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Schéma

Schéma

catégorie:Art catégorie:Géométrie algébrique Un schéma est une représentation graphique faite en vue d'usage pratique ; une forme de dessin dont les aspects structurel sont valorisés en vue d'une interprétation non équivoque. Les schémas sont donc utilisés dans tous les secteurs d'activité. On appelle schéma corporel, la représentation plus ou moins explicite qu'un individu a de lui-même dans ses paramètres physiques, son apparence, ses capacités, etc. Le philosophe des sciences Ferdinand Gonseth a fortement accentué la dimension utilitaire du schéma au point de lui donner une dimension bien supérieure au simple niveau graphique ; il propose de reconsidérer des problèmes méthodologiques autour de l'idée de schématisation, une nouvelle démarche heuristique.

Géométrie

Définition

En géométrie algébrique, un schéma est la donnée d'un espace localement annelé localement isomorphe à un schéma affine. Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif unitaire, muni de son faisceau structural.

Intuition

Un schéma est avant tout un objet géométrique. Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. Rappelons brièvement que, normalement, une variété algébrique (en dimension 2) est l'ensemble des points P=(x,y) du plan qui vérifie une équation polynomiale, par exemple «x²+y²=1» (on obtient le cercle) ou «y=x²» (on obtient la parabole) ou «yx=1» (on obtient l'hyperbole) ou «x+y=1» (ou obtient une droite). En fait, on peut concevoir un schéma comme un objet plus général qu'une variété algébrique qui engloberait une variété V définie au-dessus de Q ainsi que toutes les variétés au-dessus des corps finis premiers déduites de V par réduction modulo p.

Histoire

La notion de schéma est due à Alexander Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. La théorie des schémas est développée de la façon la plus belle et la plus complète dans le grand traité de fondements, inachevé (mais très complet !), les Éléments de Géométrie Algébrique, plus connu des mathématiciens sous le nom de EGA.

Outil

Dans tous les métiers techniques, on utilise entre autres outils de travail, des schémas, sorte de plans représentants à l'aide de symboles les travaux à effectuer, les détails de constitutif d'une machine, etc.

Catégorie:Art

zh-min-nan:Category:Gē-su̍t ja:Category:芸術と文化 Catégorie:Principale Article principal : Art
Merci de ne pas lier les articles directement à la catégorie Art, mais plutôt de les lier à une sous-catégorie. Par exemple, pour l'histoire de l'art Nouveau, voir la sous-catégorie Catégorie:Histoire de l'art.

Liste de tous les portails artistiques



Ferdinand Gonseth

Ferdinand Gonseth est un philosophe né à Sonvilier le 22 septembre 1890, huitième d'une famille de neuf enfants. Il est décédé en 1975. Sa pensée est appelée l'idonéisme, terme formé sur la base du mot idoïne en rapport avec le double souci de la vérité et de la réalité. Il a suivi l'école secondaire à Saint-Imier, puis le Gymnase (Lycée) à La Chaux-de-Fonds. Aveugle dès son adolescence, il poursuivit néanmoins ses études pour obtenir le diplôme de l'École polytechnique fédérale de Zurich (EPFZ), en section mathématique et physique. Il fut honoré d'un titre de Privat docent. De 1919 à 1929, il enseigna les mathématiques à l'Université de Berne. De 1929 à 1960, il fut chargé par l'EPFZ de l'enseignement de l'analyse des fondements de la géométrie et de la philosophie des sciences. Préoccupé très tôt par les relations entre les sciences et la philosophie, Ferdinand Gonseth s'immisça dans la controverse que les mathématiciens entretenaient autour de «la crise des fondements». Sa réputation de philosophe des sciences date de 1926, année de publication de son premier grand ouvrage "Les fondements des mathématiques". Il y présente ses propres vues dans une perspective méthodologique. Ses travaux le feront réfléchir sur la science moderne dont l'existence s'impose à la philosophie comme un fait. Ferdinand Gonseth estime que seuls la science et le savant comme tels peuvent fonder le nouvel humanisme dont le monde a besoin. Si la philosophie restait égale à la science, celle-ci y trouverait quelques éléments de sagesse malgré la violence à laquelle elle fournit trop souvent des armes. Philosophie et science ne s’occupent pas de deux réalités différentes, mais d'une seule et même réalité. Aux yeux de Gonseth, le philosophe réaliste doit se soumettre aux procédés à la fois théoriques et techniques de la science, c'est-à-dire admettre comme principe propre de sa démarche deux au moins des principes de la philosophie ouverte :
- le principe de la révisibilité de toute connaissance acquise, lequel n'exprime en somme que le dynamisme d'un savoir assumant explicitement le risque de l'erreur ;
- le principe de technicité, lequel exprime le fait que toute connaissance scientifique est structurée non seulement par l'objet lui-même mais aussi par le mode de sa saisie subjective. Ferdinand Gonseth a publié plusieurs autres ouvrages importants : "La géométrie et le problème de l'espace" (1945-55), "Le problème du temps" (1964), "Le référentiel" (1975), ainsi que plus de deux mille pages d'articles dans diverses revues scientifiques. Ferdinand Gonseth créa en 1947, avec Gaston Bachelard et Paul Bernays, une revue internationale de philosophie de la connaissance, intitulée «Dialectica».

