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Transformée De Laplace

Transformée de Laplace

ko:라플라스 변환 ja:ラプラス変換 catégorie:Analyse fonctionnelle

Définition

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace d'une fonction

f\,

définie pour tout nombre réel

t \ge 0\,

est la fonction

F\,

, définie par: :

F(s) 
  = \mathcal\(s)
  =\int_0^ e^ f(t)\,dt.

Les propriétés de cette transformation lui confèrent une grande utilité dans l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation deviennent des divisions et des multiplications, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de la variable s) (voir Application de la transformation de Laplace aux équations différentielles). La transformation de Laplace est très utile pour résoudre des équations différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire. Par exemple en électronique, contrairement à la transformation de Fourier qui est utilisée pour la détermination du spectre d'un signal périodique (c'est-à-dire la décomposition en somme de sinusoïdes et ce avec des bornes infinies, donc en régime permanent), elle tient compte de l'existence d'un régime transitoire précédant le régime permanent (exemple : la prise en compte de l'allure du signal avant et après la mise en marche d'un générateur de fréquence). Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler. Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu :

e(t)=R \cdot i(t)+L\, \frac\,

dans le domaine temporel devient

E(p)=R \cdot I(p)+p \cdot L \cdot I(p)\,

dans le domaine de Laplace. On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.

Propriétés

Linéarité

\mathcal\left\
  = a\, \mathcal\left\ +
    b\, \mathcal\left\

Dérivée

\mathcal\
  = s \mathcal\ - f(0)

\mathcal\
  = s^2 \mathcal\ - s f(0) - f'(0)

\mathcal\left\
  = s^n \mathcal\ - s^ f(0) - \cdots - f^(0)

\mathcal\
  = -F'(s)

\mathcal\left\ = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

Intégrale

\mathcal\left\
  =  \mathcal\

Valeur finale

\lim_ f(t)=\lim_ sF(s)

Convolution

\mathcal\
  = \mathcal\ \mathcal\

Transformée de Laplace d'une fonction de période p

: $\mathcal\
= \int_0^p e^ f(t)\,dt$
Quelques transformées usuelles
: $\mathcal\=1$ (Dirac) : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$ : $\mathcal\=$

Catégorie:Analyse fonctionnelle
Catégorie:Analyse

Analyse fonctionnelle

- L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles et des intégrales. D'un point de vue moderne, l'analyse fonctionnelle est aperçue comme l'étude des espaces vectoriels normés complets sur l'ensemble des nombres réels ou des nombres complexes. De tels espaces sont appelés les espaces de Banach. Des exemples importants sont les espaces de Hilbert, où la norme est issue du produit scalaire. Ces espaces sont d'une importance extrême dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. Des objets importants d'étude en analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires définis sur les espaces de Banach et de Hilbert. Ceux-ci mènent naturellement à la définition des C
- -algèbres. Les espaces de Hilbert peuvent être complètement classifiés: il existe un espace de Hilbert unique à un isomorphisme près pour chaque cardinal de la base. Puisque les espaces de Hilbert de dimension finie sont entièrement connus en algèbre linéaire, et puisque la plupart des morphismes d'espaces de Hilbert peuvent être décomposés en morphismes d'espaces de dimension au plus Aleph zéro, l'analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite surtout de l'unique espace de Hilbert de dimension Aleph zéro, et de ses morphismes. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de prouver que tout opérateur sur un espace de Hilbert possède un sous-espace propre qui est invariant. Le résultat a déjà été démontré dans beaucoup de cas particuliers. Les espaces de Banach sont beaucoup plus compliqués à étudier que les espaces de Hilbert. Il n'y a pas de définition claire de ce qui pourrait constituer une base, par exemple. Pour tout nombre réel p ≥ 1, un exemple d'espace de Banach est donné par l'ensemble de toutes les fonctions mesurables au sens de Lebesgue dont la puissance p-ième de la valeur absolue a une intégrale finie. (voir les espaces L^p). Dans les espaces de Banach, une grande partie de l'étude implique l'espace dual : l'espace de toute les formes linéaires continues. Comme en algèbre linéaire, le dual du dual n'est pas toujours isomorphe à l'espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d'un espace dans le dual de son dual. Ceci est expliqué dans l'article sur l'espace dual. La notion de dérivée est étendue aux fonctions arbitraires entre espaces de Banach via le concept de différentielle ; il en ressort que la différentielle d'une fonction en un certain point est une application linéaire continue. Ici nous énumérons quelques résultats importants d'analyse fonctionnelle:
- Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d'opérateurs bornés.
- Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d'une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
- Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des fonctions définies sur un sous-espace à l'espace tout entier, tout en conservant la norme. L'un des triomphes de l'analyse fonctionnelle fut de montrer que l'atome d'hydrogène était stable. ---- L'analyse fonctionnelle est aussi une branche de la grammaire. ---- L'analyse fonctionnelle est aussi une méthode utilisé en conception (comme l'analyse de la valeur ou l'analyse fonctionnelle descendante… ). Avec l'analyse fonctionnelle, pour chaque fonction, il faudra les :
- recenser,
- caractériser,
- ordonner,
- hiérarchiser,
- valoriser. ja:関数解析学

