la présidence des États-Unis est lynché à mort par la foule en Illinois.

Amérique latine


- L'est de l'île d'Hispaniola déclare son indépendance d'Haïti comme République dominicaine.

Europe


- Début du règne d'Oskar Ier, roi de Suède (fin en 1859).
- Première audition publique du saxophone (un baryton) le 3 février à Paris.

Grande-Bretagne


- Fondation par le pasteur britannique George Williams de la Young Men's Christian Association (YMCA).
- Loi de fabrique (Factory act) pour améliorer la condition ouvrière.

Océanie & Pacifique


- Début d'un soulèvement infructueux des Maoris contre l'Angleterre en Nouvelle-Zélande (fin en 1848).

Proche-Orient & Monde arabe


- 23 mai : Déclaration du Bab : Annonce du Bab à Shiraz (Perse), qu'il est le promis de toutes les religions. Premier jour du calendrier de la Foi Baha'ie.
- 14 août : Bataille d'Isly : Victoire des troupes de Bugeaud sur les Marocains sur les bords de l'oued Isly.

Chronologies thématiques


- Art et Culture :
  - La danseuse anglaise Clara Webster meurt deux jours après avoir accidentellement brûlé vive sur scène lors d'une représentation de ballet. Elle n'avait que 23 ans.
  - Alexandre Dumas père écrit Les trois Mousquetaires.
  - Début de la construction de la Palm House dans les Jardins botaniques royaux de Kew, Londres (fin en 1848).
  - L'écrivain anarchiste Max Stirner écrit L'Unique et sa propriété.
  - Le peintre anglais Joseph Turner peint Pluie, vapeur et vitesse.
  - Le photographe anglais William Henry Fox Talbot commence son Pencil of Nature, le premier livre de photographies.
- Religion :
  - Déclaration du Bàb à Shiraz et naissance de l'ère baha'i
- Science et techniques :
  - 24 mai : L'inventeur américain Samuel Morse établit la première liaison télégraphique américaine.
  - 15 juin : Charles Goodyear fait breveter la vulcanisation du caoutchouc.
- Sports :
  - Fondation à Lyon de la Société de Gymnastique de Lyon.
  - 24/25 septembre. Premier match international de cricket. Il oppose à New York le Canada et les USA.

Naissances en 1844


- 7 janvier : Bernadette Soubirous, sainte catholique
- 27 janvier : Numa Droz, homme politique suisse.
- 24 mars :
  - Camille Lemonnier, romancier, conteur, nouvelliste, essayiste belge.
  - Adolf Engler, botaniste allemand († 1930).
- 30 mars : Paul Verlaine, poète français.
- 21 mai : Henri (le Douanier) Rousseau, peintre français.
- 24 août : Émile Oustalet, zoologiste français († 1905).
- 15 octobre : Friedrich Nietzsche, philosophe allemand.
- 23 octobre :
  - Sarah Bernhardt, comédienne.
  - Édouard Branly, physicien.
- 25 novembre : Carl Benz, mecanicien allemand, fondateur de Daimler-Benz AG.
- 27 novembre : Eugène Ducretet, ingénieur, pionner français de la radio.
- 8 décembre : Émile Reynaud, inventeur du dessin animé.

Décès en 1844


- 27 janvier : Charles Nodier, écrivain français (° 1780)
- 3 juin : l'ex-dauphin Louis (68 ans) de France, comte de Marnes, aîné des Capétiens et chef de la maison de France
- 19 juin : Étienne Geoffroy Saint-Hilaire, naturaliste français (° 1772).
- 12 octobre : Claude Tillier, pamphlétaire, romancier
- 21 novembre : Ivan Andreïévitch Krylov, écrivain russe __NOTOC__ ko:1844년 ms:1844 simple:1844

