:: wikimiki.org ::

Axiom

Axiom

Ett axiom (av grekiska axioma) är en grundsats som kan accepteras utan bevis, genom konvention eller som kan antas vara självklart sann. Ett system kallas axiomatiskt om det baserar sig på axiom, dvs alla satser i systemet som inte är axiom, dvs teorem, går att härleda från dessa. En mängd av axiom kallas för ett axiomsystem eller en axiomuppsättning. Inom logik kallas ofta samma sak för en teori, men där kan även "teori" syfta på hela mängden av teorem som följer av axiomsystemet. Ett känt axiomsystem är Euklides antika geometri, som presenteras i boken Elementa. Detta system innehåller fem axiom, varav det femte är det kända och kontroversiella parallellaxiomet.

Grekiska

Grekiska (Ελληνικά) är ett indoeuropeiskt språk som talas av omkring 12 miljoner människor, främst i Grekland. Språket, i varianten demotisk grekiska (Δημοτική), är officiellt språk i Grekland och på Cypern, samt i EU. Det skrivs med det grekiska alfabetet. Nygrekiska är den form av grekiska som används idag. Den är utvecklad direkt från koiné (i sin tur en utveckling av den klassiska attiska grekiskan), och är den moderna formen av det språk som talades i den grekiska världen under antiken (för klassisk grekiska se separat: klassisk grekiska). Kategori:Grekiska Kategori:Indoeuropeiska språk Kategori:EU-språk als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Bevis

Ett bevis (även kallat slutledning eller härledning) är en övertygande argumentationskedja som visar att en viss slutsats (konklusion) gäller, förutsatt vissa grundvillkor (premisser). Matematiken genomsyras helt och hållet av bevis. Alla nya resultat måste kunna bevisas för att de ska godkännas som sanna. I praktiken är det dock alltid en balansgång mellan att dels producera så rigorösa ("täta") bevis som möjligt, dels att producera lättförståeliga bevis som lätt kan följas och kontrolleras av andra matematiker. Det har hänt flera gånger i matematikhistorien att man har hittat fel i bevisen för satser som tidigare antagits vara sanna. Beviset för fyrfärgsteoremet var under en period kontroversiellt eftersom det innehöll för den tiden nya (datorberoende) kontrollmetoder, men nu accepteras dessa varför satsen får antas vara sann. Inom logik studeras bevis mer ingående (se bevisteori). Det har visat sig att matematiska bevis kan formaliseras till en följd av många små argumentationssteg. Inom ramen för första ordningens logik kan man definiera detta exakt och få vad man kallar ett härledningssystem. Ett sådant system har ett antal härledningsregler som motsvarar var och en av argumentationsstegen, och den kanske mest grundläggande av alla härledningsregler överhuvudtaget är modus ponens. En härledning i denna logiska betydelse består av en ändlig följd av formler F₀, F₁, F₂, ... , F_n, där några av formlerna är givna som premisser (antaganden, axiom) för resonemanget. Till varje formel i härledningen hör även information om ur vilka andra formler den följer. Den sista formeln F_n kan kallas härledningens slutsats (konklusion), förutsatt att den följer endast ur de formler som från början var givna som premisser, och inte med hjälp av några andra formler. Exempel på en härledning: :F₀: Varje primtal är udda. :F₁: p är ett primtal. :F₂: p är udda. F₀ och F₁ är härledningens premisser, dvs de påståenden som argumentationen utgår ifrån. F₂ är härledningens konklusion. Att F₂ följer ur F₀ och F₁ borde vara klart för alla som betraktar härledningen. Den härledningsregel som tillåter oss dra slutsatsen F₂ ur F₀ och F₁ kallas universell specifiering. Observera att F₀ är falsk, men det hindrar inte härledningen från att vara korrekt. Minns att en härledning är en argumentationskedja som garanterar att slutsatsen håller, förutsatt vissa premisser. Alltså är det sant att säga att p verkligen är udda under de givna antagandena. Observera även att man behöver inte alls förstå betydelsen av begreppen "primtal" och "udda" för att inse att härledningen är korrekt. Man hade likaväl kunna byta ut dessa termer mot några mer generella: :F₃: Varje X är Y. :F₄: p är X. :F₅: p är Y. Detta är en korrekt härledning av vilken den tidigare är ett specialfall. Det som spelar roll för om en härledning är korrekt eller ej är alltså härledningens form, och inte betydelsen av de ingående termerna. Några vanliga metoder för bevis är
- direkt bevis
- indirekt bevis (modus tollens och reductio ad absurdum)
- induktionsbevis Ibland går det att bevisa att ett påstående INTE går att bevisa utgående från de givna premisserna se t.ex. kontinuumhypotesen. I många axiomatiska system går det att formulera teorem som varken kan bevisas eller motbevisas, se Gödels ofullständighetsteorem.