Intégrale

ja:積分 catégorie:Mesure et intégration

Intégrale d'une fonction

En mathématiques, l'intégrale d'une fonction est la valeur de l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction. Dans le cas des fonctions positives, la notion d'aire est celle habituelle. Pour les fonctions qui prennent des valeurs négatives (gardant un signe constant par intervalles), une définition d'aire algébrique rend possible une aire négative. aire Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b] à valeurs réelles. Pour simplifier, supposons que cette fonction soit positive (à valeurs positives ou nulles). L'ensemble

S=S_f=\left\

est une région du plan comprise entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses x. La mesure de l'« aire » de S cherchée, notée

\int_a^b

, est l'intégrale de a à b de f. Celle-ci est alors appelée l'intégrale définie de

f

dans l'intervalle (a,b). Pour avoir plus de détails voir les pages intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue. Si une fonction est intégrable au sens de Riemann, alors elle est intégrable au sens de Lebesgue, et les deux valeurs coïncident. Il est possible de définir une intégrale par la notion de primitive d'une fonction. La primitivation est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f. En admettant que toute fonction continue sur un intervalle [a, b], admet des primitives, l'intégrale de a à b est égale à F(b)-F(a) et ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. Cette approche est motivée en analyse, et est la méthode principale utilisée pour le calcul d'aire sous une courbe comme on l'a décrit au paragraphe précédent. Les fonctions qui admettent des primitives sont aussi intégrables au sens de Riemann (et aussi au sens de Lebesgue). Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral affirme que les deux approches de l'intégrale («aire sous une courbe» et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes.

La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe, est le même pour les deux approches de l'intégration, au sens de Riemann et au sens de Lebesgue. D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont appelées fonctions étagées, et les rectangles sont remplacés par des objets plus sophistiqués. On essaie alors d'imposer la monotonie. Si 0⩽f⩽g (ainsi S_f est un sous-ensemble de S_g) alors nous devons avoir ∫f⩽∫g. Avec l'exigence de monotonie, pour une fonction positive arbitraire f, il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire s (dans le cas de l'intégration de Riemann, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons s telle que s⩽f mais en supposant s très proche de f. L'aire sous s est majorée par l'intégrale de f, et est appelée somme inférieure. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon: nous choisissons une fonction en escalier, disons s, telle que s⩾f en supposant s très proche de f, et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous f. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures. Enfin, par un passage à la limite pour rendre les fonctions élémentaires aussi proche de f que l'on veut, on obtient une intégrale pour certaines fonctions f. Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables. Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.

Symbole de l'intégrale

Le symbole de l'intégrale, ∫, est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique.

Voir aussi

- Analyse
- Dérivée
- Table de primitives
- Table d'intégrales
- Calcul intégral
- Intégrale impropre

