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Complemento A Due

Complemento a due

Il complemento a due è il metodo più diffuso per la rappresentazione dei numeri relativi in informatica. Esso è inoltre una operazione di negazione (cambiamento di segno) nei computer che usano questo metodo. La sua enorme diffusione è data dal fatto che i circuiti di addizione e sottrazione non devono esaminare il segno di un numero rappresentato con questo sistema per determinare quale delle due operazioni sia necessaria, permettendo tecnologie più semplici e maggiore precisione. Col complemento a due, il bit iniziale (più a sinistra) del numero ne indica il segno: se è 0, il numero è un numero binario in forma normale; se è 1, il numero è negativo, e se ne ottiene il valore assoluto invertendo il valore dei singoli bit e aggiungendo 1 al numero binario risultante. Un intero di 8 cifre può rappresentare con questo metodo i numeri compresi tra -128 e +127. Questo metodo consente di avere un'unica rappresentazione dello zero, e di operare efficientemente addizione e sottrazione sempre avendo il primo bit a indicare il segno.

Calcolo del complemento a due

Per trovare il complemento a due di un numero binario se ne invertono, o negano, i singoli bit: si applica cioè l'operazione logica NOT. Si aggiunge infine 1 al valore del numero trovato con questa operazione. Facciamo un esempio con la rappresentazione a 8 bit del numero 5: 0000 0101 (5) La prima cifra è 0, quindi il numero è sicuramente positivo. Invertiamo i bit: 0 diventa 1, e 1 diventa 0: 1111 1010 A questo punto abbiamo ottenuto il complemento a uno del numero 5; per ottenere il complemento a due aggiungiamo 1 a questo numero: 1111 1011 (-5) Il risultato è un numero binario con segno che rappresenta il numero negativo -5 secondo il complemento a due. Il primo bit, pari a 1, evidenzia che il numero è negativo. Il complemento a due di un numero negativo ne restituisce il numero positivo pari al valore assoluto: invertendo i bit della rappresentazione del numero -5 (sopra) otteniamo: 0000 0100 Aggiungendo 1 otteniamo: 0000 0101 Che è appunto la rappresentazione del numero +5 in forma binaria. Si noti che il complemento a due dello zero è zero stesso: invertendone la rappresentazione si ottiene un byte di 8 bit pari a 1, e aggiungendo 1 si ritorna a tutti 0 (l'overflow viene ignorato).

Addizione

Operare l'addizione di due interi rappresentati con questo metodo non richiede processi speciali se essi sono di segno opposto, e il segno viene determinato automaticamente. Facciamo un esempio addizionando 15 e -5: 11111 111 (riporto) 0000 1111 (15) + 1111 1011 (-5)

= 0000 1010 (10) Questo processo gioca sulla lunghezza fissa di 8 bit della rappresentazione: viene ignorato un riporto di 1 che causerebbe un'overflow, e rimane il risultato corretto dell'operazione (10). Gli ultimi due bit (da destra a sinistra) della riga dei riporti contengono importanti informazioni sulla validità del risultato: se questo è compreso nell'insieme di numeri rappresentabili con questo sistema o è accaduto un overflow. Questo si è verificato se un riporto è stato eseguito sul bit del segno ma non è stato portato fuori, o viceversa; più semplicemente, se i due bit più a sinistra sulla riga dei riporti non sono entrambi 0 o 1. Per verificare la validità del risultato è conveniente eseguire su questi due bit un'operazione XOR. Vediamo un esempio di addizione a 4 bit di 7 e 3: 0111 (riporto) 0111 (7) + 0011 (3)

1010 (−6) Il risultato non è valido!

