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Emile Borel

Emile Borel

Félix Edouard Justin Émile Borel (7 gennaio 1871 - 3 febbraio 1956), matematico e politico francese. Borel studiò alla Scuola Normale Superiore e nel 1893 (a 23 anni) copre la cattedra di matematica all'Università di Lille per poi passare alla Scuola Normale Superiore nel 1896. Nel 1909 gli viene assegnata la cattedra per la teoria delle funzioni appositamente creata per lui. Dal 1910 al 1920 è direttore della Scuola Normale Superiore e nel 1921 diventa membro dell'Accademia delle Scienze, della quale nel 1934 diventa presidente. Borel è stato dal 1924 al 1936 deputato del parlamento francese e dal 1925 al 1940 Ministro della marina. Dopo un breve periodo in carcere durante il governo di Vichy collaborò con la Resistenza. In ambito scientifico diede importanti contributi nell'ambito della topologia, teoria della misura, della probabilità e dei giochi

Scritti

- Le Hasard (1913),
- L'éspace et le temps (1921),
- Traité du calcul de probabilité et ses applications (1924-34),
- Les paradoxes de l'infini (1946)

Voci correlate

- Campo di Borel
- Teorema di Heine-Borel
- Teorema di Borel-Cantelli
- Misura di Borel
- Subalgebra di Borel o algebra di Borel e sigma-algebra
- Paradosso di Borel o paradosso della scimmia o paradosso di Borel-Kolmogorov Borel, Emile Borel, Emile

7 gennaio

Il 7 gennaio è il 7° giorno del Calendario Gregoriano, mancano 358 giorni alla fine dell'anno (359 negli anni bisestili).

Eventi

- 1325 - Alfonso IV diventa Re del Portogallo.
- 1558 - La Francia prende Calais, ultimo possedimento continentale dell'Inghilterra.
- 1566 - Pio V diventa Papa.
- 1598 - Boris Godunov si prende il trono di Russia.
- 1601 - Robert Devereux, Conte di Essex, guida la rivolta contro la Regina Elisabetta a Londra
- 1610 - Galileo Galilei osserva per la prima volta le lune di Giove, dette Lune galileiane.
- 1782 - Apre la prima banca commerciale statunitense (Bank of North America).
- 1785 - Il francese Jean-Pierre Blanchard e lo statunitense John Jeffries viaggiano da Dover (Inghilterra), a Calais (Francia) in un pallone a gas, diventando i primi ad attraversare la Manica via aria.
- 1797 - Italia: nasce il primo tricolore italiano (vedasi Bandiera italiana), come bandiera della Repubblica Cispadana.
- 1835 - Il HMS Beagle si ancora al largo dell'Arcipelago Chonos.
- 1894 - W.K. Dickson riceve un brevetto per il film.
- 1904 - Viene stabilito il segnale d'allarme "CQD", verrà rimpiazzato due anni dopo dall'"SOS".
- 1922 - Il Dáli Éireann ratifica il Trattato Anglo-Irlandese per 64 voti a 57.
- 1924 - George Gershwin completa la Rapsodia in blu.
- 1927 - Prima telefonata transatlantica tra New York e Londra.
- 1927 - Gli Harlem Globetrotters giocano la loro prima partita.
- 1935 - Benito Mussolini e il ministro degli esteri francese Pierre Laval firmano gli accordi Italo-Francesi.
- 1942 - Seconda guerra mondiale: inizia l'assedio della Penisola di Bataan.
- 1945 - Il Generale britannico Bernard Montgomery tiene una conferenza stampa nella quale si arroga il merito della vittoria nella Battaglia del Bulge.
- 1953 - Il presidente statunitense Harry Truman annuncia che gli USA hanno sviluppato la bomba all'idrogeno.
- 1954 - La prima dimostrazione di un sistema di traduzione automatica viene tenuta a New York negli uffici della IBM.
- 1959 - Gli Stati Uniti riconoscono il nuovo governo cubano di Fidel Castro.
- 1975 - L'OPEC accetta di alzare il prezzo del petrolio del 10%.
- 1979 - Pol Pot e i Khmer Rossi vengono rovesciati dalle truppe vietnamite.
- 1984 - Il Brunei diventa il sesto membro dell'ASEAN.
- 1989 - Akihito diventa Imperatore del Giappone.
- 1990 - Per motivi di sicurezza viene chiusa al pubblico la Torre di Pisa.
- 1997 - Un team di programmatori dell'Università di Regensburg (Germania), rilascia Tibia, uno dei primi MMORPG grafici.
- 1999 - Inizia il processo per l'impeachment del presidente statunitense Bill Clinton.