Factorielle

catégorie:Fonction remarquablecatégorie:Arithmétiquecatégorie:Analyse combinatoire En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Ce qui s'écrit : :n! = \prod_^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n Exemples :
- 1! = 1
- 2! = 1 x 2 = 2
- 3! = 1 x 2 x 3 = 6
- 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800 La définition de la factorielle sous forme de produit rend naturelle la convention 0!=1 puisque 0! est un produit vide, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre de la multiplication. Cela permet à de nombreuses formules de ne pas avoir d'exception. La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques, comme par exemple la formule du binôme et la formule de Taylor. La formule de Stirling donne un équivalent de n! quand n est grand : :\lim_ \frac=1. Pour tout entier n, on a \Gamma(n+1)=n! où Γ est la fonction gamma d'Euler. La fonction Γ permet donc de prolonger la factorielle à l'ensemble des nombres complexes privé des entiers strictement négatifs.

Programmation

La factorielle d'un nombre peut être calculée en utilisant un algorithme récursif ou itératif. Écrivons en langage Scheme, proche du Lisp, un programme récursif donnant la factorielle d'un entier : (define fact (lambda (x) (if (= x 0) 1 (
- x (fact (- x 1)))))) Ce programme n'est pas efficace à l'exécution, pour les grands entiers. De la même manière, en Caml : let rec fact(n) = if n = 1 then 1 else a
- fact(n-1) ;; En langage C, de façon récursive : int factorielle_recursive(int n) Et de façon itérative: int factorielle_iterative(int n) Ces fonctions ne permettent pas de calculer la factorielle d'un nombre supérieur à 12 si les entiers sont limités à 32 bits, car le résultat dépasse la place disponible. Par souci de clarté, les programmes ci-dessus sont dépourvus de traitement des entrées sorties. Liens externes


- http://factorielle.free.fr
- [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm Algorithmes remarquables.]
- [http://myalgorithm.com/source-94.html Algorithme factoriel] - Pascal ja:階乗 ko:계승 th:แฟกทอเรียล

Charles Hermite

Hermite, Charles Hermite, Charles Hermite, Charles Charles Hermite (24 décembre 1822 - 14 janvier 1901) était un mathématicien français qui fit de la recherche en théorie des nombres, sur les formes quadratiques, polynômes orthogonaux et fonctions elliptiques, et en algèbre. Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en son honneur. Il fut le premier à démontrer que e est un nombre transcendant. Ses méthodes furent ensuite étendues par Ferdinand von Lindemann pour prouver la transcendance de π.

1873

Catégorie:1873 Cette page concerne l'année 1873 du calendrier grégorien.

Événements

Europe


- 11 février : Abdication d'Amédée de Savoie, roi d'Espagne ; première république en Espagne.
- 22 octobre : système d'alliance « bismarckien » dit des « trois empereurs » entre l'Autriche, l'Allemagne et la Russie, qui a pour but d'isoler la France.
- Création à Vienne en Autriche d'une branche dissidente de l'Alliance israélite universelle avec l’Israelitische Allianz.
- Sécuralisation des universités en Autriche.

France


- 8 février : Le Tribunal des conflits rend l'arrêt Blanco, fondement du droit administratif français.
- 24 mai : Chute du président de la République Adolphe Thiers, remplacé par le maréchal de Mac-Mahon (fin en 1879).
- 16 septembre : La France ayant payé ses réparations, l'Allemagne évacue le territoire français.
- 27 octobre : Le refus définitif du drapeau tricolore par Henri d'Artois (1820-1883) marque l'échec d'une restauration de la monarchie en France.
- 30 octobre : Échec de la Restauration en France.
- 20 novembre : « Loi du septennat » fixant la durée du mandat du Président de la République à 7 ans.
- Instauration d'un service militaire de 3 ans pour tous les hommes.

Afrique


- Début d'une guerre anglo-ashanti en Afrique de l'Ouest (fin en 1874).
- Début de la première traversée est-ouest du continent africain par l'explorateur Verney Lovett Cameron (fin en 1875).

Amériques

Amérique du Nord


- Isabella Bird explore les Rocheuses aux États-Unis.
- L'île du Prince-Edouard adhère à la Confédération canadienne.
- La Panique de 1873 entraîne cinq années de crise économique aux États-Unis.
- L'université de Boston aux États-Unis est la première à ouvrir toutes ses sections aux femmes.