Sottrazione

Anche se la sottrazione potrebbe essere eseguita aggiungendo il complemento a due del sottraendo al minuendo, questo procedimento è poco utilizzato in quanto porta più complicazioni che semplicemente costruire un circuito per la sottrazione. Ma come per l'addizione, il vantaggio del complemento a due è l'eliminazione della necessità di esaminare i segni degli operandi per determinare quale operazione sia necessaria. Per esempio, sottrarre -5 a 15 è come fare 15 + 5, ma questo è nascosto dal complemento a due: 11110 000 (riporto) 0000 1111 (15) − 1111 1011 (−5)

= 0001 0100 (20) L'overflow viene individuato con lo stesso metodo usato per l'addizione, esaminando i bit più a sinistra sulla riga dei riporti: se sono differenti si è verificato un overflow. Facciamo un altro esempio con una sottrazione con risultato negativo: 15 − 35 = −20: 11100 000 (riporto) 0000 1111 (15) − 0010 0011 (35)

= 1110 1100 (−20)

Particolarità

A parte una singola eccezione, cercando il complemento a due di ogni numero rappresentato con questo metodo, otteniamo il suo opposto: 5 diventa -5, -12 diventa 12, ecc. Il minor numero rappresentabile (cioè quello negativo con maggior valore assoluto) costituisce l'unica eccezione: vediamo l'esempio del numero -128 nella rappresentazione a 8 bit: 1000 0000 (−128) 0111 1111 (bit invertiti) 1000 0000 (aggiunto 1) Questo perché 127 è il maggior numero rappresentabile con 8 bit. Si noti che viene segnalato un overflow perché c'è un riporto sul bit del segno ma non fuori di esso. Nonostante questo sia un numero unico, la sua rappresentazione è valida. Tutte le operazioni possono funzionare con esso sia come operando che come risultato (a meno che non sia successo un overflow).

Analisi matematica

I 2ⁿ possibili valori degli n bit che vanno a costituire la rappresentazione di un numero intero in forma binaria formano un anello di classi di equivalenza, ovvero gli interi (modulo 2ⁿ). Ciascuna classe rappresenta un insieme per ogni intero j, 0 ≤ j ≤ 2ⁿ − 1. Esistono 2ⁿ insiemi del genere, e l'addizione e la moltiplicazione sono ben definite all'interno di essi. Se le classi sono impiegate per rappresentare i numeri tra 0 e 2ⁿ − 1, e l'overflow viene ignorato, si ha un insieme di interi senza segno; ma ognuno di essi è equivalente a se stesso meno 2ⁿ. Quindi le classi possono essere intese come la rappresentazione dei numeri tra −2ⁿ⁻¹ e 2ⁿ⁻¹ − 1, sottraendo 2ⁿ dalla metà di essi. Per semplicità: con 8 bit si possono rappresentare i numeri interi da 0 a 255. Sottraendo 256 alla metà superiore (da 128 a 255) si ottengono i numeri da -128 a -1, e l'insieme totale comprende ora i numeri da -128 a 127, con segno. La relazione col complemento a due è resa evidente dal fatto che 256 = 255 + 1, e che 255 - x è il complemento a uno di x. Esempio -95 modulo 256 equivale a 161, dal momento che: :−95 + 256 := −95 + 255 + 1 := 255 − 95 + 1 := 160 + 1 := 161 1111 1111 255 − 0101 1111 − 95

1010 0000 (complemento a uno) 160 + 1 + 1

=

1010 0001 (complemento a due) 161 categoria:informatica

Informatica

L'etimologia italiana di informatica deriva dai termini informazione e automatica, e sicuramente Philippe Dreyfus, che per primo utilizza nel 1962 il termine informatique (informatica) voleva significare la gestione automatica dell'informazione mediante calcolatore. Sebbene successivamente ne siano state date diverse definizioni, forse si avvicina di più alla realtà quella secondo cui l'informatica è la scienza che si occupa della conservazione, dell'elaborazione e della rappresentazione dell'informazione. Da notare come tale definizione implichi un distacco tra il concetto di scienza e l'area di studio di tale disciplina quando in lingua inglese viene utilizzato il termine computer science che presuppone l'esistenza della figura dello scienziato (scientist) e quindi dell'uomo, del ricercatore interessato all'approfondimento della conoscenza della tecnologia dell'elaborazione.

