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Racine Carrée

Racine carrée

La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre réel positif qui une fois multiplié par lui-même donne x. La racine carrée de x est notée \sqrt. Par exemple, \sqrt=4 puisque 4 × 4 = 16, et \sqrt=1,41421.... Les racines carrées sont importantes pour la résolution des équations du second degré. En essayant de prolonger la fonction racine carrée aux nombres réels strictement négatifs on construit les nombres imaginaires (l'appellation ne doit pas induire en erreur : tout nombre, du fait qu'il constitue une abstraction, possède déjà un caractère imaginaire au sens de tous les jours; « imaginaire » en terminologie mathématique n'a pas du tout le même sens) et par extension le corps des nombres complexes.

Propriétés

Les propriétés importantes suivantes de la fonction racine carrée sont valables pour tous nombres réels positifs x et y (dans certains cas strictement positifs) : :\sqrt = x^ :\sqrt = \sqrt \times \sqrt :\sqrt = \frac :\sqrt = \left|x\right| pour tout nombre réel x (voir valeur absolue) La fonction racine carrée envoie un nombre rationnel sur un nombre algébrique; \sqrt est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel et (à part 0) quotient de deux carrés parfaits (0 peut s'écrire \frac). En particulier, \sqrt est irrationnel (son carré 2 n'est pas le quotient de deux carrés parfaits). La fonction racine carrée envoie l'aire d'un carré sur la longueur d'un de ses côtés. La fonction racine carrée a la représentation graphique suivante : Image:racine_carrée.png La fonction racine est continue en tout réel positif x, et dérivable en tout réel strictement positif x (mais n'est pas dérivable en x=0; en ce point la pente de la tangente est infinie; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale). Sa dérivée est égale à x\mapsto\frac, et on peut l'obtenir facilement en considérant x\mapsto\sqrt comme la fonction puissance \frac (première propriété énumérée au-dessus). Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s'obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée : :\sqrt=1 + \sum_^(-1)^ h^n ::=1 + \sum_^(-1)^ h^n ::=1 + \sum_^(-1)^ h^n :: = 1 + \frach - \frach^2 + \frac h^3 - \frac h^4 + \dots pour |h| <1. Remarquons au passage que :=2\left[C_^-C_^n \right] et est donc un entier naturel.

Les racines carrées en algèbre

Soient x et a deux réels, tels que x2=a. Une erreur courante est de «prendre la racine carrée» et d'en déduire que x=\sqrt Cela est inexact, parce que la racine carrée de x2 n'est pas x, mais la valeur absolue de x : |x|, d'après l'une des règles ci-dessus. Ainsi, nous pouvons conclure que |x|=\sqrt, ou x=\pm\sqrt

Extraction de racines carrées

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d'extraire la racine carrée d'un nombre. Évidemment, si la racine carrée n'est pas un nombre décimal, alors l'algorithme ne se termine jamais. Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n'importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui suit, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100. Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine à l'écart, de la même façon que lorsque nous effectuons une division classique. À chaque étape :
- on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d'un reste éventuel
- soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée
- on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste
- si le reste est nul et qu'il n'y a plus de chiffre à abaisser alors l'algorithme se termine sinon on recommence. Exemple : Quelle est la racine carrée de 152,2756 (en base 10). Le résultat est le suivant. ____1__2,_3__4_ | | 01 52,27 56 1 x 01 1×1=1 1 ____ __ 00 52 22 2x 00 44 22×2=44 2 _______ ___ 08 27 243 24x 07 29 243×3=729 3 _______ ____ 98 56 2464 246x 98 56 2464×4=9856 4 _______ 00 00 fin de l'algorithme Le résultat trouvé est 12,34 Vérification : 12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34. = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02) = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004 = 152,2756

Calcul approché

L'équation de Pell conduit à une méthode pour trouver des approximations rationnelles de racines carrées de nombres entiers. Un autre algorithme plus couramment utilisé pour approcher √x est basé sur la méthode de Newton et procède de la manière suivante :
- on place une valeur positive arbitraire dans r (idéalement la plus proche possible de la racine carrée de x)
- on remplace r par la moyenne de r et de x/r
- on recommence à l'étape 2. L'algorithme converge de manière quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts de r double pratiquement à chaque étape. Cet algorithme fonctionne également bien pour les nombres p-adiques, mais ne peut pas être utilisé pour identifier de vraies racines carrées des racines carrées p-adiques; il est facile, par exemple, de construire une suite de nombres rationnels par cette méthode qui converge vers +3 dans les réels, mais vers -3 dans les 2-adiques.

Calcul par la méthode du goutte à goutte

Voir Technique_de_l'extraction_de_racine

Construction géométrique de la racine carrée

Technique_de_l'extraction_de_racine Il est possible de construire la racine carrée d'un nombre constructible. Soit a ce nombre, on cherche donc à construire dans le plan un segment de longueur \sqrt. Construisons le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O tel que AO=1. Considérons ensuite le cercle de diamètre AB et menons la hauteur issue de O sécante en H avec le demi-cercle supérieur. Le triangle ABH est rectangle en H. Soit x=OH. En utilisant le théorème de Pythagore, on montre que x = \sqrt. Cette égalité justifie par ailleurs que les triangles AOH et HOB sont semblables Démonstration de x = \sqrt : Dans le triangle rectangle HOB : x2 + a2 = HB2
Dans le triangle rectangle ABH : HB2 = (a+1)2 - AH2
Dans le triangle rectangle AOH : AH2 = 12 + x2
D'où x2 + a2 = (a+1)2 - (12 + x2), soit, après simplification x2 = a, soit x = \sqrt !

Les racines carrées de nombres complexes

Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tels que w2 = z. La définition de racine de \sqrt est la suivante : si z s'écrit sous forme trigonométrique z=r e^ avec -π < φ ≤ π, alors nous posons \sqrt=\sqrt e^. Ainsi définie, la fonction racine carrée est holomorphe partout sauf en les réels négatifs. (en lesquels elle n'est même pas continue).Le développement en série de Taylor ci-dessus reste valable pour x complexe. Quand le nombre est dans sa forme algébrique, la formule suivante peut être utilisée : :\sqrt = \sqrt \pm i\sqrt où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial. Notons qu'à cause de la nature discontinue de la fonction de racine carrée dans le plan complexe, la relation \sqrt=\sqrt\sqrt est fausse en général. Supposer cette propriété toujours vraie risque de nous conduire à des démonstrations fausses et, par exemple ce qui suit est une démonstration de l'égalité -1 = 1 : :-1 = i \times i = \sqrt \times \sqrt = \sqrt = \sqrt = 1 La troisième égalité ne peut pas être justifiée (voir la preuve que 1 est égal à -1).

Les racines carrées de matrices et d'opérateurs

Si A est une matrice définie positive ou un opérateur défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice ou un opérateur définis positifs B tel que B2 = A; nous définissons alors √A = B. Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cela peut se généralier à un opérateur borné normal sur un espace de Hilbert. En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes.

Les racines carrées, approximations entières

Les demo makers ont parfois besoin de construire de tables de racines carrées entières. exemple: CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .. 15 16 17 .. 24 25 RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 .. 3 4 4 .. 4 5 Lorque l'on observe la suite des racines, On s'appercoit que les racines sont constantes, puis incrémentées. Plus précisément,
- le 0 est répété 1 fois,
- le 1, 3 fois
- le 2, 5 fois
- le 3, 7 fois
- le 4, 9 fois Le nombre de fois est une suite de nombres impairs (incrémentés de 2 en 2).