Se även

- bevisbörda Kategori:Logik ja:証明 simple:Proof

Sanning

Sanning, enligt korrespondensteorin är ett mått på hur väl ett påstående överensstämmer med verkliga förhållanden. I klassisk logik är det bara sann (överenstämmer) och falsk (överenstämmer ej) som tas i beaktande som mått på ett påståendes sanning. Sanning, enligt koherensteorin, är överrenstämmelse sinsemellan mellan idéerna i ett system. En sanning är alltså ett påstående som överensstämmer med verkliga förhållanden. Huruvida man kan veta vad som är de verkliga förhållandena är en fråga som diskuterats av många filosofer. Ett exempel på en korrespondensteori om sanningen är Alfred Tarskis som lyder som följande: låt X vara ett namn på en sats och låt p vara en sats. Enligt Tarski är X sann om och endast om p. Exempel: "Uppsalas högsta kyrka är Domkyrkan" är sann om och endast om Uppsalas högsta kyrka är Domkyrkan. En sanning, enligt koherensteorin, är ett påstående som är förenligt med övriga påståenden i ett system. Exempel på dylik teori är Thomas Samuel Kuhns paradigmteori i vilken paradigmer är inkommensurabla. Koherensteorier för sanning brukar kritiseras för relativism.

Se även

- Logik
- Semantik
- Sanningsbegrepp
- Sanningsvärde
- Sanningsfunktion
- Sannolikhet
- Tautologi Kategori:Filosofi Kategori:Logik

Sats

Sats kan ha flera betydelser: # Teorem, ett bevisat påstående inom matematiken. # sats (logik), centralt begrepp in om logiken. # sats (lingvistik), språkvetenskapligt begrepp. # Term inom musiken för en sammanhållen del av ett större verk, som konsert, symfoni eller sonat. # Inom typografi, resultatet av en sättning. # Industriell term som avser en avgränsad mängd av en produkt som bearbetas i en process där inget utöver den givna mängden har tillförts. # SATS, ett träningsföretag.

Härledning

En härledning är inom logiken ungefär detsamma som ett bevis men görs inom ett inferenssystem, bestående av inferensregler och axiom. Härledningen sägs vara giltig inom ett inferenssystem om och endast om slutsatsen följer av axiomen i det inferenssystem som avsågs.

Se även

- härledningsregel
- inferensregel Kategori:Logik

Mängd

bild:Matematisk mängd.png

En mängd är samling av objekt. De objekt som ingår i en mängd kallas mängdens element. I axiomatisk mängdteori, t ex ZFC, finns ett antal axiom som fastställer hur mängder får bildas. De får t ex inte ha sig själva som element. Men i stort sett är det nästan inga begränsningar på vad en mängd får innehålla. En mängd är ändlig eller oändlig beroende på om den innehåller ett ändligt eller oändligt antal element. Ändliga mängder kan anges genom att man räknar upp elementen inom klammrar. Exempel: Mängden är mängden av alla primtal under 10. Mängden av alla primtal överhuvudtaget är oändlig så dem kan man inte skriva upp inom klammrar. Ett annat sätt att ange mängder är på formen som betyder mängden av alla x som har egenskapen A. Exempel: är mängen av alla primtal. Nästan alla matematiska begrepp som finns kan reduceras till mängder. Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element. Mängder är oordnade dvs det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. = . Det spelar heller ingen roll om vi räknar upp några element flera gånger. = . Den mängd som inte innehåller några element alls skrivs eller Ø och kallas den tomma mängden. Den mängd som innehåller alla element som är relevanta (dvs alla element som ingår i domänen för det man för tillfället studerar) kallas universum eller "grundmängd" och betecknas ibland med bokstaven U eller G. Vanliga mängdoperationer är:
- Unära: komplement, potensmängd
- Binära: snitt, union, differens, produkt De naturliga talen (dvs 0, 1, 2, 3, .... etc) definieras som (reduceras till) mängder på följande vis: 0 = ø 1 = = 2 = = 3 = = etc På detta vis är varje naturligt tal mängden av sina föregångare, n = , och varje tal n innehåller n stycken element. Två mängder

A

och

B

sägs innehålla lika många element om och endast om det finns en bijektiv funktion från

A

till

B

. Exempelvis finns det ingen sådan från de naturliga talen till de reella och därför kan man säga att det finns fler reella tal än naturliga. Antalet element i en mängd betecknas med absolutbelopp, ex: |M| och kallas mängdens kardinaltal. Ett naturligt tal har sig själv som kardinaltal, t ex |5| = 5, eftersom 5 innehåller 5 element. Mängden av alla naturliga tal ,

\mathbb

, har kardinaltalet Alef-noll som är den minsta oändliga kardinaliteten.

