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Jeep CJ7

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Größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache sind zwei eng zusammengehörende mathematische Begriffe. Sie spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle. Für zwei ganze Zahlen m und n, die nicht beide 0 sind, gibt es stets einen größten gemeinsamen Teiler \operatorname(m,n), d.h. eine größte natürliche Zahl, durch die sowohl m als auch n ohne Rest teilbar sind. Sind m und n nicht null, so gibt es auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches \operatorname(m,n), d.h. eine kleinste positive ganze Zahl, die sowohl Vielfaches von m als auch Vielfaches von n ist. Ist m oder n gleich null, so legt man \operatorname(m,n)=0 fest. Insbesondere ist \operatorname(m,1)=1 und \operatorname(m,1)=|m| sowie \operatorname(m,0)=|m| und \operatorname(m,0)=0. Es gilt stets |m \cdot n| = \operatorname(m,n) \cdot \operatorname(m,n), also lässt sich jeweils das kgV aus dem ggT errechnen, und umgekehrt. In der englischsprachigen internationalen Literatur wird der \operatorname mit \operatorname (greatest common divisor) und das \operatorname mit \operatorname (least common multiple) bezeichnet.

Anwendung in der Bruchrechnung

Angenommen, wir möchten zwei Brüche addieren: : \frac + \frac Dann wird man zuerst einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner der beiden Brüche suchen. Man kann natürlich der Einfachheit halber 21 mit 35 multiplizieren, was 735 ergibt. Man kann aber auch das \operatorname von 21 und 35 berechnen, welches 105 ist. Die beiden Brüche werden auf den Nenner 105 erweitert: :\frac + \frac = \frac + \frac = \frac = \frac Um Zähler und Nenner kleiner zu bekommen, bestimmt man den \operatorname von 217 und 105, der 7 beträgt. Damit lässt sich der Bruch durch 7 kürzen: : \frac = \frac = \frac

Berechnung

Berechnung über die Primfaktorzerlegung

\operatorname und \operatorname kann man über die Primfaktorzerlegung (Faktorisierung) von a und b bestimmen. Ein Beispiel: : a = 3528 = 23 · 32 · 50 · 72 : b = 3780 = 22 · 33 · 51 · 71 Für den \operatorname nimmt man die kleinsten Exponenten der zugehörigen Basen: : \operatorname(3528,3780) = 22 · 32 · 50 · 71 = 252 Für das \operatorname verwendet man die größten Exponenten der jeweiligen Basen: : \operatorname(3528,3780) = 23 · 33 · 51 · 72 = 52.920

Berechnung über den euklidschen Algorithmus

Die Faktorisierung (d.h. die Bestimmung der Primfaktorzerlegung) großer Zahlen ist sehr aufwendig; die Berechnung des \operatorname mit dem euklidschen Algorithmus (Beschreibung des Algorithmus siehe dort), der auf den griechischen Mathematiker Euklid (300 v. Chr.) zurückgeht, ist dem obigen Algorithmus im Sinne der Komplexität weit überlegen. Aus dem Produkt von m und n und dem \operatorname(m,n) lässt sich über den Zusammenhang \operatorname(m,n) = \frac das \operatorname bestimmen.

Berechnung des ggT und des kgV von mehreren Zahlen

Der \operatorname und das \operatorname lassen sich von beliebig vielen Zahlen berechnen, da beide Abbildungen assoziativ sind: :\operatorname(m,\,\operatorname(n,p)) = \operatorname(\operatorname(m,n),\,p) = \operatorname(m,n,p) :\operatorname(m,\,\operatorname(n,p)) = \operatorname(\operatorname(m,n),\,p) = \operatorname(m,n,p)

Darstellung von ggT(m, n) aus m und n

Hauptartikel: Erweiterter euklidischer Algorithmus Der ggT von a und b lässt sich als Linearkombination von a und b mit zwei ganzzahligen Koeffizienten s, t darstellen: :\operatorname(a,b)=sa+tb Die Koeffizienten s und t können mit einer Erweiterung des Euklidischen Algorithmus bestimmt werden. Nützlich ist dies z.B. bei der Berechnung von Inversen in Restklassenringen. Beispiele:
- \operatorname(12,18) = 6 = (-1)\cdot 12 + 1\cdot 18
- \operatorname(3,8) = 1 = (-5)\cdot 3 + 2\cdot 8