Démonstration

(a+1)² -a² = a² +2a +1 -a² = 2a + 1 on retrouve donc notre exemple:
- le a=2, 2a+1=5 fois
- le a=3, 2a+1=7 fois
- le a=4, 2a+1=9 fois

Itérations infinies de racines carrées


- Il va de soit que : :2 = \sqrt qui peut s'écrire encore : :2 = \sqrt et en « réitérant à l'infini » : :2 = \sqrt
- Ramanujan obtint une formule similaire pour 3. Il partit de la décomposition :(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\, et construisit le produit n(n+p) en fixant p=2 :n(n+2) = n\sqrt Il substitua le terme (n+3) :n(n+2) = n\sqrt Ramanujan réitéra à l'infini en remplaçant maintenant n par 1 sans se préoccupper du passage à la limite et obtint la jolie formule : :3 = \sqrt En fixant n et p à d'autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, vous pourrez également construire d'autres belles formules comme : :4 = \sqrt
- En résumé, la relation suivante, itérée à l'infini : :n+2 = \sqrt = \sqrt permet donc d'exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées. En particulier, en fixant n = 0 et sans se préoccuper du passage à la limite :2 = \sqrt

Voir aussi


- exponentielle
- Nombre d'or
- Nombre irrationnel
  - Nombre algébrique
- Nombre réel
  - Nombre complexe
- racine cubique Catégorie:Fonction remarquable ja:平方根 ko:제곱근

Nombre

Catégorie:Numération
- Un nombre est une quantité abstraite utilisée pour dénombrer et classer des objets ou pour mesurer une grandeur physique.
Les nombres doivent être distingués des chiffres, qui sont des (combinaisons de) symboles utilisés pour représenter les nombres. La notation des nombres comme une série de chiffres est développée dans l'article : système de numération. La langue française, à la différence de beaucoup d’autres, utilise deux mots proches : nombre et numéro, pour désigner des notions voisines. Si le numéro désigne souvent un code représenté par des chiffres (numéro de téléphonne, jeton de loto...), il suggère l'idée d'un emplacement particulier dans une suite ordonnée d'éléments (adresse dans une rue, en l'occurrence, les chiffres ne suffisent plus à exprimer le 3bis de la rue). Le nombre, quant à lui, induit plutôt l'idée de quantité, de population. Lorsqu'il n'est pas attaché à un objet (numéro) ou des objets (population), le nombre est une abstraction pure. Ainsi le numéro est représenté par des chiffres composant un nombre.

Mesure et comptage

La numération, outre le système de numération employé, connaît deux modes :
- le mode quantitatif qui exprime une mesure en utilisant des adjectifs numéraux cardinaux : trois litres, 3 000 Hz, 0,5 Ω,
- le mode ordinal qui attribue aux objets un numéro d'ordre : le premier, le deuxième, la seconde, la tierce... L'utilisation d'adjectifs numéraux cardinaux remplace alors parfois celle d'adjectifs ordinaux : page trois, l'an III du règne de Sédécias. Le nombre devient alors plutôt un numéro.

Quantification

La numération quantitative s'est fortement répandue avec la culture scientifique qui mesure son objet, qui en évalue la quantité par rapport à une unité arbitraire. Cette quantité peut être nulle (0 m) ou négative (-12 V). Le nombre de fois où l’unité peut être observé dans l’objet mesuré est entier ou fractionnaire (0,50 €). La quantification, jointe à l’usage d’une numération positionnelle, facilite grandement la manipulation conceptuelle : les opérations (les quatre de bases : addition, soustraction, multiplication, division, et autres que la Mathématique élabore). De fait, c’est l’approche quantitative du réel, jointe à une mathématique utilisant un système arithmétique positionnel qui a permis l‘émergence de la physique.

Indexation

La numération ordinale est couramment utilisée pour le comptage d'objets distincts, unitaires : les livres sur une étagère, même si les adjectifs cardinaux sont utilisés dans le langage courrant. Il s'agit alors d'une indéxation plutôt que d'une mesure. Je compte un, deux, trois, quatre, cinq livres sur l'étagère. Le troisième livre, c‘est-à-dire en troisième position, porte l'index trois. Le nombre de livres, 5, correspond à l'index le plus grand. L'indexation commence à 1. Il n'y a pas d'objet 0. Dans l‘exemple ci-dessus, il n’y a pas d'unité arbitraire, de livre de référence : un gros dictionnaire vaut un livre tout comme un simple feuillet. L’utilisation d’une quantification (pesage, mesure à la règle...) ne permet pas d’obtenir le nombre de livres sur l’étagère si ceux-ci ne sont pas homogènes. On ne cherche pas une quantité de livres ( 5 mètres linéaires d’étagère) mais un nombre de livres.

Observations

Quelques effets de l'existence de deux modes de numérotation peuvent être signalés.
- En musique, la tierce est un intervalle de deux tons. Héritée de la culture antique, la numération n'est pas quantitative mais ordinale. On ne compte pas la quantité d'intervalles mais la note sur laquelle aboutit l'intervalle : la troisième puisque celle de départ porte l'index 1 (Do = 1 ; Ré = 2 ; Mi = 3 ). Il y a une disjonction entre le rang d'une note d'arrivée (comptage de tons) et l'écart (mesure de tons).
- L’an 1 appartient au . Il n’y a pas d'an 0 puisque la numérotation des ans est un comptage. Le siècle ayant 100 années, l'an 100 appartient au même siècle. C'est l'an 101 qui commence le deuxième siècle. Ainsi, le vingtième siècle comprenait les années de 1901 à 2000 et le les années allant de 1001 à 2000. Il semble cependant que le développement de la quantification ait fait commencer le et ses festivités un an plus tôt.
- La syntaxe de certains langages informatiques fait commencer à 0 l'indexation de tableaux $var[0], $var[1], $var[2]. Si i est l'index le plus grand des éléments de la variable $var, celle-ci comprend alors i+1 éléments. L'informatique a ainsi réintroduit une disjonction entre les numérations ordinale et cardinale que la science faisait disparaître.

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les nombres entiers naturels notés par \mathbb\,, utilisés pour le dénombrement.
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs \mathbb\,. Les rapports d'entiers réalisés par la division sont appelés nombres rationnels ou fractions; l'ensemble de tous les nombres rationnels est noté \mathbb\,, formé des ensembles de nombres à développement décimal fini (les nombres décimaux) et les nombres à développement périodique. Si , dans l'ensemble, outre les éléments de \mathbb\,, on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques , on obtient l'ensemble des nombres réels, noté \mathbb\,. Ces nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cet ensemble est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants. Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté \mathbb\,, qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme à coefficients complexes peut être complètement factorisé. Ainsi : :\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb\sub\mathbb Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication des quaternions n'est plus commutative. Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions. En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension finie sur \mathbb\,, sont les nombres réels, les nombres complexes, et les quaternions. Les éléments des corps de fonction algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres. Ils sont historiquement apparus dans cet ordre :
- Les entiers naturels,
- Les nombres rationnels positifs,
- L'invention du zéro,
- Les entiers relatifs,
- Les nombres rationnels,
- Les nombres irrationnels et les nombres réels,
- Les nombres complexes,
- Les nombres hypercomplexes,
- Les nombres p-adiques,
- Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
- Les nombres transfinis,
- Les nombres hyperréels,
- Les nombres surréels et pseudo-réels. Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées. La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres réels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École. Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres tout à fait convenables. Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions. L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue, et sont très utilisés en théorie des nombres ; ces nombres sont cependant assez méconnus au sein même de la communauté mathématique… Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard. Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyper-réels, mais la construction est différente. Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont généralisée dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Articles connexes


- Numération ;
- mathématiques ;
- fraction ;
- les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la numérotation décimale : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ;
- nombre premier ;
- gogol ;
- nombres en français ;
- nombres dans le monde ;
- Liste des nombres ;
- Les nombres ordinaux et cardinaux ;
- Table des diviseurs.