Logarithme

En mathématiques, les fonctions logarithmes sont les applications réciproques des fonctions exponentielles. Si x est égal à b à la puissance y, x = b^y, nous pouvons dire aussi que y est le logarithme de x dans la base b (et cela signifie que y est la puissance à laquelle nous devons élever b, pour obtenir x), et nous écrivons : log_bx = y. Par exemple, log₁₀100 = 2 (car 10²=100) et log₂8 = 3 (car 2³=8). Les logarithmes furent inventés par John Napier (Neper) dans les années 1600. Avant l'ère des ordinateurs, les logarithmes étaient utilisés comme une aide de calcul, avec des tables de logarithme décimal et des règles à calcul. L'idée fondamentale est que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, et l'addition est plus facile à effectuer que la multiplication. Dans les applications, on utilisait le logarithme de base 10 ou le logarithme décimal appelé aussi le logarithme vulgaire. Les logarithmes sont aussi utiles pour résoudre les équations dont les inconnues apparaissent dans un exposant, ils apparaissent aussi souvent dans la solution d'une équation différentielle parce que leur dérivée est facile à calculer. De plus, beaucoup de quantités en sciences sont exprimées par leurs logarithmes; voir l'échelle logarithmique pour avoir une explication et une table. Pour tout nombre réel b strictement positif et différent de 1, la fonction log_b est définie en tout réel x strictement positif. Voir les identités logarithmiques pour quelques propriétés que vérifient les fonctions logarithmes. Il y a une base particulière e, la base du logarithme naturel qui a des propriétés intéressantes. (le nombre e est égal à exp(1) et vaut approximativement 2,71828). Le logarithme dans cette base est appelé le logarithme naturel ou logarithme népérien. On note habituellement les logarithmes de base e, log_e ou plus simplement ln. Dans la plupart des travaux de recherche en mathématiques pures, log est utilisé pour représenter log_e, tandis que dans les travaux d'ingénieurs il désigne log₁₀, et en informatique il désigne le plus souvent log₂. Le logarithme binaire est aussi souvent noté lg. L'ancienne notation du logarithme naturel Log n'est plus utilisée. Lorsque qu'il y a une ambiguïté possible, on doit écrire explicitement la base. Remarquons que l'on a une approximation curieuse (avec une erreur inférieure à 0.6% de la valeur exacte): log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x). Les logarithmes peuvent être aussi définis pour des nombres complexes. Ceci est expliqué dans la page logarithme naturel. Dans la théorie des groupes finis, il y a une notion de logarithme discret. Pour certains groupes finis, il est connu que le logarithme discret est très difficile à calculer, tandis que les exponentielles discrètes s'obtiennent facilement. Cette dissymétrie a des applications en cryptographie.

Définition

Généralités

Soit a > 0. On définit

log_a : \mathbb_+^ -  \rightarrow \mathbb

comme fonction réciproque de l'exponentielle :

\beginexp_a : & \mathbb & \rightarrow & \mathbb_+^ -  \\ \ & x & \mapsto & a^x \end

On a donc: :

\forall x \in \mathbb, log_a(a^x)=x

\forall x \in \mathbb, a^=x

Logarithmes importants

Le logarithme naturel ln revêt une importance singulière, puisqu'il est associé a l'exponentielle, c’est-à-dire l'exponentielle de base e. Cette importance apparait évidemment au regard des équations suivantes : :

\frac\ln(x)=\frac.

\ln(1+x)=\sum_^ \frac x^n\quad\quad \left|x\right|<1.

Ce logarithme est d'une utilisation particulièrement aisée. Le logarithme décimal est utilisé dans de nombreux domaines. Il permet de juger d'un ordre de grandeur, par exemple (il permet de compter les nombre de zero d'un nombre, puisque

\log_(10^d)=d\,\!

) Le logarithme binaire

\log_

est utilisé en informatique. En effet, pour un nombre d donné, la partie entière de

\log_(d)\,\!

donne le poids du bit de poids le plus fort de ce nombre. Par exemple,

int(\log_(13))=int(\log_(0b1101))\approx int(3.7)=3\,\!

Quelques propriétés

Déduction immédiate

\log_a(a)=1\,\!

Propriété fondamentale

\ln(a \times b)=\ln(a) + \ln(b)

(avec

a>0

b>0

) On démontre cette propriété de façon simple:

\ln(a \times b)=\ln(e^ \times e^)=\ln(e^)=\ln(a)+\ln(b)

conséquences: :

\ln (\frac) = - \ln a

\ln (\frac) = \ln(a) - \ln(b)

\ln (a^n) = n \times \ln(a)

, pour tout réel

n

Équivalence des logarithmes

Les logarithmes sont reliés entre eux par la formule suivante :

\log_a(x)=\frac

\log_a(x)=\frac

On voit donc que l'utilisation du logarithme naturel suffit généralement à couvrir tous les cas, et que l'utilisation des autres logarithmes se ramène à l'ajout d'une constante multiplicative.

Représentation graphique

564px Courbe

y=\ln x

Application pratique

- La règle à calcul
- Échelle logarithmique
- Table de logarithmes

Voir aussi

- Fonction holomorphe
- Exponentielle
- La présentation des logarithmes dans le Wikilivre de photographie Photographie - Chapitre 01 - Un peu de mathématiques Catégorie:Fonction remarquable Catégorie:Analyse réelle ja:対数

