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Gruppo Abeliano

Gruppo abeliano

Un gruppo abeliano è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo (G,

-

) è commutativo se

a - b = b - a

\forall

a, b \in

G. Il nome deriva dal matematico norvegiese Niels Henrik Abel. L'operazione di un gruppo abeliano può essere chiamata somma e indicata col simbolo +.

Esempi

Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se

a

è l'elemento ciclico di G e x, y

\in

G, allora xy

= a^a^ = a^ = a^ = a^a^ =

yx. In particolare, i numeri interi Z con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano. Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F,+) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F\,

-

) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali R danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.

Proprietà

Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per x

\in

G, l'elemento nx è definito come l'n-esima potenza di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani. Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come (f + g)(x) := f(x) + g(x), dove f, g : G → H, x

\in

H. Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo (f

-

g)(x

-

y) := f(x

-

-

g(x

-

y) = f(x)

-

f(y)

-

g(x)

-

g(y), che differisce da (f

-

g)(x)

-

-

g)(y) per l'ordine dei fattori, dimostrando che f

-

g non è un omomorfismo. I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

Vedi anche

- altre strutture algebriche
- glossario di teoria dei gruppi categoria:teoria dei gruppi ja:アーベル群 ko:아벨군

Gruppo (matematica)

In matematica, un gruppo è un insieme con una operazione binaria (come la somma o il prodotto) che soddisfa alcuni assiomi descritti sotto. Ad esempio, l'insieme dei numeri interi con la somma è un gruppo. Il ramo della matematica che studia i gruppi si chiama teoria dei gruppi. La struttura di gruppo è forse la più importante fra quelle definite in matematica; viene sovente arricchita aggiungendo assiomi o altre operazioni: in questo modo si ottengono le strutture di anello, di campo (ad esempio i numeri razionali, reali e complessi), di spazio vettoriale. Tra gli innumerevoli esempi di gruppi troviamo anche insiemi di matrici, di permutazioni, di simmetrie di un dato oggetto geometrico.

Definizione

Un gruppo è un insieme G munito di una operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi

a

b

di G associa un elemento, che indichiamo con

a - b

, rispettando i seguenti assiomi:

G1) - proprietà associativa: dati

a, b, c

appartenenti a G, vale

(a - b) - c = a - (b - c)

. G2) - esistenza dell'elemento neutro: esiste in G un (unico) elemento neutro rispetto al prodotto, cioè tale che

a - e = e - a = a

per ogni

a

appartenente a G. G3) - esistenza dell'inverso: ad ogni elemento

a

di G è associato un elemento

b

, detto inverso di

a

, tale che

a - b = b - a = e

Imponendo solo alcuni fra questi assiomi si ottengono altre strutture, quali magma, quasigruppo, semigruppo e monoide. Un gruppo si chiama commutativo (o abeliano) se vale anche

a - b = b - a

per ogni coppia

a

b

di elementi di G. La cardinalità dell'insieme G viene indicata con |G| ed è chiamata ordine del gruppo: se questa è finita allora G è un gruppo finito, altrimenti è infinito.

Esempi

Un gruppo abeliano: gli interi con la somma

I numeri interi Z = , con l'operazione di somma "+" formano un gruppo. Dimostrazione: G1) (proprietà associativa) Se a, b e c sono interi, allora (a + b) + c = a + (b + c) G2) (elemento neutro) 0 è un intero per cui 0 + a = a + 0 = a per ogni a G3) (inverso) Per ogni intero a ne esiste un altro b := −a, per cui a + b = b + a = 0 Questo gruppo è anche abeliano: a + b = b + a. Gli interi considerati sia con la somma che con il prodotto formano una struttura più complicata detta anello. Insistiamo sul fatto che la struttura di gruppo consiste di due oggetti: un insieme (gli interi) e una operazione (la somma). Per identificare bene il gruppo scriviamo quindi (Z,+).

Un oggetto che non è un gruppo: gli interi con la moltiplicazione

D'altra parte, se consideriamo gli interi con l'operazione prodotto (Z,·), non otteniamo un gruppo: G1) (proprietà associativa) Se a, b e c sono interi, allora (a · b) · c = a · (b · c) G2) (elemento neutro) 1 è un intero per cui a, 1 · a = a · 1 = a per ogni a G3) (inverso) Questo assioma non è soddisfatto: non è vero che per ogni intero a ne esiste un altro b per cui ab = ba = 1. Ad esempio, se a = 2 l'inverso b dovrebbe essere 1/2, ma 1/2 non è un intero! Gli interi con il prodotto formano un monoide commutativo.

Un gruppo finito non abeliano

Consideriamo tre blocchi colorati (rosso, giallo e blu) inizialmente messi nell'ordine RGB. Sia a l'azione di "scambiare i primi due blocchi" e b l'azione di "scambiare gli ultimi due blocchi". monoide Sia quindi xy l'azione combinata "prima fa' y e quindi x"; quindi ad esempio ab è l'azione RGB → RBG → BRG, ovvero "scambia il primo e l'ultimo blocco". Scriviamo inoltre e per l'azione "lascia tutti i blocchi fermi dove sono". Possiamo quindi scrivere le sei permutazioni dell'insieme formato dai tre blocchi nel modo seguente:
- e : RGB → RGB
- a : RGB → GRB
- b : RGB → RBG
- ab : RGB → BRG
- ba : RGB → GBR
- aba : RGB → BGR Nota che l'azione aa ha come effetto RGB → GRB → RGB, lasciando quindi i blocchi dove sono: quindi scriviamo aa = e. Analogamente,
- bb = e,
- (aba)(aba) = e,
- (ab)(ba) = (ba)(ab) = e; quindi ciascuna azione ha una inversa. Analogamente si verifica che queste operazioni sono associative. Otteniamo quindi un gruppo, chiamato gruppo simmetrico su 3 elementi, o S₃. Ha ordine 6 (o 3 fattoriale) e non è abeliano (ad esempio, ab ≠ ba). Visto che S₃ è costruito a partire dalle azioni di a e b, diciamo che gli elementi a e b generano il gruppo.

Altri esempi

- i numeri razionali, reali o complessi con la somma sono gruppi abeliani
- i numeri razionali senza lo zero con il prodotto sono un gruppo abeliano (si deve togliere lo zero per garantire che ogni numero abbia un inverso)
- le funzioni biiettive da un insieme A in sé (ovvero le permutazioni di A) formano un gruppo con l'operazione di composizione di funzioni
- lo spazio vettoriale Rⁿ di dimensione n con la somma è un gruppo abeliano
- l'insieme delle matrici con m righe e n colonne con la somma sono un gruppo abeliano
- l'insieme delle matrici quadrate invertibili con il prodotto è un gruppo non commutativo
- l'insieme delle matrici quadrate ortogonali con il prodotto è un gruppo non commutativo, detto gruppo ortogonale
- l'insieme delle simmetrie di un poligono regolare è un gruppo finito non commutativo, detto gruppo diedrale
- l'insieme delle simmetrie di un solido, ad esempio il cubo o l'ottaedro, è un gruppo finito
- le mosse che possono essere fatte con il cubo di Rubik formano un gruppo Oggetti che non sono gruppi:
- i numeri naturali con la somma: manca l'inverso
- le matrici quadrate con il prodotto: se non sono invertibili, manca l'inverso

Voci correlate

- Teoria dei gruppi
- Glossario di teoria dei gruppi
- Testi sulla teoria dei gruppi Categoria:Teoria dei gruppi ja:群論 ko:군론

Operazione binaria

Un'operazione binaria interna di un insieme G è una funzione ¤:(GxG)->G tale che sia ¤(a,b)=a¤b. Le operazioni binarie interne sono quelle che usiamo tutti i giorni come addizione, divisione, elevamento a potenza, logaritmo in base n etc; un'operazione binaria è anche l'operazione che, date due persone, ci restituisce la più giovane.