Références


- John H. Conway, Richard K. Guy, « Le Livre des Nombres », Paris, éditions Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-03638-8
- Article nombre dans le wiktionnaire Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Editions Robert Laffont, collection "Bouquins" ja:数 ko:수 (수학) simple:Number th:จำนวน

Nombre complexe

En mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels : ils sont apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs. Une conséquence immédiatement visible est que si l’on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes. Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe. Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Tout polynôme non constant admet autant de racines complexes que son degré. L’étude des fonctions dérivables au sens complexe est une branche des mathématiques appelée analyse complexe. Les nombres complexes furent « inventés » au par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. La présentation géométrique vient entre autres de l’abbé Buée et d’Argand.

Approche vulgarisée des nombres complexes

Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d’étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes . Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode. En effet, ils présentent un aspect double :
- de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
- de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, sont une pure abstraction. Nous allons essayer, dans cette partie, d’avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard [1].

X et i

Lorsque l’on manipule les x d’une équation, inéquation ou système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion que ce nombre n’existe pas, par exemple : :\left\

Nombre complexe

En mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels : ils sont apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs. Une conséquence immédiatement visible est que si l’on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes. Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe. Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Tout polynôme non constant admet autant de racines complexes que son degré. L’étude des fonctions dérivables au sens complexe est une branche des mathématiques appelée analyse complexe. Les nombres complexes furent « inventés » au par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. La présentation géométrique vient entre autres de l’abbé Buée et d’Argand.

Approche vulgarisée des nombres complexes

Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d’étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes . Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode. En effet, ils présentent un aspect double :
- de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
- de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, sont une pure abstraction. Nous allons essayer, dans cette partie, d’avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard [1].

X et i

Lorsque l’on manipule les x d’une équation, inéquation ou système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion que ce nombre n’existe pas, par exemple : :\left\

Nombre rationnel

Rationnel Catégorie:Mathématiques élémentaires Un nombre rationnel est un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire, d'un quotient de deux nombres entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb Q.

Développement décimal

Comme tous les nombres réels, les nombres rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique (C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant indéfiniment. Cette séquence sera appelée une période du développement décimal illimité.). Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une suite illimitée de « 9 ». En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une suite illimitée de « 0 » (et mieux, un développement décimal limité équivalent). Quelques exemples : :1/3 = 0,3 = 0,33 = 0,333... (on répète la période « 3 » indéfiniment ... mais « 33 » est aussi une période.) :50/41 = 1,21951 = 1,21951 21951 21951... :3/4 = 0,750 = 0,750 00... = 0,75 (mais aussi = 0,749 999 99...) :1 = 1,0 = 1,000 00... (dans les égalités ci-dessus, les groupements de chiffres soulignés désignent des périodes) Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ainsi, par exemple, le nombre 0,12 122 1222 12222... (où l'on a des séquences de « 2 » de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel. Ainsi, 2,4 (qui peut s'écrire sous la forme 12/5) est rationnel, de même que 13,444... (=121/9). Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration). L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels :\mathbb R = \bar \mathbb Q

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes ; p.ex. :3/4 = 1/2+1/4 :47/72 = 1/2+1/7+1/101+1/50904 = 1/2 + 1/8 + 1/36 Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles ; p.ex. :1/12 = -1/4+1/3 :35/72 = 35/8-35/9 Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

Ecriture d'un nombre rationnel sous forme d'une fraction

Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous forme de fraction. Il existe donc une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous forme de fraction: : 178,\underline = \frac = \frac = 178 : 178,\underline = \frac = \frac : 178,\underline = \frac = \frac : 178,\underline = \frac = \frac Et lorsque la période est décalée : 178,10\underline = \frac = \frac = \frac = \frac L'on peut prouver que 12,9......9 = 13\, en procédant de la sorte :12,9999....9 = 12,\underline = \frac = \frac = \frac = 13

Liens externes


- Le logiciel [http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/fraction.html PC Fraction] calcul des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc. ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Nombre algébrique

ko:대수적 수 ja:代数的数 Algébrique

Nombres algébriques réels ou complexes

On appelle nombre algébrique un nombre réel ou complexe qui est racine d'une équation polynomiale à coefficients entiers non tous nuls. Il est équivalent de dire qu'il est racine d'une équation polynomiale (ou d'un polynôme) à coefficients rationnels non tous nuls. L'ensemble des nombres algébriques se note \overline et est un corps inclus dans \mathbb. On a \overline \neq \mathbb : en effet, il est connu que l'ensemble \overline est dénombrable, alors que \mathbb ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants.

Exemples


- Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient p / q de 2 entiers est racine de l'équation q x - p = 0
- Le nombre réel (et irrationnel) \sqrt 2 est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 - 2 = 0 .

- Le nombre complexe i est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 + 1 = 0 .

Généralisation

Plus généralement : soient \mathbbun corps, et \mathbb une extension de \mathbb. Un élément de \mathbbest dit algébrique sur \mathbb s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans \mathbb, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb dans le cas contraire. La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où \mathbbest le corps \mathbbdes rationnels et \mathbbest le corps \mathbb des nombres complexes.

Voir aussi


- Cas particuliers de nombres algébriques:
  - entier algébrique
  - nombre rationnel
- Autres classes de nombres:
  - nombre transcendant

Carré parfait

En mathématiques, un entier n est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier k tel que n = k^2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49 sont des carrés parfaits. Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9. Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 3^2+4^2=5^2, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens. La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante : :\sum_p^2=0^2+1^2+2^2+3^2+...+n^2 =

Voir aussi


- Nombre carré
- Trinôme carré parfait
- Algèbre polynomiale
- Factorisation

Lien externe


- [http://www.recreomath.qc.ca/dict_parfait_carre.htm Deux notions connexes]

Continuité

catégorie:Topologiecatégorie:Analyse réelle La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques. Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (donc à variable réelle) est continue si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon.

Définition pour les fonctions réelles

Soit I un intervalle réel. Soit f : I \to \mathbb et a \in I.
- La fonction ƒ est dite continue en a si : : \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \left[|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon\right] :Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a). :Ce qui précède s'écrit également : :\lim_ f(x) = f(a)
- La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout point a de I. :Une fonction discontinue présente des « sauts ».

Exemples


- La fonction carré : \mathbb\to\mathbb, x\mapsto x^2 est continue.
- La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
- Une fonction réelle dérivable en un point est continue en ce point.
- Une fonction réelle peut n'être continue en aucun point : c'est le cas de 1_\mathbb, la fonction indicatrice de \mathbb qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que pour tracer cette fonction, d'une part il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout, pas une seule fois on ne pourrait tracer de ligne de longueur non nulle.

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles
- est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires)
- simplifie le calcul de limites car \lim_ f(x) = f(a) La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Définition dans le cas des espaces métriques

Soient (E,\,d) et (E',\,d') deux espaces métriques.
Soient f : E \to E' et a \in E.
On dit que l'application f est continue en a si :
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \left[d(x,a) \leq \eta \implies d'(f(x),f(a)) \leq \varepsilon\right]

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a) .