Nati

- 1502 - Papa Gregorio XIII († 1585)
- 1539 - Sebastián de Covarrubias Horozco, lessicografo spagnolo
- 1612 - Paul de La Pierre, compositore
- 1768 - Giuseppe Bonaparte, Re di Napoli († 1844)
- 1800 - Millard Fillmore, politico statunitense († 1874)
- 1831 - Heinrich von Stephan, fondatore dell'Unione postale universale († 1897)
- 1834 - Johann Philipp Reis, fisico ed inventore tedesco († 1874)
- 1844 - Bernadette Soubirous, santa francese († 1879)
- 1871 - Felix Édouard Justin Émile Borel, matematico, politico, statista, partigiano francese († 1956)
- 1873 - Adolph Zukor, produttore cinematografico ungherese († 1976)
- 1875
- Gustav Felix Flatow, ginnasta tedesco († 1945)
- Thomas Hicks, maratoneta statunitense († 1963)
- 1890 - Henny Porten, attrice tedesca († 1960)
- 1891 - Zora Neale Hurston, scrittore statunitense († 1960)
- 1896 - Arnold Ridley, attore e autore teatrale britannico († 1984)
- 1898 - Rudolf Fernau, attore tedesco († 1985)
- 1899 - Francis Poulenc, compositore francese († 1963)
- 1908 - Red Allen, jazzista statunitense († 1967)
- 1910 - Orval Faubus, politico statunitense († 1994)
- 1911 - Butterfly McQueen, attrice statunitense († 1995)
- 1912
- Charles Addams, fumettista statunitense († 1988)
- Günther Wand, direttore d'orchestra
- 1916 - Paul Keres, scacchista estone († 1975)
- 1918 - Alessandro Natta, politico italiano
- 1922 - Jean-Pierre Rampal, flautista francese († 2000)
- 1923 - Pinkas Braun, attore e regista svizzero
- 1925 - Gerald Durrell, naturalista, zoologo, scrittore e presentatore televisivo britannico († 1995)
- 1928 - William Peter Blatty, sceneggiatore statunitense
- 1934 - Charlie Jenkins, corridore statunitense
- 1935 - Valeri Kubasov, astronauta
- 1938 - Albino Toffoli, tenore italiano
- 1942 - Paul Revere, cantante e musicista statunitense
- 1943 - Sadako Sasaki, vittima giapponese della bomba atomica
- 1948 - Kenny Loggins, cantante statunitense
- 1950 - Erin Gray, attrice statunitense
- 1956 - David Caruso, attore statunitense
- 1957
- Nicholson Baker, scrittore statunitense
- Julian Solis, pugile portoricano
- 1964 - Nicholas Cage, attore statunitense
- 1967 - Ole Kristian Furuseth, sciatore norvegese
- 1968 - Mike Rosati, giocatore di hockey su ghiaccio italiano
- 1971 - David Yost, attore statunitense
- 1977 - Dustin Diamond, attore statunitense
- 1979 - Marco Mordente, giocatore di pallacanestro italiano

Morti

- 312 - Luciano di Antioco, teologo e santo
- 1285 - Carlo I d'Angiò, re di Napoli e di Sicilia
- 1325 - Re Denis del Portogallo (n. 1261)
- 1536 - Caterina d'Aragona, regina d'Inghilterra (n. 1485)
- 1598 - Fedor I di Russia, zar di Russia
- 1650 - Suor Virginia De Leyva (la presunta Monaca di Monza)
- 1783 - Giovanni Targioni Tozzetti, naturalista (n. 1712)
- 1864 - Caleb Blood Smith, politico statunitense (n. 1808)
- 1872 - James Fisk, imprenditore statunitense (n. 1834)
- 1893 - Jožef Stefan, fisico, matematico e poeta sloveno (n. 1835)
- 1920 - Edmund Barton, politico australiano (n. 1849)
- 1929 - Eugenio Tosi (n. 1864), Arcivescovo di Milano (7 marzo 1922 - 7 gennaio 1929), Cardinale (nominato nel Concistoro dell'11 novembre 1922 da Papa Pio XI)
- 1943 - Nikola Tesla, inventore e ingegnere statunitense di origine serba (n. 1856)
- 1972 - John Berryman, poeta statunitense (n. 1914)
- 1988 - Trevor Howard, attore britannico (n. 1913)
- 1989 - Imperatore Hirohito del Giappone (n. 1901)
- 1995 - Murray Rothbard, economista statunitense (n. 1926)
- 1998 - Vladimir Prelog, chimico croato (n. 1906)
- 2002 - Avery Schreiber, attore statunitense (n. 1935)
- 2005
- Guy Davenport, saggista e poeta statunitense
- Rossana Maiorca, ex campionessa del mondo di immersione in apnea

Feste e ricorrenze

Nazionali

- Festa del Tricolore, bandiera nazionale italiana

Religiose

- Questo giorno viene celebrato come il Natale da molte Chiese Ortodosse. Ad esempio dagli ortodossi Copti, Macedoni, Serbi, Russi, così come la Chiesa Greca Ortodossa di Atene e dell'Egitto. Santi cattolici:
- San Carlo da Sezze, frate laico francescano
- San Crispino I, vescovo
- San Luciano di Antiochia, martire
- San Raimondo de Penafort, sacerdote
- San Rinaldo di Colonia, monaco
- Santa Virginia

Laiche

07 ja:1月7日 ko:1월 7일 simple:January 7

1871

Eventi

Nati

- 7 gennaio - Felix Édouard Justin Émile Borel, matematico, politico, statista, partigiano francese
- 18 febbraio - George Udny Yule, statistico scozzese
- 27 marzo - Heinrich Mann, scrittore tedesco
- 27 maggio - Georges Rouault, pittore francese († 1958)
- 5 giugno - Michele Angiolillo, anarchico italiano
- 19 giugno
- Fritz Hofmann, ginnasta e atleta tedesco, campione olimpico alla I Olimpiade († 1927)
- Alojz Szokol, atleta slovacco, campione olimpico alla I Olimpiade († 1932)
- 10 luglio - Marcel Proust, scrittore francese († 1922)
- 19 agosto - Orville Wright, pioniere del volo († 1948)
- 22 settembre - Charlotte Cooper, tennista inglese
- 27 settembre - Grazia Deledda, scrittrice italiana(† 1936)
- 26 novembre - Don Luigi Sturzo, sacerdote italiano senatore a vita dal 1953

Morti

- 11 maggio - John Herschel, astronomo britannico
- 11 luglio - Germain Sommeiller, ingegnere italiano 071 ko:1871년 simple:1871