Amérique latine


- Traité de La Paz fixant la frontière entre le Chili et l'Argentine.

Asie


- Abolition des édits contre les chrétiens au Japon.
- Francis Garnier s'empare d'Hanoï.
- Les Russes prennent Kouldja et pénètrent dans le Turkestan chinois.
- Skobelev prend Khiva.

Proche-Orient & Monde arabo-musulman


- Palestine : Les territoires allant de Ramallah-Jaffa, au nord, jusqu’à l’Égypte, au sud, relève désormais directement des autorités de Constantinople. Jusque là, la Judée et la Samarie relevaient de l’administration de Damas, alors que la Galilée relevait de Beyrouth.

Chronologies thématiques


- Chemins de fer : 1873 dans les chemins de fer
- Sports : 1873 en sport
- Arts & cultures :
  - 8 août : Paul Verlaine entre à la prison de Mons en Belgique pour deux ans pour avoir tiré deux coups de revolver sur Arthur Rimbaud.
  - L'écrivain français Jules Verne publie Le tour du monde en quatre-vingt jours.
  - François Guizot publie son Histoire de France.
  - Arthur Rimbaud publie Une saison en enfer.
  - Ernest Renan publie L'Antéchrist
- Sciences et techniques :
  - Wilhem Wundt publie Éléments de psychologie physiologique.
  - La carte postale est inventée.
  - L'américain George Brayton invente le moteur à essence.

Naissances en 1873


- 2 janvier : Anton Pannekoek, astronome et un militant communiste hollandais
- 7 janvier : Charles Péguy, écrivain français
- 16 janvier : Boyd Alexander, officier britannique, explorateur et ornithologue († 1910)
- 28 janvier : Sidonie-Gabrielle Colette, romancière française
- 1 avril : Sergueï Rachmaninov, compositeur et pianiste russe
- 20 juillet : Santos-Dumont, pionnier brésilien de l'aviation.
- 8 septembre : Alfred Jarry, poète, romancier et dramaturge français
- 9 octobre : Karl Schwarzschild, astrophysicien allemand
- 30 octobre : Francisco Madero, président du Mexique entre 1911 et 1913.
- 5 novembre : Howard Carter, archéologue et égyptologue britannique

Décès en 1873


- 9 janvier : Napoléon III, ancien empereur des français (° 1808).
- 27 janvier : Adam Sedgwick, géologue anglais (° 1785).
- 8 mai : John Stuart Mill, philosophe et économiste (° 1806).
- 29 mai : Édouard de Verneuil paléontologiste français (° 1805).
- 6 juin : Heinrich Wilhelm Adalbert, prince de Prusse, militaire et explorateur allemand (° 1811).
- 4 juillet : Johann Jakob Kaup, naturaliste allemand (° 1803).
- 8 juillet : Franz Xaver Winterhalter, peintre et lithographe allemand.
- 7 septembre : Jules Verreaux, ornithologue français (° 1807).
- 26 novembre : Karl Friedrich Naumann, géologue Allemand (° 1797).
- 1 décembre : Francis Garnier, explorateur français.
- 14 décembre : Louis Agassiz, zoologiste, ichtyologue et géologue américain d'origine suisse (° 1807).
- Émile Gaboriau, écrivain français (
- 1832) __NOTOC__ ko:1873년 ms:1873 simple:1873 th:พ.ศ. 2416

1882

Catégorie:1882 Cette page concerne l'année 1882 du calendrier grégorien.

Événements

Europe


- 6 mai : Attentat de Phoenix Park, à Dublin, contre des responsables britanniques.
- 20 mai : Triplice ou Triple Alliance entre l'Allemagne, l'Autriche et l'Italie.
- Fondation de l'organisation Bilou (Beith Israël Lekhou Vena'ale), premier mouvement haloutsique (pionnier) en Ukraine.
- Premier axel réussit en compétition de patinage par le Norvégien Axel Paulsen.