Storia

Se si guarda all'evoluzione del pensiero algoritmico formale, allora le prime sistemazioni si possono individuare nella grande matematica e nella grande tecnologia greco-ellenistica, (v. Euclide, Archimede, Ctesibio, Macchina di Anticitera). Se invece si guarda alla prassi dei metodi di calcolo, allora le radici le ritroviamo già al tempo dell'antica Mesopotamia e dei primi sutra indiani, nonché nella matematica pragmatica dell'antica Cina. Se vogliamo restringere alle opere postrinascimentali ed europee, allora i fondamenti possono ritrovarsi in Leibniz, Babbage, Lovelace, Boole e Frege, e più direttamente ai lavori di Vannevar Bush, Alan Turing e John von Neumann. Tutti questi punti di vista, comunque, propongono di definire l'informatica come la scienza del calcolabile. Non vi è tuttavia unanimità nel conferire all'informatica il rango di scienza a sé, ed a volte si propende nel considerarla una disciplina evolutiva della matematica, nonostante costituisca un sistema di teorie, tecniche e strumenti ampio e consolidato: il problema fondamentale che rende difficile inquadrare l'informatica come una vera scienza sta nella sua frammentarietà e nella mancanza di un fondamento teorico unificante. Questo punto di vista non tiene conto sia di campi come la teoria della complessità algoritmica, sia dell'utilizzo degli algoritmi nella vita quotidiana: nei programmi delle lavatrici come nella risoluzione delle equazioni. Non tiene conto dei legami con la fisica e di molti altri aspetti dell'informatica assolutamente svincolati da ciò che calcola e legati o al calcolo in sé o al tipo dei dati e dei risultati. Infine, il forte legame sviluppatosi tra le scienze cognitive e l'informatica rende anacronistico questo modo di pensare all'informatica stessa: la psicologia, la mente e il cervello sono senz'altro differenti dai calcolatori elettronici, ma tutti possono essere studiati da branche dell'informatica, ma non necessariamente il contrario. Ad ogni modo l’informatica ha la sua innegabile e tirannica radice scientifica. Non è proprio possibile capire l’informatica se non si intendono le leggi che governano come:
- si digitalizza e si rappresenta l’informazione, sia essa “tradizionale” (testi o numeri) o piuttosto “nuova” (video, suono, odori)
- si memorizza, organizza e reperisce l’informazione e la si protegge da un uso improprio
- si trasmette in modo affidabile l’informazione
- soprattutto come si elabora l’informazione: le leggi della programmazione Queste leggi hanno carattere galileano: sono leggi dell’artificiale, certo non delle cose naturali, ma hanno la medesima forma di astrazione dall’esperienza e di generalizzazione del particolare; inoltre hanno la stessa rigorosa natura delle leggi di Galileo. Sono equazioni su domini opportuni, spessissimo di natura discreta, espresse nel linguaggio matematico: l’unico che sappiamo usare per creare, scambiarci e trasmettere conoscenza dai tempi degli alessandrini. L’informatica, seppur giovane, è fortemente basata su aspetti matematici. Enrico Bombieri dell’Università di Princeton, Medaglia Fields per la Matematica quando era all’Università di Pisa nel 1974 (riconoscimento di prestigio pari al Premio Nobel per la Fisica), descrive magistralmente tale aspetto: Fino a poco tempo fa, i matematici teorici consideravano un problema risolto se esisteva un metodo conosciuto, o algoritmo, per risolverlo; il procedimento di esecuzione dell’algoritmo era di importanza secondaria. Tuttavia, c’è una grande differenza tra il sapere che è possibile fare qualcosa e il farlo. Questo atteggiamento di indifferenza sta cambiando rapidamente, grazie ai progressi della tecnologia del computer. Adesso, è importantissimo trovare metodi di soluzione che siano