Exemples


- Une application linéaire d'un espace vectoriel normé de dimension finie vers un autre espace vectoriel normé est continue.
- Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité. ::Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur \mathbb[X], l'espace des polynômes réels, où la norme d'un polynôme est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes \. Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme nX^, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

La définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique de limite. Une fonction sera dite continue en un point a si sa limite en a est égale à sa valeur en a. Plus formellement, étant donnés deux espaces topologiques E \,\! et F \,\!, un point a \in E \,\!, et une application f \, : \, E \rightarrow F \,\!, on dira que f \,\! est continue au point a \,\! si et seulement si : \lim_ f(x) = f(a) \,\! La fonction f \,\! est dite continue (tout court, ou continue sur E \,\!) si et seulement si elle est continue en tout point a de E \,\!.

Définition globale

Contrairement à la définition locale, la définition globale ne permet pas de caractériser les fonctions continues en un point particulier, mais seulement celles qui sont continues sur l'espace entier. On peut la considérer comme une propriété découlant de la première définition. Une application continue d'un espace topologique E dans un espace topologique E' est une application telle que l'image réciproque de tout ouvert (resp. un fermé) de l'espace d'arrivée soit un ouvert (resp. un fermé) de l'espace de départ. Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée ! :Cette définition alternative est souvent utilisée comme propriété pour montrer qu'un ensemble est ouvert (ou fermé). Par exemple l'hyperbole \mathcal = \left\ \,\! peut être vue comme l'image réciproque de \ \,\! par l'application produit : :\Pi \, : \, \R^2 \rightarrow \R , \ (x,y) \mapsto xy \,\! :L'hyperbole \mathcal = \Pi^ \left( \ \right) \,\! est fermée car elle est l'image réciproque du singleton \ \,\! par l'application continue \Pi \,\!.

Voir aussi


- Continuité uniforme
- Homéomorphisme
- Limite
- Dérivée
- Continuité (mathématiques élémentaires)

Série de Taylor

En mathématiques, le développement en série de Taylor en un point a, d'une fonction f indéfiniment dérivable d'une variable réelle ou complexe sur un intervalle ouvert ]a-r, a+r[ est la série entière : : \sum_^ \frac (x-a)^ Ici, n! est la factorielle de n et f (n)(a) désigne la dérivée nème de f au point a. Si cette série est convergente pour tout x appartenant à l'intervalle ]a-r, a+r[ et si la somme est égale à f(x), alors la fonction f est dite analytique. Pour déterminer si la série converge vers f(x), nous pouvons naturellement utiliser des estimations du reste de la formule de Taylor. Si a = 0, la série est aussi appelée une série de Maclaurin. L'importance d'une telle représentation en série entière est triple. En premier lieu, la différenciation et l'intégration de séries entières peuvent être exécutées terme à terme et sont par conséquent rendues particulièrement simples. En second lieu, une fonction analytique peut être prolongée de manière unique en une fonction holomorphe définie sur un disque ouvert dans le plan complexe, et cela permet d'utiliser tous les outils de l'analyse complexe. En troisième lieu, la somme partielle de la série entière peut être utilisée pour calculer des valeurs approchées de la fonction au voisinage d'un point. Signalons qu'il existe des exemples de fonctions indéfiniment continûment dérivables f dont la somme de la série de Taylor est convergente mais qui n'est pas égale à f(x). Par exemple, toutes les dérivées de f définie par f(x) = exp(-1/x2) sont nulles en x = 0, et donc la série de Taylor de f est nulle, et ainsi son rayon de convergence est infini, alors que la fonction n'est pas du tout nulle. Certaines fonctions ne peuvent pas être développées en série de Taylor parce qu'elles ont une singularité ; dans certains cas, nous pouvons achever leur développement en série à condition de nous permettre de faire intervenir des puissances négatives de x ; voir série de Laurent.

Liste des séries de Taylor

Nous allons donner d'importants développements en série de Taylor. Tous ces développements sont aussi valables pour une variable complexe x. Fonction exponentielle et logarithme naturel : :\mbox x, \quad e^ = \sum^_ \frac :\mbox \left| x \right|<1, \quad \ln(1+x) = \sum^_ \fracn x^n Séries géométriques : :\mbox \left| x \right| < 1, \quad \frac = \sum^_ x^n Théorème binomial (voir aussi coefficients binomiaux) : :\mbox \left| x \right| < 1\mbox \alpha, \quad (1+x)^\alpha = \sum^_ x^n Fonctions trigonométriques : :\mbox x, \quad \sin x = \sum^_ \frac x^ :\mbox x, \quad \cos x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < \frac, \quad \tan x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < \frac, \quad \sec x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < 1, \quad \arcsin x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < 1, \quad \arctan x = \sum^_ \frac x^ Fonctions hyperboliques : :\mbox x, \quad \operatorname x = \sum^_ \frac x^ :\mbox x, \quad \operatorname x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < \frac, \quad \operatorname x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < 1, \quad \operatorname x = \sum^_ \frac x^ :\mbox \left| x \right| < 1, \quad \operatorname x = \sum^_ \frac x^ Fonction W de Lambert : :\mbox \left| x \right| < \frac, \quad W_0(x) = \sum^_ \frac x^n Les nombres Bk apparaissant dans les développements de tan(x) et de th(x) sont les nombres de Bernoulli. est un coefficient binomial. Le nombre Ek dans le développement de sec(x) est un nombre d'Euler.

Voir aussi


- Théorème de Taylor
- Brook Taylor Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Analyse complexe ja:テイラー展開 ko:테일러 급수

Nombre décimal

ja:十進記数法 Décimal Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité. Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre \pi\, qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : 3,14 ; 3,14159 ; 3,14159235 ; etc.

Système décimal

Un nombre décimal est construit comme ceci : 7254,5 = 7\times 10^3+2\times 10^2+5\times 10^1+4\times10^0+5\times 10^\, 7254,5 = 7000 + 200 + 50 + 4 + 0,5\, La valeur du chiffre (unité, dizaine, centaine, ..., dixième, centième, ...) est fonction de sa position dans l'écriture du nombre.

Ensemble des décimaux

L'ensemble des décimaux, est un ensemble mathématique stable par addition, soustraction et multiplication : \mathbb D = \
On remarque au passage que l'ensemble des nombres décimaux contient l'ensemble des entiers relatifs \mathbb et est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels \mathbb Q.

Voir aussi


- Fraction
- Numération

Chiffre

Catégorie:Numération Cet article traite du mot chiffre au sens mathématique, et des relations entre chiffre et nombre.
Pour « chiffre » au sens de « code secret », voir Chiffre (cryptologie). ---- Un chiffre est un des symboles employés pour représenter des nombres. Le mot « chiffre », utilisé d'abord pour signifier « zéro », vient de l'arabe sifr (أَلصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), qui signifie « le vide ». Contrairement à l'alphabet latin, les chiffres font partie des écritures de type logographique. Par exemple, le symbole 1 se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.