Mängdegenskaper

- öppen mängd och sluten mängd
- kompakt mängd
- ordnad mängd Några kända talmängder:
-

\mathbb

, mängden av naturliga tal
-

\mathbb

, mängden av hela tal
-

\mathbb

, mängden av rationella tal
-

\mathbb

, mängden av reella tal
-

\mathbb

, mängden av komplexa tal Se även:
- Abstraktionsprincipen
- Funktion
- Mängdteori
- Klass
- Venndiagram Kategori:Matematik ja:集合 ko:집합

Teori

Teori # Vetenskap: Komplex vetenskaplig slutsats och förklaringsmodell, alternativt system av desamma t.ex. Einsteins relativitetsteorier eller gravitationsteorin. I motsats till i dagligt tal används ordet teori inte som en nära synonym till gissning. # Logik: Antingen en uppsättning axiom eller mängden av alla teorem som följer ur en viss axiomuppsättning. Teorin för en modell är mängden av alla satser som är sanna i modellen. # Vardagligt: Tankemässigt förklaringsförsök utan förankring i verkligheten, kunskap som är hämtad ur böcker, motsatsen till praktik. Ex. "Det där fungerar bara i teorin, inte i praktiken."

Se även

- tes
- hypotes
- postulat Kategori:Logik Kategori:Vetenskapsteori ja:理論

Geometri

Geometri (grekiska: Γεωμετρια, geo = "jord", metria = "mäta") är en gren av matematiken där man studerar vilka egenskaper figurer har i ett rum eller, mer generellt, rumsliga samband. Geometrin var en av de två ursprungliga matematiska disciplinerna vi sidan av talteori, dvs studiet av talen. I modern tid har geometrin generaliserats till en hög abstraktionsnivå och komplexitet. Många av dess grenar berörs idag av matematisk analys och abstrakt algebra och kan vara mycket svåra att känna igen som ättlingar till den tidigaste geometrin. Beroende på vilka axiom man utgår ifrån får man olika geometrier, d.v.s. geometriska teorier.

Den tidigaste geometrin

teori Den allra äldsta, bevarade geometrin, som kommer från den gamla Egypten och Babylonien med början omkring 3 000 f.Kr., var en samling empiriskt härledda principer om längd, vinklar, ytor och volymer, som man utvecklat för att tillfredställa de praktiska behov som uppstått ur lantmäteri, konstruktion, astronomi och olika hantverk. Flera av dessa principer var förvånansvärt sofistikerade och dagens matematiker kan ha svårt att härleda dem utan att blanda in matematisk analys. Till exempel kände både egyptierna och babylonierna till Pythagoras sats omkring 1 500 år före Pythagoras. Egyptierna kunde korrekt beräkna volymen på en stympad pyramid med kvadratisk bas och babylonierna hade trigonometriska tabeller. I Kina hade man med största sannolikhet kommit lika långt inom matematiken, men av denna kunskap finns idag inga spår, mycket på grund av att kineserna använde papper i stället för lertavlor.

De grekiska perioden (600 f.Kr. - 600 e.Kr.)