Voir aussi


- idonéisme Condensé de ses conceptions.

Liens externes


- [http://www.logma.ch/afg/index.html Site de l'AFG] Association F. Gonseth, fondée en 1971 à Bienne, et qui se propose de poursuivre et de développer son œuvre. Gonseth, Ferdinand Gonseth, Ferdinand Gonseth, Ferdinand Gonseth, Ferdinand

Heuristique

Une heuristique est l'utilisation de règles empiriques :
- pratiques, simples et rapides,
- facilitant la recherche des faits et l'analyse de situations,
- dans un objectif de résolution de problèmes et de prise de décision,
- dans un domaine particulier. Les heuristiques sont souvent, à la différence des algorithmes, tirées de l'expérience ou d'analogies, plutôt que d'une analyse scientifique trop complexe car recensant le maximum d'éléments, et donc difficile, voire impossible à mener et exploiter. L'inconvénient c'est qu'une méthode trop simplifiée peut conduire à des biais cognitifs. Les heuristiques trouvent cependant leur place dans les algorithmes qui nécessitent l'exploration d'un grand nombre de cas, car celles-ci permettent de réduire leur complexité moyenne en examinant d'abord les cas qui ont le plus de chances de donner la réponse. Le choix d'une telle heuristique suppose de connaître déjà certaines propriétés statistiques sur l'ensemble d'instances du problème que l'on s'apprête à résoudre. Si l'heuristique est bien choisie, la complexité moyenne de l'algorithme sur notre ensemble d'instances probabilisé peut même éventuellement être dans une classe inférieure (par exemple, polynômiale au lieu d'exponentielle) à celle de sa complexité, ou à celle de la complexité moyenne du même algorithme où l'on explorerait les cas dans un ordre inapproprié. Il est aussi parfois possible de prouver que le résultat fourni par l'heuristique ne s'éloigne pas trop de la solution optimale, on parle alors de garantie de performance.

Voir aussi


- Finance comportementale
- Théorie de la complexité
- Métaheuristique Catégorie:Intelligence artificielle Catégorie:Recherche opérationnelle Catégorie:Algorithmique ja:ヒューリスティクス th:ฮิวริสติก

Espace localement annelé

catégorie:Géométrie algébrique géométrie algébrique Un espace localement annelé est un espace topologique muni d'un faisceau d'anneaux tel qu'en tout point, l'anneau des germes du faisceau structural soit un anneau local.

