:: wikimiki.org ::

אורך גל

אורך גל

גל הינו התפשטות של הפרעה במרחב. פרט לגלים אלקטרומגנטיים, שיכולים להתפשט גם בריק, גלים מתפשטים בתווך מסויים. בדרך כלל, המונח "גל" מתאר הפרעה מחזורית (בזמן). הפרעה שאיננה מחזורית בזמן נקראת Pulse . מה שמיוחד בגלים הוא שהתפשטותם במרחב ובזמן מצייתת למשוואת הגלים. בניגוד לחלקיק קלאסי, הגל הוא ייצור ליניארי קיים בו-זמנית בכל המרחב (אם כי יתכן שהוא שווה לאפס ברובו) ולכן בעל תכונות מיוחדות.

מאפייני הגל

תיאור גרפי של גל והפרמטרים המאפיינים אותו קיימים מספר מאפיינים או פרמטרים פיזיקליים המגדירים את הגל ואת התנהגותו.
- משרעת - או אמפליטודה, בלעז, היא גודל ההפרעה (המקסימלי), ומסומנת ב-A.
- אורך גל - המרחק בין שתי פסגות סמוכות של הגל. תכונה זו מסומנת באות

\lambda

- תדירות - כמות המחזורים ליחידת זמן, מסומנת באות f או באות

\nu

.
- וקטור הגל - בגלים במרחב תלת-מימדי, וקטור הגל מציין את כיוון התקדמות ההפרעה. גודלו של וקטור הגל הוא

\ k = 2 \pi / \lambda

.
- תדירות זוויתית - מאחר שבד"כ מתארים גלים ע"י פונקציות טריגונומטריות נהוג לנרמל את התדירות, כך שהארגומנט יהיה כפולה של פעמיים פאי. לכן

\ \omega = 2 \pi f

- מהירות פאזה - מהירות ההתפשטות של חזית הגל. מסומנת ב-v ומוגדרת כ

\ v_ = \omega / k

.
- מהירות חבורה - מהירות התקדמות האנרגיה (אמפליטודת המעטפת בריבוע) בחבורת גלים, מוגדרת ע"י יחס נפיצה כ

\ v_g = \frac

. הקשר בין שלוש הגדלים האחרונים ניתן באמצעות נוסחאת הגלים -

v=\lambda\cdot\ f

. מאפיין נוסף, המאפיין קבוצה של גלים הוא הפרש המופע (פאזה) או זווית המופע. גודל זה, המסומן ב-

\phi

, מתאר את היחס ואת התלות ההדדית בין שני גלים.
- צורת ההתפשטות - הגל יכול להיות גל אורך, בו כיוון ההפרעה הוא כיוון ההתפשטות, או גל רוחב, בו כיוון ההפרעה מאונך לכיוון התפשטות הגל.
- קיטוב - הקיטוב הוא מישור התנודה של הגל. במושג קיטוב משתמשים בעיקר עבור גלים אלקטרומגנטיים ואור. יכול להיות קיטוב ליניארי, קיטוב מעגלי (כיוון המשרעת מסתובב באופן מחזורי) או קיטוב אקראי.

משוואת הגלים

גל אידיאלי מקיים את משוואת הגלים: :

\ \frac \psi(t,\vec) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec)

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:
- הפונקציה

\ \psi (t,\vec)

היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל מקום וכל נקודה.
- v היא מהירות התקדמות ההפרעה. היא נקבעת עפ"י התכונות של התווך הפיזיקלי.
- אופרטורי גזירה: לפלסיאן ונגזרת שנייה לפי הזמן. הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים שנקרא "גל מישורי" הוא :

\ \psi_ (t,\vec) = A_ e^ = a_ \sin + b_ \cos

פתרון זה ניתן להצגה גם כצירוף של סינוסים וקוסינוסים. בנושא זה כדאי לראות את הערך הדן באוסצילטור הרמוני. כאשר:
- הגודל

\ \omega = 2 \pi f

הוא התדירות הזוויתית של הגל.
- הווקטור

\vec

הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל,

|\vec| = k = 2 \pi / \lambda

.
- הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא

\omega = c k \!\,

, במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל c יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-ליניארי והפונקציה

\ \omega (k)

נקראת יחס נפיצה.
- הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה

\omega = c k \!\,

, כאשר האמפליטודה

\ A_

נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שווקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון ע"י טרנספורם פורייה:
- :

\ \psi(t,\vec) = \frac \int_

עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.

עקרונות פיזקליים

ממשוואת הגלים ניתן להסיק עקרונות פיזיקליים חשובים הנוגעים לטבעם של גלים ולטיב תנועתם. עקרונות אלה אושרו בניסויים וחלקם אף הוסקו באופן אמפירי.
- עקרון פרמה - עיקרון הזמן המינימלי. קובע כי בתנועתו בין שתי נקודות, ינוע הגל במסלול בו זמן התנועה הוא הקצר ביותר.
- חוק הויגנס - קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה על גבי חזית הגל כאל מקור של גל נקודתי. מעקרונות אלו נובעים תכונות ייחודיות המאפיינות תופעות גליות.

תכונות של גלים

קיימות מספר צורות התנהגות פיזיקליות אופייניות לגלים. קיומן של תכונות אלו מאפשר לקבוע האם התופעה הנמדדת הינה גל. רוב התכונות נובעות מכך שהגל הוא "יצור ליניארי" (כפתרון של משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית) ומחוק הויגנס.

החזרה

חוק הויגנס [http://en.wikipedia.org/wiki/Reflection החזרה (Reflection)] היא כינוי לתופעה שכאשר חזית גל הנעה בתווך מסויים מגיעה לנקודת מפגש עם תווך אחר ובעיקבות כך משנה את כיוונה לכיוון אחר בתווך ממנו הגיעה. החזרה של גל יכולה להיות באופן מסודר (כגון החזרת אור ממראה) או לא מסודר (כגון החזרת אור מקיר) בכל פעם שחזית גל מתווך אחד מגיעה לתווך אחר ישנה החזרה. כאשר ע"פ חוק סנל זווית השבירה היא מעל 90 מעלות ישנה החזרה מלאה (כל עוצמת הגל מוחזרת) במקרים אחרים ההחזרה היא חלקית.

שבירה

[http://en.wikipedia.org/wiki/Refraction שבירה (Refraction)] היא תופעת שינוי הזווית של גל בעקבות המעבר לחומר בעל גורם שבירה שונה. זווית השבירה נקבעת ע"פ חוק סנל. תופעות שבירה והחזרה מתוארות ומאופיינות באופן פיזיקלי ע"י תכונה של התווך, הנקראת עכבה Impedance. העכבה היא היחס בין הכוח הפועל על האמפליטודה למהירות השינוי בה. עבור גלים אלקטרומגנטיים העכבה היא הכללה של מושג ההתנגדות החשמלית.

התאבכות

התאבכות היא אולי התופעה המזוהה ביותר עם גלים. התאבכות כאשר מספר גלים עוברים דרך נקודה במרחב, האמפליטודה של הגל באותה נקודה תהיה סכום אלגברי (כלומר: כולל התחשבות בכיוון) של האמפליטודות של כל הגלים באותה נקודה. עקרון ההתאבכות הוא מקרה פרטי של סופרפוזיציה - רכיבים ליניאריים המתחברים ביניהם. המחשה של התאבכות גלים - עקרון הסופרפוזיציה.
מימין: התאבכות הורסת. משמאל: התאבכות בונה. באיור לעיל מתוארת התאבכות של שני גלים.

- התאבכות בונה (באיור השמאלי) מתרחשת כאשר כל הגלים מגיעים בשיאם ומחזקים זה את זה.

- התאבכות הורסת (באיור הימני) מתרחשת כאשר סכום האמפליטודות שווה לאפס. עבור שני גלים, כאשר שני גלים בעלי אותה אמפליטודה מגיעים במופע הפוך (הפרש פאזה של חצי מחזור) מתרחשת התאבכות הורסת שכן גל אחד מגיע בשיא והשני בשפל (שיא שלילי).