Proprietà commutativa

In matematica, specialmente in algebra astratta, un'operazione binaria
- definita su un insieme S è commutativa se x
- y = y
- x per ogni x e y in S. Se al contrario questa proprietà non è valida, l'operazione è detta non commutativa. Se x
- y = y
- x per una scelta particolare di elementi di S x e y, allora si dice che x e y commutano. I più comuni esempi di operazioni binarie moltiplicative sono l'addizione (a + b) e la moltiplicazione (a
- b) considerate sui numeri reali o anche limitandosi ai numeri positivi, ai naturali e ai razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:
- 4 + 5 = 5 + 4 (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)
- 2 × 3 = 3 × 2 (poiché entrambe le espressioni valgono 6) Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione (a − b), la divisione (a/b), l'esponenziazione (a^b) e la meno nota tetrazione (a↑↑b). Anche la composizione di funzioni (f(g(x)) non è commutativa: basta considerare il caso delle funzioni reali f(x)=x+3 e g(y)=y², in quanto g(f(x))= x² + 6x+9, mentre f(g(x))= x² + 3. Altre operazioni binarie commutative sono:
- minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
- minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
- addizione di vettori;
- intersezione, unione e differenza simmetrica di insiemi.
- composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
- composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano. Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate: per questo basta una verifica su una coppia di semplicissime matrici di aspetto 2 × 2: :

\begin 0 & 1 \\
0 & 0 \end \times 
\begin 0 & 0 \\
1 & 0 \end =
\begin 1 & 0 \\
0 & 0 \end

\begin 0 & 0 \\
1 & 0 \end \times
\begin 0 & 1 \\
0 & 0 \end =
\begin 0 & 0 \\
0 & 1 \end

Si dice gruppo abeliano, o anche gruppo commutativo, ogni gruppo la cui operazione è commutativa. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se la sua moltiplicazione è moltiplicativa; osserviamo che non serve considerare il comportamento dell'addizione che è commutativa in qualsiasi anello. Si constata che le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane. Si osserva anche che un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

\begin 
1&2&3&4&5&6\\
2&2&6&4&10&6\\
3&6&3&12&15&6\\
4&4&12&4&20&12\\
5&10&15&20&5&30\\
6&6&6&12&30&6\\
\end

\begin 
1&1&1&1&1&1\\
1&2&1&2&1&2\\
1&1&3&1&1&3\\
1&2&1&4&20&12\\
1&1&1&1&5&1\\
1&2&3&2&1&6\\
\end

Voci correlate

- Proprietà associativa
- Proprietà distributiva
- commutante
- commutatore Categoria:Algebra Categoria:Nozioni algebriche generali ja:交換法則 ko:교환법칙

Norvegia

La Norvegia è un paese Scandinavo, nell'Europa del Nord. Confina con la Svezia, con la Finlandia e con la Russia; il resto del paese è bagnato dal Mar di Norvegia, dal Mar di Groenlandia e dal Mare di Barents.

Storia

- Elenco di monarchi norvegesi
- Elenco dei Primi Ministri Norvegesi Il periodo Vichingo (IX-XI secolo) è stato un era di unione nazionale e di espansione. Con l'estinzione del ramo reale norvegese nel 1387, il paese contrae un'alleanza con la Danimarca, che venne sigillata da un trattato a partire dal 1450. Questa data segna l'inizio di un periodo conosciuto in Norvegia come la "notte lunga 400 anni". Dopo che Danimarca e Norvegia si schierarono al fianco di Napoleone, quest'ultima fu ceduta al re di Svezia il 14 gennaio 1814. La Norvegia adottò una costituzione, dichiarò la sua indipendenza e elesse il proprio re il 17 maggio 1814. Ma dopo una breve guerra con la Svezia, la Norvegia si trovò obbligata ad un'unione con questo paese ma conservò la sua costituzione e le sue istituzioni indipendenti. Nel 1905 finalmente la Norvegia acquistò la propria indipendenza. Come primo re della Norvegia indipendente fu scelto un principe danese, il secondogenito di Federico VIII di Danimarca, che assunse il nome di Håkon VII di Norvegia, e diede inizio al casato dei Glücksburg, tuttora regnante. Per evitare ogni pericolo di guerre e dispute sovrane tra i due paesi, le due case regnanti di Svezia e di Norvegia hanno stipulato un accordo che prevede, in caso di matrimonio tra principi ereditari delle rispettive case, la rinuncia al trono da parte di uno dei due sposi.

Politica

La Norvegia è una monarchia costituzionale. Ha scelto di non aderire all'Unione Europea

Regioni

LA Norvegia è divisa in 19 regioni amministrative, chiamate fylker (al singolare fylke) e in 433 comuni, chiamati kommuner (al singolare kommune).
- Akershus
- Aust-Agder
- Buskerud
- Finnmark
- Hedmark
- Hordaland
- Møre og Romsdal
- Nordland
- Nord-Trøndelag
- Oppland
- Oslo
- Østfold
- Rogaland
- Sogn og Fjordane
- Sør-Trøndelag
- Telemark
- Troms
- Vest-Agder
- Vestfold

Geografia

Le città più importanti dopo Oslo sono Bergen, di circa 235,000 abitanti, e Trondheim, di circa 150.000 abitanti ed importante città universitaria. In Norvegia si trova il punto più a nord dell'Europa continentale, il promontorio di Knivskjellodden, situato sulla penisola di Magerøya, a una latitudine di 71°11'08". Da notare che il più famoso Capo Nord (Nordkapp), situato poco distante, e da molti considerato il "tetto" del continente, si trova invece a una latitudine minore (71°10'21"). La montagna più alta della Norvegia è il Galdhøpiggen (2469 m.), superato solo per la presenza di un ghiacciaio dal Glittertind (2465m.) entrambe site nello Jotunheimen.

Economia

Importantissimo il petrolio estratto dal Mare del Nord. Altre attività importanti sono la pesca (in particolare merluzzo e salmone), la produzione di legname e di carta. In crescita il turismo.

Statistiche

Cultura

Il maggiore centro culturale del paese è Oslo dove sono presenti le maggiori università, biblioteche e musei come il Museo di storia naturale e la Galleria nazionale.

Festività

La Festa D'Indipendenza celebrata il 17 maggio (data in cui nel 1814 La Norvegia ottenne una Costituzione propria) è la ricorrenza più importante del calendario Norvegese.