Exemples


- les schémas;
- les variétés différentielles, munies de leurs fonctions C ∞ à valeurs dans \mathbb C;
- les variétés holomorphes, munies de leurs fonctions holomorphes à valeurs dans \mathbb C;

Spectre d'anneau

catégorie:Géométrie algébrique Catégorie:Théorie des anneaux Le spectre d'anneau est très utilisé en géométrie algébrique, où il sert d'espace de base pour la construction des schémas.

Définition ensembliste

Le spectre d'un anneau A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec\,A. En général, on suppose que A est commutatif et unitaire.

Topologie de Zariski

Définition

À tout idéal I de A, on associe Z(I), qui est l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I. Cette famille contient Spec\,A tout entier (Z(0)), l'ensemble vide (Z(1_A)), et est stable par union finie et intersection quelconque. Elle forme donc les fermés d'une topologie sur Spec\,A, que l'on appelle topologie de Zariski. Pour tout élément f de A, l'ensemble des idéaux premiers de A ne contenant pas f est un ouvert de Zariski de Spec\,A noté D(f) ; on appelle parfois distingués les ouverts de cette forme, ils constituent une base de la topologie de Zariski sur Spec\,A.

Point générique

Si A est intègre, alors l'idéal nul est un idéal premier, c'est un point de Spec\,A qui est dense : c'est le point générique de Spec\,A.

Notion de séparation

Faisceau structural

À un isomorphisme unique près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs sur l'espace topologique Spec\,A dont l'anneau des sections sur un ouvert de la forme D(f) (pour f\in A) s'identifie à l'anneau localisé A\left[1/f\right]. La donnée de l'espace topologique Spec\,A muni de ce faisceau d'anneaux (appelé faisceau structural) constitue un espace annelé. Si U est un ouvert de Spec\,A, l'anneau des sections sur U du faisceau structural est appelé par abus de langage anneau des fonctions algébriques sur U. Pour tout idéal premier \mathfrak de A, l'anneau des germes de fonctions algébriques en \mathfrak\in Spec\,A s'identifie au localisé A_ de A en l'idéal premier \mathfrak. L'espace annelé Spec\,A est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux ; par définition, il s'agit d'un schéma affine.

Exemples


- Spec\,\mathbb Z, est du point de vue ensembliste, l'ensemble des nombres premiers, qui correspondent aux idéaux p\mathbb Z, et le point 0, qui correspond à l'idéal nul. Ce dernier est générique.

Faisceau

=Géométrie= En géométrie algébrique, un faisceau \mathcal F sur un espace topologique X est un préfaisceau vérifiant la propriété de recollement suivante: :pour tout ouvert U\subset X, tout recouvrement (U_i)_i de U, et toute famille de sections s_i\in\mathcal F(U_i), si pour tous i,j, s_i|_=s_j|_, alors il existe une unique section s\in\mathcal F(U) telle que \forall i, s|_=s_i. En des termes plus simples: un faisceau est un préfaisceau dont les sections sont définies localement et peuvent être construites par recollement.

Exemples


- Le préfaisceau des fonctions constantes n'est pas un faisceau, car si on considère deux ouverts disjoints, et deux fonctions constantes sur ces ouverts, on ne peut pas définir une fonction constante sur les deux ouverts, qui coincide avec elles en général. C'est dû au fait qu'une fonction constante est définie par une propriété globale.
- Les fonctions localement constantes, en revanche, forment bien un faisceau, de même que les fonctions dérivables, C^\infty, holomorphes... C'est dû au fait que la définition de ces fonctions est locale. =Autres acceptions=

Antiquité

Les faisceaux, longues baguettes liées ensemble et emblème de l'autorité des consuls de la République romaine, portés par les licteurs.

Politique italienne

Dans les années vingt, les Faisceaux italiens de combat sont les prodromes du fascisme italien : ils reprennent dans une version nationaliste le symbole romain. Catégorie:Géométrie algébrique ko:층 (수학)

Dimension

ko:차원 ja:次元 simple:Dimension catégorie:Physiquecatégorie:Algèbre linéairecatégorie:Topologie Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution. En physique et en mathématique, la notion de dimension est bien particulière. Ces notions ont été détournées dans le domaine de la science-fiction.