1956

Eventi

- Estensione dei premi Golden Globe a serie televisive
- La canzone Che bambola di Fred Buscaglione è il successo musicale dell'anno in Italia
- Sotto l'Oceano Atlantico viene steso il primo cavo per trasmissioni in fonia, equipaggiato con speciali amplificatori-ripetitori valvolari posizionati ogni 39 miglia nautiche.
- Dal 26 gennaio al 5 febbraio - Cortina d'Ampezzo ospita la VII Olimpiade Invernale.
- 20 marzo - Tunisia/Francia: La Francia concede l'indipendenza alla Tunisia
- 28 marzo - Marocco/Francia: La Francia concede l'indipendenza al Marocco
- 19 aprile - matrimonio tra Grace Kelly e Ranieri di Monaco
- 24 luglio - USA: si interrompe il sodalizio artistico tra Dean Martin e Jerry Lewis, durato 10 anni
- 8 agosto - Marcinelle (Belgio): Disastro nella miniera di carbone. Muoiono 262 minatori, di cui 136 italiani.
- 23 ottobre - Ungheria: Inizio della Rivoluzione
- 29 ottobre - Medio Oriente: Inizia la seconda guerra Arabo-Israeliana
- 1 novembre - Ungheria esce dal Patto di Varsavia
- 4 novembre - Ungheria: l'Armata rossa entra nel Paese e i moti rivoluzionari vengono sedati con l'intervento delle forze armate sovietiche.
- 13 novembre - USA: la Corte Suprema dichiara incostituzionale la segregazione sugli autobus pubblici.
- 22 novembre - Melbourne: viene inaugurata la XVI Olimpiade

Nati

- 3 gennaio - Gioele Dix, attore teatrale e cinematografico italiano
- 9 gennaio - Imelda Staunton, attrice statunitense
- 31 gennaio - John Joseph Lydon (Johnny Rotten), cantante dei Sex Pistols
- 18 marzo - Ingemar Stenmark, sciatore svedese
- 3 aprile - Miguel Bosé, cantante e attore ispano-italiano
- 4 aprile - David E. Kelley, scrittore e produttore televisivo
- 30 aprile -
- Lars von Trier, regista, attore, sceneggiatore e pittore danese
- Jorge Chaminé, baritono, attore, direttore di CIMA
- 24 maggio - Guglielmo Guerrini, allenatore italiano di canoa/kayak
- 29 agosto - GG Allin, cantante in vari gruppi punk estremi (m. 1993)
- 23 settembre - Paolo Rossi, calciatore italiano
- 29 settembre - Sebastian Coe, mezzofondista britannico
- 6 dicembre - Randy Rhoads, musicista americano
- 7 dicembre - Larry Bird, cestista statunitense

Morti

- 31 gennaio - A. A. Milne, scrittore britannico
- 3 febbraio - Felix Édouard Justin Émile Borel, matematico, politico, statista, partigiano francese
- 3 marzo - Francesco Arata, artista e pittore (n. 1890)
- 13 aprile - Emil Nolde, pittore tedesco (n. 1867)
- 8 luglio - Giovanni Papini, scrittore italiano (n. 1881)
- 14 luglio - John Wishart, statistico scozzese (n. 1898)
- 11 agosto - Jackson Pollock, pittore statunitense (n. 1912)
- 16 agosto - Bela Lugosi, attore ungherese (n. 1882)
- 29 settembre - Anastasio Somoza García presidente del Nicaragua (n. 1896)
- 16 ottobre - Jules Rimet, dirigente sportivo francese
- 26 ottobre - Otto Scheff, nuotatore austriaco (n. 1889)
- 29 ottobre - Louis Rosier, pilota automobilistico francese
- 12 dicembre - Lorenzo Perosi, compositore italiano (n. 1872)
- 13 dicembre - Arthur Grimble, scrittore britannico (n. 1888)

Premi Nobel

- per la Pace: non è stato assegnato
- per la Letteratura: Juan Ramón Jiménez
- per la Medicina: Andre Frederic Cournand, Werner Forssmann, Dickinson W. Richards
- per la Fisica: John Bardeen, Walter Houser Brattain, William Shockley
- per la Chimica: Cyril Norman Hinshelwood, Nikolay Nikolaevich Semenov 056 ja:1956年 ko:1956년 simple:1956 th:พ.ศ. 2499

Topologia

La topologia o studio dei luoghi (dal greco τοπος, luogo, e λογος) è una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. La topologia si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico e omeomorfismo. Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico. Per esempio un cubo solido e una sfera solida sono omeomorfi, cioè si può deformare l'uno fino ad ottenere l'altro senza ricorrere a nessuna incollatura, strappo o sovrapposizione: non è possibile invece, per esempio, deformare una sfera in un cerchio con lo stesso sistema, perché la dimensione di un oggetto è una proprietà topologica, che non cambia con le trasformazioni. In questo senso la topologia indaga le proprietà più profonde delle figure geometriche.
Storia
omeomorfismo L'antenata della topologia è stata la geometria antica. L'articolo di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici. Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nello spazio euclideo verso la fine del XIX secolo. Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli e altri, nel 1906 introdusse il concetto di spazio metrico. Nel 1914 Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine di spazio topologico e definì quello che oggi è detto spazio di Hausdorff. Finalmente, nel 1922 Kuratowsky, con una ulteriore lieve generalizzazione fornì il concetto odierno di spazio topologico.
Introduzione elementare
Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dalla geometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la compattezza e la continuità. La topologia algebrica invece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti" (ad esempio numeri, gruppi, o anelli), più calcolabili, spesso servendosi di funtori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebra e sulla geometria algebrica. La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio il teorema della sfera pelosa della topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per i Ponti di Königsberg, il risultato non dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purchè la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi. Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione di equivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo fra loro: in questo caso sono detti omeomorfi e sono, ai fini topologici, esattamente identici. Un omeomorfismo è formalmente definito come una funzione biettiva continua dotata di una inversa continua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due. Ad esempio, una tazza ed una ciambella sono omeomorfi: center Un semplice esercizio introduttivo è di classificare le lettere minuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica: per semplicità assumiamo che le linee delle lettere abbiano larghezza finita e diversa da zero. In quasi tutti i font di uso comune possiamo trovare una classe di lettere con un buco, una classe di lettere senza buchi e una classe di lettere costituite da due parti distinte (a seconda del font, la g può appartenere alla classe con un solo buco o costituire l'unico elemento della classe di lettere con due buchi). Per un esercizio più complicato, si può assumere che le linee abbiano larghezza zero: si possono ottenere molte classificazioni diverse a seconda del tipo di font che viene usato.
Alcuni teoremi di topologia generale