Équation différentielle

Equation différentielle Différentielle (Equation) En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise. Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques, par exemple la dynamique des fluides et la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Soient y une fonction de x et :

y', y

, \ldots, y^\, les dérivées $\frac, \frac, \ldots, \frac\,$ de la fonction y. Par définition, une équation différentielle ordinaire est une équation liant x, y, y′, y′′,.... L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant. Un cas particulier important est celui où x n'apparaît pas dans les équations (en dehors du signe de différentiation). De telles équations sont dites autonomes. Pour ces équations différentielles, l'espace peut être partagé en classes d'équivalence par l'appartenance (ou non) des points à une même solution. Ces équations différentielles sont des champs de vecteurs. Pour une équation du premier ordre, cela signifie que les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Puisque les lois de la physique ne changent pas dans le temps (pense-t-on), le monde est gouverné par de telles équations différentielles. Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions y vérifiant l'équation. Par exemple, l'équation différentielle : $y$ + y = 0\, a une solution générale : :

y =  A.\cos x + B. \sin x\,

, où A, B sont des constantes déterminées grâce aux conditions aux limites. Dans le cas où les équations sont linéaires, la solution peut être trouvée par la méthode de superposition. Beaucoup d'équations différentielles intéressantes ne sont toutefois pas linéaires, ce qui veut dire qu'elles ne peuvent pas être résolues de cette façon. Il y a également quelques techniques pour résoudre approximativement les équations différentielles en utilisant un ordinateur, notamment les méthodes de Runge-Kutta, la méthode de Newmark, la méthode des différences finies ou la méthode des éléments finis qui est plus adaptée pour les E.D.P. et les techniques de relaxation. Les équations différentielles ordinaires doivent être distinguées des équations aux dérivées partielles, où y est fonction de plusieurs variables et où interviennent des dérivées partielles.

Bibliographie

Equations différentielles et systèmes dynamiques, John Hubbard et Beverly West, Ed. Cassini

Voir aussi

- Exemples d'équations différentielles
- Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles
- Résolution des équations différentielles
- Systèmes oscillants à un degré de liberté ja:微分方程式 ko:미분방정식 th:สมการเชิงอนุพันธ์

Électronique

__NOTOC__ =Introduction= L’électronique est une science appliquée, c'est aussi l’un des arts de l’ingénieur. En raison du succès des appareil fonctionnant grâce à l'électronique et de leur impact sur la vie courante, le grand publique confond souvent l’électronique avec la cybernétique, ou science des automatismes, aussi bien que l'informatique dans sa partie matériel (hardware).
- Cet article commence par décrire l’électronique comme une branche de la connaissance. Les contributeurs se sont attachés à donner des renseignements sur l’état actuel de l’électronique, ne s’intéressant à l’électronique qu’en tant que discipline scientifique. Ils en fournissent une description selon le schéma suivant : # Objet d’étude; # Structures de connaissance; # Méthodes.
- L’article se poursuit ensuite avec des informations et des descriptions d'ordres pratiques, renvoyant bien souvent le lecteur à des articles plus détaillés sur de tel ou tel domaine particulier. __TOC__ =1^ère Partie=

Définition

: L’électronique est une science technique ou science de l’ingénieur, qui étudie et conçoit les structures effectuant un traitement non linéaire des signaux électriques, c-à-d. courant électrique ou tension électrique, porteurs d’information ou d’énergie. Dans cette définition la notion de l’information est considérée dans le sens le plus large : elle désigne toute grandeur (physique, telle la température ou la vitesse, ou abstraite, tel un son, une image, un code) qui évolue en temps réel selon une loi inconnue à l’avance. Comme tous les automatismes, les systèmes électroniques bien conçus comportent deux parties :
- l’une, opérative, gère les signaux de puissance porteurs d'énergie (courants forts) ;
- l’autre, informationnelle, gère les signaux porteurs d’information (courants faibles). Dans les systèmes électroniques classiques traitant l’information, celle-ci est codée par les tensions et les courants électriques. Les applications de l’électronique peuvent être subdivisées selon la finalité de l’action qu’elles visent : le traitement de l’information à proprement parler ou la commande. Les premières englobent les domaines comme l’informatique, les télécommunications, les mesures (prélèvement et stockage de l’information), etc. Les applications de commande ont pour objet le contrôle du fonctionnement d’un système naturel ou technogène. Un contrôle implique généralement une mesure du paramètre contrôlé, sa comparaison avec le modèle et, en cas d’erreur, la génération d’une consigne de correction. Ainsi, un contrôle peut être vu comme une succession d’opérations de traitement du signal : ceci renvoie à la définition générale donnée plus haut.

Structure de la science : disciplines de l’électronique

L’électronique est une famille de disciplines se distinguant suivant le type de signal traité, la famille d’application ou encore le niveau hiérarchique qu’occupe l’élément étudié dans le système global.