Physique

En physique, le terme dimension regroupe deux notions complètement différentes.

Dimension d'un espace vectoriel

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut vulgariser cette notion en disant que : la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient.
- Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
- un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
- un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points au sein de l'objet (abscisse curviligne) ;
- un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre pour trouver le point... Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D). Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).

Dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs. Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre par seconde). Voir l'article détaillé Équation aux dimensions.

Mathématiques

Dimension d'un espace vectoriel

En mathématiques, la notion de dimension correspond à la dimension de l' espace vectoriel de la physique : : si un espace vectoriel est muni d'une base de cardinal fini d, alors toutes les bases de cet espace ont pour cardinal d, et la dimension de cet espace est d. (Rappelons qu'une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel, c'est-à-dire que tout vecteur peut se décomposer en une unique combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.) Lorsqu'un espace vectoriel n'admet aucune base de cardinal fini, on dit qu'il est de dimension infinie. Exemple : l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Dans un tel espace il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

Dimension fractale

Mais la définition de la dimension donnée ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales. fractale De manière simplifiée et en première approximation (Cf. l'article spécialisé pour une meilleure définition), un objet fractal est un objet ayant une homothétie interne, c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron au milieu. On répète cette opération à l'infini. Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une « mauvaise » dimension, et qu'en mesurant « mieux », on aurait une mesure plus correcte, finie. Nous avons besoin de revenir sur la notion d'étalon en physique :
- l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) ;
- l'étalon de surface est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) ;
- l'étalon de volume est un pavé (cube) d'arrête fixe (dimension 3).
- etc. On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles (celles-ci ont une épaisseur nulle). De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle). On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension , etc. Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :
- si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
- si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalon qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
- si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini : le nombre d'étalon qu'il faut pour couvrir l'objet : notre problème est donc de trouver (si elle existe) la « bonne » dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini, bien sur). Pour faire cette mesure, la « taille » de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapproche. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ℓ, plus ℓ est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir Nℓ règles de longueur ℓ, la mesure sera :M(ℓ) = Nℓ×ℓ Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ℓ divisée par deux (ou par trois, quatre, ... N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre, ... N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(ℓ) lorsque ℓ tend vers 0, c'est un nombre réel. Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalon. Du coup, la suite de mesures de longueur ne converge pas. :M(ℓ/3) = 4Nℓ/3 Nous avons, tout « naturellement », fait varier de la dimension de 1 en 1 (point, ligne, surface, volume, ...). Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la « dimension ». Et de fait, pour la dimension :do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9. on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch. Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.

Dimension topologique

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine, à n si P est d'intérieur non vide, à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Dimension de Hausdorff - Besicovitch

La dimension d'Hausdorff-Besicovitch Dh prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc, :D_h = \frac. On aura donc, pour un point : :D_h = \frac= 0 avec n naturel > 1, vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire « un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ». Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc :D_h = \frac= \frac = 1. De cette facon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.

Dimension de Minkowski - Bouligand

La dimension de Minkowski-Bouligand Dm est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors, :D_m = \frac, où r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon \rho. N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque qui recouvre cette figure.

Dimension combinatoire d'un espace topologique

Cette autre notion de dimension est surtout utile dans le cas des schémas, où la topologie, en un certain sens, est d'une nature plus combinatoire que géométrique.

Dans les œuvres de science-fiction

Dans le domaine de la science-fiction, le terme « dimension » est utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant une appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ».

Q

Linguistique


- Le q est la 17 lettre et la 13 consonne de l'alphabet français. Il provient du Q de l'alphabet latin, lequel l'a hérité de l'alphabet étrusque, l'ayant lui-même emprunté au koppa grec. En latin, la lettre ne se rencontre que dans le digramme QV, qui note une consonne complexe unique [kʷ] (comme dans « quadrupède »).
- Le q est toujours suivi de la lettre u (sauf en fin de mot : coq, cinq) pour former le digramme qu, se lisant [k]. On peut le rencontrer sans u dans des mots d'emprunt (à l'arabe principalement).
- Dans les transcriptions traditionnelles, il note généralement la consonne [q].