France


- 28 mars : Lois Jules Ferry : Lois sur l'obligation, la gratuité et la laïcité de l'enseignement primaire de 6 à 13 ans.
- 30 décembre : Création de l'école normale supérieure de garçons de Saint-Cloud.
- Jules Ferry Président du Conseil (2) : 1882-1885.
- Scandale : le Krach de l'Union générale.
- Création du Parti ouvrier par Jules Guesde

Suisse


- La ligne ferroviaire du Gothard est inaugurée les 22 et 23 mai. Les travaux ont duré dix ans et fait 177 victimes.
- Première conversation téléphonique entre Zurich et Winterthour.
- Le premier tramway hippomobile fait son apparition à Zurich.

Afrique


- Les Anglais prennent le contrôle de l'Égypte, réprimant des soulèvements nationalistes contre Tawfiq Pacha.
- Livraison des deux premières lignes de chemin de fer de la Réunion.

Amériques


- Les États-Unis commencent à restreindre l'émigration par le Chinese Exclusion Act.

Asie & sous-continent indien


- L'homme d'état japonais Okuma Shigenobu fonde le Kaishinto, parti progressiste.

Océanie & Pacifique

Proche-Orient & monde arabo-musulman


- Ouverture de l’école juive de garçons de Jérusalem.

Chronologies thématiques


- Chemins de fer : 1882 dans les chemins de fer
- Sports : 1882 en sport
- Arts & culture :
  - Le compositeur allemand Richard Wagner produit son opéra Parsifal.
  - Léon Pinsker publie « L'auto-émancipation des Juifs » dans lequel il défend l'idée de la création d'un État juif.
- Architecture :
  - L'architecte espagnol Antoni Gaudí commence l'église Sagrada Família à Barcelone.
  - L'architecte français Charles Garnier construit l'observatoire de Nice.
- Beaux-arts :
  - Édouard Manet peint Le bar des Folies-Bergères.
  - Fondation du Musée des Arts décoratifs en France.
- Sciences & techniques :
  - L'inventeur américain Thomas Edison fournit de l'électricité à ses 59 clients new-yorkais.
  - Le mathématicien allemand Felix Klein invente la bouteille qui porte son nom.
  - Le mathématicien allemand Ferdinand Lindeman prouve la transcendance du nombre pi (?).
  - Le médecin français Jean Charcot conduit ses travaux sur l'hystérie.
  - Découverte par le médecin et microbiologiste Robert Koch du bacille de la tuberculose.
  - Création de la Psychical Research Society de Londres composée de notoriétés scientifiques.

Naissances en 1882


- 30 janvier : Franklin Delano Roosevelt, futur président des États-Unis
- 1 février : Louis St. Laurent, futur Premier ministre du Canada
- 2 février : James Joyce, écrivain irlandais
- 20 mars : René Coty, futur président de la République française
- 13 mai : Georges Braque, peintre français
- 22 juillet : Edward Hopper, peintre et graveur américain
- 5 octobre : Robert Goddard, ingénieur et physicien américain
- 29 octobre : Jean Giraudoux, dramaturge français
- 12 novembre : Giuseppe Antonio Borgese, critique et écrivain italien
- 16 décembre : Zoltán Kodály, compositeur hongrois
- 28 décembre : Sir Arthur Eddington, astronome et physicien anglais
- Abd el-Krim, homme politique marocain

Décès en 1882


- 9 avril : Dante Gabriel Rossetti, poète, écrivain et peintre anglais (° 1828).
- 29 juillet : Andrew Leith Adams, médecin, naturaliste et géologue (° 1827).
- 20 novembre : Henry Draper, astronome américain, pionnier de la photographie astronomique.
- 31 décembre : Léon Gambetta, homme d'État français (° 2 avril 1838) __NOTOC__ ko:1882년 ms:1882 simple:1882 th:พ.ศ. 2425

Ferdinand von Lindemann

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (12 avril 1852 à Hanovre - 6 mars 1939) fut un mathématicien allemand passé à la postérité pour sa démonstration publiée en 1882 que π est un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe aucun polynôme non nul à coefficients rationnels dont π soit une racine.