- Ogni intervallo chiuso e limitato in R è un compatto. Di più: in Rⁿ, un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. (Vedi il Teorema di Heine-Borel).
- Ogni immagine continua di uno spazio compatto è compatta.
- Teorema di Tychonoff: qualunque prodotto di spazi compatti è compatto.
- Un sottospazio compatto di un sottospazio di Hausdorff è chiuso.
- Ogni successione di punti in uno spazio metrico compatto ha (almeno) una sottosuccessione convergente.
- Ogni intervallo in R è connesso.
- L'iimagine continua di uno spazio connesso è connessa.
- Uno spazio metrico è anche uno spazio di Hausdorff, e anche normale e paracompatto.
- Il teorema di metrizzazione fornisce condizioni necessarie e sufficienti per una topologia su uno spazio metrico.
- Il teorema dell'estensione di Tietze: In uno spazio normale, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottospazio chiuso può essere estesa ad una mappa continua definita sull'intero spazio.
- Il teorema delle categorie di Baire: Se X è uno spazio metrico completo o uno spazio di Hausdorff localmente compatto, allora l'interno di ogni unione di insiemi numerabili discreti è vuoto.
- Su uno spazio di Hausdorff paracompatto, ogni ricoprimento aperto ammette una partizione di unità subordinata alla copertura.
- Ogni spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e semi-localmente semplicemente connesso ha un rivestimento universale.
Alcune nozioni utili dalla topologia algebrica
Vedi anche elenco di argomenti di topologia algebrica.
- Omologia e coomologia: numeri di Betti, caratteristica di Eulero.
- Applicazioni interessanti: teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di Borsuk-Ulam, teorema del sandwich al prosciutto.
- Gruppi omotopici (compreso il gruppo fondamentale).
- Classi di Chern, classi di Stiefel Whitney, classi di Pontrjagin.
Schema generale della teoria

- Spazio topologico
- Insiemi aperti, insiemi chiusi, base, prebase, frontiera, parte interna, chiusura
- Assioma di separazione Assiomi di separazione
- Assiomi T0-T5, spazio di Hausdorff
- Lemma di Urysonn
- Spazi metrici
- Compattezza
- Compattezza per successioni e compattezza topologica
- Compattificazione di Alexandroff
- Compattificazione di Stone-Cech
- Connessione
- Connessione e connessione per archi
- successioni di fibre: successioni di Puppe, calcoli
- Gruppi di sfere omotopici
- Teoria dell'ostruzione
- K-teorie: KO-teora, K-teorie algebriche
- teoria della omotopia stabile
- Teorema della rappresentabilità di Brown
- (Co)bordismo
- Firme
- BP di Brown-Peterson e K-teoria Morava
- Ostruzione chirurgica
- H-spaces, infinite loop spaces, A_∞ rings
- Teoria omotopica degli schemi affini
- Coomologia di intersezione
Generalizzazioni
A volte serve usare gli strumenti della topologia, ma non è disponibile un "insieme di punti". Si può allora ricorrere alla topologia formale, basata sull'ordinamento e la convergenza di insiemi aperti come fondamento teorico; mentre la topologie di Grothendieck sono strutture particolari definite su categorie formali che permettono la definizione di sheaves su tali categorie, e con esse la definizione di teorie di coomologia molto generali.
Voci correlate

- elenco di articoli di topologia generale
- Spazio topologico, elenco di argomenti generali di topologia
- Topologia geometrica, elenco di argomenti di topologia geometrica
- Topologia differenziale
- Topologia di rete (matematica)
- Link topology
- Topologia dell'universo
- Mappe di copertura
Collegamenti esterni

- [http://dmoz.org/Science/Math/Topology/ categoria ODP] Categoria:Topologia ja:位相幾何学 ko:위상수학 simple:Topology Categoria:Matematica

Teoria della misura

In matematica una misura è una funzione che assegna un numero reale non negativo a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione; in particolare si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità a eventi. La teoria della misura è la branca dell'analisi reale che studia sigma-algebre, misure, funzioni misurabili e integrali. Essa viene ampiamente utilizzata nel calcolo delle probabilità e nella statistica. Vedi anche integrazione di Lebesgue e misura di Lebesgue

Definizioni formali

Formalmente una misura numerabilmente additiva μ è una funzione definita sopra una sigma-algebra

\mathcal

di sottoinsiemi di un certo insieme X con valori nell'intervallo esteso [0, ∞] tale da soddisfare le seguenti proprietà:
- L'insieme vuoto ha misura zero: ::

\mu(\emptyset) = 0 \,\!