Arts et culture

Littérature


- Q est le pseudonyme de l'écrivain Arthur Quiller-Couch.

Cinéma


- Q est le nom d'un personnage dans la série des James Bond.

Télévision


- Q est le nom d'un personnage dans la série Star Trek.

Jeux vidéo


- La Q est une console créée par Nintendo et Panasonic qui consiste en une Gamecube munie d'un lecteur DVD.

Sciences

Unités


- q (minuscule) est le symbole du quintal.

Mathématiques


- \mathbb est l'ensemble des nombres rationnels.
- On appelle par défaut q la raison d'une suite géométrique.

Physique - chimie


- q est le symbole de la charge électrique.

Astronomie


- Dans la désignation des astéroïdes, le Q montre que la planète a été découverte entre le 16 et le 31 août d'une année.

Biologie


- La fièvre Q est une maladie infectieuse qui se transmet de l'animal à l'homme.
- Dans la transcription d'une chaîne polypeptidique, la lettre Q désigne la glutamine.

Informatique


- Code ASCII
  - Majuscule : 81
  - Minuscule : 112
- Q est le nom d'un langage de programmation.
- <q> est la balise (X)HTML marquant une citation dans un texte.

Divers

Vie pratique


- Épellation alphabet radio
  - international : Quebec
  - allemand : Quelle
- Le code Q international est utilisé par les radioamateurs.
- La lettre Q est le sigle distinctif des automobiles venant du Qatar.

Divers


- Q était l'abréviation latine du prénom Quintus.

Voir aussi


- Alphabet latin
- Alphabet morse dans lequel la lettre Q vaut « --
- - » Catégorie:Alphabet latin als:Q ko:Q ja:Q simple:Q

Corps fini

Fini (Corps) En algèbre, un corps fini est tout simplement un corps dont le cardinal est fini. Remarque sur la terminologie : la définition actuelle d'un corps demande que la multiplication soit commutative. Elle abolit la distinction entre corps commutatif et corps non commutatif, que l'on trouve dans les ouvrages un peu anciens, et même encore dans des parutions récentes. Lorsqu'on introduit les corps finis, on doit revenir à l'ancienne acception de la structure de corps, où la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Sans cela, le théorème fondamental sur les corps finis (théorème de Wedderburn) n'a pas de sens... Ironiquement, ce théorème prouve que les corps finis (ancienne définition) sont en fait des corps (définition actuelle) ! Ils sont très utilisés en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie de l'information (cryptographie et codes correcteurs, par exemple).

Propriétés

Le fameux théorème de Wedderburn affirme que tous les corps finis sont commutatifs; ce sont donc des objets très agréables. Un corps fini a une caractéristique strictement positive; et comme il est intègre, cette caractéristique est donc un nombre premier (notons-le   p ). Il contient donc un sous-ensemble isomorphe à   \mathbb Z / p \mathbb Z \,. Et comme c'est un espace vectoriel sur ce corps, de dimension finie, son cardinal est une puissance de p :   q = p r   . On peut obtenir le corps fini de cardinal   p n   comme corps de rupture d'un polynôme de degré n sur   \mathbb Z / p \mathbb Z \,. Il n'existe, à un isomorphisme près, qu'un seul corps fini de cardinal q ; on le note généralement   \mathbb F_q \, .   Le plus petit corps fini est   \mathbb F_2 \, .