עקיפה

[http://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction עקיפה (Diffraction)] היא תופעה בה הגל "עוקף" מכשול ונובעת מעקרון הויגנס. כאשר עצם מבדיל בין מקור גלים לגלאי הגלאי יקלוט את הגל מהמקור למרות החסימה בדרך מכיוון שהגל "עוקף" את המיכשול. תופעה זאת מתבססת על עקרון הויגנס (ראו נקודת פואסון).

נפיצה

[http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_%28optics%29 נפיצה (Dispersion)] היא תופעה שבה חבורת גלים מתפרקת למרכיביה השונים (גלים בעל תדירות אחת ואורך גל יחיד). כאשר חבורת גלים המורכבת מאורכי גל שונים עוברים לתווך בעל מקדם שבירה שונה מהתווך ממנו באו (ותלוי באורך הגל), זווית השבירה של כל אורך גל היא שונה. תופעה זו נקראת נפיצה. תופעה נפוצה הנובעת מכך היא הקשת בענן. התקן הגורם לנפיצה הוא מנסרה (Prism), בייחוד מנסרה משולשת. אייזיק ניוטון ידוע בניסויו במנסרות ובכך שהצליח ליצור קשת באופן מלאכותי.

דוגמאות לגלים

- אדווה - גל אורך הנוצר במים כתוצאה ממגע עצם בהם.
- קול - הקול הינו גל אורך. גל זה הוא גל של הפרשי לחצים המתפשט בתוך חומר. מהירותו של הקול מושפעת מצפיפות התווך.
- גל אלקטרומגנטי - גל רוחב הנובע משדה חשמלי ושדה אלקטרומגנטי המשתנים בזמן. גל זה יכול להתפשט גם בריק ומהירותו מושפעת מהחומר בו הוא עובר. גלים אלקטרומגנטיים באורכים שונים מתכנים בשמות כגון: גלי אור, גלי רדיו ועוד.

ראו גם

- אוסצילטור הרמוני
- קרינה אלקטרומגנטית
- אופטיקה
- אלגברה ליניארית
- אפקט דופלר קטגוריה:פיזיקה קטגוריה:גלים ja:波動 ko:파동 ms:Gelombang simple:Wave

גלים אלקטרומגנטיים

קרינה אלקטרומגנטית היא הפרעה מחזורית הרמונית בשדה החשמלי והמגנטי, המתפשטת במרחב. הפרעה כזו נקראת גל אלקטרומגנטי. חזית הגל של הקרינה האלקטרומגנטית מתקדמת בריק במהירות קבועה, שהיא מהירות האור. לעיתים מתוארת הקרינה האלקטרומגנטית גם כזרם או שטף של חלקיקים, הנקראים פוטונים.

הספקטרום האלקטרומגנטי

תכונות הקרינה האלקטרומגנטית תלויים במידה רבה באורך הגל של הקרינה, או תדירות הקרינה, שהיא הערך ההופכי לאורך הגל. משום כך, נהוג לחלק את הספקטרום האלקטרומגנטי בחלוקה גסה, המפרידה בין סוגי קרינה בעלי תכונות שונות. חשוב להבין שאורך הגל הוא משתנה שיכול לקבל אינסוף ערכים רציפים, ולכן החלוקה לסוגים שונים של גלים נכונה רק באופן כללי, והגבולות בין הסוגים השונים הם גבולות מטושטשים למדי. הקרינה בעלת אורכי הגל הארוכים ביותר בספקטרום האלקטרומגנטי (והתדר הנמוך ביותר) נקראת גלי רדיו. גלים אלה, שאורכם יכול להגיע מעשרות סנטימטרים עד קילומטים רבים, משמשים אותנו רבות בתעשיות התקשורת הרבות בעולם המודרני, בעיקר בתקשורת למרחקים גדולים, כגון רדיו וטלויזיה. גלי המיקרו, הקצרים מהם רק במעט, משמשים אף הם לתקשורת, בטווחים הקצרים יותר, כגון תקשורת סלולרית ומכ"ם, אך גם לבישול. אורכם של גלים אלה נע בין מילימטרים ספורים לעשרות סנטימטרים. גלים קצרים יותר מאלה, נפלטים מגופים חמים, ונקראים גלי תת אדום (Infra-Red או IR בלעז). אורך הגל שלהם נע בין מיקרונים בודדים למילימטר. על ידי איתור קרני תת אדום, ניתן לאתר את מקומם של בעלי חיים, עקב טמפרטורת הגוף שלהם. מסיבה זו, בעלי חיים שונים, בעיקר טורפים, פיתחו רגישות לקרינת תת אדומה. בעולם המודרני קרינה תת אדומה משמשת לראיית לילה, לתקשורת בטווחים קצרים מאד (שלט רחוק ותקשורת אלחוטית בין מכשירים קרובים), וכן לתקשורת אופטית. האור הנראה הוא אותו תחום של קרינה אלקטרומגנטית הנקלט בעין האדם באופן טבעי. זהו תחום צר מאד של הספקטרום, הכולל גלים אלקטרומגנטיים באורכי גל שבין 0.4 מיקרון לבין 0.8 מיקרון בקירוב. המוח מפרש בצורה שונה אורכים שונים של גלים, וכך מתקבלים במוחינו צבעים שונים. בעלי חיים שונים רגישים לתחומים מעט שונים של הספקטרום, אם כי תחומי הרגישות של כל בעלי החיים מרוכזים פחות או יותר באזור זה של הספקטרום. בעלי חיים ליליים רבים רגישים לאורכי גל ארוכים מעט יותר, דבר המאפשר להם ראיה טרמית על ידי רגישות לתת אדום. חרקים רבים רגישים לאורכי גל קצרים מעט יותר, דבר המאפשר להם ראיה בתחום העל סגול. גם צמחים רגישים לקרינה אלקטרומגנטית בתחום הנראה ובעיקר לקרינה באורכי גל המתאימים לצבע הירוק, הנמצא בערך באמצע התחום הנראה. סביר להניח שאין זה מקרה שאורך הגל של הצבע הירוק הוא בעל העוצמה הגבוהה ביותר מתוך הספקטרום הנמדד על פני כדור הארץ (לאחר בליעת האטמוספירה). גלים אלקטרומגנטיים באורכים שבין 10 נאנומטר ועד 380 נאנומטר נקראים קרינת על סגול (Ultra violet או UV בלעז). קרינה זו נבלעת ברובה על ידי האטמוספירה, ובעיקר על ידי שכבת האוזון שבה. מכיוון שקרינה זו עשויה להסב נזקים בריאותיים שונים לבני אדם ובעלי חיים אחרים, התופעה של חור בשכבת האוזון היא תופעה מטרידה מאד ברמה עולמית. מאידך, שימוש מבוקר בקרינה זו מסייע לטיפול במחלות שונות. שימושים נוספים בקרינה על סגולה הם טיהור מי שתיה, בדיקת מחצבים, סטריליזציה של ציוד ביולוגי ועוד. בקצה הספקטרום נמצאות קרינת הרנטגן (אורך גל: 5 פיקומטר עד 10 ננומטר) הנקראת על שם הפיזיקאי שגילה אותה, וילהלם רנטגן, וקרינת הגמא (אורך גל של פחות מ-5 פיקומטר). אלה הן קרינות עוצמתיות מאד, המסוכנות לרוב היצורים החיים. קרינת הרנטגן, בשימוש מבוקר משמשת לצרכים רפואיים והנדסיים שונים.