Under den grekiska perioden utvecklades geometrin till den högsta av alla vetenskaper och uppnådde en systematik och fulländning som inte uppnåddes inom något annat område. Med grekerna blev, på många vis, geometrin vad den förblivit sedan dess. Grekerna utvecklade geometrin till att omfatta många nya figurer, kurvor, ytor och kroppar. De ersatte tidigare induktiva metoder med logiska, deduktiva, de insåg att geometrin studerar abstrakta, ideala former och de upptäckte det axiomatiska system som, under mer än 2 000 år, betraktats som det ideala paradigmet för alla vetenskapliga teorier. ; Thales och Pythagoras Thales (635-543 f.Kr.) från Jonien (dagens sydvästra Turkiet) brukar betraktas som den förste som applicerade deduktion inom matematiken. Han skrev deduktiva bevis för fem geometriska satser, men dessa bevis är försvunna. Pythagoras (582-496 f.Kr.) från först Jonien och senare Italien som då koloniserats av grekerna, kan ha studerat för Thales och gjorde förmodligen resor till Babylonien och Egypten. Han upptäckte inte den sats som idag bär hans namn, men han var den förste som kunde presentera ett deduktivt bevis för den. Pythagoras och hans lärjungar studerade matematik, musik och filosofi och tillsammans utforskade de det mesta av den geometri som idag studeras på gymnasiet. Dessutom upptäckte man, till sin egen förtvivlan, inkommensurabla sträckor och därmed de irrationella talen. ; Platon Platon (427-347 f.Kr.), den filosof som grekerna skattade högst, lät ovanför ingången till sin berömda skola skriva in: "Ingen okunnig i geometrin må träda in under mitt tak". Platon var inte själv matematiker, men hans idéer om matematik fick stort inflytande. Matematiker accepterade hans övertygelse att geometrin uteslutande skulle använda sig av passare och en ograderad linjal och aldrig någon form av mätverktyg, gradskiva eller något annat verktyg som man förknippade med praktiskt hantverk. Detta maxim gjorde att man fördjupade sig i konstruktioner med passare och linjal och dess tre klassika konstruktionsproblem: Hur man med dessa verktyg tredelar en vinkel; hur man konstruerar en kub med dubbelt så stor volym som en given kub; och hur man konstruerar en kvadrat med samma area som en given cirkel. Bevisen på omöjligheten i dessa konstruktioner dröjde ända till 1800-talet och ledde till viktiga slutsatser kring de reela talens natur. Aristoteles (384-322 f.Kr.), Platons främsta elev, skrev ett traktat om metodisk argumentation i deduktiva bevis, en metodlära som förblev oförändrad ända fram till 1800-talet. ; Euklides Euklides (ca 365-275 f.Kr.), som förmodligen studerade för en av Platons lärjungar, skrev ett verk i tretton delar, kallade böcker, med titeln Geometrins elementa som var en axiomatisk beskrivning av geometrin. Elementa var inte ett kompendium över grekernas samlade kunskap om geometri - Euklides skrev ytterligare åtta böcker om geometri - och det var inte heller det första eller enda verket som beskrev geometrins grunder, men Euklides verk var så överlägset alla andra att de snart slutade användas och sedan dess gått förlorade. Den egyptiske kungen Ptolemaios I bjöd in Euklides till universitet i Alexandria. Elementa inleddes med definitioner av termer, grundläggande geometriska satser (kallade axiom eller postulat) och allmäna kvantitativa satser (s.k. "självklara påståenden") ur vilka all annan geomtri kunde härledas deduktivt. I något förenklad form, var de fem euklidiska axiomen: # Två punkter kan förenas av en rät linje. # En ändlig rät linje kan förlängas till en oändlig rät linje. # En cirkel kan ha vilket centrum och vilken radie som helst. # Alla räta vinklar är identiska. # Om två linjer i planet skärs av en tredje linje (dvs. en transversal) och de inre vinklarna mellan de två linjerna och transversalen på transversalens ena sida tillsamans är mindre än två räta vinklar, då kommer de två linjerna att skära varandra på just denna sida om transversalen (det s.k. parallellpostulatet). Man kom snart underfund med att Euklides femte axiom kunde ersättas med den enklare satsen: "Givet en linje och en punkt som inte ligger på denna linje, finns det endast en linje i samma plan som den givna linjen som går genom den givna punkten och inte skär den givna linjen". Detta axiom brukar kallas Playfairs axiom efter den brittiske lärare som föreslog att det femte axiomet skulle bytas ut i alla skolböcker. Enligt Platon skulle alla axiom var så elementära och självklara att de inte behövde bevisas. Euklides första fyra axiom levde upp till Platons krav, men det femte är inte lika enkelt. Många tycker att det inte är lika uppenbart självklart som de fyra andra utan att det snarare påminner om de teorem som Euklides härleder ur sina axiom. Euklides själv bevisade många av sina teorier om trianglar utan att använda sig av det femte axiomet vilket gjorde att man snart, förmodligen redan under euklides livstid, började spekulera i att det femte axiomet i själva verket gick att bevisa med de fyra första axiomen. Detta bevis försökte man finna under många sekel, innan hela frågan fick sin upplösning på 1800-talet. ; Arkimedes Arkimedes (287-212 f.Kr.) från Syrakusa på Sicilien, som på den tiden var en grekisk stadsstat, brukar kallas den störste av de grekiska matematikerna och en av de tre stora i historien (vid sidan av Newton och Gauss). Även om han inte hade gått till historien som matematiker, hade han blivit ihågkommen som fysiker, ingenjör och uppfinnare. I sin matematik utvecklade han metoder som starkt påminner om den analytiska geometrins koordinatsystem och integralkalkylens aproximationer. Detta enda som saknades för att han skulle kunna skapa dessa matematiska discipliner var verkningsfulla algebraiska beteckningar som kunde uttrycka hans idéer. ; Efter Arkimedes Den grekiska matematiken inledde en tillbakagång efter Arkimedes. Några få bidrag av marginell betydelse tillkom men geometrins guldålder var över. Proklos (410-485 e.Kr.) kommenterar till Euklides första bok tillhör den grekiska geometrins huvudtexter. Proklos var en utmärkt geometriker, men hans mest betydande insats bestod i att skriva kommentarer till tidigare generationers arbeten. I många fall har dessa original gått förlorade och det enda som återstår är Proklos kommentarer. Romarna presterade många goda ingenjörer men inga framstående matematiker.

Medeltiden, renässansen och reformationen

Den islamiska dominansen i Mellanöstern, Nordafrika och Spanien inleddes omkring 640 e.Kr. Biblioteket i Alexandria brändes ned. De första framstående arabiska matematikerna ägnade sig mer åt algebra än geometri även om exempelvis poeten och geometrikerna Omar Khayyam bidrog med viktiga kommentarer till ämnet. I Europa förföll matematiken till den grad att t.o.m. de klassiska verken gick förlorade där och bara överlevde via de islamiska lärdomscentrerna. När till slut Europa började resa sig ur medeltidens intektuella mörker, studerades de klassiska grekiska och romerska verken i islamiska bibliotek och översattes från arabiska till latin. Man återupptäckte Euklides Elementa och geometrins deduktiva metoder återerövrades. Utvecklingen av geometrin i enlighet med Euklides metoder återupptogs och ett stort antal viktiga och t.o.m. eleganta teorem och begrepp tillkom.