Jeunesse

Son père Ferdinand enseignait les langues modernes au gymnasium et sa mère la fille du directeur. La famille déménagea ensuite à Schwerin. Il étudia les mathématiques à Göttingen, Erlangen, et Munich. À Erlangen il obtint un doctorat, supervisé par Felix Klein, sur la géométrie non euclidienne.

Démonstration de la transcendance

En 1882 il publia le résultat qui fit sa célébrité : la transcendance de π. Ses méthodes étaient similaires à celles utilisées neuf années auparavant par Charles Hermite pour montrer que e la base naturelle des logarithmes est transcendant. On savait déjà que si π est transcendant, alors le problème ancien et célèbre de la quadrature du cercle à l'aide d'une règle et d'un compas ne peut être résolu.

Autre

Pendant qu'il était professeur à l'université de Königsberg, Lindemann agit comme superviseur pour la thèse doctorale de David Hilbert. Voir aussi théorème Lindemann-Weierstrass. Von Lindemann, Ferdinand Von Lindemann, Ferdinand Von Lindemann, Ferdinand

Pi

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (Π en majuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède. Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines. La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères. La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même. \pi\, se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à \pi\, radians.

Analyse

:\frac2\pi= \frac2\cdot \frac2\cdot \frac2\ldots (formule de François Viète, 1593) :\frac - \frac + \frac - \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac (formule de Leibniz) :\frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots \cdot \frac \cdot \frac \cdot \cdots = \frac (produit de Wallis) :\zeta(2) = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac (Euler) :\zeta(4)= \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots + \frac + \cdots = \frac :et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de \pi^\, pour un entier positif n :\Gamma\left(\right)=\sqrt (Fonction Gamma d'Euler) :\int_^ e^ dx = \sqrt :n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt \left(\frac\right)^n (formule de factorielle de Stirling) :e^ + 1 = 0\; (Identité d'Euler, aussi appelé « La formule la plus remarquable au monde ») :π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables : :\frac = 1 + \frac :: = (William Brouncker) :\frac = 1 + \frac :(Il y a d'autres représentations sur [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/]) :\sum_^ \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2 où \varphi\, est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey). :\int_0^1 \sqrt\ dx = \, (Aire d'un quart de cercle unité)

Théorie des nombres

:La probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux vaut 6/π². :Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) est π/4.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

: \lim_ \frac \sum_^ \sqrt = \frac :presque partout sur [0, 1] où les xi sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

Physique

: \Delta x \Delta p \ge \frac (Inégalité de Heisenberg) : R_ - + \Lambda g_ = T_ (Équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas d'expression simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec seulement quelques décimales sur toutes celles découvertes à ce jour serait : :3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679. plus... Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Historique du calcul de Pi

Au les Babyloniens utilisaient l'approximation 25/8 et les Égyptiens (16/9)2(= 3.16049...) qui était une assez bonne approximation. Ce ne fut qu'au qu'une meilleure approximation fut utilisée : vers 250 av. J.-C., grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle par deux polygones, Archimède obtint : 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), soit 2 décimales exactes. Au Moyen-Orient en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit écrit sur sa tombe. Ensuite, grâce au développement de l'analyse au , avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec les 14 décimales obtenues par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shank passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945. Le calcul des décimales de Pi s'emballa au avec l'apparition de l'informatique : 2037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. Le record actuel, obtenu en 2002 est de 1 241 100 000 000 décimales.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, dont des formules similaires sont encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide : :\frac = 4 \arctan\frac - \arctan\frac Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec :(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 -114244i. Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin. Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales. On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes). Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela: :\frac = 12 \arctan\frac + 32 \arctan\frac - 5 \arctan\frac + 12 \arctan\frac (K. Takano, 1982) : \frac = 44 \arctan\frac + 7 \arctan\frac - 12 \arctan\frac + 24 \arctan\frac (F. C. W. Störmer, 1896) Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 19