Classement selon le type du signal traité

Signal informationnel analogique : électronique analogique

La discipline s’intéressant au traitement des signaux analogiques, c’est-à-dire évoluant d’une façon continue dans le temps et pouvant prendre des valeurs appartenant à un espace de valeurs continu s’appelle « électronique analogique ». La plupart des systèmes physiques le sont, car les grandeurs physiques évoluent le plus souvent d’une façon continue (par exemple, la température).

Signal informationnel numérique : électronique numérique

Par opposition, l’électronique numérique s’intéresse au traitement des signaux dont l’espace de valeurs est discret. Ainsi le nombre de valeurs que peuvent prendre ces signaux est limité. Celles-ci sont codées par des nombres binaires. Dans le cas le plus simple, un signal numérique ne peut prendre que deux valeurs : 1 et 0. L’électronique numérique est utilisée le plus souvent dans des systèmes contenant un microprocesseur ou un microcontrôleur. Par exemple, un ordinateur est un appareil constitué dans sa plus grande partie par de l’électronique numérique. A l’heure actuelle les circuits en électronique numérique sont en train de remplacer tous les circuits en électronique analogique. On peut observer ce changement directement en regardant les caméscopes ou les appareils photo numériques mais c’est vrai dans tous les domaines. Par contre, il ne faut pas oublier que comme les valeurs discrètes n’existent pas physiquement, des phénomènes d’électronique analogique peuvent survenir dans les circuits numériques, notamment dans les hautes fréquences. La fréquence (ou fréquence d’horloge), exprimée en Hertz (Hz) d’un circuit numérique représente le nombre de changements d’état possibles d’une valeur par seconde.

Électronique mixte

On parle également de l’électronique mixte, il s’agit alors d’un système dans lequel coexistent les signaux numériques et analogiques. Les modules particuliers à cette discipline sont le Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) et le Convertisseur Analogique-Numérique (CAN). Ils permettent de transformer un signal analogique en signal numérique et vice versa, en réalisant ainsi une interface entre les modules purement analogiques et purement numériques. Par exemple, un thermomètre à affichage numérique prélève la température (qui est une grandeur analogique), mesure sa valeur, la code en une séquence numérique et puis l’affiche sur un écran. Ainsi, les deux premières opérations sont effectuées par des modules de l’électronique analogique, la troisième nécessite une conversion numérique-analogique et la dernière relève d’un traitement numérique.

Signal de puissance : électronique de puissance

L’électronique de puissance est l’ensemble des techniques qui s’intéressent à l’énergie contenue dans les signaux électriques, contrairement aux autres disciplines électroniques, qui elles s'intéressent principalement à l’information contenue dans ces signaux. La gamme de puissance traitée en électronique de puissance varie de quelques micro Watt à plusieurs Mégawatts. L’électronique de puissance repose sur des dispositifs permettant de changer la forme de l’énergie électrique, (convertisseurs) et des dispositifs transducteurs (le plus couramment des turbines et des moteurs électriques). L’électronique de puissance a comme champ d’application l’électrotechnique domestique et industrielle où elle remplace les anciennes solutions électromécaniques.

Classement suivant la hiérarchie de l’objet d’étude

D’une façon indépendante de l’application, certaines disciplines de l’électronique sont définies suivant la place qu’occupe l’objet de l’étude dans la hiérarchie d’un système électronique.

Physique des composants - technologies de l’électronique

Au niveau le plus bas se situe un composant, ou un dispositif électronique. La branche s’intéressant à la conception et à l’étude d’un composant électronique élémentaire s’appelle « physique des composants ». Elle est connexe au savoir-faire technologique, qui lui regroupe l’ensemble des connaissances et outils nécessaires pour fabriquer un composant. On parle ainsi de la « technologie de l’électronique ». Les domaines de la technologie et de la physique des composants électroniques font essentiellement appel aux compétences dans les sciences fondamentales, telles que la physique du solide et des procédés chimiques. Même si ces activités sont vitales pour l’électronique, elles ont peu à voir avec l’électronique en tant que génie du traitement du signal. On devrait plutôt les gérer comme une porte d’entrée du monde de la physique fondamentale vers la science appliquée qu’est l’électronique. Les composants de base de l’électronique sont les transistors, les résistances, les condensateurs, les diodes, etc.