Voci correlate

- Targhe automobilistiche norvegesi
- Elenco di monarchi norvegesi
- Elenco dei Primi Ministri Norvegesi
- Norvegesi celebri

Collegamenti esterni

- [http://www.visitnorway.com Ente del turismo norvegese]
- [http://www.vikjavev.no Sognefjord : webcam & fotos] als:Norwegen [[got:

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (Findö, Norvegia, 5 Agosto 1802 - Froland, Norvegia, 6 Aprile 1829) fu un matematico norvegese. È noto soprattutto per i suoi studi sull'algebra e sulla teoria delle funzioni. Nel 1815 entrò alla scuola Cattedrale di Christiania (chiamata in seguito Oslo) e qui tre anni più tardi diede prova del suo genio matematico con le sue brillanti soluzioni agli originali problemi proposti da Bernt Holmboe. Nello stesso periodo suo padre, un indigente pastore protestante, morì, e la sua famiglia d'origine ebbe gravi problemi finanziari; una piccola borsa di studio dello stato però permise ad Abel di entrare all'università di Christiania nel 1821. left Il primo lavoro rilevante di Abel riguardò la dimostrazione dell'impossibilità di risolvere le equazioni di quinto grado tramite i radicali (vedi il Teorema di Abel-Ruffini). Questa, nel 1824, fu la sua prima ricerca ad essere pubblicata, ma la dimostrazione era difficile ed astrusa. Successivamente fu pubblicata in forma più elaborata nel primo volume del Giornale di Crelle. Il finanziamento statale permise ad Abel di visitare la Germania e la Francia nel 1825. Abel conobbe l'astronomo Schumacher (1780-1850) in Altona vicino ad Amburgo quando soggiornò sei mesi a Berlino, dove collaborò all'avvio della pubblicazione del giornale matematico di August Leopold Crelle. Questo progetto fu caldamente sostenuto da Abel, che contribuì molto al successo dell'iniziativa. Da Berlino passò a Freiberg dove condusse la sua brillante ricerca nella teoria delle funzioni, studiando soprattutto le ellittiche e le iperellittiche, ed introducendo una nuova classe di funzioni oggi note come funzioni abeliane, oggetto di un suo approfondito studio particolare. Nel 1826 Abel andò a Parigi dove rimase una decina di mesi; qui conobbe i più grandi matematici francesi, ma lui ed il suo lavoro (scarsamente conosciuto) furono poco apprezzati, anche a causa della sua modestia che non lo spinse a proclamare i risultati dei suoi studi. Le difficoltà finanziarie, dalle quali non è mai stato libero, costrinsero Abel ad interrompere il suo viaggio per tornare in Norvegia dove per qualche tempo insegnò a Christiania. All'inizio dell'aprile del 1829 Crelle lo aiutò ad ottenere un incarico a Berlino, ma l'offerta raggiunse la Norvegia dopo due giorni dalla sua morte, causata da una polmonite. right La morte prematura di questo talento matematico mise fine ad una brillante e promettente carriera. Le sue indagini hanno chiarito alcune delle maggiori oscurità dell'analisi ed hanno aperto nuovi campi di studio, permettendo numerose ramificazioni alla conoscenza matematica e consentendo notevoli progressi. La parte più profonda ed originale del lavoro di Abel fu pubblicata sul Giornale di Crelle di cui era editore Holmboe. Un'edizione più completa dei suoi lavori fu pubblicata nel 1881 da Ludwing Sylow e Sophus Lie. L'aggettivo abeliano divenuto comune negli scritti matematici deriva dal suo nome e convenzionalmente è indicato con una a minuscola (vedi i gruppi abeliani, le categorie abeliane, le varietà abeliane). Nel 2002 fu istituito in suo onore il prestigioso premio Abel.

Siti di approfondimento della biografia in rete

- [http://matematica.uni-bocconi.it/abel/abel.htm Biografia sul sito dell'università Bocconi]
- [http://www.abelprisen.no/en/abel/ Biografia sito Premio Abel]
- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Abel.html Biography] in MacTutor
- [http://scienceworld.wolfram.com/biography/Abel.html Biography] in MathWorld

Bibliografia

- Ore, Oynstein (1957): Niels Henrik Abel, Mathematician Extraordinary Chelsea (New York)
- Pepe, Luigi (2002): 200 anni dalla nascita di Abel: genio e regolatezza; Lettera matematica PRISTEM n. 46
- Abel, Niels Henrik (1988): Oeuvres Complètes; Ed. L. Sylow, S. Lie; Johnson Reprint Corp. (NewYork) Abel, Niels Henrik Abel, Niels Henrik ja:ニールス・アーベル ko:닐스 헨리크 아벨 th:นีลส์ เฮนริก อาเบล

Somma

- In matematica, il risultato dell'operazione di addizione
- Somma Lombardo - comune italiano in provincia di Varese
- Somma Vesuviana - comune italiano in provincia di Napoli

Gruppo ciclico

Un gruppo è detto ciclico se è uguale al sottogruppo generato da un suo elemento. Tutti i gruppi ciclici finiti sono isomorfi ad un gruppo del tipo

\Z / n \Z

con

n

intero. Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è ciclico.

Numero intero

I numeri interi sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...; -0 è uguale a 0 e quindi essendo già incluso nei numeri naturali normalmente non viene considerato). L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con la Z (o Z scritto in grassetto bordato

\mathbb

) perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. Qualsiasi coppia di interi può essere confrontata. Introducendo i numeri negativi è possibile risolvere tutte le equazioni del tipo :"a" + "x" = "b" (dove "a" e "b" sono delle costanti intere) ricercando la "x". Se "x" deve essere un numero naturale solo alcune delle equazioni sono effettivamente risolvibili. I matematici esprimono il fatto che le usuali leggi dell'aritmetica sono valide negli interi dicendo che (Z,+,
- ) è un anello commutativo. Z è un insieme totalmente ordinato sia verso l'alto che verso il basso dell'insieme. L'ordine di Z è : ... < -2 <-1 < 0 < 1 < 2 < ... Denominiamo un numero intero positivo se è maggiore dello zero; zero non è considerato un numero positivo. L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra: # se a < b e c < d, allora a + c < b + d # se a < b e 0 < c, allora ac < bc Come i numeri naturali, anche i numeri interi formano un insieme numerabile infinito. I numeri interi non formano un campo dato che la divisione non sempre dà come risultato un numero intero: basta pensare a 2x=1, il cui risultato è 1/2 che è un numero razionale e non un numero intero. Categoria:Numeri Categoria:Matematica di base ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Campo (matematica)

In matematica un campo è un insieme F munito di due operazioni binarie, che chiamiamo somma e prodotto e indichiamo rispettivamente con

+

-

, che godono delle seguenti proprietà: a0. Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a F, la loro somma

a+b

appartiene a F; si dice che F è chiuso rispetto alla somma. a1. La somma è associativa; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a F, vale:

(a+b)+c = a+(b+c)

. a2. Esiste un unico elemento z appartenente a F neutro ripetto alla somma, cioè tale che

a+z=z+a=a

. a3. Per ogni elemento a di F esiste un elemento opposto b tale che

a+b=b+a=z

. a4. La somma è commutativa, cioè per ogni coppia di elementi a,b di F, vale:

a+b=b+a

. b0. Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a F, il loro prodotto

a - b

appartiene a F; si dice che F è chiuso rispetto al prodotto. b1. Il prodotto è associativo; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a F, vale:

(a - b) - c = a - (b - c)

. b2. Esiste un unico elemento e (diverso da z) appartenente a F neutro ripetto al prodotto, cioè tale che

a - e=e - a=a

. b3. Per ogni elemento a diverso da z esiste un elemento inverso b tale che

a - b=e

. b4. Il prodotto è commutativo, cioè per ogni coppia di elementi a,b di F, vale:

a - b=b - a

. c1. Somma e prodotto godono delle proprietà distributive, cioè per ogni terna a,b,c di elementi di F vale:

a - (b+c)=a - b+a - c

. Generalmente, si indica con 0 l'elemento neutro della somma (z) e con 1 l'elemento neutro del prodotto(e). Un campo è un corpo commutativo.