pratici per il calcolo. La teoria della complessità studia i vari algoritmi e la loro relativa efficienza computazionale. Si tratta di una teoria giovane e in pieno sviluppo, che sta motivando nuove direzioni nella matematica e nello stesso tempo trova applicazioni concrete quali quello fondamentale della sicurezza ed identificazione dei dati. Oltre agli aspetti pragmatici, vengono quindi formulate e studiate teorie informatiche al pari della matematica, della fisica e della chimica. Prendiamo per esempio il concetto di informazione, facente parte del nostro mondo fisico al pari dell’energia e della materia. Tutti percepiscono come reale l’atomo o il quark anche se nessuno può vederlo a occhio nudo. In maniera analoga, il bit è l’elemento costituente dell’informazione in quanto rappresenta l’informazione minima (0/1, acceso/spento, destra/sinistra, testa/croce, ecc.). Comunemente usato per misurare la capacità di memoria dei calcolatori, prescinde da questo uso in quanto la sua nozione è stata definita astrattamente prima dell’impiego massiccio dei calcolatori. Negli anni 50 il padre della teoria dell’informazione, Claude Shannon, definì matematicamente il bit come la quantità di informazione necessaria a rappresentare un evento con due possibilità equiprobabili e l’entropia come la quantità minima di bit per rappresentare un contenuto informativo. In Italia un notevole impulso alla razionalizzazione dell'informatica come scienza fu dato dalla figura eccezionale del professore Alessandro Faedo. Laureatosi a Pisa con Leonida Tonelli (come allievo della Scuola Normale Superiore), egli fu naturalmente portato a occuparsi del Calcolo delle variazioni, nel solco del cosiddetto “metodo diretto” inaugurato da Tonelli negli anni ’20. Fondamentali sono, in questo ambito, le sue ricerche su quei funzionali espressi da integrali doppi, e dipendenti da due curve, che egli chiamò integrali di Fubini-Tonelli. Faedo fu anche un grande maestro e un didatta straordinariamente efficace. Ma Faedo fu soprattutto, per l’insegnamento e per la ricerca, un grande organizzatore , nel senso più alto e più nobile che si possa attribuire a questa parola. La sua opera in questa direzione si rivolse dapprima alla scuola matematica pisana (che Leonida Tonelli, in punto di morte, gli aveva affidato in una sorta di testamento spirituale); poi si allargò gradualmente a tutta l’Università di Pisa (di cui Faedo fu a lungo Rettore) e infine all’intero sistema universitario italiano (Faedo fu infatti inventore e primo Presidente della Conferenza dei Rettori) e all’organizzazione della ricerca scientifica in Italia (Faedo fu anche Presidente del CNR). Quest’opera fu possibile grazie a un impegno appassionato e generoso, accompagnato e sorretto da una lucida e lungimirante intelligenza, da un geniale spirito d’innovazione, da un grande coraggio. Si pensi, ad esempio, all’ardire di progettare e di realizzare un corso di laurea in Informatica in anni nei quali la stessa parola Informatica non era ancora presente nei vocabolari della lingua italiana (tanto che si dovette sostituirla, nel titolo del corso, con la più dotta perifrasi Scienze dell’informazione). Si pensi ancora alla concezione e realizzazione della storica Calcolatrice elettronica pisana e dell’annesso Centro studi calcolatrice elettronica (divenuto più tardi Istituto per l’Elaborazione dell’Informazione, IEI). Si pensi infine alla creazione dell'istituto CNUCE dapprima come centro universitario di calcolo elettronico e poi come Istituto del CNR. Con la riforma del CNR i due istituti IEI e CNUCE sono stati fusi dando luogo all'ISTI, Istituto di Scienza e Tecnologie dell'Informazione Alessandro Faedo, la cui sede è presso l'area della ricerca del CNR di Pisa.