.
- Additività numerabile o σ-additività: se E₁, E₂, E₃, ... è una successione di insiemi mutuamente disgiunti in

\mathcal

, ::

\mu(\bigcup_^ E_i) = \sum_^ \mu(E_i)

. I membri di

\mathcal

sono detti insiemi misurabili e la struttura

(X, \mathcal, \mu)

viene detta spazio di misura. Le proprietà seguenti possono essere derivate dalla definizione precedente.
- Monotonicità: Se E₁ ed E₂ sono insiemi misurabili ::

E_1 \subseteq E_2 ~\Longrightarrow~ \mu(E_1) \leq \mu(E_2)  \,\!

- Se E₁, E₂, E₃, ... sono insiemi misurabili ed E_n è un sottoinsieme di E_n+1 per tutti gli n, allora l'unione degli insiemi E_n è misurabile ::

\mu(\bigcup_i E_i) = \lim_i \mu(E_i)

- Se E₁, E₂, E₃, ... sono insiemi misurabili ed E_n+1 è un sottoinsieme di E_n per tutti gli n, allora l'intersezione degli insiemi E_n è misurabile; inoltre se almeno uno degli E_n ha misura finita, allora ::

\mu(\bigcap_i E_i) = \lim_i \mu(E_i)

Misure sigma-finite

Uno spazio di misura Ω si dice finito se μ(Ω) è un numero reale finito (e non infinito). Si dice invece σ-finito se Ω è l'unione numerabile di insiemi misurabili di misura finita. Un insieme in uno spazio di misura si dice avere misura σ-finita se è una unione di insiemi di misura finita. Per esempio i numeri reali con la usuale misura di Lebesgue sono σ-finiti ma non finiti. Si considerino gli intervallo chiuso [k,k+1] per tutti gli interi k; vi è un insieme contabile di tali intervalli, ciascuno avente misura 1, e la loro unione è l'intera retta reale. Alternativamente, si considerino i numeri reali con la misura di conteggio, che assegna ad ogni insieme finito di numeri reali il numero di punti nel'insieme. Questa misura non è σ-finita, in quanto ogni insieme con misura finita contiene solo un insieme finito di punti e sarebbe necessario un insieme non numerabile di tali insiemi per coprire l'intera retta reale. Gli spazi di misura σ-finita risultano avere alcune proprietà molto apprezzabili; la σ-finitezza può essere confrontata alla separabilità degli spazi topologici.

Completezza

Un insieme misurabile S è chiamato insieme di misura nulla se μ(S) = 0. La misura μ è chiamata completa se ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile (e di conseguenza esso stesso risulta insieme di misura nulla). È banale estendere una misura ad una completa; basta considerare la σ-algebra di sottoinsiemi S' che differisce per un insieme di misura nulla da un insieme S misurabile, che è tale che la differenza simmetrica tra S ed S' è nulla.

Esempi

Alcune importanti misure sono brevemente introdotte qui di seguito.
- La misura di conteggio è definita da μ(S) := numero di elementi nell'insieme S.
- La misura di Lebesgue è l'unica misura completa invariante per traslazione sopra una sigma algebra contenente gli intervalli in R tale che μ([0,1]) = 1.
- La misura di Haar per un gruppo topologico localmente compatto è una generalizzazione della misura di Lebesgue ed ha una proprietà di unicità simile alla precedente
- La misura zero è definita da μ(S) := 0 per ogni insieme S.
- Ad ogni spazio di probabilità si associa una misura che assume il valore 1 sull'intero spazio (e di conseguenza assume tutti i suoi valori nell'intervallo unitario [0,1]). Questa misura viene detta misura di probabilità. Vedi anche assiomi della probabilità.

Generalizzazioni

Per certe attività risulta utile disporre di varianti della misura vista in precedenza che possa assumere valori non ristretti ai reali non negativi o a + infinito. Innanzi tutto servono funzioni su insiemi numerabilmente additive che assumono valori dati da numeri reali (con segno): servono ad es. aree e volumi negativi; queste sono chiamate misure con segno. Funzioni su insiemi numerabilmente additive che possono assumere valori complessi si dicono misure complesse. Si studiano poi misure con codominio in uno spazio di Banach chiamate misure spettrali; queste sono usate principalmente in analisi funzionale per enunciati del genere teorema spettrale. Per distinguere le usuali misure a valori positivi dalle generalizzazioni le si chiama "misure positive". Altre generalizzazioni sono le misure finitamente additive. Queste differiscono dalle precedenti in quanto invece della additività numerabile posseggono soltanto la additività finita. Storicamente questa definizione è stata usata per prima, ma non si è rivelata sufficientemente utile. Si rivela che in generale, le misure finitamente additive sono collegate a nozioni come quella dei limiti di Banach, la duale dello spazio L^∞ e della compattificazione di Stone - Čech. Tutte queste nozioni sono collegate, più o meno direttamente, all'assioma della scelta. L'importante risultato della geometria integrale noto come teorema di Hadwiger stabilisce che lo spazio delle funzioni di insieme non necessariamente non negative invarianti per traslazione e finitamente additive definite sopre le unioni finite di insiemi compatti convessi in Rⁿ consiste (a meno di multipli scalari) di una "misura" che è "omogenea di grado k" per qualsiasi k=0,1,2,...,n e di combinazioni lineari di tali "misure". La specificazione "omogeneo di grado k" significa che riscalando di un qualsiasi fattore c>0 tutti gli insiemi si moltiplica la "misura" di insieme per c^k. La misura omogenea di grado n è l'ordinario volume n-dimensionale. Quella omogenea di grado n-1 è il "volume di superfice". Quella omogenea di grado 1 è una misteriosa funzione chiamata, con un termine piuttosto oscuro, "ampiezza media". La misura omogenea di grado 0 è la caratteristica di Euler.
Argomenti correlati

- Misura esterna
- Misura di Hausdorff
- Misura di Haar
- Misura di Lebesgue
- Misura di Riemann
- Misura di probabilità
Bibliografia

- P. Halmos (1950): Measure theory, D. van Nostrand and Co.
- M. E. Munroe (1953): Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley Categoria:Teoria della misura ja:測度論

Probabilità

Quello della probabilità è un concetto che - utilizzato a partire dal '600 - è diventato con il passare del tempo la base di una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui faranno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali. Vedasi anche: Teoria della probabilità.