Voci correlate

- Glossario di teoria dei campi
- altre strutture algebriche Categoria:Teoria dei campi ja:体 (数学) ko:체 (수학)

Numeri reali

In matematica, i numeri reali sono definiti in modo intuitivo come i numeri che sono in corrispondenza biunivoca con i punti su una retta infinita: la retta numerica. Il termine "numero reale" è stato coniato in contrapposizione a "numero immaginario". I numeri reali possono essere razionali o irrazionali; algebrici o trascendenti; positivi, negativi o zero. I numeri reali misurano quantità continue. In teoria possono essere espressi come frazioni decimali aventi una sequenza infinita di cifre a destra della virgola decimale; queste possono essere rappresentate in modo inesatto nella forma 324,823211247... (dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre e, per quante ce ne siano, ne possono essere aggiunte altre). Le misure in fisica sono sempre un'approssimazione ad un numero reale. Scriverle sotto forma di frazione decimale (cioè numeri razionali che possono essere espressi come rapporti, con un denominatore esplicito) non è solo più coinciso, ma in qualche modo esprime il senso del numero reale che ci sta sotto. È come se uno dicesse "Sto scrivendo solo la parte del numero che conosco; è infinitamente lungo e fermarmi dopo un numero finito di cifre rappresenta il fatto che mi sto fermando prima di effettuare infiniti esperimenti sempre più accurati ed arrivare quindi ad un'infinita serie di cifre, che sarebbe l'unico modo per approssimare il risultato finale." I numeri reali sono l'oggetto principale di studio in analisi reale. Un numero si dice calcolabile se esiste un algoritmo che produce le sue cifre. Poiché esiste un infinito numerabile di algoritmi ma un infinito non numerabile di numeri reali, la maggior parte dei numeri reali non è calcolabile. Qualche costruttivista accetta l'esistenza solo dei reali che sono calcolabili. L'insieme dei numeri definibili è più ampio ma ancora numerabile. I computer possono solo approssimare la maggior parte dei numeri reali con numeri razionali; queste approssimazioni sono conosciute come numeri in virgola mobile o numeri in virgola fissa. I sistemi di Computer algebra sono in grado di trattare alcuni numeri reali in modo esatto utilizzando la loro descrizione algebrica (come per esempio "sqrt(2)") piuttosto che la loro approssimazione decimale. I matematici utilizzano il simbolo R (o in alternativa,

\Bbb

, la lettera "R" rappresenta l'insieme di tutti i numeri reali. In matematica, il termine "XXX reale" significa che il sottostante campo numerico è il campo dei numeri reali. Per esempio vedere matrice reale, polinomio reale e algebra di Lie reale.

Storia

Le frazioni sono state usate dagli Egizi intorno al 1000 AC; intorno al 500 AC, i matematici Greci guidati da Pitagora sentirono la necessità di introdurre i numeri irrazionali. L'uso dei numeri negativi è accreditato intorno al XVII secolo e furono scoperti dai matematici arabi. Lo sviluppo del calcolo infinitesimale nel XVIII secolo utilizzò l'intero insieme dei numeri reali senza averli definiti esplicitamente. La prima definizione rigorosa fu data da Georg Cantor nel 1871.

Definizione

Costruzione dei numeri razionali

I numeri reali possono essere costruiti come completamento topologico dei numeri razionali. Per dettagli ed altre costruzioni dei numeri reali, vedere Costruzione dei numeri reali.

Approccio assiomatico

Sia R l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:
- L'insieme R è un campo e quindi somma e moltiplicazione sono definite con le proprietà usuali. Per questo motivo sono valide le proprietà associativa, commutativa, esistenza degli elementi neutri, proprietà distributiva.
- Il campo R è ordinato, relazione d'ordine, esiste un ordinamento totale ≤ tale che, per tutti i numeri reali x, y e z:
- per ogni coppia

x,y \in \R

si ha

x \leq y

oppure

y \leq x

(dicotomia)
-

x \leq x

per ogni

x \in \R

(riflessiva)
- se

x \leq y

y \leq x

allora

x = y \!

(antisimmetrica)
- Da

x \leq y

y \leq z

segue che

x \leq z

(transitiva)
- da

x \leq y

segue che

x + z \leq y + z \  \forall z \in \R

- se

x \leq 0

y \leq 0

segue che

0 \leq xy

- L'ordinamento è Dedekind-completo, per esempio, ogni sottoinsieme non vuoto S di R con un maggiorante in R ha un estremo superiore (chiamato anche estremo) in R. L'ultima proprietà è quella che differenzia i reali dai razionali. Per esempio, l'insieme dei numeri razionali il cui quadrato è minore di 2 ha un maggiorante razionale (per esempio 1,5) ma il minore dei maggioranti non è razionale in quanto la radice quadrata di 2 non è razionale. I numeri reali son definiti in modo univoco dalla proprietà precedente. Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati Dedekind-completi R₁ e R₂, esiste un unico campo isomorfismo da R₁ a R₂, questa proprietà permette di pensare ad essi come ad un unico oggetto matematico.

Insieme Reale Esteso

Si definisce insieme reale esteso e lo si indica con

\tilde

l'insieme

\R

con l'aggiunta di due punti

- \infty + \infty

\tilde = \R  \cup  \cup

. La relazione d'ordine si estende a questi nuovi punti ponendo:

- \infty \,<\, x , x \,<\, + \infty

per ogni

x \in \R

. L'importanza di tale insieme deriva dal fatto che solo in

\tilde

esteso può essere data una definizione univoca del concetto di limite, attraverso l'estensione della definizione di intorno di un punto, nella quale si fa riferimento anche ai "punti"

- \infty , + \infty

Proprietà

Completezza

La ragione principale che ha portato all'introduzione dei reali è che i reali contengono tutti i limiti. Più precisamente, i reali sono un insieme completo (nel senso dello spazio metrico o spazio uniforme, che ha un significato differente dalla completezza di Dedekind dell'ordine introdotta nel paragrafo precedente). Questo significa che:
- Una successione (x_n) di numeri reali è una successione di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste un intero N (eventualmente dipendente da ε) tale che la distanza |x_n - x_m| è minore di ε, n e m sono entrambi maggiori di N. In altre parole, una successione è una successione di Cauchy se i suoi elementi x_n ad un certo punto diventano arbitrariamente vicini.
- Una successione (x_n) converge al limite x se per ogni ε > 0 esiste un intero N (eventualmente dipendente da ε) tale che la distanza |x_n - x| è minore di ε con n maggiore di N. In altre parole, una successione ha limite x se i suoi elementi ad un certo punto diventano e rimangono vicini arbitrariamente a x. È facile dedurre che ogni successione convergente è una successione di Cauchy. A proposito dei numeri reali è importante notare che la seguente affermazione è vera: :Ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Significa che l'insieme dei reali è completo. Bisogna notare che l'insieme dei razionali non è completo. Per esempio, la successione delle prime n cifre della radice quadrata di 2 ossia (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421,...) è di Cauchy ma non converge ad un numero razionale. L'esistenza dei limiti delle successioni di Cauchy permette al calcolo infinitesimale di funzionare ed è di grande utilità nella pratica. Il test numerico standard per verificare se una successione ha un limite è testare se è una succesione di Cauchy, poiché di solito il limite è già conosciuto. L'assioma della completezza è definito come segue: Siano