Mathématique

Dans les systèmes de numération, les nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels, sont représentés par des combinaisons de chiffres.
- Le système de numération naturelle utilise les chiffres arabes, introduits en France au . Ils sont au nombre de dix : ::0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. :Ils composent le système de numération décimal.
- Les chiffres romains utilisés dans la Rome antique sont : ::I, V, X, L, C, D, M :et valent respectivement 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.
- Dans le système binaire, il n'existe que deux chiffres, qui sont représentés par les caractères 0 et 1.
:Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « marche » et « arrêt ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique.
- Les chiffres du système hexadécimal sont ::0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F :et valent respectivement, dans le système décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Dans un système de numération donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres nécessaires, y compris zéro, est toujours égal à la valeur absolue de la base.
Exemples :
Le système décimal est un système de numération à base 10, qui utilise les dix chiffres de 0 à 9.
Le système octal est un système de numération à base 8, qui utilise les huit chiffres de 0 à 7.
Le système binaire est un système de numération à base 2, qui utilise les deux chiffres 0 et 1.
Le système hexadécimal est un système de numération à base 16, qui utilise les seize symboles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B ,C, D, E, F.
En langue japonaise et en chinois, on utilise les sinogrammes (en japonais kanji) suivants: 一, 二, 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九, 十, 百, 千, 万.
Voir: compter en japonais.

Langage courant

En langage courant, le chiffre est le nombre total. Par exemple : Cette population approche du chiffre de 5 000.
Cette notion de « chiffre » au sens de « somme totale » est également utilisée en comptabilité : le chiffre d'affaires est le montal total des ventes.

Musique

En musique, les chiffres servent au chiffrage de la mesure. Ils composent le nombre indicateur qui indique la mesure. C'est la fraction placée au début d'un morceau dans une partition musicale. Son numérateur indique le nombre de temps de la mesure et son dénominateur, la valeur de la note. Par exemple, 2/4 signifie « une mesure à deux noires » ; 3/2, « une mesure à trois blanches » ; 6/8, « une mesure à six croches », etc.

Voir aussi


- numération
- nombre ja:数字 ko:숫자

Équation de Pell

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Définition générale

Une équation de Pell est toute équation diophantienne de la forme x^2-ny^2=\pm 1\, où n est un entier positif différent d'un carré parfait. En l'appelant « diophantienne », nous disons réellement ce que nous avons l'intention de faire avec l'équation plutôt que d'en décrire une propriété intrinsèque : nous avons l'intention de chercher les solutions où x et y sont entiers. Dans le cas x^2-ny^2=1\,, une infinité de telles solutions de cette équation existent. Celles-ci produisent de bonnes approximations rationnelles de la racine carrée du nombre naturel n. Si x^2-ny^2=1\, a toujours une solution particulière, ceci n'est pas le cas de x^2-ny^2=-1\,, par exemple l'équation x^2-3y^2=-1\,, n'admet aucune solution entière. Le nom de cette équation provient du mathématicien suisse Leonhard Euler qui attribua son étude de façon erronée à John Pell. Par exemple, considérons la racine carrée de deux \sqrt . Elle est souvent approchée par 1,414..., que certains peuvent incorrectement interpréter comme 1,41414141414..., ou 140/99. De la même manière, l'inverse de la racine carrée de deux à trois décimales est 0,707, qui suggère 0,70707070..., ou 70/99. Si 70/99 approche l'inverse de la racine carrée de deux, il découle que 99/70 approche la racine carrée de deux. Ainsi, la racine carrée de deux est comprise entre 140/99 et 99/70. La moyenne arithmétique de ces deux rationnels est 19601/13860. Ce nombre élevé au carré est 384199201/192099600. On voit que 2 fois le dénominateur 192099600 est 384199200, qui diffère du numérateur de seulement 1. p = 19601 et q = 13860 satisfont l'équation diophantienne 2q^2 + 1 = p^2\,. Toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait cette équation sera une bonne approximation raisonnable pour la racine carrée de deux. Plus généralement, si n est un nombre naturel donné, alors toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait à l'équation de Pell : nq^2 + 1 = p^2\, est une bonne approximation pour la racine carrée de n. Plus les nombres p et q sont grands, meilleure est l'approximation. On peut voir que si (a, b) et (c, d) satisfont une équation de Pell du type x^2-ny^2=1\,, alors il vient : (bc + ad, bd + nac)\, et : (bc - ad, bd - nac)\,. Le mathématicien français Pierre de Fermat à démontré que p et q peuvent toujours être trouvés pour satisfaire une équation de Pell pour tout nombre naturel n qui n'est pas un carré parfait. Avec un ordinateur capable de calculer les grands nombres, il est facile ainsi de converger rapidement vers n'importe quelle racine carrée (donc irrationnelle) de n. Comme bonus, une équation de Pell peut toujours être résolue en un nombre fini d'étapes en calculant la représentation en fraction continuée de la racine carrée de n.

Cas x²-ny² = 1

On démontre alors : :Si \sqrt n = [a_0, \overline] avec m \ge 1 car n\, n'est pas un carré parfait, alors :l'équation de Pell x^2-ny^2 = 1\, admet, suivant la parité de m\,, la solution minimale (x_1,y_1)\, suivante :
- quand m\, est pair, le couple (x_1,y_1)=(p_,q_)\, où \frac est la réduite de rang (m-1)\, de \sqrt n
- quand m\, est impair, le couple (x_1,y_1)=(p_,q_)\, où \frac est la réduite de rang (2m-1)\, de \sqrt n :La réduite de rang r\, de \sqrt n étant la fraction \frac=a_0 + \frac qui est irréductible. :Les autres solutions (x_k,y_k)\, avec k \ge 1\, sont obtenues en identifiant x_k+y_k\sqrt\, au développement de (x_1+y_1\sqrt)^k :En particulier, (x_2,y_2)=(x_1^2+ny_1^2,\ 2x_1y_1)\,, (x_3,y_3)=(x_1^3+3nx_1y_1^2,\ 3x_1^y_1+ny_1^3)\,, etc.
:La formule de récurrence étant : (x_,y_)=(x_kx_1+ny_ky_1,\ x_ky_1+y_kx_1)\,

Exemples détaillés


- Recherche des solutions de x^2-28y^2 = 1\, :Le développement en fraction continuée périodique de \sqrt\, est [5, \overline] (m = 4 et est pair) :La réduite de rang (m-1)=3 de \sqrt est 5+\frac = \frac :La solution minimale est donc (x_1,y_1)=(127,24)\, qui vérifie bien 127^2-28\cdot24^2 = 1\, :Les autres solutions sont (x_2,y_2)=(32257,6096)\,, (x_3,y_3)=(8193151,1548360)\,, etc.
- Recherche des solutions de x^2-19y^2 = 1\, :Le développement en fraction continuée périodique de \sqrt\, est [4, \overline] (m = 6 et est pair) :La réduite de rang (m-1)=5 de \sqrt est 4+\frac = \frac :La solution minimale est donc (x_1,y_1)=(170,39)\, qui vérifie bien 170^2-19\cdot39^2 = 1\, :Les autres solutions sont (x_2,y_2)=(57799,13260)\,, (x_3,y_3)=(19651490,4508361)\,, etc.
- Recherche des solutions de x^2-17y^2 = 1\, :Le développement en fraction continuée périodique de \sqrt\, est [4, \overline] (m = 1 et est impair) :La réduite de rang (2m-1)=1 de \sqrt est 4+\frac = \frac :La solution minimale est donc (x_1,y_1)=(33,8)\, qui vérifie bien 33^2-17\cdot8^2 = 1\, :Les autres solutions sont (x_2,y_2)=(2177,528)\,, (x_3,y_3)=(143649,34840)\,, etc.
- Recherche des solutions de x^2-29y^2 = 1\, :Le développement en fraction continuée périodique de \sqrt\, est [5, \overline] (m = 5 et est impair) :La réduite de rang (2m-1)=9 de \sqrt est 5+\frac = \frac :La solution minimale est donc (x_1,y_1)=(9801,1820)\, qui vérifie bien 9801^2-29\cdot1820^2 = 1\, :Les autres solutions sont (x_2,y_2)=(192119201,35675640)\,, (x_3,y_3)=(3765920568201,699313893460)\,, etc.