Exemple : ( \mathbb F_2 \, , + , . )

( \mathbb F_2 \, , + , . )   est le plus petit corps fini. Il est composé de deux élements, 0 et 1. Voici la définition des opérations « + » et « . » sur ce corps : ja:有限体 ko:유한체

Pierre Deligne

Pierre Deligne est un mathématicien belge, né le 3 octobre 1944 à Bruxelles (Belgique). Pierre Deligne est diplômé de l'Université libre de Bruxelles en 1966. Il défendit une thèse de doctorat en 1968. Pierre Deligne a notamment reçu la médaille Fields en 1978 pour sa preuve des conjectures de Weil en géométrie algébrique et le Prix Crafoord en 1988. Il a publié des travaux importants dans de nombreux domaines des mathématiques, dont la théorie de Hodge, les formes modulaires, les conjectures de Langlands et la théorie des représentations.

Liens externes

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Deligne.html Deligne, Pierre Deligne, Pierre Deligne, Pierre Deligne, Pierre ja:ピエール・ルネ・ドリーニュ ko:피에르 들리뉴

Tony Kaye

Anthony John Selridge, meglio noto come Tony Kaye, nato l'11 gennaio 1946 in Inghilterra, è stato il primo tastierista del gruppo progressive Yes. (Alcune fonti riportano scorrettamente il suo cognome come "Selvidge").

Breve biografia

Prima degli Yes

Kaye iniziò a studiare il pianoforte a 4 anni. A 12 anni suonava già in pubblico e si fece iscrivere alla School of Music di Londra, con l'aspirazione di diventare un pianista classico. A 15 anni scoperse il mondo del Dixieland e del jazz, oltre a essere affetto dal fenomeno della Beatlemania. Suonò dapprima in un gruppo jazz e poi (sempre all'età di 15 anni) entrò nella Danny Rogers Orchestra. Tre anni dopo smise definitivamente i suoi studi di musica classica. Negli anni '60 suonò con i Johnny Taylor's Star Combo e incise qualche singolo con i gruppi rock The Federals e Jimmy Winston & His Reflections (noti anche come "Winston's Fumbs and Bittersweet").

Primo periodo con gli Yes

Nel 1968 Kaye fu invitato dal bassista Chris Squire a entrare in un gruppo chiamato Yes, insieme a Jon Anderson (voce), Peter Banks (chitarra) e Bill Bruford (batteria). Questa formazione incise i due album Yes (1969) e Time and a Word (1970). Nel 1971, con Steve Howe che aveva sostituito Banks alla chitarra, gli Yes incisero il loro primo grande successo, The Yes Album. Il brano di apertura, Yours Is No Disgrace (rimasta poi un classico del repertorio Yes) fu la prima ad annoverare Kaye fra i compositori. Dopo un ultimo concerto al Crystal Palace, a Kaye fu chiesto di lasciare il gruppo. Fra i supposti motivi di questo licenziamento sono stati citati qualche litigio con Anderson (con cui Kaye condivideva la stanza in tour) e qualche disputa con Howe circa gli assoli dei nuovi brani. Quando fu licenziato, Kaye aveva già iniziato a provare alcuni dei brani che sarebbero apparsi sul successivo album degli Yes, Fragile. Fu Kaye a comporre le tastiere di Heart of the Sunrise, poi suonate dal suo sostituto Rick Wakeman.

Altri gruppi

Per tutti gli anni '70 gli Yes continuarono, per vari motivi, a cambiare tastierista (prima Rick Wakeman, poi Patrick Moraz, poi ancora Wakeman, poi Geoff Downes). Nel frattempo, Kaye partecipò a diversi altri progetti. Nel 1972 suonò sul primo album dei Flash di Peter Banks; poi formò un proprio gruppo, i Badger, insieme al bassista David Foster (che, per strana coincidenza, aveva suonato in un gruppo chiamato The Warriors insieme a Jon Anderson e aveva contribuito a scrivere alcuni brani del primo periodo degli Yes). I Badger pubblicarono solo due album: One Live Badger (1973, con il contributo dello stesso Anderson) e White Lady (1974). Nel frattempo, nel 1975, venne pubblicata una raccolta degli Yes dal titolo Yesterdays, che contribuì a ricordare al pubblico il ruolo di Kaye nei primi anni di attività del gruppo. Negli anni 1975 e 1976 Kaye suonò in tour con David Bowie, per poi fondare un nuovo gruppo, questa volta funky: i Detective. I Detective pubblicarono tre album: Detective (1977), It Takes One To Know One (1978) e Live (1979). Nel 1981, trasferitosi a Los Angeles, Kaye entrò per breve tempo nei Badfinger. In quel periodo incontrò casualmente Chris Squire a una festa, e fu invitato a unirsi a un gruppo che Squire stava formando dopo lo scioglimento degli Yes, i Cinema.