X,Y \subset \R

non vuoti tali che

x \leq y

comunque siano presi

x \in X

y \in Y

. Allora esiste un numero

z \in \R

tale che

x \leq z \leq y

qualunque siano

x \in X

y \in Y

"Il campo con ordinamento totale"

I numeri reali sono spesso descritti come "il campo con ordinamento totale", una frase che può essere interpretata in diversi modi. Prima di tutto, un insieme ordinato può essere un reticolo completo. È facile vedere che nessun campo ordinato può essere un reticolo completo, perché può non avere l'elemento massimo (dato un elemento z, z + 1 è più grande), quindi non è questo il senso corretto. In secondo luogo, un ordinamento può essere Dedekind-completo, come definito nella sezione Assiomi. L'unicità del risultato al termine di questa sezione giustifica l'uso della parola "il" nella frase "campo con ordinamento totale" quando questo è il senso di "totale" che intendiamo. Questo significato di totalità è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle sezioni di Dedekind, dal momento che la costruzione parte da un campo ordinato (i razionali) e poi si arriva alla completezza di Dedekind di esso in modo standard. Queste due nozioni di completezza ignorano la struttura del campo. In ogni modo, un gruppo ordinato (e un campo è un gruppo con le operazioni di somma e sottrazione) definisce una struttura uniforme e le strutture uniformi sono dotate del concetto di completezza; la descrizione nella sezione Completezza è un caso particolare. (Ci riferiamo alla completezza negli spazi uniformi e non a quella maggiormente conosciuta per gli spazi metrici, poiché la definizione di spazio metrico ha a che fare con una proprietà caratteristica dei numeri reali). Non è vero che R è lunico campo uniformly complete ordered, ma è l'unico campo ordinato completo dotato della proprietà di Archimede, quindi si può sentire spesso la frase "campo completo di Archimede" invece di "campo ordinato completo".
L'assioma di Archimede è definito nel seguente modo: Se $x,y \in \R$ e $x \,>\, 0$ esiste allora un multiplo intero $nx$ del numero $x$ tale che $(n-1)x \leq y$ e $nx \geq y$ .
Poiché si può dimostrare che ogni campo di Archimede uniformemente completo è anche completo secondo Dedekind (e vice versa), questo giustifica l'uso di "il" nella frase "il campo completo di Archimede". Questo significato di completezza è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle serie di Cauchy (la costruzione è riportata in questo articolo), poiché comincia con un campo dotato della proprietà di Archimede (i razionali) e costruisce la completezza uniforme nel modo standard. L'uso originale della frase "campo completo con la proprietà di Archimede" fatto da David Hilbert, aveva uno scopo ancora diverso dai precedenti. Egli voleva dire che i numeri reali formano il più grande campo con la proprietà di Archimede nel senso che ogni altro campo con la proprietà di Archimede è contenuto in R. Quindi R è "completo" nel senso che nulla può essere aggiunto ad esso senza smettere di soddisfare ancora la proprietà di Archimede. Questo significato di completezza è il più vicino alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri surreali, poiché la costruzione comincia con una classe che contiene ogni campo ordinato (i surreali) e seleziona da essa il più grande sottocampo con la proprietà di Archimede.
Proprietà avanzate
I reali non sono numerabili cioè l'insieme de numeri reali è strettamente più grande di quello dei numeri naturali (pur considerando che entrambi sono infiniti). Questo si può dimostrare con il procedimento diagonale di Cantor. Effettivamente la cardinalità dei reali è 2^ω (vedi numeri cardinali), per esempio la cardinalità dell'insieme dei sottoinsiemi di numeri naturali. Poiché solo un insieme numerabile di numeri reali può essere algebrico, quasi tutti i numeri reali sono trascendenti. La non esistenza di un sottoinsieme di un sottoinsieme dei numeri reali la cui cardinalità sia strettamente compresa tra quella degli interi e quella dei reali è detta ipotesi del continuo. Questo non può essere né dimostrato né confutato ma è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi. I numeri reali formano uno spazio metrico: la distanza tra x e y è definita come il valore assoluto |x - y|. Poiché è un insieme totalmente ordinato, essi sono dotati di un ordine topologico; la topologia che nasce dalla metrica e quella che deriva dall'ordinamento sono identiche. L'insieme dei numeri reali è contraibile (poiché è uno spazio metrico separabile connesso e semplicemente connesso), localmente compatto, di dimensione 1 e ovunque denso. L'insieme dei numeri reali non è compatto. Vi sono alcune proprietà specifiche dell'insieme dei reali; per esempio tutti gli ordinamenti topologici non limitati, continui e separabili sono necessariamente omeomorfi ai reali. Ogni numero reale non negativo ha la sua radice quadrata in R, i reali negativi no. Questo dimostra che l'ordinamento in R è determinato dalla sua struttura algebrica. Inoltre, ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice: queste due proprietà fanno di R il primo esempio di campo reale chiuso. Questa dimostrazione è il primo passo per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra. I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue, che è la misura di Haar della loro struttura come gruppo topologico normalizzato in modo che l'intervallo unitario [0,1] è pari a 1. L'assioma supremo dei numeri reali si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato di logica del second'ordine. Non è possibile caratterizzare i reali solo con la logica del prim'ordine: il teorema di Löwenheim-Skolem implica che esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine come i numeri reali stessi. L'insieme dei numeri iperreali è più grande di R ma soddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di R. I campi ordinati che soddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine come R sono chiamati modelli non-standard di R. Questo è ciò che permette all'analisi non-standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non-standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in R), sappiamo che lo stesso predicato è vero anche per R.
Generalizzazioni ed estensioni
I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi che contiene le radici di tutte le equazioni polinomiali. In ogni modo, i numeri complessi non sono un campo ordinato. Campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali e i numeri surreali; entrambi contengono numeri infinitesimali ed infinitamente grandi ma non sono un gruppo di Archimede. Occasionalmente, gli elementi formali +∞ e -∞ sono aggiunti ai reali per formare la retta numerica estesa, uno spazio compatto che non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali. Gli Hermitiani su uno spazio di Hilbert (per esempio, self-adjoint square complex matrici) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinati (non totalmente), sono completi, i loro autovalori sono reali e formano un'algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi. Categoria:Numeri categoria: Analisi matematica Categoria:Matematica Categoria:Analisi matematica ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

Anello (matematica)

In matematica un anello è una struttura algebrica composta da un insieme A su cui sono definite due operazioni binarie, che solitamente sono chiamate somma e prodotto e qui indichiamo rispettivamente con

+

-

, le quali godono delle seguenti proprietà: A0) Per ogni coppia di elementi

a

b

appartenenti ad

A

, la loro somma

a+b

appartiene a

A

; questo si esprime anche dicendo che

A

è chiuso rispetto alla somma. A1) La somma è associativa; cioè per ogni terna di elementi

a

b

c

appartenenti ad

A

, vale:

(a+b)+c = a+(b+c)

. A2) Esiste un elemento

z

appartenente ad

A

neutro ripetto alla somma, cioè tale che

a+z=z+a=a

. A3) Per ogni elemento

a

A

esiste un elemento opposto

b

tale che

a+b=b+a=z

. A4) La somma è commutativa, cioè per ogni coppia di elementi

a,b

A

, vale:

a+b=b+a

. B0) Per ogni coppia di elementi

a

b

appartenenti ad

A

, il loro prodotto

a - b

appartiene ad

A

; si dice che

A

è chiuso rispetto al prodotto. B1) Il prodotto è associativo; cioè per ogni terna di elementi

a

b

c

appartenenti ad

A

, vale:

(a - b) - c = a - (b - c)

. B2) Esiste un elemento

e

appartenente ad

A

neutro rispetto al prodotto, cioè tale che

a - e=e - a=a

. C) Somma e prodotto godono delle proprietà distributive, cioè per ogni terna

a

b

c

di elementi di

A

vale:

a - (b+c)=a - b+a - c

. L'esempio storico della strutura di anello è dato dall'insieme dei numeri interi munito delle operazioni usuali di somma e prodotto. Altri anelli numerici sono costituiti con i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi. In realtà gli anelli costituiscono una popolazione molto estesa e variegata che comprende anche strutture piuttosto "esotiche". Spesso un anello come quello usato per la definizione si individua con la terna :

\langle A,+, -  \rangle

. Utilizzando invece la notazione con componenti esplicite e servendosi del segno - prefisso per il passaggio all'elemento opposto, cioè all'inverso relativo all'operazion +, la struttura si individua come :

\langle A,+,-,z, - ,e \rangle

. Le proprietà A0-A4 si riassumono dicendo che

A

dotato dell'operazione

+

è un gruppo abeliano. L'unicità degli elementi neutri

z

e

e dell'opposto di un elemento si dimostra direttamente dalle rispettive definizioni (v.a. magma e gruppo). Se

e=z

, per ogni altro elemento a dell'anello sarebbe

a = a - e = a - z = z

, cioè l'anello contiene

z

come unico elemento; in questo caso si dice che

(A,+, - )

è l' anello banale o anche l' anello zero. Un anello si dice commutativo o abeliano se vale B4) Per ogni coppia di elementi

a

b

A

, vale:

a - b=b - a

. Dato un anello non banale e un suo elemento a, si dice inverso moltiplicativo (bilatero) di a un elemento a' tale che a
- b' = a'
- a = e. Questo problema non riguarda l'elemento zero, in quanto sarebbe z'
- z = e = z; quindi lo zero possiede inverso solo nell'anello banale. Un anello abeliano non banale nel quale ogni elemento diverso dallo zero ammette inverso moltiplicativo viene chiamato corpo. L'anello degli interi non è un corpo.

Voci correlate

- Storia della teoria degli anelli
- Teoria degli anelli
- Anello di polinomi
- Pseudoanello
- Dominio di integrità
- altre strutture algebriche
- Glossario di teoria degli anelli
- Elenco di articoli di algebra astratta Categoria:Algebra Categoria:Teoria degli anelli ja:環論

Sottogruppo

Un sottoinsieme K di un gruppo G è un sottogruppo se è chiuso rispetto al prodotto definito in G, cioè se h
- k è un elemento di K per ogni coppia h, k di elementi di k. Visto come insieme a se stante, K è un gruppo col prodotto indotto dal prodotto in G. Un sottogruppo si dice proprio se H è sottoinsieme proprio di G. Il sottogruppo banale è il sottogruppo , cioè consistente unicamente nell'elemento unità di G. categoria:teoria dei gruppi

Sottogruppo normale

Dato un gruppo G, un sottogruppo K di G si dice normale (o invariante) se per ogni elemento k di K l'elemento gkg^-1 è ancora un elemento di K comunque si scelga g in G (in altre parole, è invariante per coniugio). In questo caso scriviamo: :

K\triangleleft G

. I sottogruppi normali sono importanti in teoria dei gruppi, perché se K è un sottogruppo normale di G è possibile definire il gruppo quoziente G/K.

Esempi

- In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
- Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
- I sottogruppi e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
- Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se ruoto, quindi traslo, e poi ruoto nell'altro verso, ottengo una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
- L'intersezione di una famiglia finita di sottogruppi normali è normale.
- L'immagine inversa tramite omomorfismo di un gruppo normale è normale.
- Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
- Un sottogruppo normale di uno normale può non essere normale!
- Ogni sottogruppo di indice 2 è normale.

Voci correlate

- ideale categoria:teoria dei gruppi

Omomorfismo di gruppo

Dati due gruppi G e H, una funzione f : G → H è un omomorfismo se :f(a
- b) = f(a)
- f(b) per ogni a e b appartenenti a G. L'insieme degli omomorfismi da G ad H si indica con Hom(G, H). La funzione f è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

Proprietà

- Dalla definizione si deduce subito che f manda l'elemento neutro di G nell'elemento neutro di H. Si deduce inoltre che f(a^-1) = f(a)^-1. Diciamo quindi che f è compatibile con la struttura di gruppo, perché preserva elementi neutri ed inversi.
- L'insieme Hom(G, H) può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi f e g, la loro composizione f
- g è la funzione che manda a in f(a)
- g(a): si verifica che anche f
- g è un omomorfismo.
- Il nucleo di f è un sottogruppo normale di G.
- L'immagine di G tramite f è un sottogruppo di H, non necessariamente normale.
- Se G è un gruppo abeliano l'immagine di f è contenuta nel centro di H.
- Se G e H sono abeliani, il gruppo Hom(G, H) è anch'esso abeliano.

Voci correlate

- gruppo
- nucleo Categoria:Teoria dei gruppi

Glossario di teoria dei gruppi

Questa pagina è dedicata ad un glossario di teoria dei gruppi che vuole anche aiutare, insieme alla :Categoria:Teoria dei gruppi e ad un Elenco di articoli sulla teoria dei gruppi, a muoversi tra gli articoli afferenti a tale settore della matematica. Un gruppo è un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