היסטוריה

הראשון שגילה בפועל את קיומם של הגלים האלקטרומגנטיים, היה הפיזיקאי היהודי-גרמני היינריך הרץ (1857-1894), ועל שמו נקראת עד היום יחידת המידה של התדירות - הרץ. הרץ אחד שווה להופכי של שנייה אחת (אחד חלקי שניה), ומתאר גל שזמן המחזור שלו הוא שניה אחת. גל אלקטרומגנטי של הרץ אחד, הינו לפיכך גל שמשלים מחזור אחד בשניה אחת. מכיוון שחזית הגל מתקדמת במהירות האור, ניתן לחשב את אורך הגל בריק ולגלות שהוא שווה בקירוב ל-300,000 ק"מ. רוב הגלים האלקטרומגנטיים נמדדים ביחידות של קילו-הרץ (=1,000הרץ), מגה-הרץ (=1,000,000הרץ) וג'יגה-הרץ (=1,000,000,000הרץ). במאה ה-19 הפיזיקאי הבריטי ג'יימס קלרק מקסוול ניסח תאוריה המתארת את התנהגות הקרינה (למעשה הוא התייחס רק לאור שהיה מוכר בזמנו) שבמרכזה משוואות מקסוול המפורסמות ולפיה האור מורכב מגלים. בתחילת המאה ה-20 אלברט איינשטיין טען שהקרינה מורכבת דווקא מקוונטות המכונים פוטונים, לכל אחד מהם אנרגיה קבועה ביחס ישר לתדירות שלה. מכאן שכאשר התדירות קטנה (ואורך הגל מתארך)- האנרגיה יורדת. כמה שנים מאוחר יותר תורת הקוונטים "פישרה" בין איינשטיין למקסוול וקבעה את עקרון השניות לפיו ניתן לתאר את הקרינה האלקטרומגנטית (ובעצם כל חומר) הן כזרם של חלקיקים, והן כגלים.
קטגוריה:פיזיקה קטגוריה:חשמל אלקטרומגנטית
- קטגוריה:גלים

ריק

בפיזיקה, ריק (או בשמו הנפוץ ואקום) הוא החוסר של חומר בנפח של חלל. ריק חלקי מבוטא על-ידי יחידות של לחץ. יחידת המידה ללחץ היא פסקל או Pascal (והנכתב בקיצור Pa). ריק יכול גם להיות מבוטא ע"י שימוש ב-torr, ע"י שימוש בסקלת בברומטר, או כאחוז מהלחץ האטמוספירי ע"י שימוש ביחידת הבר.

דרגות שונות של ריק

- לחץ אטמוספירי = 100 קילו-פסקל
- שואב אבק = בערך 40 קילו-פסקל
- משאבת ריק מכנית = בערך 1.3 פסקל
- החלל הקרוב לכדור-הארץ = בערך 130 מיקרו-פסקל
- לחץ אטמוספירי על הירח = בערך 1.3 מיקרו-פסקל
- חלל בין-גלקטי = בערך 13 ננו-פסקל
- תא קריוגני לייצור ריק = 1-1.3 ננו-פסקל

יצירת ריק

כאשר יוצרים ריק חלקי, החומר בנפח שמפונה זורם בצורה שונה בלחצים שונים בהתבסס על חוקי מכניקת הזורמים. בתחילה משאבת ריק מפנה את החומר בעוד המולקולות מתנגשות ביניהן ודוחפות אחת את השנייה בצורה שנקראת זרימה צמיגה (ןיסקוזית). כאשר המרחק בין המולקולות גדל, המולקולות מתנגשות עם דופן הכלי הרבה יותר מאשר עם שאר המולקולות ושאיבה של החומר היא לא יעילה יותר. בשלב זה, המערכת נכנסת למצב שנקרא זרימה מולקולרית, כאשר המהירות של כל מולקולה היא אקראית למדי. שיטות להוצאת החומר הנותר כוללות המרה של מולקולות הגז למצב מוצק ע"י הקפאה שלהם בשיטה שנקראת שאיבה קריוגנית או שיטה אחרת הכוללת חיבור חשמלי של המולקולות עם חומרים אחרים שנקראת שאיבה יונית. בלחצים נמוכים מאוד הגזה של כלי הריק מתרחשת לאורך הזמן. גם כאשר ריק גבוה נוצר במיכל אטום לחלוטין, אין ודאות שלחץ נמוך כלשהו ימשיך להיווצר כל עוד תהליך ההגזה נלקח בחשבון. הגזה היא לרוב חזקה יותר בטמפרטורות גבוהות. גם חומרים שלרוב לא נחשבים כספיחים יגיזו החוצה. אדי מים הוא מרכיב הגזה עיקרי גם בכלים מתכתיים קשים (כמו פלדת אל-חלד או טיטניום). הגזה יכולה להיגרע על-ידי דסיסציה קודם לשאיבת הריק. כלים המיוצרים מחומרים כמו פלדיום (שהוא סופח חמצן חזק מאוד) יוצר בעיות הגזה מיוחדות.

הריק הקוונטו-מכני

מכניקת הקוונטים מגלה כי גם ריק אידיאלי, עם לחץ מדוד של 0 torr הוא לא ממש ריק. סיבה אחת היא שקירות מיכל הריק קורנים אור בצורה של קרינת גוף שחור: אור נראה אם הם בטמפרטורות של אלפי מעלות צלזיוס, אור תת אדום אם הם קרים יותר. המרק הזה של פוטונים יהיו בשיווי משקל תרמודינמי עם הקירות, והריק יכול להיות בעל טמפרטורה מסוימת. באופן בסיסי יותר, יש תנודות ריק קוונטו-מכניות בריק. זוהי יכולה להיות הסיבה לערך הנמדד של הקבוע הקוסמולוגי.

ראו גם

- חלל
- משאבת ריק
- מנוע ריק
- לחץ
- שאיבה

קישורים קיצוניים

- [http://scitation.aip.org/jvsta/ מגזין של מדע וטכנולוגיה של ריק] קטגוריה:פיזיקה ja:真空

אלגברה ליניארית

אלגברה לינארית היא ענף של האלגברה העוסק בחקר התכונות של וקטורים, מרחבים וקטוריים, מטריצות, טרנספורמציות לינאריות ומערכות של משוואות לינאריות. מרחבים וקטוריים הם נושא מרכזי במתמטיקה, ולכן נעשה שימוש נרחב באלגברה לינארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגיאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה לינארית במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע.

הסטוריה

האלגברה הלינארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פירסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה לינארית".