Metodologia

Le tre definizioni

- Definizione classica: La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili.
- Definizione frequentista: La probabilità di un evento è il limite della frequenza (relativa) dei successi, cioè del verificarsi dell'evento, quando il numero delle prove tende all'infinito.
- Definizione soggettiva: La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica (e 0 altrimenti). Quindi se i casi possibili sono n e l'insieme dei casi favorevoli sono n_A, per la teoria classica la probabilità che accada l'evento A sarà: :

p_A = \frac

mentre per la teoria frequentista essa sarà: :

p_A = \lim_ \frac

Infatti la teoria classica considera che tutti i casi siano equiprobabili, cosa che, invece, nella realtà non accade sempre. La legge frequentista, infatti, considera ciò e, quindi, si basa sulla sperimentazione per cui è una legge sperimentale detta anche legge empirica del caso. Diverso l'approccio bayesiano di cui è importante rappresentante Bruno de Finetti. Questa teoria introduce la speranza matematica. Un esempio, dovuto al de Finetti, chiarisce tutto. Immaginiamo che ci sia una partita di calcio e che lo spazio dei tre eventi siano la vittoria della squadra di casa, la vittoria della squadra ospite e il pareggio. Vediamo cosa accade con i tre approcci:
- secondo la teoria classica esiste 1 probabilità su 3 che avvenga il primo evento
- secondo la teoria frequentista ci si può dotare di un almanacco e controllare tutte le partite precedenti e calcolare la frequenza di un evento
- oppure, secondo la teoria soggettiva, ci si può documentare sullo stato di forma dei calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una probabilità soggettiva. Risulta interessante notare che nella definizione classica è contenuto un vizio logico. Il fatto di supporre che tutti i casi siano egualmente possibili implica di avere definito in precedenza la probabilità nel momento stesso in cui la si definisce.

Definizione Frequentista

Calcolo delle probabilità In matematica con il calcolo delle probabilità si studiano gli eventi casuali probabili, cioè quegli eventi che possono o non possono verificarsi e che dipendono unicamente dal caso. Tale studio permette di assegnare agli eventi casuali o aleatori un valore numerico al fine di poter confrontare oggettivamente tali eventi e decidere quale tra essi ha maggiore probabilità di verificarsi. La probabilità matematica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero degli casi possibili ammettendo che tutti i casi abbiano la stessa possibilità di verificarsi. Nel lancio casuale di un dado l'uscita della faccia con il numero 2 ha una probabilità matematica di 1/6 in quanto i casi possibili sono 6 avendo il dado 6 facce e il numero dei casi favorevoli all'evento "uscita della faccia 2" è 1 in quanto una sola faccia del dado porta impresso il numero 2. Gli eventi casuali probabili vengono così associati ad un numero compreso tra 0 e 1: la sua probabilità matematica calcolata nel modo descritto sopra. Quando non è noto il numero dei casi favorevoli o il numero dei casi possibili o sono ignoti entrambi per un evento casuale è evidente che non si può calcolare la sua probabilità matematica. Si ricorre in questo caso alla probabilità statistica determinata osservando un modello naturale o artificiale dell'evento casuale da studiare. Se il campione è abbastanza grande, la legge dei grandi numeri dice che è lecito considerare la frequenza dell'evento uguale alla sua probabilità statistica.

La definizione frequentista poggia su quella che è definita legge (o postulato) empirica del caso ovvero legge dei grandi numeri: in una successione di prove fatte nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell'evento stesso, e l'approssimazione tende a migliorare con l'aumentare delle prove.

Impostazione assiomatica

L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità), sviluppando la ricerca che era ormai cristallizzata sul dibattito fra quanti consideravano la probabilità come limiti di frequenze relative (cfr. impostazione frequentista) e quanti cercavano un fondamento logico della stessa. La sua impostazione assiomatica si mostrava adeguata a prescindere dall'adesione a una o all'altra scuola di pensiero. # Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio S, e formano una classe additiva A. # Ad ogni a appartenente alla classe A è assegnato un numero reale non negativo P(a) e mai superiore ad uno, detto probabilità di a. # P(S)=1, ovvero la probabilità di un evento certo è pari ad 1 # Se l'intersezione tra a e b è vuota, allora P(a U b)=P(a)+P(b) # Se A(n) è una successione decrescente di eventi e al tendere di n all'infinito l'intersezione degli A(n) tende a 0, allora lim P(A(n))=0

Teoremi

Dai suddetti assiomi derivano alcuni teoremi fondamentali, quali
- il teorema della probabilità totale: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- il teorema della probabilità composta: P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A)
- il teorema della probabilità assoluta: P(B) = Σ_iP(A_i)P(B|A_i)
- il teorema di Bayes: P(A_k | B) = P(A_k)P(B|A_k) / Σ_iP(A_i)P(B|A_i) nonché concetti chiave come
- la probabilità condizionata: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
- l'indipendenza stocastica: P(A | B) = P(A)