Definizioni di base

Ordine di un gruppo (G,
- ) :Cardinalità del suo insieme sostegno, cioè numero di elementi di G. Gruppo finito :Gruppo di ordine finito. Ordine di un elemento :Sinonimo di periodo di un elemento. Periodo di un elemento x di un gruppo (G,
- ). :Minimo intero positivo m, se esiste, tale che x^m = e. L'ordine di un gruppo finito è divisibile per tutti i periodi dei suoi elementi. Sottogruppo di un gruppo (G,
- ) :Sottoinsieme di un gruppo (G,
- ) chiuso per l'operazione
- e per il passaggio all'inverso. Dato un sottoinsieme S di G, si denota <S> il più ridotto dei sottogruppi di G contenenti S. Sottogruppo normale di un gruppo (G,
- ). :Sottogruppo H di G tale che per tutti i g in G e gli h in H, anche g
- h
- g⁻¹ a appartiene ad H. Reticolo dei sottogruppi di un gruppo :Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi e dalla relazione di inclusione fra insiemi. Reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo :Reticolo completo costituito dalla collezione dei sottogruppi normali e dalla relazione di inclusione fra insiemi. Omomorfismo tra i gruppi (G,
- ) e (H,×) :Funzione f : G → H tale che per ogni a e b in G si ha : f(a
- b) = f(a) × f(b) . Nucleo di un omomorfismo tra gruppi :Sottoinsieme del dominio dell'omomorfismo che è controimmagine dell'unità del gruppo codominio dell'omomorfismo. Ogni sottogruppo normale di un gruppo è il nucleo di un omomorfismo tra gruppi e viceversa il nucleo di ogni omomorfismo è sottogruppo normale del gruppo dominio. Isomorfismo tra gruppi :Omomorfismo tra gruppi dotato di funzione inversa. Anche l'inverso di un isomorfismo è un isomorfismo. Gruppi isomorfi :Due gruppi si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo tra gruppi che trasformi l'uno nell'altro. Due gruppi isomorfi si possono pensare come essenzialmente identici, cioè come due presentazioni della stessa struttura con gli elementi diversamente etichettati. Una delle problematiche fondamentali della teoria dei gruppi è la classificazione dei gruppi a meno di isomorfismi. Gruppo fattore, o gruppo quoziente di un dato gruppo G per un suo sottogruppo normale N :Gruppo indicato con G/N costituito dall'insieme dei laterali sinistri munito dell'operazione di prodotto definita da :aN
- bN := abN. Teorema fondamentale sugli omomorfismi :La relazione che intercorre fra sottogruppi di un generico gruppo, i suoi gruppi quoziente e i relativi omomorfismi. Prodotto diretto di gruppi, somma diretta e prodotto semidiretto di gruppi :Costruzioni che a partire da due (o più) gruppi forniscono nuovi gruppi (v. articoli).

Proprietà di base di gruppi e sottogruppi

- Teoria dei gruppi elementare
- Elemento identità
- Reciproco
- Sottogruppo
- Laterale = coset
- Teorema di Lagrange
- Teorema di Eulero
- Sottogruppo normale
- Gruppo hamiltoniano
- Sottogruppo caratteristico
- Sottogruppo di torsione
- Centralizzatore e normalizzatore
- Sottogruppo stabilizzatore
- Centro di un gruppo
- Commutatore
- Gruppo derivato
- Coniugato
- Classe di coniugio
- Chiusura di coniugio
- Nocciolo (gruppo) = core

Omomorfismi tra gruppi

- Automorfismi
- Gruppo degli automorfismi
- Omomorfismo tra gruppi
- Isomorfismo tra gruppi
- Gruppo fattore
- Gruppo quoziente
- Omomorfismo
- Automorfismo di ordine
- Teorema dell'isomorfismo
- Teorema fondamentale sugli omomorfismi
- Automorfismo interno
- Gruppo esterno degli automorfismi

Strutture di base per i gruppi e operazioni di base sui gruppi

- Insieme generatore di un gruppo
- Teorema di Sylow
- Prodotto di gruppi
- Prodotto diretto
- Somma diretta
- Somma diretta di gruppi
- Somma sottodiretta
- Prodotto semidiretto
- estensione di un gruppo
- Estrensione centrale
- Coomologia di gruppo
- Prodotto intrecciato
- Prodotto libero
- Gruppo libero
- Gruppo abeliano libero
- Presentazione di un gruppo

Collezioni specifiche di gruppi

Gruppo abeliano :Un gruppo (G,
- ) si dice abeliano se
- è commutativo, i.e. se g
- h=h
- g per ogni g,h ∈ G. Viceversa il gruppo si dice non abeliano se la precedente uguaglianza non vale per qualche coppia g,h ∈ G. Gruppo finitamente generato :Gruppo che contiene un insieme finito S tale che <S> = G. Gruppo ciclico :Gruppo generato da un insieme S costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente a ), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito. Gruppo ciclico di ordine finito :Gruppo il cui sostegno può assumere la forma . Si ha invece g^m=e. In particolare si ha il gruppo ridotto a . Gruppo ciclico di ordine infinito :Gruppo il cui sostegno può assumere la forma :. Si tratta quindi di un gruppo numerabile isomorfo al gruppo additivo degli interi. p-gruppo, con p numero primo. :Gruppo avente ordine della forma p^m per qualche positivo m. p-sottogruppo. :Sottogruppo che è anche un p-gruppo. Teoremi di Silow :Teoremi concernenti i p-sottogruppi. Gruppo semplice :Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dal semplice e da se stesso. I gruppi ciclici contenenti un numero primo di elementi sono gruppi semplici con una struttura facilmente descrivibile. Contrariamente a quanto può suggerire la loro qualifica, vi sono gruppi semplici con una struttura estremamente complessa. Un esempio è fornito dal gruppo monster, gruppo di ordine superiore a un milione. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale. Classificazione dei gruppi semplici finiti :Filone di ricerca molto impegnativo condotto da un'agguerrita comunità di matematici nella seconda metà del XX secolo e che ha portato ad individuare tutti i gruppi finiti semplici. Teorema enorme :Enunciato che presenta tutti i gruppi finiti semplici, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine. Gruppo finito abeliano :La struttura di un tale gruppo è relativamente semplice; ogni gruppo finito abeliano è la somma diretta di p-gruppi ciclici. Gruppo abeliano finitamente generato :Lo studio dei gruppi abeliani finiti si estende in una classificazione completa di tutti i gruppi abeliani che possono essere generati da un insieme finito di elementi. La situazione è molto più complicata per i gruppi non-abeliani. Gruppo libero :Dato un generico insieme A che conviene pensare come un alfabeto, si possono definire la giustapposizione fra le sue lettere e fra le sue parole: ad es. si pone (abb)
- (bca):=abbbca e quindi il semigruppo delle parole su A. Si ottiene il gruppo libero generato da A ampliando questo insieme di parole con gli inversi delle lettere e semplificando le stringhe ottenuto attraverso l'eliminazione delle sottoparole delle forme a
- a^-1 e a^-1
- a. In altre parole è il gruppo più ridotto che contiene il suddetto semigruppo di parole. Presentazione di un gruppo :Ogni gruppo (G,
- ) può considerarsi gruppo fattore del gruppo libero generato da G. Problemi algoritmici sulle presentazioni di gruppi :• Date due presentazioni di gruppi, individuano due gruppi isomorfi? :• Una data presentazione individua il gruppo di un solo elemento? :Molti problemi di questo genere, ed in particolare il problema generale noto come problema della parola, si rivelano problemi unsolubili, cioè non trattabili da alcun algoritmo in grado di rispondere a tutte le loro istanze. Gruppo generale lineare :Denotato GL(n, F), è il gruppo delle matrici invertibili n × n con entrate nel campo F; particolarmente importanti i gruppi lineari generali sui numeri reali e sui numeri complessi. Rappresentazione di un gruppo (da non confondersi con la presentazione di un gruppo) :Omomorfismo di un gruppo su un gruppo lineare generale. Può essere molto utile "rappresentare" un dato gruppo astratto su un gruppo concreto di matrici invertibili in quanto quest'ultimo è formato da entità che si sanno analizzare ed elaborare con strumenti ben noti.