מבוא בסיסי

תחילתה של האלגברה הלינארית במחקר וקטורים במרחב הקרטזי הדו והתלת ממדי. במרחבים אלו וקטור הוא קטע בעל אורך וכיוון מסויימים. באמצעות וקטורים ניתן לתאר ישויות פיזיקליות מסויימות כמו כוחות או מהירות. ניתן לחבר אותם זה עם זה וניתן לכפול אותם במספרים (שבהקשר זה מכונים סקלרים). בכך מקיימים המרחבים את התכונות של מרחב וקטורי. על הוקטורים ניתן לחשוב גם כעל חצים בעלי אורך וכיוון המצביעים על נקודות במרחב, וגם כעל הנקודות הללו עצמן. ניתן לתאר וקטור דו ממדי על ידי שני מספרים, המתארים את הקוארדינטה ה-x וה-y של הנקודה שבראש החץ. בצורה דומה ניתן לתאר וקטור תלת ממדי באמצעות שלושה מספרים. האלגברה הלינארית המודרנית הכלילה מרחבים אלו למרחבים בעלי מספר שרירותית של ממדים, ואפילו מספר אינסופי של ממדים. רוב התוצאות המועילות מהמקרה הדו והתלת ממדי ניתנות להכללה למספר כלשהו של ממדים . אף על פי שקשה לדמיין ובלתי אפשרי לצייר וקטורים במספר שרירותי של ממדים, ניתן לתאר אותם כסדרה של מספרים, בצורה דומה לזו שבה מתארים וקטורים דו ותלת ממדיים. כך למשל ניתן לתאר את המרחב-זמן באמצעות וקטורים עם ארבעה ממדים. ניתן לחשוב על כל ממד נוסף של וקטור כעל "דרגת חופש" נוספת שיש לו - כלומר, דרך נוספת להבדיל בינו ובין וקטורים אחרים, תוך שמירה על התכונות הקיימות. השלב הבא בהכללה מגיע מתחום האלגברה המופשטת. אף שהמרחבים הוקטורים הוגדרו במקור מעל המספרים הממשיים או המרוכבים (כלומר, כסדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים), אין הכרח בכך, וניתן לחשוב על וקטורים שמוגדרים גם מעל קבוצות בעלות תכונות דומות לאלו של המספרים הממשיים - שיש בהן מושגים של חיבור וכפל שמקיימים מספר תכונות בסיסיות (כמו חוק החילוף וחוק הפילוג). קבוצות כאלו מכונות שדות. מתברר כי אין צורך לחשוב על וקטורים דווקא כעל סדרה של איברים מתוך השדה, אלא ניתן לחשוב עליהם כעל קבוצה שרירותית שמתקיימות בה פעולות של חיבור וחיסור ואיבר נייטרלי לפעולות אלו. קבוצה כזו מכונה חבורה. משיש לנו חבורה, ניתן להפוך אותה למרחב וקטורי מעל שדה על ידי כך שמגדירים פעולה של כפל איבר מהחבורה באיבר מהשדה, מה שמקביל להגדרה של כפל וקטור של מספרים ממשיים במספר ממשי. בשל מקורה של פעולת הכפל הזו נוהגים לכנותה "כפל בסקלר" ואת אברי השדה שבהם כופלים את הוקטורים "סקלרים". גם לאחר הכללה זו נשמרות רוב התכונות המעניינות שהתקיימו במרחבים הדו והתלת ממדיים מעל המספרים הממשיים, אולם כעת הוקטורים יכולים לייצג אוסף גדול בהרבה של אובייקטים מתמטיים: למשל, אוסף המטריצות ההפיכות הן מרחב וקטורי, אוסף הפונקציות הרציפות בקטע

\ \left[0,1\right]

הוא מרחב וקטורי, ואפילו אוסף הפונקציות הלינאריות בין מרחבים וקטוריים מהווה בעצמו מרחב וקטורי. כדי לתאר בצורה נוחה מרחבים וקטוריים מחפשים קבוצות של וקטורים שניתן להציג כל איבר במרחב כצירוף לינארי שלהם: סכום של מכפלות שלהם בסקלרים. על קבוצות כאלו אומרים שהן פורשות את המרחב. במיוחד מעניינות הקבוצות המינימליות מבחינת מספר האיברים שלהן שעדיין פורשות את המרחב. קבוצות כאלו מכונות בסיסים. די בידע על אברי הבסיס כדי לדעת לתאר את המרחב הוקטורי היטב. למשל, כשמגדירים טרנספורמציה לינארית (פונקציה בין שני מרחבים וקטוריים שמקיימת תכונות של לינאריות), די לדעת את פעולתה על אברי הבסיס כדי לדעת את פעולתה על כל איבר במרחב. מתברר כי מספר האברים בכל בסיס של המרחב זהה, ומספר האברים שנמצאים בבסיס של המרחב תואם את המושג האינטואיטיבי שיש לנו על הממד שלו, ועל כן הגדרתו הפורמלית של הממד של המרחב היא כמספר האיברים שבבסיס כלשהו שלו. האלגברה הלינארית עוסקת גם בחקירה של טרנספורמציות לינאריות בין מרחבים וקטוריים. מתברר שקיים קשר בין אוסף הטרנספורמציות ממרחב בעל n ממדים למרחב בעל m ממדים ובין אוסף המטריצות שהאיברים שלהן לקוחות מהשדה שמעליו מוגדרים המרחבים והגודל שלהן הוא m על n - בהינתן בסיסים של שני המרחבים, לכל טרנספורמציה מתאימה מטריצה אחת ויחידה, ולכל מטריצה מתאימה טרנספורמציה אחת ויחידה. בשל כך, מחקר התכונות של מטריצות מהווה חלק חשוב מהאלגברה הלינארית. לאלגברה הלינארית שימושים רבים במתמטיקה, בשל הכוח הרב שלה בטיפול בבעיות לינאריות. פעמים רבות במתמטיקה כאשר נתקלים בבעיות קשות מנסים לקרב אותן באמצעות תיאור לינארי של הבעיה, ולפתור את הקירוב באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הלינארית. כך למשל מושג הדיפרנציאביליות בחשבון אינפיניטסימלי עוסק ביכולת לקרב את התנהגותה של פונקציה בנקודה מסויימת על ידי טרנספורמציה לינארית.

לקריאה נוספת

- אלגברה לינארית, האוניברסיטה הפתוחה
- אלגברה לינארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
- אלגברה א', שמשון עמיצור, האוניברסיטה העברית, תש"ל
- [http://www.math.bgu.ac.il/%7Eamyekut/book/book.pdf מבוא לאלגברה ליניארית], אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון

קישורים חיצוניים

[http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/ Linear Algebra Toolkit] קטגוריה:מתמטיקה קטגוריה:אלגברה
- ja:線型代数学 ko:선형대수학 simple:Linear algebra

אמפליטודה

משרעת (אמפליטודה), היא הגודל המקסימלי החיובי של גל מחזורי. גל
- המרחק y (בתמונה) הוא המשרעת של הגל.

בסימון קלאסי

בסימון קלאסי נוהגים לכתוב משוואת גל סינוסי כך:

\!\ y = A\sin(kx+\omega t + \Phi)

כאשר A היא המשרעת. קטגוריה:גלים קטגוריה:פיזיקה

פונקציות טריגונומטריות

טריגונומטריה (מיוונית: מדידת המשולש) היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. מקורו ההסטורי של הענף במדידות כוכבים שבוצעו על ידי ספנים על מנת לקבוע מסלולי שיט.

הפונקציות הבסיסיות

זוויות בטריגונומטריה שתי פונקציות בסיסיות המתארות יחסי צלעות במשולשים ישרי זווית: סינוס וקוסינוס.
במשולש ישר זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים): סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

\sin A = \frac

קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

\cos A = \frac

ממשפט פיתגורס נודע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זוית שווה ל-1. לזוויות גדולות בהן x≥90° או x≤0° , הרחיבו את המושגים האלו לקואורדינטות במעגל הקרוי מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1.
על-פי הרחבה זו, סינוס של זווית הוא קורדינטת ה-y של נקודה הנוצרת על היקף המעגל עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון והצבתו בזווית הנ"ל בינו לציר החיובי של x, וקוסינוס הזווית הוא קורדינטת ה-x של אותה נקודה. גודלם של הערכים שמחזירות פונקציות הסינוס וקוסינוס הוא לכל היותר (בערך מוחלט) 1, מפני שלא ייתכן שאחד הניצבים יהיה ארוך יותר מיתר המשולש. (היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זוית.)