Secondo periodo con gli Yes

I Cinema iniziarono a preparare una serie di brani composti principalmente dal chitarrista Trevor Rabin. Nelle ultime fasi della preparazione dell'album, Jon Anderson fu invitato a partecipare al progetto e il gruppo cessò di chiamarsi "Cinema" e divenne una nuova incarnazione degli Yes, con Kaye nuovamente alla tastiere. Kaye dovette abbandonare le ultime fasi delle registrazioni per un cedimento nervoso, che costrinse Rabin a suonare anche qualche parte di tastiera. Comunque, gran parte delle tastiere dell'album 90125 (uno dei più grandi successi commerciali della storia degli Yes, pubblicato nel 1983) sono opera di Kaye, che suonò anche in tutto il tour trionfale che seguì. Kaye suonò anche in Big Generator (1987). Nel frattempo, tentò anche di realizzare un album solista per l'etichetta new age Cinema Records (che aveva appena prodotto Seen on Earth di Pete Bardens). In un'intervista su Keyboard Magazine del 1991, tuttavia, Kaye affermò che il materiale che aveva prodotto era musica di sottofondo a cui mancava un cantante. Poco tempo dopo il progetto fu definitivamente abbandonato. Nel 1988, gli Yes ebbero una battuta d'arresto in seguito all'abbandono di Anderson, unitosi ai membri del periodo classico degli Yes per formare gli Anderson Bruford Wakeman Howe (ABWH). Nel 1991 Yes e ABWH si fusero, dando vita a un gruppo di otto membri che includeva sia Kaye che Wakeman alle tastiere. Il gruppo realizzò l'album Union nello stesso anno, e iniziò un altro grande tour. Pare che nel periodo di Union Kaye abbia scritto diversi brani con il batterista Alan White, mai pubblicati (e forse neppure mai registrati). Nel 1994, tornati a una formazione a cinque elementi (White, Squire, Anderson, Kaye e Rabin) gli Yes pubblicarono Talk, per il quale Kaye fece anche da coproducer con Rabin e da ingegnere del suono. Sebbene nell'album Kaye suonasse solo lo Hammond, nel tour che seguì il lavoro di Kaye fu molto apprezzato dai fan e dai critici, e rappresenta forse uno dei momenti migliori della sua carriera con gli Yes. L'album, per motivi principalmente legati alla scarsa promozione da parte della casa discografica, fu un insuccesso, e Kaye e Rabin abbandonarono poco dopo la fine del tour. Kaye si offrì di continuare a lavorare con gli Yes dietro le quinte (nella pubblicità e nel management), ma non se ne fece nulla. Nel 1997 fu pubblicato un album di registrazioni inedite degli Yes dei primi anni, curato da Peter Banks col titolo Something's Coming. Kaye suona la tastiera in tutti i brani.

Altri progetti

Per qualche tempo, Kaye fu fidanzato con la figlia di Squire. Oltre alla musica, si è dedicato a diversi progetti, inclusa una pizzeria a Los Angeles e la regia del film American History X (1998). Ha fatto causa agli Yes per alcune royalties dovute e non pagate, e per ottenere di essere riconosciuto come coautore di alcuni dei brani dei primi due album. Negli anni, ha diverse volte annunciato di avere altri progetti musicali in corso (colonne sonore, collaborazioni con altri artisti, un album solista con cantanti vari, un album strumentale) ma non è dato sapere se questo materiale sia mai stato realmente realizzato o inciso.

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