Génie électronique : théorie et conception des circuits électroniques

Un circuit électronique est le principal objet d’étude de la science de l’électronique. Un circuit électronique est un système incluant plusieurs composants électroniques associés. Le mot circuit vient du fait que le traitement s’effectue grâce à des courants électriques circulant dans les composants interconnectés. La branche étudiant les propriétés des circuits électroniques s’appelle « théorie des circuits ». La discipline qui étudie la méthodologie permettant de réaliser une fonction de traitement particulière à base d’un circuit s’appelle « conception des circuits électroniques ». Les systèmes électroniques modernes comportent des centaines de millions de composants élémentaires. Pour cette raison le génie des circuits électroniques ne s’intéresse qu’à la réalisation de fonctions (ou modules) relativement simples, nécessitant quelques dizaines de composants.

Classement suivant la taille des circuits électroniques

Le classement précédent se recoupe avec un classement suivant la taille des circuits électroniques considérés.

Électronique des tubes à vide

Comme son nom l’indique, elle recourt à des tubes à vide, ou tubes électroniques comme composants actifs élémentaires (diodes à vide, triodes, tétrodes, pentodes...). Elle ne subsiste guère plus aujourd’hui que sous la forme des tubes cathodiques des récepteurs de télévision et de certains composants d’émetteurs radio de très forte puissance, et ces tubes-là sont d’ailleurs eux aussi en voie de disparition.

Électronique individuelle

Elle recourt à des composants élémentaires individuels ( non-intégrés) assemblés le plus souvent sur des cartes électroniques. Cette électronique n’est plus guère utilisée que pour des montages expérimentaux ou dans le cadre de l’électronique de loisir, car elle a été supplantée par la micro-électronique.

Micro-électronique

Ce vocable est né du processus de la miniaturisation des composants électroniques élémentaires. Cette miniaturisation a commencé dans les années cinquante avec la naissance des semi-conducteurs, elle a atteint une phase presque extrême aujourd’hui. En effet, depuis six décennies la taille des composants élémentaires n’a cessé de diminuer, pour atteindre des dimensions de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres. Ces progrès sont devenus possibles grâce aux avancées dans les procédés de traitement des matériaux semi-conducteurs, notamment du silicium, qui ont permis de réaliser plusieurs millions de composants élémentaires sur une surface de quelques millimètres carrés. Ainsi, la micro-électronique s’intéresse aux systèmes électroniques utilisant des composants de dimensions micrométriques et nanométriques. L’expression « électronique intégrée » est un synonyme de ce vocable : elle évoque une ensemble de composants « intégrés » sur une seule puce de semi-conducteur.

Nano-électronique et électronique moléculaire

Par ailleurs, en parlant des systèmes de l’électronique moderne, le préfixe « micro » commence à être obsolète, dans la mesure où l’on voit apparaître des composants dont la taille se mesure en nanomètres et parfois comparable à celle des molécules. On évoque ainsi la nano-électronique, les nanotechnologies et l’électronique moléculaire. Des avancées techniques récentes permettent même d’envisager la conception de composants basés sur la propriété des électrons et de leur spin : la spintronique.

Microsystèmes

Depuis quelques années, avec les progrès dans les micro- et nano-technologies, on observe une fusion des systèmes appartenant à différents domaines techniques (mécaniques, thermiques, optiques...) autour des circuits et systèmes électroniques. Ces fusions sont souvent appelées « systèmes à traitement de signal multi-domaine », ou « systèmes multi-domaines ». A l’origine de ces progrès sont les procédés d’usinage du silicium très évolués, qui permettent de réaliser des structures tridimensionnelles sur les mêmes cristaux de silicium avec les circuits électroniques. Cette proximité offre une interpénétration des traitements traditionnellement se déroulant dans des domaines différents, et une coexistence des signaux de différentes natures physiques (thermique, mécanique, optique...) dans un même système.

Systèmes microélectromécaniques

Ainsi, dans les années 1990 la véritable révolution technologique a eu lieu avec l’apparition des systèmes micro-électro-mécaniques (en anglais MEMS comme MicroElectroMechanical Systems). Il s’agit de mécanismes classiques tels que des résonateurs, poutres, micromoteurs etc. réalisés sur silicium à l’échelle micrométrique. Ces différents éléments mécaniques sont mis en mouvement (actionnés) grâce aux forces générées par des transducteurs électromécaniques. Ceux-ci sont alimentés par des tensions produites avec des circuits électroniques avoisinants. Les transducteurs électromécaniques jouent alors le rôle de l’interface entre les domaines mécanique et électrique. Les transducteurs électrostatiques ou capacitifs y sont utilisés le plus souvent, bien que l’on puisse rencontrer des interfaces électromécaniques basées sur des phénomènes magnétiques et thermomécaniques. =2^eme Partie=

Historique rapide

Depuis le début du 19 siècle, au fur et à mesure des découvertes des possibilités de l’électricité, les composants et applications électroniques ont vu le jour, (parfois sans possibilité d’application immédiate ou de fabrication industrielle, ces découvertes ne seront utilisées que plus tard). Sans électronique et bien évidemment l’alimentation en électricité indispensable à son fonctionnement, la vie dans notre société moderne serait bien différente. Voir aussi les composants électroniques en général.