פונקציות נוספות

בנוסף על שתי פונקציות בסיסיות אלו קיימות עוד 4 פונקציות טריגונומטריות, אם כי הן פחות שכיחות: # טנגנס של זווית (tg x או tan x) השווה ליחס בין סינוס של זווית לקוסינוס שלה (והיא לא מוגדרת כשהזווית שווה ל- 180n+90 (כש-n הוא מספר טבעי), שכן (cos (180n+90 שווה ל-0). # קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) שהיא הפונקציה ההפוכה לטנגנס, כלומר היא שווה ליחס בין קוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית (ולכן, בדומה להסבר בסעיף הקודם, היא לא מוגדרת לזוויות השוות ל- 180n). # סקאנס של זווית (sec x) השווה ל-

\left(\cos x\right)^

. # קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל-

\left(\sin x\right)^

. שימושים חשובים של הפונקציות הטריגונומטריות הם במשפט הסינוסים ובמשפט הקוסינוסים.
- ישנן גם פונקציות הפוכות לפונקציות הטריגונומטריות: arcsin x, arccos x וכו', שתוצאתן הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

בעזרת טור טיילור אפשר לקרב את הסינוס של זויות קטנות ל: :

\ \sin(x) =x - \frac  + \frac  -... \approx x

ואת הקוסינוס ל: :

\ \cos(x) =1 - \frac  + \frac  -... \approx 1-x^2

כל החישובים נעשים בראדיאנים. כמובן שבאמצעות חישוב איברים נוספים בטור הטיילור ניתן לקבל קירובים ברמת דיוק הולכת וגדלה. עם זאת, אפשר לבדוק את ערך הפונקציה באמצעות טור טיילור רק לזוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, אם רוצים לחשב את

\ \sin(80^)

ניתן להשתמש בנוסחה

\ \sin(x)=\cos(90^-x)

כך שצריך לחשב רק את

\ \cos(10^)

, וזווית זו קרובה יחסית לאפס. כמו כן, ניתן לחשב בקירוב (לא גדול) את הפונקציה

\ \sin(x)

בערכים בין 0 ל90° כך: :

\ \sin(x) = - \frac  x^3 + \frac  x

גם פה, החישובים נעשים בראדיאנים.

ראו גם

- רשימת נוסחאות בטריגונומטריה
- פונקציות היפרבוליות קטגוריה:מתמטיקה קטגוריה:טריגונומטריה ja:三角法 ko:삼각법 th:ตรีโกณมิติ

פאי

במתמטיקה: π (האות היוונית פאי) מייצגת את היחס הקבוע (בגיאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. π הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. הערה: האות היוונית π נקראת במקור "פִּי", אך עקב הקריאה שלה באנגלית, מקובל בישראל לקרוא לה "פאי". עשרים הספרות הראשונות של π הן: 3.1415926535897932384.

תכונות

π הוא מספר אי רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהן היינריך למברט. כבר הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביע את דעתו, בפירושו למשנה (מסכת עירובין, א, ה), כי זהו מספר אי-רציונלי, אם כי ללא הוכחה. בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן ש-π הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש-π אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ומחוגה לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון.

חישוב π

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של π היווה אתגר במשך מאות שנים. בספר מלכים א' (ז, כג) יש רמז ל- π :"ויעש את הים מוצק עשר משפתו על שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה שלושים באמה וסוב אותם סביב". חישוב פשוט לפי פסוק זה נותן ל- π את הערך 3, שהוא קירוב פשטני של π (פרשנים ניסו להסביר תוצאה זו, כך שתיראה טוב יותר, למשל בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי, בהסבר כי דרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדוייק של π בזמנם, או ב[http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf הסבר מתוחכם יותר]). צורת השבר הפשוטה ביותר המקרבת את π, היא 22/7 או 1/7 3. קירוב מקובל של π כמספר עשרוני הוא 3.14 . קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של π בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה. left ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את π בכל רמת דיוק שתידרש. שיטתו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של π. ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות. מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה

. 3 1/7 > π > 3 10/71

תוכנה להמחשה מיידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר [http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html Archimedes and the Computation of Pi] דיוק בן שבע ספרות הושג במאה ה-16 על-יד ההולנדי אדריאן אנטוניזון, שהציג את π באמצעות השבר 355/113. קל לזכור שבר זה, המורכב משלושת המספרים האיזוגיים הראשונים, שכל אחד מהם נרשם פעמיים, וקו שבר חוצה את שש הספרות באמצען. בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את π בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל-π בשם מספר לודולף. התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של π, שיטות המתבססות על ייצוגו של π כסכום של טור אינסופי. בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של π (רק 137 מתוכן היו נכונות). השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של π הביא לשיא הנוכחי (שנוצר בספטמבר 2002) - חישוב 1,241,100,000,000 ספרות, באמצעות מחשב-על מתוצרת היטאצ'י. מובן שלתוצאה זו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי-על ושל אלגוריתמים. טכניקה לא שגרתית לחישובו של π היא "שיטת מונטה-קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל, למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא 4 / π . הדוגמא הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצויירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל-

\ 2/\pi

. ב- 1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

נוסחאות הקשורות ב-π

פאי מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גיאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

גיאומטריה

אנליזה מתמטית

- נוסחת ויאטה, 1593: :

\frac2\pi=
\frac2
\frac2
\frac2\ldots

- נוסחת לייבניץ: :

\frac - \frac + \frac - \frac + \frac - \cdots = \frac

:כלומר: :

\sum_^ (-1)^ \left (\frac\right ) = \frac

: (זה למעשה הערך

\ x=1

בפיתוח לטור טיילור של

\ \arctan(x)

)
- מכפלת ואליס: :

\frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdots = \frac

- נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית): :

\int_^ e^\,dx = \sqrt

- בעיית בסל נפתרה לראשונה על-ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זתה של רימן): :

\zeta(2) = \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac

\zeta(4)= \frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \frac

- פונקציית גאמה (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2: :

\Gamma\left(\right)=\sqrt

- נוסחאת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים: :

n! \sim \sqrt \left(\frac\right)^n

:(מוכיחים את הטענה ע"י פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גאמה)
- זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים): :

e^ + 1 = 0\;

- שטחו של רבע מעיגול היחידה: :

\int_0^1 \sqrt\ dx =

- אינטגרל לא אמיתי נוסף: :

\int_^ \frac\,dx = \pi

אנליזה מרוכבת

- יישום של משפט השאריות: :

\oint\frac=2\pi i

שברים משולבים

אפשר להציג את פאי באמצעות שברים משולבים רבים, בינהם: :

\frac = 1 + \frac

\pi = 3 + \frac

תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין פאי לבין מספר תוצאות:
- ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא

\ 6/\pi^2

.
- ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא

\ 6/\pi^2

.
- מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא

\ \pi/4

. כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

הפולקלור של π

קיימים משפטים שונים המסייעים ללימוד בעל-פה של π, בכך שמספר האותיות בכל מלה שלהם שווה לספרה המתאימה של π. המפורסם שבהם הוא של אייזיק אסימוב: יש החוגגים את ה-14 במרץ (שנרשם כ-3.14) כיום הפאי, ואחרים חוגגים זאת ב-22 ביולי (הוא 22/7). חמשירים אחדים חוברו לכבודו של פאי, הנה אחד מהם: ב-1998 הופק סרט בשם Pi. ‏ [http://www.imdb.com/title/tt0138704/] קטגוריה:מספרים קטגוריה:היסטוריה של המדע als:Pi ja:円周率 ko:원주율 simple:Pi th:ไพ

אנרגיה

אנרגיה היא גודל פיזיקלי סקלרי, המשמש בכל ענפי הפיזיקה. אנרגיה היא גודל שיכולה להצבר על ידי גוף או מערכת. מנקודת מבט פיזיקלית, כל מערכת מכילה כמות מסויימת של גודל סקלרי המכונה אנרגיה. גודל זה לובש צורות שונות המתוארות בדרכים שונות, בהתאם לסוג האנרגיה המתואר. אחת הפונקציות המתוארות על ידי אנרגיה היא היכולת לבצע עבודה. כמות העבודה שמערכת מסוגלת לבצע אינה עולה על כמות האנרגיה שהמערכת מכילה, בהתאם לעקרון שימור האנרגיה. האנרגיה מצוייה במספר צורות בסיסיות, על פי כוחות היסוד של הטבע:
- אנרגיה קינטית - אנרגיה המצויה במערכת עקב תנועה של המערכת (פנימית או תנועת מעתק). את האנרגיה הקינטית (