Componenti di base dei gruppi e loro classificazioni

- Esempi di gruppi
- P-gruppo
- Gruppo ciclico
- Gruppo abeliano
- Rango di un gruppo abeliano
- Gruppo finitamente generato abeliano
- Gruppo nilpotente
- Gruppo solubile
- Gruppo diedrale
- Gruppo V4 di Klein
- Rappresentazione di un gruppo
- Gruppo profinito
- Gruppo localmente ciclico
- Elenco di piccoli gruppi
- Gruppo divisibile

Gruppi semplici e loro classificazione

- Gruppo semplice
- Gruppo simmetrico
- Gruppo alternante
- Gruppo lineare generale
- Gruppo lineare speciale
- Gruppo proiettivo
- Gruppo di Mathieu
- Gruppo di Janko
- Gruppo di Conway
- Gruppo di Fischer
- Gruppo di Thompson (finito)
- Gruppo di Tits
- Gruppo Baby Monster
- Gruppo Monster
- Bimonster
- Gruppo di Lie
- Gruppo di Lie semplice
- Gruppo di Weyl
- Gruppo algebrico
- Sottogruppo di Borel
- Sottoggruppo parabolico
- Schema di gruppo
- Gruppo di Chevalley

Nozioni di valenza generale

- Operazione binaria
- Operatore bilineare
- Commutativo
- Associatività
- Relazione di equivalenza
- Classe di equivalenza
- Biiezione
- Tavola di moltiplicazione
- Reticolo =lattice
- a meno di
- Relazione di congruenza
- Numero primo

Oggetti matematici che contengono o utilizzano un'operazione gruppale

- Numero
- Numero reale
- Intero
- Aritmetica modulare
- Matrice
- Tensore
- Quaternione
- Gruppo dei quaternioni
- Spazio di Hilbert
- Matrici di Pauli
- Matrici di Gell-Mann
- Paradosso di Banach - Tarski
- Gruppo di Galois
- Analisi dimensionale
- Gruppo di Lie
- Gruppo algebrico
- Curva ellittica
- Varietà abeliana
- Oggetto gruppale

Algebra astratta

- Quasigruppo
- Semigruppo
- Monoide
- Anello da monoide
- Modulo
- Anello (algebra)
- Campo finito
- Campo
- Spazio vettoriale
- Algebra lineare
- Teoria di Galois

Altre discipline matematiche che fanno gran uso dei gruppi

- Geometria
- Geometria algebrica
- Topologia algebrica
- Gruppo topologico
- Gruppo fondamentale
- Spazio discreto
- Oomologia
- Teorema di Minkowski

Problemi famosi

- Classificazione dei gruppi semplici finiti
- Problema della parola per i gruppi
- Problema del sottoinsieme a somma nulla
- Problema di Burnside
- Problema di Whitehead

Applicazioni dei gruppi

- Sistema di computer algebra
- Esponenziazione mediante elevamento al quadrato
- Problema del sacco da montagna = knapsack problem
- Algoritmo di Shor
- Crittografia
- Logaritmo discreto
- Triplo DES (DES = Data Encryption Standard)
- Cifratura di Cesare
- Modello standard

Maggiori contributori della teoria dei gruppi

- Joseph-Louis Lagrange
- Niels Abel
- Evariste Galois
- Augustin Louis Cauchy
- Arthur Cayley
- Otto Ludwig Hölder
- Camille Jordan
- Ludwig Sylow
- Ferdinand Georg Frobenius
- Sophus Lie
- Felix Klein
- William Burnside
- Richard Dedekind
- David Hilbert
- Max August Zorn
- John Thompson
- Martin Dunwoody
- Daniel Gorenstein
- John Conway

Visione dei gruppi come formati da permutazioni e gruppi di simmetria

- Cubo di Rubik
- Simmetria
- Gruppo di simmetria
- Gruppo euclideo
- Gruppo di Frieze
- Gruppo della tappezzeria
- Gruppo cristallografico
- Gruppo cristallografico di punto fisso
- Gruppo spaziale
- Gruppo di Coxeter
- Gruppo discreto
- Gruppo fuchsiano
- Gruppo aritmetico
- Spazio omogeneo
- Permutazione
- Permutazione pari
- Gruppo di permutazioni
- Gruppo treccia = braid group
- Azione di gruppo
- Teorema di Cayley
- Orbita (matematica)
- Lemma di Burnside
- Sistema di Steiner

Rappresentazioni dei gruppi

- Teoria delle rappresentazioni
- Rappresentazioni affini
- Rappresentazioni proiettive
- Teorema di Maschke
- Lemma di Schur
- Teoria dei caratteri
- Monstrous moonshine

Teoria dei gruppi computazionale

- Enumerazione dei laterali

Altri argomenti

- Serie di composizione
- Serie normale
- Sottogruppo di Frattinio
- Transfer (teoria dei gruppi)
- Tasso di crescita
- Gruppo di Heisenberg
- Gruppo di Heisenberg discreto
- Sottogruppo di congruenza
- Commensurabile
- Gruppo generato compattamente
- Gruppi di Thompson
- Gruppo monster di Tarski
- Gruppo docile = amenable group
- Gruppo compatto Vedi anche:
- Indici per la matematica
- Sequenza di Sheffer Categoria:Algebra Categoria:Liste Categoria:Matematica Categoria:Teoria_dei_gruppi Teoria dei gruppi

Categoria:Teoria dei gruppi

Categoria:Matematica - area algebrica

Borşa

Borşa este un oraş din judeţul Maramureş, Transilvania, România. Are o populaţie de 27.032 locuitori. Categorie:Oraşe în judeţul Maramureş

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William McLellin
William E. McLellin (1806–1883) (also spelled M'Lellin) was an early leader in the Latter Day Saint movement. One of the original members of the Quorum of the Twelve Apostles, McLellin later broke with church founder, Joseph Smith Jr. McLellin was born in Tennessee in 1806, a son of Charles McLellin. He married for the first time on July 30, 1829. However his wife,

César González
César Cuauhtémoc González Barrón is a Mexican professional wrestler known best as Silver King or Black Tiger III or currently as El Bronco. He is the son of famous luchador Dr. Wagner.

Career

He began his career as Silver King in the Universal Wrestling Association and lost his mask early to 1527 - 1587) was a Polish nobleman (szlachcic). Jan was Wojski of Lwów from 1555 to 1554, courtier on the royal court since 1554, secretary of

Jan Tarlo (1684-1750)
Jan Tarło (1684-1750) was a Polish nobleman (szlachcic) Jan became Colonel of the Crown Army and Podstoli of Crown in 1715, Lieutenant-General of the Crown Army in 1717, voivode of Lublin Voivodsh

HKSAR government
The Government of the Hong Kong Special Administrative Region of the People's Republic of China (Chinese: 中華人民共和國香港特別行政區政府; see pronunciation; conventional short name Hong Kong Government, 香港政府), led by the

Jan Tarlo (XV-1550)
Jan Tarło (?-1550) was a Polish nobleman (szlachcic). Jan was Krajczy of the Crown since 1522, Podczaszy of the Crown since 1546, Czesnik of the Crown since 1550 and Read More...

Jan Karol Tarlo
Jan Karol Tarło (c.1593-1645) was a Polish noble (szlachcic). Son of starost Stanisław Tarło and Barbara Dulska. Married to Marianna Ligęza abt. 1636. He was castellan of Wiślice and starost of Ols