Base théorique

Un composant est un élément permettant de construire un circuit électrique où circule un courant électrique.

Composants passifs

- Un composant est dit passif quand il obéit à la Loi D'ohm généralisée, c’est-à-dire quand la tension U aux bornes du composant varie linéairement avec l’intensité I du courant qui y circule, ou que : :

U = Z.I + U_0 \,

- Ils n'ont pas pour fonction de modifier la nature du courant électrique qui les traverssent.
- Les composant dits passifs (résistance, condensateur, bobine, connecteur) ont vu leurs techniques de fabrication évoluer très sensiblement, suivant de près les améliorations technologiques.
- Par contre leur principe fondamentaux n’ont jamais été remis en question.

Composants actifs

- Un composant est dit actif lorsque celui-ci a pour but de modifier le ou les courants qui le traverse. Par exemple, les diodes, triode, les transistors, les thyristors, etc. sont des composants actifs.
- Au début, les composants actifs comprenaient uniquement des tubes électroniques.
- Depuis avec l'utilisation des semi-conducteur et entre autres l’invention du transistor en 1948, l’électronique grand public a envahie nos maisons, nos automobiles, le téléphone et toutes les machines de la vie courante.
- Les circuits intégrés, évolution intégré du transistor, gagnent de jour en jour en densité. Ceux-ci ont favorisé l’explosion de l’électronique moderne: analogique et surtout numérique.
- L’ère des micro-ordinateurs a pu voir le jour grâce aux avancées de l’électronique numérique.
- Lors des deux dernières décennies du , l’électronique a été associée aux possibilités de la lumière et de l’optique (laser et fibre optique) : l’Opto-électronique, pour fabriquer de nouvelles générations de machines électroniques.

Articles décrivant l’électronique

externe

- [http://www.stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/opto.htm Optoélectronique]

Métiers de l’électronique

- Électronicien
- Ingénieur en électronique
- Technicien en fabrication électronique

Outillage

- De base

- Alimentation réglable
- Fer à souder
- Multimètre
- Jeux de pinces
- Jeux de tournevis

- Évolué

- Analyseur logique, Émulateur
- Echomètre
- Générateur de signaux
- Oscilloscope
- Programmateur logique
- Simulateur logique
- Synthese logique
- Testeur de composant

Divers

- Alimentation.
- Protection.
- Codes DTMF.
- Micro-électronique.
- Électrotechnique.

Articles connexes

- Électrocinétique
- Électricité
- Algèbre de Boole
- Connectique
- Fonction logique
- Systèmes embarqués
- Langage de description matériel (HDL) = Liens externes =
- [http://perso.wanadoo.fr/f6crp/elec/index.htm Un traité d’électronique par F6CRP]
- [http://www.powerdesigners.com/InfoWeb/resources/pe_html/contents.htm Interactive Power Electronics Online course]
- [http://stielec.ac-aix-marseille.fr/ Ressources en génie électronique] catégorie:Électricité
- Electronique ja:電子工学 ko:전자공학 ms:Elektronik simple:Electronics th:อิเล็กทรอนิกส์

Fonction périodique

Catégorie:Analyse réelle En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période. Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une horloge, les phases de la lune, etc. Une fonction f définie un ensemble

\mathcal D

de nombres réels ou de nombres entiers, est périodique de période t ou t-périodique si :

\forall x\in\mathcal D, x+t\in \mathcal D

:et

\forall x\in\mathcal D,  f(x+t)=f(x)\

Pour une fonction périodique, le graphe peut être tracé en recopiant de façon répétitive, une portion particulière de longueur une période, à intervalles réguliers. Par exemple, la fonction partie fractionnaire f qui associe à un nombre réel sa partie fractionnaire définie par :

\forall x\in\mathbb, f(x)=x-[x]

([x] étant la partie entière de x) est périodique et de période 1. Ainsi nous avons : f( 0,5 ) = f( 1,5 ) = f( 2,5 ) = ... = 0,5. Si une fonction f est périodique de période t alors pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de f et pour tout entier n : f( x + nt ) = f ( x ). Dans l'exemple précédent, la fonction étant de période 1, nous avons pour tout réel x :f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) ... Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques et de période 2π . La théorie des séries de Fourier cherche à écrire une fonction périodique arbitraire comme une somme de fonctions trigonométriques de même période. Une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres complexes peut avoir deux périodes incommensurables sans être constante. Les fonctions elliptiques vérifient cette propriété.
(incommensurable veut dire dans ce contexte qu'elles ne sont pas multiples d'un réel l'une de l'autre.) En physique, un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la position, (ou les positions) d'un système sont exprimables à l'aide de fonctions périodiques du temps, ayant toute la même période. Voyez par exemple les articles onde en dent de scie, et onde triangulaire