1600-talet och början av 1700-talet

I början av 1600-talet skedde två viktiga framsteg inom geometrin. Den första och viktigaste var Descartes (1596-1650) och Fermats (1601-1665) introduktion av den analytiska geometrin - geometri som använder sig av koordinater och ekvationer. Den andra framgången var Desarges (1591-1661) systematiska studium av den projektiva geometrin - studiet av geometri utan användning av måttenheter, egenskaper som inte påverkas av projektion (t.ex. hur punkter relaterar sig till varandra). Redan grekerna hade börjat utforska den projetiva geometrin, i synnerhet Pappus (ca 340 e.Kr.), men dess storhetstid kom med Poncelet (1788-1867). I slutet av 1600-talet utvecklade, oberoende av varandra, Newton (1642-1727) och Liebniz differentialkalkylen. Det blev början på ett helt ny gren inom matematiken som idag kallas analys. Även om analysen inte utgör en del av geometrin fick den stor betydelse för lösningen av två typer av geometriska problem som länge förblivit olösliga: att hitta tangenten till godtyckliga kurvor och att finna arean hos en yta som omsluts av sådana kurvor. Genom differentialkalkylen reducerades dessa gamla problem till i grunden enkla beräkningar.

Slutet av 1700-talet och 1800-talet

; Icke-euklidisk geometri Det gamla problemet att bevisa Euklides parallelpostulat ur hans fyra första hade inte glömts bort. Kort efter hans egen livstid gjordes de många försök att producera ett hållbart bevis, men alla försök visade sig för eller senare falla genom att de introducerade en sats som inte gick att härleda ur de fyra första postulaten. Omkring 1700 hade man dock upptäckt en hel del kring vad som gick att bevisa med dessa första postulat och vilka fällor som var förknippade med beviset av de femte. Saccheri, Lambert och Legendre gjorde var och en för sig viktiga upptäckter kring detta bevis under 1700-talet, men ingen av dem lyckades hitta lösningen. I början av 1800-talet valde Gauss, Bolyai och Lobatjevskij en annan väg. Oberoende av varandra drog de slutsatsen att det var omöjligt att bevisa parallellpostulatet och började istället utveckla en fristående geometri där postulatet var falskt. Dessa försök var framgångsrika och ledde fram till den första icke-euklidiska geometrin. 1854 presenterade Riemann, som studerat för Gauss, ett banbrytande arbete där han visade hur differentialkalkylen kunde appliceras på rum med godtyckligt antal dimensioner, dvs en fristående geometri som var giltig för alla släta ytor. Det blev grunden till en annorlunda icke-euklidisk geometri som senare fick stor betydelse för bl.a. Einsteins relativitetsteori. Det återstod dock att matematiskt bevisa att den icke-euklidiska geometrin var fristående på samma sätt som den euklidiska. Detta gjords första gången av Beltrami 1868. En konsekvens vara att det femte postulatet föll en gång för alla. En fråga kvarstod dock: "Vilken geometri gäller för den fysiska verklighet vi befinner oss i?" Matematiker fann att den frågan bara kan besvaras genom fysiska experiment och visade att sådana fysiska undersökningar måste involvera interstellära avstånd. Med relativitetsteorin visade det sig att den frågan skulle bli avsevärt mer komplicerad. ; Introduktion av matematisk stringens Alla försök att bevisa parallellpostulatet visade att det var mycket svårt för geometriker att hålla isär ett logiskt resonemang från den egna, intuitiva bilden av det fysiska rummet och, sedan det visat sig omöjligt att bevisa postulatet, att det var grundläggande att verkligen hålla isär dessa saker. En lång och noggrann undersökning hade till sist uppdagat logiska brister i Euklides resonemang och outtalade antaganden som hans argumentation vilade på. Samtidigt drabbades differentialkalkylen och den numeriska analysen av en kris sedan man misslyckats med att hantera betydelsen av oändliga processer som konvergens och kontinuitet. I geometrin fanns ett påtagligt behov av en ny uppsättning postulat som var helt oklanderliga och stod helt oberoende av bilder på ett papper och vår intuitiva bild av ett rum. Dessa axiom kunde Hilbert presentera i sin avhandling Grundlagen der Geometrie 1894. Även om liknande axiom presenterats några år tidigare, kunde de inte mäta sig med Hilberts som var lika sparsamma och eleganta som Euklides. ; Topologi I mitten av 1800-talet stod det klart att vissa matematiska resonemang tycktes gälla när liknande idéer studerades på tallinjen, i två dimensioner och i tre dimensioner. Det ledde fram till idén om ett mer generellt metriskt rum med n dimensioner som medgav att resonemangen kunde generaliseras för att sedan appliceras på specialfall. Denna generella geometri, senare känd som topologi, studerade i första hand egenskaper hos sådana n-dimensionella figurer som kontinuitet och antalet kanter snarare än vinklar och avstånd som varit så betydande fär den euklidiska geometrin. Topologin blev snabbt en helt fristående gren av matematiken.

1900-talet

Se även

- Euklidisk geometri
- Icke-euklidisk geometri
- Topologi
- Differentialgeometri
- Analytisk geometri Kategori:Geometri ko:기하학 ja:幾何学 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Elementa

Elementa är en grundläggande bok i geometri. Skriven av den grekiske matematikern Euklides omkring år 300 f.Kr.