Rechenregeln

Für alle ganzen Zahlen a, b gilt:
- \operatorname(a,b) = \operatorname(b,a) Kommutativgesetz
- \operatorname(-a,b) = \operatorname(a,b)
- \operatorname(a,a) = |a|
- \operatorname(a,0) = |a|
- \operatorname(a,1) = 1
- \operatorname(a,b) = \operatorname(b,a \bmod b)
- \operatorname(a,b) = \operatorname(b,a-b) Ist zusätzlich m eine natürliche Zahl, dann gilt:
- \operatorname(m a,m b) = m \cdot\operatorname(a,b) Distributivgesetz
- \operatorname(a + m b, b) = \operatorname(a,b) Ist m ein gemeinsamer Teiler von a und b, dann gilt:
- \operatorname(a/m,b/m) = \operatorname(a,b)/m Der ggT ist in folgendem Sinne eine multiplikative Funktion: Sind a und b teilerfremd, dann ist :\operatorname(a b, m) = \operatorname(a,m) \cdot\operatorname(b,m)

kgV und ggT in weiteren algebraischen Strukturen

kgV und ggT lassen sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann sie z.B. auch für Polynome bilden. Statt der Primzahlzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren: :f(x) = x² + 2xy + y² = (x + y)² :g(x) = x² - y² = (x + y) (x - y) Dann ist ggT(f,g) = x + y und kgV(f,g) = (x + y)² (x - y). Möglich wird dies, da auch für Polynome eine Division mit Rest existiert. Um den Begriff des größten gemeinsamen Teilers auf beliebige kommutative Ringe ausdehnen zu können, muss man die Definition ändern, da in beliebigen Ringen nicht vorausgesetzt werden kann, dass die Elemente bezüglich "<" angeordnet werden können. Deshalb ersetzt man diese Anordnung durch die durch den Teilbarkeitsbegriff definierte partielle Ordnung. Ist d ein Ringelement, das sowohl Teiler von a als auch Teiler von b ist, dann heißt d ein gemeinsamer Teiler von a und b. Gilt zusätzlich, dass jeder weitere gemeinsame Teiler von a und b auch ein Teiler von d ist, dann heißt d ein größter gemeinsamer Teiler von a und b. Analog ist das kgV definiert: Ein Ringelement v heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente a und b, wenn v ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von a und b ein Vielfaches von v ist. Formal schreibt man diese Definition für einen Ring R so: :d = \operatorname(a,b)\quad :\Longleftrightarrow\quad d \mid a,\; d \mid b,\; \forall e \in R: (e \mid a,\, e \mid b) \Rightarrow e \mid d :v = \operatorname(a,b)\quad :\Longleftrightarrow\quad a \mid v,\; b \mid v,\; \forall e \in R: (a \mid e,\, b \mid e) \Rightarrow v \mid e Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele). Beispiel: Im Gaußschen Zahlenring \Z+\mathrm\Z ist der größte gemeinsame Teiler von 2 und 1+3i gerade 1+i, denn 2=-i(1+i)2 und 1+3i=(1+i)(2+i). Genau genommen ist 1+i ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assozierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind. Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein ggT oder ein kgV. Wenn sie einen ggT haben, können sie mehrere ggTs haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle ggTs zueinander assoziiert. Ist R ein Integritätsring, und haben die Elemente a und b ein kgV, dann haben sie auch einen ggT, und es gilt die Gleichung :a \cdot b = \operatorname(a,b) \cdot \operatorname(a,b) Ist jedoch nur bekannt, dass ein ggT von a und b existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein kgV existieren. Beispiel: Im Integritätsring R = \mathbb[\sqrt] haben die Elemente :a := 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt)(1-\sqrt),\quad b := (1+\sqrt)\cdot 2 keinen ggT: Die Elemente 1+\sqrt und 2 sind zwei "maximale gemeinsame Teiler" (d.h. jeder gemeinsame Teiler, der von einem der beiden Elemente geteilt wird, ist zu diesem assoziiert), aber diese zwei Elemente sind nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen ggT von a und b. Die genannten Elemente 1+\sqrt und 2 haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich 1. Dagegen haben sie kein kgV, denn wenn v ein kgV wäre, dann folgt aus der "ggT-kgV-Gleichung", dass v assoziiert zu k:=(1+\sqrt)\cdot2 sein muss. Das gemeinsame Vielfache 4 ist jedoch kein Vielfaches von k, also ist k kein kgV und die beiden Elemente haben gar kein kgV. Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV. In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT. In einem euklidischen Ring lässt sich der ggT zweier Elemente mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen. Kategorie:Zahlentheorie ja:最小公倍数 ko:최소공배수

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