Définition générale

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement + et F un ensemble quelconque. Un élément T de E étant donné, une fonction T-périodique ou fonction de période T de E dans F, est une fonction de E dans F telle que: :

\forall x\in E, f(x+T)=f(x)

. Remarquons qu'à moins que la loi soit supposée commutative cette définition dépend de la place de T à droite.

Voir également

période (page d'homonymie), fréquence, fonction presque périodique ja:周期関数 ko:주기함수 ms:Gerakan berkala

Intégrale

ja:積分 catégorie:Mesure et intégration

Intégrale d'une fonction

S=S_f=\left\

est une région du plan comprise entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses x. La mesure de l'« aire » de S cherchée, notée

\int_a^b

, est l'intégrale de a à b de f. Celle-ci est alors appelée l'intégrale définie de

f

La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Symbole de l'intégrale

Voir aussi

- Analyse
- Dérivée
- Table de primitives
- Table d'intégrales
- Calcul intégral
- Intégrale impropre

Produit de convolution

Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Mesure et intégration En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note «
- » et s'écrit : :

(f - g) (x) = \int_^ f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_^ f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt

cela correspond à la multiplication des transformées de Fourier des fonctions :

f - g = \mathcal^ - \left(\mathcal(f)\cdot\mathcal(g)\right)

où

\mathcal

désigne la transformation de Fourier et

\mathcal^ -

la transformation de Fourier inverse.

Approche vulgarisée

La manière la plus simple de se représenter le produit de convolution consiste à considérer la Fonction δ de Dirac δ_a(x) ; cette fonction vaut 0 si x ≠ a, et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton positionné en a et de hauteur 1. dirac : limite d'une suite de fonctions
Dirac : limite d'une suite de fonctions Du fait de sa forme, on appelle aussi parfois un dirac « fonction impulsion ». Le produit de convolution par un dirac δ_a, correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de a :

f - \delta_a(x) = f(x-a)

produit de convolution d'une fonction par un dirac
Produit de convolution d'une fonction par un dirac On voit que δ₀ laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution :

f - \delta_0(x) = f(x-0)

Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une somme pondérée de diracs (α.δ_a + β.δ_b), on obtient la superposition de deux courbes dilatées. produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs
Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs Considérons maintenant une fonction porte P_a,b ; c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par P_a,b va donc s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un « élargissement » de f. produit de convolution d'une fonction par une fonction porte
Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte Si l'on considère maintenant une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point considéré. Le produit de convolution de f par g s'obtient donc en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g. produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque
Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque ja:畳み込み

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Transformée de Laplace

Définition

Propriétés

Linéarité

Valeur finale

Transformée de Laplace d'une fonction de période p

Quelques transformées usuelles

Catégorie:Analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle

Intégrale

Intégrale d'une fonction

La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Symbole de l'intégrale

Voir aussi

Logarithme

Définition

Généralités

Logarithmes importants

Quelques propriétés

Déduction immédiate

Propriété fondamentale

Équivalence des logarithmes

Représentation graphique

Application pratique

Voir aussi

Équation différentielle

Bibliographie

Voir aussi

Électronique

Définition

Structure de la science : disciplines de l’électronique

Classement selon le type du signal traité

Signal informationnel analogique : électronique analogique

Signal informationnel numérique : électronique numérique

Électronique mixte

Signal de puissance : électronique de puissance

Classement suivant la hiérarchie de l’objet d’étude

Physique des composants - technologies de l’électronique

Génie électronique : théorie et conception des circuits électroniques

Classement suivant la taille des circuits électroniques

Électronique des tubes à vide

Électronique individuelle

Nano-électronique et électronique moléculaire

Microsystèmes

Systèmes microélectromécaniques

Historique rapide

Base théorique

Composants passifs

Composants actifs

Articles décrivant l’électronique

externe

Métiers de l’électronique

- De base

- Évolué

Divers

Articles connexes

Fonction périodique

Définition générale

Voir également

Intégrale

Intégrale d'une fonction

La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Symbole de l'intégrale

Voir aussi

Produit de convolution

Approche vulgarisée

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