Cas x²-ny² = -1

On démontre que si (x_1,y_1)\, est une solution particulière, alors les couples (x_k,y_k)\, vérifiant :x_k+y_k\sqrt = (x_1+y_1\sqrt)^k avec k=1,3,5,7,\cdots sont les solutions générales.

Exemple

Une solution particulière de x^2-5y^2=-1\, est (2,1)\, Les développements : :(2+\sqrt)^3=(38+17\sqrt)\, :(2+\sqrt)^5=(682+305\sqrt)\, :(2+\sqrt)^7=(12238+5473\sqrt)\, fournissent les solutions (38,17)\,, (682,305)\, et (12238,5473)\, : :38^2-5\cdot17^2=-1\, :682^2-5\cdot305^2=-1\, :12238^2-5\cdot5473^2=-1\,

Bibliogaphie


- Jean Trignan; Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994, ISBN 2-909028-16-X Pell (Equation) Equation de Pell

Nombre p-adique

ja:P進数 catégorie:Algèbre p-adique En mathématiques, un nombre p-adique est un élément du corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques, où p est un nombre premier donné. On parle donc de nombre 2-adique, 3-adique, etc. Les corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques sont construits par complétion du corps \mathbb Q des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique et notée |.|_p. En un sens, les corps \mathbb Q_p sont apparentés au corps \R des nombres réels, qui est également une complétion du corps des nombres rationnels lorsque la norme considérée est la valeur absolue habituelle. La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries de puissances dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, il est possible de munir un corps \mathbb Q_p d'une norme non-archimédienne. On obtient alors une analyse différente de l'analyse usuelle, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne. Pour un nombre premier donné p, on définit la norme p-adique sur \mathbb Q comme suit :
la norme p-adique |r|_p d'un rationnel r vaut lorsque r se décompose en r = \cdot p^k avec a, b et k entiers relatifs, b>0 et a, b et p premiers entre eux (une telle décomposition est unique).
Si r est entier, k est simplement le plus grand exposant d'une puissance de p qui divise r. En quelque sorte, plus r est divisible par p, plus sa norme p-adique est petite. Par exemple, pour r = = 2^\times 3^2\times 5^\times 7\times 11^ :
:|r|_2=2 :|r|_3= :|r|_5=25 :|r|_7= :|r|_=11 :|r|_p=1 pour tout autre nombre premier. On peut montrer que tout norme sur \mathbb Q est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique d_p sur \mathbb Q en posant : :d_p(x,y)=|x-y|_p Le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (\mathbb Q, d_p). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient \mathbb Q

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques. On définit l'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_ telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n, a_n=a_m [p^n]. Par exemple, 35 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35 \ldots). L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite (a_n) dont le premier élément n'est pas nul a un inverse. L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques.

Décomposition canonique de Hensel

Soit p un nombre premier. Tout élément non nul r de \mathbb Q_p (et en particulier tout élément de \mathbb Q) s'écrit de manière unique sous la forme : ::r = \sum_^\infty a_i p^i où k \in \Z et les a_i sont des nombres entiers compris entre 0 et p-1. Cette écriture est la décomposition canonique de r comme nombre p-adique. Cette série est convergente suivant la métrique p-adique. On note \Z_p l'ensemble des éléments de \mathbb Q_p tels que k\ge 0 et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. \Z_p est un sous-anneau de \mathbb Q_p. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de \mathbb Q_p, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels. Par exemple, avec p = 2 :
- 1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2 (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
- -1 = \sum_^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2 : on peut vérifier que, puisque \ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
- 3 = \ldots 000011_2
- = 1 + \sum_^\infty 2^= \ldots 01010101011_2 : en multipliant ce résultat par \ldots 000011_2, on retrouve 1.
- \sum_^\infty 2^ représente un élément de \mathbb Q_p (et même de \mathbb Z_p) qui n'est pas dans \mathbb Z. Un autre exemple, avec p = 7 : 2 n'a pas de racine carrée dans \mathbb Q mais en possède une dans \mathbb Q_7, à savoir \sqrt = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7.

Propriétés

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable. Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas possible d'en faire un corps ordonné. La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets. Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. La clôture algébrique des nombres p-adiques est infinie. Les corps \mathbb Q_p ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un \mathbb Q_p n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée \Omega^p et elle est algébriquement close. Le corps \Omega^p est isomorphe au corps \mathbb C des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Il faut cependant noter que l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et qu'il n'est pas possible d'en expliciter un. Les nombres p-adiques contiennent le n corps cyclotomique si et seulement si n divise p-1. Par exemple, les 1, 2, 3, 4, 6 et 12 corps cyclotomiques sont des sous-corps de \mathbb Q_. Le nombre e n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, e^p est un nombre p-adique, sauf si p=2. e est un élément de la clôture algébrique de tous les corps p-adiques. Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction :f:\mathbb Q_p \rightarrow \mathbb Q_p, f(x)=\left\

Technique de l'extraction de racine

La technique du goutte à goutte est un algorithme permettant d'extraire la racine carrée d'un nombre décimal.

Algorithme

#Découper le nombre en tranches de 2 chiffres à partir de la virgule #Prendre la tranche la plus à gauche et lui retrancher les nombres impairs successifs tant que cela est possible #Le nombre de soustractions effectuées est le chiffre le plus à gauche de la racine #Prendre le dernier nombre impair utilisé, lui ajouter 1, multiplier par 10 et ajouter 1 #Au résultat des soustractions effectuées à l'étape 2, coller la tranche suivante #Au nombre ainsi obtenu, retrancher, tant que cela est possible, les nombres impairs à partir du nombre impair obtenu à l'étape 4 #Le nombre de soustractions effectuées est le chiffre suivant de la racine #Recommencer à partir de l'étape 4 Remarques :
- si le résultat des soustractions est 0 et que les tranches restantes ne comportent que des zéros, on arrête les calculs et on écrit des zéros à droite des chiffres déjà obtenus de la racine (autant que de tranches restantes)
- si le nombre de soustractions effectuées est 0, on enlève 2 au nombre impair obtenu à l'étape 4 ; cela donne le dernier nombre impair utilisé

Exemple avec le nombre 71214,28

7 est la tranche la plus à gauche 7-1-3 = 3 il y a 2 soustractions donc 2 est le chiffre le plus à gauche de la racine de 71214,28 3 est le dernier nombre impair utilisé. (3+1)×10+1 = 41 3 est le résultat des soustractions. Avec la tranche suivante, on obtient 312 312-41-43-45-47-49-51 = 36 il y a 6 soustractions donc 6 est le chiffre suivant de la racine 51 est le dernier nombre impair utilisé. (51 + 1)×10+1 = 521 36 est le résultat des soustractions. Avec la tranche suivante, on obtient 3614 3614-521-523-525-527-529-531 = 458 il y a 6 soustractions donc 6 est le chiffre suivant de la racine (266) 531 est le dernier nombre impair utilisé. (531+1)×10+1 = 5321 458 est le résultat des soustractions. Avec la tranche suivante, on obtient 45828 45828-5321-5323-5325-5327-5329-5331-5333-5335 = 3204 il y a 8 soustractions donc 8 est le chiffre suivant de la racine (266,8) 5335 est le dernier nombre impair utilisé. (5335+1)×10+1 = 53361. 3204 est le résultat des soustractions. Avec la tranche suivante, on obtient 320400 320400-53361-53363-53365-53367-53369-53371 = 204 il y a 6 soustractions, 6 est le chiffre suivant de la racine (266,86) 53371 est le dernier nombre impair utilisé. (53371+1)×10+1 = 533721 204 et la tranche suivante donne 20400 on ne peut effectuer de soustractions donc le chiffre suivant de la racine est 0 (266,860) 533721-2=533719 est le dernier nombre impair « utilisé ». Le prochain nombre impair à utiliser est (533719+1)×10+1 = 5337201 20400 et la tranche suivante donne 2040000 on ne peut effectuer de soustractions donc le chiffre suivant de la racine est encore 0 (266,8600) 5337201-2=5337199 est le dernier nombre impair « utilisé ». Le prochain à utiliser est (5337199+1)×10+1 = 53372001 2040000 et la tranche suivante donne 204000000 204000000-53372001-53372003-53372005 = 43883991 il y a 3 soustractions donc 3 est le chiffre suivant de la racine (266,86003) et ainsi de suite ... On peut vérifier que 266,86003² + 0,0043883991 = 71214,28 car la racine ayant 5 chiffres après la virgule, la différence comporte 10 chiffres après la virgule.