E_k

) של מערכת בעלת מסה

m

הנעה במהירות

v

ניתן לתאר באמצעות הנוסחה

E_k=\frac

. כאשר אנרגיית התנועה משוייכת לתנועה אקראית פנימית של המערכת, היא מכונה לעתים "אנרגיית חום".
- אנרגיה פוטנציאלית - אנרגיה המשוייכת למערכת המצויה במצב שאינו יציב - במצב שבו סכום הכוחות הפועל עליה אינו אפס. עבור כוחות שונים, ניתן לייחס אנרגיות פוטנציאליות שונות כמו לדוגמה "אנרגיית גובה" עבור גוף במצב מעורער בשדה כבידה, "אנרגיה קפיצית" עבור קפיץ מתוח וכו'.
- אנרגיה תרמית - הינה למעשה האנרגיה הקינטית של המולקולות בחומר.
- אנרגיה כימית - בתהליך של שינוי הקשר הכימי בין האטומים והמולקולות משתחררת או נאגרת אנרגיה מהסביבה.
- אנרגיה חשמלית - נובעת מתנועת אלקטרונים בחומר.
- אנרגיה אלקטרומגנטית - אנרגיה האצורה בחלקיקים בעלי מטען חשמלי והגורמת למשיכתם או דחייתם.
- אנרגיה גרעינית - אנרגיה האצורה בגרעיני האטומים, על פי העיקרון של הכוח הגרעיני החזק, שגורם למרכיבי הגרעין להיות קשורים.
- מסה - על פי תורת היחסות, האנרגיה והמסה שקולים. מסתו של גוף תלויה באנרגיה שלו. שינויים באנרגיה הפנימית של חלקיק ייתבטאו כהפרש במסתו. תופעה זו משמעותית רק בתהליכים גרעיניים, בהם ניתן לחזות את האנרגיה שתשתחרר ע"י השוואת מאסות הגרעינים המשתתפים בתהליך, ולפי נוסחתו המפורסמת של איינשטיין,

mc^2=E

. באנרגיה שולטים חוקי התרמודינמיקה:
- החוק הראשון של התרמודינמיקה, הלא הוא עקרון שימור האנרגיה, קובע כי במערכת סגורה, רמת האנרגיה הכללית נשמרת.
- החוק השני של התרמודינמיקה טוען כי רמת האנטרופיה במערכת סגורה אינה יכולה לקטון. פרושו המעשי של החוק הוא שלא ניתן לנצל את כל האנרגיה הזמינה - לא ניתן לחמם עצם חם על חשבון החום האגור בעצמים קרים יותר, ללא השקעת אנרגיה. לחוקים אלו השלכות מרחיקות לכת בדבר זמינות האנרגיה לצרכים מעשיים, ובמהלך ההיסטוריה, אנשים שונים ניסו לבנות מכונות נצח - מכונות המפיקות אנרגיה רבה יותר מזו שהושקעה בהפעלתם. קיומן של מכונות אלו עומד בניגוד לעקרונות פיזיקליים בסיסיים, ולכן ניסיון זה מעולם לא צלח. במערכת היחידות SI, יחידת המידה של אנרגיה היא ג'אול (J), כאשר ג'אול אחד היא האנרגיה הקינטית של מערכת שמסתה קילוגרם אחד והיא נעה במהירות של מטר אחד בשניה. בנוסף, בתיאור תהליכים כימיים נהוג להשתמש ביחידות של אלקטרון וולט (eV). אלקטרון וולט היא האנרגיה הקינטית שמקבל אלקטרון כאשר הוא מואץ בהפרש מתחים של וולט אחד.

1eV \approx 1.6\times10^J

. בתיאור תהליכים גרעיניים יחידה שימושית היא מגה אלקטרון וולט.

MeV = 10^6eV

יחידות מידה נוספות לאנרגיה הן: קלוריה וארג.

ראו גם

- אנרגיה חלופית
- אנרגיית הרוח
- אנרגיה סולארית
- אנרגיית הצ'י בתחומי הרפואה המשלימה.

קישורים חיצוניים

- רמי אריאלי, [http://stwww.weizmann.ac.il/energy/Default.htm אנרגיה בהיבט רב תחומי], אתר מכון וייצמן
- יורם אורעד, [http://www.amalnet.k12.il/meida/energy בעין האנרגיה]
- קטגוריה:פיזיקה ja:エネルギー ko:에너지 ms:Tenaga simple:Energy th:พลังงาน

נוסחאת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה שמתארת באופן כללי את התנהגותם של כל סוגי הגלים. הצורה הכללית של המשוואה היא :

\ \frac \psi(t,\vec) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec)

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:
-

\vec

הוא המקום במרחב.
-

\ t

הוא הזמן.
- הפונקציה

\ \psi (t,\vec)

היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
-

\ v

היא מהירות התקדמות ההפרעה.
-

\ \nabla ^2

הוא הלפלסיאן.

משוואת הגלים החד-מימדית

עבור גל חד מימדי המשוואה היא: :

\ \frac\psi(x,t) = \frac \frac \psi(x,t)

כאשר

\ x

הוא המקום במרחב החד מימדי. פיתרון כללי של המשוואה נתגלה ע"י ז'אן לה-רון ד'אלמבר והוא: :

\ \psi(x,t) = F(x-vt) + E(x+vt)

F מייצג גל שנע עם כיוון ציר הx ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך. פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים: :

\ \psi_k(x,t) = a_k e^ + b_k e^

כאשר

\ k

הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזויתית היא

\ \omega = v k

פתרון בשיטת פורייה

הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת מימדית שנקרא "גל מישורי" הוא :

\ \psi_ (t,\vec) = A(\vec) e^

. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת שילוב של סינוסים וקוסינוסים, או בעזרת סינוסים עם פאזות, בנושא זה כדאי לראות את המאמר הדן באוסצילטור הרמוני. כאשר:
- הגודל

\ \omega = 2 \pi f

הוא התדירות הזוויתית של הגל.
- הוקטור

\vec

הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל,

|\vec| = k = 2 \pi / \lambda

.
- הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא

\omega = v k \!\,

, במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-ליניארי והפונקציה

\ \omega (k)

נקראת יחס נפיצה.
- הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה

\omega = v k \!\,

, כאשר פונקציית המשרעת

\ A(\vec)

נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שוקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון ע"י התמרת פורייה של פונקצית המשרעת:
- :

\ \psi(t,\vec) = \frac \int_

עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד. קטגוריה:גלים ja:波動方程式 ko:파동방정식

מופע

- במתמטיקה: תיאור של וריאציה של דגם יחיד בקבוצה מסוימת. למשל אותיות א ו־ב הן מופעים שונים של אותיות.
- בפיזיקה: מופע (או פאזה) הוא החלק של המחזור בו נמצא חלקיק או גל המבצע תנועה מחזורית.

קיטוב

קיטוב הוא תכונה פיזיקלית של גלים, במיוחד של גלים בתווך או במרחב תלת ממדי. בפרט, היות ואור ניתן לתיאור כגל אלקטרומגנטי במרחב תלת ממדי, קיטוב הוא תכונה של האור. העין האנושית אינה רגישה לתכונה זו, ולכן קיטוב הוא מושג לא אינטואיטיבי. כדי "לראות" את הקיטוב של האור צריך להשתמש במקטב. גל הוא שינוי מחזורי בזמן ובמרחב של תכונה פיזיקלית כלשהי. למשל, גל אלקטרומגנטי הוא שינוי מחזורי של השדה החשמלי ושל השדה המגנטי. אם נדמיין את וקטור השדה החשמלי בנקודה כלשהי במרחב נראה כי בזמנים שונים הכיוון של הוקטור וגודלו משתנים, באופן מחזורי. אפשר לשרטט את המסלול שמתווה קצה הווקטור. אם המסלול הזה או קו, הרי שזהו אור מקוטב קווית. אם זהו מעגל הרי שזהו אור מקוטב מעגלית. במקרה הכללי המסלול הוא אליפסה, ואז האור מקוטב אליפטית. יתכן גם מצב שבו המסלול איננו מחזורי, אלא הוא מקושקש. זהו אור לא מקוטב והוא יכול להיות תוצאה של הרכבה של הרבה גלים מהרבה מקורות שאין בינם קשר. אפשר להבין טוב יותר את התיאור הזה אם מסתכלים על הביטוי המתמטי המתאר גל מישורי:

\vec E=E_x\hat x\cos (\omega t + kz)+ E_y\hat y\cos (\omega t +kz +\phi)

נסתכל על הווקטור

\vec E

בנקודה כלשהי במרחב, למשל בנקודה ב z=0. וקטור זה הוא תאור פרמטרי של עקומה במישור xy. בהתאם לערכים שונים של

\phi, E_x, E_y

עקומה זו יכולה להיות קו, מעגל או במקרה הכללי אליפסה. אליפסה בטבע ניתן למצוא דוגמאות לאור מקוטב וגם לאור לא מקוטב. אור השמיים, למשל, הוא דוגמא לשני המקרים, שכן אור זה הוא מקוטב בנקודות בשמיים המרוחקות ביותר מן השמש, ואינו מקוטב קרוב לשמש. לרכיב האופטי ההופך אור למקוטב קוראים מקטב. ישנן מספר דרכים לייצר מקטב, הנפוצה ביותר נקראת מקטב פולארויד. מקטב זה עשוי מחתיכת פלסטיק המעבירה אור רק בקיטוב שכיוונו ניצב לכיוון שרשראות הפולימרים של הפלסטיק הזה. שיטה אחרת לקיטוב האור היא באמצעות החזרה בזווית ברוסטר או בזווית קרובה. כמו כן ניתן לקטב אור באמצעות פיזור (למשל אור השמיים) ובאמצעות התקנים המבוססים על [שבירה כפולה|גבישי שבירה כפולה]]. כאשר אור לא מקוטב עובר דרך מקטב, האור הופך להיות מקוטב בכיוון הנקבע על פי האוריינטציה של המקטב. כאשר אור מקוטב עובר דרך מקטב אידיאלי, הקיטוב של האור ביציאה מן המקטב נקבע על פי כיוון המקטב, ואילו עצמת האור נקבעת על פי הזווית בין כיוון הקיטוב של האור הנכנס וכיוון המקטב, על פי חוק הנקרא חוק מאולוס. קטגוריה:אופטיקה ja:偏光

אוסצילטור הרמוני

אוסצילטור הרמוני (מתנד הרמוני בעברית) הוא מערכת מכנית בה קיים כח פרופורציונלי למרחק ובכיוון מנוגד לו. משמע

\ F=-kx

כאשר

\ k

הוא קבוע. באנלוגיה, כל מערכת פיזיקלית שמאופיינת מתמטית בצורה דומה נקראת אף היא אוסצילטור הרמוני. אוסצילטור הרמוני (ובפרט אוסצילטור הרמוני פשוט) היא אחת מהמערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר בפיזיקה. היא פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה שהיא (מכניקה קלאסית, תרמודינמיקה, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות ועוד) ולכן משמשת ככלי עזר חשוב בלמידת והבנת התיאוריות השונות. יתרה מכך, מסתבר שמערכות רבות ומורכבות - שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט - ניתן לקרב על ידי אוסצילטורים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף פתרון מקורב לבעיה.

תיאור מתמטי

ההמילטוניאן של אוסצילטור הרמוני הוא: ::

H = \frac + \frac m \omega^2 x^2

כאשר p הוא התנע הקנוני של x (בצערכת פשוטה

\ p = m\frac

). הפרמטר

\omega  \equiv \sqrt

הוא התדירות הזויתית של המערכת ומוגדרת כשורש המנה בין קבוע הכוח k (נקרא גם "קשיחות" או "מודול יאנג") למידת האינרציה של הגוף המושפע (במכניקה זה המסה או מומנט ההתמד). מערכת שכזו מצייתת למשוואת התנועה הבאה: ::

\frac + \omega ^2 x =  0

זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני במקדמים קבועים, שנקראת "משוואת תנועה הרמונית". האיבר השמאלי מייצג את התאוצה ואילו האיבר הימני הוא בעצם הכוח המחזיר

\ F = - k x = - m \omega ^2 x

אחרי שהועבר אגף. הפתרוו של משוואה זו הוא מהצורה ::

\ x(t) = A\sin + B\cos = X_0 \cos

כאשר:
-

\ \omega

הוא תדירות זוויתית של התנודות של המערכת (והוא קבוע של המערכת).
-

\ X_0

היא המשרעת של התנודה. המשרעת היא ההעתק המקסימלי שמבצעת המערכת.
-

\ \phi

נקראת הפאזה של המערכת, או המופע שלה. גודל זה מבטא באיזה חלק של התנודה נמצאת המערכת בזמן

\ t=0

. בנוגע לטיפול באוסצילטור הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: אוסצילטור הרמוני קוונטי.

תכונות של אוסצילטור הרמוני

התנהגות פיזיקלית

מהפתרן של המשוואה ניתן ללמוד תכונות רבות על המערכת, בינהן:
- התנהגות המערכת היא מחזורית. זמן המחזור שווה ל

\ T = \frac

והתדירות שווה ל

\ f \equiv \frac   = \frac

. התדירות היא מספר התנודות בשניה.
- תנועת המערכת חסומה (במרחב).
- האמפליטודה והמופע לא תלויים בתדירות אלא רק בתנאי ההתחלה.
- התדירות לא תלויה בתנאי ההתחלה אלא רק בקבועי המערכת.
- במערכת מתקיים שימור אנרגיה. באופן איכותי, אפשר לתאר את תנודות המערכת בצורה הבאה: # (בתחילת המחזור) נניח שהמערכת מתחילה באחת מנקודות הקצה, למשל (הימנית): x=X₀. בנקודה זו האנרגיה פוטנציאלית של המערכת מקסימלית. # על המערכת פועל כוח מחזיר שמושך אותה שמאלה בחזרה למרכז. # המערכת נעה במהירות הולכת וגדלה אל עבר המרכז. # (כעבור רבע מחזור) במרכז (נקודת שיווי המשקל), תאוצת המערכת מתאפסת ואילו המהירות מקסימלית. בנקודה זו האנרגיה קינטית של המערכת מקסימלית והאנרגיה הפוטנציאלית אפס. # המערכת ממשיכה לנוע באותו כיוון, אך הכוח המחזיר מושך אותה בחזרה למרכז. המהירות הולכת וקטנה. # (כעבור חצי מחזור) המערכת נעצרת לחלוטין בנקודה x= -X₀. בנקודה זו האנרגיה פוטנציאלית של המערכת מקסימלית ואילו האנרגיה הקינטית שלה מתאפסת. # הכוח המחזיר מושך את המערכת שוב למרכז, במהירות הולכת וגדלה. # (כעבור 3/4 מחזור) המערכת חולפת על המרכז במהירות מקסימלית. כאן האנרגיה קינטית שוב מקסימלית. # (כעבור מחזור שלם) המערכת שוב מגיעה לנקודה x=X₀ ובה המהירות מתאפסת. בנקודה זו המערכת סיימה מחזור שלם וכל התהליך חוזר על עצמו מהתחלה.

דוגמאות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות

מסה המחוברת לקפיץ

מסה m מחוברת לקפיץ חסר מסה בעל קבוע קפיץ k (מניחים שאין חיכוך בבעיה). במקרה זה, על פי החוק השני של ניוטון משוואות התנועה הן: :

m \frac = m \ddot = -k x

כאשר:
- x הוא ההעתק מנקודת שיווי המשקל.
- m הוא ההתמד (במקרה המכני מסה) של המערכת.
- k הוא קבוע הכוח המחזיר.