Se även

- Euklidisk geometri

Externa länkar

Läs mer om boken på sajten: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid's Elements] Kategori:Facklitteratur ja:ユークリッド原論

Parallellaxiomet

Parallellaxiomet är det femte axiomet i euklidisk geometri (uppkallad efter den grekiske matematikern Euklides). Axiomet är mer kontroversiellt än övriga axiom eftersom det inte är lika enkelt att formulera och innebörden anses inte av alla vara så självklar som man ofta vill att axiom ska vara. Euklides försökte själv förgäves bevisa parallellaxiomet ur de övriga fyra. Beroende på om man förkastar parallellaxiomet eller inte, och i så fall om man ersätter det med nåt annat, och i så fall vad, får man vad man kallar olika geometrier. De olika geometrierna är alltså skilda teorier, och en viss sats kan vara sann i en teori och falsk i en annan. Det finns olika formuleringar av parallellaxiomet, men detta är nog den vanligaste:
Givet en rät linje och en punkt som ligger utanför linjen, kan man dra en och endast en rät linje som går genom punkten och är parallell med linjen. Om man anammar detta påstående får man euklidisk geometri, om man förkastar det får man icke-euklidisk geometri. Parallellaxiomet är ekvivalent med påståendet att vinkelsumman i en triangel är 180 grader. Se även:
- Geometri
- Matematik ko:평행선 공리

Urvalsaxiomet

Urvalsaxiomet är ett mängdteoretiskt axiom som förr var kontroversiellt (och som till viss del är det fortfarande). Som beteckning för urvalsaxiomet används den väletablerade förkortningen AC (bokstäverna står för engelska "Axiom of Choice"). En mängdteori (axiomuppsättning) som inkluderar AC sägs vara en teori "med urval". AC säger att om vi har en mängd av icke-tomma mängder, så finns det en funktion som väljer ut ett element ur var och en av dessa till en ny mängd. Problemet med AC är att det inte är så enkelt som övriga axiom i Zermelo-Fränkels mängdteori (ZF). Ändå tycks AC vara nödvändigt för att bevisa en massa saker som borde vara sanna men som inte följer ur endast ZF. AC följer alltså inte av axiomen i ZF, så därför bildade man en ny mängdteori, ZFC (Zermelo-Fränkels mängdteori med urval). Några kopplingar mellan AC och andra satser:
- AC är ekvivalent med välordningssatsen.
- AC är ekvivalent med påståendet att α = α², för varje oändligt kardinaltal α.
- AC implicerar Tarski-Banachs paradox.
- AC impliceras av Löwenheim-Skolem-Tarskis sats

Se även

- Mängdteori
- Axiom

Extern länk

- [http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html AXIOM OF CHOICE] Kategori:Mängdteori ja:選択公理 ko:선택공리

Parallellaxiomet

Peanos axiom

Peanos axiom för (de naturliga) talen, formulerade med "vanligt språk": 1. Det finns ett tal som betecknas "1" 2. Till varje tal finns en efterföljare 3. Inget tal har "1" som efterföljare 4. Olika tal har olika efterföljare 5. Antag att en mängd av tal innehåller "1" samt har egenskapen att efterföljaren till varje tal som ingår i mängden, ingår också i mängden. Då innehåller mängden alla tal. Utifrån dessa axiom, som formulerades av Giuseppe Peano 1889, kan man definiera och härleda de viktigaste delarna av matematiken. Exempelvis summan x+y av två tal x och y definieras som en operation med egenskaperna 1) x + 1 = efterföljaren till x. 2) x + efterföljaren till y = efterföljaren till (x+y) Se Landau: "Grundlagen der Analysis" för en närmast komplett redovisning av hur ordnings- och räknereglerna för de olika talområdena kan härledas ur P.A.

Mängdteoretiska axiom

Mängdteoretiska axiom:
- Extensionalitetsaxiomet
- Tomma mängdens axiom
- Delmängdsaxiomet
- Unionaxiomet
- Potensmängdsaxiomet
- Infinitetsaxiomet
- Urvalsaxiomet
- Regularitetsaxiomet

Se även

- Mängdteori
- Mängd
- Teori
- Axiom
- Abstraktionsprincipen Kategori:Matematik

Algebra

Algebra (från arabiskans "al-djebr", vilket betyder "återförening" eller "koppling") är en gren inom matematiken som kan defineras som en generalisering och utökning av aritmetiken. Området kan grovt indelas i
- elementär algebra, där de reella talens egenskaper behandlas, symboler används för att beteckna konstanter och variabler, och reglerna som gäller för matematiska uttryck och ekvationer involverande dessa symboler studeras
- abstrakt algebra, där algebraiska strukturer såsom kroppar, grupper, och ringar definieras och studeras axiomatiskt. Vektorrummens specifika egenskaper studeras inom den linjära algebran.
- universell algebra, där egenskaper gemensamma för alla algebraiska strukturer studeras.
- datoralgebra, där algoritmer för symbolisk behandling av matematiska objekt samlas. Ordet "algebra" används även för olika algebraiska strukturer:
- algebra över en kropp
- Boolesk algebra
- Sigma-algebra

Historia

Persern al-Khowarizmi skrev, omkring 825 i Bagdad, ett viktigt verk som hade titeln "Hisab al-jabr w'al-musqabalah", som betyder "vetenskapen om återförening och opposition". Här beskrivs:
- "al-jabr", hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra.
- "al-musqabalah", att lika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. Ordet "algoritm" kommer från al-Khowarizmis namn.