Cenni storici

I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galileo Galilei (pubblicato nel 1656) nei quali i due autori ottengono degli elenchi di numeri facendo ricorso alle permutazioni. Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto, venne affrontato da Fra Luca dal Borgo (detto Paccioli) in Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicato nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat. La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a due grandi scienziati quali erano Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), in particolar modo nella corrispondenza che si scambiavano discutendo di un problema legato al gioco d'azzardo: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché si possa scommettere con vantaggio che esca il doppio sei?
(nota: vedi riquadro sul calcolo delle probabilità) Nello stesso periodo Christiaan Huygens (1629-1695) scrive de ratiociniis in aleæ lugo nel quale utilizza il concetto di valore atteso e il campionamento statistico con e senza riposizione (vedi rispettivamente v.c.Ipergeometrica e v.c.Binomiale). I suoi lavori influenzano tra l'altro Pierre de Montmort (1678-1719) che scrive nel 1708 Essai d'analyse sur le jeux de hasard, ma anche Jakob Bernoulli e Abraham de Moivre. Pascal annuncia nel 1654 all'Accademia di Parigi che sta lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propone la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni. Nel 1713 Jakob Bernoulli formula in Ars conjectandi il primo teorema limite, ovvero la legge dei grandi numeri. Solo nel '900, negli anni '30, si viene a creare pure una moderna teoria della probabilità grazie soprattutto a Andrey Nikolaevich Kolmogorov che nel 1933 sviluppa la teoria assiomatica in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ispirandosi alla teoria della misurazione o delle scale di misura il cui dibattito - in quel periodo - era particolarmente acceso tra le psico-discipline. Nella prima metà del '900 si imposta anche la teoria soggettivista, la cui formulazione è dovuta a Bruno de Finetti.

Voci correlate

- Teoria della probabilità
- Teorema di Cox
- Campionamento statistico
- Legge dei grandi numeri
- Kolmogorov, Bruno de Finetti
- Meccanica quantistica
- Statistica, Statistica inferenziale
- Storia della statistica Categoria:Matematica Categoria:Statistica Categoria:Teoria della probabilità ja:確率 simple:Probability th:ความน่าจะเป็น

Teoria dei giochi

La Teoria dei giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli, ovvero uno studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra i diversi soggetti, tali per cui le decisioni di un soggetto possono influire sui risultati conseguibili da parte di un rivale, secondo un meccanismo di retroazione. Le applicazioni e le interazioni della teoria sono molteplici: dal campo economico e finanziario a quello strategico-militare, dalla politica alla sociologia, dalla psicologia all'informatica, dalla biologia allo sport, introducendo l'azione del caso, connessa con le possibili scelte che gli individui hanno a disposizione per raggiungere determinati obiettivi, che posso essere:
- comuni
- comuni, ma non identici
- differenti
- contrastanti Possono essere presenti anche aspetti aleatori. Nel modello della "Teoria dei Giochi", tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco, ed essere consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. La mossa, o l'insieme delle mosse, che un individuo intende fare viene chiamata "strategia". In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori (o agenti), ognuno riceve un "pay-off" (letteralmente il "pagamento d'uscita", o meglio la vincita finale) secondo un'adeguata unità di misura, che può essere positivo, negativo o nullo. Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore v’è una corrispondente perdita per altri. In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all'altro. La strategia da seguire è strettamente determinata, se ne esiste una che è soddisfacente per tutti i giocatori; altrimenti è necessario calcolare e rendere massima la speranza matematica del giocatore, che si ottiene moltiplicando i compensi possibili (sia positivi sia negativi) per le loro probabilità.

Esempi

Ecco 2 due semplici esempi, il primo di carattere intuitivo, il secondo più strettamente matematico:

Esempio 1

Se il giocatore è un commerciante, le sue mosse possono aumentare o diminuire o lasciare invariati i prezzi dei suoi prodotti; le mosse di un acquirente possono cambiare o restare fedeli a un prodotto o a un fornitore; le mosse di un responsabile di logistica militare possono inviare un convoglio lungo un certo percorso, piuttosto che lungo un altro. Ad esempio i convogli possono essere inviati periodicamente, per il 30% dei viaggi su un percorso e per il 70% su un altro; i prezzi dei prodotti possono essere variati in rotazione e così via.

Esempio 2

In un gioco d'azzardo per un giocatore che paga 50 (compenso negativo con probabilità 1, poiché è certo che paga) per vincere 100 con la probabilità di 1/3 (per esempio, se estrae la carta giusta nel gioco delle tre carte), la speranza matematica è 100 • (1/3) – 50 • 1= -17 e il gioco è svantaggioso. Perché il gioco sia equo la speranza matematica deve essere nulla: nell'esempio si dovrebbe aumentare a 150 la vincita.

Cenni storici

La nascita della moderna teoria dei giochi può essere fatta coincidere con l'uscita del libro "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern nel 1944 anche se altri autori (quali Ernst Zermelo, Armand Borel e von Neumann stesso) avevano scritto, ante litteram, di Teoria dei Giochi. La strana coppia era formata, nell'ordine, da un matematico e da un economista. Si può descrivere informalmente l'idea di questi due studiosi come il tentativo di descrivere matematicamente ("matematizzare") il comportamento umano in quei casi in cui l'interazione fra uomini comporta la vincita, o lo spartirsi, di qualche tipo di risorsa. Il più famoso studioso ad essersi occupato successivamente della "Teoria dei Giochi", in particolare per quel che concerne i "giochi non cooperativi", è il matematico John Forbes Nash jr., al quale è dedicato il film di Ron Howard "A Beautiful Mind".