מעגל LC

מעגל LC אידיאלי (ללא התנגדות) - זהו מעגל של קבל וסליל בו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל לסליל באופן מחזורי הרמוני. מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא 0 אפשר להסיק את משוואת התנועה: :

\ L  +  = 0

כאשר:
- q הוא המטען שאגור בקבל.
- C הוא הקיבול של הקבל.
- I הוא הזרם במעגל.
- L הוא ההשראות של הסליל. ומאחר ש

\ I = dq/dt

, נובע ש ::

\ L \frac +  = 0

וכאן תדירות התנועה היא

\omega = \sqrt

מטוטלת

מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב. תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב של זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית. נניח שמסת המטוטלת היא m והיא מחוברת לתקרה בחוט אידיאלי חסר משקל באורך

\ l

בתוך שדה כבידה אחיד g. נסמן ב

\theta

את הזווית בין המטוטלת לאנך. הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר:

\ F = -mg \sin

. לכן, משוואת התנועה תהיה: :

m \ddot =  -mg \sin\theta

בקירוב של זוויות קטנות

\sin \approx \theta

, ומאחר ש-

\ l

נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה: :

\ddot = - \frac \theta

חשוב שוב להדגיש, שזו תנועה הרמונית בקירוב. כאן משוואת התנועה היא משוואה מקורבת! במקרה של מטוטלת אפשר לפתור גם את המשוואה הלא-ליניארית באופן אנליטי, הפתרון הוא אינטגרל אליפטי.

ראו גם

- גל
- אנליזת פורייה: טור פורייה והתמרת פורייה
- תנועה מחזורית
- אוסצילטור הרמוני קוונטי קטגוריה: מכניקה ja:調和振動子

סופרפוזיציה

בפיסיקה סופרפוזיציה הינה חיבור של גלים. בתורה אלקטרומגנטית משמש מונח זה לתיאור של חבורות של גלים אלקטרומגנטיים. בתורת הקוואנטים מתואר מצב המערכת על ידי פונקצית גל, המתארת את ההסתברויות לאפשרויות השונות של מצב המערכת. בהינתן בסיס וקטורי הפורש את מרחב המצבים של המערכת ניתן לתאר את מצב המערכת כסופרפוזיציה של מצבי הבסיס. אם נמדוד את המערכת בבסיס זה לא נקבל תוצאה דטרמיניסטית אלה התפלגות התואמת את התפלגות מצבי הבסיס בסופרפוזיציה, מלבד במקרה הפרטי בו הסופרפוזיציה מכילה מצב בסיס בודד. במקרה זה כל מדידה שתעשה בבסיס הנ"ל תיתן תמיד את התוצאה המתאימה לאותו מצב בסיס. לדוגמה: נניח מערכת קוונטית ובסיס מדידה:

\ | 0 \rang,\ | 1 \rang

. המערכת נמצאת בסופרפוזיציה אם פונקציית הגל שלה היא :

\ | \psi \rang = \alpha | 0 \rang + \beta | 1 \rang

כאשר

\ | \alpha |^2 + | \beta |^2 = 1 \ \ , \ \ \alpha , \beta \ne 0

. כאשר נמדוד את המערכת בבסיס המדידה, בהסתברות

\ |\alpha|^2

נקבל שהיא במצב

\ | 0 \rang

ואילו בהסתברות

\ |\beta|^2

נקבל שהיא במצב

\ | 1 \rang

. קטגוריה: פיזיקה קטגוריה:מכניקת הקוונטים

טרנספורם פורייה

התמרת פורייה הרציפה או טרנספורם פורייה הרציף, הוא כלי מרכזי באנליזה הרמונית שאפשר לתארו כפירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה.

הגדרה פורמלית 1

מוטיבציה - פירוק לפונקציות הרמוניות

פונקציה מחזורית בעלת תדירות זויתית

\ \omega

, שלפעמים נקראת בקיצור פשוט "הרמוניה" או "פונקציה הרמונית", היא פונקציה מהסוג :

\ f_(t) = A e^= A\cos(\omega t)+ iA\sin(\pm \omega t)

. צירוף לינארי של כמה פונקציות כאלה יתן לנו ביטוי מהצורה הכללית :

f(t)=\sum_i f_(t) = \sum_i A_i e^

ואם נרצה לצרף צירוף רציף של פונקציות כאלה נצטרך לעבור לאינטגרל :

f(t)=\int_^ A(\omega) e^ d\omega

, לכן,

\ \omega

- המרחב של הפונקציה המותמרת - נקרא מרחב התדירות הזויתית (או פשוט מרחב התדר) ואפשר לראות את המשרעת והפאזה של

\ A(\omega)

כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית

\ \omega

, ואילו למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.

התמרת פורייה

התמרת פורייה של פונקציה

\ f: \mathbb \to \mathbb

מוגדרת כפונקציה

\ F: \mathbb \to \mathbb

כך ש :

F(\omega) \equiv  \int_^ f(t) e^ dt

(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשת משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-

L_1(\mathbb)

. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה

L_1(\mathbb)\cup L_2(\mathbb)

שהיא קבוצה צפופה ב-

L_2(\mathbb)

. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל

L_2(\mathbb)

, ומקבלים שהתמרת פוריה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג -

L_2(\mathbb)

שהוא מרחב הילברט.

התמרת פורייה ההפוכה

באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה

\ \mathcal: \mathbb \to \mathbb

שניתנת על ידי :

\ \mathcal(t) \equiv \frac \int_^ F(\omega) e^ d\omega

, להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה. אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית. :

\ \mathcal(t) = \frac \int_^ F(\omega) e^ d\omega = 
  \frac \int_^ d\omega \int_^ f(x) e^ e^ dx =

=  \frac \int_^  f(x)\left( \int_^   e^ d\omega\right) dx =  \int_^ f(x) \delta dx =  f(t)

הגדרה פורמלית 2

אפשר לרשום כל פונקציה

\ f: \mathbb \to \mathbb

, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך

\ f \in L_2

) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא: :::

\ (1) \quad \quad \quad \quad f(t) = \frac \int_^

הפונקציה

\ \hat(\omega)

נתונה ע"י :::

\ (2) \quad \quad \quad \quad \hat(\omega) = \frac \int_^

\ \hat(\omega)

נקראת "ההצגה של

\ f

במרחב התדר" בעוד שהפונקציה

\ f(t)

נקראת "ההצגה של

\ f

במרחב הזמן". ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב

\ L_2

. טרמינולוגיה:
- ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן עפ"י משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה ההפוכה".
- ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) עפ"י משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
- (לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים ).

הערה על סימונים וגורמי נרמול

מספר סימונים שונים נהוגים עבור טרנספורם פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך

\ 1 / 2 \pi

. להלן הגישות הנפוצות בנושא:
- הוספת גורם הנרמול

\ 1 / 2 \pi

באחד מכיווני ההתמרה.
- הוספת גורם נרמול

\ 1 / \sqrt

לפני כל אחת מההתמרות.
- הוספת גורם הנרמול

\ 1 / 2 \pi

להגדרת המכפלה הפנימית. גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה 2 היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ו הנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

העקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה

מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג

המרחב

\ L_2

הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית :

\ \lang f | g \rang \equiv \int_^ = \int_^

הוא מרחב הילברט. אוסף הפונקציות

\ e(\omega)\equiv \left\_

מהווה בסיס אורתונורמלי (שנקרא הבסיס ההרמוני) למרחב, משמע: :

\lang e(\rho) | e(\omega) \rang = \int_^\infty  \left(\frac\right) \, \left(\frac\right) \, dx =\delta(\rho - \omega)

כאשר הפונקציה

\ \delta(x)

היא פונקציית הדלתא של דיראק. במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע

\ F(\omega) = \lang f(t) | e(\omega) \rang

. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד

\ f(t)= \lang  e(t) | F(\omega) \rang

התמרת פורייה כאופרטור

יש לציין שבתור מ