Preuve de l'algorithme

L'algorithme est basé d'une part sur la propriété que la somme des n premiers nombres impairs (de 1 à 2n – 1) est n², et d'autre part que lorsqu'on change de tranche (2 chiffres), cela correspond à un changement d'un chiffre pour la racine et donc à considérer que la racine est multipliée par 10 ; le nombre est donc (10n)² qui est la somme des 10n premiers nombres impairs, de 1 à 20n – 1 d'après la propriété précédente. Et comme 20n + 1 = ((2n – 1) + 1) × 10 + 1, on a les calculs de l'étape 4 de l'algorithme pour obtenir le nombre impair à utiliser dans la suite des soustractions. Remarquons que lorsqu'on a un nombre à virgule, on peut se ramener à un nombre entier par un décalage de la virgule par tranche de 2 chiffres : cela correspond à un décalage de la virgule d'1 chiffre pour la racine carrée. En pratique, le passage de la virgule consiste à mettre une virgule dans la racine (voir l'exemple). Pour la justification, appelons N un nombre entier dont on cherche la racine carrée . La première étape consiste à séparer N en tranches de 2 chiffres à partir du chiffre des unités : N = A0A1 ... Ak où les Ai sont les tranches de 2 chiffres sauf éventuellement pour A0. N ayant k tranches de 2 chiffres, sa racine carrée sera composée de k chiffres:= c0c1 ... ck. La deuxième étape de l'algorithme consiste à soustraire de la première tranche A0 les c0 premiers nombres impairs : A0 = 1 + 3 + ... + (2c0 – 1) + d0 avec d0 < 2c0 + 1 Le nombre de soustractions donne donc le chiffre correspondant de la racine carrée : c'est l'étape 3 de l'algorithme. Comme 1 + 3 + ... + (2c0 – 1) = c0², on a donc A0 = c0² + d0. Multiplions par 100 : 100 × A0 = 100 × c0² + 100 × d0 ou encore A000 = (10 × c0)² + d000. Et en ajoutant la tranche suivante, on obtient : A0A1 = c00² + d0A1 qui correspond au début de l'étape 5 de l'algorithme. Comme c00² = 1 + 3 + ... + (20 × c0 – 1), le prochain nombre impair à soustraire est 20 × c0 + 1 qui se calcule à partir de 2c0 – 1 : 20 × c0 + 1 = ((2c0 – 1) + 1) × 10 – 1 et on retrouve les calculs de l'étape 4 de l'algorithme pour déterminer ce nombre. Ensuite, on cherche les nombres impairs suivants contenus dans d0A1 à partir de 20 × c0 + 1 et on obtient c1 nombres impairs : d0A1 = (20 × c0 + 1) + ... + (2c0c1 – 1) + d1 avec d1 < 2c0c1 + 1. Ce qui donne A0A1 = c00² + (20 × c0 + 1) + ... + (2c0c1 – 1) + d1 ou encore A0A1 = 1 + ... + (20 × c0 - 1) + (20 × c0 + 1) + ... + (2c0c1 – 1) + d1 on a bien la somme des 10 ´ c0 premiers nombres impairs avec les c1 suivants et donc A0A1 = (10 × c0 + c1)² + d1. Le nombre de soustractions a bien donné le chiffre suivant de la racine carrée. Les cas particuliers ont été mentionnés dans l'exemple : cas où un des ci est 0 et cas où il n'y a plus que des tranches 00 Catégorie:Mathématiques élémentaires

Segment

Catégorie:Géométrie

Définitions

Un segment peut être défini de différentes manières :
- En termes de géométrie élémentaire, si on se donne deux points distincts A et B, le segment [AB] qui relie ces deux points est la portion de la droite (AB) qui passe par ces deux points, située entre A et B  ( qui sont inclus dans le segment ). On étend la définition précédente au cas où les deux points A et B sont confondus ; alors le segment [AB] est réduit au point A = B .
- Plus généralement, si on se donne deux points a et b d'un espace affine, le segment [a, b] est l'ensemble \. Notons que l'on utilise pour cette deuxième définition la notation [0, 1] qui représente un intervalle réel fermé, c'est-à-dire un segment de \mathbb (heureusement défini par un autre moyen, par exemple grâce à l'ordre total de cet ensemble).
- Par identification de la droite aux nombres réels un segment de \mathbb R est un intervalle borné.

Propriété


- Dans un espace affine, un segment est l'enveloppe convexe de deux points de l'espace. Cet énoncé serait une définition formidablement concise si la définition d'enveloppe convexe n'utilisait pas la notion de segment !

Diamètre

Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour indiquer qu'une valeur correspond au diamètre, en technique, la valeur (du diamètre) est précédée par un symbole Ø représentant un cercle barré. Et ce symbole est lui même précédé par la lettre S, s'il s'agit d'une sphère. Voir aussi rayon. Catégorie:Géométrie ja:径

Hauteur

Métrologie

En métrologie (science des mesures), la hauteur est la distance verticale entre un point (ou un objet assimilé à un point) et un niveau de référence spécifié. Ou encore la dimension d'un objet, prise dans le sens vertical. :Voir : Système international :La hauteur est nommée « altitude » quand elle mesure l'élévation d'un point terrestre par rapport à un niveau de référence (qui est généralement la surface de la mer). :Voir : Altimétrie et Géographie.

Géométrie

En géométrie, la hauteur est un segment de droite perpendiculaire abaissé du sommet d'un polygone d'un cylindre et d'une pyramide jusqu'à sa base. :Propriété : Dans un triangle les trois hauteurs sont toujours concourantes. Leur point commun est appelé orthocentre du triangle. :Remarque : Quand le triangle a trois angles aigus, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.

Musique

En musique, la hauteur est la fréquence d'un son. Un son ou une note « haute » (de fréquence relativement élevée par rapport aux limites de l'audition humaine) est dite aiguë ; une note « basse » (de fréquence relativement basse) est dite grave.

Autres domaines

Dans d'autres domaines, le mot peut être employé à chaque fois que la notion de niveau est utilisée. ::Par exemple, en finance, un financeur annonce qu'il s'engagera « à hauteur » de X euros. Catégorie:Quantité physique Catégorie:Théorie de la musique Catégorie:Orientation Catégorie:Système de coordonnées ja:高さ simple:Height Cedo charmeur

Rectangle

Un rectangle,est un parallélogramme disposant de quatre angle droits. Ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Ses côtés sont de même longueur deux à deux. Un carré est un rectangle particulier.
image:geometrie_rectangle.png
Exemple de rectangle
Si les longueurs des côtés sont a et b, alors l'aire du rectangle, en géométrie euclidienne, vaut a × b. Catégorie:Géométrie

Similitude

ja:相似 Catégorie:Géométrie En géométrie, une similitude est une transformation qui conserve les rapports de distances.