Se även:

- Aryabhatiya

Externa länkar

- [http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html Mathworld]
- [http://planetmath.org PlanetMath]
- ja:代数学 ko:대수학 ms:Algebra simple:Algebra

Logik

1.

Logik är en av våra äldsta vetenskaper. Människan har förmodligen sen "urminnes tider" haft förmågan att omedvetet dra korrekta slutsatser från givna påståenden, abstrahera gemensam information från flera idéer etc. Men det skulle dröja ända till antikens Grekland innan någon på allvar började studera hur dessa resonemang verkligen hänger ihop. Logikens ursprung brukar anges som Aristoteles första systematiseringar av korrekta respektive inkorrekta slutledningar. (Se syllogismer). Modern logik (såsom formell logik, symbolisk logik och matematisk logik) är en abstrakt vetenskap som ligger i gränslandet mellan filosofi och matematik som även har kopplingar till datalogi, lingvistik och kognitionsforskning). Matematikens olika delar är dock det som ligger allra närmast till hands som studieområde för logiken. Den nära kopplingen kan delvis bero på likheter i arbetsmetoder: exakta definitioner, bevis, abstrahering och formalism m.m. är självklarheter för båda vetenskaperna. Till en början handlade den moderna logiken helt enkelt om den moderna motsvarigheten till Aristoteles idéer: Deduktion i formella system med hjälp av formella språk. Språk som då tidigt studerades var framför allt satslogiken och predikatlogiken. Inom ramen för dessa kunde man ge precisa definitioner för begrepp som sats, bevis och logisk konsekvens. Senare fick logiker mer och mer kunskaper om själva språken, dess möjligheter och begränsningar. Detta logiska studium av metoder och system som redan används inom logiken har gett upphov till många nya grenar av logiken och viktiga begrepp som avgörbarhet och fullständighet. Ämnesområden inom logik:
- Studiet av olika formella system, deras olika tillämpningar samt härledningar inom dessa.
- Rekursionsteori handlar om algoritmer och besläktade begrepp. Vilka typer av problem kan lösas "mekaniskt"? Finns det olika grader av lösbarhet/olösbarhet?
- Bevisteori handlar om olika härledningssystem och bevis inom dessa.
- I Modellteori studeras olika s.k. strukturer och begrepp sanning och logisk konsekvens. Särskild uppmärksamhet ges åt Finit modellteori.
- Abstrakt logik är det generella studiet av logiska system, varav den traditionella första ordningens logik är ett specialfall. Inom abstrakt logik kan man förändra systemens uttryckskraft genom att laborera med de olika språkens syntax och semantik, för att sedan studera vad det leder till. (Abstrakt logik kan ses som en generaliserad modellteori. Den vanliga modellteorin får då heta Första ordningens modellteori eller klassisk modellteori. Ibland används det något luddiga begreppet metalogik för alla dessa områden.)
- Mängdteori är studiet av mängder, som i sin tur är absolut nödvändiga verktyg för att kunna formulera många viktiga logiska begrepp inom andra grenar av logiken. Mängdteorin är samtidigt en gren av den rena matematiken. Det finns också andra skolor som utvecklar logik enligt andra grundidéer som skiljer sig från den förhärskande klassiska logiken, exempelvis flervärd logik, "fuzzy logic", parakonsistent logik och intuitionistisk logik. Kända logiker:
- Alan Turing
- Alonzo Church
- Aristoteles
- Bertrand Russell
- George Cantor
- Gottlob Frege
- Kurt Gödel
- Ludwig Wittgenstein Se även:
- Filosofisk logik
- Matematikfilosofi

2.

Logik är även en synonym för formellt system, t.ex. första ordningens logik, satslogik, modallogik, relationell logik etc. Man säger då i plural logiker (betoning på andra stavelsen) och satslogik sägs vara ett exempel på en logik. Kategori:Logik ja:論理学 simple:Logic zh-cn:逻辑学