Descrizione informale dei giochi

In un gioco esistono uno o più contendenti che cercano di vincere il gioco, ovvero, di massimizzare la propria vincita. Esiste inoltre una regola (funzione) che stabilisce quantitativamente qual è la vincita dei contendenti in funzione del loro comportamento. Si può descrivere, almeno in linea di principio, ogni gioco in forma estesa (strategia in forma estesa). Ovvero lo si può rappresentare con un grafo ad albero rappresentando ogni possibile combinazione di giocate dei contendenti sino agli stati finali dove vengono ripartite le vincite. Un'altra possibile rappresentazione è quella matriciale (a matrice).

Tipologia di giochi

I giochi possono essere definiti seguendo diversi paradigmi:
- Cooperazione
- Rappresentazione
- Numero di giochi
- Somma

Cooperazione

Se i giocatori perseguono un fine comune, almeno per la durata del gioco, alcuni di essi possono tendere ad associarsi per migliorare il proprio "pay-off". La garanzia è data dagli accordi vincolanti. Si posso avere due sottogeneri, i giochi NTU ed i giochi TU.

Giochi NTU

"Non Transferable Unit": a utilità non trasferibile o senza pagamenti laterali. In questi casi, nel campo dell'economia industriale, in una situazione di oligopolio può insorgere il fenomeno della collusione.

Giochi TU

"Transferable Unit": a utilità trasferibile o con pagamenti laterali, nei quali deve esistere un mezzo, denaro o altro, per il trasferimento dell'utilità. La suddivisione della vincita avviene in relazione al ruolo svolto da ciascun giocatore, secondo la sua strategia ed i suoi accordi (per i "giochi TU" vanno aggiunti i pagamenti o i trasferimenti ottenuti durante il gioco).

Giochi non cooperativi

I giocatori non possono stipulare accordi vincolanti (anche normativamente), indipendentemente dai loro obiettivi. A questa categoria risponde la soluzione data da John Nash con il suo Equilibrio di Nash, probabilmente la nozione più famosa per quel che riguarda l'intera teoria, grazie al suo vastissimo campo di applicabilità.

Rappresentazione

Giochi ad informazione perfetta

Giochi in cui, in ogni momento, si conosce con certezza la storia delle giocate precedenti. In termini più tecnici, si tratta di giochi in cui in ogni momento del gioco si può capire in quale nodo della rappresentazione ad albero del gioco (rappresentazione estesa) ci si trova. Esempi:
- Scacchi
- Dama
- Nim
- Hex
- Go

Numero di giochi

Giochi finiti

Giochi in cui il numero delle situazioni di gioco possibili è finito. Esempi:
- tris (o tic tac toe)
- Othello (o reversi )
- gioco del cento

Somma

Giochi a somma zero

In cui la somma delle vincite dei due contendenti in funzione delle strategie utilizzate è sempre zero. Negli scacchi ad esempio significa che i soli tre risultati possibili, rappresentando la vincita con 1 la perdita con -1 e il pareggio con zero possono essere (1,-1), vince il bianco, (-1,1) vince il nero, (0,0) pareggiano. Non esiste ad esempio il caso in cui vincono entrambi o perdono entrambi. Esempi:
- vedi gli esempi citati sopra
- briscola
- poker

Giochi a somma non zero

In cui la somma di cui al punto precedente non è zero almeno in un caso. Esempi:
- dilemma del prigioniero

Voci correlate

- Oskar Morgenstern
- John von Neumann
- John Forbes Nash
- Lloyd Stowell Shapley
- Economia

Collegamenti esterni

- [http://www.vialattea.net/odifreddi/giochi.pdf Giochi pericolosi] saggio di Piergiorgio Odifreddi
- [http://www.socialcapitalgateway.org/ita-gametheory.htm Siti web su Teoria dei giochi e interazioni sociali]
- [http://www.gametheory.net/ Risorse di Teoria dei Giochi] Categoria:Matematica Categoria:Teoria dei giochi ja:ゲーム理論

Teorema di Heine-Borel

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in

R^n\!

. Infatti questa è chiusa, poichè è un luogo di zeri di una funzione continua, ed è limitata. Inoltre, da ciò, deriva che, poichè

R^n\!

non è compatto,

R^n\!

e la sfera in esso non sono omeomorfi.

Categoria:Matematici francesi

Nella seguente categoria sono elencati gli articoli relativi ai matematici di origine francese. francesi ja:Category:フランスの数学者 ko:분류:프랑스의 수학자

Wikipedia:Articles for deletion/Neposedi

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Neposedi

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- Keep, passes WP:MUSIC because "Contains at least one member who was once a part of or later joined a band that is otherwise extremely notable;" Kappa 06:18, 4 May 2005 (UTC)
- Keep, agree with Kappa. 3500 hits [http://www.google.com/search?hl=en&q=Neposedi+-wikipedia&meta=] makes it borderline inclusion for me. Megan1967 06:21, 4 May 2005 (UTC)
- Keep per Kappa and Megan1967. Samaritan 08:49, 4 May 2005 (UTC)
- Keep on grounds of notable members who would go on to form a notable group namely T.A.T.u. Capitalistroadster 09:11, 4 May 2005 (UTC)
- Keep notable -- Longhair | Talk 13:54, 4 May 2005 (UTC)
- Keep per Kappa et al. R Calvete 20:07, 2005 May 4 (UTC)
- Merge and redirect with t.A.T.u.. That's a controversial clause of WP:MUSIC and not one I would lean on personally. Rossami (talk) 00:36, 5 May 2005 (UTC)
- I am from Russia and never heard about these. Strong Delete. Grue 19:36, 6 May 2005 (UTC) :This page is now preserved as an archive of the debate and, like some other VfD subpages, is no longer 'live'. Subsequent comments on the issue, the deletion, or the decision-making process should be placed on the relevant 'live' pages. Please do not edit this page.

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