Généralités

Définition

Parmi les similitudes figurent donc toutes les isométries, mais aussi les homothéties et les composées de ces deux types. La propriété concrète qui caractérise les similitudes est la conservation de la forme, mais pas forcément de l'échelle : elles font se correspondre des figures dites semblables. Les distances sont multipliées par un réel positif k, appelé rapport de similitude. Les similitudes conservent les barycentres et les cercles. [http://www.geocities.com/bwakeel/Similitudes1.htm Réciproquement], toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude. Les similitudes planes se répartissent en deux catégories : les similitudes directes conservent les angles orientés et les similitudes indirectes les renversent. La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe.

Théorèmes


- Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
- Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).

Similitudes planes directes

Définition

Les différentes similitudes directes sont l'identité du plan, les rotations, les translations, les homothéties ou une composée des applications précédemment citées. Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre. Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.

Forme complexe

Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par z' = a z + b, où a et b sont des complexes, a non nul. Dans le cas où a=1, la similitude est une translation. Le rapport de la similitude est alors |a|, son angle arg(a).

Propriétés


- Soient A, B, A', B' quatre points du plan tels que : A≠B et A'≠B'. Il existe une unique similitude directe s tel que s(A)=A et s(B)=B'.
- S(Ω,k,θ) ° S(Ω,k',θ') = S(Ω,kk',θ+θ')
- S-1(Ω,k,θ) = S(Ω,1/k,-θ)

Similitudes planes indirectes

Définition

Les similitudes indirectes sont les symétries axiales, les symétries glissées et les composées d'une homothétie et d'une réflexion dont l'axe passe par le centre d'homothétie. Une isométrie qui inverse les angles orientés est appelée antidéplacement.

Forme complexe

La traduction d'une similitude indirecte s'exprime par z' = a \bar + b, où a et b sont complexes, a non nul.

Continuité

catégorie:Topologiecatégorie:Analyse réelle La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques. Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (donc à variable réelle) est continue si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon.

Définition pour les fonctions réelles

Soit I un intervalle réel. Soit f : I \to \mathbb et a \in I.
- La fonction ƒ est dite continue en a si : : \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \left[|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon\right] :Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que ƒ(x) soit à une distance inférieure à ε de ƒ(a). :Ce qui précède s'écrit également : :\lim_ f(x) = f(a)
- La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout point a de I. :Une fonction discontinue présente des « sauts ».

Exemples


- La fonction carré : \mathbb\to\mathbb, x\mapsto x^2 est continue.
- La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
- Une fonction réelle dérivable en un point est continue en ce point.
- Une fonction réelle peut n'être continue en aucun point : c'est le cas de 1_\mathbb, la fonction indicatrice de \mathbb qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que pour tracer cette fonction, d'une part il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout, pas une seule fois on ne pourrait tracer de ligne de longueur non nulle.

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles
- est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires)
- simplifie le calcul de limites car \lim_ f(x) = f(a) La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Définition dans le cas des espaces métriques

Soient (E,\,d) et (E',\,d') deux espaces métriques.
Soient f : E \to E' et a \in E.
On dit que l'application f est continue en a si :
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \left[d(x,a) \leq \eta \implies d'(f(x),f(a)) \leq \varepsilon\right]

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a) .

Exemples


- Une application linéaire d'un espace vectoriel normé de dimension finie vers un autre espace vectoriel normé est continue.
- Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité. ::Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur \mathbb[X], l'espace des polynômes réels, où la norme d'un polynôme est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes \. Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme nX^, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

La définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique de limite. Une fonction sera dite continue en un point a si sa limite en a est égale à sa valeur en a. Plus formellement, étant donnés deux espaces topologiques E \,\! et F \,\!, un point a \in E \,\!, et une application f \, : \, E \rightarrow F \,\!, on dira que f \,\! est continue au point a \,\! si et seulement si : \lim_ f(x) = f(a) \,\! La fonction f \,\! est dite continue (tout court, ou continue sur E \,\!) si et seulement si elle est continue en tout point a de E \,\!.

Définition globale

Contrairement à la définition locale, la définition globale ne permet pas de caractériser les fonctions continues en un point particulier, mais seulement celles qui sont continues sur l'espace entier. On peut la considérer comme une propriété découlant de la première définition. Une application continue d'un espace topologique E dans un espace topologique E' est une application telle que l'image réciproque de tout ouvert (resp. un fermé) de l'espace d'arrivée soit un ouvert (resp. un fermé) de l'espace de départ. Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée ! :Cette définition alternative est souvent utilisée comme propriété pour montrer qu'un ensemble est ouvert (ou fermé). Par exemple l'hyperbole \mathcal = \left\ \,\! peut être vue comme l'image réciproque de \ \,\! par l'application produit : :\Pi \, : \, \R^2 \rightarrow \R , \ (x,y) \mapsto xy \,\! :L'hyperbole \mathcal = \Pi^ \left( \ \right) \,\! est fermée car elle est l'image réciproque du singleton \ \,\! par l'application continue \Pi \,\!.

Voir aussi


- Continuité uniforme
- Homéomorphisme
- Limite
- Dérivée
- Continuité (mathématiques élémentaires)

Matrice définie positive

En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. Tout d'abord, introduisons les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes :
- a^ désigne la transposée de a
- a^ désigne la matrice transconjuguée de a (conjuguée de la transposée) On rappelle que :
- \mathbb désigne l'ensemble des nombres réels
- \mathbb désigne l'ensemble des nombres complexes

Matrice symétrique réelle définie positive

Soit M une matrice symétrique réelle de dimension n × n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 4 propriétés équivalentes suivantes : Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée est définie positive.

Exemple

On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n) H = (h_), telle que h_ = \frac. Elle est définie positive. :En effet, soit une matrice colonne quelconque \ \textbf à n éléments réels x_1, \dots, x_n. :On remarque que \forall\, i,\, \forall\, j,\, h_ = \int_0^1 t^\, dt. Alors, par linéarité de l'intégrale : :\textbf^ H \textbf = \sum_^n \sum_^n h_\, x_i\, x_j = \int_0^1 \sum_^n \sum_^n t^\, x_i\, x_j\, dt = :\int_0^1 \sum_^n \sum_^n \left(t^\, x_i\right)\, \left(t^\, x_j\right)\,dt = \int_0^1 \left(\sum_^n t^\, x_i\right)\, \left(\sum_^n t^\, x_j\right)\,dt, :d'où enfin : \textbf^ H \textbf = \int_0^1 \left(\sum_^nx_i\, t^\right)^2\, dt. :Dans cette dernière intégrale, l'intégrande est continu et à valeurs positives. Par conséquent : :
- \textbf^ H \textbf \geq 0 ; :
- si \textbf^ H \textbf = 0, alors pour tout t \in\, [0,\, 1],\, \left(\sum_^nx_i\, t^\right)^2 = 0. ::Donc pour tout t \in\, [0,\, 1],\, \sum_^nx_i\, t^ = 0. ::Il en résulte que les \ x_i, coefficients d'un polynôme admettant une infinité de racines, sont tous nuls, c'est-à-dire \ \textbf = 0. :Ceci prouve que \textbf^ H \textbf > 0<