Mängdteori

Mängdteori har en allmän och en specifik betydelse. __TOC__

Allmän betydelse

Mängdteori är teorin om mängder. Mängdteorin är oumbärlig i logiken samtidigt som det är en av den rena matematikens grundstenar. I mängdteorin beskriver man vissa grundläggande egenskaper hos mängder med axiom för att se vad man kan bevisa i de olika teorierna. Den vanligaste mängdteorin är antagligen ZFC (se mängdteorier). Mängdteorin är även betydelsefull inom matematikfilosofin. Namnet "mängdlära" används ofta för att beteckna den icke-axiomatiska mängdteorin som den, till exempel, används i pedagogiskt syfte i Den nya matematiken, men används ibland synonymt med "mängdteori". En mängd är en samling av objekt, elementen i mängden. I naiv mängdlära kan ett element vara vad som helst, men i ren mängdteori antar man normalt att alla objekt som studeras är mängder, dvs elementen i en mängd är själva mängder som i sin tur består av andra mängder etc. Detta motiveras av att nästan alla matematiska begrepp (tal, funktioner, algebraiska strukturer etc) kan reduceras till mängder. Dessutom blir det onödigt krångligt att ta med en ytterligare typ av objekt som inte har samma egenskaper som mängderna. Element som inte själva är mängder kallas urelement, men i normal mängdteori bortser man som sagt från dessa. Ursprungligen tillät man också att mängder bildades utan restriktioner. Till exempel kunde man tala om mängden av alla mängder och mängden av alla mängder som uppfyller en viss egenskap. Dessa och liknande konstruktioner visade sig dock leda till paradoxer som t.ex. Russells paradox. För att råda bot på detta byggde man upp mängdteori axiomatiskt vilket har lett fram till ovan nämnda ZFC (Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet).

Se även:

- Mängd
- Delmängd
- Kontinuumhypotesen
- Urvalsaxiomet
- Ordinaltal
- Kardinaltal
- Mängdteoretiska axiom

Specifik betydelse

Ordet mängdteori kan även syfta på en enskild teori inom mängdteorin i den första betydelsen, dvs ett axiomsystem med axiom som beskriver vissa grundläggande egenskaper hos mängder. Olika mängdteorier ger upphov till olika resultat om mängder. Exempel på mängdteorier är ZF och ZFC. ja:公理的集合論 Kategori:Mängdteori

Premiss

Premisserna är de antaganden som man utgår från i ett bevis eller härledning. Premisserna förutsätts i allmänhet vara sanna. Se även
- härledningsregel
- konklusion
- axiom Kategori:Logik

Kategori:Vetenskap

Kategori:Topp ja:Category:科学 nb:Kategori:Vitenskap

Isomerie

Isomeren zijn stoffen die met elkaar overeenkomen doordat zij hetzelfde aantal en dezelfde soort atomen bevatten, maar die van elkaar verschillen door de wijze waarop die atomen onderling zijn verbonden of geschikt.

Types

Structuurisomeren verschillen doordat de atomen verschillend verbonden werden. Voorbeelden zijn n-butaan en iso-butaan, en ethanol en dimethylether (beide C₂H₆O). Stereo-isomeren hebben dezelfde verbingen tussen atomen, maar de schikking in de ruimte is verschillend. Voorbeelden zijn Cis-trans-isomeren. :Diastereomeren zijn stereomeren die niet elkaars spiegelbeeld zijn; :enantiomeren zijn stereomeren die wel elkaars spiegelbeeld zijn. Indien twee isomeren snel in elkaar over kunnen gaan, noemt men de twee stoffen tautomeren. Isomeren kunnen door rotatie als geheel of van de groepen verbonden door een enkele binding niet bedekt worden. De ene isomeer kan dus niet met de andere "samenvallen".

Voorbeelden

- De hierboven al vermelde alcohol en ether: afbeelding:isomeren.png Ethanol (een alcohol) en dimethylether bijvoorbeeld bestaan elk uit 6 waterstofatomen, twee koolstofatomen, en een zuurstofatoom; alleen de volgorde van de bindingen is verschillend.
- De hierboven al vermelde n-butaan en iso-butaan: H H H H H H H | | | | | | | H-C-C-C-C-H H-C----C----C-H | | | | | | | H H H H H H-C-H H | H Categorie:Organische chemie ja:異性体 ko:이성질체

prag hotel teksty poker bwin pozycjonowanie

:: RELATED NEWS ::

Presidentialist
A presidential system, or a congressional system, is a system of government of a republic where the executive branch is elected separately from the legislative. The defining characteristic of a presidential government is how the executive is elected, but nearly all presidential systems share the following features:
- The preside

History

Origins of the university date back to

Axiom

Berömda axiom

Berömda axiomsystem

Se också

Grekiska

Bevis

Se även

Sanning

Se även

Sats

Härledning

Se även

Mängd

Mängdegenskaper

Teori

Se även

Geometri

Den tidigaste geometrin

De grekiska perioden (600 f.Kr. - 600 e.Kr.)

Medeltiden, renässansen och reformationen

1600-talet och början av 1700-talet

Slutet av 1700-talet och 1800-talet

1900-talet

Se även

Elementa

Se även

Externa länkar

Parallellaxiomet

Urvalsaxiomet

Se även

Extern länk

Parallellaxiomet

Peanos axiom

Mängdteoretiska axiom

Se även

Algebra

Historia

Se även:

Externa länkar

Logik

1.

2.

Mängdteori

Allmän betydelse

Se även:

Specifik betydelse

Premiss

Kategori:Vetenskap

Isomerie

Types

Voorbeelden

History