Teoria

- Fondamenti matematici dell'informatica
- Teoria dell'informazione
- Teoria del segnale
- Informatica quantistica
- Algoritmo
- Algoritmi genetici
- Algoritmi quantistici
- Intelligenza artificiale
- Reti neurali
- Ingegneria del software
- Computer grafica

Informatica applicata

- Linguaggi di programmazione (cfr. Cronologia)
- Linguaggi di markup o di formattazione
- Basi di dati
- Reti di calcolatori
- Sicurezza Informatica
- Architettura delle reti di elaboratori

Storia dell'Informatica

- Storia dell'informatica
- Cronologia dell'Informatica
- Calcolo meccanico
- Informatici celebri
- Storia del personal computer
- Storia di Internet

Hardware

- Architettura
- Computer
- SuperComputer
- Periferiche

Software

- Sistemi operativi
- Elenco di programmi per computer
- Utilità
- Sistemi Client/Server
- File

Organizzazioni

- Associazioni per l'informatica
- Industrie informatiche
- Laboratori per l'informatica
- Organizzazioni per il Web
- Progetti informatici
- Pubblicazioni informatiche

Voci correlate

- Software libero, Open source
- Software proprietario
- e-learning
- Grid Computing categoria:Informatica ja:情報工学 ko:전산학 simple:Computer science th:วิทยาการคอมพิวเตอร์

Sistema numerico binario

Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in base 2, cioè che utilizza 2 simboli, tipicamente 0 e 1, invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Di conseguenza, la cifra in posizione N (da destra) si considera moltiplicata per 2^N (anziché per 10^N come avverrebbe nella numerazione decimale). Ecco una tabella che confronta le rappresentazioni binarie, esadecimali e decimali di alcuni numeri: binario esadecimale decimale 0000 = 0 = 0 0001 = 1 = 1 0010 = 2 = 2 0011 = 3 = 3 0100 = 4 = 4 0101 = 5 = 5 0110 = 6 = 6 0111 = 7 = 7 1000 = 8 = 8 1001 = 9 = 9 1010 = A = 10 1011 = B = 11 1100 = C = 12 1101 = D = 13 1110 = E = 14 1111 = F = 15 È usato in informatica per la rappresentazione interna dei numeri, grazie alla semplicità di realizzare fisicamente un elemento con due stati anziché un numero superiore, ma anche per la corrispondenza con i valori logici vero e falso. È considerato tra le più grandi invenzioni del matematico tedesco G. Leibniz; purtroppo però essa cadde nel vuoto e solo nel 1847 verrà riscoperta, grazie al matematico inglese G. Boole, che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del '900 e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico. La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con d si indica la cifra di posizione n all'interno del numero, partendo da 0) è

d_2^ + ... + d_02^0 = N

Ad esempio

1001_2 = 1 - 2^3+0 - 2^2+0 - 2^1+1 - 2^0 = 9_

Rappresentazioni di numeri binari

I numeri binari, in campo informatico, non sono utilizzati esclusivamente per memorizzare numeri interi positivi ma, mediante alcune convenzioni, è possibile scrivere numeri binari con segno e parte decimale senza introdurre nuovi caratteri (come la virgola e il segno meno, non memorizzabili su di un bit).

Rappresentazione in modulo e segno

Questo è il modo più semplice per rappresentare e distinguere numeri positivi e negativi: al numero binario vero e proprio viene anteposto un bit che, per convenzione, assume il valore 0 se il numero è positivo ed assume il valore 1 se il numero è negativo. Il grande difetto di questa rappresentazione è quello di avere due modi per scrivere il numero 0: 00000000 e 10000000 significano infatti +0 e -0.

Rappresentazione in complemento a 2

Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze: in pratica ai numeri viene anteposto un bit di valore zero; se poi il numero è negativo è necessario convertirlo in complemento a 2: per farlo è sufficiente leggere il numero da destra verso sinistra e invertire tutte le cifre a partire dal primo bit pari a 0 (escluso). Per fare un esempio:

-12_ = -01100_2 = 10100_

Come è possibile notare seguendo questo metodo il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per il metodo precedente). Viene però risolto il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per spiegarmi meglio basta fare un esempio:

5_ - 10_ = 5_ + (-10)_ = 101_2 - 1100_2 = 00101_ + 10100_ = 11001_ = -00110_2 = -5_

Rappresentazione a virgola fissa

Dato che in un bit non è rappresentabile la virgola il metodo più semplice per rappresentare numeri frazionari è quello di scegliere arbitrariamente la posizione della virgola (ad es. se si sceglie di usare 4 bit per la parte intera e 4 per la parte frazionaria:

10100101_2

significa

1010,0101_2

Rappresentazione in virgola mobile P754

Esistono innumerevoli modi per rappresentare numeri in virgola mobile ma il sistema più utlizzato è lo standard IEEE P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente (

n^

). La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente: #Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario. #Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx. #Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria) #Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso 127, ovvero è necessario sommare 127 e convertire il numero risultante in binario. A questo punto abbiamo raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che abbiamo a disposizione possiamo utilizzare due formati: il formato a precisione singola (32 bit), il formato a precisione doppia (64 bit) ed il formato a precisione quadrupla (128 bit). #Nel primo caso possiamo scrivere il valore utilizzando 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente e 23 bit per la mantissa #Nel secondo caso servirà 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente e 52 per la mantissa. #Nel terzo caso servirà 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente e 112 per la mantissa. Per esempio, convertiamo il valore

-14,3125_

in binario P754 single: #Convertiamo prima di tutto il numero:

14_ = 1100_2

per la parte intera e

0,3125_ = 0,0101_2

. Quindi il numero definitivo è

1100,0101_2

(segno escluso). #Dividiamo poi il numero per 2 per ottenere la seguente notazione:

1100,0101_2 = 1,1000101_2  -  2^3

#La mantissa diventa, quindi: 1000101. #Per esprimere l'esponente in eccesso 127, infine:

127 + 3 = 130_ = 10000010_2

Il numero, alla fine, sarà espresso nel formato: 1 10000010 10001010000000000000000

Vedi anche

- Potenza di due
- Sistema numerico esadecimale
- Conversione tra basi potenze di 2
- Sistemi di numerazione
- Sistema numerico ottale
- Sistema numerico decimale
- Sistema numerico esadecimale ja:二進記数法 ko:이진법 th:เลขฐานสอง

Overflow

Il termine overflow (in italiano: traboccamento) viene utilizzato per indicare che il volume di una sostanza eccede il volume del contenitore. Nelle telecomunicazioni il termine overflow caratterizza un eccesso di traffico in un determinato sistema di comunicazione. In campo informatico il termine overflow può indicare due tipi di situazioni: # larithmetic overflow, dovuto a delle operazioni aritmetiche che danno un risultato troppo grande per essere memorizzato nello spazio che il programmatore aveva messo a disposizione per il risultato stesso; # lo stack overflow, dovuto ad una creazione eccessiva, da parte di un programma, di cosiddetti stack frames (in italiano record di attivazione) che servono per riservare una parte della memoria del sistema portando il sistema stesso all'esaurimento della memoria disponibile. Un altro significato di overflow nel campo informatico da un punto di vista di comunicazioni di rete riguarda il buffer overflow che si verifica quando il flusso di dati in arrivo è maggiore della memoria di sistema che il programmatore ha riservato per quel determinato tipo di dati. Questa è anche una tecnica utilizzata da vari tipi di pirati informatici per cercare di ottenere privilegi particolari di accesso ad un sistema (il cosiddetto exploit). Categoria:Informatica Categoria:Sicurezza informatica

Or esclusivo

La disgiunzione esclusiva "o" (simbolo usuale: xor) è un connettivo logico che restituisce vero se, e solo se, uno degli operandi è vero, ma non entrambi.

Definizione

In Italiano ed altre lingue bisogna prestare particolare attenzione al significato della parola o. L'or esclusivo di due proposizioni A e B significa A o B, ma non entrambe. Come nella frase "Andrò al cinema o al mare", si suppone che non si possa fare entrambe le cose. In logica, invece, la parola "o" si riferisce alla disgiunzione logica. Più formalmente, lor esclusivo è un operatore logico. L'operazione restituisce il risultato VERO se, e solo se, uno solo dei suoi operandi è VERO. Lor esclusivo tra due proposizioni A e B solitamente si scrive A xor B, dove "xor" sta per la traduzione inglese di "or esclusivo", "eXclusive OR".

Voci correlate

- disgiunzione inclusiva
- congiunzione
- negazione
- XNOR Categoria:Logica ja:排他的論理和

Categoria:Informatica

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